›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ song song (Phần 1) - Đặng Việt Đông

docx 48 trang nhungbui22 12/08/2022 2811
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ song song (Phần 1) - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_nang_cao_quan_he_song_s.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 nâng cao - Quan hệ song song (Phần 1) - Đặng Việt Đông

  1. Quan hệ song song Nâng Cao –
  2. Quan hệ song song Nâng Cao QUAN HỆ SONG SONG A – LÝ THUYẾT CHUNG I - ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Mở đầu về hình học không gian Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ thuộc: Trong không gian: a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp: Điểm A thuộc đường thẳng d , kí hiệu A d . Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A d . b. Với một điểm A và một mặt phẳng P có thể xảy ra hai trường hợp: Điểm A thuộc mặt thẳng P , kí hiệu A P . Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A P . 2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng. Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. 3. Điều kiện xác định mặt phẳng Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng: Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu ABC . Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d, kí hiệu A,d . Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu a,b . Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu a,b . 4. Hình chóp và tứ diện Định nghĩa: Cho đa giác A1 A2 An và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A1, A2 , , An ta được n miền đa giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn 1 An . Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1 A2 A3 An được gọi là hình chóp S.A1 A2 A3 An . Trong đó:
  3. Quan hệ song song Nâng Cao Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp. S Đa giác A1 A2 An gọi là mặt đáy của hình chóp. Các đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An 1 An gọi là các cạnh đáy của hình chóp. A6 A1 Các đoạn thẳng SA1, SA2 , , SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp. A5 A2 Các miền tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn 1 An gọi là các (P) A4 A3 mặt bên của hình chóp. Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, Chú ý a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện. b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều. II - ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG 1. Định nghĩa Trong phần vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, ta biết rằng hai đường thẳng phân biệt bất kì hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc cắt nhau. Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng và không cắt nhau thì ta nói hai đường thẳng đó song song với nhau. Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt a,b trong không gian được gọi là song song với nhau, kí hiệu a / /b nếu chúng đồng phẳng và không cắt nhau. 2. Tính chất A Định lí 1: Trong không gian cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Lúc đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a và A và song song với đường thẳng d. Chú ý: Định lí này cho ta thêm một cách xác định đường thẳng trong không gian: đó là đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước không chứa điểm đó. Kết hợp với định lí 2 dưới đây cho ta một cách để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Định lí 2 ( Về giao tuyến của ba mặt phẳng): β β c γ c γ b A b a a α α Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Đến đây ta có thể bổ sung một phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Bước 1: Chỉ ra hai mặt phẳng ,  lần lượt chứa hai đường thẳng song song a,b . Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng Bước 3: Khi đó   Mx / /a / /b Định lí 3:
  4. Quan hệ song song Nâng Cao Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. a / /b Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn a / /b b / /c 3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a) Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không là góc giữa hai đường thẳng a 'và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . b. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian Bước 1: Dựng góc - Tìm trên hình vẽ xem góc giữa hai đường thẳng có sẵn không? - Nếu không có sẵn thì ta tiến hành: + Chọn một điểm O bất kì trong không gian. + Qua O dựng đường thẳng a Pa, b Pb . Góc nhọn hay góc vuông tọc bởi a ,b chính là góc giữa a và b . Lưu ý: + Ta thường lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng a và b . + Chọn O sao cho góc giữa a ,b là góc của một tam giác mà độ dài các cạnh của nó đã biết hoặc có thể tính dễ dàng Bước 2: Tính góc Dùng hệ thức lượng trong tam giác, tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin. Trường hợp góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 ta nói a  b . III – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng a và mặt phẳng P . Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a. Đường thẳng a và mặt phẳng P không có điểm chung, tức là: a  P  a P P . b. Đường thẳng a và mặt phẳng P chỉ có một điểm chung, tức là: a  P A a cắt P tại A. c. Đường thẳng a và mặt phẳng P có hai điểm chung, tức là: a  P A, B a  P . a a A A a B (P) (P) (P) a  P  a P P . a  P A a cắt P . a  P A, B a  P . 2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng a P và song song với một đường thẳng nào đó trong P thì a song song với P . d Tức là, a  P thì nếu: (P) a P d  P a P P . 3. Tính chất
  5. Quan hệ song song Nâng Cao Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P (Q) thì mọi mặt phẳng Q chứa a mà cắt P thì sẽ cắt theo một a giao tuyến song song với a. a P P d Tức là, nếu a P d. a  Q Q  P d (P) Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với (Q) đường thẳng đó. P  Q d d a Tức là: P P a d P a. Q P a (P) Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b. IV - HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt Cho 2 mặt phẳng P và Q . Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a. Hai mặt phẳng P và Q không có đường thẳng chung, tức là: P  Q  P P Q . b. Hai mặt phẳng P và Q chỉ có một đường thẳng chung, tức là: P  Q a P cắt Q . c. Hai mặt phẳng P và Q có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là: P  Q a, b P  Q . (Q) a (P) (Q) (P) (Q) (P) P  Q a, b P  Q . P  Q  P P Q . P  Q a P cắt Q . 2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng Q thì P song song Q . a b a, b P (Q) Tức là: a b I P P Q . (P) a P P , b P Q
  6. Quan hệ song song Nâng Cao 3. Tính chất Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng Q thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng P song song với Q . Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng P và Q song song thì mặt a phẳng R đã cắt P thì phải cắt Q và các giao tuyến của (P) chúng song song. P P Q (Q) b Tức là: a P  R a P b. (R) b Q  R Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ a b lệ. A1 A2 P P Q P R (P) Tức là: a  P A ; a  Q B ; a  R C B1 B2 1 1 1 (Q) b  P A2 ; b  Q B2 ; b  P C2 C1 C2 A B A B (R) 1 1 2 2 . B1C1 B2C2 4. Hình lăng trụ và hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau. Trong đó: (Q) A' ▪ Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng A' 5 trụ. 1 A' ▪ Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng A'2 4 trụ. A' ▪ Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ 3 tứ giác A1 A5 Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: A2 A4 (P) A a. Các cạnh bên song song và bằng nhau. 3 b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành. c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
  7. Quan hệ song song Nâng Cao D1 C1 D1 C1 A1 B1 A1 B1 D C D C A B A B Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 5. Hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp S.A1 A2 An . Một mặt phẳng P S song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh SA1, SA2 , , SAn theo thứ tự tại A1 , A2 , , An . Hình tạo bởi thiết diện A1 A2 An và đáy A1 A2 An của hình chóp cùng với các mặt A'1 A'5 A'4 bên A1 A2 A2 A1 , A2 A3 A3 A2 , , An A1 A1 A n gọi là một hình chóp cụt. (P) A'2 A'3 Trong đó: ▪ Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, A5 A1 còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. A4 A2 A3 ▪ Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. ▪ Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như A1 A1 , A2 A2 , , An An gọi là cạnh bên của hình chóp cụt. Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác, Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau: 1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. 2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. 3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
  8. Quan hệ song song Nâng Cao B– BÀI TẬP ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của SAB và SCD . Nhận xét nào sau đây là sai: A. d cắt CD . B. d cắt MN . C. d cắt AB . D. d cắt SO . Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành BC / / AD .Mặt phẳng P di động chứa đường thẳng AB và cắt các đoạn SC, SD lần lượt tại E, F . Mặt phẳng Q di động chứa đường thẳng CD và cắt SA, SB lần lượt tại G, H.I là giao điểm của AE, BF; J là giao điểm của CG, DH . Xét các mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 2 Đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định. 3 Đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố dịnh. Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh MA SC . Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM vơí mặt phẳng SBD . Khi đó tỉ số IA bằng bao nhiêu: 3 4 A. 2 . B. 3 . C. . D. . 2 3 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn AD = 2BC, G là KB trọng tâm tam giác SCD . Mặt phẳng SAC cắt cạnh BG tại K . Khi đó, tỷ số bằng: KG 3 1 A. 2 B. C. 1 D. 2 2 Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Tìm điểm I trên đường chéo B'D và điểm J trên đường ID chéo AC sao cho IJ // BC' . Tính tỉ số bằng: IB' 1 1 A. B. C. 2 D. 1 3 2 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . M là điểm thuộc cạnh NB AD sao cho MA = 2MD. Gọi N là giao điểm của BC với MPQ . Tỉ số bằng: NC 1 2 A. B. C. 2 D. 1 2 3
  9. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang AD // BC,AD > BC , E là điểm thuộc SF cạnh SA sao cho SE = 2EA . Mặt phẳng EBC cắt cạnh SD tại F. Khi đó, tỷ số bằng: SD 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 4 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là 2 điểm thuộc cạnh SB,SD sao cho SM = MB,SN = 2ND . Mặt phẳng AMN cắt SC tại P thỏa mãn SP = kSC . Số k bằng? 2 3 3 2 A. B. C. D. 5 5 2 3 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P lần lượt là SH trung điểm của AB, AD và SO . Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm SP . Gọi R SR là giao điểm của SB với mặt phẳng (MNP) . Tính ? SB 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 5 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là các BM 2 NC 1 điểm nằm trên cạnh AB, AD sao cho , . Gọi P là điểm trên cạnh SD sao MA 3 BN 2 PD 1 SJ cho . J là giao điểm của SO với MNP . Tính ? PS 5 SO 10 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 11 11 4 2 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên AP 1 SQ cạnh AB sao cho . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng MNP . Tính AB 3 SC 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Câu 13: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm AB , F là điểm thuộc cạnh BC sao cho BF 2FC,G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG 2GD . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD của hình chóp ABCD theo a .
  10. Quan hệ song song Nâng Cao 19 a 141 a 34 15 3 a 34 15 3 A. a . B. . C. . D. . 15 30 15 15 Câu 14: Cho tứ diện SABC có AB c, BC a, AC b. AD, BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SBE và SCF là:  b c  A. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  b c  B. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  a  C. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c  a  D. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c Câu 15: Cho tứ diện SABC, E, F lần lượt thuộc đoạn AC, AB. Gọi K là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của SAK với BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? AK BK CK AK BK CK A. 6 . B. 6 . KD KE KF KD KE KF AK BK CK AK BK CK C. 6 . D. 6 . KD KE KF KD KE KF Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, D, M lần lượt là trung điểm của BC, AD . Gọi E là giao điểm của MF ME SBM với AC, F là giao điểm của SCM với AB . Tính ? CM ME BM ME 1 1 A. 1. B. 2 . C. D. . 2 3 Câu 17: Cho hình bình hành ABCD , S là điểm không thuộc ABCD ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC. Xác định các giao điểm I, J của AN và MN với SBD ,từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểm J, I, M thẳng hàng. B. Ba điểm J, I, N thẳng hàng. C. Ba điểm J, I, D thẳng hàng. D. Ba điểm J, I, B thẳng hàng. Câu 18: Cho tứ giác ABCD và S ABCD . Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M. Xác định các giao điểm K, L của IJ và DJ với SAC , từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểm A, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm A, L, M thẳng hàng. C. Bốn điểm A, K, L, M thẳng hàng. D. Bốn điểm A, K, L, J thẳng hàng. Câu 19: Cho tứ diện SABC .Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC. Gọi LK giao tuyến của mp LMN và ABC . Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BC và SC với LMN . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Ba điểm L, I, J thẳng hàng. B. Ba điểm L, I, K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, J thẳng hàng. D. Ba điểm M, I, K thẳng hàng.
  11. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 20: Cho tứ giác ABCD và S không thuộc mặt phẳng ABCD . Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD. Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BN và MN với SAC . Từ đó tìm bộ 3 điểm thẳng hàng trong những điểm sau: A. Ba điểm A, I, J thẳng hàng. B. Ba điểm K, I, K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, J thẳng hàng. D. Ba điểm C, I, J thẳng hàng. Câu 21: Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các điểm thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD     sao cho HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳng B. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng. D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng. Câu 22: Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các điểm thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD     sao cho HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳng B. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng. D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng. Câu 23: Cho tứ diện ABCD, E,U là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho     EA 2EB, 5UA 4UB. F,G là các điểm thuộc đường thẳng BC sao cho     FC 5FB, GC 2GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD sao cho     HC 5HD, ID 5IC.J, K là các điểm nằm trên đường thẳng DA sao cho     JA 2JD, KD 5KA . Bốn điểm nào dưới đây lập nên một tứ diện? A. E, F, H, J . B. E,G, I, K . C. U,G, H, J . D. U, F, I, K . Câu 24: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA sao cho MN không song song với AC . M , N, P,Q đồng phẳng khi : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A. . . . 1 B. . . . 1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C. . . . 1 D. . . . 1. AM BN CP AQ BM CN CP DQ Câu 25: Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm BC ). Gọi Q là giao điểm của MNP với AD, I là giao điểm của MN với PQ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SMNPQ 2SMPN . B. SMNPQ 2SMPQ . C. SMNPQ 4SMPI D. SMNPQ 4SPIN . Câu 26: Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy là đa giác lồi A1 A2 An n 3,n ¥ . Trên tia đối của tia A1S lấy điểm B1, B2 , Bn là các điểm nằm trên cạnh SA2 , SAn . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng B1B2 Bn là:
  12. Quan hệ song song Nâng Cao A. Đa giác n 2 cạnh. B. Đa giác n 1 cạnh. C. Đa giác n cạnh. D. Đa giác n 1 cạnh. Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho SD 3SE . F là trọng tâm tam giác SAB,G là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên SCD . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG có thể là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD, E là trung điểm của SB, F thuộc SC sao cho 3SF 2SC, G là một điểm thuộc miền trong tam giác SAD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 30: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a, DF a . Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF là: a2 33 a2 a2 a2 33 A. S . B. S . C. S . D. S . 18 3 6 9 Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm E, F, G, H . Gọi I AC  BD, J EG  SI . Mệnh đề nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SI A. . B. 2 . SE SG SF SH SE SG SJ SA SC SB SD SB SD SI C. . D. 2 . SE SG SF SH SF SH SJ Câu 32: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF chung cạnh AB và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau. Lấy hai điểm M , N lần lượt trên hai đường chéo AC và BF sao cho AM BN . Tìm quĩ tích trung điểm MN , biết O là trung điểm của AB. A. Quỹ tích I là đoạn OI với I là trung điểm của CF . B. Quỹ tích I là tia phân giác của góc xOy với Ox / /BF và Oy / / AC. C. Quỹ tích I là đường phân phân giác của góc xOy với Ox / /BF và Oy / / AC. D. Quỹ tích I là đường đoạnOI với I là trung điểm của CE. Câu 33: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là 2 điểm cố định trên các cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC. Điểm M di động trên cạnh CD. Gọi N là giao điểm của mp (MEF) và BD. Tìm tập giao điểm I của EM và FN. A. Tập hợp I là đoạn thẳng DG với G EC  BF . B. Tập hợp I là đường thẳng DG với G EC  BF .
  13. Quan hệ song song Nâng Cao C. Tập hợp I là tia DG với G EC  BF . D. Tập hợp I là đường thẳng DK với K là giao điểm của EF và BC. Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử AD và BC cắt nhau tại H. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E và F lần lượt là trung điểm của SA và SB. Điểm M di động trên cạnh SC. Gọi N là giao điểm của SD và mp(EFM). Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM. A. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = CF  SH. B. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = DE  SH. C. Tập hợp J là đoạn thẳng SH. D. Tập hợp J là đường thẳng SH. Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD, trong đó AD không song song với BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AD và BC. Điểm M di động trên cạnh SB, EM cắt SC tại N. Tập hợp giao điển I của AN và DM. A. Tập hợp giao điển I là đoạn thẳng SO. B. Tập hợp giao điển I là đường thẳng SO. C. Tập hợp giao điển I là đoạn thẳng SO trừ 2 điểm S và O. D. Tập hợp giao điển I là đoạn thẳng SE. Câu 36: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng P di động luôn song song với AB và CD cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M , N, E, F . Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF. A. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD (trừ 2 điểm P và Q). B. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. C. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC (trừ 2 điểm P và Q). D. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M , N, P,Q, R,T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC,CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A. MP và RT. . B. MQ và RT. . C. MN và RT. . D. PQ và RT. Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC . Biết AD a, BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD tại P,Q . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. MN song sonng với PQ . B. MN chéo với PQ . C. MN cắt với PQ . D. MN trùng với PQ .
  14. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung SQ điểm của AB, AD, SC. Gọi Q là giao điểm của SD với MNP . Tính ? SD 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là SH trung điểm của AB, AD và SO. Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Câu 41: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , AC BD b , AD BC c . Xét các khẳng định sau: b2 c2 a. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . a2 a2 c2 b. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng . b2 b2 a2 c. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng . c2 Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 42: Cho hình bình hành ABCD . Gọi Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng đi qua A và cắt Bx , Cy , Dz lần lượt tại B , C , D với BB 2 , DD 4 . Khi đó CC bằng: A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Câu 43: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi At , Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua A , B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng di động cắt At , Bx , Cy , Dz lần lượt tại A , B , C , D sao cho AA CC BB DD a (O có độ dài cho trước). Mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định I . Mệnh đề nào sau đây đúng? a A. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 2 a B. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 4 3a C. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 2 D. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI a .
  15. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 44: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC , Gọi E là điểm trên cạnh CD với ED 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE và tứ diện ABCD là: A. Tam giác MNE . B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD . C. Hình bình hành MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD mà EF / /BC . D. Hình thang MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD và EF / /BC . Câu 45: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA,CB. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP 2PD . Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP là: 5a2 51 5a2 147 5a2 147 5a2 51 A. S . B. S . C. S . D. S . 4 4 2 2 Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC . Biết AD a, BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD tại P,Q . Giả sử AM cắt BD tại E ; CQ cắt DN tại F . Độ dài đoạn thẳng EF là: 1 3 2 2 A. EF a b . B. EF a b . C. EF a b . D. EF a b . 2 5 3 5 Câu 47: Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh AM BN AC lấy điểm M và trên cạnh BF lấy điểm N sao cho k . Tìm k để AC BF MN / /DE . 1 1 A. k . B. k 3. C. k . D. k 2 . 3 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Câu 48: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, AC,C B, AD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ACD . Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DIJ ) và (DBC) . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? A. d P(IHK) . B. d P(JHK) . C. d P(AEF) . D. d P(DIJ ) . Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G, E lần lượt là trọng tâm của SAD và SCD . Lấy M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Xét các mệnh đề sau: (1) Đường thẳng MN song song với GAC . (2) Đường thẳng MN song song với DAC . (3) Đường thẳng GE song song với AMN . (4) Đường thẳng GE và đường thẳng MN trùng nhau. (5) Đường thẳng GE và đường thẳng MN song song. Số mệnh đề sai là: A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.
  16. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi M , N, P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP là hình gì? A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Hình thang. D. Hình bình hành. Câu 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , gọi O là tâm của đáy. Tam giác SAB là tam giác đều. Gọi M là điểm trên cạnh BC . Mặt phẳng P đi qua M và song song với SA, SB cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? A. Hình vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang cân. D. Hình thang vuông. Câu 52: Cho hình bình hành ABCD . Vẽ các tia Ax, By,Cz, Dt song song, cùng hướng nhau và không nằm trong mp ABCD . Mp cắt Ax, By,Cz, Dt lần lượt tại A , B ,C , D . Khẳng định nào sau đây sai? A. A B C D là hình bình hành. B. mp AA B B // DD C C . C. AA CC và BB DD . D. OO // AA . Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. M là trung điểm CD. Mặt phẳng qua M song song với BC và SA. cắt AB, SB lần lượt tại N và P. Nói gì về thiết diện của mặt phẳng với khối chóp S.ABCD ? A. Là một hình bình hành. B. Là một hình thang có đáy lớn là MN. C. Là tam giác MNP. D. Là một hình thang có đáy lớn là NP. S.ABCD N CD Câu 54: Cho hình chóp , M là một điểm trên cạnh AB , là điểm trên cạnh . Mặt phẳng chứa MN và song song với SA . Thiết diện của hình chóp cắt bởi là hình thang thì điều kiện là: A. AD 2CD . B. MN / /BC . C. BC / / AD . D. MN / / AD . Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB a , SC SD 3a . E là trung điểm của đoạn SA . M là một điểm trên cạnh BC . Đặt BM x 0 x a . Mặt phẳng chứa ME và song song với AB . Thiết diện của hình chóp cắt bởi có diện tích tính theo a, x là: 3a a A. 16x2 8ax 3a2 . B. 16x2 8ax 3a2 . 16 16 3a 3a C. 16x2 4ax 3a2 . D. 16x2 4ax 3a2 . 16 16 Câu 56: Cho tứ diệnđều ABCD có cạnh bằng a . Điểm M là trung điểm của AB . Tính diện tích thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mp P đi qua M và song song với AD và AC . a2 3 a2 2 9a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 16 16
  17. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 57: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAB là tam giác đều.Cho SC SD a 3 .Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB .Gọi M là một điểm trên cạnh AD .Mặt phẳng HKM cắt BC tại N .Cho biết HKMN là hình thang cân.Đặt AM x 0 x a .Tìm x để diện tích HKMN là nhỏ nhất. a a a a A. x . B. x . C. x . D. x . 5 3 4 2 Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C ' là điểm trên cạnh SC sao C 'S 1 cho , M là điểm trên cạnh SA . Mặt phẳng P qua C 'M và song song với BC . C 'C 2 Xác định vị trí của điểm M để P cắt hình chóp theo thiết diện là hình bình hành. MA A. M là trung điểm của SA . B. 2 . MS MA 1 MA 2 C. . D. . MS 2 MS 3 Câu 59: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  CD và AB AC CD a. M là một điểm trên cạnh AC với AM x 0 x a .Mặt phẳng P qua M , song song với AB vàCD . Tính diện tích thiết diện của P và tứ diện ABCD theo a và x . x(a x) a(a x) A. x(a x) . B. . C. a(a x) . D. . 2 2 Câu 60: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  CD và AB AC CD a. M là một điểm trên cạnh AC . Mặt phẳng P qua , song song với AB vàCD . Diện tích thiết diện của mp P và tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? a2 a2 a2 A. a2 . B. . C. . D. . 16 2 4 Câu 61: Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại A , B ,C . MA MB MC có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC SA SB SC ? 1 1 2 A. . B. . C. 1. D. . 3 2 3 Câu 62: Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại MA MB MC A , B ,C . nhận giá trị lớn nhất. Khi đó vị trí của M trong tam giác ABC SA SB SC là:
  18. Quan hệ song song Nâng Cao A. Trực tâm ABC . B. Trọng tâm ABC . C. Tâm ngoại tiếp ABC . D. Tâm nội tiếp ABC . Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với đáy AD và BC AD a BC b . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD lần lượt tại P,Q . Gọi E là giao điểm của AM và PB , F là giao điểm của CQ và DN . Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai? 1) MN và PQ song song với nhau. 2) MN và EF song song với nhau. 2 3) EF a b . 5 1 4) EF a b 4 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
  19. Quan hệ song song Nâng Cao HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 64: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a. Gọi I, M lần lượt là trung điểm của BC, BD. Mặt phẳng qua M và song song với mp(AID) cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích bằng 2a2 3a2 3 3a2 2a2 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 2 Câu 65: Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. P là điểm thuộc cạnh AC 1 sao cho CP CA. là mặt phẳng qua P và song song với mp CMN , cắt SB tại 4 EB E. Tỉ số bằng: ES 3 3 5 1 A. . B. C. . D. . 8 5 8 4 Câu 66: Cho hình chóp S.ABC . G, E lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và SBC . là mặt phẳng qua G và song song với mặt phẳng SBC . Gọi I là giao điểm của và AE. Tỉ số IA bằng: IE 4 3 1 A. 2 B. . C. . D. . 3 2 2 Câu 67: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD. là mặt phẳng qua O và song song mặt phẳng SCD . Đường thẳng AM cắt tại E, đường thẳng AN cắt tại N. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? 1 1 1 A. EF CD . B. EF CD . C. EF CD . D. EF CD 2 3 4 Câu 68: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. P là điểm trên cạnh AB sao cho AP 1 . Gọi M là trung điểm của SD, là mặt phẳng qua P và song song với mặt phẳng AB 3 IM SAC . cắt BM tại I. Tỉ số bằng: IB 4 5 5 3 A. . B. C. . D. . 5 4 9 2 BM 1 Câu 69: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C '. M là điểm thuộc đoạn A' B sao cho . là mặt BA' 4 phẳng qua M và song song với mặt phẳng đáy. Gọi I là giao điểm của và CB '. Tính tỉ IC số IB '
  20. Quan hệ song song Nâng Cao IC IC 3 IC 1 IC 1 A. 3 B. C. D. IB ' IB ' 4 IB ' 4 IB ' 3 Câu 70: Cho hình lăng trụ ABC.A B C , gọi M , N là trung điểm của BC và CC . Thiết diện của EB hình lăng trụ với mặt phẳng A MN cắt AB tại E . Tỷ số bằng bao nhiêu? EA 2 1 3 4 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 3 Câu 71: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi G, G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A B C . OG Biết các mặt phẳng ABC , BCA , ACB cắt nhau tại O trên GG . Tính OG 2 1 1 A. . B. 2 . C. . D. . 3 2 3 Câu 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC 2 , hai đáy AB 6, CD 4. Mặt phẳng P song song với ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho SA 3SM . Diện tích thiết diện của P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2 . D. . 9 3 9 Câu 73: Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng song song với SIC . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi với tứ diện SABC , biết AM x . A. x 1 3 . B. 2x 1 3 . C. 3x 1 3 . D. Không tính được. MB 1 Câu 74: Cho tứ diện đều ABCD . Trên đoạn thẳng BD lấy điểm M sao cho . Gọi là MD 2 mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng ACD . Hỏi cạnh của tứ diện ABCD a2 3 bằng bao nhiêu để diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và tứ diện ABCD là : 3 A. a. B. a 3. C. 2a. D. 2a 3.
  21. Quan hệ song song Nâng Cao C– HƯỚNG DẪN GIẢI ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của SAB và SCD . Nhận xét nào sau đây là sai: A. d cắt CD . B. d cắt MN . C. d cắt AB . D. d cắt SO . Hướng dẫn giải Chọn B S Gọi I AB CD . Ta có: N I AB, AB  SAB I SAB I SAB  SCD I CD,CD  SCD I SCD A D Lại có S SAB  SCD . M Do đó SI SAB  SCD . O C d  SI. B Vậy d cắt AB,CD, SO . I Giả sử d cắt MN . Khi đó M thuộc mp SAB . Suy ra D thuộc SAB (vô lý). Vậy d không cắt MN . Đáp án B sai. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành BC / / AD .Mặt phẳng P di động chứa đường thẳng AB và cắt các đoạn SC, SD lần lượt tại E, F . Mặt phẳng Q di động chứa đường thẳng CD và cắt SA, SB lần lượt tại G, H.I là giao điểm của AE, BF; J là giao điểm của CG, DH . Xét các mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 2 Đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định. 3 Đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố dịnh. Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D.
  22. Quan hệ song song Nâng Cao S F G I A E D H J O B C M Trong mp ABCD , gọi M AB CD;O AC  BD . Khi đó M ,O cố định. Như vậy: E, F, M cùng nằm trên hai mp P và SCD , do đó ba điểm E, F, M thẳng hàng. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định M . Tương tự, ta có G, H, M cùng nằm trên hai mp Q và SAB ,do đó G, H, M thẳng hàng. Vậy các đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định M . I AE  SAC Do I SAC  SBD . I BF  SBD Tương tự ta cũng có J SAC  SBD ;O SAC  SBD Do đó ba điểm I, J,O thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua điểm cố định O . Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh MA SC . Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM vơí mặt phẳng SBD . Khi đó tỉ số IA bằng bao nhiêu: 3 4 A. 2 . B. 3 . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn C S Gọi O AC  BD . Ta có: SO mp SAC  SBD ; I AM  SO . Suy ra I AM  SBD . M I Xét tam giác SAC có hai đường trung tuyến SO và MA B A cắt nhau tại điểm I . Vậy I là trọng tâm tam giác SAC . MA 3 O Vậy ta có . IA 2 C D
  23. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn AD = 2BC, G là KB trọng tâm tam giác SCD . Mặt phẳng SAC cắt cạnh BG tại K . Khi đó, tỷ số bằng: KG 3 1 A. 2 B. C. 1 D. 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi M là trung điểm của BC ABCD : BM  AC = I; SBM : SI  BG K BG  SAC N ABCD : BM  AD = N Ta có: BI BC 1 MC MC 1 AD // BC 1 ; 1 BM = BN IN AD 2 MN MD 2 Suy ra, I là trung điểm của BM KB SG IM KB 3 Xét BGM: . . = 1 KG SM IB KG 2 Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Tìm điểm I trên đường chéo B'D và điểm J trên đường ID chéo AC sao cho IJ // BC' . Tính tỉ số bằng: IB' 1 1 A. B. C. 2 D. 1 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn A     Đặt BA x, BC y, BB' z     Suy ra: BC' y z; B'D x y z    Giả sử B'I hB'D h x y z       Ta có AJ kAC k AB' B'J B'J 1 k x k y z      IJ B'J B'I 1 k x k y z hx hy hz Suy ra  1 k h x k h y h 1 z 1 k 1 k h 0 k h 1 3 Ta có: IJ // BC' k h h 1 k 2h 1 2 h 3
  24. Quan hệ song song Nâng Cao  2  ID 1 Suy ra B'I B'D 3 IB' 3 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . M là điểm thuộc cạnh NB AD sao cho MA = 2MD. Gọi N là giao điểm của BC với MPQ . Tỉ số bằng: NC 1 2 A. B. C. 2 D. 1 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C ACD : MG  AC = I; ABC : PI  BC = N Suy ra: BC  MNP N IC MG QD IC 1 Xét ACD: . . = 1 IA MD QC IA 2 NB IC PA NB Xét ABC: . . = 1 1 NC IA PB NC Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang AD // BC,AD > BC , E là điểm thuộc cạnh SA sao cho SE = 2EA . Mặt phẳng EBC cắt cạnh SD tại F. Khi đó, SF tỷ số bằng: SD 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: EBC  SAD d, E d BC  EBD , AD  SAD d // BC // AD BC//AD SAD : d SD = F EF// AD // BC SF SE 2 Suy ra: SD SA 3 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là 2 điểm thuộc cạnh SB,SD sao cho SM = MB,SN = 2ND . Mặt phẳng AMN cắt SC tại P thỏa mãn SP = kSC . Số k bằng?
  25. Quan hệ song song Nâng Cao 2 3 3 2 A. B. C. D. 5 5 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A ABCD : AC  BD =O; SBD : MN  BD = T ABCD : AT  CD = K, SCD : KN SC = P TD NS MB TD 1 Xét ABD: . . = 1 TB ND MS TB 2 TD KD KD 1 KC Ta có: 3 TB AB DC 2 KD PS ND KC PS 2 2 Xét SCD: . . = 1 SP= SC PC NS KD PD 3 5 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P lần lượt là SH trung điểm của AB, AD và SO . Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải Chọn B Trong mp ABCD , gọi I MN  AO . Dễ thấy H PO  SC .
  26. Quan hệ song song Nâng Cao AI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm AO. Suy ra AC 4 và PI là đường trung bình của tam giác OSA . Do đó IH / /SA . SH AI 1 Áp dụng định lý Thales ta có: . SD AC 4 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm SP . Gọi R SR là giao điểm của SB với mặt phẳng (MNP) . Tính ? SB 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 5 Hướng dẫn giải Chọn D Trong mp (ABCD) , gọi I BD  MN,O AC  BD . Dễ thấy R IP  SB . DI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm DO. Suy ra . IB 3 Áp dụng định lý Menelaus vào taam giác SBD ta có: BR PS BI BR 1 SR 2 . . 1 .2. 1 RS PD ID RS 3 SB 3 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là các BM 2 NC 1 điểm nằm trên cạnh AB, AD sao cho , . Gọi P là điểm trên cạnh SD sao MA 3 BN 2 PD 1 SJ cho . J là giao điểm của SO với MNP . Tính ? PS 5 SO 10 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 11 11 4 2 Hướng dẫn giải Chọn A
  27. Quan hệ song song Nâng Cao S D A J K M O I B N C Theo chú ý câu 30 ta có: BA BC 5 3 2BO BO OI 1 OI 1 4 4 2 BM BN 2 2 BI BI BO 2 OD 2 Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SOD ta có: IO PD JS JS SJ 10 . . 1 10 ID PS JO JO SO 11 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên AP 1 SQ cạnh AB sao cho . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng MNP . Tính AB 3 SC 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A Trong mặt phẳng ABC , gọi E NP  AC Khi đó Q chính là giao điểm của SC với EM. AP BN CE CE Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có: . . 1 2 PB NC EA EA AM SQ CE SQ 1 SQ 1 Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: . . 1 MS QC EA QC 2 SC 3
  28. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 13: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm AB , F là điểm thuộc cạnh BC sao cho BF 2FC,G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG 2GD . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD của hình chóp ABCD theo a . 19 a 141 a 34 15 3 a 34 15 3 A. a . B. . C. . D. . 15 30 15 15 Hướng dẫn giải Chọn A A E H B D I F G C Trong mp BCD , gọi I FG  BD . Trong mp ADB , gọi H IE  AD . Khi đó HG EFG  ACD . Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với ba điểm I,G, F thẳng hàng ta có: ID FB GC ID 1 . . 1 IB FC GD IB 4 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với ba điểm I,H,E thẳng hàng ta có: HD EA IB HD 1 a . . 1 HD HA EB ID HA 4 5 Áp dụng định lý cosin vào tam giác HDG ta có: HG2 HD2 DG2 2DH.DG.cos600 a2 a2 a2 19a2 19 HG a 25 9 15 225 15 Câu 14: Cho tứ diện SABC có AB c, BC a, AC b. AD, BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SBE và SCF là:  b c  A. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  b c  B. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  a  C. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c
  29. Quan hệ song song Nâng Cao  a  D. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c Hướng dẫn giải Chọn A   S Do I thuộc đoạn AD nên AI, ID cùng hướng. Do đó B, D bị loại. AD là phân giác trong của tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác ta có: BD AB c ac BD DC AC b b c F B A Ta có: BI là phân giác trong của tam giác ABD I nên theo tính chất đường phân giác ta có: D E IA BA b c b c IA ID C ID BD a a  b c  Do đó: AI ID a Câu 15: Cho tứ diện SABC, E, F lần lượt thuộc đoạn AC, AB. Gọi K là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của SAK với BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? AK BK CK AK BK CK A. 6 . B. 6 . KD KE KF KD KE KF AK BK CK AK BK CK C. 6 . D. 6 . KD KE KF KD KE KF Hướng dẫn giải Chọn A S F B A K D E C AK BK CK Nếu K trùng với trọng tâm G thì 6 . Do đó C, D bị loại. KD KE KF DK EK FK S S S Ta có KBC KAC KAB 1 DA EB FC SABC SABC SABC
  30. Quan hệ song song Nâng Cao Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có: DK EK FK DA EB FC 9 DA EB FC DK EK FK DA EB FC AK BK CK 9 6 DK EK FK KD KE KF Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, D, M lần lượt là trung điểm của BC, AD . Gọi E là giao điểm của MF ME SBM với AC, F là giao điểm của SCM với AB . Tính ? CM ME BM ME 1 1 A. 1. B. 2 . C. D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A S F B A M D E C BM S S S S ABM CBM ABM CBM ME S S S S BF BM BM ME Ta có: AME CME AME CME 1 1 . S S BD BF AF ME ME ABM CBM SAME CD FA CM CE CD CE CM CM MF Tương tự ta cũng chứng minh được: 1 2 MF AE BD AE MF MF AM AE AF Và 1 3 MD CE BF MF ME Từ (1,2,3) suy ra 1 CM MF BM ME Câu 17: Cho hình bình hành ABCD , S là điểm không thuộc ABCD ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC. Xác định các giao điểm I, J của AN và MN với SBD ,từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểm J, I, M thẳng hàng. B. Ba điểm J, I, N thẳng hàng. C. Ba điểm J, I, D thẳng hàng. D. Ba điểm J, I, B thẳng hàng. Hướng dẫn giải
  31. Quan hệ song song Nâng Cao Chọn D. *Xác định giao điểm I AN  SBD Chọn mặt phẳng phụ SAC  AN Tìm giao tuyến của SAC và SBD : SAC  SBD SO Trong (SAC), gọi I AN  SO , I AN , I SO mà SO  SBD I SBD Vậy: I AN  SBD * Xác định giao điểm J MN  SBD Chọn mp phụ SMC  MN Tìm giao tuyến của SMC và SBD , S là điểm chung của SMC và SBD Trong ABCD , gọi E MC  BD SAC  SBD SE Trong SMC , gọi J MN  SE , H SE mà SE  SBD J SBD Vậy J MN  SBD * Chứng minh I, J, B thẳng hàng Ta có: B là điểm chung của ANB và SBD • I SO mà SO  SBD I SBD • I AN mà AN  ANB I ANB I là điểm chung của ANB và SBD • J SE mà SE  SBD J SBD • J MN mà NM  ANB J ANB J là điểm chung của ANB và SBD . Vậy: B, I, J thẳng hàng. Câu 18: Cho tứ giác ABCD và S ABCD . Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M. Xác định các giao điểm K, L của IJ và DJ với SAC , từ đó tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Ba điểm A, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm A, L, M thẳng hàng. C. Bốn điểm A, K, L, M thẳng hàng. D. Bốn điểm A, K, L, J thẳng hàng. Hướng dẫn giải Chọn C.
  32. Quan hệ song song Nâng Cao * Tìm giao điểm K IJ  SAC S Chọn mp phụ SIB  IJ J Tìm giao tuyến của SIB và SAC , S là điểm M L K B chung của SIB và SAC . Trong ABCD , A gọi E AC  BI SIB  SAC SE I E F C Trong SIB , gọi K IJ  SE. K IJ, K SE D mà SE  SAC K SAC Vậy: K IJ  SAC O * Xác định giao điểm L DJ  SAC Chọn mp phụ SBD  DJ Tìm giao tuyến của SBD và SAC , S là điểm chung của SBD và SAC Trong ABCD , gọi F AC  BD SE SBD  SAC Trong SBD , gọi L DJ  SE, L DJ, L SF mà SF  SAC L SAC Vậy: L DJ  SAC * Chứng minh A,K,L,M thẳng hàng Ta có:A là điểm chung của SAC và AJO K IJ mà IJ  AJO K AJO K SE mà SE  SAC K SAC K là điểm chung của SAC và AJO L DJ mà DJ  AJO L AJO L SF mà SF  SAC L SAC L là điểm chung của SAC và AJO M JO mà JO  AJO M AJO M SC mà SC  SAC M SAC M là điểm chung của SAC và AJO Vậy: Bốn điểm A,K,L,M thẳng hàng Câu 19: Cho tứ diện SABC .Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC. Gọi LK giao tuyến của mp LMN và ABC . Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BC và SC với LMN . Khẳng định nào sau đây đúng:
  33. Quan hệ song song Nâng Cao A. Ba điểm L, I, J thẳng hàng. B. Ba điểm L, I, K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, J thẳng hàng. D. Ba điểm M, I, K thẳng hàng. Hướng dẫn giải Chọn C. S * Tìm giao tuyến của mp LMN và ABC Ta có: N là điểm chung của L C LMN và ABC N Trong (SAB), LM không song song với AB A M I Gọi K AB  LM J K LM mà B LM  LMN K LMN K K AB mà AB  ABC K ABC * Tìm giao điểm I BC  LMN Chọn mp phụ ABC  BC Tìm giao tuyến của ABC và LMN ABC  LMN NK . Trong ABC , gọi I NK  BC , I BC, I NK mà NK  LMN I LMN Vậy: I BC  LMN *Tìm giao điểm J SC  LMN Trong SAC , LN không song song với SC. Gọi J LN  SC, J SC, J LN mà LN  LMN J LMN Vậy: J SC  LMN * Chứng minh M, I, J thẳng hàng Ta có: M, I, J là điểm chung của LMN và SBC Vậy: M, I, J thẳng hàng Câu 20: Cho tứ giác ABCD và S không thuộc mặt phẳng ABCD . Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD. Xác định I, J lần lượt là giao điểm của BN và MN với SAC . Từ đó tìm bộ 3 điểm thẳng hàng trong những điểm sau: A. Ba điểm A, I, J thẳng hàng. B. Ba điểm K, I, K thẳng hàng. C. Ba điểm M, I, J thẳng hàng. D. Ba điểm C, I, J thẳng hàng. Hướng dẫn giải Chọn D.
  34. Quan hệ song song Nâng Cao S * Tìm giao điểm I BN  SAC N Chọn mp phụ SBD  BN I Tìm giao tuyến của SBD và SAC J D Trong ABCD , A O AC  BD SBD  SAC SO O K C B Trong SBD , gọi M I BN  SO, I BN, I SO mà SO  SAC I SAC Vậy: I BN  SAC * Tìm giao điểm J MN  SAC : Chọn mp phụ SMD  MN Tìm giao tuyến của SMD và SAC Trong ABCD , gọi K AC  DM SMD  SAC SK Trong SMD , gọi J MN  SK, J MN, J SK mà SK  SAC J SAC Vậy: J MN  SAC * Chứng minh C, I, J thẳng hàng: Ta có: C, I, J là điểm chung của BCN và SAC Vậy: C, I, J thẳng hàng Câu 21: Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các điểm thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD     sao cho HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳng B. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng. D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng. Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1 1 A . . . 2. . 5 . 1 nên BE CF DH AJ 5 2 E, F, H, J đồng phẳng. E D F B H J C I
  35. Quan hệ song song Nâng Cao AE BF CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên E, F, I, J không đồng phẳng. BE CF DI AJ 5 5 2 25 AE BG CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E,G, H, J không đồng phẳng. BE CG DH AJ 5 2 AE BG CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên E,G, I, J không đồng phẳng. BE CG DI AJ 5 5 2 25 Câu 22: Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các điểm thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD     sao cho HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳng B. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng. D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng. Hướng dẫn giải Chọn A. Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E, F, H, J đồng phẳng. BE CF DH AJ 5 2 AE BF CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên BE CF DI AJ 5 5 2 25 A E, F, I, J không đồng phẳng. AE BG CH DJ 1 1 E D . . . 2. . 5 . 1 nên F BE CG DH AJ 5 2 B H E,G, H, J không đồng phẳng. J C AE BG CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên I BE CG DI AJ 5 5 2 25 E,G, I, J không đồng phẳng. Câu 23: Cho tứ diện ABCD, E,U là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho     EA 2EB, 5UA 4UB. F,G là các điểm thuộc đường thẳng BC sao cho     FC 5FB, GC 2GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD sao cho     HC 5HD, ID 5IC.J, K là các điểm nằm trên đường thẳng DA sao cho     JA 2JD, KD 5KA . Bốn điểm nào dưới đây lập nên một tứ diện? A. E, F, H, J . B. E,G, I, K . C. U,G, H, J . D. U, F, I, K . Hướng dẫn giải Chọn D. Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E, F, H, J đồng phẳng. BE CF DH AJ 5 2
  36. Quan hệ song song Nâng Cao AE BG CI DK 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E,G, I,K đồng phẳng. BE CG DI AK 2 5 AU BG CH DJ 4 1 1 . . . . . 5 . 1 nên U,G, H, J đồng phẳng. BU CG DH AJ 5 2 2 AU BF CI DK 4 1 1 4 . . . . . 5 . nên U,F,I,K không đồng phẳng. Do đó 4 điểm BU CF DI AK 5 5 5 25 này lập nên 1 tứ diện. Câu 24: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA sao cho MN không song song với AC . M , N, P,Q đồng phẳng khi : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A. . . . 1 B. . . . 1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C. . . . 1 D. . . . 1. AM BN CP AQ BM CN CP DQ Hướng dẫn giải Chọn A + Giả sử M , N, P,Q cùng thuộc mặt phẳng . Nếu MN cắt AC tại K thì K là điểm chung của các mặt phẳng , ABC , ADC nên PQ cũng đi qua K. Áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác ABC, ADC ta được : AM BN CK AK CP DQ AM BN CP DQ . . 1 ; . . 1 . . . 1 BM CN AK CK DP AQ BM CN DP AQ Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC thì ví dụ trên vẫn đúng. AM BN CP DQ + Liệu trường hợp ngược lại, có . . . 1 thì M , N, P,Q có đồng phẳng hay BM CN DP AQ không ? Câu trả lời là trường hợp ngược là ví dụ vẫn đúng. Ta sẽ cùng chứng minh nhé : Trong mặt phẳng ACD , KO cắt AD tại Q thì các điểm M , N, P,Q đồng phẳng. AM BN CP AQ DQ DQ Theo ví dụ 2 ta có: . . . 1 Q  Q . Ví dụ được chứng BM CN DP DQ AQ AQ minh. + Ví dụ này có thể được mở rộng đối với các điểm M , N, P,Q bất kì trên các đường thẳng AB, BC,CD, DA như sau : AM BN CP DQ M , N, P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi . . . 1 ( khẳng định này dôi khi còn BM CN DP AQ được gọi là định lí Menelaus mở rộng trong không gian)
  37. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 25: Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm BC ). Gọi Q là giao điểm của MNP với AD, I là giao điểm của MN với PQ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SMNPQ 2SMPN . B. SMNPQ 2SMPQ . C. SMNPQ 4SMPI D. SMNPQ 4SPIN . Hướng dẫn giải Chọn A. Do tứ diện ABCD có 4 mặt nên thiết diện không thể là ngũ giác hay lục giác. Nó chỉ có thể là tam A giác hoặc tứ giác. Trong mp ABC , gọi K MP  AC (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC) M Q Trong mp ACD , gọi Q KN  AD Do Q KN  MNP nên Q MNP  AD B D MNP  ABD MQ I j MNP  ABC MP P N Ta có: C MNP  BCD PN MNP  ACD NQ Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MPNQ. Ta chọn đáp án B. AM BP CN DQ BP DQ Áp dụng ví dụ 11, do M , N, P,Q đồng phẳng nên . . . 1 . 1 BM CP DN AQ CP AQ BP AQ (Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD). Từ đây suy ra . CP DQ BP     Giả sử k . Khi đó ta suy ra BP k PC, AQ kQD PC     Suy ra BP AQ k CP QD 1 Do J là trung điểm của PQ.     MJ MB BP PJ    Ta có:     2MJ AQ BP 2 MJ MA AQ QJ    Chứng minh tương tự ta cũng có: 2NJ CP DQ 3   Từ (1,2,3) suy ra MJ k NJ . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J. Điều này suy ra SMNPQ 2SMPN . Chọn đáp án A.
  38. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 26: Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy là đa giác lồi A1 A2 An n 3,n ¥ . Trên tia đối của tia A1S lấy điểm B1, B2 , Bn là các điểm nằm trên cạnh SA2 , SAn . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng B1B2 Bn là: A. Đa giác n 2 cạnh. B. Đa giác n 1 cạnh. C. Đa giác n cạnh. D. Đa giác n 1 cạnh. Hướng dẫn giải Chọn D. S Trong mặt phẳng SA1 A2 gọi C2 là giao Bn Bk điểm của B1B2 với A1A2 . Ik Trong mặt phẳng SA1 An gọi Cn là giao điểm của B B với A A . 1 n 1 n An C1 A1 Trong mặt phẳng A A A gọi O Ak 1 2 n k Ok B k 3,4, ,n 1 là giao điểm của A1Ak với 2 C2 A A . B1 2 n A2 Trong mặt phẳng SA2 An , gọi Ik k 3,4, ,n 1 là giao điểm của SOk với B2 Bn . Trong mặt phẳng SA1 Ak , gọi Bk k 3,4, ,n 1 là giao điểm của SAk với B1Ik . Do Bk B1Ik  B1B2 Bn nên Bk là giao điểm của SAk k 3,4, ,n 1 với mặt phẳng B1B2 Bn . Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi B1B2 Bn là đa giác C2B2 BnCn . Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho SD 3SE . F là trọng tâm tam giác SAB,G là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1:
  39. Quan hệ song song Nâng Cao S E J K F I A D N M L B G C H Gọi M là trung điểm của AB , khi đó S , F , M thẳng hàng. Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của MG với AD . Khi đó SI SMG  SAD . Trong mặt phẳng SMG , gọi J là giao điểm của FG với SI . Ta thấy J thuộc FG nên J thuộc EFG . Trong SAD , gọi K là giao điểm của JE với SA . Trong mặt phẳng SAB , gọi L là giao điểm của KF với AB . Trong mặt phẳng ABCD , gọi H là giao điểm của LG với CD . Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của EH với SC . EFG  ABCD LG; EFG  SBC GN Ta có: EFG  SCD NE; EFG  SAD EK . EFG  SAB KL Vậy ngũ giác LGNEK là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Chú ý: Mấu chốt của ví dụ trên là việc dựng được điểm J là giao điểm của FG với SAD (thông qua việc dựng giao tuyến SI của mặt phẳng SFG với mặt phẳng SAD ). Có thể dựng thiết diện trên bằng nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác E, F,G ) của một trong các đường thẳng EF, FG ; hoặc GE với một mặt của hình chóp. Sau đây, tôi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt là xác định giao điểm của EF với mặt phẳng ABCD . Cách 2:
  40. Quan hệ song song Nâng Cao S E K F A D N M P L B G C H Trong mặt phẳng SM D , gọi P là giao điểm của EF với M D . Trong mặt phẳng ABCD , gọi H, L là giao điểm của P,G với CD , AB . Trong mặt phẳng SAB , gọi K là giao điểm của LF với SA . Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của EH với SC . EFG  ABCD LG; EFG  SBC GN Ta có: EFG  SCD NE; EFG  SAD EK . EFG  SAB KL Vậy ngũ giác LGNEK là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên SCD . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG có thể là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Hướng dẫn giải Chọn B. Trong mặt phẳng ABCD , gọi H là giao điểm của AB và CD . Trong mặt phẳng SAB , gọi I là giao điểm của FG và SH . Xét các trường hợp sau:
  41. Quan hệ song song Nâng Cao S I J E G A D K F B C H Trường hợp 1: Trong mặt phẳng SCD , IE cắt SC tại J và cắt đoạn CD tại K . Ta có J IE  EFG nên J là giao điểm của EFG với SC , K IE  EFG nên K là giao điểm của EFG với CD . EFG  ABCD FK; EFG  SAB FG Ta có EFG  SBC GJ; EFG  SCD JK Suy ra tứ giác KFGJ là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Trường hợp 2: S I J E G K A M D F L B C H
  42. Quan hệ song song Nâng Cao Trong mặt phẳng SCD , IE cắt SC tại J và cắt đoạn SD tại K (cắt CD tại một điểm nằm ngoài đoạn CD ). Trong mặt phẳng SBC : BG CJ Nếu GJ song song với BC thì ta có: . Gọi T là giao điểm của IE với CD . GS JS Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác SBH và SCH ta có FB IH GS TC IH JS FB TC . . 1 . . . Điều này chỉ xảy ra khi T thuộc đoạn CD FH IS GB TH IS JC FH TH (vô lí) Do vây GJ cắt BC , giả sử tại L . Trong mặt phẳng ABCD , gọi M là giao điểm của LF với AD . EFG  ABCD FM ; EFG  SAB FG Ta có EFG  SBC GJ; EFG  SCD JK EFG  SAD KM Suy ra ngũ giác KJGFM là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG hoặc là tứ giác hoặc là ngũ giác.   Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD, E là trung điểm của SB, F thuộc SC sao cho 3SF 2SC, G là một điểm thuộc miền trong tam giác SAD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Hướng dẫn giải Chọn B. Trong mặt phẳng SBC , gọi J là giao điểm của EF với BC . Trong mặt phẳng SAD , gọi I là giao điểm của SG với AD . Trong mặt phẳng ABCD , gọi N là giao điểm của IJ với CD . Trong mặt phẳng SIJ , gọi K là giáo điểm của JG với SN . Trong mặt phẳng SCD , có hai khả năng xảy ra như sau: Trường hợp 1: FK cắt đoạn CD tại P . S Trong mặt phẳng ABCD , gọi Q là giao điểm của JP với AD . Trong mặt phẳng SAD , gọi R là giao điểm của QG với SA . R G E Q D A I K F P B N C J
  43. Quan hệ song song Nâng Cao EFG  ABCD PQ; EFG  SAD QR Ta có EFG  SAB RE; EFG  SBC EF EFG  SCD FP Trường hợp này, ngũ giác REFPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi EFG . Trường hợp 2: FK cắt SD tại H ( FK không cắt đoạn CD ). S Trong mặt phẳng SAD , gọi M là giao điểm của HG với SA ( HG không thể cắt đoạn AD M vì giả sử ngược lại HG cắt cạnh AD tại O , khi G đó JO sẽ cắt cạnh CD (vô lí vì EFG đã cắt H cạnh SC, SD )). E K I D Khi đó A EFG  SCD FH; EFG  SAD MH F P EFG  SAB ME; EFG  SBC EF B Trường hợp này, tứ giác MEFH là thiết diện N của hình chóp cắt bởi EFG . C J Câu 30: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a, DF a . Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF là: a2 33 a2 a2 a2 33 A. S . B. S . C. S . D. S . 18 3 6 9 Hướng dẫn giải Chọn C Trong mặt phẳng ABC , gọi H là giao điểm của ME với AC . Trong mặt phẳng ABD , gọi K là giao điểm của MF và AD . MEF  ABC MH A Ta có: MEF  ABD MK . MEF  ACD HK Do đó tam giác MHK là thiết diện của tứ diện cắt bởi MEF . M Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm của các tam K giác ABE và ABF . H 2a Ta có: AH AK HK . B F 3 D Xét hai tam giác AMH và AMK có AM C 2a chung, M· AH M· AK 600 , AH AK nên 3 E hai tam giác này bằng nhau. Suy ra MH MK . Vậy tam giác MHK cân tại M . Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH :
  44. Quan hệ song song Nâng Cao 2 2 2 2 2 2 2 0 a 2a a 13a a 13 MH AM AH 2AMAH.cos60 MH . 2 3 3 36 6 Gọi I là trung điểm của đoạn HK . Ta có MI  HK . 13a2 a2 a2 a Suy ra: MI 2 MH 2 HI 2 MI . 36 9 4 2 1 1 2a a a2 Diện tích thiết diện MHK là: S MI.HK . . . 2 2 3 2 6 Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm E, F, G, H . Gọi I AC  BD, J EG  SI . Mệnh đề nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SI A. . B. 2 . SE SG SF SH SE SG SJ SA SC SB SD SB SD SI C. . D. 2 . SE SG SF SH SF SH SJ Hướng dẫn giải Chọn A S E H J D F A G I B C Xét trường hợp đặc biệt E, F,G, H lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó ta dễ dàng loại được đáp án D. Dựng AT / /EG T SI ,CK / /EG KESI S Theo định lý Thales, ta có: SA ST SC SK IT IA , ; 1 G SE SJ SG SJ IK IC E SA SC ST SK SI IT SI IK SI Suy ra: 2 SE SG SJ SJ SJ T Như vậy, ý B bị loại. C SB SD SI Tương tự, ta chứng minh được 2 . SF SH SJ K
  45. Quan hệ song song Nâng Cao Từ đây ta thấy ngay ý C bị loại và A là đáp án A là đáp án lựa chọn. Chú ý: Cho tam giác ABC. Gọi O là trung điểm AC, M, N là hai điểm nằm trên cạnh BA BC 2BO AB, AC. MN cắt BO tại I. Khi đó: . BM BN BI Câu 32: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF chung cạnh AB và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau. Lấy hai điểm M , N lần lượt trên hai đường chéo AC và BF sao cho AM BN . Tìm quĩ tích trung điểm MN , biết O là trung điểm của AB. A. Quỹ tích I là đoạn OI với I là trung điểm của CF . B. Quỹ tích I là tia phân giác của góc xOy với Ox / /BF và Oy / / AC. C. Quỹ tích I là đường phân phân giác của góc xOy với Ox / /BF và Oy / / AC. D. Quỹ tích I là đường đoạnOI với I là trung điểm của CE. Hướng dẫn giải: Tìm mặt phẳng cố định chứa I: Gọi O là trung điểm của AB. Do điểm I là trung điểm của MN, theo định lý Thales đảo thì I sẽ nằm trong mặt phẳng qua O và song song với AC và BN. Mặt phẳng đó dựng như sau: Từ O kẻ Ox// AC, Oy //BF Ox, Oy tạo mặt phẳng (P) chứa I. Quỹ tích của I sẽ ở trên (P) Xác định điểm I: ( phương pháp dựng giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ) + Chọn mặt phẳng chứa I: Từ M và N kẻ những đường thẳng song song với AB. Chúng cắt Ox, Oy lần lượt tại M’ và N’. Mặt phẳng (NN’MM’) là mặt phẳng này. + Giao tuyến của (NN’MM’) với P là M’N’. Nó cắt MN tại I. I là trung điểm của MN cũng là trung điểm của M’N’. Trên (P) sự di chuyển của I phụ thuộc vào M’ và N’ Tính chất của M’ và N’ là OM’= ON’ Vì OM’ = ON’ nên trung điểm I chạy trên đường phân giác của góc xOy. Giới hạn: Khi M chạy đến C thì N chạy đến F. I chạy đến trung điểm I’ của CF. Kết luận: Quỹ tích của I là đoạn thẳng OI’ trên mặt phẳng (Ox;Oy). Các hình vẽ minh họa:
  46. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 33: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là 2 điểm cố định trên các cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC. Điểm M di động trên cạnh CD. Gọi N là giao điểm của mp (MEF) và BD. Tìm tập giao điểm I của EM và FN. A. Tập hợp I là đoạn thẳng DG với G EC  BF . B. Tập hợp I là đường thẳng DG với G EC  BF . C. Tập hợp I là tia DG với G EC  BF . D. Tập hợp I là đường thẳng DK với K là giao điểm của EF và BC. Hướng dẫn giải: Do EF không song song với BC. Nên EF cắt BC tại K. Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng KM cắt BD tại N. Suy ra N là giao điểm của mp(MEF) và BD. Do I EM và EM  (ECD) cố định nên I thuộc mặt phẳng (ECD). Tương tự I FN và FN thuộc mặt phẳng (FBD) cố định. Nên I thuộc giao tuyến của mp(FBD) và (ECD). Gọi G EC  BF thì I thuộc đường thẳng DG là giao tuyến 2 mặt phẳng (ECD) và (FBD). Khi M di động trên CD thì I di động trên đoạn DG. Vậy tập hợp I là đoạn thẳng DG. Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử AD và BC cắt nhau tại H. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E và F lần lượt là trung điểm của SA và SB. Điểm M di động trên cạnh SC. Gọi N là giao điểm của SD và mp(EFM). Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM. A. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = CF  SH. B. Tập hợp J là đoạn thẳng SJ1 với J1 = DE  SH. C. Tập hợp J là đoạn thẳng SH. D. Tập hợp J là đường thẳng SH. Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra (SAC) cắt (SBD) theo giao tuyến là SO. Gọi I là giao của EM và SO. Khi đó FI cắt SD tại N. Do FM thuộc mp (SBC) cố định và EN thuộc mp (SAD) cố định nên giao điểm J của FM và EN thuộc giao tuyến của mp (SBC) và mp (SAD). Gọi H =AD  BC, suy ra (SBC) (SAD) =SH. Do đó I thuộc đường thẳng SH. Giới hạn: Nếu M  S thì J  S ; Nếu M  C thì J  J1 với J1 = CF  SH. Vậy tập hợp J là đoạn thẳng SJ1.
  47. Quan hệ song song Nâng Cao Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD, trong đó AD không song song với BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AD và BC. Điểm M di động trên cạnh SB, EM cắt SC tại N. Tập hợp giao điển I của AN và DM. A. Tập hợp giao điển I là đoạn thẳng SO. B. Tập hợp giao điển I là đường thẳng SO. C. Tập hợp giao điển I là đoạn thẳng SO trừ 2 điểm S và O. D. Tập hợp giao điển I là đoạn thẳng SE. Hướng dẫn giải: Do AN thuộc mp (SAC) cố định và DM thuộc mp (SBD) cố định nên giao điểm I của AN và DM thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. Khi M trùng S thì I trùng S; Khi M trùng B thì I trùng O. Vậy tập hợp I là đoạn thẳng SO. Câu 36: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng P di động luôn song song với AB và CD cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M , N, E, F . Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF. A. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD (trừ 2 điểm P và Q). B. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
  48. Quan hệ song song Nâng Cao C. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC (trừ 2 điểm P và Q). D. Tập hợp tâm I là đoạn thẳng PQ với P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Hướng dẫn giải: Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó AQ cắt MN tại K; BQ cắt FE tại H. Dễ thấy H, K lần lượt là trung điểm của MN và FE nên I thuộc KH, đồng thời là trung điểm KH. Do đó I thuộc đường trung tuyến QP của tam giác QAB.