Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 3, Phần 2: Logarit (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 3, Phần 2: Logarit (Có đáp án)

1. GTLN, GTNN BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 8 Câu 1: Cho 1 x 64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log4 x 12log2 x.log . 2 2 2 x A. 64 . B. 96. C. 82.D. 81. 3 2 Câu 2: Cho m loga ab , với a 1, b 1 và P loga b 16logb a . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m 1. B. m . C. m 4 . D. m 2 . 2 Câu 3: Cho m loga ab với a,b 1 và P log2b 54logb a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất? A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. 2 2 2 b Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của P loga b 6 log với a , b là các số thực thay đổi thỏa mãn b a a b a 1 là A. 30. B. 40 .C. 18. D. 60 . Câu 5: Xét các số thực a,b thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức 1 b 7 P 2 loga . logb a a 4 A. PMax 2.B. PMax 1. C. PMax 0. D. PMax 3. 4 Câu 6: Cho 0 a 1 b , ab 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P loga ab . 1 loga b .log a ab b A. P 2 . B. P 4 . C. P 3.D. P 4 . a b2 a Câu 7: Xét các số thực a, b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của P log a a logb . b 1 b b 1 A. P . B. P 1. C. P 3. D. P 9. min 3 min min min a P log a 2log Câu 8: Xét các số thực a, b thỏa mãn b 1 và a b a . Biểu thức a b đạt giá trị b b khỏ nhất khi: A. a b2. B. a2 b3. C. a3 b2. D. a2 b. 1 1 Câu 9: Xét các số thực a, b thỏa mãn b a 1. Biểu thức P loga b log a b đạt giá trị nhỏ 4 4 b nhất khi: 2 1 3 A. log b . B. log b . C. log b . D. log b 3. a 3 a 3 a 2 a
2. Câu 10: Xét các số thực a, b thỏa mãn a 1 b 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log a2b log a3. a2 b A. Pmax 1 2 3. B. Pmax 2 3. C. Pmax 2. D. Pmax 1 2 3. 2 2 a Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa 1 a b . Biểu thức P 2 2log a a log a b 27loga đạt giá b b b trị nhỏ nhất khi: A. a b2. B. a 2b. C. a b 1 D. 2a b 1. Câu 12: Cho các số thực a, b, c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log a bc logb ca 4 log c ab . A. 6 . B. 12 .C. 10. D. 11. Câu 13: Cho các số thực a,b,c 1 thỏa mãn log2 a 1 log2 blog2 c logbc 2 . Tìm gái trị nhỏ nhất của 2 2 2 biểu thức S 10log2 a 10log2 b log2 c . 9 7 A. 4 . B. 3. C. . D. . 2 2 2 2 2 Câu 14: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 5log2 a 16log2 b 27log2 c 1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức S log2 a log2 b log2 blog2 c log2 c log2 a . 1 1 1 1 A. .B. . C. . D. . 16 12 9 8 Câu 15: Với a,b, c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P loga bc 3logb ca 4logc ab . A. 16. B. 6 4 3 .C. 4 6 3 . D. 4 8 3 . Câu 16: Cho các số thực a,b,c 1.Tính logb ca khi biểu thức S loga bc 2logb ca 9logc ab đạt giá trị nhỏ nhất. 8 2 2 1 8 2 2 A. 2 2 . B. . C. 3 2 . D. . 7 7 c c Câu 17: Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn log2 b log2 c log 2log 3.Gọi M,m a b a b b b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P loga b logb c .Tính S 2m 3M . 2 1 A. S . B. S .C. S 3. D. S 2. 3 3 Câu 18: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn b 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P a b 2 10a logb . 1 1 A. 2 log ln10 .B. 2 log . ln10 ln10 1 1 1 1 C. log . D. 2 ln . ln10 ln10 ln10 ln10
3. c c Câu 19: Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn log2 b log2 c log 2log 1. Tìm giá trị a b a b b b lớn nhất của biểu thức P loga b logb c . 1 2 10 2 10 1 1 2 10 10 2 A. . B. .C. . D. . 3 3 3 3 Câu 20: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0 a,b,c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S loga b logb c logc a . 5 2 3 A. 2 2 . B. 3. C. . D. . 3 2 Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn log a.logb logb.log c 3log c.log a 1. Biết giá trị nhỏ m n nhất của biểu thức P log2 a log2 b log2 c là với m, n, p là các số nguyên dương p m và tối giản. Tính T m n p . p A. T 64 . B. T 16 . C. T 102 .D. T 22 . Câu 22: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc e . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức p p M ln a.ln b 2ln b.ln c 5ln c.ln a là với p,q là các số nguyên dương và tối giản. Tính q q S 2 p 3q .Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S 7 . B. S 13.C. S 16 . D. S 19 . a b a b 1 Câu 23: Xét các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 2 2 a P log a a 3logb . b b A. Pmin 19 . B. Pmin 13. C. Pmin 14 .D. Pmin 15. 1 Câu 24: Cho a ;3 và M,mlần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 9 3 3 2 3 9log1 a log1 a log1 a 1. Khi đó giá trị của A 5m 2M là 3 3 3 A. 4. B. 5. C. 8.D. 6. 2 Câu 25: Cho a 1, b 1. Tính S loga ab , khi biểu thức P loga b 8logb a đạt giá trị nhỏ nhất. 1 3 4 A. S 63 2 .B. S . C. S 3 4 . D. S 2 1 3 4 . 2 3 loga b Câu 26: Cho hai số thực b a 1, tính S loga ab , khi biểu thức P loga ab đạt giá trị 2 a loga b nhỏ nhất. 11 4 A. S 4 . B. S .C. S . D. S 3. 4 3
4. 1 1 m Câu 27: Cho hai số thực a 1, b 1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là với log a log b ab 4 ab n m m, n là các số nguyên dương và tối giản. Tính P 2m 3n . n A. P 30. B. P 42 . C. P 24 . D. P 35. Câu 28: Cho các số thực a, b 1;2 thỏa mãn a b . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 3 P 2loga b 4b 4 log b a là m 3 n với m, n là các số nguyên dương. Tính S m n . a A. S 9 . C. S 18 .D. S 54 . C. S 15 . Câu 29: Cho a,b,c 1. Biết rằng biểu thức P loga bc logb ac 4logc ab đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi logb c n.Tính giá trị m n . 25 A. m n 12 . B. m n . C. m n 14 . D. m n 10 . 2 4 2 a Câu 30: Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1, biết P logb 4 logb a đạt giá trị nhỏ nhất bằng b M khi b am . Tính T M m . 7 37 17 35 A. T .B. T . C. T . D. T . 2 10 2 2 1 a Câu 31: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b 1. Biết rằng biểu thức P loga đạt giá trị logab a b lớn nhất khi có số thực k sao cho b ak . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. 0 k .B. k 1. C. 1 k . D. k 0 . 2 2 2 2 Câu 32: Xét hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn b a 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 a b P loga 2 log3 2 b b a 23 16 2 23 16 2 23 8 2 23 8 2 A. .B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 a Câu 33: Cho hai số thực a b 1. Biết rằng biểu thức T loga đạt giá trị lớn nhất là M logab a b khi có số thực m sao cho b am . Tính P M m . 81 23 19 49 A. P . B. P . C. P . D. P . 16 8 8 16 1 Câu 34: Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn b a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 P loga b log a b . 4 b 1 3 9 7 A. . B. .C. . D. . 2 2 2 2
5. Câu 35: Xét các số thực a, b, c 1;2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P logbc 2a 8a 8 logca 4a 16a 16 logab c 4c 4 . 11 A. 3. B. . C. 4 .D. 6 . 2 Câu 36: Xét các số thực a, b thỏa a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 a P log a a 3logb . b b A. 19. B. 13. C. 14 .D. 15. 1 Câu 37: Xét các số thực a, b thỏa b a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 6 1 3 6b 1 3 P loga 4log b a . 8 9 a 23 25 A. m 9 .B. m 12 . C. m . D. m . 2 2 Câu 38: Cho hai số thực a,b thay đổi thỏa mãn a b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 a b P loga 3logb . b a A. 5. B. 5 6 .C. 5 2 6 . D. 4 6 . Câu 39: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x2 4y2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log2 x 2y .log2 2x 4y . 1 1 1 2 A. .B. . C. . D. . 2 4 3 9 Câu 40: Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 2xy 3y2 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P log2 x y là: A. max P 3log2 2 B. max P log2 12 C. max P 12 D. max P 16 1 Câu 41: Cho các số thực x1, x2 , , xn thuộc khoảng ;1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 1 1 P log x x2 log x x3 log x x1 . 1 4 2 4 n 4 A. 2n . B. n. C. 2. D. 4. Câu 42: Cho các số thực a,b thỏa mãn a3 b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức log ab .log a a3 b b P 2 . 3 loga b 1 8 1 1 1 1 A. e8 .B. . C. e 4 . D. . 8 4 Câu 43: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 4b2 1 S loga . 4 4logab b
6. 5 9 13 7 A. .B. . C. . D. . 4 4 4 4 1 Câu 44: Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn b a 1. Biết biểu thức 3 3b 1 2 m P loga 3 12log b a đạt giá trị nhỏ nhất bằng M khi a b . Tính T M m . 4a a 37 28 A. T 15 . B. T 12 . C. T .D. T . 3 3 Câu 45: Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn a b 1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 b 2 3 3 m n S loga b 6 log là m n p với , , p là các số nguyên. Tính b a a T m n p . A. T 1 . B. T 0 .C. T 14 . D. T 6 . Câu 46: Cho các số thực a 1 b 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log a2b log a3 . a2 b A. 1 2 3 . B. 1 2 2 . C. 1 2 3 . D. 1 2 2 . Câu 47: Cho hai số thực dương a,b nhỏ hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4ab P loga logb ab . a 4b 1 2 2 2 2 3 2 2 5 2 A. . B. .C. . D. . 2 2 2 2 3 3 3 Câu 48: Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn log 2 a log 2 b log 2 c 1. Khi biểu thức 3 3 3 a b c P a b c 3 log2 a log2 b log2 c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a b c là 1 A. 3. B. 3.2 3 3. C. 4. D. 6.
7. C – HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C 13.A 14.B 15.C 16.A 17.C 18.B 19.C 20.A 21.D 22.C 23.D 24.D 25.B 26.C 27.A 28.D 29.A 30.B 31.B 32.B 33.A 34.C 35.D 36.D 37.B 38.C 39.B 40.B 41.A 42.B 43.B 44.D 45.C 46.A 47.C 48.C GTLN, GTNN BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT VẬN DỤNG CAO: 8 Câu 1: [DS12.C2.3.D04.d] Cho 1 x 64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log4 x 12log2 x.log 2 2 2 x . A. 64 . B. 96. C. 82.D. 81. Hướng dẫn giải 8 P log4 x 12log2 x.log log4 x 12log2 x(log 8 log x) 2 2 2 x 2 2 2 2 Vì 1 x 64 nên log2 1 log2 x log2 64 0 log2 x 6 Đặt t log2 x với 0 t 6 . Ta có P t 4 12t 2 (3 t) t 4 12t3 36t 2 t 0(L) 3 2 P ' 4t 36t 72t 0  t 6(L) t 3(TM ) Lập bảng biến thiên ta: Pmax 81 khi x 3 Chọn D. 3 2 Câu 2: [DS12.C2.3.D04.d] Cho m loga ab , với a 1, b 1 và P loga b 16logb a . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m 1. B. m . C. m 4 . D. m 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 m 1 loga b Vì a 1,b 1, ta có: 3 loga b 0 2 16 2 16 2 8 8 8 8 3 2 Đặt t loga b , t 0 P loga b t t 3. t . . 12 . loga b t t t t t
8. 8 Dấu “ ” xảy ra khi t 2 t3 8 t 2 . t 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 12 khi log b 2 . Suy ra m 1 2 1 . a 3 Câu 3: [DS12.C2.3.D04.d] Cho m loga ab với a,b 1 và P log2b 54logb a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất? A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. Hướng dẫn giải Chọn A. 1 1 Ta có m log ab log b log b 2m 1 a 2 2 a a 2 1 Lại có P log2 b 54log a 2m 1 54. . a b 2m 1 54 Đặt t 2m 1 t 0 khảo sát hàm P t 2 thấy P 27 t 3 m 2 t min 2 2 2 b Câu 4: [DS12.C2.3.D04.d] Giá trị nhỏ nhất của P loga b 6 log với a , b là các số thực b a a thay đổi thỏa mãn b a 1 là A. 30. B. 40 .C. 18. D. 60 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 2 2 2 b 2 b 2 loga b 6 log 4 loga b 6 log . a 4 loga b 6 1 log a b a b a b a a a 2 2 2 1 2 1 4 loga b 6 1 4 loga b 6 1 b loga b 2 log a a 2 2 2 2 1 2 t 1 2 t 1 Đặt t loga b P 4t 6 1 4t 6 2 4t .6 Theo BĐT Cosy t 2 t 2 t 2 2 2 t 1 Pmin 2 4t .6 Dấu bằng xảy ra khi: t 2 t 1 2 2t 6 2 t 1 t 2 4t 6 t 2 t 1 2t 6 t 2
9. 4 6 22 t 4 4 6 22 2 t 2t(t 2) 6(t 1) 2t (4 6)t 6 0 4 2 2t(t 2) 6(t 1) 2t (4 6)t 6 0 4 6 22 t 4 4 6 22 t 4 Câu 5: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a,b thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu 1 b 7 thức P 2 loga . logb a a 4 A. PMax 2.B. PMax 1. C. PMax 0. D. PMax 3. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 1 b 7 2 3 1 P 2 loga loga b loga b loga b 1 1 logb a a 4 4 2 PMax 1. Câu 6: [DS12.C2.3.D04.d] Cho 0 a 1 b , ab 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 P loga ab . 1 loga b .log a ab b A. P 2 . B. P 4 . C. P 3.D. P 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Do 0 a 1 b , ab 1 nên suy ra loga b 0. 1 loga b Mặt khác ta có logb ab 0 logb a 1 0 0 loga b 1 0 . loga b 4 4 Ta có P log ab 1 log b a 1 log b .log ab a 1 log b log a log b a a a ab 1 ab 1 b 4 4 1 loga b 1 loga b . 1 loga b 1 loga b 1 loga b 1 loga b 1 loga b 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : P 1 loga b 4 . 1 loga b Suy ra P 4 . 3 Đẳng thức xẩy ra 1 loga b 2 loga b 3 a b 1. a b2 Câu 7: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của b 1 a P log a a logb . b b
10. 1 A. P . B. P 1. C. P 3. D. P 9. min 3 min min min Hướng dẫn giải a 1 Từ điều kiện, suy ra . b 1 1 1 log b Ta có P a . 1 loga b loga b 1 Đặt t log b 0 . Do a b2  log a log b2 2  t log b . a b b a 2 1 1 t Khi đó P f t . 1 t t 1 1 Khảo sát hàm f t trên 0; , ta được P f t f 3. 2 2 Chọn C. Câu 8: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn b 1 và a b a . Biểu thức a P log a 2log a b đạt giá trị khỏ nhất khi: b b A. a b2. B. a2 b3. C. a3 b2. D. a2 b. Hướng dẫn giải a 1 Từ điều kiện, suy ra . b 1 1 1 4 Ta có P 4 logb a 1 4 . 1 loga b 1 loga b loga b 1 Đặt t log b 0 . Do a b a  log a log b log a  t 1. a a a a 2 1 4 Khi đó P 4 f t . 1 t t 1 2 Khảo sát f t trên ;1 , ta được f t đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi t . 2 3 2 2 Với t  log b  a2 b3. 3 a 3 Chọn B. 1 Câu 9: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn b a 1. Biểu thức 4 1 P loga b log a b đạt giá trị nhỏ nhất khi: 4 b 2 1 3 A. log b . B. log b . C. log b . D. log b 3. a 3 a 3 a 2 a Hướng dẫn giải 2 1 2 1 1 2 Ta có b 0 b b 0 b b . 2 4 4
11. 1 2 Mà a 1 loga b loga b 2loga b . 4 1 1 1 1 loga b 1 loga b Ta có P loga b .log a b loga b . 2loga b . . 4 2 b 4 2 1 loga b 2 1 loga b Đặt t loga b . Do b a 1 t loga b 1. t Khi đó P 2t f t . 2t 2 3 9 Khảo sát f t trên khoảng 1; , ta được P f t f . 2 2 Chọn C. Câu 10: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn a 1 b 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log a2b log a3. a2 b A. Pmax 1 2 3. B. Pmax 2 3. C. Pmax 2. D. Pmax 1 2 3. Hướng dẫn giải log a2b log a3 log b 2 6 Ta có P log a2b log a3 a a a . a2 b 2 loga a loga b 2 loga b Đặt t loga b . Do a 1 b 0  loga b loga 1 0  t 0. t 2 6 t 6 t 6 Cauchy Khi đó P 1 1 1 2 3. 2 t 2 t 2 t Chọn D. Câu 11: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa 1 a b2 . Biểu thức 2 a P 2 2log a a log a b 27loga đạt giá trị nhỏ nhất khi: b b b A. a b2. B. a 2b. C. a b 1 D. 2a b 1. Hướng dẫn giải b Ta có log a b log a a. log a a 1. b b a b 2 2 27 27 Do đó P 2 2log a a log a a 1 2 log a a 1 . b b log a a b log a a b b 2 Đặt t log a a . Do 1 a b  a b , suy ra b 1 1 a 1 1 loga 1 loga b 1 loga a 1  t 2 . t log a a b 2 2 b 2 27 Khi đó P 2 t 1 f t . t 63 Khảo sát f t trên 2; , ta được f t đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi t 2. 2 2 Với t 2  log a a 2  a b . b
12. Chọn A. Câu 12: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a, b, c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log a bc logb ca 4 log c ab . A. 6 . B. 12 .C. 10. D. 11. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có P log a bc logb ca 4 log c ab log a b log a c logb c log a a 4 log c a log c b 1 4 4 a b loga b loga c logb c 2 4 4 10 . Dấu “=” xảy ra khi 2 . loga b loga c logb c c a Câu 13: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a,b,c 1 thỏa mãn log2 a 1 log2 blog2 c logbc 2 . Tìm 2 2 2 gái trị nhỏ nhất của biểu thức S 10log2 a 10log2 b log2 c . 9 7 A. 4 . B. 3. C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện bài toán, ta có x log2 a, y log2 b, z log2 c x, y, z 0 . 1 Do đó z 1 yz xy yz zx 1 và S 10 x2 y2 z2 . y z Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có 2 2 2 2 x y z x y z 2 12x2 12y2 3z2 2 x y z . 1 1 1 1 1 1 12 12 3 12 12 3 Do đó 10x2 10y2 z2 4 xy yz zx 4 . Chú ý. Ta đánh giá như sau: 10x2 10y2 z2 2k xy yz zx k 0 k 10 x2 k 10 y2 k 1 z2 k x y z 2 2 2 2 x y z 2 k x y z . 1 1 1 k 10 k 10 k 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: 2 x2 y2 z2 x y z . 1 1 1 1 1 1 k 10 k 10 k 1 k 10 k 10 k 1 1 1 1 Vậy cần Chọn k 0 sao cho k k 2 . Ta có kết quả như trên. k 10 k 10 k 1 2 2 2 Câu 14: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 5log2 a 16log2 b 27log2 c 1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức S log2 a log2 b log2 blog2 c log2 c log2 a . 1 1 1 1 A. .B. . C. . D. . 16 12 9 8 Hướng dẫn giải
13. Chọn B. 2 2 2 Đặt x log2 a, y log2 b, z log2 c , ta có 5x 16y 27z 1 và S xy yz zx . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có: 2 x y z 2 11x2 22y2 33z2 6 x y z 1 1 1 11 22 33 1 5x2 16y2 27z2 12 xy yz zx S . 12 Câu 15: [DS12.C2.3.D04.d] Với a,b, c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P loga bc 3logb ca 4logc ab . A. 16. B. 6 4 3 .C. 4 6 3 . D. 4 8 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Sử dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: P loga b loga c 3 logb c logb a 4 logc a logc b loga b 3logb a 3logb c 4logc b loga c 4logc a 2 loga b.3logb a 2 3logb c.4logc b 2 loga c.4logc a 2 3 2 12 4 4 6 3. Câu 16: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a,b,c 1.Tính logb ca khi biểu thức S loga bc 2logb ca 9logc ab đạt giá trị nhỏ nhất. 8 2 2 1 8 2 2 A. 2 2 . B. . C. 3 2 . D. . 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A. Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM – GM ta có: S loga b loga c 2 logb c logb a 9 logc a logc b loga b 2logb a 2logb c 9logc b loga c 9logc a 2 loga b.2logb a 2 2logb b.9logc b 2 loga c.9logc a 2 2 2 18 2 9 6 8 2 . loga b 2logb a 2 3 2 2 Dấu bằng đạt tại 2logb c 9logc b 18 logb ca logb c logb a 2 2 . 2 2 log c 9log a 9 a c Câu 17: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn c c log2 b log2 c log 2log 3.Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất a b a b b b của biểu thức P loga b logb c .Tính S 2m 3M . 2 1 A. S . B. S .C. S 3. D. S 2. 3 3 Hướng dẫn giải
14. Chọn C. Đặt x loga b, y logb c x loga b, y logb c P x y và thay vào điều kiện ta được: x2 y2 xy x 2y 1(*) Từ P x – y y x – P thế vào (*) ta được: x2 x P 2 x x P x 2 x P 1 x2 3 P x P 1 2 0 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 5 3 P 2 4 P 1 2 0 1 P 3 5 5 Vậy m 1 và M S 2m 3M 2.( 1) 3. 3. 3 3 Câu 18: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a,b là hai số thực thỏa mãn b 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P a b 2 10a logb . 1 1 A. 2 log ln10 .B. 2 log . ln10 ln10 1 1 1 1 C. log . D. 2 ln . ln10 ln10 ln10 ln10 Hướng dẫn giải Chọn B. Xét điểm A a;10a , B b;logb Do đồ thị của hai hàm số y 10x , y log x đối xứng nhau qua đường thẳng y x . Do đó khoảng cách giữa hai điểm A, B là AB P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B đối xứng nhau qua y x . Vì vậy A , B cùng nằm trên đường thẳng y x m . Khi đó tọa độ các điểm là A a;10a , B 10a ;a a 1 1 1 AB f (a) 2 10 a min f (a) f log 2 log . ¡ ln10 ln10 ln10 Câu 19: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn c c log2 b log2 c log 2log 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log b log c . a b a b b b a b 1 2 10 2 10 1 1 2 10 10 2 A. . B. .C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 Đặt x loga b , y logb c P x y và thay vào điều kiện ta có x y xy x 2y 1. Khi đó y x P và 2 x2 x P x x P x 2 x P 1 x 2 3 P x P 2 2P 1 0 . Phương trình có nghiệm khi
15. 2 1 2 10 1 2 10 3 P 4 P2 2P 1 0 P . 3 3 Câu 20: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0 a,b,c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S loga b logb c logc a . 5 2 3 A. 2 2 . B. 3. C. . D. . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có loga b , logb c , logc a 0 với 0 a,b,c 1. Sử dụng bất đẳng thức Coossi ta có: loga b logb c 2 loga b.logb c 2 loga c . Do đó S 2 loga c logc a 2 2 loga c. logc a 2 2 . Câu 21: [DS12.C2.3.D04.d] Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn log a.logb logb.log c 3log c.log a 1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức m n m P log2 a log2 b log2 c là với m, n, p là các số nguyên dương và tối giản. p p Tính T m n p . A. T 64 . B. T 16 . C. T 102 .D. T 22 . Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 2: mẹo trắc nghiệm, vai trò của x và z là như nhau nên cho x z ta có P 2x2 y2 P 3x2 2xy 2x2 y2 3P 2 x2 2Pxy y2 0 2 3x 2xy 1 3 17 P2 y2 3P 2 y2 0 P2 3P 2 0 P x 2 Câu 22: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc e . Biết giá trị lớn nhất của p p biểu thức M ln a.ln b 2ln b.ln c 5ln c.ln a là với p,q là các số nguyên dương và tối q q giản. Tính S 2 p 3q .Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S 7 . B. S 13.C. S 16 . D. S 19 . Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt a ex ,b e y ,c ez abc e x y z 1 1 Ta có M ln a.ln b 2ln b.ln c 5ln c.ln a M xy 2yz 5zx . Từ 1 z 1 x y thay vào biểu thức chứa M ta có: 2 2 2 3x 1 1 2 5 5 M 2y 5x 6xy 2y 5x 2 y x 2 2 2 2 2 2 5 5 3 max M x 2, y , z 2 khi 2 2
16. Vậy p 5,q 2 S 16 a b a b 1 Câu 23: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu 2 2 a thức P log a a 3logb . b b A. Pmin 19 . B. Pmin 13. C. Pmin 14 .D. Pmin 15. Hướng dẫn giải Chọn D. Với điều kiện đề bài, ta có 2 a 2 a a a 2 2 P log a a 3logb 2log a a 3logb 4 log a .b 3logb b b b b b b b 2 a 4 1 log a b 3logb b b 2 3 2 3 Đặt t log a b 0 (vì a b 1), ta có P 4(1 t) 4t 8t 4 f (t) . b t t 3 8t3 8t 2 3 (2t 1)(4t 2 6t 3) Ta có f (t) 8t 8 t 2 t 2 t 2 1 1 Vậy f (t) 0 t . Khảo sát hàm số, ta có P f 15 . 2 min 2 1 Câu 24: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a ;3 và M,mlần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 9 3 3 2 3 9log1 a log1 a log1 a 1. Khi đó giá trị của A 5m 2M là 3 3 3 A. 4. B. 5. C. 8.D. 6. Hướng dẫn giải Chọn D. 1 Rút gọn biểu thức P log3 a log2 a 3log a 1. 3 3 3 3 1 Đặt log3 a t . Vì a ;3 t  2;1. 9 1 Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f (t) t3 t 2 3t 1 trên đoạn 2;1bằng cách 3 14 2 lập bảng biến thiên ta thu được M ;m A 5m 2M 6 . 3 3 2 Câu 25: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a 1, b 1. Tính S loga ab , khi biểu thức P loga b 8logb a đạt giá trị nhỏ nhất. 1 3 4 A. S 63 2 .B. S . C. S 3 4 . D. S 2 1 3 4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 4 4 2 4 4 3 Ta có P loga b 8logb a loga b 3.3 loga b. . 3 16 . loga b loga b loga b loga b
17. 3 2 4 3 1 1 4 Dấu bằng xảy ra loga b loga b 4 S 1 loga b . loga b 2 2 3 Câu 26: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực b a 1, tính S loga ab , khi biểu thức loga b P loga ab đạt giá trị nhỏ nhất. 2 a loga b 11 4 A. S 4 . B. S .C. S . D. S 3. 4 3 Hướng dẫn giải Chọn C. log b 1 log b t t 1 Ta có P a a f t . 2 2 2 2 1 loga b t 1 Với t loga b 1, b a 1. 11 1 loga b 4 Do đó f t min f t f 3 . Dấu bằng đạt tại loga b 3 S . 1; 4 3 3 Câu 27: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a 1, b 1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 m m S là với m, n là các số nguyên dương và tối giản. Tính P 2m 3n . log a log b ab 4 ab n n A. P 30. B. P 42 . C. P 24 . D. P 35. Hướng dẫn giải Chọn A. 4 1 5 1 Ta có S loga ab logb ab 1 loga b loga b 1 loga b logb a 4 4 4 5 1 5 9 S 2 log b. .log a 1 . 4 a 4 b 4 4 Vậy m 9, n 4 P 18 12 30 . Câu 28: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a, b 1;2 thỏa mãn a b . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 3 thức P 2loga b 4b 4 log b a là m 3 n với m, n là các số nguyên dương. Tính a S m n . A. S 9 . C. S 18 .D. S 54 . C. S 15 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2 1 1 Ta có log b a 2 . 2 b a log loga b 1 a a Với mọi b 1;2, ta có b2 4b 4 b3 vì tương đương với b 1 b2 4 0 . Dấu bằng đạt tại b 2 . 2 3 Khi đó loga b 4b 4 loga b 3loga b . Đặt x loga b x 1 .
18. 1 1 P 6x 3 x 1 3 x 1 6 . x 1 2 x 1 2 1 3 P 6 3.3 3 x 1 .3 x 1 . 6 3. 9 . x 1 2 1 3 1 1 1 Dấu bằng đạt tại 3 x 1 x 1 x 1 loga b 1 . x 1 2 3 3 3 3 3 Câu 29: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a,b,c 1. Biết rằng biểu thức P loga bc logb ac 4logc ab đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi logb c n.Tính giá trị m n . 25 A. m n 12 . B. m n . C. m n 14 . D. m n 10 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. P loga bc logb ac 4logc ab loga b loga c logb a 4logb c 4logc b Ta có: loga b logb a 2;loga c 4logc a 4;logb c 4logc b 4 Khi đó P 10 m a b a b a b Dấu bằng xảy ra loga c 4logc a loga c 2 logb c 2 Vậy m n 12. 4 2 a Câu 30: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1, biết P logb 4 logb a đạt b giá trị nhỏ nhất bằng M khi b am . Tính T M m . 7 37 17 35 A. T .B. T . C. T . D. T . 2 10 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 4log b 1 Ta có P a . 1 loga b 2loga b Đặt x loga b, 0 x 1 , ta có, 16x2 1 65x3 3x2 3x 1 1 1 7 y 2 , y 3 ; y 0 x min y y . 1 x 2x 2 1 x x2 5 5 2 7 1 7 1 37 Do đó M , m T . 2 5 2 5 10 Câu 31: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b 1. Biết rằng biểu thức 1 a k P loga đạt giá trị lớn nhất khi có số thực k sao cho b a . Mệnh đề nào sau logab a b đây đúng? 1 1 1 1 A. 0 k .B. k 1. C. 1 k . D. k 0 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B.
19. 1 a Ta có P loga loga ab loga a loga b logab a b 2 1 9 9 1 loga b 1 loga b 1 loga b . 2 4 4 1 3 3 3 1 Dấu bằng đạt tại 1 log b log b b a 4 k k 1. a 2 a 4 4 2 Câu 32: [DS12.C2.3.D04.d] Xét hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn b a 1. Tìm giá trị lớn nhất của 2 3 a b biểu thức P loga 2 log3 2 b b a 23 16 2 23 16 2 23 8 2 23 8 2 A. .B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 3 a 3 b 3 3 1 P 2loga logb 8 1 loga b 1 . b 2 a 2 loga b 3 2 3 3 1 Đặt loga b x, (x 1) , ta có P f x 8 1 x 1 và f x 2 24 1 x . 2 x 2x 1 2 f x 0 x 1; . 2 1 2 23 16 2 Lập bảng biến thiên, ta có P max f x f . max 1; 2 2 2 a Câu 33: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a b 1. Biết rằng biểu thức T loga đạt giá logab a b trị lớn nhất là M khi có số thực m sao cho b am . Tính P M m . 81 23 19 49 A. P . B. P . C. P . D. P . 16 8 8 16 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 a T loga 2loga ab loga a loga b 2 1 loga b 1 loga b logab a b 2 1 33 33 2 1 loga b . 4 8 8 1 15 15 15 33 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 log b log b b a16 m , M . a 4 a 16 16 8 15 33 81 Khi đó P . 16 8 16 1 Câu 34: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn b a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 4 1 của biểu thức P loga b log a b . 4 b
20. 1 3 9 7 A. . B. .C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 1 1 1 1 loga b 1 1 2 Ta có log a b . . . , và b 0 b b , do đó 2 a 2 log a 1 2 1 log b 2 4 b log b a b b 1 2 loga b loga b 2loga b . 4 1 loga b Khi đó ta có: P 2loga b . . 2 1 loga b x Đặt x log b, x 1 , f x 2x . a 2 1 x 1 3 f x 2 , f x 0 x 1; . 2 x 1 2 2 3 9 Lập bảng biến thiên ta được min f x f . 1; 2 2 1 1 b b2 b 4 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . 3 1 log b a a 2 3 4 Câu 35: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b, c 1;2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P logbc 2a 8a 8 logca 4a 16a 16 logab c 4c 4 . 11 A. 3. B. . C. 4 .D. 6 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Với x 1;2 ta có x2 4x 4 x3 x 1 x2 4 0 : luôn đúng. 3 3 3 Khi đó ta có P logbc 2a logca 4b logab c logbc 2 logca 4 3 logbc a logca b logab c . 1 1 1 1 3 Mặt khác logbc 2 logca 4 , a, b, c 1;2 , và log2 bc log4 ca log2 2.2 log4 2.2 2 ln a ln b ln c 3 log a log b log c . bc ca ab ln b ln c ln c ln a ln a ln b 2 3 3 Do đó P 3. 6. 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 2 . Câu 36: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 a P log a a 3logb . b b A. 19. B. 13. C. 14 .D. 15.
21. Hướng dẫn giải Chọn D. 4 4 3 P 3 log a 1 3. 2 b 2 log b a 1 loga b a loga b 4 3 Đặt loga b x, 0 x 1 , và f x 3. 1 x 2 x 3 8 1 f x , f x 0 x 0;1 . x2 1 x 3 3 1 1 3 Lập bảng biến thiên, ta có P f 15 . Dấu bằng xảy ra tại x loga b b a . 3 3 1 Câu 37: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa b a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu 6 1 3 6b 1 3 thức P loga 4log b a . 8 9 a 23 25 A. m 9 .B. m 12 . C. m . D. m . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 3 4 4 2 6b 1 2 1 Ta có 4log b a 3 3 , 3b 1 0 b và b a 1 b 9 6 a loga b 1 loga a 3 6b 1 3 2 3 Nên loga loga b 8loga b. 9 3 4 Đặt loga b x x 1 , f x x . x 1 3 12 f x 3x2 , f x 0 x 2 1; . x 1 4 Câu 38: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a,b thay đổi thỏa mãn a b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của 2 a b biểu thức P loga 3logb . b a A. 5. B. 5 6 .C. 5 2 6 . D. 4 6 . Hướng dẫn giải Chọn C. Biến đổi và sử dụng AM-GM, ta có a b P 2loga 3logb 2 1 loga b 3 1 logb a b a 5 3logb a 2loga b 5 2 3logb a.2loga b 5 2 6 . 3 Dấu bằng xảy ra 3log b 2log a log b . a b a 2
22. Câu 39: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x2 4y2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log2 x 2y .log2 2x 4y . 1 1 1 2 A. .B. . C. . D. . 2 4 3 9 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 Theo giả thiết, ta có x 2y x 2y 1 suy ray x 2y . x 2y 2 Vì vậy P log x 2y .log log x 2y 1 log x 2y 2 2 x 2y 2 2 2 1 1 1 log2 x 2y . 2 4 4 1 3 x 2y x 2y 2 x x 2y 2 2 Dấu bằng xảy ra 1 . 1 x 2y 1 y log2 x 2y 2 2 4 2 Câu 40: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 2xy 3y2 4. Giá trị lớn nhất của biểu 2 thức P log2 x y là: A. max P 3log2 2 B. max P log2 12 C. max P 12 D. max P 16 Hướng dẫn giải Chọn B. Từ x2 2xy 3y2 4.Suy ra: Nếu y 0 thì x 2 P 2 Nếu y 0.Ta có: 2 x P 2 4 1 2 2 P 4.2 4 x y y P log2 x y 4. x y 4.2 2 2 2 4 x 2xy 3y x x 2 3 y y 2 x P 4t 8t 4 P 2 2 Đặt t ,t ¡ 2 2 2 t 2t 3 4t 8t 4 y t 2t 3 2P 4 t 2 2P 8 t 3.2P 4 0 . ( Xét P 4 ) 2 Để phương trình có nghiệm: 0 2P 4 2P 4 3.2 p 4 0 2 P P P 2. 2 24.2 0 0 2 12 P log2 12. Vậy giá trị lớn nhất của P là log2 12. 1 Câu 41: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực x1, x2 , , xn thuộc khoảng ;1 . Tính giá trị nhỏ nhất của 4 biểu thức 1 1 1 P log x x2 log x x3 log x x1 . 1 4 2 4 n 4
23. A. 2n . B. n. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 1 2 1 1 Ta có xk 0 xk xk ,xk ;1 do đó với cơ số 0 xk 1 ta có 2 4 4 P log x2 log x2 log x2 2 log x log x log x x1 2 x2 3 xn 1 x1 2 x2 3 xn 1 2.n n log x .log x log x 2n . x1 2 x2 3 xn 1 1 Dấu bằng xảy ra x x x . 1 2 n 2 Câu 42: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a,b thỏa mãn a3 b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức log ab .log a a3 b b P 2 . 3 loga b 1 8 1 1 1 1 A. e8 .B. . C. e 4 . D. . 8 4 Hướng dẫn giải Chọn B. log ab log b 1 Ta có P a a . 3 2 a 2 log b. 3 log b 3 log b 1 8 log b.log 3 log b 1 8 a a a a a b a Đặt x loga b 0 x 3 x 1 Ta có P f x . x 3 x 3x2 6x 11 Suy ra ln f x ln x 1 ln x ln 3 x ln 3x2 6x 11 3 2 f x 1 1 1 6 x 1 x 1 9x 9x 25x 33 . f x x 1 x 3 x 3x2 6x 11 x x 1 3 x 3x2 6x 11 Do đó f x 0 x 1 9x3 9x2 25x 33 0 x 1 0;3 . 1 Suy ra Pmin min f x f 1 . 0;3 8 Câu 43: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a,b lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 4b2 1 S loga . 4 4logab b 5 9 13 7 A. .B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B. a2 4b2 1 1 5 1 Ta có S loga loga ab logb ab loga b logb a . 4 4logab b 4 4 4
24. 5 1 9 Vậy S 2 log b. log a . 4 a 4 b 4 a2 4b2 a 4 Dấu bằng xảy ra 1 . b 2 loga b logb a 4 1 Câu 44: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn b a 1. Biết biểu thức 3 3b 1 2 m P loga 3 12log b a đạt giá trị nhỏ nhất bằng M khi a b . Tính T M m . 4a a 37 28 A. T 15 . B. T 12 . C. T .D. T . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D. 3 2 3b 1 b Ta có 2b 1 b 1 0 3b 1 4b3 . 4a3 a3 Đặt x loga b x 1 với mọi 0 b a 1. 2 b3 1 12 12 P loga 12 3loga b 3 3x 3 a3 b 2 2 log loga b 1 x 1 a a 3 3 12 3 3 12 x 1 x 1 33 x 1 . x 1 . 9 . 2 2 x 1 2 2 2 x 1 2 1 3 12 3 3 Dấu bằng xảy ra x 1 x 3 loga b 3 b a a b . 2 x 1 2 1 28 Vậy M 9,m . Vậy T . 3 3 Câu 45: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn a b 1. Biết giá trị nhỏ nhất của 2 2 b 2 3 3 m n biểu thức S loga b 6 log là m n p với , , p là các số nguyên. Tính b a a T m n p . A. T 1 . B. T 0 .C. T 14 . D. T 6 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 Ta biến đổi đưa về cơ số là a như sau: loga b 2loga b và b log b 1 b 1 a log b 1 log b 1 log log a a a b a 2 b a 2 1 log b 2 a a b a log 2 loga b 1 a a 2 Đặt t loga b 0 t 1 với mọi a b 1.
25. 2 t 1 1 Vì vậy S f t 4t 2 6 min f t f 1 2 1 3 2 3 4 . 3 t 2 0,1 2 Vậy m 2,n 16, p 32 T 14 . Câu 46: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a 1 b 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log a2b log a3 . a2 b A. 1 2 3 . B. 1 2 2 . C. 1 2 3 . D. 1 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. 1 2 loga b 2 6 1 6 Ta có P loga a b 6logb a 1 loga b . 2 2 loga b 2 loga b Với a 1 b 0 loga b 0 do đó 1 6 1 6 P 1 log b 1 2 log b 1 2 3 . a a 2 loga b 2 loga b Câu 47: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực dương a,b nhỏ hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4ab P loga logb ab . a 4b 1 2 2 2 2 3 2 2 5 2 A. . B. .C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 4ab 4ab 4ab 1 loga b Ta có ab và cơ số 0 a 1 nên loga loga ab . a 4b 2 a.4b a 4b 2 3 1 3 1 3 3 2 2 Vì vậy P loga b logb a 2 loga b.logb a 2 . 2 2 2 2 2 2 a 4b a 4b Dấu bằng xảy ra . 1 2 loga b logb a b a 2 Câu 48: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn 3 3 3 3 3 3 a b c log 2 a log 2 b log 2 c 1. Khi biểu thức P a b c 3 log2 a log2 b log2 c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a b c là 1 A. 3. B. 3.2 3 3. C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn C. Trắc nghiệm: Biểu thức P đạt được giá trị lớn nhất tại các điểm biên của đoạn 1;2 thỏa mãn 3 3 3 log2 a log2 b log2 c 1 và do a,b,c có vai trò bình đẳng nên ta được a b 1,c 2 a b c 4 Tự luận: 3 3 3 + Đặt x log2 a, y log2 b, z log2 c x, y, z 0;1 và x y z 1 3 3 3 Ta được P 2x 2 y 2z 3x.2x 3y.2 y 3z.2z
26. + Ta chứng minh được 2x x 1, x 0;1 2x x 1 0 Và khi A B C 0 thì A3 B3 C3 3ABC 3 3 Khi đó 2x x 3 1 3 3x.2x 2x 3x.2x x3 1 Tương tự 3 3 2 y 3y.2 y y3 1 và 2z 3z.2z z3 1 P x3 y3 z3 3 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x; y; z 0;0;1 và các hoán vị của nó a;b;c 1;1;2 và các hoán vị của nó a b c 4 .