›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 6: Phương trình Lôgarit (Có đáp án)

docx 69 trang nhungbui22 12/08/2022 2180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 6: Phương trình Lôgarit (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_giai_tich_lop_12_mu_logarit_chu_de_6_phuong_trinh_l.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 6: Phương trình Lôgarit (Có đáp án)

  1. CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit. 2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a, b 0, a 1 Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga f (x) b 3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit Đưa về cùng cơ số f (x) 0  loga f (x) loga g(x) , với mọi 0 a 1 f (x) g(x) Đặt ẩn phụ Mũ hóa Phương pháp hàm số và đánh giá B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 2 Câu 1: Cho hàm số f (x) log3 (x 2x) . Tập nghiệm S của phương trình f '(x) 0 là: A. S  . B. S 1 2;1 2 .C. S 0;2 . D. S 1. Câu 2: Tìm tập nghiệm S của phương trình log4 x 2 2 . A. S 16.B. S 18 . C. S 10. D. S 14. Câu 3: Tìm nghiệm của phương trình log2 x 1 3. A. x 9 . B. x 7 . C. x 8 . D. x 10 . 3 2 Câu 4: Tìm số nghiệm thực của phương trình log x 1 2x 2x 3x 1 3. A. B0. C.1 . D.2 . 3. 2 Phương trình log x2 2 8 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? Câu 5: 4 2 A. 2. B. 3. C. 4. D. 8. Câu 6: Số nghiệm của phương trình log x 1 2 2 . A. 2 . B. 1. C. 0 . D. một số khác. x Câu 7: Số nghiệm của phương trình log2 2 1 2 bằng A. 0 .B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 8: Số nghiệm của phương trình log2 x x 1 1 là A. 1. B. 3 .C. 2 . D. 0 . Câu 9: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình log2 x x 3 1. Khi đó x1 x2 bằng: 3 17 A. 3 . B. 2 . C. 17 . D. . 2 Câu 10: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình log2 x x 1 1. Khi đó tích x1.x2 bằng: A. 2 . B. 1. C. 1. D. 2.
  2. 2x 1 Câu 11: Điều kiện xác định của phươg trình log là: 9 x 1 2 A. x 1; .B. x ¡ \[ 1;0]. C. x 1;0 . D. x ;1 . Câu 12: Điều kiện xác định của phươg trình log2x 3 16 2 là: 3 3 3 A. x ¡ \ ;2 . B. x 2 .C. x 2 . D. x . 2 2 2 Câu 13: Phương trình 1 log9 x 3log9 x log3 x 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 0B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 14: Cho hàm số f x log3 x 2x . Tập nghiệm S của phương trình f x 0 là A. S  . B. S 1 2. C. S 0;2 . D. S 1. 81 Câu 15: Tích các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x là : 2 4 8 16 24 1 A. . B. 2 .C. 1. D. 3 . 2 Câu 16: Số nghiệm của phương trình log2 x.log3 (2x 1) 2log2 x là: A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Câu 17: Điều kiện xác định của phương trình log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 2 3 6 là: A. x 1.B. x 1. C. x 0, x 1. D. x 1 hoặc x 1. 2 Câu 18: Điều kiện xác định của phươg trình log x (2x 7x 12) 2 là: A. x 0;1  1; . B. x ;0 . C. x 0;1 . D. x 0; . Câu 19: Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn log log log 21000 0. Giá trị lớn nhất của 2 2a 2b ab là: A. 500 . B. 375 . C. 250 . D. 125. Câu 20: Định điều kiện của m để: log3 5;logm 2;log5 3 tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự). log 5 log 3 1 A. m 3 5 B. m 2. 2 log3 5 log5 3 1 C. m 4log3 5 log5 3 D. m 4log3 5 log5 3 Câu 21: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx ln x 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2;3 . ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 1 ln 3 1 A. ; . B. ;  ; .C. ; .D. ; . 2 3 2 3 2 e 3 e 4 2 Câu 22: Tìm m để phương trình x 5x 4 log2 m có 8 nghiệm phân biệt: A. 0 m 4 29 B. Không có m C. 1 m 4 29 D. 4 29 m 4 29 Câu 23: Tìm m để phương trình m.ln 1 x ln x m có nghiệm x 0;1 . A. m 0; . B. m 1;e . C. m ;0 . D. m ; 1 . Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln m 2sin x ln m 3sin x sin x có nghiệm? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
  3. Câu 25: Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện log9 x log6 y log4 x y và x a b , với a,b là hai số nguyên dương. Tính ab . y 2 A. a.b 5. B. a.b 1. C. a.b 8. D. a.b 4
  4. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 2 Câu 26: Số nghiệm của phương trình log2 x 3 log2 6x 10 1 0 là: A. Vô nghiệm.B. 1. C. 2 . D. 3 . x x Câu 27: Phương trình log1 2 1 log3 4 5 1 có tập nghiệm là tập nào sau đây? 3 1 1  A. 1;2. B. 3; . C. ;9 .D. 0;1 . 9 3  2 Câu 28: Tập nghiệm của phương trình log2 x 1 log2 2x là 1 2  A. . 1 2 B. 2;41. C. 1 2;1 D.2 . .  2  2 Câu 29: Tìm tập nghiệm S của phương trình log2 x 4x 3 log2 4x 4 A. S 1 ;7. B. S 7 . C. S 1. D. S 3;7. Câu 30: Tập nghiệm của phương trình log(x2 x 6) x log(x 2) 4 là A. {3}. B. {2}.C. {4}. D. {1}. 2log x2 x 1 log x 1 Câu 31: Giải phương trình 2 2 . A. vô nghiệm.B. x 2. C. x 0, x 2. D. x 3. 3 2 Câu 32: Cho phương trình log5 x 2 log 1 x 6 0 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 5 x3 2 0 x3 2 0 A. 1 x2 6 0 . B. 1 . 3 2 3 2 x x 8 0 x x 8 0 3 2 x2 6 0 x 2 x 6 0 C. 1 .D. 1 . 3 2 3 2 x x 8 0 x x 8 0 Câu 33: Số nghiệm của phương trình log5 5x log25 5x 3 0 là: A. 3. B. 4.C. 1. D. 2. Câu 34: Số nghiệm của phương trình ln x2 6x 7 ln x 3 là: A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. 2 Câu 35: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình log3 x x 5 log3 2x 5 . Khi đó x1 x2 bằng: A. 5. B. 3. C. 2 .D. 7. Câu 36: Số nghiệm của phương trình log4 x 12 .log x 2 1 là: A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. Câu 37: Một bạn giải bất phương trình lôgarit log5 x 1 x 3 x 5 log5 x 3 x 5 1 như sau: Bước 1: Điều kiện: x 1 x 3 x 5 0 x 1;3  5; x 1;3  5; . x 3 x 5 0 x ;3  5; Bước 2:
  5. Tập xác định: D 1;3  5; . Bước 3: 1 log5 x 1 log5 x 3 log5 x 5 log5 x 3 log5 x 5 log5 x 1 0 x 1 1 x 2. Bước 4: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là: T  . A. Bước 1. B. Bước 2.C. Bước 3. D. Bước 4. Câu 38: Số nghiệm của phương trình log x 3 1 log x là: 2 2 A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. 2 Câu 39: Trong giờ kiểm tra, một học sinh giải phương trình 2log2 (x 1) log2 (x 2) 0 bằng 3 bước như sau: x 1 0 x 1 Bước 1: Điều kiện 2 (x 2) 0 x 2 Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình trở thành 2log2 (x 1) 2log2 (x 2) 0 2log2 [(x 1).(x 2)] 0 (x 1)(x 2) 1 3 5 x 2 2 3 5 Bước 3: x 3x 1 0 . So với điều kiện nhận x . 3 5 2 x 2 Hỏi học sinh trên làm sai ở bước nào? A. Bước 1.B. Bước 2. C. Bước 3. D. Không sai bước nào. Câu 40: Giải phương trình log4 x 1 log4 x 3 3. A. x 1 2 17. B. x 1 2 17. C. x 33. D. x 5. Câu 41: Điều kiện xác định của phương trình log(x2 6x 7) x 5 log(x 3) là: x 3 2 A. x 3 2 . B. x 3. C. . D. x 3 2 . x 3 2 Câu 42: Điều kiện xác định của phương trình log2 (x 5) log3 (x 2) 3là: A. x 5 . B. x 2. C. 2 x 5 .D. x 5. x Câu 43: Điều kiện xác định của phương trình log (x 1) log là: 5 5 x 1 A. x 1; . B. x 1;0 . C. x ¡ \[ 1;0]. D. x ;1 . Câu 44: Số nghiệm của phương trình log4 log2 x log2 log4 x 2 là: A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. log (x 2) log(tan1 ) log(tan 2 ) log(tan 3 ) log(tan89 ) Câu 45: Cho phương trình 3     . Giá trị x nào sau đây là nghiệm của phương trình trên? A. x 2 B. x 2 3 C. x 5 D. Đáp án khác. 2 x1, x2 x1 x2 Câu 46: Phương trình log3 (5x 3) log1 (x 1) 0 có 2 nghiệm trong đó .Giá trị của 3 P 2x 3x 1 2 là A. 5.B. 14. C. 3. D. 13. 3 2 Câu 47: Số nghiệm của phương trình log2 (x 1) log2 (x x 1) 2log2 x 0 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
  6. log x 2 .log x 2log x 2 Câu 48: Nghiệm nhỏ nhất của phương trình 3 5 3 là: 1 A. .B. 3. C. 2. D. 1. 5 2 3 Câu 49: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: log x 1 2 log 4 x log 4 x 4 2 8 A. 1 nghiệmB. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm log (x 1)2 log 2x 1 2. Câu 50: Tìm số nghiệm của phương trình 3 3 A. 3. B. 2. C. D0. 1. log (mx 3) log (m2 1) 0 Câu 51: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình 2 3 2 3 có nghiệm bằng 1? m 1 m 1 A. B. C. m 3 D. m 3 m 1 m 2 Câu 52: Phương trình log 3 log 3 0 có bao nhiêu nghiệm trên ? a3 2 4 a ¡ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 log x log x 2 log m Câu 53: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 3 3 có nghiệm? A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. 2log (3x 1) 1 log (2x 1) log (x2 2x 8) 1 log (x 2) Câu 54: Hai phương trình 5 3 5 và 2 1 lần 2 lượt có 2 nghiệm duy nhất là x1, x2 . Tổng x1 x2 là? A. 8. B. 6. C. 4. D. 10. 3 3 2 Câu 55: Tổng các nghiệm của phương trình 1 log2 x 1 log2 x 3x 3x có dạng a c b b a,b,c ¥ . Giá trị a b c là: b A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log 3 x 2 log 2 x 1 m có ba nghiệm phân 2 3 biệt. A. m 3 .B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 . Câu 57: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2log2 x log2 x 3 m có ba nghiệm thực phân biệt. A. m 0;2 . B. m 0;2 .C. m ;2 . D. m 2 . Câu 58: Phương trình log mx 6x3 2log 14x2 29x 2 0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi: 2 1 2 39 A. m 19 B. m 39 C. 19 m D. 19 m 39 2 log (x 1) log (mx 8) Câu 59: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2 có hai nghiệm thực phân biệt là: A. 3. B. 4. C. 5. D. vô số. 3 2 Câu 60: Tìm m để phương trình log2 mx 6x log 1 14x 29x 2 0 có 3 nghiệm phân biệt: 2 39 39 3 39 A. 19 m B. m C. m D. Đáp án khác. 2 2 38 2
  7. Câu 61: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 log3 (1 x ) log1 (x m 4) 0 . 3 1 21 21 1 A. m 0. B. 5 m . C. 5 m . D. m 2 . 4 4 4 4 Câu 62: Cho các số thực dương x, y thay đổi thoả mãn log x 2y log x log y. Biết giá trị nhỏ nhất 2 x y2 4 a a của biểu thức P e1 2y .e1 x là eb với a,b là các số nguyên dương và tối giản. Tính b S a b. A. S 3. B. S 9 .C. S 13. D. S 2 Câu 63: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log2 x log2 y log4 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x2 y2 . 3 3 A. 2 4 . B. 2 2 . C. 4 . D. 4 2 . Câu 64: Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x 3y log x 3y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x y . 4 5 2 2 A. . B. . C. 10 . D. 1 . 3 3
  8. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 5 Câu 65: Phương trình log 2 log x . x 2 2 A. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương. B. Vô nghiệm. C. Có một nghiệm âm.D. Có hai nghiệm dương. 3 2 Câu 66: Nghiệm bé nhất của phương trình log2 x 2log 2 x log2 x 2 là: 1 1 A. x 4 . B. x . C. x 2 .D. x . 4 2 1 2 Câu 67: Nếu đặt t log2 x thì phương trình 1 trở thành phương trình nào? 5 log2 x 1 log2 x A. t 2 5t 6 0 . B. t 2 5t 6 0 . C. t 2 6t 5 0 . D. t 2 6t 5 0 . Câu 68: Nếu đặt t log x thì phương trình log2 x3 20log x 1 0 trở thành phương trình nào? A. 9t 2 20 t 1 0 . B. 3t 2 20t 1 0 . C. 9t 2 10t 1 0 . D. 3t 2 10t 1 0. Câu 69: Nếu đặt t log2 x thì phương trình log2 4x log x 2 3trở thành phương trình nào? 1 1 A. t 2 t 1 0 . B. 4t 2 3t 1 0 . C. t 1. D. 2t 3. t t 1 2 Câu 70: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 1. Khi đó x1.x2 bằng: 4 log2 x 2 log2 x 1 1 1 3 A. .B. . C. . D. . 2 8 4 4 1 2 Câu 71: Phương trình 1 có tích các nghiệm là: 4 ln x 2 ln x 1 A. e3 . B. . C. e . D. 2 . e 2 Câu 72: Phương trình log5 (2x 1) 8log5 2x 1 3 0 có tập nghiệm là: A. 1; 3. B. 1;3 .C. 3;63. D. 1;2. x x log2 x 3log x 2 0 Câu 73: Gọi 1 , 2 là các nghiệm của phương trình 2 2 . Giá trị của biểu thức P x2 x2 1 2 bằng bao nhiêu? A. 20 . B. 5 . C. 36. D. 25 . 2 Câu 74: Tích các nghiệm của phương trình log x (125x)log25 x 1 là 1 7 630 A. . B. 630. C. . D. . 125 25 625 2 2 Câu 75: Giả sử phương trình: log5 x 2log25 x 3 0 có hai nghiệm x1, x2 x1 x2 . Khi đó giá trị 1 biểu thức P 15x x bằng: 1 5 2 1876 28 A. . B. 100. C. .D. 28. 625 25 2 Câu 76: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình log 1 x 3 1 log3 x 3 0. Khi đó tích x1.x2 3 bằng A. 3 3 1. B. 3 3. C. 3. D. 3 3. 2 Câu 77: Phương trình log2 (x 1) 6log2 x 1 2 0 có tổng các nghiệm là: A. 18.B. 4 . C. 3 . D. 6 .
  9. x , x log 2 log x 0 x .x Câu 78: Gọi 1 2 là nghiệm của phương trình x 16 . Khi đó tích 1 2 bằng: A. 1.B. 1. C. 2. D. 2 . Câu 79: Nghiệm lớn nhất của phương trình log3 x 2log2 x 2 log x là : A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000. x x x Câu 80: Nếu đặt t log2 5 1 thì phương trình log2 5 1 .log4 2.5 2 1 trở thành phương trình nào? A. t 2 t 2 0 . B. 2t 2 1. C. t 2 t 2 0 . D. t 2 1. log9 x log9 x log3 27 2 2 Câu 81: Biết phương trình 4 6.2 2 0 có hai nghiệm x1, x2 . Khi đó x1 x2 bằng : 82 A. 6642 . B. . C. 20 . D. 90. 6561 1 1 7 Câu 82: Biết phương trình log2 x 0 có hai nghiệm x1, x2 . Khẳng định nào sau đây là log2 x 2 6 đúng? 2049 2047 2049 2047 A. x3 x3 . B. x3 x3 . C. x3 x3 . D. x3 x3 . 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 Câu 83: Nghiệm nguyên của phương trình log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 là: 2 3 6 A. x 1. B. x 1. C. x 2 . D. x 3. 2 a Câu 84: Nghiệm của phương trình 4log2 2x xlog2 6 2.3log2 4x có dạng tối giản, tính a b b A. 1. B. 1.C. 5 . D. 4 . Câu 85: Phương trình 9xlog9 x x2 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 2 Câu 86: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x 2log2 x m 0 có nghiệm x 2. A. m 1. B. m 3. C. m 3. D. m 3. 2 Câu 87: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log2 x (m 1)log2 x 4 m 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;4 là 10 10 10 A. 3 m 4. B. 3 m . C. m 4 .D. 3 m . 3 3 3 Câu 88: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x log x2 2 m 0 có nghiệm 3 3 x 1;9. A. 0 m 1.B. 1 m 2 . C. m 1. D. m 2 . 2 2 Câu 89: Tìm m để phương trình log2 x log2 x 3 m có nghiệm x 1;8. A. 3 m 6. . B. 6 m 9 C. 2 m 6 D. 2 m 3 2 Câu 90: Định m để phương trình: log 2 x log2 x 3 m 0 có nghiệm x 0;1 : 1 1 1 1 m B. m C. 0 m D. m A. 4 2 4 2 2 2 Câu 91: Với giá trị nào của m thì: log 3 x log 3 x 1 3m có nghiệm trên 1;3 . 1 2 1 m 1 2;1 B. m ; A. 3 3 1 1 2 C. m ; D. m ;1 3 3
  10. Câu 92: Định điều kiện cho tham số m để: log m log m log m 0 có nghiệm. x mx m2 x m 0 A. m 0 B. C. m 1 D. m 1 m 1 2 Câu 93: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3 x m 2 log3 x 3m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 27.? A. m 2 . B. m 1.C. m 1. D. m 2 . 2 Câu 94: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3 x 2log3 x m 1 0 có nghiệm? A. m 2 .B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . 2 Câu 95: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log4 x 3log4 x 2m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 A. m . B. m . C. m . D. 0 m . 8 8 8 8 2 Câu 96: Giả sử m là số thực sao cho phương trình log3 x m 2 log3 x 3m 2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 9. Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây? A. Bm. 4;6 . C.m 1;1 . D.m 3;4 . m 1;3 . 2 2 Câu 97: Số nghiệm của phương trình log3 x 2x log5 x 2x 2 là A. B3. C.2 . D.1 . 4. log2 x (m 2)log x 3m 1 0 x , x Câu 98: Tìm m để phương trình 3 3 có hai nghiệm 1 2 thỏa mãn x .x 27 1 2 . 28 A. m 4 2 2 B. m 1 C. m 3 D. m 3 Câu 99: Phương trình log2 x.log4 x.log6 x log2 x.log4 x log4 x.log6 x log2 x.log6 x có tổng các nghiệm là A. 1. B. 12. C. 13.D. 49 . 2 2 Câu 100: Giá trị nào của m để phương trình log3 x log3 x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm 1,3 3 thuộc đoạn . A. 1 m 16 . B. 4 m 8.C. 0 m 2 . D. 3 m 8 . x x 1 Câu 101: Phương trình log3 3 1 .log3 (3 3) 6 có: A. 2 nghiệm dương. B. 1 nghiệm dương. C. Phương trình vô nghiệm D. 1 nghiệm kép. 2 Câu 102: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình log3 x m 2 .log3 x 3m 1 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1.x2 27 . 4 28 A. m 1. B. m . C. m 25. D. m . 3 3 log2 4 x 2 3 Câu 103: Biết rằng phương trình x 2 4. x 2 có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 . Tính 2x1 x2 . A. 1. B. 3 . C. 5 .D. 1. 2 2 Câu 104: Tìm số nghiệm của phương trình: log2x 1 2x x 1 log x 1 2x 1 4 1 . A. 0. B. 1.C. 2. D. 3. Câu 105: Cho các số thực a,b 1 và phương trình loga ax logb bx 2018 có hai nghiệm phân biệt m
  11. 2 2 3 A. 1 a0 2 . B. e a0 e . C. 2 a0 3. D. e a0 e . Câu 106: Biết rằng khi m,n là các số dương khác 1, thay đổi thỏa mãn m n 2017 thì phương trình 8logm x.logn x 7logm x 6logn x 2017 0 luôn có hai nghiệm phân biệt a,b . Biết 3 c 7 d giá trị lớn nhất của ln ab là ln ln với c,d là các số nguyên dương. Tính 4 13 8 13 S 2c 3d . A. S 2017 B. S 66561 C. S 64544 D. S 26221 Câu 107: Cho các số thực a,b 1 và phương trình loga ax logb bx 2018 có hai nghiệm phân biệt m và n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4a2 9b2 36m2n2 1 . A. 144 B. 72 C. 36 D. 288 Câu 108: Biết rằng khi m,n là các số nguyên dương thay đổi và lớn hơn 1 thì phương trình 8logm x.logn x 7logm x 6logn x 2017 0 luôn có hai nghiệm phân biệt a,b . Tính S m n để ab là một số nguyên dương nhỏ nhất. 500 700 650 A. S .B. S . C. S . D. S 200 . 3 3 3 Câu 109: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b 10 . Gọi m,n là hai nghiệm của phương trình loga x logb x 2loga x 3logb x 1 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S mn 16875 4000 A. B. C. 15625 D. 3456 16 27 Câu 110: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b 10 . Gọi m,n là hai nghiệm của phương trình loga x logb x 2loga x 3 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S mn . 279 81 45 A. B. 90 C. D. 4 4 2 Câu 111: Cho ba số thực a,b,c thay đổi lớn hơn 1 thỏa mãn a b c 100. Gọi m,n là hai nghiệm 2 của phương trình loga x 1 2loga b 3loga c loga x 1 0 . Tính S a 2b 3c khi mn đạt giá trị lớn nhất. 500 700 650 A. S B. S C. S D. S 200 3 3 3 2 Câu 112: Xét các số thực dương a,b thỏa mãn log2 a 2log2 a 2 2 log2 a 1 sin log2 a b 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 2a 3b . 3 3 9 A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 2 2 2 Câu 113: Cho a,b nguyên dương lớn hơn 1. Biết 11loga x logb x 8loga x 20logb x 11 0 có tích hai nghiệm là số tự nhiên nhỏ nhất. Tính S 2a 3b . A. S 28 B. S 10 C. S 22 D. S 15 Câu 114: Cho m và n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm của phương trình 8 logm x logn x 7logm x 6logn x 2017 0 . Khi P là một số nguyên, tìm tổng m n để P nhận giá trị nhỏ nhất? A. m n 20. B. m n 48.C. m n 12 . D. m n 24.
  12. Câu 115: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln2 x bln x 5 0 có hai nghiệm 2 phân biệt x1, x2 và phương trình 5log x blog x a 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1x2 x3 x4 . Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S 2a 3b . A. Smin 30 . B. Smin 25. C. Smin 33 . D. Smin 17 . Câu 116: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 2 1 5 m 1 log 1 x 2 4 m 5 log 1 4m 4 0 có nghiệm thực trong đoạn ;4 : 2 2 x 2 4 7 A. m 3 .B. 3 m . 3 7 7 C. m . D. 3 m . 3 3 Câu 117: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình x x log2 5 1 .log4 2.5 2 m có nghiệm x 1. 1 1 A. ; . B. ; . C. 1; .D. 3; . 2 4 2 2 Câu 118: Tìm giá trị của tham số m để phương trình log2 x log2 x 1 2m 5 0 có nghiệm 1;2 3 . trên đoạn A. m ; 20; . B.  2; . C. m ;0 .D. m  2;0. Câu 119: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 log2 x log 1 x 3 m log4 x 3 có nghiệm thuộc 32; ? 2 A. m 1; 3 . B. m 1; 3 . C. m 1; 3 . D. m 3;1 . 2 2 1 Câu 120: Tìm m để phương trình : m 1 log 1 x 2 4 m 5 log 1 4m 4 0 có nghiệm trên 2 2 x 2 5 ,4 2 7 7 A. 3 m . B. m ¡ . C. m  . D. 3 m . 3 3 Câu 121: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 log2 x log 1 x 3 m log4 x 3 có nghiệm thuộc 32; ? 2 A. m 1; 3 . B. m 1; 3 . C. m 1; 3 . D. m 3;1 . x x Câu 122: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 5 1 .log4 2.5 2 m có nghiệm x 1.? A. m 2; .B. m 3; . C. m ( ;2]. D. m ;3. 2 2 Câu 123: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3 x log3 x 1 2m 1 0 1;3 3 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn ? A. m [0;2]. B. m (0;2) . C. m (0;2] . D. m [0;2) .
  13. 2 1 2 Câu 124: Cho phương trình 4log9 x mlog1 x log 1 x m 0( m là tham số ). Tìm m để 3 6 3 9 phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 A. 1 m 2 . B. 3 m 4.C. 0 m . D. 2 m 3. 2
  14. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA x Câu 125: Phương trình log2 (4 2 ) 2 x tương đương với phương trình nào sau đây? A. 4 2x 2 x B. 4 2x 22 x C. (2x )2 4.2x 4 0 D. Cả 3 đáp án trên đều sai. x Câu 126: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log5 25 log5 m x có nghiệm duy nhất. m 1 1 A. m . B. m 1.C. 1 . D. m 1. 4 5 m 4 5 x 5.2 8 log2 4x Câu 127: Cho x thỏa mãn phương trình log2 x 3 x . Giá trị của biểu thức P x là 2 2 A. P 4 B. P 1 C. P 8 D. P 2 x Câu 128: Phương trình log2 3.2 1 2x 1có bao nhiêu nghiệm? A. 1.B. 2. C. 3. D. 0. x x 1 Câu 129: Số nghiệm nguyên dương của phương trình log2 4 4 x log 1 2 3 là: 2 A. 2.B. 1. C. 3. D. 0. 2 Câu 130: Cho phương trình 4.5log(100x ) 25.4log(10x) 29.101 log x . Gọi a và b lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó tích ab bằng: 1 1 A. 0 .B. 1. C. . D. . 100 10 x 3 Câu 131: Với giá trị nào của m thì phương trình log2 (4 2m ) x có 2 nghiệm phân biệt? 1 4x 1 A. m B. m 3 C. 0 m D. m 0 2 2 2
  15. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ 2 2 Câu 132: Số nghiệm của phương trình log3 x 2x log5 x 2x 2 là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 133: Cho phương trình 2log3 cotx log2 cos x . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên  khoảng ; 6 2 A. 4 B. 3C. 2 D. 1 2 Câu 134: Phương trình log3 x x 1 x 2 x log3 x có bao nhiêu nghiệm A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm x2 2x 1 Câu 135: Cho phương trình log x2 1 3x có tổng tất cả các nghiệm bằng 3 x A. 5 .B. 3 . C. 5 . D. 2 . Câu 136: Phương trình: ln x2 x 1 ln 2x2 1 x2 x có tổng bình phương các nghiệm bằng: A. 5 .B. 1. C. 9 . D. 25 . Câu 137: Tổng tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x 1 2 x m 2 .log2 x 2x 3 4 .log2 2 x m 2 có đúng ba nghiệm phân biệt là: A. 4 B. 2 C. 0 D. 3 Câu 138: Tập hợp các giá trị của m để phương trình mln 1 2x x m có nghiệm thuộc ;0 là A. ln 2; .B. 0; . C. 1;e . D. ;0 . 2 Câu 139: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x m có hai nghiệm phân log3 x 1 biệt. A. 1 m 0 .B. m 1. C. Không tồn tại m . D. 1 m 0 . 2 x 1 x 1 Câu 140: Biết phương trình log 2log có nghiệm duy nhất x a b 2 trong 5 3 x 2 2 x đó a,b là các số nguyên. Tính a b ? A. 5 B. 1 C. 1 D. 2
  16. C – HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.A 15.C 16.A 17.B 18.A 19.A 20.C 21.D 22.C 23.A 24.B 25.A 26.B 27.D 28.A 29.B 30.C 31.B 32.D 33.C 34.D 35.D 36.D 37.C 38.A 39.B 40.B 41.A 42.D 43.A 44.D 45.D 46.B 47.A 48.B 49.B 50.D 51.B 52.B 53.A 54.A 55.D 56.B 57.C 58.C 59 60.A 61.C 62.C 63.A 64.A 65.D 66.D 67.A 68.C 69.A 70.B 71.A 72.C 73.A 74.A 75.D 76.A 77.B 78.B 79.A 80.A 81.A 82.A 83.A 84.C 85.A 86.D 87.D 88.B 89.C 90.A 91.B 92.A 93.C 94.B 95.A 96.B 97.B 98.B 99.D 100.C 101.C 102.A 103.D 104.C 105.A 106.B 107.A 108.B 109.D 110.A 111.B 112.A 113.A 114.C 115.A 116.B 117.D 118.D 119.A 120.A 121.A 122.B 123.A 124.C 125.D 126.C 127.C 128.B 129.B 130.B 131.C 132.B 133.C 134.A 135.B 136.B 137.D 138.B 139.B 140.A PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: 2 Câu 1: [DS12.C2.6.D01.a] Cho hàm số f (x) log3 (x 2x) . Tập nghiệm S của phương trình f '(x) 0 là: A. S  . B. S 1 2;1 2 .C. S 0;2 . D. S 1. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 x 0 Điều kiện: x 2x 0 x 2 2 2x 2 Ta có f (x) log3 (x 2x) x2 2x ln 3 Vậy f (x) 0 2x 2 0 x 1 (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 2: [DS12.C2.6.D01.a] Tìm tập nghiệm S của phương trình log4 x 2 2 . A. S 16.B. S 18 . C. S 10. D. S 14. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có x 2 0 x 2 x 2 log x 2 2 x 18 . 4 2 2 log4 x 2 log4 4 x 2 4 x 18 Câu 3: [DS12.C2.6.D01.a] Tìm nghiệm của phương trình log2 x 1 3. A. x 9 . B. x 7 . C. x 8 . D. x 10 . Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x 1. Phương trình tương đương với x 1 8 x 9
  17. 3 2 Câu 4: [DS12.C2.6.D01.a] Tìm số nghiệm thực của phương trình log x 1 2x 2x 3x 1 3. A. B0. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B. x 1 Điều kiện: . Ta có phương trình tương đương x 0 2x3 2x2 3x 1 x3 3x2 3x 1 x3 x2 6x 0 x 0  x 3 x 2. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x 3. 2 Phương trình log x2 2 8 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? Câu 5: [DS12.C2.6.D01.a] 4 2 A. 2. B. 3. C. 4. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 log x2 2 8 1 4 2 ĐK: x2 2 0 x 2 2 2 8 2 x 4 x 2  x 2 1 x2 2 4 2 x2 2 4 2 x 0 x 0. Câu 6: [DS12.C2.6.D01.a] Số nghiệm của phương trình log x 1 2 2 . A. 2 . B. 1. C. 0 . D. một số khác. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 2 x 11 Ta có log x 1 2 log10 x 1 100 . x 9 x Câu 7: [DS12.C2.6.D01.a] Số nghiệm của phương trình log2 2 1 2 bằng A. 0 .B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2x 1 0 x 0 5 Ta có log 2x 1 2 x log . 2 x 1 5 2 2 1 x log2 4 4 4 Câu 8: [DS12.C2.6.D01.a] Số nghiệm của phương trình log2 x x 1 1 là A. 1. B. 3 .C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. pt x x 1 2 x2 x 2 0 x 1 hoặc x 2 . Câu 9: [DS12.C2.6.D01.a] Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình log2 x x 3 1. Khi đó x1 x2 bằng: 3 17 A. 3 . B. 2 . C. 17 . D. . 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x 3 Điều kiện: x 0 2 log2 x x 3 1 x x 3 2 x 3x 2 0
  18. Vậy x1 x2 3. [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3. Câu 10: [DS12.C2.6.D01.a] Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình log2 x x 1 1. Khi đó tích x1.x2 bằng: A. 2 . B. 1. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện x 0 hoặc x 1 2 x1 1 log2 x x 1 1 x x 2 0 x1.x2 2 x2 2 Vậy chọn đáp ánA. 2x 1 Câu 11: [DS12.C2.6.D01.a] Điều kiện xác định của phươg trình log là: 9 x 1 2 A. x 1; .B. x ¡ \[ 1;0]. C. x 1;0 . D. x ;1 . Hướng dẫn giải 2x Biểu thức log xác định: 9 x 1 2x 0 x 1 x 0 x ( ; 1)  (0; ) x 1 Câu 12: [DS12.C2.6.D01.a] Điều kiện xác định của phươg trình log2x 3 16 2 là: 3 3 3 A. x ¡ \ ;2 . B. x 2 .C. x 2 . D. x . 2 2 2 Hướng dẫn giải 3 2x 3 0 x 3 Biểu thức log2x 3 16 xác định 2 x 2 2x 3 1 2 x 2 Câu 13: [DS12.C2.6.D01.b] Phương trình 1 log9 x 3log9 x log3 x 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 0B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải Giải phương trình: 1 log9 x 3log9 x log3 x 1. Điều kiện xác định: x ≥ 1 1 log9 x 3log9 x log3 x 1 1 log9 x 3log9 x 2log9 x 1 1 2log9 x 2log9 x 1 1 log9 x 3 log9 x 2log9 x 1 1 log9 x 3 log9 x 1 0 2log9 x 1 vì: 1 log9 x 3log9 x 1 0 x = 3. Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3. Chọn B. 2 Câu 14: [DS12.C2.6.D01.b] Cho hàm số f x log3 x 2x . Tập nghiệm S của phương trình f x 0 là A. S  . B. S 1 2. C. S 0;2 . D. S 1. Hướng dẫn giải Chọn A.
  19. 2 x 0 Điều kiện: x 2x 0 . x 2 2 2x 2 1 2x 4x 4 f x , f x . x2 2x .ln 3 ln 3 2 2 x 2x Pt: f x 0 2x2 4x 4 0 vô nghiệm. 81 Câu 15: [DS12.C2.6.D01.b] Tích các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x là : 2 4 8 16 24 1 A. . B. 2 .C. 1. D. 3 . 2 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0. 81 1 1 1 81 Ta có: log2 x.log4 x.log8 x.log16 x log2 x log2 x log2 x log2 x 24 2 3 4 24 1 log4 81 log x 3 x 8 hoặc x . (thỏa mãn điều kiện) 2 2 8 1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S ;8 x1.x2 1. 8  Câu 16: [DS12.C2.6.D01.b] Số nghiệm của phương trình log2 x.log3 (2x 1) 2log2 x là: A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải x 0 1 x PT 2x 1 0 2 log x log (2x 1) 2 0 log2 x.log3 (2x 1) 2log2 x 2  3  1 1 x x 2 2 x 1 . log x 0 x 1 2 x 5 log3 (2x 1) 2 x 5 Câu 17: [DS12.C2.6.D01.b] Điều kiện xác định của phương trình log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 là: 2 3 6 A. x 1.B. x 1. C. x 0, x 1. D. x 1 hoặc x 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x x2 1 0 2 Phương trình xác định khi và chỉ khi : x x 1 0 x 1 x2 1 0 [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x 1(thuộc A, D) vào biểu thức log x x2 1 được log ( 1) không xác định, 2 2 1 3 Thay x (thuộc C) vào biểu thức x2 1 được không xác định 2 4 Vậy loại A, C, D chọn đáp ánB.
  20. 2 Câu 18: [DS12.C2.6.D01.b] Điều kiện xác định của phươg trình log x (2x 7x 12) 2 là: A. x 0;1  1; . B. x ;0 . C. x 0;1 . D. x 0; . Hướng dẫn giải 2 Biểu thức log x (2x 7x 12) xác định x 0 x 0 x 1 x 1 x (0;1)  (1; ) 2 7 47 2x 7x 12 0 2 2 (x ) 0 4 16 VẬN DỤNG: Câu 19: [DS12.C2.6.D01.c] Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn log log log 21000 0. 2 2a 2b Giá trị lớn nhất của ab là: A. 500 . B. 375 . C. 250 . D. 125. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có biến đổi mũ và loagarit a log log log 21000 0 log log 21000 1 log 21000 2a 21000 2b.2 b.2a 1000 2 2a 2b 2a 2b 2b Do a,b là các số nguyên dương nên 10002a a 3. +) Nếu a 3 b 125 ab 375 . +) Nếu a 2 b 250 ab 500. +) Nếu a 1 b 500 ab 500 . Vậy giá trị lớn nhất của ab là 500. Câu 20: [DS12.C2.6.D01.c] Định điều kiện của m để: log3 5;logm 2;log5 3 tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự). log 5 log 3 1 A. m 3 5 B. m 2. 2 log3 5 log5 3 1 C. m 4log3 5 log5 3 D. m 4log3 5 log5 3 Hướng dẫn giải Nhắc lại công thức A, B, C được gọi là cấp số cộng khi 2.B A C (theo thứ tự) m 0 Điều kiện m 1 Để log3 5;logm 2;log5 3 tạo thành 1 cấp số cộng thì: 1 log3 5 log5 3 2 2.logm 2 log3 5 log5 3 log2 m log2 m 2 log3 5 log5 3 2 1 m 2log3 5 log5 3 4log3 5 log5 3 Chọn C Câu 21: [DS12.C2.6.D01.c] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx ln x 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2;3 . ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 1 ln 3 1 A. ; . B. ;  ; .C. ; .D. ; . 2 3 2 3 2 e 3 e Hướng dẫn giải
  21. Chọn D. ln x Với x 2;3 ta có mx ln x 0 m x ln x 1 ln x Xét hàm số y , y y 0 x e x x2 Bảng biến thiên: 2 e 3 x 0 y ' 1 y e ln 2 ln 3 2 3 ln x Dựa vào BBT, phương trình m có 2 nghiệm phân biệt thuộc 2;3 khi và chỉ khi x ln 3 1 m . 3 e VẬN DỤNG CAO: 4 2 Câu 22: [DS12.C2.6.D01.d] Tìm m để phương trình x 5x 4 log2 m có 8 nghiệm phân biệt: A. 0 m 4 29 B. Không có m C. 1 m 4 29 D. 4 29 m 4 29 Hướng dẫn giải Chọn C. a Phân tích: Đặt log2 m a 0 khi đó m 2 . Xét hàm số f x x4 5x2 4 .ta sẽ xét như sau, vì đây là hàm số chẵn nên đối xứng trục Oy. Do vậy ta sẽ xét hàm g x x4 5x2 4trên ¡ , sau đó lấy đối xứng để vẽ đồ thị hàm y f x thì ta giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành ta được P1 , lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành qua trục hoành ta được P2 , khi đó đồ thị hàm số y f x là P P1  P2 . Lúc làm thì quý độc giả có thể vẽ nhanh và suy diễn nhanh. 9 Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì 0 a 1 m 4 29 4 Câu 23: [DS12.C2.6.D01.d] Tìm m để phương trình m.ln 1 x ln x m có nghiệm x 0;1 . A. m 0; . B. m 1;e . C. m ;0 . D. m ; 1 . Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện 0 x 1. Cách 1: 1 x 1 x 1 Chọn m 1 ta có ln 1 x ln x 1 ln ln e e x (thỏa mãn). x x e 1 Vậy loại các phương án B, C,D. Cách 2: Thật vậy: ln x m.ln 1 x ln x m m x 0;1 ; ln 1 x 1
  22. 1 1 ln x ln 1 x ln x x x 1 x Xét hàm số y x 0;1 ; y 2 0 x 0;1 ln 1 x 1 1 ln 1 x Ta có bảng biến thiên x 0 1 y y 0 Vậy m 0; Câu 24: [DS12.C2.6.D01.d] Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln m 2sin x ln m 3sin x sin x có nghiệm? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải m 2sin x ln m 3sin x ln m 2sin x ln m 3sin x m 3sin x ln m 3sin x a ln a b ln b a b m 2sin x ln m 3sin x m 3sin x ln m 3sin x sin x m 3sin x esin x m esin x 3sin x . Xét hàm số f t et 3t với t  1;1. Vì f t et 3 0 t  1;1 nên: sin x 1 max e 3sin x f 1 3 1 e e 3 m 3 . sin x e min e 3sin x f 1 e 3 Chọn B. Câu 25: [DS12.C2.6.D01.d] Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x a b log x log y log x y và , với a,b là hai số nguyên dương. Tính ab . 9 6 4 y 2 A. a.b 5. B. a.b 1. C. a.b 8. D. a.b 4 Hướng dẫn giải Chọn A. t t t • Ta đặt t log9 x log6 y log4 x y x 9 ; y 6 ; x y 4 t 3 1 5 2t t loai 3 3 2 2 Ta có: 9t 6t 4t 1 t 2 2 3 1 5 nhan 2 2
  23. t t x a b 9 3 1 5 Mà . Do đó: a 1;b 5 và a.b 5. y 2 6 2 2
  24. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: 2 Câu 26: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình log2 x 3 log2 6x 10 1 0 là: A. Vô nghiệm.B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: x 3 . 2 2 x 3 x 3 1 2 x 2 Phương trình log2 1 x 3x 2 0 6x 10 6x 10 2 x 1 So điều kiện nhận nghiệm x 2 nên phương trình có 1 nghiệm. x x Câu 27: [DS12.C2.6.D02.a] Phương trình log1 2 1 log3 4 5 1 có tập nghiệm là tập nào sau 3 đây? 1 1  A. 1;2. B. 3; . C. ;9 .D. 0;1 . 9 3  Hướng dẫn giải. Chọn D. x x x x log1 2 1 log3 4 5 1 log3 4 5 log3 3 log3 2 1 3 log 4x 5 log 3 2x 1 4x 5 3 2x 1 3 3 x 2 2 1 x 0 2x 3.2x 2 0 x 2 2 x 1 2 Câu 28: [DS12.C2.6.D02.a] Tập nghiệm của phương trình log2 x 1 log2 2x là 1 2  A. 1 2 . B. 2;41. C. 1 2;1 2. D. .  2  Hướng dẫn giải. Chọn A. 2 x 1 0 2 x 1 2 Điều kiện: x 1.Khi đó PT x 1 2x 2x 0 x 1 2 Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là 1 2 . 2 Câu 29: [DS12.C2.6.D02.a] Tìm tập nghiệm S của phương trình log2 x 4x 3 log2 4x 4 A. S 1 ;7. B. S 7 . C. S 1. D. S 3;7. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 log2 x 4x 3 log2 4x 4 . x 3 x 3 x 7. 2 2 x 4x 3 4x 4 x 8x 7 0 Câu 30: [DS12.C2.6.D02.a] Tập nghiệm của phương trình log(x2 x 6) x log(x 2) 4 là A. {3}. B. {2}.C. {4}. D. {1}. Hướng dẫn giải
  25. Chọn C. x2 x 6 0 Điều kiện: x 3 . x 2 0 Khi đó log(x2 x 6) x log(x 2) 4 log x 2 log x 3 x log x 2 4 log x 3 4 x x 4 . Giải thích vế trái hàm đồng biến – Vế phải nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất! 2log x2 x 1 log x 1 Câu 31: [DS12.C2.6.D02.a] Giải phương trình 2 2 . A. vô nghiệm.B. x 2. C. x 0, x 2. D. x 3. Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình tương đương với: x 1 0 log x2 x 1 log x 1 x 2 . 2 2 2 x x 1 x 1 3 2 Câu 32: [DS12.C2.6.D02.a] Cho phương trình log5 x 2 log 1 x 6 0 1 . Mệnh đề nào dưới 5 đây sai? x3 2 0 x3 2 0 A. 1 x2 6 0 . B. 1 . 3 2 3 2 x x 8 0 x x 8 0 3 2 x2 6 0 x 2 x 6 0 C. 1 .D. 1 . 3 2 3 2 x x 8 0 x x 8 0 Hướng dẫn giải Chọn D. x3 2 0 Điều kiện của phương trình là . 2 x 6 0 Do đó với x3 2 x2 6 0 ta không thể suy ra điều kiện này. 3 3 3 2 x 2 x 2 Khi đó 1 log5 x 2 log5 x 6 0 log5 2 0 log5 1 2 1 x 6 x 6 x3 x2 8 0 . Câu 33: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình log5 5x log25 5x 3 0 là: A. 3. B. 4.C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải x 1 x 1 x 0 PT 1 1 log5 (5x) log25 (5x) 3 0 log5 (5x) log5 (5x) 3 0 log5 (5x) 3 0 2 2 x 1 x 1 x 1 x 55 . 6 5 log5 (5x) 6 5x 5 x 5 Câu 34: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình ln x2 6x 7 ln x 3 là: A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]
  26. x 3 x 3 0 x 3 ln x2 6x 7 ln x 3 x 5 2 2 x 5 x 6x 7 x 3 x 7x 10 0 x 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính ln X 2 6X 7 ln X 3 0 Ấn SHIFT CALC nhập X=4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn =. Máy hiện X=5. Ấn Alpha X Shift STO A ln X 2 6X 7 ln X 3 Ấn AC. Viết lại phương trình: 0 X A Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =. Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. 2 Câu 35: [DS12.C2.6.D02.a] Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình log3 x x 5 log3 2x 5 . Khi đó x1 x2 bằng: A. 5. B. 3. C. 2 .D. 7. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 5 x 2x 5 0 2 x 5 log x2 x 5 log 2x 5 3 3 2 x 5 x x 5 2x 5 x 2 x 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2. Câu 36: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình log4 x 12 .log x 2 1 là: A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. Hướng dẫn giải Điều kiện : 0 x 1 2 2 x 3 log4 x 12 .log x 2 1 log2 x 12 log2 x x x 12 0 x 4 Loại x 3 Chọn D. Câu 37: [DS12.C2.6.D02.a] Một bạn giải bất phương trình lôgarit log5 x 1 x 3 x 5 log5 x 3 x 5 1 như sau: Bước 1: Điều kiện: x 1 x 3 x 5 0 x 1;3  5; x 1;3  5; . x 3 x 5 0 x ;3  5; Bước 2: Tập xác định: D 1;3  5; . Bước 3: 1 log5 x 1 log5 x 3 log5 x 5 log5 x 3 log5 x 5 log5 x 1 0 x 1 1 x 2. Bước 4: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là: T  . A. Bước 1. B. Bước 2.C. Bước 3. D. Bước 4.
  27. Hướng dẫn giải Bước thứ 3 sai vì điều kiện xác định của bất phương trình 1 là x 1;3  5; nên khi x 2 thì x 3 2 3 1 0 nên không tồn tại log5 x 3 , học sinh đã sai lầm ở bước này. Vậy đáp án chính xác là đáp ánC. Câu 38: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình log x 3 1 log x là: 2 2 A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. Giải Chọn A. Điều kiện: x 0 x 1 2 2 Phương trình log2 x 3 log2 2x 2x x 3 0  x 2 3 So sánh điều kiện x là nghiệm duy nhất của phương trình. 2 Câu 39: [DS12.C2.6.D02.a] Trong giờ kiểm tra, một học sinh giải phương trình 2 2log2 (x 1) log2 (x 2) 0 bằng 3 bước như sau: x 1 0 x 1 Bước 1: Điều kiện 2 (x 2) 0 x 2 Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình trở thành 2log2 (x 1) 2log2 (x 2) 0 2log2 [(x 1).(x 2)] 0 (x 1)(x 2) 1 3 5 x 2 2 3 5 Bước 3: x 3x 1 0 . So với điều kiện nhận x . 3 5 2 x 2 Hỏi học sinh trên làm sai ở bước nào? A. Bước 1.B. Bước 2. C. Bước 3. D. Không sai bước nào. Hướng dẫn giải Dò từng bước của học sinh để tìm lỗi sai. Bước 1: Đây là bước tìm điều kiện, không có lỗi gì. Bước 2: Học sinh giải bài này đã sai ở việc đem mũ 2 ra ngoài mà không đặt (x 2) trong dấu trị tuyệt đối. Phương trình đúng phải là: 2log2 (x 1) 2log2 x 2 0 2 loga b 2loga b Rõ ràng với điều kiện đã giải: x 1 ta không thể nào xác định được x 2 là dương hay âm nên phải đặt trong dấu trị x 2 tuyệt đối. Vậy bài giải trên sai ở bước 2. Chọn B. Câu 40: [DS12.C2.6.D02.a] Giải phương trình log4 x 1 log4 x 3 3. A. x 1 2 17. B. x 1 2 17. C. x 33. D. x 5. Hướng dẫn giải Chọn B. Đk x 3 2 Ta có log4 x 1 log4 x 3 3 log4 x 1 x 3 3 x 2x 67 0
  28. x 1 2 17 x 1 2 17 Kết hợp với điều kiện ta có x 1 2 17 là nghiệm của phương trình. Câu 41: [DS12.C2.6.D02.a] Điều kiện xác định của phương trình log(x2 6x 7) x 5 log(x 3) là: x 3 2 A. x 3 2 . B. x 3. C. . D. x 3 2 . x 3 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x 3 2 x2 6x+7 0 Điều kiện phương trình: x 3 2 x 3 2 x 3 0 x 3 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính log(X 2 6X 7) X 5 log(X 3) Nhấn CALC và cho X 1 máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và D. Nhấn CALC và cho X 4 (thuộc đáp án B) máy tính không tính được. Vậy loại B. Câu 42: [DS12.C2.6.D02.a] Điều kiện xác định của phương trình log2 (x 5) log3 (x 2) 3là: A. x 5 . B. x 2. C. 2 x 5 .D. x 5. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x 5 0 x 5 PT xác định khi và chỉ khi: x 5 x 2 0 x 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính log2 (X 5) log3 (X 2) 3 Nhấn CALC và cho X 1 máy tính không tính đượC. Vậy loại đáp án B vàC. Nhấn CALC và cho X 5(thuộc đáp án D) máy tính không tính đượC. Vậy loạiD. x Câu 43: [DS12.C2.6.D02.a] Điều kiện xác định của phương trình log (x 1) log là: 5 5 x 1 A. x 1; . B. x 1;0 . C. x ¡ \[ 1;0]. D. x ;1 . Hướng dẫn giải x x 0 x 1 x 0 Biểu thức log5 (x 1) và log5 xác định x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 chọn đáp ánA. Câu 44: [DS12.C2.6.D02.b] Số nghiệm của phương trình log4 log2 x log2 log4 x 2 là: A. 0. B. 2. C. 3.D. 1. Hướng dẫn giải x 0 log x 0 x 1 2 PT log x 0 1 1 4 log2 log2 x log2 log2 x 2 2 2 log log x log log x 2 22 2 2 22 x 1 x 1 1 1 3 log log x log log log x 2 log log x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
  29. x 1 x 1 x 1 x 16 . log2 log2 x 2 log2 x 4 x 16 Câu 45: [DS12.C2.6.D02.b] Cho phương trình log (x 2) log(tan1 ) log(tan 2 ) log(tan 3 ) log(tan89 ) 3     . Giá trị x nào sau đây là nghiệm của phương trình trên? A. x 2 B. x 2 3 C. x 5 D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải Điều kiện x 2 log(tan1) log(tan 2) log(tan 3) log(tan89) log[tan1.tan 2.tan 3 tan89] =log[ tan1.cot1.tan 2.cot 2 tan 45.cot 45] log1 0 log (x 2) 0 x 2 1 x 3 Vậy phương trình đã cho trở thành: 3 (nhận) Quan sát thấy A,B,C không phải giá trị nghiệm cần tìm. Chọn D 2 x1, x2 Câu 46: [DS12.C2.6.D02.b] Phương trình log3 (5x 3) log1 (x 1) 0 có 2 nghiệm trong đó 3 x x P 2x 3x 1 2 .Giá trị của 1 2 là A. 5.B. 14. C. 3. D. 13. Hướng dẫn giải 5x 3 0 3 x PT 2 5 log3 (5x 3) log1 (x 1) 0 2 3 log3 (5x 3) log3 (x 1) 0 3 3 3 3 x x x x 5 x 1 5 5 5 x 1 2 2 2 x 4 log 3 (5x 3) log 3 (x 1) 5x 3 x 1 x 5x 4 0 x 4 Vậy 2x1 3x2 2.1 3.4 14 . 3 2 Câu 47: [DS12.C2.6.D02.b] Số nghiệm của phương trình log2 (x 1) log2 (x x 1) 2log2 x 0 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải x 0 3 x 0 x 1 0 PT x3 1 x2 x 1 0 0 2 2 x (x x 1) log (x3 1) log (x2 x 1) 2log x 0 2 2 2 x 0 x 0 x 0 (x 1)(x2 x 1) x  . 0 x 1 0 x 1 2 2 x (x x 1) log x 2 .log x 2log x 2 Câu 48: [DS12.C2.6.D02.b] Nghiệm nhỏ nhất của phương trình 3 5 3 là: 1 A. .B. 3. C. 2. D. 1. 5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x 2
  30. log x 2 .log x 2log x 2 2log x 2 .log x 2log x 2 3 5 3 3 5 3 x 3 log3 x 2 0 log3 x 2 0 1 log x 1 log x 1 x 5 5 5 So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x 3. [Phương pháp trắc nghiệm] log X 2 .log X 2log X 2 Nhập vào màn hình máy tính 3 5 3 1 Nhấn CALC và cho X (số nhỏ nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án A. 5 Nhấn CALC và cho X 1 ta thấy sai. Vậy loại đáp án D. Nhấn CALC và cho X 2 ta thấy sai. Vậy loại đáp án C. Câu 49: [DS12.C2.6.D02.b] Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 2 3 log x 1 2 log 4 x log 4 x 4 2 8 A. 1 nghiệmB. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Hướng dẫn giải x 1 0 2 3 4 x 4 log x 1 2 log 4 x log 4 x 4 2 8 (2) Điều kiện: 4 x 0 x 1 4 x 0 2 (2) log2 x 1 2 log2 4 x log2 4 x log2 x 1 2 log2 16 x 2 2 log2 4 x 1 log2 16 x 4 x 1 16 x 2 x 2 + Với 1 x 4 ta có phương trình x 4x 12 0 (3) ; (3) x 6 lo¹i x 2 24 + Với 4 x 1 ta có phương trình x2 4x 20 0 (4); 4 x 2 24 lo¹i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2 hoặc x 2 1 6 , chọn B log (x 1)2 log 2x 1 2. Câu 50: [DS12.C2.6.D02.b] Tìm số nghiệm của phương trình 3 3 A. 3. B. 2. C. D0. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. x 1 Điều kiện: 1 x 2 log (x 1)2 log 2x 1 2 2 3 3 log3 (x 1) 2log3 2x 1 2 x 1 2x 1 3 2 2 2 2 2 log3 (x 1) 2x 1 2 (x 1) 2x 1 3 x 1 2x 1 3 2 x 2 2x 3x 2 0 1 2x2 3x 4 0 x . 2 Phương trình có một nghiệm. VẬN DỤNG:
  31. Câu 51: [DS12.C2.6.D02.c] Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log (mx 3) log (m2 1) 0 2 3 2 3 có nghiệm bằng 1? m 1 m 1 A. B. C. m 3 D. m 3 m 1 m 2 Hướng dẫn giải *Cách 1: Dùng công thức mx 3 0 Điều kiện mx 3 0 m 3 0 m 3 2 m 1 0 1 Nhận xét: 2 3 2 3 nên ta được kết quả sau: log (mx 3) log m2 1 0 log mx 3 log m2 1 mx 3 m2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 Vì x 1 ta được 2 2 m 1 m 3 m 1 m m 2 0 m 2 So với đáp án nhận cả 2 nghiệm trên. Cách 2: Dùng Casio Thay m bằng các đáp án ta sẽ CALC xem phương trình có nghiệm x 1 hay không? Tác giả sẽ làm 1 đáp án, các đáp án còn lại bạn đọc tự giải: Giả sử m 1 log (x 3) log 2 Nhập vào máy tính biểu thức: 2 3 2 3 CALC với giá trị X 1 được giá trị 0 vậy m 1 thì phương trình đã cho có nghiệm x 1 Giả sử m 1 log ( x 3) log 2 Nhập vào máy tính biểu thức: 2 3 2 3 CALC với giá trị X 1 được giá trị 0.5263244 vậy m 1 thì phương trình đã cho không có nghiệm x 1 Suy ra loại câu A, làm thêm trường hợp m 2 nữa ta có thể kết luận đáp án đúng là B Chọn B. Câu 52: [DS12.C2.6.D02.c] Phương trình log 3 log 3 0 có bao nhiêu nghiệm trên ? a3 2 4 a ¡ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải Điều kiện a3 2 0 a3 2 1 4 a 0 4 a 1 Những bài có điều kiện dài như thế này không nên giải ngay từ đầu, ta cứ để đó khi nào cần đến sẽ thay giá trị vào. Bài này không có biến x nên hiểu a là nghiệm của phương trình. log 3 log 3 0 log log 3 a3 2 4 a a 1 a3 2 4 a a3 2 4 a So với điều kiện đầu đề bài ta thấy 1 là nghiệm của phương trình. a 0 Sai lầm: Với thói quên đặt điều kiện nên nhiều bạn không nhận a 1. a 1 Các bạn cũng có thể dùng Casio giải như các bài ở trên nhé! Tuy nhiên với những bài hỏi “số nghiệm” thì phải SOLVE với nhiều giá trị để đảm bảo không thiếu nghiệm.
  32. Chọn B. Câu 53: [DS12.C2.6.D02.c] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log x log x 2 log m 3 3 3 có nghiệm? A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện x 2;m 0 2m2 log x log x 2 log m x x 2 m2 x 3 3 3 m2 1 Phương trình có nghiệm x 2 khi m 1,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] log m Thay m 0 (thuộc C, D) vào biểu thức 3 không xác định, vậy loại C, D, Thay m 1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương x x 2 vô nghiệm Vậy chọn đáp ánA. 2log (3x 1) 1 log (2x 1) Câu 54: [DS12.C2.6.D02.c] Hai phương trình 5 3 5 và 2 log2 (x 2x 8) 1 log 1 (x 2) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là x1, x2 . Tổng x1 x2 là? 2 A. 8. B. 6. C. 4. D. 10. Hướng dẫn giải 2log (3x 1) 1 log (2x 1) PT1: 5 3 5 3x 1 0 1 x PT 2x 1 0 3 2log (3x 1) 1 log (2x 1) log (3x 1)2 log 5 3log (2x 1) 5 3 5 5 5 5 1 1 x x 3 3 2 3 2 3 log5 5(3x 1) log5 (2x 1) 5(3x 1) (2x 1) 1 x 1 1 3 x x 3 3 1 x 2 x 1 5(9x2 6x 1) 8x3 12x2 6x 1 8x3 33x2 36x 4 0 8 x 2 2 PT2: log2 (x 2x 8) 1 log 1 (x 2) 2 x2 2x 8 0 x 2  x 4 PT x 2 0 x 2 log (x2 2x 8) 1 log (x 2) log (x2 2x 8) 1 log (x 2) 2 1 2 2 2 x 4 x 4 x 4 2 2 2 log2 (x 2x 8) log2 2(x 2) x 2x 8 2(x 2) x 4x 12 0 x 4 x 2 x2 6 x 6 Vậy x1 x2 2 6 8 .
  33. Câu 55: [DS12.C2.6.D02.c] Tổng các nghiệm của phương trình 3 3 2 a c 1 log2 x 1 log2 x 3x 3x có dạng b b a,b,c ¥ . Giá trị a b c b là: A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình biến đổi thành: 2 x 1 3 x3 3x2 3x 4 x3 3x2 3x 1 x6 9x4 9x2 6x5 6x4 18x3 x6 6x5 3x4 14x3 3x2 12x 4 0 2 2 1 5 1 5 x 2 2 2 x 2 2 2 x x 0 2 2 2 2 x 2 2 2 1 5 x x 2 2 2 2 2 (thử lại) 1 5 1 5 x x 2 2 2 2 x 2 2 2 VẬN DỤNG CAO: Câu 56: [DS12.C2.6.D02.d] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log 3 x 2 log 2 x 1 m 2 3 có ba nghiệm phân biệt. A. m 3 .B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 . Hướng dẫn gải: Điều kiện: 1 x 2. Phương trình đã cho tương đương với log 3 x 2 log 3 x 1 m 2 2 m 3 log 3 x 2 x 1 m x 2 x 1 . * 2 2 Phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số m 3 f x x 2 x 1 và đường thẳng y (cùng phương với trục hoành). 2 Xét hàm số f x x 2 x 1 xác định trên 1;2  2; . h x x 2 x 1 x2 x 2 khi x 2 Ta có f x x 2 x 1 2 . g x x 2 x 1 x x 2 khi 1 x 2 Đồ thị
  34. Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình * có ba nghiệm phân biệt khi m 3 0 max g x 2 1;2 m 3 9 m 2 . 2 4 Chọn B. Câu 57: [DS12.C2.6.D02.d] Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2log2 x log2 x 3 m có ba nghiệm thực phân biệt. A. m 0;2 . B. m 0;2 .C. m ;2 . D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. x 3 Điều kiện: x 0 2 2 m 2log2 x log2 x 3 m log2 x x 3 m x x 3 2 Xét hàm số: y x2 x 3 với x ¡ \ 3;0 3x2 6x x 3 y ' 2 3x 6x x 3 Bảng biến thiên x – ∞ -3 0 3 + ∞ y' – 0 + 0 – 0 + + ∞ 4 + ∞ y 0 0 2m 0 Từ bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm khi: m 2 m 2 4 Câu 58: [DS12.C2.6.D02.d] Phương trình log mx 6x3 2log 14x2 29x 2 0 có 3 nghiệm 2 1 2 thực phân biệt khi: 39 A. m 19 B. m 39 C. 19 m D. 19 m 39 2 Hướng dẫn giải
  35. log mx 6x3 2log 14x2 29x 2 0 2 1 2 3 2 log2 mx 6x log2 14x 29x 2 0 mx 6x3 14x2 29x 2 6x3 14x2 29x 2 m x 6x3 14x2 29x 2 2 f x f x 12x 14 x x2 x 1 f 1 19 1 1 39 f x 0 x f 2 2 2 1 1 121 x f 3 3 3 Lập bảng biến thiên suy ra đáp ánC. Câu 59: [DS12.C2.6.D02.d] Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình log (x 1) log (mx 8) 2 2 có hai nghiệm thực phân biệt là: A. 3. B. 4. C. 5. D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn A x 1 0 x 1 x 1 x 1 pt mx 8 0 mx 8 0 9 2 x 2 m 2 2 x 2x 9 mx log2 (x 1) log2 (mx 8) (x 1) mx 8 x 9 9 Xét hàm số f (x) x 2 trên (1; ) . Ta có f '(x) 1 ; f '(x) 0 x 3. x x2 Bảng biến thiên Để Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f (x) trên (1; ) tại hai điểm phân biệt 4 m 8. Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 3 2 Câu 60: [DS12.C2.6.D02.d] Tìm m để phương trình log2 mx 6x log 1 14x 29x 2 0 có 3 2 nghiệm phân biệt: 39 39 3 39 A. 19 m B. m C. m D. Đáp án khác. 2 2 38 2 Hướng dẫn giải Phương trình log (mx 6x3 ) log ( 14x2 29x 2) 2 2
  36. 1 2 x 2 14x 29x 2 0 4 3 2 mx 6x 14x 29x 2 2 2 m 6x 14x 29 (*) x 1 Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt x ;2 14 2 1 Xét hàm số f (x) 6x2 14x 29 , x 2 x 14 2 12x3 14x2 3 Ta có f '(x) 12x 14 x2 x2 1 x 1 f '(x) 0 12x3 14x2 2 0 2 (do x 2) 14 x 1 Bảng biến thiên 1 39 Dựa vào bẳng biến thiên, suy ra (*)có ba nghiệm phân biệt x ;2 19 m . 14 2 Chọn A. Câu 61: [DS12.C2.6.D02.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai 2 nghiệm thực phân biệt: log3 (1 x ) log1 (x m 4) 0 . 3 1 21 21 1 A. m 0. B. 5 m . C. 5 m . D. m 2 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 x 0 x 1;1 log (1 x2 ) log (x m 4) 0 3 1 2 2 3 log3 (1 x ) log3 (x m 4) 1 x x m 4 Yêu cầu bài toán f x x2 x m 5 0 có 2 nghiệm phân biệt 1;1 Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai. Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình f x 0 có hai nghiệm thỏa: 1 x1 x2 1 a. f 1 0 a. f 1 0 m 5 0 21 0 m 3 0 5 m . 4 S 21 4m 0 1 1 2
  37. Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình f x 0 rồi so sánh trực tiếp các nghiệm với 1 và 1. Cách 3: Dùng đồ thị Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 x 5 tại hai điểm phân biệt trong khoảng 1;1 khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 x 5 tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1;1 . Cách 4: Dùng đạo hàm 1 Xét hàm số f x x2 x 5 f x 2x 1 0 x 2 1 21 Có f ; f 1 3; f 1 5 2 4 Ta có bảng biến thiên x 1 1 1 2 f x – 0 5 21 3 f x 4 Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng 1;1 khi 21 21 m 5 m 5 . 4 4 Cách 5: Dùng MTCT Sau khi đưa về phương trình x2 x m 5 0 , ta nhập phương trình vào máy tính. * Giải khi m 0,2: không thỏa loại A, D. * Giải khi m 5 : không thỏa loạiB. Câu 62: [DS12.C2.6.D02.d] Cho các số thực dương x, y thay đổi thoả mãn log x 2y log x log y. Biết giá trị nhỏ nhất 2 x y2 4 a a của biểu thức P e1 2y .e1 x là eb với a,b là các số nguyên dương và tối giản. Tính b S a b. A. S 3. B. S 9 .C. S 13. D. S 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2y Ta có: log x 2y log xy x 2y xy x y 1 2y 0 x x 0, y 1 Do y 1 2 2 y y2 y2 y2 y 1 4 y 1 2 y 8 1 2 3 y 1 đó: P e 1 2 y .e y 1 e y 1 2 y 1 e5 . Đạt tại x 4; y 2. Câu 63: [DS12.C2.6.D02.d] Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log2 x log2 y log4 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x2 y2 . 3 3 A. 2 4 . B. 2 2 . C. 4 . D. 4 2 . Hướng dẫn giải Chọn A.
  38. log2 x log2 y log4 x y log2 xy log2 x y xy x y . S x2 y2 2xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 y2 . 2 2 x y x y x y x y Vậy ta có 2 4 xy x y xy x y x 2x x 2x 0 x y x y x 0 L x y 3 2 . x x3 2 0 3 x 2 TM 3 Vậy min S 2 4 . Câu 64: [DS12.C2.6.D02.d] Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x 3y log x 3y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x y . 4 5 2 2 A. . B. . C. 10 . D. 1 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. x 3y 0 2 2 2 2 Từ giả thiết ta có: 2x 0 x 0 và log x 9y 1 x 9y 10 . x 3y 0 2 2 2 2 Khi đó y x S x 9 x S 10 8x 18Sx 9S 10 0. 2 2 x 81S 8 9S 10 0 4 5 Phương trình này phải có nghiệm dương, do đó S . S 0 3
  39. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: 5 Câu 65: [DS12.C2.6.D03.a] Phương trình log 2 log x . x 2 2 A. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương. B. Vô nghiệm. C. Có một nghiệm âm.D. Có hai nghiệm dương. Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: 0 x 1. log x 2 2 x 4 5 1 5 log x 2 log2 x log2 x 0 1 . 2 log x 2 log x x 2 2 2 2 3 2 Câu 66: [DS12.C2.6.D03.a] Nghiệm bé nhất của phương trình log2 x 2log 2 x log2 x 2 là: 1 1 A. x 4 . B. x . C. x 2 .D. x . 4 2 Hướng dẫn giải TXĐ: x 0 3 2 3 2 PT log2 x 2log2 x log2 x 2 log2 x 2log2 x log2 x 2 0 3 2 2 2 log2 x log2 x 2log2 x 2 0 log2 x(log 2 x 1) 2(log 2 x 1) 0 x 2 log2 x 1 log2 x 1 0 1 2 2 (log 2 x 1)(log2 x 2) 0 log2 x 1 x log x 2 0 2 2 log2 x 2 x 4 1 x là nghiệm nhỏ nhất. 2 1 2 Câu 67: [DS12.C2.6.D03.a] Nếu đặt t log2 x thì phương trình 1 trở thành 5 log2 x 1 log2 x phương trình nào? A. t 2 5t 6 0 . B. t 2 5t 6 0 . C. t 2 6t 5 0 . D. t 2 6t 5 0 . Hướng dẫn giải Đặt t log2 x 1 2 1 t 2(5 t) PT 1 1 1 t 2(5 t) (5 t)(1 t) 5 t 1 t (5 t)(1 t) 11 t 5 4t t 2 t 2 5t 6 0 . Câu 68: [DS12.C2.6.D03.a] Nếu đặt t log x thì phương trình log2 x3 20log x 1 0 trở thành phương trình nào? A. 9t 2 20 t 1 0 . B. 3t 2 20t 1 0 . C. 9t 2 10t 1 0 . D. 3t 2 10t 1 0. Hướng dẫn giải log2 x3 20log x 1 0 9log2 x 10log x 1 0 Câu 69: [DS12.C2.6.D03.a] Nếu đặt t log2 x thì phương trình log2 4x log x 2 3trở thành phương trình nào? 1 1 A. t 2 t 1 0 . B. 4t 2 3t 1 0 . C. t 1. D. 2t 3. t t
  40. Hướng dẫn giải 1 2 log2 4x log x 2 3 log2 4 log2 x 3 log2 x log2 x 1 0 log2 x 1 2 Câu 70: [DS12.C2.6.D03.a] Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 1. Khi đó 4 log2 x 2 log2 x x1.x2 bằng: 1 1 1 3 A. .B. . C. . D. . 2 8 4 4 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x 0 Điều kiện: x 4 . 1 x 16 t 4 Đặt t log2 x ,điều kiện . Khi đó phương trình trở thành: t 2 1 x 1 2 2 t 1 2 1 1 t 3t 2 0 Vậy x1.x2 4 t 2 t t 2 1 . 8 x 4 [Phương pháp trắc nghiệm] 1 1 Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là và . 2 4 1 2 Câu 71: [DS12.C2.6.D03.a] Phương trình 1 có tích các nghiệm là: 4 ln x 2 ln x 1 A. e3 . B. . C. e . D. 2 . e Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x 0, x e 2 ; x e4 1 2 ln x 1 x e 1 ln2 x 3ln x 2 0 2 4 ln x 2 ln x ln x 2 x e Vậy chọn đáp ánA. 2 Câu 72: [DS12.C2.6.D03.a] Phương trình log5 (2x 1) 8log5 2x 1 3 0 có tập nghiệm là: A. 1; 3. B. 1;3 .C. 3;63. D. 1;2. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 1 Điều kiện : x 2 2 2 log5 (2x 1) 8log5 2x 1 3 0 log5 (2x 1) 4log5 2x 1 3 0 log5 2x 1 1 x 3 x 63 log5 2x 1 3 [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x 1(thuộc B, D) vào vế trái ta được 3 0 vô lý, vậy loại B, D,
  41. Thay x 1vào log5 2x 1 ta được log5 3 không xác định, nên loại A Vậy chọn đáp ánC. x x log2 x 3log x 2 0 Câu 73: [DS12.C2.6.D03.b] Gọi 1 , 2 là các nghiệm của phương trình 2 2 . Giá P x2 x2 trị của biểu thức 1 2 bằng bao nhiêu? A. 20 . B. 5 . C. 36. D. 25 . Hướng dẫn giải. Chọn A. Điều kiện x 0 . Giải phương trình bậc hai với ẩn là log2 x ta được: 2 log2 x 1 x 2 log2 x 3log2 x 2 0 . log2 x 2 x 4 2 2 2 2 Khi đó, P x1 x2 2 4 20 . 2 Câu 74: [DS12.C2.6.D03.b] Tích các nghiệm của phương trình log x (125x)log25 x 1 là 1 7 630 A. . B. 630. C. . D. . 125 25 625 Hướng dẫn giải Chọn A x 0 Điều kiện: x 1 2 2 2 log25 x 2 Ta có: log x (125x)log25 x 1 log x 125 1 log25 x 1 log25 x 1. log125 x x 5 log x 1 1 log2 x 3log x 4 0 5 . 5 5 1 log5 x 4 x2 54 1 Suy ra tích 2 nghiệm: x .x . 1 2 125 2 2 Câu 75: [DS12.C2.6.D03.b] Giả sử phương trình: log5 x 2log25 x 3 0 có hai nghiệm 1 x , x x x . Khi đó giá trị biểu thức P 15x x bằng: 1 2 1 2 1 5 2 1876 28 A. . B. 100. C. .D. 28. 625 25 Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện x 0 1 log x 1 x Pt log2 x 2log x 3 0 5 5 5 5 log5 x 3 x 125 1 1 Vì x x nên x và x 125 suy ra P 15x x 28 1 2 1 5 2 1 5 2 2 Câu 76: [DS12.C2.6.D03.b] Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình log 1 x 3 1 log3 x 3 0. 3 Khi đó tích x1.x2 bằng A. 3 3 1. B. 3 3. C. 3. D. 3 3. Hướng dẫn giải Chọn A.
  42. 2 2 log x 3 1 log x 3 0 Ta có log 1 x 3 1 log3 x 3 0 1 1 phương trình 3 3 3 có hai nghiệm x1, x2 . Ta có: log1 x1x2 log1 x1 log1 x2 , suy ra log1 x1,log1 x2 là hai nghiệm của phương trình 3 3 3 3 3 a2 ( 3 1)a 3 0 . Nên log1 x1 log1 x2 3 1 . Suy ra log1 x1x2 log1 x1 log1 x2 3 1 3 3 3 3 3 3 1 1 3 1 x1x2 3 3 2 Câu 77: [DS12.C2.6.D03.b] Phương trình log2 (x 1) 6log2 x 1 2 0 có tổng các nghiệm là: A. 18.B. 4 . C. 3 . D. 6 . Hướng dẫn giải x 1 x 1 x 1 0 x 1 PT log2 (x 1) 1 x 1 . 2 x 3 log 2 (x 1) 3log2 (x 1) 2 0 log2 (x 1) 2 x 3 x , x log 2 log x 0 Câu 78: [DS12.C2.6.D03.b] Gọi 1 2 là nghiệm của phương trình x 16 . Khi đó tích x .x 1 2 bằng: A. 1.B. 1. C. 2. D. 2 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x 1 1 PT log 2 log x 0 log 2 log x 0 log 2 log x 0 x 16 x 24 x 4 2 2 1 4(log x 2) 1 2 log x 2 0 0 4(log x 2) 1 0 4log x 2 4log x 2 1 1 x 4 log x 2 2 1 2 1 2 2 x (log 2) x 1 1 4 1 x 2 2 log x 2 2 x 4 2 1 Vậy x .x 4. 1. 1 2 4 [Phương pháp trắc nghiệm] Đáp án B,D có tích âm thì có thể x1 0 hoặc x2 0 thì không thỏa mãn điều kiện của x nên loại. Câu 79: [DS12.C2.6.D03.b] Nghiệm lớn nhất của phương trình log3 x 2log2 x 2 log x là : A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x 0 1 x log x 1 10 3 2 log x 2log x 2 log x log x 2 x 100 log x 1 x 10
  43. [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính log3 X 2log2 X 2 log X Nhấn CALC và cho X 1000 (số lớn nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp ánD. Nhấn CALC và cho X 100 ta thấy đúng. x x x Câu 80: [DS12.C2.6.D03.b] Nếu đặt t log2 5 1 thì phương trình log2 5 1 .log4 2.5 2 1 trở thành phương trình nào? A. t 2 t 2 0 . B. 2t 2 1. C. t 2 t 2 0 . D. t 2 1. Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0 x x log2 5 1 .log4 2.5 2 1 log 5x 1 . 1 log 5x 1 2 0 2 2 Vậy chọn đáp án A. log9 x log9 x log3 27 Câu 81: [DS12.C2.6.D03.b] Biết phương trình 4 6.2 2 0 có hai nghiệm x1, x2 . Khi 2 2 đó x1 x2 bằng : 82 A. 6642 . B. . C. 20 . D. 90 . 6561 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0. Ta có phương trình tương đương 22log9 x 6.2log9 x 23 0. (1) log x 2 t 2 Đặt t 2 9 ,t 0. 1 t 6t 8 0 t 4 log9 x - Với t 2 2 2 log9 x 1 x 9. log9 x 2 - Với t 4 2 2 log9 x 2 x 81. 2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 9;81 x1 x2 6642 . 1 1 7 Câu 82: [DS12.C2.6.D03.b] Biết phương trình log2 x 0 có hai nghiệm x1, x2 . Khẳng log2 x 2 6 định nào sau đây là đúng? 2049 2047 2049 2047 A. x3 x3 . B. x3 x3 . C. x3 x3 . D. x3 x3 . 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 Hướng dẫn giải x 0 x 0 Điều kiện: . log2 x 0 x 1 2 Đặt t log2 x. Phương trình đã cho trở thành 3t 7t 6 0 . 3 t 3 log2 x 3 x 2 9 2 2 2 1 (thỏa mãn điều kiện) 3 t log2 x x 2 3 3 3 4 1  3 3 2049 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 8;  x1 x2 3 4  4 Câu 83: [DS12.C2.6.D03.b] Nghiệm nguyên của phương trình log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 là: 2 3 6 A. x 1. B. x 1. C. x 2 . D. x 3. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]
  44. Điều kiện: x 1 log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 2 3 6 log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 2 3 6 log 6.log x x2 1 .log 6.log x x2 1 log x x2 1 0 2 6 3 6 6 Đặt t log x x2 1 ta được 6 2 log2 6.log3 6.t t 0 t 0 log x x2 1 0 6 1 t 2 1 log6 x x 1 log2 6.log3 6 log2 6.log3 6 x x2 1 1 1 log x x2 1 log 3 2 2 6 x x2 1 1 1 x 1 ¢ 2 x x 1 1 2 log 3 x x 1 2 6 2log6 3 2 log6 3 2 x ¢ 2 log6 3 2 x x 1 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x 1 vào phương trình ta được VT VP chọn đáp ánA. 2 a Câu 84: [DS12.C2.6.D03.b] Nghiệm của phương trình 4log2 2x xlog2 6 2.3log2 4x có dạng tối giản, b tính a b A. 1. B. 1.C. 5 . D. 4 . Hướng dẫn giải Điều kiện: 0 x 1 Ta có: 2 4log2 2x xlog2 6 2.3log2 4x 41 log2 x 6log2 x 2.32 2log2 x 4.4log2 x 6log2 x 19.9log2 x (1) Chia 2 vế cho 4log2 x . log x log x 9 2 3 2 (1) 18. 4 0 . Đặt 4 2 4 log x t 2 3 2 9 t 0. PT 18t t 4 0 2 1 t (l) 2 log2 x 2 3 4 3 2 1 log2 x 2 x 2 . (thỏa mãn điều kiện) 2 9 2 4 1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S . 4 Câu 85: [DS12.C2.6.D03.b] Phương trình 9xlog9 x x2 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải
  45. [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x 0; x 1 log9 x 2 log9 x 2 2 9x x log9 9x log9 x 1 log9 x 2log9 x 0 log9 x 1 x 9 Vậy chọn đáp ánA. VẬN DỤNG: Câu 86: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 log2 x 2log2 x m 0 có nghiệm x 2. A. m 1. B. m 3. C. m 3. D. m 3. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 log2 x 2log2 x m 0 (1). 2 2 Đặt t log2 x , phương trình (1) trở thành: t 2t m 0 t 2t m (2). Phương trình (1) có nghiệm x 2 phương trình (2) có nghiệm t 1 do t log2 x log2 2 1 . Xét hàm số y t 2 2t y ' 2t 2, y ' 0 t 1 ( loại). Bảng biến thiên x 1 y y 3 Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t 1 m 3. Câu 87: [DS12.C2.6.D03.c] Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình 2 log2 x (m 1)log2 x 4 m 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;4 là 10 10 10 A. 3 m 4. B. 3 m . C. m 4 .D. 3 m . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt t log2 x . Vì x 1;4 nên t 0;2. t 2 t 4 Phương trình trở thành t 2 m 1 t 4 m 0 m . t 1 t 2 t 4 Xét hàm số f t trên đoạn 0;2. t 1 t 2 2t 3 t 1 2 Ta có f t 2 0 t 2t 3 0 . t 1 t 3 Bảng biến thiên
  46. t - ¥ - 3 0 1 2 + ¥ f ¢(t ) - 0 + 10 4 3 f (t ) 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;4 thì 10 3 m . 3 Câu 88: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x log x2 2 m 0 có nghiệm x 1;9 . 3 3   A. 0 m 1.B. 1 m 2 . C. m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt: t log3 x . Vì x 1;9 nên t 0;2 pt t 2 2t 2 m 0 t 2 2t 2 m Đặt h t t 2 2t 2 với t 0;2 h' t 2t 2 , h' t 0 t 1 h 1 1 , h 0 h 2 2 max h t 2 , min h t 1 [0,2] [0,2] Pt có nghiệm 1 m 2. 2 2 Câu 89: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm m để phương trình log2 x log2 x 3 m có nghiệm x 1;8. A. 3 m 6. . B. 6 m 9 C. 2 m 6 D. 2 m 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện x 0 2 2 2 log2 x log2 x 3 m log2 x 2log2 x 3 m 2 Đặt t log2 x , phương trình trở thành t 2t 3 m 1 Phương trình đã cho có nghiệm x 1;8 phương trình 1 có nghiệm x 0;3. Đặt g t t 2 2t 3 g t 2t 2. g t 0 2t 2 0 t 1 BBT
  47. Từ BBT ta suy ra để phương trình đã có nghiệm x 1;8 thì 2 m 6 . 2 Câu 90: [DS12.C2.6.D03.c] Định m để phương trình: log 2 x log2 x 3 m 0 có nghiệm x 0;1 : 1 1 1 1 m B. m C. 0 m D. m A. 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Với x 0;1 hàm số đã cho luôn xác định. Đặt t log2 x , với x 0;1 thìt ;0 Phương trình ban đầu trở thành:t 2 t m 0 m t 2 t * Để phương trình đề cho có nghiệm thì (*) có nghiệm Ngiệm của (*) là giao điểm của đường thẳng: y m và f (t) t 2 t Bảng biến thiên của hàm f (t) (Bạn nào không nhớ có thể xem lại chương I) 1 Để phương trình có nghiệm dựa vào bảng biến thiên m 4 2 2 Câu 91: [DS12.C2.6.D03.c] Với giá trị nào của m thì: log 3 x log 3 x 1 3m có nghiệm trên 1;3 . 1 2 1 m 1 2;1 B. m ; A. 3 3 1 1 2 m ; C. D. m ;1 3 3 Hướng dẫn giải Đặt t log2 x 1 log2 x t 2 1, với x 1;3 thì t 1; 2 3 3   Phương trình đã cho trở thành:t 2 t 3m 1 3m t 2 t 1 f (t) , f (t) luôn đồng biến 1; 2 1 2 1 f (1) f (t) f ( 2) 1 2 3m 1 m 3 3 Chọn B. Câu 92: [DS12.C2.6.D03.c] Định điều kiện cho tham số m để: log m log m log m 0 có x mx m2 x nghiệm.
  48. m 0 A. m 0 B. C. m 1 D. m 1 m 1 Hướng dẫn giải log m log m log m 0 x mx m2 x x,m 0 Điều kiện 2 mx,m x 1 +)Khi m 1phương trình luôn đúng. +)Khi 0 m 1 t 1 Đặt t logm x ,do điều kiện ban đầu t 2 1 1 1 log m log m log m 0 0 x mx m2 x 2 logm x logm mx logm m x 3 3 t 1 1 1 1 1 1 2 0 0 logm x logm x 1 logm x 2 t 1 t 2 t 3 3 t 2 Hợp 2 trường hợp lại ta được m 0 thì phương trình có nghiệm Chọn A. Câu 93: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 log3 x m 2 log3 x 3m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 27.? A. m 2 . B. m 1.C. m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải 2 Điều kiện x 0. Đặt t log3 x. Khi đó phương trình có dạng: t m 2 t 3m 1 0 . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2 m 4 2 2 m 2 4 3m 1 m2 8m 8 0 * m 4 2 2 Với điều kiện * ta có: t1 t2 log3 x1 log3 x2 log3 x1.x2 log3 27 3. Theo Vi-ét ta có: t1 t2 m 2 m 2 3 m 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Câu 94: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 log3 x 2log3 x m 1 0 có nghiệm? A. m 2 .B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Hướng dẫn giải TXĐ: x 0 PT có nghiệm khi 0 1 (m 1) 0 2 m 0 m 2 . Câu 95: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 log4 x 3log4 x 2m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 A. m . B. m . C. m . D. 0 m . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải 13 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0 13 8m 0 m 8 Câu 96: [DS12.C2.6.D03.c] Giả sử m là số thực sao cho phương trình 2 log3 x m 2 log3 x 3m 2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 9. Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây?
  49. A. Bm. 4;6 . m 1;1 . C. m 3;4 . D. m 1;3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Ta có log3 x m 2 log3 x 3m 2 0 * 2 Đặt log3 x t * t m 2 t 3m 2 0 1 Vì * có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 9 1 có 2 nghiệm t1,t2 thỏa mãn t1 t2 3 .3 9 t1 t2 2 Theo vi-ét ta có t1 t2 m 2 m 0 1;1 . 2 2 Câu 97: [DS12.C2.6.D03.c] Số nghiệm của phương trình log3 x 2x log5 x 2x 2 là A. B3. 2. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải. Chọn B. ĐK: x 0; x 2 . Đặt t x2 2x x2 2x 2 t 2 log3 t log5 t 2 . Đặt log3 t log5 t 2 u u log3 t u t 3 u log5 t 2 u t 2 5 5u 2 3u 5u 3u 2 (1) 5u 2 3u 5u 3u 2 u u . u u u u 3 1 5 2 3 3 2 5 2 1 (2) 5 5 Xét 1 :5u 3u 2 Ta thấy u 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 0 là duy nhất. Với u 0 t 1 x2 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm. u u 3 1 Xét 2 : 2 1 5 5 Ta thấy u 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 1 là duy nhất. Với u 1 t 3 x2 2x 3 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x 0; x 2 . log2 x (m 2)log x 3m 1 0 Câu 98: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm m để phương trình 3 3 có hai nghiệm x , x x .x 27 1 2 thỏa mãn 1 2 . 28 A. m 4 2 2 B. m 1 C. m 3 D. m 3 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Ta có log3 x (m 2)log3 x 3m 1 0 , 1 Điều kiện: x 0 Đặt t log3 x
  50. Khi đó phương trình trở thành t 2 m 2 t 3m 1 0 , 2 Phương trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 27 khi phương trình 2 có hai 0 nghiệm t , t thỏa mãn 3t1.3t2 27 khi và chỉ khi 1 2 t t 3 1.3 2 27 m2 8m 8 0 m 4 2 2;m 4 2 2 m 1 t1 t2 log3 27 m 2 3 Vậy m 1 thỏa mãn ycbt. Câu 99: [DS12.C2.6.D03.c] Phương trình log2 x.log4 x.log6 x log2 x.log4 x log4 x.log6 x log2 x.log6 x có tổng các nghiệm là A. 1. B. 12. C. 13.D. 49 . Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1: Sử dụng máy tính để kiểm tra nghiệm. Ta nhận được kết quả là 1;48 . t Cách 2: Đặt log2 x t x 2 . Ta có t t t t t t pt t.log4 2 .log6 2 t.log4 2 log4 2 .log6 2 t.log6 2 2 t t.log4 2.log6 2 log4 2 log4 2.log6 2 log6 2 0 t 0 x 1 log 2 log 2.log 2 log 2 log4 2 log4 2.log6 2 log6 2 4 4 6 6 . t log 2.log 2 x 2 4 6 48 log4 2.log6 2 2 2 Câu 100: [DS12.C2.6.D03.c] Giá trị nào của m để phương trình log3 x log3 x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1,3 3 . A. 1 m 16 . B. 4 m 8.C. 0 m 2 . D. 3 m 8 . Hướng dẫn giải Chọn C. 1 log2 x log2 x 1 2m 1 0 m log2 x log2 x 1 1 3 3 2 3 3 1 Đặt t log2 x, 0 t 3. Ta có f t t t 1 1 3 2 1 1 f t 1 ; f t 0 vô nghiệm. 2 2 t 1 f 0 0; f 3 2 . Vậy 0 m 2 . x x 1 Câu 101: [DS12.C2.6.D03.c] Phương trình log3 3 1 .log3 (3 3) 6 có: A. 2 nghiệm dương. B. 1 nghiệm dương. C. Phương trình vô nghiệm D. 1 nghiệm kép. Hướng dẫn giải *Cách 1: Biến đổi Điều kiện:3x 1 0 x 0 x x 1 x x log3 3 1 .log3 3 3 6 log3 3 1 .log3 [3 3 1 ] 6 x x x 2 x log3 3 1 .[1 log3 3 1 ] 6 log3 3 1 log3 3 1 6 0 x x log 3 1 2 3 10 x log3 10 3 28 28 log 3x 1 3 3x x log 3 27 3 27
  51. Dùng Casio: x x 1 Nhập vào máy tính biểu thức: log3 3 1 .log3 3 3 6 Vì điều kiện của chúng ta là x 0 nên tuyệt đối không SOLVE với số âm vì sẽ làm đứng máy rất mất thời gian. Bây giờ tôi sẽ nói lên hạn chế của máy tính: Với điều kiện x 0 các bạn SOLVE với 1 số chẳng hạn x 1 sẽ ra được 2.0959. sau đó các bạn tiếp tục với các số lớn hơn vẫn ra 2.0959. tiếp tục với các số nhỏ hơn 1 ví dụ x 0.5 (an tâm vì số này đã sát giới hạn 0) vẫn ra 2.0959. Từ đó dẫn tới kết luận phương trình trên chỉ có 1 nghiệm là hoàn toàn sai. Các bạn thử SOLVE với giá trị x 0.4 máy sẽ cho ra 0.033103. Vậy phương trình của chúng ta có 2 nghiệm phân biệt. Chọn C. Câu 102: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2 log3 x m 2 .log3 x 3m 1 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1.x2 27 . 4 28 A. m 1. B. m . C. m 25. D. m . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 log3 x m 2 .log3 x 3m 1 0 (1). Điều kiện xác định: x 0 . 2 Đặt t log3 x . Ta có phương trình: t (m 2)t 3m 1 0 (2). Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2 27 . Thì phương trình (2) có 2 nghiệm t1;t2 thỏa mãn t1 t2 3. 0 m2 8m 8 0 m 1. m 2 3 m 1 log2 4 x 2 3 Câu 103: [DS12.C2.6.D03.c] Biết rằng phương trình x 2 4. x 2 có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 . Tính 2x1 x2 . A. 1. B. 3 . C. 5 .D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện x 2 . Phương trình thành x 2 log2 4 log2 x 2 4. x 2 3 x 2 2 . x 2 log2 x 2 4. x 2 3 hay x 2 log2 x 2 4. x 2 . Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được log2 x 2 .log2 x 2 log2 4 x 2 5 log2 x 2 1 x log2 x 2 2 log x 2 2 . 2 2 log2 x 2 2 x 6 5 5 Suy ra x và x 6. Vậy 2x x 2. 6 1. 1 2 2 1 2 2 Câu 104: [DS12.C2.6.D03.c] Tìm số nghiệm của phương trình: 2 2 log2x 1 2x x 1 log x 1 2x 1 4 1 . A. 0. B. 1.C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải 1 x ĐK: 2 . Phương trình: x 1
  52. log 2x2 x 1 x 1 log x 1 2x 1 log x 1 x 1 2log x 1 2x 1 4 2log x 1 2x 1 4 log x 1 2x 1 log x 1 2x 1 1 1 2log x 1 2x 1 4 3 log x 1 2x 1 Đặt t log x 1 2x 1 , khi đó (3) viết thành: t 1 1 2 2t 3 0 2t 3t 1 0 1 t t 2 log 2x 1 1 x 2 x 1 x 1 2x 1 1 5 log x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 2 4 Chọn C. VẬN DỤNG CAO: Câu 105: [DS12.C2.6.D03.d] Cho các số thực a,b 1 và phương trình loga ax logb bx 2018 có hai nghiệm phân biệt m 2 2 3 A. 1 a0 2 . B. e a0 e . C. 2 a0 3. D. e a0 e . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có phương trình tương đương với: 1 loga x 1 logb x 2018 loga x logb x loga x logb x 1 2018 2 logb loga x 1 logb a loga x 2017 0 . 1 logb a 1 1 Khi đó theo Viet ta có: loga m loga n loga b 1 loga mn logb a ab ab Vì áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2 2 36 2 2 36 P 4a 9b 2 2 1 2 4a .9b .2 2 2 .1 144 a b a b 36 Dấu bằng đạt tại 4a2 9b2 , 1 a 3,b 2 . a2b2 Câu 106: [DS12.C2.6.D03.d] Biết rằng khi m,n là các số dương khác 1, thay đổi thỏa mãn m n 2017 thì phương trình 8logm x.logn x 7logm x 6logn x 2017 0 luôn có hai 3 c 7 d nghiệm phân biệt a,b . Biết giá trị lớn nhất của ln ab là ln ln với c,d là 4 13 8 13 các số nguyên dương. Tính S 2c 3d . A. S 2017 B. S 66561 C. S 64544 D. S 26221 Hướng dẫn giải Ta có: 8logm x.logn m.logm x 7logm x 6logn m.logm x 2017 0 2 8logn m logm x 6logn m 7 logm x 2017 0 6 7 6logn m 7 6 7 8 8 Theo vi – ét ta có logm a logm b logm n logm ab logm m .n 8logn m 8 8 6 7 3 7 3 7 Vì vậy ab m8 .n 8 m 4 2017 m 8 ln ab f m ln m ln 2017 m 4 8
  53. Mà 3 7 12102 12102 3 12102 7 14119 f ' m 0 m ln ab f ln ln 4m 8 2017 m 13 13 4 13 8 13 Do đó c 12102,d 14119 S 66561. Chọn B. Câu 107: [DS12.C2.6.D01.d] Cho các số thực a,b 1 và phương trình loga ax logb bx 2018 có hai nghiệm phân biệt m và n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4a2 9b2 36m2n2 1 . A. 144 B. 72 C. 36 D. 288 Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với: 1 loga x 1 logb x 2018 loga x logb x loga x logb x 1 2018 2 logb a loga x (1 logb a)loga x 2017 0 1 logb a 1 1 Khi đó theo vi – ét ta có: loga m loga n loga b 1 loga mn logb a ab ab Vì vậy áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có 2 2 36 2 2 36 P 4a 9b 2 2 1 2 4a .9b .2 2 2 .1 144 a b a b 4a2 9b2 Dấu bằng đạt tại 36 a 3,b 2 . 2 2 1 a b Chọn A. Câu 108: [DS12.C2.6.D03.d] Biết rằng khi m,n là các số nguyên dương thay đổi và lớn hơn 1 thì phương trình 8logm x.logn x 7logm x 6logn x 2017 0 luôn có hai nghiệm phân biệt a,b . Tính S m n để ab là một số nguyên dương nhỏ nhất. 500 700 650 A. S .B. S . C. S . D. S 200 . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có phương trình tương đương với: 8logm x.logn m.logm x 7logm x 6logn m.logm x 2017 0 2 8logn m logm x 7 6logn m .logm x 2017 0 6 7 7 6logn m 6 7 8 8 logm a logm b logm n logm ab logm m .n 8logn m 8 8 6 7 ab m8 .n 8 ¢ m 8;n 4;ab 16 S 8 4 12 6 7 Mẹo: Bước cuối thay n S m với S ở mỗi đáp án; nhập hàm F X X 8 S X 8 Start?2 End? S 2 và Step? 1. Nên thử với S nhỏ trước. Chọn đáp án cho kết quả F X nguyên dương nhỏ nhất.
  54. Câu 109: [DS12.C2.6.D03.d] Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b 10 . Gọi m,n là hai nghiệm của phương trình loga x logb x 2loga x 3logb x 1 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S mn 16875 4000 A. B. C. 15625 D. 3456 16 27 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình tương đương với loga x logb a.loga x 2 3logb a loga x 1 0 . 2 logb a 3 2 3 2 Theo Vi-ét ta có: loga m loga n 2loga b 2 loga a b mn a b . logb a Khi đó ta có S f a a3 10 a 2 max f a f 6 3456 . 1;9 Câu 110: [DS12.C2.6.D03.d] Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b 10 . Gọi m,n là hai nghiệm của phương trình loga x logb x 2loga x 3 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S mn . 279 81 45 A. B. 90 C. D. 4 4 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Phương trình tương đương với 2 loga x logb a.loga x 2loga x 3logb x 1 0 logb a loga x 2loga x 3 0 . Theo Vi-ét ta có 2 2 2 2 loga m loga n 2loga b loga b loga mn loga b mn b . logb a 2 2 2 9 279 279 Vậy P b 9a b 9 10 b b . 2 4 4 9 11 Dấu bằng đạt được tại b ,a . 2 2 Câu 111: [DS12.C2.6.D03.d] Cho ba số thực a,b,c thay đổi lớn hơn 1 thỏa mãn a b c 100. Gọi 2 m,n là hai nghiệm của phương trình loga x 1 2loga b 3loga c loga x 1 0 . Tính S a 2b 3c khi mn đạt giá trị lớn nhất. 500 700 650 A. S B. S C. S D. S 200 3 3 3 Hướng dẫn giải 2 3 2 3 Theo vi – ét ta có: loga m loga n 1 2loga b 3loga c loga ab c mn ab c Theo AM GM ta có: 2 3 4 3b 3b mn ab 100 a b 3a. . (100 a b) 100 a b 100 a b 27 2 2 6 3b 3a 2 3 100 a b 8 4 2 625.10 . 27 6 27 3b 50 100 150 700 Dấu bằng đặt tại 3a 100 a b a ,b ,c S . 2 3 3 3 3
  55. Chọn B. Câu 112: [DS12.C2.6.D03.d] Xét các số thực dương a,b thỏa mãn 2 log2 a 2log2 a 2 2 log2 a 1 sin log2 a b 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 2a 3b . 3 3 9 A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 Theo điêìu kiện bài toán ta có: log2 a 1 sin log2 a b cos log2 a b 0 a 1 b 1 k cos log a b 0 2 log2 a b k 2 2 log2 a 1 sin log2 a b 0 a 4 log2 a 1 1 0 b 2 k 2 3 Trường hợp 1: Nếu a 1 b 1 S 1 2 2 3 9 Trường hợp 2: Nếu a 4 b 2 S 2 . 2 2 Chọn A. Câu 113: [DS12.C2.6.D03.d] Cho a,b nguyên dương lớn hơn 1. Biết 11loga x logb x 8loga x 20logb x 11 0 có tích hai nghiệm là số tự nhiên nhỏ nhất. Tính S 2a 3b . A. S 28 B. S 10 C. S 22 D. S 15 Hướng dẫn giải 2 Phương trình tương đương với: 11logb a loga x 4 2 5logb a loga x 11 0 1 Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt vì P 0;a,b 1 logb a Gọi hai nghiệm là x1, x2 . Theo vi – ét ta có 4 2 5logb a 8 20 loga x1 loga x2 loga b 11logb a 11 11 8 20 8 20 8 20 loga b log x x log b x x a11 11 b11a 11 a 1 2 11 a 11 1 2 1 1 1 20 8 11 20 8 11 9 8 11 Ta có đánh giá sau x1x2 a b 2 b 2 2 .b Và 411 811 29.b8 k11 29.28 217 k 3,k2 k 4 b8 Z;k 8 b8 224 b 8,a 2 29 29 Do đó x1x2 16 và S 2.2 3.8 28 . Chọn A. Câu 114: [DS12.C2.6.D03.d] Cho m và n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm của phương trình 8 logm x logn x 7logm x 6logn x 2017 0 . Khi P là một số nguyên, tìm tổng m n để P nhận giá trị nhỏ nhất? A. m n 20. B. m n 48.C. m n 12 . D. m n 24.
  56. Hướng dẫn giải Chọn C. t Đặt t logm x , lúc đó x m Phương trình trở thành t t 2 8t logn m 7t 6logn m 2017 0 8t logn m 7t 6t logn m 2017 0 2 8 logn m t 7 6logn m t 2017 0 2 Ta có 7 6logn m 4.2017.8logn m t1 t2 Lúc đó x1 m ; x2 m 7 6logn m t1 t2 8logn m x1.x2 m m P nguyên Câu 115: [DS12.C2.6.D03.d] Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2 a ln x bln x 5 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình 2 5log x blog x a 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1x2 x3 x4 . Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S 2a 3b . A. Smin 30 . B. Smin 25. C. Smin 33 . D. Smin 17 . Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện x 0 , điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là b2 20a . Đặt t ln x , u log x khi đó ta được at 2 bt 5 0(1) , 5u2 bu a 0(2) . Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x . b b b b t1 t2 t1 t2 a u1 u2 5 a 5 Ta có x1.x2 e .e e e , x3.x4 10 10 , lại có x1x2 x3 x4 e 10 b b 5 ln10 a a 3 ( do a,b nguyên dương), suy ra b2 60 b 8. a 5 ln10 Vậy S 2a 3b 2.3 3.8 30 , suy ra Smin 30 đạt được a 3,b 8 . Câu 116: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 1 5 m 1 log2 x 2 4 m 5 log 4m 4 0 1 1 có nghiệm thực trong đoạn ;4 : 2 2 x 2 4 7 A. m 3 .B. 3 m . 3 7 7 C. m . D. 3 m . 3 3 Hướng dẫn giải. Chọn B. Điều kiện: x 2 . 2 2 1 m 1 log 1 x 2 4 m 5 log 1 4m 4 0 2 2 x 2 2 4 m 1 log2 x 2 4 m 5 log2 x 2 4m 4 0 * 5 Đặt log2 x 2 t , x ;4 0 x 2 2 (Kết hợp với điều kiện). Vậy t 1. 4 Phương trình (*) có dạng: 4 m 1 t 2 4 m 5 t 4m 4 0 Ta cần tìm m sao cho PT ( ) có nghiệm thỏa mãn t 1. t 2 5t 1 m 1 t 2 m 5 t m 1 0 m . t 2 t 1
  57. t 2 5t 1 4t 2 4 Đặt f t 2 ; f t 2 . t t 1 t 2 t 1 Lập bảng biến thiên ta có - ¥ - 1 1 + ¥ t - 0 + - f '(t ) 7 f (t ) 1 3 - 3 7 Vậy 3 m thì phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Câu 117: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình x x log2 5 1 .log4 2.5 2 m có nghiệm x 1. 1 1 A. ; . B. ; . C. 1; .D. 3; . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D. x x Ta có: log2 5 1 .log4 2.5 2 m 1 1 1 x x x x log2 5 1 . log2 5 1 2 m log2 5 1 log2 5 1 1 m 2 2 x 1 1 2 1 Đặt t log2 5 1 , PTTT: t t 1 m t t m 2 2 2 2 PT (1)có nghiệm x 1 khi và chỉ khi PT(2) có nghiệm t 2 1 1 1 Xét hàm số f t t 2 t f ' t t 2 2 2 1 2 x ∞ 2 + ∞ y' - 0 + y 1 3 8 Dựa vào BBT, PT(2) có nghiệm t 2 khi và chỉ khi m 3 . Câu 118: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm giá trị của tham số m để phương trình log2 x log2 x 1 2m 5 0 có nghiệm trên đoạn 1;2 3 . 2 2 A. m ; 20; . B.  2; . C. m ;0 .D. m  2;0. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 2 2 log2 x log2 x 1 2m 5 0 log2 x log2 x 1 2m 5.
  58. Xét f x log2 x log2 x 1 , x 1;2 3 . 2 2 2log2 x 2log x 2log x 1 f x 2 x.ln 2 2 1 . x.ln 2 2 x.ln 2 2 2 log2 x 1 2 log2 x 1 f x 0 x 1(Tm). f x không xác định tại x 0 (loại ). BBT x 1 2 3 f ¢(x) 0 + 5 f (x) 1 Vậy phương trình có nghiệm khi: 1 2m 5 5 2 m 0 . Câu 119: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 log2 x log 1 x 3 m log4 x 3 có nghiệm thuộc 32; ? 2 A. m 1; 3 . B. m 1; 3 . C. m 1; 3 . D. m 3;1 . Hướng dẫn giải 2 Điều kiện: x 0. Khi đó phương trình tương đương: log2 x 2log2 x 3 m log2 x 3 . Đặt t log2 x với x 32 log2 x log2 32 5 hay t 5. Phương trình có dạng t 2 2t 3 m t 3 * . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t 5 ” Với t 5 thì (*) t 3 . t 1 m t 3 t 3. t 1 m t 3 0 t 1 t 1 m t 3 0 m t 3 t 1 4 4 4 Ta có 1 . Với t 5 1 1 1 3 hay t 3 t 3 t 3 5 3 t 1 t 1 1 3 1 3 t 3 t 3 suy ra 1 m 3. Vậy phương trình có nghiệm với 1 m 3. BÌNH LUẬN: t 1 y ,t 5 Chúng ta có thể dùng hàm số để tìm max, min của hàm số t 3 Câu 120: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm m để phương trình : 2 1 5 m 1 log2 x 2 4 m 5 log 4m 4 0 1 1 có nghiệm trên ,4 2 2 x 2 2 7 7 A. 3 m . B. m ¡ . C. m  . D. 3 m . 3 3 Hướng dẫn giải
  59. Chọn A. 5 t log x 2 Đặt 1 . Do x ;4 t  1;1 2 2 4 m 1 t 2 4(m 5)t 4m 4 0 m 1 t 2 m 5 t m 1 0 2 2 2 t 5t 1 m t t 1 t 5t 1 m 2 g m f t t t 1 t 2 5t 1 Xét f t với t  1;1 t 2 t 1 4 4t 2 f t 2 0 t  1;1 Hàm số đồng biến trên đoạn  1;1 t 2 t 1 Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị g m ; f t cắt nhau t  1;1 7 f ( 1) g m f 1 3 m 3 BÌNH LUẬN: Đây là dạng toán ứng dụng hàm số để giải bài toán chứa tham số. Đối với bài toán biện luận nghiệm mà chứa tham số thì phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ sau đó cô lập m rồi tìm max, min hàm số. Câu 121: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 log2 x log 1 x 3 m log4 x 3 có nghiệm thuộc 32; ? 2 A. m 1; 3 . B. m 1; 3 . C. m 1; 3 . D. m 3;1 . Hướng dẫn giải 2 Điều kiện: x 0. Khi đó phương trình tương đương: log2 x 2log2 x 3 m log2 x 3 . Đặt t log2 x với x 32 log2 x log2 32 5 hay t 5. Phương trình có dạng t 2 2t 3 m t 3 * . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t 5 ” Với t 5 thì (*) t 3 . t 1 m t 3 t 3. t 1 m t 3 0 t 1 t 1 m t 3 0 m t 3 t 1 4 4 4 Ta có 1 . Với t 5 1 1 1 3 hay t 3 t 3 t 3 5 3 t 1 t 1 1 3 1 3 t 3 t 3 suy ra 1 m 3. Vậy phương trình có nghiệm với 1 m 3. Câu 122: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x x log2 5 1 .log4 2.5 2 m có nghiệm x 1.? A. m 2; .B. m 3; . C. m ( ;2]. D. m ;3. Hướng dẫn giải x x Với x 1 5 5 log2 5 1 log2 5 1 2 hay t 2 . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm t 2 ”. Xét hàm số f (t) t 2 t, t 2, f '(t) 2t 1 0, t 2 t 2 f (t)
  60. f (t) 6 Suy ra hàm số đồng biến với t 2 . Khi đó phương trình có nghiệm khi 2m 6 m 3. Vậy m 3 là các giá trị cần tìm. Câu 123: [DS12.C2.6.D03.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 x log2 x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3 ? 3 3 A. m [0;2]. B. m (0;2) . C. m (0;2] . D. m [0;2) . Hướng dẫn giải Với x 1;3 3 hay 1 x 3 3 log2 1 1 log2 x 1 log2 3 3 1 hay 1 t 2 . 3 3 3 Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;2”. Ta có PT 2m t 2 t 2. Xét hàm số f (t) t 2 t 2, t 1;2, f '(t) 2t 1 0, t 1;2 t 1 2 f (t) 4 f (t) 0 Suy ra hàm số đồng biến trên 1;2. Khi đó phương trình có nghiệm khi 0 2m 4 0 m 2. Vậy 0 m 2 là các giá trị cần tìm. 2 1 2 Câu 124: [DS12.C2.6.D03.d] Cho phương trình 4log9 x mlog1 x log 1 x m 0( m là tham 3 6 3 9 số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 A. 1 m 2 . B. 3 m 4.C. 0 m . D. 2 m 3. 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 2 Ta có: 4log9 x mlog1 x log 1 x m 0 Đk: x 0 3 6 3 9 2 1 2 4 log x mlog x log x m 0 32 3 1 1 6 3 2 9 2 1 1 2 4 log3 x mlog3 x log3 x m 0 2 3 9 2 1 2 log3 x m log3 x m 0 1 3 9 2 1 2 Đặt t log3 x . Khi đó phương trình 1 t m t m 0 2 3 9 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 3 log3 x1.x2 1 log3 x1 log3 x2 1 t1 t2 1 (Với t1 log3 x1 và t2 log3 x2 ) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình 2
  61. b 1 2 Ta có t1 t2 1 1 m 1 m a 3 3 3 Vậy 0 m là mệnh đề đúng. 2
  62. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU: x Câu 125: [DS12.C2.6.D04.a] Phương trình log2 (4 2 ) 2 x tương đương với phương trình nào sau đây? A. 4 2x 2 x B. 4 2x 22 x C. (2x )2 4.2x 4 0 D. Cả 3 đáp án trên đều sai. Hướng dẫn giải Nhắc lại: 2 phương trình tương đương thi từ 1 phương trình này ta có thể biến đổi thành phương trình kia và ngược lại. 2 phương trình tương đương có cùng tập nghiệm. DK : 4 2x 0 2x 22 x 2 2 x x 2 x x 2 x 2 x log2 (4 2 ) 2 x 4 2 2 4 2 x 2 4.2 4 0 x 2 2 So với điều kiện phương trình vô nghiệm. x x x 2 2 4.2 4 0 log2 (4 2 ) 2 x x 2 Chọn D. x Câu 126: [DS12.C2.6.D04.b] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log5 25 log5 m x có nghiệm duy nhất. m 1 1 A. m . B. m 1.C. 1 . D. m 1. 4 5 m 4 5 Hướng dẫn giải. Chọn C. x x t 5x 0 2 PT 25 log5 m 5  t t log5 m Xét g t t 2 t trên 0; ta có bảng biến thiên: 1 t 0 2 g t 0 0 g t 1 4 1 1 log m m PT đã cho có nghiệm duy nhất 5 4 4 5 . log5 m 0 m 1 5.2x 8 Câu 127: [DS12.C2.6.D04.b] Cho x thỏa mãn phương trình log2 x 3 x . Giá trị của biểu 2 2 thức P xlog2 4x là A. P 4 B. P 1 C. P 8 D. P 2 Hướng dẫn giải Chọn C.
  63. Ta có 5.2x 8 x 5.2 8 x 0 0 2 2 x x 5.2 8 2 2 x log2 x 3 x x 4 2 4 x 2 2 2 5.2x 8 8 2 5 x x 2 2 2 x 2 4 Vậy P 2log2 4.2 8. x Câu 128: [DS12.C2.6.D04.b] Phương trình log2 3.2 1 2x 1có bao nhiêu nghiệm? A. 1.B. 2. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2x 1 x 0 x x 2x 1 x x log2 3.2 1 2x 1 3.2 1 2 2.4 3.2 1 0 1 2x x 1 2 [Phương pháp trắc nghiệm] X Nhập vào màn hình máy tính log2 3x2 1 2X 1 0 Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0. Ấn Alpha X Shift STO A X log2 3x2 1 2X 1 Ấn AC. Viết lại phương trình: 0 X A Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1. Ấn Alpha X Shift STO B. X log2 3x2 1 2X 1 Ấn AC. Viết lại phương trình: 0 X A X B Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1= Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. Câu 129: [DS12.C2.6.D04.b] Số nghiệm nguyên dương của phương trình x x 1 log2 4 4 x log 1 2 3 là: 2 A. 2.B. 1. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải x 1 Điều kiện: 2 3 0 x log2 3 1. x x x x 1 4 4 4 4 x Ta có: log2 4 4 x log 1 2 3 log2 x 1 x x 1 2 1 2 2 3 2 3 Đặt t 2x ,t 0. Ta có 1 t 2 4 2t 2 3t t 2 3t 4 0 t 4. 2x 22 x 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 2 . VẬN DỤNG: 2 Câu 130: [DS12.C2.6.D04.c] Cho phương trình 4.5log(100x ) 25.4log(10x) 29.101 log x . Gọi a và b lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó tích ab bằng: 1 1 A. 0 .B. 1. C. . D. . 100 10 Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x 0
  64. 2 Ta có 4.5log(100x ) 25.4log(10x) 29.101 log x 4.25log10x 29.10log10x 25.4log10x 0 5 log10x ( ) 1 1 5 2log10x 5 log10x 2 x 4.( ) 29.( ) 25 0 10 ab 1 2 2 5 log10x 25 ( ) x 10 2 4 x 3 Câu 131: [DS12.C2.6.D04.c] Với giá trị nào của m thì phương trình log2 (4 2m ) x có 2 nghiệm phân biệt? 1 4x 1 A. m B. m 3 C. 0 m D. m 0 2 2 2 Hướng dẫn giải *Cách 1: Dùng công thức biến đổi Điều kiện 4x 2m3 0 Với điều kiện trên phương trình trở thành: 4x 2m3 2x 0 (1) Đặtt 2 x ta được:t 2 t 2m3 0 (2) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình 2 có nghiệm dương phân biệt. 3 0 1 8m 0 1 m S 0 1 0 2 3 m 0 P 0 2m 0 Chọn C.
  65. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ VẬN DỤNG: 2 2 Câu 132: [DS12.C2.6.D04.c] Số nghiệm của phương trình log3 x 2x log5 x 2x 2 là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Chọn B. ĐK: x 0; x 2 . 2 2 Đặt t x 2x x 2x 2 t 2 log3 t log5 t 2 . u log3 t u t 3 Đặt log t log t 2 u 3 5 u log5 t 2 u t 2 5 5u 3u 2 (1) 5u 2 3u 5u 3u 2 5u 2 3u u u . u u u u 3 1 5 2 3 3 2 5 2 1 (2) 5 5 Xét 1 :5u 3u 2 Ta thấy u 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 0 là duy nhất. Với u 0 t 1 x2 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm. u u 3 1 Xét 2 : 2 1 5 5 Ta thấy u 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 1 là duy nhất. Với u 0 t 3 x2 2x 3 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x 0; x 2 . BÌNH LUẬN: Cho f x g x 1 nếu f x , g x đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g x const và f x tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất. Câu 133: [DS12.C2.6.D04.c] Cho phương trình 2log3 cotx log2 cos x . Phương trình này có bao  nhiêu nghiệm trên khoảng ; 6 2 A. 4 B. 3C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: cot2 x 3u Điều kiện sin x 0,cos x 0 . Đặt u log cos x khi đó 2 u cos x 2 2 2 2u u 2 cos x u 4 u Vì cot x 2 suy ra 2 3 f u 4 1 0 1 cos x 1 2u 3 u 4 4 u f ' u ln 4 ln 4 0,u ¡ . Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra 3 3 phương trình f u 0 có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy f 1 0 suy ra 1 cos x x k2 k ¢ . 2 3
  66. Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là x k2 . Khi đó phương trình nằm 3 9 7 trong khoảng ; là x , x . Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng 6 2 3 3 9 ; . 6 2 Chọn C. 2 Câu 134: [DS12.C2.6.D04.c] Phương trình log3 x x 1 x 2 x log3 x có bao nhiêu nghiệm A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Hướng dẫn giải Chọn A. điều kiện x > 0 2 x x 1 2 Phương trình tương đương với log3 2x x x Ta có 2x x2 1 x 1 2 1 2 x2 x 1 1 1 Và log log x 1 log x 3 log 3 1 3 3 3 3 x x x 2 2 x 1 0 x x 1 2 Do đó log3 2x x 1 x 1 x x 0 x x2 2x 1 Câu 135: [DS12.C2.6.D04.c] Cho phương trình log x2 1 3x có tổng tất cả các nghiệm 3 x bằng A. 5 .B. 3 . C. 5 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện x 0 và x 1 2 x 2x 1 2 2 2 log3 x 1 3x log3 x 2x 1 log3 x x 2x 1 x 0 x 2 2 log3 x 2x 1 x 2x 1 log3 x x (*) Xét hàm số f t log3 t t với t 0 và t 1 1 Nên f t 1 0 với với t 0 và t 1 nên f t đồng biến với với t 0 và t 1 t ln 3 3 5 Do đó: f x2 2x 1 f x x2 2x 1 x x2 3x 1 0 x 2 Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 3 . Câu 136: [DS12.C2.6.D04.c] Phương trình: ln x2 x 1 ln 2x2 1 x2 x có tổng bình phương các nghiệm bằng: A. 5 .B. 1. C. 9 . D. 25 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có ln x2 x 1 ln 2x2 1 x2 x . ln x2 x 1 ln 2x2 1 2x2 1 x2 x 1