›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 1.2: Nguyên hàm cơ bản (Có đáp án)

docx 36 trang nhungbui22 12/08/2022 2450
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 1.2: Nguyên hàm cơ bản (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 1.2: Nguyên hàm cơ bản (Có đáp án)

  1. DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ P(x) f(x) là hàm hữu tỉ: f (x) Q(x) – Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B Chẳng hạn: (x a)(x b) x a x b 1 A Bx C , vôùi b2 4ac 0 (x m)(ax2 bx c) x m ax2 bx c 1 A B C D (x a)2 (x b)2 x a (x a)2 x b (x b)2 BÀI TẬP 5 2x4 Câu 59. Cho hàm số f (x) . Khi đó: x2 2x3 5 5 A. f (x)dx C B. f (x)dx 2x3 C 3 x x 2x3 5 2x3 C. f (x)dx C D. f (x)dx 5lnx2 C 3 x 3 2 x2 1 Câu 60. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) là hàm số nào trong các hàm số sau? x x3 1 x3 1 A. F(x) 2x C . B. F(x) 2x C . 3 x 3 x 3 x3 x3 x x 3 3 C. F(x) 2 C . D. F(x) 2 C . x x 2 2 2x4 3 Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y là: x2 2x3 3 3 2x3 3 x3 3 A. C . B. 3x3 C . C. C . D. C . 3 x x 3 x 3 x 1 Câu 62. Tính nguyên hàm dx 2x 3 1 1 A. ln 2x 3 C . B. ln 2x 3 C . C. 2ln 2x 3 C . D. ln 2x 3 C . 2 2 1 e 1 3 Câu 63. Nguyên hàm F x của hàm số f x , biết F là: 2x 1 2 2 1 A. F x 2ln 2x 1 . B. F x 2ln 2x 1 1. 2 1 1 C. F x ln 2x 1 1. D. F x ln 2x 1 . 2 2 1 Câu 64. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 1. Tính F 3 . x 1
  2. 1 7 A. F 3 ln 2 1. B. F 3 ln 2 1. C. F 3 . D. F 3 . 2 4 1 Câu 65. Biết F x là một nguyên hàm của f x và F 0 2 thì F 1 bằng. x 1 A. ln 2 . B. 2 ln 2 . C. 3 . D. 4 . 2 Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : (3 2 x)3 1 1 2 1 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 3 2x 2 4 3 2x 3 2x 2 2 3 2x 2 x(2 x) Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) (x 1)2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 A. . B. . C. . D. . x 1 x 1 x 1 x 1 1 dx Câu 68. Tính x(x 3) . 1 x 1 x 3 1 x 1 x 3 A. ln C . B. ln C . C. ln C . D. ln C . 3 x 3 3 x 3 x 3 3 x 1 Câu 69. F x là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 . Biết F 0 0 , 2x 1 b b F 1 a ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó c c giá trị biểu thức a b c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . x2 2x Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f x . x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 A. F x . B. F x . C. F x . D. F x . 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 2x 13 Câu 71. Cho biết dx a ln x 1 bln x 2 C . Mệnh đề nào sau đây đúng? (x 1)(x 2) A. a 2b 8 . B. a b 8 . C. 2a b 8 . D. a b 8 . 2x 1 Câu 72. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn F(2) 3. Tìm F x 2x 3 : A. F(x) x 4ln 2x 3 1. B. F(x) x 2ln(2x 3) 1. C. F(x) x 2ln 2x 3 1. D. F(x) x 2ln | 2x 3| 1. 1 x 1 2 Câu 73. Tích phân I dx a ln b c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 0 x 1 biểu thức a b c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 1 Câu 74. Tính dx , kết quả là: x2 4x 3 1 x 1 1 x 3 x 3 A. ln C . B. ln C . C. ln x2 4x 3 C . D. ln C . 2 x 3 2 x 1 x 1 1 Câu 75. Nguyên hàm dx là: x2 7x 6
  3. 1 x 1 1 x 6 A. ln C . B. ln C . 5 x 6 5 x 1 1 1 C. ln x2 7x 6 C . D. ln x2 7x 6 C . 5 5 1 Câu 76. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x , biết F 0 1. Giá trị của 2x 1 F 2 bằng 1 1 1 A. 1 ln 3 . B. 1 ln 5 . C. 1 ln 3. D. 1 ln 3 . 2 2 2 1 Câu 77. Tìm nguyên hàm I dx. 4 x2 1 x 2 1 x 2 A. I ln C. B. I ln C. 2 x 2 2 x 2 1 x 2 1 x 2 C. I ln C. D. I ln C. 4 x 2 4 x 2 x 3 Câu 78. Tìm nguyên hàm dx . x2 3x 2 x 3 A. dx 2ln x 2 ln x 1 C . x2 3x 2 x 3 B. dx 2ln x 1 ln x 2 C . x2 3x 2 x 3 C. dx 2ln x 1 ln x 2 C . x2 3x 2 x 3 D. dx ln x 1 2ln x 2 C . x2 3x 2 2x3 6x2 4x 1 Câu 79. Nguyên hàm dx là: x2 3x 2 x 1 1 x 2 A. x2 ln C . B. x2 ln C . x 2 2 x 1 1 x 1 x 2 C. x2 ln C . D. x2 ln C . 2 x 2 x 1 3x 3 Câu 80. Nguyên hàm dx là: x2 x 2 A. 2ln x 1 ln x 2 C . B. 2ln x 1 ln x 2 C . C. 2ln x 1 ln x 2 C . D. 2ln x 1 ln x 2 C . x3 3x2 3x 1 1 Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f (x) khi biết F 1 là x2 2x 1 3 x2 2 13 x2 2 13 A. F x x . B. F x x . 2 x 1 6 2 x 1 6 x2 2 x2 2 C. F x x . D. F x x C. 2 x 1 2 x 1 ax b Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F x 4a b 0 là nguyên hàm của hàm số f x x 4 2 và thỏa mãn: 2 f x F x 1 f x . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
  4. A. a 1, b 4 . B. a 1, b 1. C. a 1, b ¡ \ 4. D. a ¡ , b ¡ . DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x 3x 3 x2 là : 2x 3 x 9x x2 5x x 27x2 3 x2 A. C . B. C . 4 8 3 8 2x x 9x2 3 x 2x x 9x2 3 x2 C. C . D. C . 3 5 3 8 1 2 Câu 84. Nguyên hàm của f x 3 là: x 3 x 4 A. 2 x 33 x2 3x C . B. 2 x 3 x2 3x C . 3 1 1 4 C. x 33 x2 3x C . D. x 3 x2 3x C . 2 2 3 dx Câu 85. Tính thu được kết quả là: 1 x C 2 A. B. 2 1 x C C. C D. 1 x C 1 x 1 x 1 Câu 86. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x x 1 . Nguyên hàm của f x biết x2 F 3 6 là: 2 3 1 1 2 3 1 1 A. F x x 1 . B. F x x 1 . 3 x 3 3 x 3 2 3 1 1 2 3 1 1 C. F x x 1 . D. F x x 1 . 3 x 3 3 x 3 dx Câu 87. Cho a(x 2) x 2 b(x 1) x 1 C . Khi đó 3a b bằng: x 2 x 1 2 1 4 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 x 1 Q dx Câu 88. Tìm x 1 ? A. Q x2 1 ln x x2 1 C . B. Q x2 1 ln x x2 1 C . C. Q ln x x2 1 x2 1 C . D. Cả đáp án B,C đều đúng. 1 Câu 89. Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x m 1 thỏa mãn F 0 0 và 2 x 1 F 3 7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 . Câu 90. Hàm số F x ax b 4x 1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của 12x f x . Tính a b . 4x 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
  5. Câu 91. Biết F x ax2 bx c 2x 3 a, b, c ¢ là một nguyên hàm của hàm số 20x2 30x 11 3 f x trên khoảng ; . Tính T a b c . 2x 3 2 A. T 8. B. T 5 . C. T 6 . D. T 7 . DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2cos 2x là A. 2sin 2x C . B. sin 2x C . C. 2sin 2x C . D. sin 2x C . Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 5x 2 là 1 1 A. 5cos5x C . B. cos5x 2x C . C. cos5x 2x C . D. cos5x 2x C . 5 5 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x sin 2x là 1 1 A. x2 cos 2x C . B. x2 cos 2x C . C. x2 2cos 2x C . D. x2 2cos 2x C . 2 2 Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) cos2 2x là: 1 cos 4x x cos 4x 1 cos 4x x cos 4x A. C . B. C . C. C . D. C . 2 8 2 2 2 2 2 8 Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x . 6 1 A. f x dx 3sin 3x C . B. f x dx sin 3x C . 6 3 6 1 C. f x dx 6sin 3x C . D. f x dx sin 3x C . 6 3 6 F x cos 2x sin x C f x f π Câu 97. Cho là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f π 3 . B. f π 1. C. f π 1. D. f π 0 . dx Câu 98. Tính: 1 cos x x x 1 x 1 x A. 2 tan C . B. tan C . C. tan C . D. tan C . 2 2 2 2 4 2 2 Câu 99. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 6x sin 3x , biết F 0 . 3 cos3x 2 cos3x A. F x 3x2 . B. F x 3x2 1. 3 3 3 cos3x cos3x C. F x 3x2 1. D. F x 3x2 1. 3 3 Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) tan2 x là: A. cot x x C . B. tan x x C . C. cot x x C . D. tan x x C . 1 Câu 101. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y và F 0 1. Khi đó, ta có F x là: cos2 x A. tan x . B. tan x 1. C. tan x 1. D. tan x 1. Câu 102. Cho hàm số f x sin4 2x . Khi đó:
  6. 1 1 A. f x dx 3x sin 4x sin8x C . B. 8 8 1 1 f x dx 3x cos 4x sin8x C . 8 8 1 1 1 1 C. f x dx 3x cos 4x sin8x C . D. f x dx 3x sin 4x sin8x C 8 8 8 8 . 1 Câu 103. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin 1 2x và thỏa mãn F 1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F x cos 1 2x . B. F x cos 1 2x . 2 2 1 1 C. F x cos 1 2x 1. D. F x cos 1 2x . 2 2 Câu 104. Nguyên hàm sin 2x cos x dx là: 1 A. cos 2x sin x C . B. cos 2x sin x C . 2 1 C. cos 2x sin x C . D. cos 2x sin x C . 2 Câu 105. Nguyên hàm sin 2x 3 cos 3 2x dx là: A. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . B. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . C. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . D. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . 2 Câu 106. Nguyên hàm sin 3x 1 cos x dx là: 1 A. x 3sin 6x 2 sin x C . B. x 3sin 6x 2 sin x C . 2 1 1 C. x 3sin 3x 1 sin x C . D. x 3sin 6x 2 sin x C . 2 2 Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của sin3 x cos3 x dx ? 3 A. 3cos x.sin2 x 3sin x.cos2 x C . B. sin 2x sin x cos x C . 2 C. 3 2 sin 2xsin x C . D. 3 2 sin x.cos x.sin x C . 4 4 Câu 108. Cho hàm số f x cos3x.cos x . Một nguyên hàm của hàm số f x bằng 0 khi x 0 là: sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x A. 3sin 3x sin x B. C. D. 8 4 2 4 8 4 F x f x cot2 x Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số là: A. cot x x C B. cot x x C C. cot x x C D. tan x x C sin 4x Câu 110. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 thỏa mãn F 0 . Tính F 0 . 1 cos x 2 A. F 0 4 6ln 2 . B. F 0 4 6ln 2 . C. F 0 4 6ln 2 . D. F 0 4 6ln 2 . 2 Câu 111. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x tan x và F 1. Tính F . 4 4 A. F 1. B. F 1. C. F 1. D. F 1. 4 4 4 2 4 4 2
  7. 2 3 Câu 112. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x 1 sin x biết F 2 4 3 1 3 1 A. F x x 2cos x sin 2x. B. F x x 2cos x sin 2x. 2 4 2 4 3 1 3 1 C. F x x 2cos x sin 2x. D. F x x 2cos x sin 2x. 2 4 2 4 3sin 3x 2cos3x Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . 5sin 3x cos3x 17 7 17 7 A. x ln 5sin 3x cos3x C. B. x ln 5sin 3x cos3x C. 26 78 26 78 17 7 17 7 C. x ln 5sin 3x cos3x C. D. x ln 5sin 3x cos3x C. 26 78 26 78 2 a a Câu 114. Biết sin 2x cos 2x dx x cos 4x C , với a , b là các số nguyên dương, là phân b b số tối giản và C ¡ . Giá trị của a b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 115. Tính I 8sin 3x cos xdx a cos 4x bcos 2x C . Khi đó, a b bằng A. 3 . B. 1. C. 1. D. 2 . Câu 116. F x là một nguyên hàm của hàm số y 2sin x cos3x và F 0 0 , khi đó cos 2x cos 4x 1 A. F x cos 4x cos 2x . B. F x . 4 8 8 cos 2x cos 4x 1 cos 4x cos 2x 1 C. F x . D. F x . 2 4 4 4 2 4 Câu 117. Cho ¡ . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f x sin x . x x A. F x cos x . B. F x 2sin sin . 1 2 2 2 x x x x C. F3 x 2sin sin . D. F4 x 2cos sin . 2 2 2 2 1 Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x tan2 2x . 2 2 1 2 1 x A. tan 2x dx 2 tan 2x 2x C . B. tan 2x dx tan 2x C . 2 2 2 2 1 2 1 tan 2x x C. tan 2x dx tan 2x x C . D. tan 2x dx C . 2 2 2 2 Câu 119. Hàm số F x ln sin x 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x 3cos x cos x 3sin x A. f x . B. f x . cos x 3sin x sin x 3cos x cos x 3sin x C. f x . D. f x cos x 3sin x . sin x 3cos x 7cos x 4sin x 3 Câu 120. Hàm số f x có một nguyên hàm F x thỏa mãn F . Giá trị cos x sin x 4 8 F bằng? 2 3 11ln 2 3 3 3 ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4
  8. sin x I dx Câu 121. Tìm sin x cos x ? 1 A. I x ln sin x cos x C . B. I x ln sin x cos x C . 2 1 C. I x ln sin x cos x C . D. I x ln sin x cos x C . 2 sinx cos x sinx Câu 14. Biết I dx A B dx . Kết quả của A, B lần lượt là cos x sinx cos x sinx 1 1 1 1 1 1 A. A B . B. A B . C. A , B . D. A , B . 2 2 2 2 2 2 cos4 x I dx 4 4 Câu 122. Tìm sin x cos x ? 1 1 2 sin 2x 1 2 sin 2x A. I x ln C . B. I x ln C . 2 2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x 1 1 2 sin 2x 1 2 sin 2x C. I x ln C . D. I x ln C . 2 2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3sin 2x 2cos x ex là A. 6cos 2x 2sin x ex C . B. 6cos 2x 2sin x ex C . 3 3 C. cos 2x 2sin x ex C . D. cos 2x 2sin x ex C . 2 2  Câu 124. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;  \  thỏa mãn f x tan x , 2  5  2 x ; \  , f 0 0, f 1. Tỉ số giữa f và f bằng: 4 4 2  3 4 1 1 ln 2 A. 2 log e 1 . B. 2 . C. . D. 2 1 log e . 2 2 ln 2 2 DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 52x . 52x 25x A. 52x dx 2. C . B. 52x dx C . ln 5 2ln 5 25x 1 C. 52x dx 2.52x ln 5 C . D. 52x dx C . x 1 f x e2018x . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 2018x f x dx .e C f x dx e2018x C A. 2018 . B. . f x dx 2018e2018x C f x dx e2018x ln 2018 C C. . D. . F x f x e2x F 0 1 Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . e2x 1 A. F x e2x . B. F x . C. F x 2e2x 1. D. F x ex . 2 2 Câu 128. Cho F x là một nguyên hàm của f x e3x thỏa mãn F 0 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
  9. 1 2 1 A. F x e3x . B. F x e3x . 3 3 3 1 1 4 C. F x e3x 1. D. F x e3x . 3 3 3 3 Câu 129. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex 2x thỏa mãn F 0 . Tìm F x . 2 5 1 A. F x ex x2 . B. F x 2ex x2 . 2 2 3 1 C. F x ex x2 . D. F x ex x2 . 2 2 Câu 130. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2018x ln 2018 cos x và f 0 2 . Phát biểu nào sau đúng? 2018x A. f x 2018x sin x 1. B. f x sin x 1. ln 2018 2018x C. f x sin x 1. D. f x 2018x sin x 1. ln 2018 (2 e3x )2 dx Câu 131. Tính 4 1 4 5 A. 3x e3x e6x C B. 4x e3x e6x C 3 6 3 6 4 1 4 1 C. 4x e3x e6x C D. 4x e3x e6x C 3 6 3 6 x x Câu 132. Nếu F x là một nguyên hàm của f (x) e (1 e ) và F(0) 3 thì F(x) là? A. ex x B. ex x 2 C. ex x C D. ex x 1 Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ex e x là : A. ex e x C . B. ex e x C . C. ex e x C . D. ex ex C . Câu 134. Hàm số F(x) ex e x x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 A. f (x) e x ex 1 B. f (x) ex e x x2 2 1 C. f (x) ex e x 1 D. f (x) ex e x x2 2 Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e2x e 3x là : e3x e 2x e2x e 3x A. C . B. C . 3 2 2 3 e3x e 3x e 2x e3x C. C . D. C . 2 2 3 2 Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 32x 2 3x là : 32x 2 3x 32x 2 3x A. C . B. C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 3 2x 23x 3 2x 23x C. C . D. C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 f (x) 1 Câu 137. Hàm số y f (x) có một nguyên hàm là F x e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số ex .
  10. f (x) 1 f (x) 1 A. dx ex e x C . B. dx 2ex e x C . ex ex f (x) 1 f (x) 1 1 C. dx 2ex e x C . D. dx ex e x C . ex ex 2 Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ex 1 e x . A. f x dx e x C . B. f x dx ex x C . C. f x dx ex e x C . D. f x dx ex C . 2 Câu 139. F x là một nguyên hàm của hàm số y xex . Hàm số nào sau đây không phải là F x ? 1 2 1 2 A. F x ex 2 . B. F x ex 5 . 2 2 1 2 1 2 C. F x ex C . D. F x 2 ex . 2 2 x Câu 140. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 22x 3x . x 4 12x 2x x A. F x C . B. F x 12x x x C . ln12 3 22x 3x x x 22x 3x x x ln 4 C. F x . D. F x . x x ln 2 ln 3 4 ln 2 ln 3 4 x x 2018e Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f x e 2017 5 . x 2018 504,5 A. f x dx 2017ex C . B. f x dx 2017ex C . x4 x4 504,5 2018 C. f x dx 2017ex C . D. f x dx 2017ex C . x4 x4 22x.3x.7x dx Câu 142. Tính 84x 22x.3x.7x A. C B. C C. 84x C D. 84x ln84 C ln84 ln 4.ln 3.ln 7 e2x 1 2 Câu 143. Nguyên hàm dx là: 3 x e 5 x 5 x 5 x 1 2 5 x 1 2 A. e3 e 3 C . B. e3 e 3 C . 3 3 3 3 5 x 5 x 5 x 1 2 5 x 1 2 C. e3 e 3 C . D. e3 e 3 C . 3 3 3 3 1 1 Câu 144. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và F 0 ln 4 . Tập nghiệm S của ex 3 3 phương trình 3F x ln ex 3 2 là A. S 2 . B. S 2;2. C. S 1;2 . D. S 2;1. 1 Câu 145. Hàm số F x e3x 1 9x2 24x 17 C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 A. f x x2 2x 1 e3x 1 . B. f x x2 2x 1 e3x 1 . C. f x x2 2x 1 e3x 1 . D. f x x2 2x 1 e3x 1 .
  11. Câu 146. Cho hai hàm số F x x2 ax b e x và f x x2 3x 6 e x . Tìm a và b để F x là một nguyên hàm của hàm số f x . A. a 1,b 7 . B. a 1,b 7 . C. a 1,b 7 . D. a 1,b 7 . F xnexdx Câu 147. Tìm ? A. F ex xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n xn C . B. F ex xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n C . C. F n!ex C . D. F xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n ex C . Câu 148. Giả sử e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C . Khi đó a b c d bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 x x 2018e Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số f x e 2017 5 . x 2018 504,5 A. f x dx 2017ex C . B. f x dx 2017ex C . x4 x4 504,5 2018 C. f x dx 2017ex C . D. f x dx 2017ex C . x4 x4 Câu 150. Giả sử e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C . Khi đó a b c d bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 151. Cho F x ax2 bx c e2x là một nguyên hàm của hàm số f x 2018x2 3x 1 e2x trên khoảng ; . Tính T a 2b 4c . A. T 3035 . B. T 1007 . C. T 5053. D. T 1011. Câu 152. Biết F x ax2 bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x2 5x 2 e x trên ¡ . Tính giá trị của biểu thức f F 0 . A. e 1 . B. 20e2 . C. 9e . D. 3e . 1 Câu 153. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x , thỏa mãn F 0 . Tính giá trị ln 2 biểu thức T F 0 F 1 F 2 F 2017 . 22017 1 22017 1 22018 1 A. T 1009. . B. T 22017.2018 . C. T . D. T . ln 2 ln 2 ln 2
  12. HƯỚNG DẪN GIẢI 5 2x4 Câu 59. Cho hàm số f (x) . Khi đó: x2 2x3 5 5 A. f (x)dx C B. f (x)dx 2x3 C 3 x x 2x3 5 2x3 C. f (x)dx C D. f (x)dx 5lnx2 C 3 x 3 Hướng dẫn giải 4 3 5 2x 5 2 2x 5 Ta có: 2 dx 2 2x dx C . x x 3 x Chọn A 2 x2 1 Câu 60. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) là hàm số nào trong các hàm số sau? x x3 1 x3 1 A. F(x) 2x C .B. F(x) 2x C . 3 x 3 x 3 x3 x3 x x 3 3 C. F(x) 2 C .D. F(x) 2 C . x x 2 2 Hướng dẫn giải 2 x2 1 x4 2x2 1 1 x3 1 Ta có: dx dx x2 2 2x C . 2 2 x x x 3 x Chọn A 2x4 3 Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y là: x2 2x3 3 3 2x3 3 x3 3 A. C .B. 3x3 C . C. C .D. C . 3 x x 3 x 3 x Hướng dẫn giải 4 3 2x 3 2 3 2x 3 Ta có: 2 dx 2x 2 dx C . x x 3 x Chọn A 1 Câu 62. Tính nguyên hàm dx 2x 3 1 1 A. ln 2x 3 C . B. ln 2x 3 C . C. 2ln 2x 3 C .D. ln 2x 3 C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 1 Ta có: dx d 2x 3 ln 2x 3 C 2x 3 2 2x 3 2 1 e 1 3 Câu 63. Nguyên hàm F x của hàm số f x , biết F là: 2x 1 2 2 1 A. F x 2ln 2x 1 . B. F x 2ln 2x 1 1. 2 1 1 C. F x ln 2x 1 1. D. F x ln 2x 1 . 2 2 Hướng dẫn giải
  13. Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng 1 1 F x dx ln 2x 1 C . 2x 1 2 e 1 3 1 e 1 3 Mà F ln 2 1 C C 1. 2 2 2 2 2 1 Câu 64. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 1. Tính F 3 . x 1 1 7 A. F 3 ln 2 1.B. F 3 ln 2 1. C. F 3 . D. F 3 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F(x) dx ln x 1 C . x 1 Theo đề F 2 1 ln1 C 1 C 1. Vậy F 3 ln 2 1. 1 Câu 65. Biết F x là một nguyên hàm của f x và F 0 2 thì F 1 bằng. x 1 A. ln 2 .B. 2 ln 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 F x dx ln x 1 C mà F 0 2 nên F x ln x 1 2 . x 1 Do đó F 1 2 ln 2 . 2 Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : (3 2 x)3 1 1 2 1 A. C . B. C .C. C .D. C . 2 3 2x 2 4 3 2x 3 2x 2 2 3 2x 2 Hướng dẫn giải 2 1 Ta có: dx C . 3 2 3 2x 2 3 2x Chọn D x(2 x) Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) (x 1)2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 A. .B. .C. .D. . x 1 x 1 x 1 x 1 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 1 x2 2x x2 x 1 0 1 0 1 1 1 x2 2x 2 Ta có: 2 2 . x 1 x 1 x 1 Chọn B 1 dx Câu 68. Tính x(x 3) . 1 x 1 x 3 1 x 1 x 3 A. ln C .B. ln C .C. ln C .D. ln C . 3 x 3 3 x 3 x 3 3 x Hướng dẫn giải
  14. 1 1 1 1 1 x 3 Ta có: dx dx .ln C . x x 3 3 x 3 x 3 x Chọn D 1 Câu 69. F x là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 . Biết F 0 0 , 2x 1 b b F 1 a ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó c c giá trị biểu thức a b c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 1 3 1 Ta có F x 3x dx x ln 2x 1 C . 2x 1 2 1 Do F 0 0 C 0 F x x3 ln 2x 1 . 2 1 Vậy F 1 1 ln 3 a 1; b 1; c 2 a b c 4 . 2 x2 2x Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f x . x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 A. F x . B. F x .C. F x . D. F x . 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 Hướng dẫn giải Chọn C 2 x 2x F1 x , đáp án A là nguyên hàm của f x . x 1 2 2 x 2x 2 F2 x , đáp án B không phải là nguyên hàm của f x . x 1 2 2 x 2x F3 x , đáp án C là nguyên hàm của f x . x 1 2 2 x 2x F4 x , đáp án D là nguyên hàm của f x . x 1 2 2x 13 Câu 71. Cho biết dx a ln x 1 bln x 2 C . Mệnh đề nào sau đây đúng? (x 1)(x 2) A. a 2b 8 . B. a b 8 . C. 2a b 8 .D. a b 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2x 13 5 3 1 1 dx dx 5 dx 3 dx 5ln x 1 3ln x 2 C . (x 1)(x 2) x 1 x 2 x 1 x 1 a 5 Vậy a b 8 . b 3 2x 1 Câu 72. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn F(2) 3. Tìm F x 2x 3 : A. F(x) x 4ln 2x 3 1. B. F(x) x 2ln(2x 3) 1.
  15. C. F(x) x 2ln 2x 3 1. D. F(x) x 2ln | 2x 3| 1. Hướng dẫn giải Chọn C 2x 1 4 Ta có F x dx 1 dx x 2ln 2x 3 C . 2x 3 2x 3 Lại có F(2) 3 2 2ln 1 C 3 C 1. 1 x 1 2 Câu 73. Tích phân I dx a ln b c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 0 x 1 biểu thức a b c ? A. 3 . B. 0 . C. 1.D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 1 1 1 x 1 2x 2 I 2 dx 1 2 dx x ln x 1 1 ln 2 . 0 0 x 1 0 x 1 Khi đó a 1, b 2 , c 1. Vậy a b c 2 . 1 Câu 74. Tính dx , kết quả là: x2 4x 3 1 x 1 1 x 3 x 3 A. ln C .B. ln C . C. ln x2 4x 3 C .D. ln C . 2 x 3 2 x 1 x 1 Hướng dẫn giải dx dx 1 1 1 1 x 3 Ta có: 2 dx ln C . x 4x 3 x 1 x 3 2 x 3 x 1 2 x 1 Chọn B 1 Câu 75. Nguyên hàm dx là: x2 7x 6 1 x 1 1 x 6 A. ln C .B. ln C . 5 x 6 5 x 1 1 1 C. ln x2 7x 6 C .D. ln x2 7x 6 C . 5 5 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 x 6 2 dx dx dx ln x 6 ln x 1 C ln C x 7x 6 x 1 x 6 5 x 6 x 1 5 5 x 1 . Chọn B 1 Câu 76. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x , biết F 0 1. Giá trị của 2x 1 F 2 bằng 1 1 1 A. 1 ln 3 . B. 1 ln 5 . C. 1 ln 3. D. 1 ln 3 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A dx 1 Ta có F x f x dx ln 2x 1 C . 2x 1 2
  16. 1 1 1 F 0 1 ln1 C 1 C 1 F x ln 2x 1 1 F 2 1 ln 3. 2 2 2 1 Câu 77. Tìm nguyên hàm I dx. 4 x2 1 x 2 1 x 2 A. I ln C. B. I ln C. 2 x 2 2 x 2 1 x 2 1 x 2 C. I ln C. D. I ln C. 4 x 2 4 x 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 1 x 2 Ta có I dx dx ln C. x 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 x 3 Câu 78. Tìm nguyên hàm dx . x2 3x 2 x 3 A. dx 2ln x 2 ln x 1 C . x2 3x 2 x 3 B. dx 2ln x 1 ln x 2 C . x2 3x 2 x 3 C. dx 2ln x 1 ln x 2 C . x2 3x 2 x 3 D. dx ln x 1 2ln x 2 C . x2 3x 2 Hướng dẫn giải Chọn B x 3 x 3 2 1 Ta có 2 dx dx dx 2ln x 1 ln x 2 C . x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2x3 6x2 4x 1 Câu 79. Nguyên hàm dx là: x2 3x 2 x 1 1 x 2 A. x2 ln C .B. x2 ln C . x 2 2 x 1 1 x 1 x 2 C. x2 ln C .D. x2 ln C . 2 x 2 x 1 Hướng dẫn giải Ta có: 3 2 2x 6x 4x 1 1 1 1 2 x 2 2 dx 2x 2 dx 2x dx x ln C x 3x 2 x 3x 2 x 2 x 1 x 1 Chọn D 3x 3 Câu 80. Nguyên hàm dx là: x2 x 2 A. 2ln x 1 ln x 2 C .B. 2ln x 1 ln x 2 C . C. 2ln x 1 ln x 2 C .D. 2ln x 1 ln x 2 C . Hướng dẫn giải Ta có: 3x 3 3x 3 2 1 2 dx dx dx 2ln x 1 ln x 2 C . x x 2 1 x x 2 1 x x 2 Chọn B
  17. x3 3x2 3x 1 1 Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f (x) khi biết F 1 là x2 2x 1 3 x2 2 13 x2 2 13 A. F x x . B. F x x . 2 x 1 6 2 x 1 6 x2 2 x2 2 C. F x x . D. F x x C. 2 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải Chọn A x3 3x2 3x 1 2 x2 2 Ta có dx x 1 dx x C F(x) . 2 2 x 2x 1 (x 1) 2 x 1 1 1 1 13 x2 2 13 Mà F 1 1 1 C C nên F x x . 3 2 3 6 2 x 1 6 ax b Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F x 4a b 0 là nguyên hàm của hàm số f x x 4 2 và thỏa mãn: 2 f x F x 1 f x . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a 1, b 4 .B. a 1, b 1.C. a 1, b ¡ \ 4. D. a ¡ , b ¡ . Hướng dẫn giải Chọn C ax b 4a b Ta có F x là nguyên hàm của f x nên f x F x và x 4 x 4 2 2b 8a f x . x 4 3 2 2 4a b ax b 2b 8a 2 Do đó: 2 f x F x 1 f x 4 1 3 x 4 x 4 x 4 4a b ax b x 4 x 4 1 a 0 a 1 (do x 4 0 ) Với a 1 mà 4a b 0 nên b 4 . Vậy a 1, b ¡ \ 4. Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 4a b 0 nên loại được ngay phương án A: a 1, b 4 và phương án D: a ¡ , b ¡ . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b 0 , a 1. Khi đó, ta có x 4 8 F x , f x , f x . x 4 x 4 2 x 4 3 Thay vào 2 f 2 x F x 1 f x thấy đúng nên Chọn C
  18. DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x 3x 3 x2 là : 2x 3 x 9x x2 5x x 27x2 3 x2 A. C .B. C . 4 8 3 8 2x x 9x2 3 x 2x x 9x2 3 x2 C. C .D. C . 3 5 3 8 Hướng dẫn giải 2 x3 33 x8 2x x 9x2 3 x2 Ta có: x 3x 3 x2 dx 3. C C . 3 8 3 8 Chọn D 1 2 Câu 84. Nguyên hàm của f x 3 là: x 3 x 4 A. 2 x 33 x2 3x C . B. 2 x 3 x2 3x C . 3 1 1 4 C. x 33 x2 3x C .D. x 3 x2 3x C . 2 2 3 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1 2 1 2 3 dx x 2 2x 3 3 dx 2x 2 3x 3 3x C 2 x 33 x2 3x C . 3 x x Chọn A dx Câu 85. Tính thu được kết quả là: 1 x C 2 A. B. 2 1 x C C. C D. 1 x C 1 x 1 x Hướng dẫn giải dx Ta có: 2 1 x C . Chọn B 1 x 1 Câu 86. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x x 1 . Nguyên hàm của f x biết x2 F 3 6 là: 2 3 1 1 2 3 1 1 A. F x x 1 .B. F x x 1 . 3 x 3 3 x 3 2 3 1 1 2 3 1 1 C. F x x 1 .D. F x x 1 . 3 x 3 3 x 3 Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 3 1 x 1 2 dx x 1 C . x 3 x 2 3 1 1 Theo đề bài, ta lại có: F 3 6 3 1 C 6 C . 3 3 3 2 3 1 1 F x x 1 . 3 x 3 Chọn B . dx Câu 87. Cho a(x 2) x 2 b(x 1) x 1 C . Khi đó 3a b bằng: x 2 x 1
  19. 2 1 4 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C dx 2 2 ( x 2 x 1)dx (x 2) x 2 (x 1) x 1 C x 2 x 1 3 3 2 2 a ; b 3 3 4 3a b 3 x 1 Q dx Câu 88. Tìm x 1 ? A. Q x2 1 ln x x2 1 C . B. Q x2 1 ln x x2 1 C . C. Q ln x x2 1 x2 1 C .D. Cả đáp án B,C đều đúng. Hướng dẫn giải x 1 x 1 Điều kiện: 0 x 1 x 1 Trường hợp 1: Nếu x 1 thì x 1 x 1 x 1 Q dx dx dx dx x2 1 ln x x2 1 C 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Trường hợp 2: Nếu x 1 thì x 1 1 x 1 x Q dx dx dx dx ln x x2 1 x2 1 C 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Chọn D 1 Câu 89. Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x m 1 thỏa mãn F 0 0 và 2 x 1 F 3 7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 .B. 3 . C. 3 .D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có F x m 1 dx x 1 m 1 x C . 2 x 1 F 0 0 C 1 0 C 1 Theo giả thiết, ta có . F 3 7 C 3m 8 m 3 Vậy F x x 1 2x 1. Câu 90. Hàm số F x ax b 4x 1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của 12x f x . Tính a b . 4x 1 A. 0 .B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B 2x 6ax a 2b Ta có F x a 4x 1 ax b . . 4x 1 4x 1
  20. 6ax a 2b 12x 6a 12 a 2 Để F x là một nguyên hàm của f x thì 4x 1 4x 1 a 2b 0 b 1 . Do đó a b 1. Câu 91. Biết F x ax2 bx c 2x 3 a, b, c ¢ là một nguyên hàm của hàm số 20x2 30x 11 3 f x trên khoảng ; . Tính T a b c . 2x 3 2 A. T 8.B. T 5 . C. T 6 .D. T 7 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có F x f x . 1 Tính F x 2ax b 2x 3 ax2 bx c . 2x 3 2ax b 2x 3 ax2 bx c 5ax2 3b 6a x 3b c . 2x 3 2x 3 5ax2 3b 6a x 3b c 20x2 30x 11 Do đó 2x 3 2x 3 5ax2 3b 6a x 3b c 20x2 30x 11 5a 20 a 4 3b 6a 30 b 2 T 7 . 3b c 11 c 5
  21. DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2cos 2x là A. 2sin 2x C .B. sin 2x C . C. 2sin 2x C . D. sin 2x C . Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có f x dx 2cos 2x dx 2. sin 2x C sin 2x C . 2 Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 5x 2 là 1 1 A. 5cos5x C .B. cos5x 2x C . C. cos5x 2x C . D. cos5x 2x C . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có f x dx sin 5x 2 dx cos5x 2x C . 5 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x sin 2x là 1 1 A. x2 cos 2x C . B. x2 cos 2x C . C. x2 2cos 2x C . D. x2 2cos 2x C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có f x dx 2x sin 2x dx x2 cos 2x C . 2 Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) cos2 2x là: 1 cos 4x x cos 4x 1 cos 4x x cos 4x A. C .B. C . C. C .D. C . 2 8 2 2 2 2 2 8 Hướng dẫn giải 2 1 cos 4x x sin 4x Ta có: cos 2x.dx dx C . 2 2 8 Chọn D Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x . 6 1 A. f x dx 3sin 3x C . B. f x dx sin 3x C . 6 3 6 1 C. f x dx 6sin 3x C .D. f x dx sin 3x C . 6 3 6 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Áp dụng công thức: cos ax b dx sin ax b C . a F x cos 2x sin x C f x f π Câu 97. Cho là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f π 3 .B. f π 1. C. f π 1. D. f π 0 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: f x F x f x 2sin 2x cos x Do đó: f π 1. dx Câu 98. Tính: 1 cos x
  22. x x 1 x 1 x A. 2 tan C .B. tan C .C. tan C .D. tan C . 2 2 2 2 4 2 Hướng dẫn giải dx dx x Ta có: tan C . x 1 cos x 2cos2 2 2 Chọn B 2 Câu 99. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 6x sin 3x , biết F 0 . 3 cos3x 2 cos3x A. F x 3x2 . B. F x 3x2 1. 3 3 3 cos3x cos3x C. F x 3x2 1.D. F x 3x2 1. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: cos3x f x dx 6x sin 3x dx 3x2 C F x . 3 2 1 2 F 0 0 .1 C C 1. 3 3 3 cos3x Vậy F x 3x2 1. 3 Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) tan2 x là: A. cot x x C .B. tan x x C . C. cot x x C .D. tan x x C . Hướng dẫn giải Ta có: tan2 xdx tan2 x 1 1 dx tan x x C . Chọn B 1 Câu 101. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y và F 0 1. Khi đó, ta có F x là: cos2 x A. tan x .B. tan x 1.C. tan x 1.D. tan x 1. Hướng dẫn giải dx Ta có: F x tan x C . Mà F 0 1 tan 0 C 1 C 1 cos2 x Vậy F x tan x 1. Chọn B Câu 102. Cho hàm số f x sin4 2x . Khi đó: 1 1 A. f x dx 3x sin 4x sin8x C . B. 8 8 1 1 f x dx 3x cos 4x sin8x C . 8 8 1 1 1 1 C. f x dx 3x cos 4x sin8x C .D. f x dx 3x sin 4x sin8x C 8 8 8 8 . Hướng dẫn giải 1 2 1 Ta có: sin4 2x.dx 1 cos 4x dx 1 2cos 4x cos2 4x dx 4 4 1 1 1 3 4cos 4x cos8x dx 3x sin 4x sin8x C . 8 8 8
  23. Chọn D 1 Câu 103. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin 1 2x và thỏa mãn F 1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F x cos 1 2x . B. F x cos 1 2x . 2 2 1 1 C. F x cos 1 2x 1. D. F x cos 1 2x . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 F x f x dx sin 1 2x dx cos 1 2x C cos 1 2x C . 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Mà F 1 cos 1 2. C 1 C 1 C F x cos 1 2x . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 104. Nguyên hàm sin 2x cos x dx là: 1 A. cos 2x sin x C .B. cos 2x sin x C . 2 1 C. cos 2x sin x C .D. cos 2x sin x C . 2 Hướng dẫn giải Ta có: 1 sin 2x cos x dx cos 2x sin x C . 2 Chọn C Câu 105. Nguyên hàm sin 2x 3 cos 3 2x dx là: A. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C .B. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . C. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C .D. 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . Hướng dẫn giải Ta có: sin 2x 3 cos 3 2x dx 2cos 2x 3 2sin 3 2x C . Chọn A 2 Câu 106. Nguyên hàm sin 3x 1 cos x dx là: 1 A. x 3sin 6x 2 sin x C .B. x 3sin 6x 2 sin x C . 2 1 1 C. x 3sin 3x 1 sin x C .D. x 3sin 6x 2 sin x C . 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: 2 1 cos 6x 2 1 1 sin 3x 1 cos x dx cos x dx cos 6x 2 cos x dx 2 2 2 1 x 3sin 6x 2 sin x C 2 Chọn A Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của sin3 x cos3 x dx ? 3 A. 3cos x.sin2 x 3sin x.cos2 x C . B. sin 2x sin x cos x C . 2
  24. C. 3 2 sin 2xsin x C .D. 3 2 sin x.cos x.sin x C . 4 4 Hướng dẫn giải Ta có: sin3 x cos3 x dx 3cos x.sin2 x 3sin x.cos2 x C 3 3 2 sin 2x sin x cos x C sin 2xsin x C 2 2 4 Chọn C Câu 108. Cho hàm số f x cos3x.cos x . Một nguyên hàm của hàm số f x bằng 0 khi x 0 là: sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x A. 3sin 3x sin x B. C. D. 8 4 2 4 8 4 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có: F x cos3x.cos.dx cos 2x cos4x dx sin 4x sin 2x C 2 8 4 1 1 F 0 0 sin 0 sin 0 C 0 C 0 8 4 cos 4x cos 2x Vậy F x 8 4 Chọn D F x f x cot2 x Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số là: A. cot x x C B. cot x x C C. cot x x C D. tan x x C Hướng dẫn giải Ta có: cot2 xdx cot2 x 1 1 dx cot x x C . Chọn B sin 4x Câu 110. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 thỏa mãn F 0 . Tính F 0 . 1 cos x 2 A. F 0 4 6ln 2 .B. F 0 4 6ln 2 . C. F 0 4 6ln 2 .D. F 0 4 6ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Ta có F x f x dx . ' sin 4x 2sin 2x.cos 2x 4sin 2x.cos 2x 2.cos 2x. 3 cos 2x F x dx dx dx dx 2 1 cos 2x 1 cos x 1 3 cos 2x 3 cos 2x 2 3 cos 2x 3 3 2 d 3 cos 2x 2 1 d 3 cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x 2 3 cos 2x 6ln 3 cos 2x C . Do F 0 2 3 cos 6ln 3 cos C 0 C 4 6ln 2 . 2 F 0 2 3 cos0 6ln 3 cos0 4 6ln 2 4 6ln 2 . Cách 2: 2 sin 4x dx F x 2 F F 0 F 0 . 2 0 0 1 cos x 2
  25. 2 sin 4x F 0 dx 0,15888. 2 0 1 cos x 2 Câu 111. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x tan x và F 1. Tính F . 4 4 A. F 1.B. F 1.C. F 1.D. F 1. 4 4 4 2 4 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 tan xdx tan x 1 1 dx tan x x C . Do F 1 tan C 1 C  4 4 4 4 Vậy F tan 1. 4 4 4 4 2 2 3 Câu 112. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x 1 sin x biết F 2 4 3 1 3 1 A. F x x 2cos x sin 2x. B. F x x 2cos x sin 2x. 2 4 2 4 3 1 3 1 C. F x x 2cos x sin 2x. D. F x x 2cos x sin 2x. 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 1 cos 2x 1 sin x dx 1 2sin x sin x dx 1 2sin x dx 2 3 1 x 2cos x sin 2x c 2 4 3 3 1 3 F 2cos sin c c 0 . 2 4 2 2 2 4 4 3 1 Vậy F x x 2cos x sin 2x . 2 4 3sin 3x 2cos3x Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . 5sin 3x cos3x 17 7 17 7 A. x ln 5sin 3x cos3x C. B. x ln 5sin 3x cos3x C. 26 78 26 78 17 7 17 7 C. x ln 5sin 3x cos3x C. D. x ln 5sin 3x cos3x C. 26 78 26 78 Hướng dẫn giải Chọn A 3sin 3x 2cos3x A 5sin 3x cos3x B 15cos3x 3sin 3x 17 A 5A 3B 3 26 A 15B 2 7 B 78
  26. 2 a a Câu 114. Biết sin 2x cos 2x dx x cos 4x C , với a , b là các số nguyên dương, là phân b b số tối giản và C ¡ . Giá trị của a b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 1 Ta có sin 2x cos 2x dx 1 2sin 2x cos 2x dx 1 sin 4x dx x cos 4x C . 4 2 a a 1 Mà sin 2x cos 2x dx x cos 4x C nên a b 5. b b 4 Câu 115. Tính I 8sin 3x cos xdx a cos 4x bcos 2x C . Khi đó, a b bằng A. 3 . B. 1.C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C I 8sin 3x cos xdx 4 sin 4x sin 2x dx cos 4x 2cos 2x C a 1,b 2 . Câu 116. F x là một nguyên hàm của hàm số y 2sin x cos3x và F 0 0 , khi đó cos 2x cos 4x 1 A. F x cos 4x cos 2x . B. F x . 4 8 8 cos 2x cos 4x 1 cos 4x cos 2x 1 C. F x . D. F x . 2 4 4 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C cos 4x cos 2x 1 Ta có y sin 4x sin 2x F x C , vì F 0 0 nên C . 4 2 4 cos 2x cos 4x 1 Nên F x . 2 4 4 Câu 117. Cho ¡ . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f x sin x . x x A. F x cos x . B. F x 2sin sin . 1 2 2 2 x x x x C. F3 x 2sin sin . D. F4 x 2cos sin . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có sin xdx cos x C . Đáp án A là nguyên hàm của hàm số f x sin x . x x 2sin sin cos cos x . Đáp án B là nguyên hàm của hàm số f x sin x . 2 2 x x 2sin sin cos 2 cos x . Đáp án C là nguyên hàm của hàm số 2 2 f x sin x . x x 2cos .sin sin sin x . Đáp án D không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2 f x sin x . 1 Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x tan2 2x . 2 2 1 2 1 x A. tan 2x dx 2 tan 2x 2x C . B. tan 2x dx tan 2x C . 2 2 2
  27. 2 1 2 1 tan 2x x C. tan 2x dx tan 2x x C .D. tan 2x dx C . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 1 1 1 tan 2x x Ta có: tan 2x dx 2 dx C . 2 cos 2x 2 2 2 Câu 119. Hàm số F x ln sin x 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x 3cos x cos x 3sin x A. f x . B. f x . cos x 3sin x sin x 3cos x cos x 3sin x C. f x . D. f x cos x 3sin x . sin x 3cos x Hướng dẫn giải Chọn C cos x 3sin x Ta có f x F x ln sin x 3cos x . sin x 3cos x 7cos x 4sin x 3 Câu 120. Hàm số f x có một nguyên hàm F x thỏa mãn F . Giá trị cos x sin x 4 8 F bằng? 2 3 11ln 2 3 3 3 ln 2 A. .B. . C. . D. . 4 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A 3 11 sin x cos x sin x cos x 3 11 sin x cos x Ta có f x 2 2 . cos x sin x 2 2 cos x sin x 3 11 sin x cos x 3 11 sin x cos x F x f x dx . dx x . dx 2 2 cos x sin x 2 2 cos x sin x 3 11 1 3 11 x d cos x sin x x ln cos x sin x C . 2 2 cos x sin x 2 2 3 3 11 3 11 Mà F ln 2 C C ln 2 4 8 8 2 8 4 3 3 11 Do đó F C ln 2 . 2 4 4 4 sin x I dx Câu 121. Tìm sin x cos x ? 1 A. I x ln sin x cos x C .B. I x ln sin x cos x C . 2 1 C. I x ln sin x cos x C .D. I x ln sin x cos x C . 2 Hướng dẫn giải cos x Đặt: T dx sin x cos x sin x cos x sin x cos x I T dx dx dx x C 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 Ta lại có:
  28. sin x cos x sin x cos x I T dx dx dx sin x cos x sin x cos x sin x cos x d sin x cos x I T ln sin x cos x C 2 sin x cos x 2 1 I x ln sin x cos x C I T x C1 2 Từ 1 ; 2 ta có hệ: I T ln sin x cos x C 1 2 T x ln sin x cos x C 2 Chọn D sinx cos x sinx Câu 14. Biết I dx A B dx . Kết quả của A, B lần lượt là cos x sinx cos x sinx 1 1 1 1 1 1 A. A B . B. A B . C. A , B . D. A , B . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: sin x cos x sinx A cos x sinx B cos x sinx A B cos x sin x cos x sinx cos x sinx sinx=A cos x sinx B cos x sinx (A B)cos x (A B)sinx 1 A A B 0 2 Do đó: A B 1 1 B 2 cos4 x I dx 4 4 Câu 122. Tìm sin x cos x ? 1 1 2 sin 2x 1 2 sin 2x A. I x ln C .B. I x ln C . 2 2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x 1 1 2 sin 2x 1 2 sin 2x C. I x ln C .D. I x ln C . 2 2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x Hướng dẫn giải sin4 x Đặt: T dx sin4 x cos4 x cos4 x sin4 x sin4 x cos4 x I T dx dx dx x C 1 sin4 x cos4 x sin4 x cos4 x sin4 x cos4 x 1 Mặt khác: cos4 x sin4 x cos4 x sin4 x I T dx dx dx sin4 x cos4 x sin4 x cos4 x sin4 x cos4 x cos2 x sin2 x cos 2x I T dx dx 2 2 1 1 2sin x.cos x 1 sin2 x 2 2cos 2x 1 2 sin 2x I T dx ln C 2 2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x
  29. Từ 1 ; 2 ta có hệ: 1 1 2 sin 2x I T x C I x ln C 1 2 2 2 2 sin 2x 1 2 sin 2x I T ln C 2 1 1 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x T x ln C 2 2 2 2 sin 2x Chọn C Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3sin 2x 2cos x ex là A. 6cos 2x 2sin x ex C . B. 6cos 2x 2sin x ex C . 3 3 C. cos 2x 2sin x ex C .D. cos 2x 2sin x ex C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 3 3sin 2x 2cos x ex dx cos 2x 2sin x ex C . 2  Câu 124. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;  \  thỏa mãn f x tan x , 2  5  2 x ; \  , f 0 0, f 1. Tỉ số giữa f và f bằng: 4 4 2  3 4 1 1 ln 2 A. 2 log e 1 .B. 2 .C. .D. 2 1 log e . 2 2 ln 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A ln cos x C khi 0 x 1 2 Ta có f x tan x dx ln cos x C . ln cos x C khi x 2 2 f 0 0 C1 0 và f 1 C2 1. ln cos x khi 0 x 2 Khi đó f x . ln cos x 1 khi x 2 2 1 Suy ra f ln 2 1 và f ln 2. 3 4 2 Vậy tỉ số cần tìm là 2 log2 e 1
  30. DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 52x . 52x 25x A. 52x dx 2. C .B. 52x dx C . ln 5 2ln 5 25x 1 C. 52x dx 2.52x ln 5 C . D. 52x dx C . x 1 Hướng dẫn giải Chọn B 25x 25x Ta có 52x dx 25x dx C C . ln 25 2ln 5 f x e2018x . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 2018x f x dx .e C f x dx e2018x C A. 2018 . B. . f x dx 2018e2018x C f x dx e2018x ln 2018 C C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng. F x f x e2x F 0 1 Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . e2x 1 A. F x e2x .B. F x . C. F x 2e2x 1. D. F x ex . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F x f x dx e2xdx e2x C . 2 1 e2x 1 Theo giả thiết: F 0 1 C . Vậy F x . 2 2 2 Câu 128. Cho F x là một nguyên hàm của f x e3x thỏa mãn F 0 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 1 A. F x e3x . B. F x e3x . 3 3 3 1 1 4 C. F x e3x 1. D. F x e3x . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có F x e3xdx e3x C . 3 1 2 Lại có F 0 1 C 1 C 3 3 3 Câu 129. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex 2x thỏa mãn F 0 . Tìm F x . 2 5 1 A. F x ex x2 . B. F x 2ex x2 . 2 2 3 1 C. F x ex x2 .D. F x ex x2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D
  31. F x ex 2x dx ex x2 C . 3 3 1 F 0 e0 C C . 2 2 2 1 F x ex x2 . 2 Câu 130. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2018x ln 2018 cos x và f 0 2 . Phát biểu nào sau đúng? 2018x A. f x 2018x sin x 1. B. f x sin x 1. ln 2018 2018x C. f x sin x 1.D. f x 2018x sin x 1. ln 2018 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có f x 2018x ln 2018 cos x dx 2018x sin x C Mà f 0 2 20180 sin 0 C 2 C 1 Vậy f x 2018x sin x 1. (2 e3x )2 dx Câu 131. Tính 4 1 4 5 A. 3x e3x e6x C B. 4x e3x e6x C 3 6 3 6 4 1 4 1 C. 4x e3x e6x C D. 4x e3x e6x C 3 6 3 6 Hướng dẫn giải 3x 6x 2 4e e Ta có: 2 e3x dx 4 4e3x e6x dx 4x C . 3 6 Chọn D x x Câu 132. Nếu F x là một nguyên hàm của f (x) e (1 e ) và F(0) 3 thì F(x) là? A. ex x B. ex x 2 C. ex x C D. ex x 1 Hướng dẫn giải Ta có: F x ex . 1 e x dx ex 1 dx ex x C F 0 3 e0 0 C 3 C 2 Vậy F x ex x 2 Chọn B Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ex e x là : A. ex e x C .B. ex e x C . C. ex e x C .D. ex ex C . Hướng dẫn giải Ta có: ex e x dx ex e x C . Chọn A Câu 134. Hàm số F(x) ex e x x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 A. f (x) e x ex 1 B. f (x) ex e x x2 2 1 C. f (x) ex e x 1 D. f (x) ex e x x2 2 Hướng dẫn giải
  32. Ta có: ex e x 1 dx ex e x x C . Chọn C Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e2x e 3x là : e3x e 2x e2x e 3x A. C .B. C . 3 2 2 3 e3x e 3x e 2x e3x C. C . D. C . 2 2 3 2 Hướng dẫn giải e2x e 3x Ta có: e2x e 3x dx C . 2 3 Chọn B Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 32x 2 3x là : 32x 2 3x 32x 2 3x A. C . B. C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 3 2x 23x 3 2x 23x C. C .D. C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 Hướng dẫn giải 32x 2 3x Ta có: 32x 2 3x dx C . 2.ln 3 3.ln 2 Chọn A f (x) 1 Câu 137. Hàm số y f (x) có một nguyên hàm là F x e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số ex . f (x) 1 f (x) 1 A. dx ex e x C .B. dx 2ex e x C . ex ex f (x) 1 f (x) 1 1 C. dx 2ex e x C . D. dx ex e x C . ex ex 2 Hướng dẫn giải Chọn B Vì hàm số y f (x) có một nguyên hàm là F x e2x nên ta có: f x F x 2e2x . 2x f (x) 1 2e 1 x x x x Khi đó: x dx x dx 2e e dx 2e e C . e e Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ex 1 e x . A. f x dx e x C .B. f x dx ex x C . C. f x dx ex e x C . D. f x dx ex C . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f x dx ex 1 dx ex x C . 2 Câu 139. F x là một nguyên hàm của hàm số y xex . Hàm số nào sau đây không phải là F x ? 1 2 1 2 A. F x ex 2 . B. F x ex 5 . 2 2 1 2 1 2 C. F x ex C . D. F x 2 ex . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C
  33. 1 x2 x2 x2 Ta thấy ở đáp án C thì e C xe xe nên hàm số ở đáp án C không là một 2 2 nguyên hàm của hàm y xex . x Câu 140. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 22x 3x . x 4 12x 2x x A. F x C . B. F x 12x x x C . ln12 3 22x 3x x x 22x 3x x x ln 4 C. F x . D. F x . x x ln 2 ln 3 4 ln 2 ln 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A x Ta có f x 22x 3x 12x x x 4 12x 2x x Nên F x 12x x dx C . ln12 3 x x 2018e Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f x e 2017 5 . x 2018 504,5 A. f x dx 2017ex C .B. f x dx 2017ex C . x4 x4 504,5 2018 C. f x dx 2017ex C . D. f x dx 2017ex C . x4 x4 Hướng dẫn giải Chọn B x 5 x 504,5 f x dx 2017e 2018x dx 2017e 4 C . x 22x.3x.7x dx Câu 142. Tính 84x 22x.3x.7x A. C B. C C. 84x C D. 84x ln84 C ln84 ln 4.ln 3.ln 7 Hướng dẫn giải 84x Ta có: 22x.3x.7x dx 84x dx C . ln84 Chọn A e2x 1 2 Câu 143. Nguyên hàm dx là: 3 x e 5 x 5 x 5 x 1 2 5 x 1 2 A. e3 e 3 C .B. e3 e 3 C . 3 3 3 3 5 x 5 x 5 x 1 2 5 x 1 2 C. e3 e 3 C .D. e3 e 3 C . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2x 1 2x 1 x x 5 x 5 x e 2 e 2 2x 1 x 1 5 x 1 2 dx dx e 3 2e 3 dx e3 2e 3 dx e3 e 3 C 3 x x x 3 3 e e 3 e 3 .
  34. Chọn D 1 1 Câu 144. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và F 0 ln 4 . Tập nghiệm S của ex 3 3 phương trình 3F x ln ex 3 2 là A. S 2 . B. S 2;2. C. S 1;2 .D. S 2;1. Hướng dẫn giải dx 1 ex 1 Ta có: F x 1 dx x ln ex 3 C . x x e 3 3 e 3 3 1 1 Do F 0 ln 4 nên C 0 . Vậy F x x ln ex 3 . 3 3 Do đó: 3F x ln ex 3 2 x 2 Chọn A 1 Câu 145. Hàm số F x e3x 1 9x2 24x 17 C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 A. f x x2 2x 1 e3x 1 . B. f x x2 2x 1 e3x 1 . C. f x x2 2x 1 e3x 1 . D. f x x2 2x 1 e3x 1 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 3x 1 2 1 3x 1 2 3x 1 2 F x e 9x 24x 17 3.e 9x 24x 17 e 9x 24x 17 27 27 1 1 3.e3x 1 9x2 24x 17 e3x 1 18x 24 e3x 1 27x2 54x 27 e3x 1 x2 2x 1 27 27 . Câu 146. Cho hai hàm số F x x2 ax b e x và f x x2 3x 6 e x . Tìm a và b để F x là một nguyên hàm của hàm số f x . A. a 1,b 7 .B. a 1,b 7 .C. a 1,b 7 .D. a 1,b 7 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 a 3 a 1 Ta có F x x2 2 a x a b e x f x nên . a b 6 b 7 F xnexdx Câu 147. Tìm ? A. F ex xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n xn C . B. F ex xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n C . C. F n!ex C . D. F xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n ex C . Hướng dẫn giải x x x x Lưu ý: ta luôn có điều sau e f x e . f x e . f x C e f x f x C F ex xn n.xn 1 n xn 1 n 1 xn 2 n n 1 xn 2 n 2 xn 3 n! 1 n 1 x 1 n! 1 n dx F ex xn nxn 1 n n 1 xn 2 n! 1 n 1 x n! 1 n Chọn B Câu 148. Giả sử e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C . Khi đó a b c d bằng
  35. A. -2B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C nên (ax3 bx2 cx d)e2x C ' (3ax2 2bx c)e2x 2e2x (ax3 bx2 cx d) 2ax3 (3a 2b)x2 (2b 2c)x c 2d e2x (2x3 5x2 2x 4)e2x 2a 2 a 1 3a 2b 5 b 1 Do đó . Vậy a b c d 3 . 2b 2c 2 c 2 c 2d 4 d 3 x x 2018e Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số f x e 2017 5 . x 2018 504,5 A. f x dx 2017ex C .B. f x dx 2017ex C . x4 x4 504,5 2018 C. f x dx 2017ex C . D. f x dx 2017ex C . x4 x4 Hướng dẫn giải Chọn B x 5 x 504,5 f x dx 2017e 2018x dx 2017e 4 C . x Câu 150. Giả sử e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C . Khi đó a b c d bằng A. -2B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C nên (ax3 bx2 cx d)e2x C ' (3ax2 2bx c)e2x 2e2x (ax3 bx2 cx d) 2ax3 (3a 2b)x2 (2b 2c)x c 2d e2x (2x3 5x2 2x 4)e2x 2a 2 a 1 3a 2b 5 b 1 Do đó . Vậy a b c d 3 . 2b 2c 2 c 2 c 2d 4 d 3 Câu 151. Cho F x ax2 bx c e2x là một nguyên hàm của hàm số f x 2018x2 3x 1 e2x trên khoảng ; . Tính T a 2b 4c . A. T 3035 .B. T 1007 .C. T 5053. D. T 1011. Hướng dẫn giải Chọn A Vì F x ax2 bx c e2x là một nguyên hàm của hàm số f x 2018x2 3x 1 e2x trên khoảng ; nên ta có: F x f x , với mọi x ; . 2ax2 x 2b 2a 2c b e2x 2018x2 3x 1 e2x , với mọi x ; .
  36. a 1009 2a 2018 2021 2b 2a 3 b . 2 2c b 1 2023 c 4 2021 2023 Vậy T a 2b 4c 1009 2. 4. 3035. 2 4 Câu 152. Biết F x ax2 bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x2 5x 2 e x trên ¡ . Tính giá trị của biểu thức f F 0 . A. e 1 .B. 20e2 .C. 9e .D. 3e . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F x ax2 bx c e x ax2 bx c e x 2ax b e x ax2 bx c e x 2 x F x ax 2a b x b c e Vì F x ax2 bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x2 5x 2 e x trên ¡ nên: 2 x 2 x F x f x ,x ¡ ax 2a b x b c e 2x 5x 2 e ,x ¡ a 2 a 2 2a b 5 b 1 . b c 2 c 1 Như vậy F x 2x2 x 1 e x F 0 2.02 0 1 e 0 1. 2 Bởi vậy f F 0 f 1 2.1 5.1 2 e 9e . 1 Câu 153. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x , thỏa mãn F 0 . Tính giá trị ln 2 biểu thức T F 0 F 1 F 2 F 2017 . 22017 1 22017 1 22018 1 A. T 1009. .B. T 22017.2018 .C. T .D. T . ln 2 ln 2 ln 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2x Ta có: F x f x dx 2x dx C . ln 2 1 1 1 2x Mà F 0 C C 0 F x . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó: T F 0 F 1 F 2 F 2017 20 2 22 22017 1 1 22018 22018 1 . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 2 ln 2