Ôn tập học kì I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Nguyễn Du

Nội dung text: Ôn tập học kì I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Nguyễn Du

1. PHÒNG GD & ĐT THỊ XÃ BUÔN HỒ TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020 PHẦN I-ĐẠI SỐ Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA A - LÝ THUYẾT I. ĐẠI SỐ: 1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai a) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. x 0 b) Với a 0 ta có x = a 2 2 x a a c) Với hai số a và b không âm, ta có: a 0) 4. A2B A B (B 0) B B 5. A B A2B (A 0, B 0) A B A2B (A 0) 9. (A, B 0, A B) B B A B A B  Bài tập:  Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 4 1) 2x 3 2) 2 3) 4) 5 x 2 x 3 x 2 6 3 5) 3x 4 6) 1 x 2 7) 3 8) 1 2x 3x 5  Rút gọn biểu thức Bài 1 1) 12 5 3 48 2) 5 5 20 3 45 3) 2 32 4 8 5 18 4) 3 12 4 27 5 48 5) 12 75 27 6) 2 18 7 2 162 1 1 7) 3 20 2 45 4 5 8) ( 2 2) 2 2 2 9) 5 1 5 1 1 1 2 2 10) 11) 12) 2 2 5 2 5 2 4 3 2 4 3 2 1 2 13) ( 28 2 14 7) 7 7 8 14) ( 14 3 2) 2 6 28 15) ( 6 5) 2 120 16) (2 3 3 2) 2 2 6 3 24 1
2. 2 2 2 2 2 17) 3 2 3 2 18) 2 3 2 3 3) 5 3 2 5 3  Giải phương trình: Phương pháp: 2 2 A 0 A B A B ; A B 0 B 0 A 0 (hay B 0) B 0 A B A B 2 A B A B A 0 A 0 B 0 A B hay A B A B A B A B hay A B A 0 A B A B hay A B A B 0 B 0 Chú ý:  |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2x 1 5 2) x 5 3 3) 9(x 1) 21 4) 2x 50 0 5) 3x 2 12 0 6) (x 3) 2 9 7) 4x 2 4x 1 6 8) (2x 1) 2 3 9) 4x 2 6 10) 4(1 x) 2 6 0 11) 3 x 1 2 12) 3 3 2x 2 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) (x 3)2 3 x b) 4x2 20x 25 2x 5 c) 1 12x 36x2 5 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 2x 5 1 x b) x2 x 3 x c) 2x2 3 4x 3 d) 2x 1 x 1 e) x2 x 6 x 3 f) x2 x 3x 5 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x2 x x b) 1 x2 x 1 c) x2 4x 3 x 2 d) x2 1 x2 1 0 e) x2 4 x 2 0 f) 1 2x2 x 1 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x2 2x 1 x2 1 b) 4x2 4x 1 x 1 c) x4 2x2 1 x 1 1 d) x2 x x e) x4 8x2 16 2 x f) 9x2 6x 1 11 6 2 4 CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.Các bước thực hiên:  Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được) Quy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. 2
3. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên). Rút gọn. B.Bài tập luyện tập: x 2x x Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1) x 1 x x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A tại x 3 2 2 . a 4 a 4 4 a Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) a 2 2 a a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1. x 1 2 x x x Bài 3: Cho biểu thức A = x 1 x 1 a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A; c)Với giá trị nào của x thì A< -1. 1 1 x Bài 4: Cho biểu thức : B = 2 x 2 2 x 2 1 x a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của B với x =3; 1 c) Tìm giá trị của x để A . 2 x 1 2 x 2 5 x Bài 5: Cho biểu thức : P = x 2 x 2 4 x a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = 2. 1 1 a 1 a 2 Bài 6: Cho biểu thức: Q = ( ) : ( ) a 1 a a 2 a 1 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương; c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 45 . x 2 x 2 x 2 2x 1 Bài 7 : Cho biểu thức: G= . x 1 x 2 x 1 2 a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị của G khi x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn nhất của G; e)Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên; f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm; Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT 3
4. I. HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. * Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng. II. HÀM SỐ BẬC NHẤT:  Kiến thức cơ bản: 3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc nhất a) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b R và a 0) b) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x R. Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. Nghịch biến trên R khi a < 0. 4) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc). 5) Cho (d): y = ax + b và (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0). Ta có: a a' a a' (d)  (d') (d)  (d') b b' b b' (d)  (d') a a' (d)  (d') a.a' 1  Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau. Phương pháp: Xem lại lí thuyết -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b , , Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a x + b , , Phương pháp: Đặt ax + b = a x + b giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S. -Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lí thuyết. -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng ( xác định hệ số a và b của hàm số y=ax+b) Phương pháp chung: Gọi đường thẳng phải tìm có dạng (hoặc công thức của hàm số ): y=ax+b Căn cứ vào giả thiết để tìm a và b. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) 4
5. + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm. -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: 2 2 Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m -1) x + m -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định . b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui  Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0) và y = (2 - m)x + 4 ;(m 2) . Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: a)Song song; b)Cắt nhau . Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm 1 trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = x và cắt trục hoành 2 tại điểm có hoành độ bằng 10. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). 1 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = x 2 và (d2): y = x 2 2 a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 2 2 (d2) : y = (3m +1) x +(m -9) a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bài 10: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để: 5
6. a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2 b) Đường thẳng d song song với đ/thẳng 2y- x =5 c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4 d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1 Bài 13: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5 a) Vẽ đồ thị với m=6 e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135o b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30o , 60o c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x- 4 tại một điểm trên 0y d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45o h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x- 3 tại một điểm trên 0x Bài 14 Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3 a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến . b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy. d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 PHẦN II - HÌNH HỌC Chương I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Hệ thức giữa cạnh và đường cao:Hệ thức giữa cạnh và góc: b 2 a.b, ;c 2 a.c , a 2 b 2 c 2 , , h 2 b, .c , a b c a.h b.c b 2 b, c 2 c , .; 1 1 1 2 , 2 , c c b b h2 b2 c2 Đ K Đ K Tỷ số lượng giác: Sin ;Cos ;Tg ;Cotg H H K Đ Tính chất của tỷ số lượng giác: Sin Cos Tan Cot 1/ Nếu  900 Thì: Cos Sin Cot Tan 2/Với nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1 *sin2 + cos2 = 1 *tan = *cot = *tan . cot =1 Hệ thức giữa cạnh và góc: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:b a.SinB.;c a.SinC + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: b a.CosC.;c a.CosB + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tan góc đối:b c.TanB.;c b.TanC + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cot góc kề:b c.CotC.;c b.CotB Bµi TËp ¸p dông: Bài 1. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Biết AH = 12cm, CH = 5cm. Tính AC, AB, BC, BH. b) Biết AB = 30cm, AH = 24cm. Tính AC, CH, BC, BH. c) Biết AC = 20cm, CH = 16cm. Tính AB, AH, BC, BH. 6
7. d) Biết AB = 6cm, BC = 10cm. Tính AC, AH, BH, CH. e) Biết BH = 9cm, CH = 16cm. Tính AC, AB, BC, AH. Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 600 , BC = 20cm. a) Tính AB, AC b) Kẻ đường cao AH của tam giác. Tính AH, HB, HC. Bài 3. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết: a) AB = 6cm, Bµ 400 b) AB = 10cm, Cµ 350 c) BC = 20cm, Bµ 580 d) BC = 82cm, Cµ 420 e) BC = 32cm, AC = 20cm f) AB = 18cm, AC = 21cm Bài 4. Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: sin 650; cos 750; sin 700; cos 180; sin 790 Chương II. ĐƯỜNG TRÒN: .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết: + Tâm và bán kính,hoặc + Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường kính) , hoặc + Đường tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .  Tính chất đối xứng: + Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của đường tròn. + Bất kì đường kính vào cũng là một trục đối xứng của đường tròn.  Các mối quan hệ: 1. Quan hệ giữa đường kính và dây: + Đường kính (hoặc bán kính)  Dây Đi qua trung điểm của dây ấy. 2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm. + Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn: + Đường thẳng không cắt đường tròn Không có điểm chung d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn). + Đường thẳng cắt đường tròn Có 2 điểm chung d < R. + Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Có 1 điểm chung d = R.  Tiếp tuyến của đường tròn: 1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó. 2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó. BÀI TẬP TỔNG HỢP HỌC KỲ I: Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D a/ Chứng minh: AD là đường kính; b/ Tính góc ACD; c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đường tròn tâm (O). Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm ) a/ Chứng minh: OA  BC b/Vẽ đường kính CD chứng minh: BD// AO c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm? Bài 3: Cho đường tròn đường kính AB . Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chửựng minh: a/ CE = CF b/ AC là phân giác của góc BAE c/ CH2 = BF . AE Bài 4: Cho đường tròn đường kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đường tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR 7
8. CN NB a/ b/ MN  AB c/ góc COD = 90º AC BD Bài 5: Cho ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB, ñieåm M thuoäc ñöôøng troøn. Veõ ñieåm N ñoái xöùng vôùi A qua M. BN caét ñöôøng troøn ôû C. Goïi E laø giao ñieåm cuûa AC vaø BM. a)CMR: NE  AB b) Goïi F laø ñieåm ñoái xöùng vôùi E qua M .CMR: FA laø tieáp tuyeán cuûa (O). c) Chöùng minh: FN laø tieáp tuyeán cuûa ñtroøn (B;BA). d/ Chöùng minh : BM.BF = BF2 – FN2 Baøi 6: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB = 2R, M laø moät ñieåm tuyø yù treân nöûa ñöôøng troøn ( M A; B).Keû hai tia tieáp tuyeán Ax vaø By vôùi nöûa ñöôøng troøn.Qua M keû tieáp tuyeán thöù ba laàn löôït caét Ax vaø By taïi C vaø D. a) Chöùng minh: CD = AC + BD vaø goùc COD = 900 b) Chöùng minh: AC.BD = R2 c) OC caét AM taïi E, OD caét BM taïi F. Chöùng minh EF = R. d) Tìm vò trí cuûa M ñeå CD coù ñoä daøi nhoû nhaát. Baøi 7: Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng kính AB. Qua A vaø B veõ laàn löôït 2 tieáp tuyeán (d) vaø (d’) vôùi ñöôøng troøn (O). Moät ñöôøng thaúng qua O caét ñöôøng thaúng (d) ôû M vaø caét ñöôøng thaúng (d’) ôû P. Töø O veõ moät tia vuoâng goùc vôùi MP vaø caét ñöôøng thaúng (d’) ôû N. a/ Chöùng minh OM = OP vaø tam giaùc NMP caân. b/ Haï OI vuoâng goùc vôùi MN. Chöùng minh OI = R vaø MN laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). c/ Chöùng minh AM.BN = R2 d/ Tìm vò trí cuûa M ñeå dieän tích töù giaùc AMNB laø nhoû nhaát. Veõ hình minh hoaï. PHẦN III: ĐỀ TỰ LUYỆN ÔN TẬP HỌC KÌ I ĐÊ 1: I. Trắc nghiệm: (3,0 điểm) Trong mỗi câu sau chọn phương án trả lời đúng, rồi ghi vào giấy bài làm. Câu 1. Căn bậc hai số học của 81 là A. 9 và – 9. B. - 9. C. 81. D. 9. Câu 2. Biểu thức 7x 6 có nghĩa khi 6 6 6 6 A. x . B. x . C. x . D. x . 7 7 7 7 Câu 3. Hàm số bậc nhất y = (m - 2) x + 3 đồng biến trên R khi A. m = 2. B. m 2. C. m > 2. D m < 2. Câu 4. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = -3x + 2 A. (-1;-1). B. (-1;5). C. (4; -14). D. (2;-8). Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số bậc nhất? 1 A. y = 1 - 5x. B. y = -0,5x. C. y = 5x - . D. y = 2x2+3. 2 Câu 6. Hàm số y = (2 – m)x + 3 nghịch biến trên R khi A. m 2. B. m 2. C. m 2. D. m 2. Câu 7. Kết quả phép tính 5 3 2 48 3 75 4 108 là A. 12. B. 12 3 . C. -12 3 . D. - 3 . 1 1 Câu 8. Giá trị của biểu thức bằng 2 3 2 3 1 A. 4. B. 1. C. -4. D. . 2 Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, BC = 5cm. Độ dài AC là 8
9. A. 4cm. B. 2cm. C. 34 cm. D. 16cm. Câu 10. Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x +3k và y = (2m+1)x + 2k – 3. Điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng trùng nhau là 1 1 1 1 A. m = ; k = - 3. B. m - ; k -3. C. m = ; k = -3. D. m = ; k = 3. 2 2 2 2 Câu 11. Cho tam giác cân ABC với AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 7 8 10 A. 3 cm. B. 3 cm. C. 3 cm. D. 3 cm. 2 Câu 12. Kết quả của phép tính 3 1 4 2 3 là A. 2 3 . B. 2. C. 3 . D. - 2 3 . II. Tự luận. (7,0 điểm) Câu 13. (1,0 điểm) Tính. 2 a) 1222 222 b) 2 1 3 2 2 a a a 4 Câu 14. (1,5 điểm) Cho biểu thức: P = . a 2 a 2 4a a) Tìm điều kiện xác định của a. Rút gọn P. b) Tính giá trị của P tại a 9. Câu 15. (1,5 điểm) Cho hàm số: y mx 3 n 1 và y 4 m x n 2 . a) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) và (2) là những hàm số bậc nhất? b) Tìm m để hàm số bậc nhất (1) đồng biến, hàm số bậc nhất (2) nghịch biến? c) Tìm m và n để đồ thị hàm số bậc nhất (1) và (2) trùng nhau? Câu 16. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. a) Chứng minh AH  BC. b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Chứng minh MN. OE = 2ME. MO. x y z Câu 17. (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A với x, y, z > 0. y z x ĐỀ 2: I/ TRẮC NGHIỆM: (3 điểm) Hãy khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Căn bậc hai số học của 6 là A. 6 . B. 6 và -6. C. 6 . D. 36 và 36 . Câu 2 : Điều kiện để M xác định là A. M 0 . B. M 0 . C. M 0 . D. M 0 . 3 Câu 3: Kết quả trục căn thức ở mẫu biểu thức là 5 3 5 3 5 A. 3 5. B. . C. . D. . 5 3 5 Câu 4: Tính 3 5 45 là A.-25 . B. 6 5 . C. 0. D. 5 . Câu 5: Hệ số a, b của hàm số bậc nhất y = 2 -3x là: A.a = 2; b= -3. B. a = 3; b = 2. C. a = -3; b= 2. D. a = 3; b= -2. 9
10. Câu 6: Hai đường thẳng y = ax +b( a 0) và y = a’x + b’ (a’ 0) song song khi A. a = a’ và b= b’. B. a = a’ và b b’. C. a a’ và b= b’. D. a a’ và b b’. Câu 7. Đường thẳng y = x - 2 song song với đường thẳng nào sau đây? A. y = 2 - x . B. y = x + 2 . C. y = x -2. D. y = - x - 2 . Câu 8: Cho tam giác MNP vuông tại N, đường cao NH. Hệ thức đúng là A. NP2 =PM.MH . B. NP2 =NH.HP . C. NP2 =NH.PH . D. NP2 PH.PM . Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 3cm, BC = 5 cm thì 5 3 A. tanC . B. tanC 15. C. tanC . D. tanC 7. . 3 5 Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, thì AB ? : A. BC.sin B . B. BC.cos B . C. BC.tanB . D. BC.cotB . Câu 11: Cho đường tròn tâm (O;10cm), dây AB= 16 cm. Vậy khoảng cách từ tâm đến dây AB bằng A.6cm. B. 5cm . C. 4 cm . D. 3cm. Câu 12: Nếu ( O;R) và (O’; r) cắt nhau tại hai điểm thì A. OO’ > R+r. B. OO’ R 10
11. II/ TỰ LUẬN: (7,0 điểm) x 2 x 1 x x Câu 13: (2,0 đ) Cho biểu thức : A = x 1 x 1 a) Tìm điều kiện xác định của x để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. Câu 14 : (1,5điểm): Cho 2 hàm số bậc nhất : y 2x 6 (d) a): Xác định hệ số a, b, hàm số (d). b): Vẽ đồ thị hàm số (d). Câu 15: (0,5điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm ; Bµ 300 . Tính độ dài đoạn thẳng BC. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Câu 16: ( 2,0điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nữa đường tròn cùng thuộc một nữa mặt phẳng bờ AB). Lấy điểm C thuộc AB (C khác A và B) kẻ tiếp tuyến cắt Ax tại H và By tại K. Chứng minh rằng : a) AH + BK = HK b) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HK. Câu 17( 1điểm): Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui ( d1 ) y = 5x + 2; ( d2 ) y = (3m +2) x – 3 ; ( d3 ) y = 2x – 4 ĐỀ 3: I. TRẮC NGHIỆM(3 điểm) Chọn đáp án đúng trong các câu sau đây: Câu 1: Căn bậc hai số học của 7 là A. 49. B. – 49. C. 7 . D. - 7 . Câu 2: Biểu thức 2x 3 có nghĩa khi 3 3 3 3 A. x ≥ . B. x ≥ . C. x ≤ . D. x ≤ . 2 2 2 2 Câu 3: Giá trị của 7 5 a b ( với a 0 ; b > 0 ) bằng 3b A. 5 a . B. 5a . C. 5 5a . D . - 5 a . Câu 4: Hàm số y = (5 – m)x + 3 đồng biến khi A. m 5 . B. m 5. C. m 5. D. m 5. Câu 5: Khi hệ số a dương thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc A. nhọn. B. vuông. C. tù. D. bẹt. Câu 6: Hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 ; y = (3 – 2k)x + 1 song song khi 2 A. k = 0 . B. k = . C. k = 1. D. k = - 1. 3 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH vuông góc với BC tại H. Khi đó A. AH.BC = AB.BH B. BC.AH = AB.HC C. AB.BC = AH.AB D. BC.AH = AB.AC Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A thì AC AB BC AB A. cos B B. cos B C. cos B D. cos B BC BC AC AC Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8, BC = 10. Khi đó tanB bằng 3 4 4 3 A. B. C. D. 5 5 3 4 Câu 10: Trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó A. là bán kính B. xa tâm hơn C. đi qua tâm D. gần tâm hơn Câu 11: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';r). Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi A. OO' = R - r B. OO' = R + rC. OO' > R + rD. OO' < R + r Câu 12: Cho (O ;10). Lấy điểm I nằm trong đường tròn sao cho OI = 8. Vẽ dây AB vuông góc với OI tại I, Độ dài dây AB bằng kết quả nào sau đây A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 II. TỰ LUẬN (7 điểm) Câu 13(1,0 điểm) Thực hiện phép tính : 11
12. 2 a) 5 5 5 1 b) 2 27 12 7 48 3 75 3 a 2 a 1 2 a Câu 14(1,0 điểm) Cho biểu thức: Q . ( với a > 0, a ≠ 1 ) a 1 a a a 1 a). Rút gọn Q. b). Tìm giá trị của Q khi a = 3 – 2 2 . Câu 15(1,0 điểm) 1 a) Vẽ đồ thị hàm số y = y = x +2 (d) 2 b). Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox. (Làm tròn đến phút) Câu 16(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AC = 6cm. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm I sao cho IA = 4cm, Vẽ dây cung CB song song với OI. a) Chứng minh I·OA I·OB . b) Chứng minh đường thẳng IB là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Tính độ dài BC. 2 3 2 Câu 17(1,0 điểm) Giải phương trình: 4x 3x 3 4 x 3x 2 2x 1 HẾT ĐỀ 4: I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm): Hãy khoanh tròn phương án đúng nhất ở mỗi câu sau: Câu 1: Căn bậc hai của 4 là A. – 2 và 2. B. 2. C. 16. D. – 2. Câu 2: A có nghĩa khi A. A 0. B. A 0 . C. A 0 . D. A 0. Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất? A. y ax b . B. y = x + 1. C. y x2 . D. y = 0x -1. Câu 4: Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = 2x - 1 A. trùng nhau. B. cắt nhau. C. vuông góc với nhau. D. song song với nhau. Câu 5: Cho ABC ( 900 ), đường cao AH. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ? A. AH BH.CH . B. AB2 AC.BC . C. AH 2 BH.CH . D. AB.AC HB.HC . Câu 6: sin 600 bằng 2 3 1 A. . B. . C. . D. 3 . 2 2 2 2 Câu 7: Tính 1 2 2 có kết quả là A. 1 2 2 . B. 2 2 1 C. 1. D. 1 . Câu 8: Điểm A(1;0) thuộc đồ thị hàm y = ax + 1. Tính được a bằng A. - 1. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 9: Cho ABC, 900 , AB 3, AC 4 , đường cao AH. Tính AH ta được kết quả bằng A. 3. B. 5. C. 2,4. D. 2,5. Câu 10: ABC, 900 , AB 3, AC 4 . Khi đó tổng sin B sin C bằng 7 32 27 31 A. . B. . C. . D. . 5 15 20 20 Câu 11: Đường thẳng y = x + 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng A. 1. B. 2. C. 4. D. 8. 1 1 Câu 12: Thực hiện phép tính ta có kết quả là 2 1 2 1 12
13. 2 2 A. 0. B. . C. . D. - 2. 3 3 II. TỰ LUẬN (7 điểm) Câu 13 (1.5 điểm): Xác định m để: 1.m 1 xác định. 2. Hàm số y = (m +1)x + 2 là hàm số bậc nhất. 3. Đồ thị của hàm số y = x + m -1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Câu 14 (1.5 điểm): 1. Tìm m và k để hai đường thẳng y = (m +1)x + 4 và y = 2x + k - 1 trùng nhau. a a a a 2. Chứng minh đẳng thức 1 1 1 a (a 0,a 1) . a 1 a 1 Câu 15 (3.0 điểm): Cho đường tròn (O; 4cm) và một điểm A sao cho OA = 5cm. Vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ BH  OA tại H. 1. Tính BH và ·AOB (số đo góc làm tròn độ). 2. Trên tia BH lấy điểm C sao cho HB = HC. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O). 3. Gọi M là giao điểm của OA với (O). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính chu vi của ADE . Câu 16 (1.0 điểm): Tìm x để biểu thức A x 2016 2018 x đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. PHẦN IV: ĐÁP ÁN ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ 1: I. Trắc nghiệm. (3,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,25 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án D B C B D A C A A A D A II. Tự luận. (7,0 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu 13 1222 222 (1,0 đ) a) 122 22 122 22 144.100 144 100 0,5 = 12. 10 = 120 2 2 2 b) 2 1 3 2 2 2 1 2 1 0,5 2 1 2 1 2 Câu 14 a) Điều kiện xác đinh: a > 0, a 4 0,25 (1,5 đ) a a a 4 a a 2 a a 2 a 4 P . . 0,5 a 2 a 2 4a a 2 a 2 2 a 2a a 4 0,25 . a a 4 2 a b) Với a 9 P a 9 P 3 0,5 Câu 15 a) Hàm số y mx 3 n là hàm số bậc nhất khi m 0 0,25 (1,5 đ) 0,25 Hàm số y 4 m x n là hàm số bậc nhất khi m 4. b) Hàm số y mx 3 n đồng biến khi và chỉ khi m > 0 0,25 0,25 Hàm sô y 4 m x n nghịch biến khi và chỉ khi m > 4. 13
14. c) Đồ thị hàm số (1) và (2) trùng nhau khi và chỉ khi: m 2 m 4 m 2m 4 0,5 3 3 n n 2n 3 n 2 Câu 16 Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận 0,5 (2,5 đ) A = E N M = K _ _H B C O a) Chứng minh AH  BC. ΔBMC và ΔBNC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Suy ra BMˆC BNˆC 900 . Do đó: BN  AC , CM  AB . 0,5 Tam giác ABC có hai đường cao BN, CM cắt nhau tại H Do đó H là trực tâm tam giác. Vậy AH  BC. b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O). OB = OM (bk đường tròn (O)) ΔBOM cân ở M. Do đó: OMˆB OBˆM (1) 1 ΔAMH vuông ở M , E là trung điểm AH nên ME = AE = HE = AH . 2 ˆ ˆ Vậy ΔAME cân ở E. Do đó: AME MAE (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra: OMˆB AMˆE MBˆO MAˆH Mà MBˆO MAˆH 900 (vì AH  BC) Nên OMˆB AMˆE 900 . Do đó EMˆO 900 Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O). 0,5 c) Chứng minh MN. OE = 2ME. MO OM = ON và EM = EN nên OE là đường trung trực MN. MN Do đó OE  MN tại K và MK = . 2 MN 0,5 ΔEMO vuông ở M, MK  OE nên ME.MO = MK.OE = .OE. 2 Suy ra: MN.OE = 2ME.MO Câu 17 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có: (1,0 đ) x y z x y z 0,25 A 33 . . 3 y z x y z x x y z x y z 0,25 Do đó min 3 x y z y z x y z x 14
15. ĐỀ 2: I) Phần trắc nghiệm: (3đ) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án C A D C C B B D C B A B II) Phần tự luận: (7đ) Câu Đáp án Điểm a) ĐKXĐ : x 0; x 1 0,5/1Đ ( x 1)2 x( x 1) K A 0,5 Câu x 1 ( x 1) 13 (2 đ) 0,25 b) x 1 x 0,25 2 x 1 a) Hệ số a = -2; b= 6 0,5 b) 0,5 x 0 3 y 6 0 0,25 Vẽ đường thẳng đi qua điểm H(0 ; 6) và K(3 ; 0) Đồ thị 0,25 Câu 14 hàm số y 2x 6 (1,5) - Vẽ đúng đồ thị hàm số 15(0,5đ) AB AB 6 0,5 +) cosB BC 4 3 cm 6,9 cm BC cosB cos300 0,25 0,25 0,25 16 (2 đ) Vẽ hình, viết GT, KL a) Ta có: HA HC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0,25 KB KC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) AH KB HC KC AH KB HK ·AOC b) Ta có: OH phân giác ·AOC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) O¶ 0,25 2 2 B· OC OK phân giác B· OC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) O¶ 3 2 0,25 Mà ·AOC B· OC 180o (2 góc kề bù) 15
16. ·AOC B· OC 180o H· OK O¶ O¶ 90o 2 3 2 2 0,25 Gọi I là trung điểm của HK OI là đường trung tuyến của của tam giác HOK. O (I) và O AB O (I) AB (1) AB KH OB=OA = ; HI =IH = ; suy ra OI là đường trung bình của hình thang 2 2 0,25 AHKB IOPBKPAH và BK  AB Suy ra OI  AB (2) Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của (I) ( đpcm) Ta có phương trình hoành độ giao điểm 5x + 2 = 2x – 4 5x- 2x = - 4 – 2 3x = - 6 x = - 2 0,25 Thay x = - 2 vào (d3) ta được y = 2 (-2) – 4 = - 8 0,25 Câu Để ba đường thẳng (d1) (d2) (d3) đồng quy thì điểm có tọa độ (- 2 ; - 8) thuộc (d2) 17(1đ) 2 ( đk m ) 3 Thay x = - 2 , y = - 8 vào (d2) Ta được : – 8 = (3m + 2) .( - 2 ) – 3 ;  - 8 = - 6m – 4 – 3  6m = 8 - 7 = 1 m =1/6 (tmđk) 0,25 0,25 Vậy m = 1/6 thì (d1) (d2) (d3) đồng qui ĐỀ 3: I. TRẮC NGHIỆM: Mỗi câu đúng 0,25đ Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án C A A C A B D B D D B C II. TỰ LUẬN a. 2 5 5 5 5 5 5 5 0,5đ b 0,25đ . 1 Câu 2 27 12 7 48 3 75 13 3 0,25đ 1 3 2 27 12 7 48 3 75 2 32.3 12 7. 42.3 3 52.3 3 32 6 3 4 3 28 3 15 3 33 3 a Đk: a > 0, a ≠ 1 0,25đ Câu 14 0,25đ 0,25đ 16
17. a 2 a 1 2 a Q . a 1 a a a 1 a 2 a 1 2 a . a 1 a a 1 a 1 a 2 a 1 2 a . a a 1 a 1 2 a 1 2 a 2 . a a 1 a 1 a 1 a 1 b Với a = 3 – 2 2 = ( 2 – 1)2 2 2 0,25đ Q = 2 2 1 1 2 a 1 0,5đ Vẽ đúng đồ thị hàm số y = x +2 Câu 2 15 b 1 0,5đ Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là 26034' 2 a Vẽ hinh ghi GT, KL đúng 0,5đ Ta có CB // OI (gt) I·OA B· CO (đồng vị) I 0,25đ I·OB O· BC (slt) Mà OB = OC (bk) B Câu BOC cân tại O H 16 B· CO = O· BC I·OA = I·OB A C 0,25đ O b C/m IAO = IBO (c – g – c) I·AO = I·BO 0,25đ · 0 Mà IAO = 90 (gt) 0,25đ I·BO = 900 0,25đ IB  OB tại B 0,25đ Vậy IB là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. c Gọi H là giao điểm của AB và IO C/m IO là đường trung trực của AB 0,25đ IO  AB tại H và H là trung điểm của AB 0,25đ Tính được IO = 5cm 0,25đ Tính được OH = 1,8 cm 0,25đ Tính được BC = 3,6 cm 17
18. 2 3 2 1 4x 3x 3 4 x 3x 2 2x 1 ( Đk: x ) 2 0,25đ 4x2 3x 3 4x x 3 2 2x 1 2 0,25đ Câu 4x 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 17 2 2 2x x 3 1 2x 1 0 0,25đ 2x x 3 4x2 x 3 x 1 0,25đ 1 2x 1 1 2x 1 ĐỀ 4 I. TRẮC NGHIỆM: Mỗi câu chọn đúng (0.25 điểm) CÂU 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ĐÁP ÁN A C B D C B D A C A B D ĐIỂM 3.0 II. TỰ LUẬN: Bài ý Nội dung Điểm 1 m 1 0.5 13 2 m 1 0.5 3 m 2 0.5 1 m 1,k 5 0.5 14 2 VT (1 a)(1 a) 0.5 0.5 12 ( a)2 1 a VP HS vẽ hình ghi GT, KL (đúng) 0.5 B D O H M A E C 15 AB 3cm 0.25 OB.AB 4.3 0.25 1 BH 2,4cm OA 5 0.5 AB 3 sin ·AOB ·AOB ; 370 OA 5 2 c / m : ABO ACO 0.25 OB OC C (O) 0.25 · 0 ACO 90 AC  OC 0.25 18
19. Suy ra AC là tiếp tuyến của (O). 3 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra: DB = DM, EC = EM 0.25 Chu vi ADE bằng: AD + DE + AE = AD + DB + AE + EC 0.25 = AB + AC = 2.AB = 2.3 = 6cm 0.25 A2 2 2 (x 2016)(2018 x) 2 x 2016 2018 x 4 (2016 x 2018) 0.5 0.25 16 A 2 0.25 Amax 2 x 2017 NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ II: TUẦN 20,21,22 ĐẠI SỐ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc thế - từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn 2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn - giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho B. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải các hpt sau bằng phương pháp thế 2x y 4 x 5 3x 2y 5 x 11 3x 2y 2 a) b) y hpt vô nghiêm c) 13 2x y 3 y 19 x 2 5x 4y 1 y 2 2 2x y 6 x 4 x 2y 6 0 x 4 2x 3y 8 x 1 d) e) g) 3x 5y 22 y 2 5x 3y 5 0 y 5 5x 2y 1 y 2 109 x x y 1 x 2 2x 7y 8 106 13x 15y 48 x 9 h) i) k) 3x 2y 8 y 1 12x 11y 3 45 2x y 29 y 11 y 53 1 1 1 1 x 6y 17 x 5 x y 2 0 x 3 x y 0 x 10 l) m) 3 4 n) 5 6 5x y 23 y 2 y 4 y 12 5x y 11 5x 4y 2 Bài 3: Tìm các giá trị của m, n sao cho mỗi hpt ẩn x, y sau đây 2mx 1 n y m n 1 2 1 a) hpt có nghiệm (2; 1); đáp số: m ; n m 1 x m n y 3 9 3 2x m 1 y m 2n 1 b) hpt có nghiệm (-3; 2); đáp số: m 1; n 1 nx 1 m y 3 3mx n 1 y 93 c) hpt có nghiệm (1; -5); đáp số: m 1; n 17 nx 4my 3 19
20. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước - Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới - Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia) 2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành” - Nghĩa là: + nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau + đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau + cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn + thay vào tính nốt ẩn còn lại B. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số 1 x 5x 2y 1 19 2x 3y 2 x 1 a) b) 3x 5y 3 12 3x 2y 3 y 0 y 19 7 x 3x y 8 x 3 x 2y 5 3 c) d) 7x 2y 23 y 1 x y 1 4 y 3 Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 2x 2 3y 5 x 2 x 5 3 5x 4y 15 2 7 a) 9 3 b) 7 3 2x 3y y 3x 2y 3 y 2 2 2 29 x 2 2 5 x 2y 3y 1 8 4x 5 y 1 2x 3 c) d) hê vô nghiêm 2x 4 3 x 5y 12 33 y 3 7x 2 5 2y 1 3x 40 3 1 1 2 2x 1 3 y 2 6x x 6 x y 8 2x 3y x 2 2 e) 4 g) 5 y x 5 3x 2y 23 3 y 1 4 3 x 2y 5 x y 2 2 4: xác định a, b để đồ thị hs y = ax + b đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau: a) A(4; 3), B(-6; -7). Đáp số: a = 1; b = -1 b) A(3; -1), B(-3; -2). Đáp số: a = 1/6; b = -3/2 c) A(2; 1), B(1; 2). Đap số: a = -1; b = 3 d) A(1; 3), B(3; 2). Đáp số: a = -1/2; b = 7/2 x 1 y 2 2 x y 3 4 5 Bài 5: Tìm m để nghiệm của hệ phương trình: cũng là nghiệm của phương x 3 y 3 2y x 4 3 trình: 3mx – 5y = 2m + 1 20
21. x 1 y 2 2 x y 3 4 5 4x 9y 10 x 11 - ta có: x 3 y 3 15x 28y 3 y 6 2y x 4 3 - thay x = 11; y = 6 vào phương trình ta đc: 3m.11 5.6 2m 1 31m 31 m 1 Bài 6 : Tìm m để đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (d1) : 2x + 3y = 7 và (d2) : 3x + 2y = 13 HD - gọi A là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2). Tọa độ của điểm A là nghiệm của hpt : 2x 3y 7 x 5 => A(5 ; -1) 3x 2y 13 y 1 - vì đg thg (d) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn đth (d). thay x = 5 ; y = -1 vào (d) ta đc : 24 1 2m 5 .5 5m 5m 24 m 5 Bài 7 : Tìm m để các đường thẳg sau đây đồng quy : (d1) : 5x + 11y = 8 ; (d2) : 4mx + (2m – 1)y = m + 2 ; (d3) : 10x – 7y = 74 HD - gọi A là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d3). Tọa độ của điểm A là nghiệm của hpt : 5x 11y 8 x 6 => A(6 ; -2) 10x 7y 74 y 2 - để 3 đg thg trên đồng quy thì đg thg (d2) phải đi qua điểm A, tức tọa độ điểm A thỏa mãn đth (d2). thay x = 6 ; y = -2 vào (d2) ta đc : 4m.6 2m 1 . 2 m 2 19m 0 m 0 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cơ bản Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau : - bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau) + chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết + lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng - bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1 - bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu B. Bài tập áp dụng Dạng 1: Toán tìm số - Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số viết trong hệ thập phân. Điều kiện của các chữ số . Bài 1: Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng với 5 lần số thứ nhất bằng 18040, và 3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là 2002. HD - gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y x, y N 5x 4y 18040 x 2004 - theo bài ra, ta có : 3x 2y 2002 y 2005 21
22. Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó. Nếu viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị. HD - gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a,b N;0 a,b 9 ab 4(a b) a 4 - theo bài ra, ta có: ab 48 ba ab 36 b 8 Bài 3. Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị. HD - gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a,b N;0 a 9;0 b 9 ab1 ab 577 10a b 64 a 6 - theo bài ra, ta có: ab 64 ab ba 18 a b 2 b 4 Bài 4. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm. HD - gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a,b N;0 a,b 9 25 a loai 5 4 ab 6 a b 4a 5b a b - theo bài ra, ta có: 4 b 5 ab 25 ba ab 25 ba 2 b 9b 20 0 a 5 thoa man b 4 - vậy số cần tìm là : 54 Dạng 2: Toán làm chung, làm riêng - Ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị, nếu gọi thời gian làm xong công việc là x thì trong một đơn vị thời 1 gian làm được công việc . x * Ghi nhớ : Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không được cộng cột thời gian, năng suất và thờ i gian của cùng 1 dòng là 2 số nghịch đảo của nhau. Bài 1: Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy 2 trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể? 5 HD * lập bảng V 1 V 2 Cả 2 V TGHTCV x y 6 Năng suất 1h 1 1 1 x y 6 Năng suất 2h 2 x 22
23. Năng suất 3h 3 2 y 5 1 1 1 x y 6 x 10 * ta có hpt: 2 3 2 y 15 x y 5 Bài 2: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc. * lập bảng Tổ 1 Tổ 2 Cả 2 tổ TGHTCV x y 12 Năng suất 1h 1/x 1/y 1/12 Năng suất 4h 4/12 = 1/3 Năng suất 10h 10/y 1 1 1 x y 12 x 60 * ta có hpt: 1 10 y 15 1 3 y Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 3h rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn? * lập bảng Vòi 1 Vòi 2 Cả 2 vòi Thời gian chảy x y 1h 1/x 8/9 4h 4/x 4/y 3h 3/x 1 8h 8/y 3 8 1 x y x 9 * ta có hpt: 1 4 4 8 y 12 x x y 9 3 Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 10 4 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy 5 bể . * lập bảng Vòi 1 Vòi 2 Cả 2 vòi TGHTCV x y Năng suất 1h 1/x 1/y 3/10 Năng suất 2h 2/y 4/5 Năng suất 3h 3/x 23
24. 1 1 3 x y 10 x 5 * ta có hpt: 3 2 4 y 10 x y 5 Dạng 3. Toán chuyển động Bài 1. Quãng đường AC qua B dài 270km, một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6giờ, Tính thời gian ô tô đi quãng đường AB và BC. * Lập bảng Thời gian Vận tốc Quãng đường AB x 60 60x BC y 40 40y 3 x x y 6 2 * Ta có hệ phương trình: 60x 40y 270 9 y 2 Bài 2. Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại cùng một điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 180km * Sơ đồ: XD Gnhau XM A XD XM B * Lập bảng: V t (đi ngược chiều) S (đi ngược t (đi cùng chiều) S (đi cùng chiều) chiều) Xe đạp x 3 3x 1 x Xe máy y 3 3y 1 y 3x 3y 180 x y 60 x 16 * Ta có hệ phương trình: x y 28 x y 28 y 44 Bài 3: 1 ô tô đi qđ AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài qđ AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi qđ AB ít hơn thời gian ô tô đi qđ BC là 30ph. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi qđ? Gọi thời gian ô tô đi trên AB, BC lần lượt là x, y 50x 45y 165 3 x Ta có hệ phương trình: 1 2 x y 2 y 2 Bài 4: 1 ca nô xuôi dòng 1 quãng sông dài 12km, rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2h30ph. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1h20ph. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước? - gọi v ca nô là x, v dòng nước là y (km/h; x > y > 0) - v xuôi: x+y - v ngược: x-y 24
25. 12 12 5 x y x y 2 - ta có hpt giải hệ ta được x = 10 ; y = 2 (tmđk) 4 8 4 x y x y 3 Bài 5: Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ. Nếu ca nô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ.Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. - gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (km, 0 < y < x) - vận tốc xuôi của ca nô: x + y - thời gian xuôi dòng 84km là: 84/x+y - thời gian xuôi dòng 112km là: 112/x+y - vận tốc ngược của ca nô: x - y - thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y - thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y - theo bài ra ta có hệ phương trình: 84 44 5 x y x y 1 1 đặt a; b 112 110 x y x y 9 x y x y Dạng 4. Toán liên quan tới yếu tố hình học. - Ta phải nắm được công thức tính chu vi; diện tích của tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông, định lý Pi-ta-go. Bài 1: 1 HCN có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y 2 x y 80 x 30 Ta có hpt x 3 y 5 xy 195 y 10 Bài 2: 1 thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m 2. Tính diện tích của thửa ruộng đó? Gọi chiều dài HCN là x Gọi chiều rộng HCN là y x 2 y 3 xy 100 x 22 Ta có hpt x 2 y 2 xy 68 y 14 HÌNH HỌC:NỘI DUNG TUẦN 20,21,22 CÁC GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN A. Kiến thức cơ bản 1. Góc ở tâm. Số đo cung a) Định nghĩa góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm của đtròn đgl góc ở tâm b) Số đo cung: - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn) - Số đo của nửa đtr bằng 1800 25
26. c) Tính chất của số đo cung: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ »AB =sđ »AC +sđC»B 2. Liên hệ giữa cung và dây a) Định lý 1: Với 2 cung nhỏ trong một đtròn hay trong 2 đtròn bằng nhau: - 2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau - 2 dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau b) Định lý 2: Với 2 cung nhỏ trong 1 đtròn hay trong 2 đtròn bằng nhau: - Cung lớn hơn căng dây lớn hơn - Dây lớn hơn căng cung lớn hơn 3. Góc nội tiếp a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đtròn và 2 cạnh chứa 2 dây cung của đtròn đó. Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn b) Định lý: Trong 1 đtròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn c) Các hệ quả: Trong một đtròn - Các góc nt bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nt cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau - Góc nt (nhr hơn hoặc bằng 900) có só đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung - Góc nt chắn nửa đtròn là góc vuông 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung a) Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa dây cung b) Định lý: Sđ của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn c) Định lý đảo: Nếu B· Ax có đỉnh nằm trên đtròn, một cạnh chứa dây cung AB, có sđ bằng nửa sđ cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là 1 tia tiếp tuyến của đtròn d) Hệ quả: Trong 1 đtròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau 5. Góc có đỉnh ở bên trong đtròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đtròn a) Góc có đỉnh ở bên trong đtròn - Định lý: Sđ của góc bằng nửa tổng sđ của 2 cung bị chắn b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đtròn - Định lý: Sđ của góc bằng nửa hiệu sđ của 2 cung bị chắn B. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho (O) và 1 điểm M cố định không nằm trên đtròn. Qua M kẻ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đtròn (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt đtròn (O) tại C và D. CMR: MA.MB = MC.MD HD * TH1: điểm M nằm bên trong đtròn (O) A - Xét tam giác MAC và tam giác MDB, ta có: C ¶ ¶ M1 M 2 (đối đỉnh) 1 M · · O 2 CAM BDM (góc nt chắn cung BC) MAC : MDB (g.g) MA MC D MA.MB MC.MD B MD MB 26
27. * TH2: điểm M nằm bên ngoài đtròn (O) C M D - Xét tam giác MAD và tam giác MCB, ta có: 1 O M¶ (chung) ¶ µ D1 B1 (góc nt chắn cung AC) 1 A MAD : MCB (g.g) B MA MD MA.MB MC.MD MC MB Bài 2: Trên một đtròn lấy liên tiếp ba cung: AC, CD, DB sao cho sđ »AC =sđC»D =sđ D»B =600. hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E, hai tiếp tuyến của đtròn tại B và C cắt nhau tại T. CMR: a) ·AEB B· TC b) CD là tia phân giác của góc BCT? HD · 1 » » 1 0 0 0 E T a) Ta có: AEB AB CD 180 60 60 2 2 1 1 B· TC B¼AC B¼DC »AB »AC C»D D»B 2 2 C 1 D 1 2 1800 600 600 600 600 2 · · A Do đó: AEB BTC O B 1 b) Ta có: Cµ C»D 300 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 1 2 1 C¶ D»B 300 (góc nội tiếp) 2 2 µ ¶ C1 C2 . Do đó CD là phân giác của góc BCT Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtròn (O), tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đtròn ở M. a) CMR: OM vuông góc với BC b) Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt (O) ở N. CMR ba điểm M, O, N thẳng hàng. c) Gọi K là giao điểm của NA và BC, I là trung điểm của KD. CMR: IA là tiếp tuyến của đtròn (O) HD x N A 4 3 1 2 O 1 2 K I B D H C M µ ¶ ¼ ¼ a) Ta có: A1 A2 BM CM BM CM 27
28. BM CM  do  OM là trung trực của BC OM  BC OB OC  1 1 b) Ta có: M· AN B· AC C· Ax .1800 900 2 2 mà M· AN là góc nội tiếp và M· AN 900 MN là đường kính. Do đó M, O, N thẳng hàng c) Do M· AN 900 D· AK 900 DAK vuông tại A mà IK = ID => IK = IA = ID => tam giác IAD cân tại I I·AD D¶  1 · ¶  IAD D2 (1) ¶ ¶ D2 D1  Mặt khác: tam giác OAM cân tại O O· AM O· MA (2) · · ¶ · · ¶ · Từ (1) và (2) IAD OAM D2 OMA IAO D2 OMA (3) ¶ · 0 Do tam giác MHD vuông tại H (theo a) D2 OMA 90 (4) Từ (3) và (4) I·AO 900 IA là tiếp tuyến của đtròn (O) Bài 4: Cho nửa đtròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đtròn (C thuộc cung AD). AD cắt BC tại H, AC cắt BD tại E. Chứng minh rằng: a) EH vuông góc với AB b) Vẽ tiếp tuyến với đtròn tại D, cắt EH tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm của EH HD E 1 I 1 D 2 C 2 H 1 A K O B a) Ta có: ·ACB 900 (góc nt chắn nửa đtròn) AC  BC ·ADB 900 (góc nt chắn nửa đtròn) AD  BD AE  BC  Xét tam giác EAB, ta có: BE  AD  H là trực tâm của tam giác EAB EH  AB mà AD BC H  ¶ µ µ ¶ µ b) Ta có: H2 B (cùng phụ F1 ); D2 B (cùng chắn cung AD) ¶ ¶ H2 D2 IHD cân tại I => IH = ID (1) Eµ Bµ 900  1 ¶ ¶ 0 µ ¶ Mặt khác: D1 D2 90  E1 D1 IED cân tại I => ID = IE (2) mà Bµ D¶ 2  Từ (1) và (2) => IH = IE => I là trung điểm của EH 28
29. Bài 5: Cho (O), từ điểm M nằm ngoài đtròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E a) CMR: MC = ME b) DE là phân giác của góc ADB c) Gọi I là trung điểm của AB. CMR 5 điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn d) CMR: M là phân giác của góc CID HD C O M E I A B 1 D a) + ta có: B· CE ·ACE (gt) C· BA M· CA (cùng chắn cung AC) B· CE C· BA ·ACE M· CA hay B· CE C· BA M· CE (1) + mặt khác: B· CE C· BA C· EM (tính chất góc ngoài của tam giác) (2) + từ (1) và (2) M· CE C· EM MCE cân tại M => MC = ME b) + vì MC và MD là các tiếp tuyến => MC = MD, mà MC = ME => MD = ME => tam giác MDE cân tại M M· ED M· DE M· DA ·ADE (1) · µ · + mặt khác: MED B1 BDE (tính chất góc ngoài của tam giác) (2) · · µ · + (1); (2) MDA ADE B1 BDE (3) · µ + lại có: MDA B1 (cùng chắn cung AD) (4) + (3); (4) ·ADE B· DE DE là phân giác của góc ADB c) + do MC, MD là các tiếp tuyến của (O) O· CM O· DM 900 4 điểm O, C, D, M thuộc đtròn có đường kính OM (*) + lại có: I là trung điểm của AB IO  AB (định lý đường kính và dây) => IO vuông góc với IM => tam giác IOM vuông tại I => 3 điểm I, O, M thuộc đtròn có đường kính OM ( ) + (*) và ( ) => 5 điểm 0, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn d) + Xét đtròn đi qua 5 điểm: O, I, C, M, D có đường kính OM, ta có: 1  C· IM sd C¼M góc nt 2 1 D· IM sd D¼M góc nt  C· IM D· IM IM là phân giác của góc CID 2 mà CM DM sd C¼M sd D¼M  Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn ở D. Kẻ đường kính AE. CMR: a) BC song song với DE 29
30. b) Tứ giác BCED là hình thang cân HD A O H B C D E a) Ta có: BC vuông góc với AD (gt) (1) + mà ·ADE 900 (góc nt chắn nửa đtròn) => DE vuông góc với AD (2) + Từ (1) và (2) suy ra BC // DE (cùng vuông góc với AD) b) HTC = HT + 2 góc ở 1 đáy bằng nhau (hoặc 2 đường chéo bằng nhau) (Chú ý: Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là HTC (VD: Hình bình hành là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng không là HTC)) + do BC // DE suy ra tứ giác BCED là hình thang (1) + lại có: BC // DE sdB»D sdC»E (2 cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau) sdB»D sdD»E sdC»E sdD»E sd B»E sdC»D BE CD (liên hệ giữa cung và dây) (2) + từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCED là Hình thang cân. GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN: THẦY CAO QUỐC TOẢN THCS NGUYỄN DU: "CHÚC CÁC EM ÔN TẬP TỐT" . "Trong cách học, phải lấy tự học làm cốt." (Hồ Chí Minh) 30