Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức - Cù Minh Quảng

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức - Cù Minh Quảng

1. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BÀI TẬP VẬN DỤNG 1 Bài 1. Với xyz,, là các số thực dương sao cho xyz.. . 6 1 1 1 Chứng minh: 1. xy3 8 3 1 8 yz 3 27 3 1 27 zx 3 3 1 Lời giải 1 Có: xyz. . 6 xyz . . 1 6 Ta có: x3 2 y3 xyx .2 2 y 3 1 1 x3 2 y 1 2 xyxyz 2 3 x3 2 y 3 1 2xyx 2 y 3 z 1 1 Chứng minh tương tự: 2y 3 3 z 3 1 6yzx 2 y 3 z 1 1 3z 3 x3 1 3xzx 2 y 3 z 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 xy3 2 1 2 yz 3 1 3 zx 3 1 x 2 y 3 z 2 xy 6 yz 3 zx 1 1 1 1. xy3 8 3 1 8 yz 3 27 3 1 27 zx 3 3 1 Bài 2. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x y 3 . 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 3xy y 1 Lời giải 2 3 2 3 A 3xy y 1 3 xy 3 y 1 2 6 2xy 6 y 4 1 2 xy y 3xy 3 y 1 3 xy 6 y 4 6 6 3   2 2 3 1 A2 yx . 1 6  3y 1 1 1 1 2 4 1 2 2.312.42yy yy yy2 44 y 2 6 6 6 3 3 6 4 A với mọi x, y . 3 4 Vậy A khi x 1; y 2 . Min 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
2. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 Bài 3. Cho các số dương a, b thoả mãn a3 b 3 a b ab a 2 b 2 1. 3 a2 8 b 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: M . a b Lời giải Ta có 1 1 a3 b 3 a b ab a 2 b 2 1 a b a2 b 2 ab1 a 2 b 2 ab 1 3 3 Vì a2 b 2 ab 1 0 a,b R 1 a b 1 a b 3 3 Khi đó ta có a2 8 b 2 2 8 2 4 1 4 1 M a b a b a b a b a b a b 4 1 4 1 M a b a b a b Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các cặp số dương ta có: 4 4 a 2 a . 2 4 4 a a 1 1 b 2 b . 2 1 2 b b 2 4 1 2 1 9 3 a b a b 3 GTNN của M là 4 2 3 9 . 4 a a 1 a 2 Dấu “ ” xảy ra khi b b b 1 a 2 b Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là 9khi a 2; b 1. Bài 4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x2 y 2 1. 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px y . x y Lời giải  x , y 0: xy 20 xxyy2 2 2 0 2 xyxxyy 2 2 2 2 2 2 xy 2 2 xy 2 xy2 xy2 2 . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 96 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
3. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 2 2 x y 4 xy 0 x2 2 xyy 2 0 x 2 2 xyy 2 4 xy xy 4 xy xy x y 1 1 4 . x y xy 11 1 1111 1 114 2 Pxyxy 2 xy . 2 . . = 2 2 xy2 x 2 yxy 2 2 x 2 yxy 2 x y 2 2 P 2 2 2 2 3 2 . 2 x2 y 2 2.1 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y . 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 khi x y . 2 Bài 5. Chứng minh rằng: 2 1 3 1 Với mọi x 1,ta luôn có 3 x 2 2 x 3 x x Lời giải 2 1 3 1 Ta có 3 x 2 2 x 3 x x 3 1 2 1 2 x 3 3 x 2 0 x x 12 2 3 x2 x 2 3 x 2 0 x x x 1 2 1 4 xxx22 2 2 4 x 2 0 2 x xxx 1 2 1 2 2 xxx 2 1 2 x 1 2 2 x 1 0 x xxx x 1 1 2 xx 2 2 x 1 0 xx x 2 1 x 1 2 x 2 x 1 0 xx x 1 x 0 x x 1 2 Vì x 1 nên 0 . x 2 2x 1 0 x DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 97 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
4. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 6. Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ac 3 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 b 2 c 2 biểu thức K . cc 2 a 2 aa 2 b 2 bb 2 c 2 Lời giải 1 1 1 ab bc ac3 abc 3 (1) a b c a2 a 2 c 2 c 2 1 ac Cauchy 1 1 Ta có . cca 2 2 cca 2 2 cca 2 2 c aca 2 2 c2 a b2 1 1 c2 1 1 Tương tự, , . a a2 b 2 a2 b bb 2 c 2 b2 c 1 1 1 1 1 3 Khi đó K . 2 a b c 2 3 Vậy MinK abc 1. abc, , 0 2 Bài 7. điểm) Cho a, b là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện: a b ab a b 2 ab . Tìm giá 1 1 trị lớn nhất của biểu thức P 2. a3 b 3 Lời giải Theo giả thiết: a b ab a b 2 ab a2 b ab 2 a 2 ab b 2 1 1 1 1 1 Do a 0; b 0 nên chia cả hai vế cho a2 b 2 ta được: . a b a2 ab b 2 1 1 Đặt x ; y ta được : a b x y x2 xy y 2 (1) xy xy 2 3 xy 2 x y x y xy 3 3 2 2 x y Mà xy 4 xy hay xy 4 2 2 xy x y xy Suy ra 3 3 4 xy 2 4 xy 0 0 x y 4 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 98 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
5. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 3 3 2 2 2 Ta có: P 3 3 2 x y 2 x y x xy y 2 x y 2 (do 1) a b 2 Mà 0 x y 4 nên 2 x y 2 18 . 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 18khi x y 2 và a b . 2 Bài 8. Cho các số thực thỏa mãn x2 y 2 – xy 4 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Px 2 y 2 . Lời giải +) Tìm GTLN của P : 2 2 Ta có x y– xy 4 2 2 2 2x2 2 y 2 – 2 xy 8 xy2 2 xy 8 P xy 8 P 8 xy 2 Ta có x y 0 với mọi x, y Suy ra P 8 x y 0 x y 2 MaxP 8 2 2 . x y xy 4 Vậy MaxP 8 khi x y 2. +) Tìm GTNN của P : Ta có x2 y 2 – xy 4 2 2 2x 2 y – 2 xy 8 2 3 xy2 2 xy 2 8 3P 8 xy Ta có x y 2 0 với mọi x, y 8 Suy ra 3P 8 P 3 2 x 3 y x 2 2 y 8 xy 0 yx x 3 Min P 3 3 xyxy2 24 3 x 2 4 2 2 x x 3 3 2 y 3 8 2 2 2 2 Vậy Min P khi x ; y hoặc x ; y . 3 3 3 3 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 99 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
6. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 9. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn ab bc ca 1 a2 b 2 c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a b b c c a Lời giải 2 a2 b 2 c 2 a b c Áp dụng bất đẳng thức: , ta được x y z xyz 2 a2 b 2 c 2 abc 2 abc A abbcca 2 abc 4 a b b c c a 2 ab bc ca 1 4 4 2 Dấu " " xảy ra khi a b c 1. a2 b 2 c 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A là khi a b c 1. a b b c c a 2 2 2 2 3 Bài 10. Cho x y z . Chứng minh: 8 14x 8 14 y 8 14 z 3 3 7 . 7 Lời giải 4 ĐKXĐ: xyz,, . 7 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm 8 2 7 và 8 14x , ta có: 8 2 7 8 14x 8 2 7 8 14x 2 2 7 1 8 14x 8 7 7 x 8 7 7x 8 14x . (1) 7 1 Chứng minh tương tự, ta có: 8 7 7y 8 14y . (2) 7 1 8 7 7z 8 14z (3) 7 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 24 3 7 7 x y z 8 14x 8 14 y 8 14 z . 7 1 Ta có: DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 100 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
7. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 2 2 2 2 xyz x y z 2 xy 2 yz 2 zx . 2 2 2 Mà: 2xy 2 yx 2 zx 2 x y z . 2 3 9 Suy ra: xyz3 xyz2 2 2 3. . 7 7 3 Do đó: x y z . 7 Suy ra: 3 24 3 7 7. 3 8 2 7 7 24 6 7 8 14x 8 14 y 8 14 z 3 3 7 . 7 1 7 1 7 1 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z . 7 Bài 11. Tìm cặp số (x ; y) với y là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 Lời giải Phương trình có nghiệm ẩn x khi và chỉ khi 4y2 5 y 2 2 y 3 0 y2 2 y 3 0 y 1 2 4 2 y 1 2 3 y 1 Giá trị nhỏ nhất của y là 3 khi đó phương trình xx2 12 36 0 x 6 Bài 12. Cho 3 x 5. 2 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 3 5 x (x 3)(5 x ) Lời giải Ta có 3 x 5 nên x 3 0;5 x 0 2 2 4 4 Áp dụng BĐT Cauchy: 2. x 3 5 xx 3 5 x x 3 5 x 3 A x 3 5 x x 3 5 x Áp dụng BĐT Cauchy: x 3 5 x 1 2 1 Suy ra 1 x 3 5 x Suy ra A 3. Vậy GTNN A 3 khi và chỉ khi x 3 5 xx 4. DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 101 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
8. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 13. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 6 24 biểu thức: P x y . x y Lời giải 6 24 4 16 2 8 Ta có: Pxy x y xy x yxy 2 1 2 9 2 4 2 16 2 4 8 2. 15 x y 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của P 15. Dấu bằng xảy ra khi x 2; y 4 Bài 14. Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 a2 abb 2 b 2 bcc 2 c 2 caa 2 . b c a Lời giải a2 b 2 c 2 Đặt a2 abb 2 b 2 bcc 2 c 2 caa 2 (*). b c a a2 b 2 c 2 Vì abc, , 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm abc,,,,, ta được b c a a2 a 2 b2 b 2 c2 c 2 b2 . b 2 a , c2 . c 2 b , a2 . ac 2 b b c c a a abc2 2 2 abcabc 2 2 2 2 2 2 Suy ra abc2 abc (1) b c a b c a b c a abc2 2 2 aabbbbccccaa 2 2 2 2 2 2 Ta có abc abc . (2) b c a b c a a2 abb 2 b 2 bcc 2 c 2 caa 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm ,,,,,b c a b c a ta được aabb2 2 bbcc 2 2 ccaa 2 2 baabb22 2 , cbbcc 2 2 2 , accaa 2 2 2 b c a (3) 2 2 2 a b c 2 2 2 2 2 2 Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 2aabb 2 bbcc 2 ccaa hay b c a a2 b 2 c 2 a2 abb 2 b 2 bcc 2 c 2 caa 2 b c a Do đó (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi dấu bằng tại (1) và (4) xảy ra. Tức là DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 102 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
9. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC a2 b 2 c 2 b,, c a 2 2 2 2 2 2 b c a a b,, b c c a aabb2 2 bbcc 2 2 ccaa 2 2 aabbbbbcccccaa 2 222,, 222 22 a b, c , a b c a a2 b 2,, b 2 c 2 c 2 a 2 . a( a b ) 0, b ( b c ) 0, c ( c a ) 0 Vì abc, , 0 nên suy ra dấu bằng xảy ra khi a b c. Bài 15. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c P 2bca2 2 2 2 2 acb 2 2 2 2 2 abc 2 2 2 2 Vì abc,, là 3 cạnh của tam giác nên 2a2 2 c 2 b 2 , 2 a 2 2 b 2 c 2 , 2 b 2 2 c 2 a 2 đểu là các số dương. Áp dụng công thức Cauchy ta có: 3a2 2 b 2 2 c 2 a 2 3abca2 2 2 2 2 2 abc 2 2 2 2 a a23 a 2 3 Ta có: 2 2 2 2b2 2 c 2 a 2 3a2 2 b 2 2 c 2 a 2 a b c 2 2 2 a b c 3 a b c P 2 2 2 3 2bca2 2 2 2 2 acb 2 2 2 2 2 abc 2 2 2 2 a b c Vậy GTNN P 3 khi và chỉ khi a b c hay là tam giác đều. 2) Ta coi như hình vẽ thành bài toán đường tròn tâm O nội tiếp tam giác đều ABC vậy tâm O của đường tròn sẽ trùng với trọng tâm tam giác ABC vậy nên đường cao của tam giác đều là 3R (với R là bán kinh đường tròn O ) 2.3R Suy ra BC 2 3 R . 3 1 1 2 Thể tích hình nón là: V Rh2. 3 RRR .3 3 3 3 3 4 Thể tích hình cầu là: V R3 3 Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngoài quả cầu kem là 4 5 VR 3 3 R 3 R 3 . 3 3 Bài 16. Cho ba số dương a, b , c thoả mãn ab bc ca 1. a2 b 2 c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . a b b c c a DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 103 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
10. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có a2 b 2 c 2 2 abcAabbcca ( abc )2 a b b c c a a b c Suy ra A 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a b 2 ab b c 2 bc c a 2 ca Suy ra a b b c c a2 ab bc ca 2.1 2 a b c 1 Suy ra 2 a b c 2 , hay 2 2 a b c 1 Vậy nên A 2 2 1 1 Khi a b c thì A 3 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 2 a2 2 b 2 Bài 17. Cho a, b 0 thỏa mãn 2a ab 4 0. Tính giá trị nhỏ nhất của T . ab Lời giải Ta có 2a ab 4 0 a 2 b 4. 4 Kết hơp với a 0 ta suy ra b 2 a . 2 b a2 b 7 a a 2 b 7 a Ta có T 1 b a8 b 8 b a 8 b 7 4 7 1 9 T . 1 .2 1 . 8b 2 b 2 2 b b 2 2 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 104 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
11. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a 4 . 2 b b 1 2 b b 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là , đạt được khi a 4 và b 1. 2 Bài 18. ) Cho các số thực x; yz ; thỏa mãn 2 x 3;4 y 6;4 z 6 và x y z 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz . Lời giải 2 y z 1 Ta có Pxyzx x 12 x 12 x . 2 4 3 3 1 1 x 24 1 3 24 243 3x 12 x 12 x . 12 12 3 12 3 4 243 9 Vậy MaxP khi x 3; yz . 4 2 Bài 19. Cho x , y là các số thực thỏa mãn x2 xy y 2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Px 2 y 2 . Lời giải Ta có xxyy2 23 2 xxyy 2 2 6 xy2 2 xy2 6 P 6 xy 2 6 xy xy xy 3 Dấu “ ” xảy ra 2 2 2 xxyy 3 x 3 x y 3 x y 3 GTLN của P là 6 khi và chỉ khi x y 3 +) Có 6 2 xxyy2 2 3 xy 2 2 xy 2 2 21 2 3Pxy 6 3 P 6 xy P xy 2 2 3 x 1 xy xy y 1 Dấu “ ” xảy ra 2 2 2 xxyy 3 3 x 3 x 1 y 1 x 1 x 1 Vậy GTNN của P là 2 khi và chỉ khi hoặc y 1 y 1 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 105 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
12. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 20. Cho biểu thức M x2 y 2 với x, y là các số thực thỏa mãn 0 y x 4 và x y 7 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M Lời giải Ta có M x2 y 2 x 2 xyxyy 2 xxy yxy Do 0 y x 4 và x y 7 nên M 4 xy 7 y M 4 x 3 y M 3 xyx 3.7 4 M 25 Dấu “=” xảy ra x4; y 3 Vậy MaxM 25 khi và chỉ khi x 4; y 3 Bài 21. Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x y 5 . Chứng minh 25 12,5 rằng: 4. x2 y 2 xy Lời giải 1 1 4 Dễ dàng chứng minh được với a 0, b 0 ta có (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ a b a b khi a b . 1 1 4 4 25 12,5 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 4 . x2 y 2 2 xy x y 2 25 x2 y 2 xy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 2,5 ( thỏa mãn). Bài 22. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x 7 , x y 12 và x y z 15 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ax 2 y 2 z 2 . Lời giải Ta có: x 7 , x y 12 và x y z 15 x 7 2  0, x x2 14 x 49 0 x2 14 x 49 y 5 2  0, y y2 10 x 25 0 y2 10 y 25 z 3 2  0, z z2 6 z 9 0 z2 6 x 9 Ax2 y 2 z 2 14x 10 y 6 z 83 A 6 xyz 6 6 4 xy 4 4 x 83 A6 xyz 4 xy 4 x 83 A 6.15 4.12 4.7 83 (vì x 7 , x y 12 và x y z 15) A 83. Dấu “ = ” xảy ra khi x 7 , y 5 , z 3 (thỏa mãn) Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 83khi x 7 , y 5 , z 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 106 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
13. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 1 Bài 23. Cho abc,, là các số dương thay đổi thỏa mãn 2020 . Tìm giá trị lớn a b b c c a 1 1 1 nhất của biểu thức P . 2abcabcabc 3 3 3 2 3 3 3 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương a,,, b c d ta có : a b c d 4 4 abcd 1 1 1 1 1 4 4 a b c d abcd 1 1 1 1 a b c d 16 a b c d 1 1 1 1 16 a b c d a b c d 1 1 Ta có : 233(abc ab )( ac )( bc )( bc ) Áp dụng bất đằng thức phía trên ta có : 1 1 1 1 1 1 . (ab ) ( ac ) ( bc ) ( bc ) 16 abacbcbc 1 1 1 1 2 . 2abc 3 3 16 abacbc Chứng minh tương tự ta có: 1 1 1 1 2 . 3abc 2 3 16 abbcac 1 1 1 1 2 . 3a 3 b 2 c 16 a c b c a b 1 1 1 1 P .4 16 ab acbc 1 P .2020 505 4 3 Dấu ‘’= “ xảy ra khi a b c 4040 . Bài 24. Cho biểu thức M x2 y 2 với x, y là các số thực thỏa mãn 0 y x 4 và x y 7 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M Lời giải Ta có M x2 y 2 x 2 xyxyy 2 xxy yxy Do 0 y x 4 và x y 7 nên M 4 xy 7 y DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 107 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
14. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC M 4 x 3 y M 3 xyx 3.7 4 M 25 Dấu “=” xảy ra x4; y 3 Vậy MaxM 25 khi và chỉ khi x 4; y 3 Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Axy 2 2 x 1 5 4 y 1 16 . Lời giải Axy 2 2 x 1 5 4 y 1 16 2Axy 2 4 2 2 x 1 10 4 y 1 32 2Ax 2 1 2 2 x 1 1 4 y 1 2 4 y 1.5 25 8 2 2 1 3 2Ax 2 1 1 4 y 1 5 8 8 (với mọi x ; y ). 2 4 A 4 . 2x 1 1 0 2x 1 1 0 2x 1 1 1 3 MinA 4 (với mọi x ; y ). 4y 1 5 0 4y 1 5 0 4y 1 25 2 4 x 1 13 (nhận). y 2 x 1 Vậy MinA 4 13 . y 2 Bài 26. Cho a , b , c 0thỏa mãn a 2 b 3 c 20. Tìm GTNN của biểu thức A . Biết 3 9 4 A abc . a2 bc Lời giải Ta có: 3 9 4 3a 3 b 9 c 4 1 A abc a 2 b 3 c a2 bc 4a 2 2 b 4 c 4 Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số không âm, ta được 3a 3 3 a 3 2 . 3 4a 4 a b9 b 9 2 . 3 2 2b 2 2 b c4 c 4 2 . 2 4c 4 c DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 108 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
15. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 Do đó A 3 3 2 abc 2 3 13. 4 Dấu “ ” xảy ra khi a 2; b 3; c 4. Vậy GTNN của biểu thức A bằng 13 khi a 2; b 3; c 4. 3 2 x 2 y 4 y 3 0 1 Bài 27. Cho hai số thực x , y thoả mãn hệ điều kiện: .. 2 2 2 x xy 2 y 0 2 Tính giá trị của biểu thức: Px 2020 y 2020 . Lời giải Từ 1 ta có: xy3 2 1 2 1 1 x 1. 3 2 2 2y 2 2 y y 1 Từ 2 ta có: x 2 x 2 2 1 1x 1 . 4 y 1 y 1 y 1 Từ 3 và 4 , suy ra x 1 y 1. Vậy P 2 . Bài 28. Cho đường thẳng d : ym 2 1 x 4 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d lớn nhất. Lời giải y A H B O 1 x (d) Vì m2 1 0 với mọi m nên đường thẳng d luôn xác định. Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy , B là giao điểm của đường thẳng d với 4 trục Ox . Khi đó tọa độ của A và B là A 0;4 ; B 2 ;0 . m 1 Vẽ OH AB , khi đó OH là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d . 4 Ta có OA 4 ; OB . m2 1 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 109 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
16. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Xét tam giác OAB vuông tại O , vì OH AB nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta 22 2 2 1 1 1 1 m 1 m 1 1 4 có: OH . 2 2 2 2 OH OA OB 16 16 16 m2 1 1 2 Ta có m2 0 với mọi m m2 1 1 với mọi m 2 2 4 4 m2 1 1 2 m 2 1 1 2 với mọi m OH 2 2 . 2 m2 1 1 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 0. Vậy với m 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất là 2 2 . Bài 29. Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo. Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50 tấn gạo. Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất? Lời giải Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860 500 430000 (USD) * Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x ,0 x 20 Giá gạo sau khi giảm giá là 500 25x (USD/tấn) Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860 50x (tấn) Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P 500 25 x 860 50 x (USD) Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn hơn 430 000 P 430000 0 500 25 xx 860 50 430000 0 1250 xx2 3500 0 50x 7025 x 0 0 x 2,8 . Vì x * x 1;2 . Với x 1 P 432 250 . Với x 2 P 432000 . Vậy doanh nghiệp bán gạo với giá 475 USD/tấn để doanh thu trong tháng 2/2020 lớn nhất . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 110 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
17. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 30. Cho x , y là hai số không âm thỏa mãn x2 y 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Ax 2 yx 5 y yxy 2 5 x . Lời giải 2 2 Với mọi a , b ta có a b0 a b 2 a2 b 2 a b 2 a 2 b 2 Áp dụng kết quả trên ta được Axyxyyxyx 2 5 2 5 2 2 xxyy2 5 2 2 yxyx 2 5 2 2 2xyx 2 y 2 20 xy 2 2 8xy 20 xy 2 x2 y 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm x , y ta có xy nên 2 4 ta có xy 2 . 2 2 Vậy nên A 2 8 xy 20 xy 2 8.2 20.22 8 3 . Khi x y 2 thì A 8 3 , do đó giá trị lớn nhất của A là 8 3 . Bài 31. Giải phương trình 2x 5 7 2 xxx 32 18 29 Lời giải Đặt axb 2 5, 7 2 x a, b 0 Ta có: a b 2 ab 35 Phương trình có dạng: a b3. 29 4 a b 3 ab 11 4 Bình phương hai vế phương trình ta có: 16 a b 2 ab 9 a2 b 2 66 ab 121 16 2 2 ab 9 a 2 b 2 66 ab 121 2 2 9a b 66 ab 32 ab 89 0 3 ab1 9 ab 9 ab 57 ab 89 0 ab 1 3 9ab 9 ab 57 ab 89 0 +) Với ab 1 ab 1 thế b 2 a vào ta có a 2 a 1 a2 2 a 1 0 a 1 x 3 3 +) Với 9 ab 9 ab 57 ab 89 0 a b 3 Do ab 1 nên 9ab 9 ab 57 ab 89 9 9 0 89 71 nên phương trình vô 2 nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3. DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 111 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
18. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 32. Cho ba số dương xyz,, thỏa mãn điều kiện x y z 1. xy yz xz 3 Chứng minh: . xyz yzx xz y 2 Lời giải Sử dụng giả thiết x y z 1 và bất đẳng thức AM-GM ta có: xy yz zx LHS xyzxyz yzxxyz zxyxyz xy yz zx zxyz xyzx yzxy 1 xy 1 yz 1 zx 2 zxyz 2 xyzx 2 yzxy 1 xz yz yx 3 2 zxzx yzyz xyxy 2 1 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi x y z . 3 Bài 33. Cho các số thực abc,, thỏa mãn a 3, b 7, c 7 và a2 b 2 c 2 122 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa 8 15 b 17 c . Lời giải Có a2 122 b 2 c 2 122 7 2 7 2 24 a 5 3a 5 a 3 a 5 0 8 a a2 15 1 b2 122 a 2 c 2 12237 2 2 64 b 8 7b 8 b 7 b 8 0 15 b b2 56 2 cab2 122 2 2 1223 2 7 2 64 c 810 7c 10 cc 7 10 0 17 cc 2 70 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra 8a 15 b 17 cabc 2 2 2 155670122141263 a2 b 2 c 2 122 a 3 Xảy ra dấu “=” khi 8a 15 b 17 c 263 b 8 3 a 5;7 b 8;7 c 8 c 7 GTNN P 263 a 3, b 8 , c 7 . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 112 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
19. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 34. Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo. Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50 tấn gạo. Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất? Lời giải Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860 500 430000 (USD) * Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x ,0 x 20 Giá gạo sau khi giảm giá là 500 25x (USD/tấn) Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860 50x (tấn) Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P 500 25 x 860 50 x (USD) Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn hơn 430000 P 430000 0 500 25 xx 860 50 430000 0 1250 xx2 3500 0 50x 70 25 x 0 0 x 2,8 . Vì x * x 1;2 . Với x 1 P 432 250 . Với x 2 P 432000 . Vậy doanh nghiệp bán gạo với giá 475 USD/tấn để doanh thu trong tháng 2/2020 lớn nhất . Bài 35. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 3 . 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . xy y 1 Lời giải 2 3 2 6 A 3yy 3 3 y 1 3 yyy 3 3 1 2 2 6 4 36 2 6 3yy 3 3 y 1 6 yyy 3 6 4 18 yyy 62 6 24 2 2 6 64 64 4 18y 6 y2 6 y 2448 6 y 2 2 48 3 4 ⇒ GTNN của A khi x 1, y 2 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 113 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
20. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 36 Cho ba số a , b , c dương. 1 1 1 a b c Chứng minh rằng: a2 bc b 2 ac c 2 ab2 abc Lời giải + Vì abc, , 0 nên theo BĐT Cô si ta có: a b 2 ab  b c2 bc a b c ab bc ca c a 2 ac  + Vì abc, , 0 nên ta có: a2 bc 2 a bc 1 1 a2 bc 2a bc abc bc a2 bc 2 Chứng minh tương tự ta có: abc ac b2 ac 2 abc ab c2 ab 2 abc abc abc bc ac ab1 a b c bc ac ab a2 bc b 2 ac c 2 ab 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a2 bc b 2 ac c 2 ab2 abc Bài 37. Cho a,b,c là hai số thực không âm thỏa mãn a b c 1.Chứng minh rằng: a b b c c a 6. Lời giải 2 Vì xy, 0 : xy 0 2 xyxy và a b c 1 nên ta có: 2 ab bc ca2 abc 2 abbc 2 bcca 2 caab 2 abc abbc bcca caab 6 abc 6 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 114 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG