Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Hai mặt phẳng vuông góc

66 trang nhungbui22 12/08/2022 3560

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Hai mặt phẳng vuông góc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_hai_mat_phang_vuong_goc.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Hai mặt phẳng vuông góc

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 1 Vấn đề 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I. Góc giữa hai mặt phẳng a ① Định nghĩa 9: Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần b lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. a  ( )  [( ),( )] (a, b) b  ( )   Chú ý: ( )//( ) [( ),( )] 00 ( )  ( ) [( ),( )] 00 P ② Định lí 5: (Diện tích đa giác chiếu) B Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng P C và S là diện tích hình chiếu H của H trên mặt phẳng H P' P và là góc giữa hai mặt phẳng P và P , thì A B' H ' S ' S.cos , S A'B'C S ABC .cos A' C' II. Hai mặt phẳng vuông góc ① Định nghĩa 10: Hai mặt phẳng vuông góc. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . ( )  ( ) ( ),( ) 900 ② Định lí 6: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. a Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.  a  ( )  ( )  ( ) a  ( ) ③ Định lí 7: (Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường a thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.  ( )  ( )  ( )  ( )  a  ( ) a  ( ),a   ④ Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( ) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong ( ) thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với ( ) sẽ nằm trong ( ) .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC2 ( )  ( )  A A ( )  a  ( ) a a  ( ) A a   ⑤ Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt a  phẳng thứ ba. ( )  ( )  ( )  (P)  a  (P) P ( )  (P)  ⑥ Hệ quả 3: a Qua một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  O ( ) có duy nhất một mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt b phẳng ( ) . a  ( ) !( )  a vaø ( )  ( ) III. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương Định nghĩa 11 Hình vẽ Tính chất B A C Hình lăng trụ đứng Các mặt bên của hình lăng E D Là hình lăng trụ có cạnh bên B' trụ đứng là hình chữ nhật, C' vuông góc với mặt đáy. A' vuông góc với mặt đáy. E' D' B C Các mặt bên của hình lăng trụ Hình lăng trụ đều A D E đứng là hình chữ nhật bằng Là hình lăng trụ đứng có đáy là F B' C' nhau và vuông góc với mặt đa giác đều A' D' F' E' đáy. B A Hình hộp đứng C Hình hộp đứng có 4 mặt bên là Là hình lăng trụ đứng có đáy là D B' A' hình chữ nhật hình bình hành C' D' B C Hình hộp chữ nhật A D Các mặt là hình chữ nhật. Là hình lăng trụ đứng có đáy là B' hình chữ nhật C' A' D' B C Hình lập phương Các mặt là hình vuông bằng A D Là hình hộp chữ nhật có tất cả nhau. B' các cạnh bằng nhau C' A' D'
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 3 IV. Hình chóp đều S S S ① Định nghĩa 12. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và C F E A D C các cạnh bên bằng nhau. H A D Trong hình chóp đều: M H H B A B B C - Đường thẳng vuông góc với đáy kẻ từ đỉnh được gọi là đường cao của hình chóp. - Đường cao kẻ từ đỉnh của mặt bên gọi là trung đoạn là của hình chóp đều. ② Tính chất 8. - Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau - Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. - Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. - Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là hình chiếu của đỉnh xuống đáy. S V. Hình chóp cụt đều ① Định nghĩa 13. Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song F' E' với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó gọi là hình A' D' B' C' chóp cụt đều. F E Đoạn nối tâm hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. A D ② Tính chất 9. H - Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau. B C - Hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng và nằm trong hai mặt phẳng song song. Dạng 1. Góc giữa hai mặt phẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tính góc giữa hai mặt phẳng và  ta thực hiện theo 3 cách sau: Cách 1. Sử dụng định nghĩa: Bước 1. Chọn điểm O , từ đó kẻ : E  OE  tại E O  OF   tại F F F Bước 2. Khi đó: ,  OE,OF  Cách 2. Dùng cho 2 mặt phẳng cắt nhau: “Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường P cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm” Bước 1. Tìm giao tuyến d của và  B  Bước 2. Chọn điểm O trên d , từ đó: O H C P'  Trong dựngOx  d . x y A B'  Trong  dựngOy  d . d H ' A' C' Bước 3. Khi đó: ,  Ox,Oy Cách 3. Dùng diện tích đa giác chiếu:
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC4 Gọi S là diện tích của đa giác H trong P và S là diện tích hình chiếu H của H trên S ' P và là góc giữa P và P , thì: S ' S.cos hay cos . S B. BÀI TẬP MẪU VD 3.1 Cho hình chóp S.ABC với ABC vuông cân tại B và BA BC a , SA  ABC , SA a 3 . a) Tính góc giữa SBC và ABC b) Tính góc giữa SAC và SBC ĐS: a) 600 b) 52014 VD 3.2 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông tâm O , AB a , SA  ABCD và SA a a) Trong tam giác SAC , hạ OH  SC . Chứng minh góc O· HB là góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC . Tính số đo O· HB . b) Tính góc giữa SBC và SCD . ĐS: a) 600 b) 600
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 5 VD 3.3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với AB a . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt đáy, đặt SO x . a) Tìm x sao cho góc giữa SCD và ABCD bằng 450 . b) Với giá trị của x tìm được ở câu a), tính góc giữa SAD và SCD ĐS: a) x = a/2 b) 600 VD 3.4 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . a) Tính góc giữa (ACB ) và (ACD ) ĐS: a) arccos (1/3) b) x = a/2 b) Lấy điểm M trên cạnh DD và đặt MD x . Tính x sao cho (ACB ) vuông góc với ACM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC6 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD . Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên hai cạnh CB và CD , đặt CM x , CN y . Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để: a) Hai mặt phẳng SAM và SAN tạo với nhau góc 450 . b) Hai mặt phẳng SAM và SAN vuông góc với nhau. ĐS: a) 2a2 2a( x y ) xy b) a( x y ) x2 y2 3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) SAB và SCD b) SBC và ABC c) SBD và ABD d) SBC và SCD 2 21 3 e) SAB và SBD ĐS: a) 300 b) 600 c) arctan 6 d) 2 arctan e) arctan 21 2 3.3 Cho ABC đều cạnh a . Trên đường thảng vuông góc với ABC tại B và C , lần lượt lấy điểm M và N nằm cùng phía đối với mặt phẳng ABC sao cho BM x , CN 2x . Tính x sao cho góc giữa ABC và AMN bằng 600 . ĐS: x = a 3 /2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 7 3.4 Cho tứ diện SABC , ABC vuông cân tại A , AB a . Hình chiếu của S trên ABC trùng với a trung điểm H của BC và SH . Tính góc giữa SAB và SBC . ĐS: 600 2 3.5 Cho tứ diện đề ABCD . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD , BC . Tính góc giữa hai mặt phẳng IJK và BCD . ĐS: arctan 2 3.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , BC 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA a . Tính: a) Góc giữa các mặt SAB , SBC , SCD , SAD với mặt đáy. b) Góc giữa các cặp mặt phẳng SAB và SAD ; SBC và SAB ; SBC và SCD ; SAD và SCD . c) Góc giữa các cặp mặt phẳng SAB và SCD , SAD và SBC . 1 10 1 ĐS: a) 900, 450, arctan , 900 b) 900, 900, arctan , 900 c) 900 arctan ; 450 2 5 2 3.7 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. b) Tính tan của góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy. ĐS: a) 300 b) tanα = 2 3 /3 3.8 Từ một điểm nằm ngoài mặt phẳng P , hạ đường vuông góc MA và hai đường xiên MB , MC tới P . Biết MA a , MB , MC đều tạo với P các góc 300 và MB  MC . a) Tính độ dài đoạn thẳng BC . b) Tính góc tạo bởi MBC và ABC . ĐS: a) BC=2a 2 b) =450 3.9 Cho lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đáy đều bằng a . biết góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của điẻnh A lên (A B C ) trùng với trung điểm của cạnh B C . a) Tính tan của góc giữa hai đường thẳng BC và AC . b) Tính tan của góc giữa (ABB A ) và mặt đáy. ĐS: a) tan 3 b) tan 2 3 3.10 Cho ABC vuông tại A , có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng P . Gọi  ,  là góc hợp bởi hai đường thẳng AB , AC với P . Gọi là góc hợp bởi ABC với P . Chứng minh rằng: sin2 sin2  sin2 Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Chứng minh góc giữa chúng bằng 900 . ② Chứng minh có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với mặt phẳng kia ③ Chứng minh a// P mà Q  a . ④ Chứng minh P // R mà Q  R
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC8 B. BÀI TẬP MẪU VD 3.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O . Các tam giác SAC và SBD cân tại S . Chứng minh: SO  ABCD và SAC  SBD . VD 3.6 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tma giác vuông cân tại B , SA  ABC . a) Chứng minh: SBC  SAB . b) Gọi M là trung điểm của AC . Chứng minh: SBM  SAC . VD 3.7 Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác cân tại A . Hình chiếu của S trên ABC là trung điểm H của BC . Trong SAC , kẻ đường cao CI . Chứng minh: IBC  SAC và IBC  SAB
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 9 VD 3.8 Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a . Dựng d và d lần lượt vuông góc với ABCD tại B và D . Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên d , d và nằm cùng bên đối với mặt phẳng a2 ABCD sao cho BM.DN . Chứng minh: MAC  NAC và AMN  CMN 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 10 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.11 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại B và SA  ABC . Trong SAB và SAC , kẻ đường cao AH  AB và AK  SC . Gọi E là giao điểm của HK và BC . Chứng minh: a) AH  SBC b) AHK  SAC c) EA  AC . 3.12 Cho AMN cân tại A , AM AN a , MN x . Gọi I là trung điểm của MN . Trên đường thẳng qua I và vuông góc với AMN , ta lấy điểm B sao cho IA IB . a) Gọi J là trung điểm của AB . Chứng minh rằng góc giữa ABM và ABN bằng góc giữa IM và JN . b) Tính AB theo a và x và suy ra giá trị x để ABM  ABN . ĐS: AB 8a2 2x2 /4; x=a 3 /2 3.13 Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác vuông tại A . Mặt bên SAC là tam giác vuông tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABC . Chứng minh: a) SAB  SAC b) SAB  SBC . 3.14 Cho tứ diện ABCD . Gọi O là trọng tâm BCD và H là trung điểm đoạn AO . Chứng minh các mặt phẳng HBC , HCD và HBD đôi một vuông góc với nhau. 3.15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , B· AD 600 . Cạnh bên SA a 6 vuông góc với đáy và SA . Chứng minh: 2 a) SBD  SAC b) SBC  SDC . 3.16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a . Chứng minh: a) ABCD  SBD b) SBD vuông. 3.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600 , a 6 cạnh SC và SC  ABCD . 2 a) Chứng minh: SBD  SAC . b) Trong SCA, kẻ IK  SA tại K . Tính IK . c) Chứng minh B· KD 900 và từ đó suy ra SAB  SAD . 3.18 Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC , ABD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng BDC . Vẽ các đường cao BE , DF của BCD và đường cao DK của ACD . a) Chứng minh rằng AB  BCD . b) Chứng minh rằng ABE  ADC và DFK  ADC . c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của BCD và ACD . Chứng minh rằng OH  ADC .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 11 a 3.19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm cạnh a . SO  ABCD và SO . 2 Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , CD . Chứng minh: a) SAC  SBD b) SAB  SIJ c) SAB  SCD . 3.20 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . SA SB SC . Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC . Đặt SH h . a) Tính h theo a sao cho SAB  SAC . ĐS: a) h a 6 / 6 b) Với giá trị h của câu trên. Chứng minh ba mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. Dạng 3. Thiết diện chứa đường thẳng a và vuông góc với ( ) (a không vuông góc với ( )) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1. Chọn một điểm A a sao cho từ A có thể dựng được d đường thẳng b vuông góc với một cách dễ nhất.  A a Bước 2. Khi đó, mặt phẳng a, b chính là mặt phẳng  cần dựng. b Bước 3: Tìm các giao điểm của  với các cạnh bên của hình chóp. Từ đó suy ra thiết diện.  Chú ý: Nếu có đường thẳng d  thì  //d hay   d . B. BÀI TẬP MẪU VD 3.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 3 . Gọi là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với SDC . a) Mặt phẳng cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? b) Tính diện tích thiết diện ĐS: S=7a2 3 /16
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 12 VD 3.10 Chi hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AD CD a , AB 2a . Cạnh bê SA vuông góc với đáy và SA a . Gọi là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với SAC . Xác định và tính diện tích thiết diện do cắt hình chóp. ĐS: S=a2 3 /2 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.21 Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA , AB , AC đôi một vuông góc với nhau và SA AB AC a . a) Gọi H là hình chiếu của A trên SBC . Chứng minh H là trực tâm của SBC .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 13 b) Trên cạnh SB , ta lấy điểm E sao cho SE 2BE . Gọi là mặt phẳng chưa AE và vuông góc với SBC . Xác định và tính diện tích của thiết diện do cắt hình chóp. ĐS: S=a2 6 /9 3.22 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh a , SA a và SA  ABCD . a) Gọi là mặt phẳng qua O , trung điểm M của SD và vuông góc với ABCD . Hãy xác định , mặt phẳng cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện. b) Gọi  là mặt phẳng qua A , trung điểm E của CD và vuông góc với SAB . Hãy xác định  , mặt phẳng  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện. ĐS: a) H.thang vuông, S=3a2 /8 (đvdt) b) Tứ giác, S=a2 /2 (đvdt)
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 14 Dạng 4. Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Lăng trụ có: • Hai đáy song song và là 2 đa giác bằng nhau Lăng trụ xiên • Các cạnh bên song song và bằng nhau • Các mặt bên là các hình bình hành Cạnh bên ② Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy vuông góc đáy ③ Lăng trụ tam giá đều là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều Lăng trụ đứng ④Lăng trụ có đáy là tam giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là tam giác đều ⑤ Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là hình vuông Đáy là ⑥ Lăng trụ có đáy là tứ giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là hình vuông đa giác đều ⑦ Hình hộp là hình lăng trụ xiên, có đáy là hình bình hành Lăng trụ đều ⑧ Hình hộp đứng là lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành ⑨ Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có đáy là hình chữ nhật ⑩ Hình lập phương là lăng trụ đứng, có đáy và các mặt bên là hình vuông. B. BÀI TẬP MẪU VD 3.11 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Chứng minh rằng: a) (AB C D)  (BCD A ) b) AC  A BD
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 15 VD 3.12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , BC b , CC c . a) Chứng minh rằng: (ADC B )  (ABB A ) . b) Tính độ dài đường chéo AC theo a , b , c . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.23 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B , C , D , A , B , D đến đường chéo AC đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó. 3.24 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C đáy là tam giác đều cạnh a , A A a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , A C . a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng qua MN và vuông góc với (BCC B ) . Thiết diện là hình gì ? a2 15 b) Tính diện tích thiết diện. ĐS: (đvdt) S 8 3.25 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C đáy là tam giác vuông cân tại A . Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B C có độ dài bằng a , MN hợp với đáy góc và mặt bên (BCC B ) góc  . a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 16 b) Chứng minh rằng: cos 2 sin  . ĐS: AB AC 2a cos ; BC 2 2a cos BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.1 Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và đáy ABC vuông tại A . Khẳng định nào sau đây sai? A. SAB  ABC B. SAB  SAC C. Vẽ AH  BC , H BC góc ASH là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC D. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là góc SCB TN3.2 Cho tứ diện ABCD có AC AD và BC BD . Gọi I là trung điểm củaCD . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD là góc AIB . B. BCD  AIB C. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD là góc CBD D. ACD  AIB TN3.3 Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và AB  BC . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc nào sau đây? A. Góc SBA B. Góc SCA C. Góc SCB D. Góc SIA ( I là trung điểm BC ) TN3.4 * Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  ABCD . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc ABS B. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc SOA (O là tâm hình vuông ABCD ) C. Góc giữa hai mặt phẳng SAD và ABCD là góc SDA D. SAC  SBD TN3.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Biết SO  ABCD , SO a 3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a 2 . Tính góc hợp bởi mỗi mặt bên với đáy? A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 TN3.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến 2a BD bằng . Biết SA  ABCD và SA 2a. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABCD 5 và SBD . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. SAB  SAD B. SAC  ABCD C. tan 5 D. SOA. TN3.7 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi, AC 2a . Các cạnh bên AA , BB vuông góc với đáy và AA a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật. B. Góc giữa hai mặt phẳng AA C C và BB D D có số đo bằng 600 . C. Hai mặt bên AA C và BB D vuông góc với hai đáy. D. Hai hai mặt bên AA B B và AA D D bằng nhau. TN3.8 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D . Hình chiếu vuông góc của A lên ABC trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng?
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 17 A. AA B B  BB C C B. AA H  A B C C. BB C C là hình chữ nhật. D. BB C C  AA H TN3.9 Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và đáy ABC là tam giác cân ở A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SBC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. H SB B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC C. H SC D. H SI ( I là trung điểm của BC ) TN3.10 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SBC và SAC vuông góc với đáy ABC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SC  ABC B. Nếu A là hình chiếu vuông góc của A lên SBC thì SA  SB C. SAC  ABC D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK  SAC . TN3.11 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy ABC , tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên SBC . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. SC  ABC B. SAH  SBC C.O SC D. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc SBA. TN3.12 * Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên ACD và BCD là hai tam giác cân có đáyCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ACD . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. AB nằm trên mặt phẳng trung trực của CD B. H AM ( M là trung điểmCD ) C. Góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD là góc ADB . D. ABH  ACD . TN3.13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A . H là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. Các mặt bên của ABC.A B C là các hình chữ nhật bằng nhau. B. AA H là mặt phẳng trung trực của BC C. Nếu O là hình chiếu vuông góc của A lên A BC thì O A H D. Hai mặt phẳng AA B B và AA C C vuông góc nhau. TN3.14 Hình hộp ABCD.A B C D trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây? A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông. D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông TN3.15 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 18 B. Hai mặt ACC A và BDD B vuông góc nhau C. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường. TN3.16 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Hai mặt ACC A và BDD B vuông góc nhau B. Bốn đường chéo AC , A C, BD , B D bằng nhau và bằng a 3 C. Hai mặt ACC A và BDD B là hai hình vuông bằng nhau D. AC  BD ' TN3.17 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB AA a, AD 2a . Gọi là góc giữa đư ờng chéo A C và đáy ABCD . Tính A. 20045' B. 2405' C. 30018' D. 25048' TN3.18 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC có số đo bằng 600. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng: A. 3a B. a 3 C. 2a D. a 2 TN3.19 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AA a, BC 2a, CA a 5 . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Đáy ABC là tam giác vuông. B. Hai mặt AA B B và BB C vuông góc nhau C. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BC có số đo bằng 450 D. AC 2a 2 TN3.20 Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A B C D E F có cạnh bên bằng a và ADD A là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng: a a 3 a 2 A. a B. C. D. 2 3 2 TN3.21 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có ACC A là hình vuông, cạnh bằng a . Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng: a 2 a 3 A. B. a 2 C. D. a 3 2 3 TN3.22 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 2a 3 và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A B C . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về AA G G ? A. AA G G là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và 3a. B. AA G G là hình vuông có cạnh bằng 2a . C. AA G G là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a2 D. AA G G là hình vuông có diện tích bằng 8a2 TN3.23 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây sai? A. Tam giác AB C là tam giác đều. 2 B. Nếu là góc giữa AC thì cos 3 C. ACC A là hình chữ nhật có diện tích bằng 2a2 D. Hai mặt AA C C và BB D D ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. TN3.24 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH . Xét các mệnh đề sau: I) SA SB SC II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . III) Tam giác ABC là tam giác đều.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 19 IV) H là trực tâm tam giác ABC. Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S.ABC là hình chóp đều? A. (I ) và (II ) B. (II) và (III ) C. (III ) và (IV ) D. (IV ) và (I ) TN3.25 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy. A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 a 2 TN3.26 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Tính số đo của góc 2 giữa mặt bên và mặt đáy. A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 TN3.27 Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. 3 2 1 1 A. B. C. D. 2 3 2 3 TN3.28 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính độ dài đường cao SH . a a 3 a 2 a 3 A. SH B. SH C. SH D. SH 2 2 3 3 TN3.29 Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy. 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 3 2 TN3.30 Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B,C sao cho OA OB OC a . Khẳng định nào sau đây sai? A. O.ABC là hình chóp đều. a2 3 a 3 B. Tam giác ABC có diện tích S C. Tam giác ABC có chu vi 2 p 2 2 D. Ba mặt phẳng OAB , OBC , OCA vuông góc với nhau từng đôi một. TN3.31 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và Â 600 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại O (O là tâm của ABCD ), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S.ABCD là hình chóp đều 3a B. Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các tam giác cân.C. SO 2 D. SA và SB hợp với mặt phẳng ABCD những góc bằng nhau. TN3.32 Cho hình chóp cụt đều ABC.A B C với đáy lớn ABC có cạnh bằng a . Đáy nhỏ A B C có a a cạnh bằng , chiều cao OO . Khẳng định nào sau đây sai ? 2 2 A. Ba đường cao AA , BB , CC đồng qui tại S. a B. AA BB CC 2 C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO ( I là trung điểm BC ) D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ A B C . a TN3.33 Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A B C D cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng và cạnh 3 của đáy lớn A B C D bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính chiều cao OO của hình chóp cụt đã cho.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 20 a 3 a 3 2a 6 3a 2 A.OO B.OO C.OO D.OO 3 2 3 4
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 21 Vấn đề 5. KHOẢNG CÁCH ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với M H là hình chiếu của M trên đường thẳng a . a H Kí hiệu: d(M , a) MH . ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng M Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng . H Kí hiệu: d M , ( ) MH . ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng M b cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia. a H d(a , b) d(M , b) MH ( M a ) ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song a M Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng . H d a,( ) d M ,( ) MH ( M a ) ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ A B một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. a d ( ),( ) d a,( ) d A,( ) AH (với a  (a); A a )  H K ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a , b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của a và b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a và b . c I a I a  J J b b - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 22 Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước Các bước thực hiện: Bước 1. Trong mặt phẳng M , d hạ MH  d với H d . Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn, M A A M a M a d d H K I H K  Chú ý: • Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì: d M , d d A, d AK với A d . d M ,d MI • Nếu MA d I , thì: d A,d AI 2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ) Các bước thực hiện: Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên .  O - Tìm mặt phẳng  qua O và vuông góc với . H - Tìm   . - Trong mặt phẳng  , kẻ OH  tại H H là hình chiếu vuông góc của O lên . O d Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến .  Chú ý: H • Chọn mặt phẳng  sao cho dễ tìm giao tuyến với . • Nếu đã có đường thẳng d  thì kẻ Ox//d cắt tại H . A • Nếu OA// thì: d O, d A, . O A O d O, OI I • Nếu OA cắt tại I thì: H K d A, AI H K B. BÀI TẬP MẪU VD 3.13 Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B và AC 2a , có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a . a) Tính khoảng cách từ S đến BC . ĐS: a) a 3 b) a 6 / 6 b) Hạ HK  SB . Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến đường thẳng CH .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 23 VD 3.14 Cho tam giác ABC với AB 7cm , BC 5cm , CA 8cm . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A , lấy điểm O sao cho AO 4cm . Tính khoảng cách từ điểm A và điểm O đến đường thẳng BC . ĐS: 4 3 cm; 8cm VD 3.15 Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC , M là trung điểm SC . a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAG ĐS: a) a b) 3a/4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 24 VD 3.16 Cho hình chóp S.ABC có SA SB a , ·ASB 1200 , B· SC 600 , C· SA 900 . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC ĐS: a/2 VD 3.17 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a . Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng ABCD . b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM . ĐS: a) a/2 b) a 30 / 10 VD 3.18 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính: a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A BD) . b) Tính khoảng cách từ A , B , C , D đến đường thẳng AC . ĐS: a) a 3 / 2 b) a 6 / 3 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.26 Cho tam giác đều ABC cạnh 3a , điểm H thuộc cạnh AC với HC a . Dựng đoạn SH vuông góc với ABC và SH 2a .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 25 a) Hãy nêu cách dựng đoạn vuông góc HK vẽ từ H đến SAB . b) Tính khoảng cách từ H và từ C đến mặt phẳng SAB . ĐS: b) 2a 3 / 7 , 3a 21 /7 3.27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O , cạnh a , ·ABC 600 , SO vuông góc với mặt a 3 phẳng đáy, SO 2 a) Hãy nêu cách dựngOH  SCD . b) Tính OH và khoảng cách từ B đến SCD . ĐS: b) OH=a 15 /10; d[b,(SCD)]=a 15 /5 , 3a 21 /7 3.28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , các mặt bên là tam giác đều. Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của SB , SD và OC . Tính các khoảng cách từ: a) S đến ABCD b) A đến IMNB c) S đến IMN ĐS: a) a 2 /2 b) 3a/4 c) a/4 Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b  Trường hợp a  b : b - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B . a - Trong dựng BA  a tại A . B A AB là đoạn vuông góc chung. Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. Cách 1: (Hình a) - Dựng mp chứa a và song song với b . b B M - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  tại M a b' - Từ M dựng b // b cắt a tại A . A M' - Từ A dựng AB // MM cắt b tại B . (Hình a) AB là đoạn vuông góc chung. Cách 2: (Hình b) - Dựng mặt phẳng  a tại O , cắt b tại I a b A - Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên B - Trong mp , vẽ OH  b tại H . O b' H - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B I - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A . (Hình b) AB là đoạn vuông góc chung. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: - Tìm đoạn vuông góc chung AB của a và b . - d a, b AB . Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 26 Khi đó: d a, b d b, Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b . Khi đó: d a, b d ,  B. BÀI TẬP MẪU VD 3.19 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a . Gọi I là trung điểm của BC . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau: a) OA và BC b) AI và OC ĐS: a) a 2 /2 b) a 5 /5 VD 3.20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , có cạnh SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau: a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB ĐS: a) a b) a 3 /3 c) 2a 5 /5
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 27 VD 3.21 Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng A . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa 2 đường thẳng AB và CD . ĐS: a 2 /2 VD 3.22 Cho tứ diện OABC có OA OB OC a và A· OB A· OC 600 , B· OC 900 . a) Chứng minh ABC vuông và OA  BC . Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC . ĐS: a) a/2 b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng ABC và OBC vuông góc với nhau.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 28 VD 3.23 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) AA và CB b) AA và DB c) AC và B D d) BC và CD ĐS: a) a b) a 2 /2 c) a d) a 3 /3 VD 3.24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB a . Đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy ABCD và có SO a . Tính khoảng cách giữa: a) AC và SD b) SC và AB ĐS: a) a 3 /3 b) 2a 5 /5
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 29 VD 3.25 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tính khoảng cách giữa: a) AA và mặt phẳng song song (BB , DD ) b) Hai mặt phẳng song song (A BD) và (CB D ) ĐS: a) a 2 /2 b) a 3 /3 VD 3.26 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD b , AA c . a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC A ) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC ĐS: a) ab/ a2 b2 b) ab/ a2 b2 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.29 Cho tứ diện S.ABC có SA  ABC . Gọi H , K lần lượt là trực tâm của các ABC và SBC . a) Chứng minh ba đường thẳng AH , SK , BC đồng quy. b) Chứng minh rằng SC  BHK và HK  SBC . c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA . a 3 3.30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có SA SB SD và 2 B· AD 600 . a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD và độ dài cạnh SC . b) Chứng minh SAC  ABCD .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 30 c) Chứng minh SB  BC . d) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD . Tính tan . 3.31 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. ABC vuông tại A có AB a , AC b . ADC vuông tại D có CD a . a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông. b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh IK là dường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC . 3.32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O , SA a và SA  ABCD . Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC và AB . a) Chứng minh: OI  ABCD . ĐS: b) d[I,CM]=a 30 /10 , d[S,CM]=a 30 /5 b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM , từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM . 3.33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có B· AD 600 . Gọi O là giao điểm 3a của AC và BD . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và SO . Gọi E là 4 trung điểm của đoạn BC , F là trung điểm của BE . a) Chứng minh: SOF  SBC . b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng SBC . 3.34 Cho hình chóp S.ABC có ·ASB 900 , B· SC 600 , ·ASC 1200 và SA SB SC a . Gọi I là trung điểm của AC . a) Chứng minh SI  ABC . b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC . ĐS: a/2 3.35 Cho hình chóp S.ABC có SA 2a và SA  ABC , đáy là tam giác vuông cân tại B với AB a . Gọi M là trung điểm của AC . a) Dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC . b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC . ĐS: 2a 17 /17 a 3 3.36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O , cạnh a , ¶A 600 và có đường cao SO . 2 a) Tính khoảng cách từ O đến SBC . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB . ĐS: a) a 3 /4 b) a 3 /2 3.37 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 . Hình chiếu H của điể A trên mặt phẳng (A B C ) thuộc đường thẳng B C a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy ĐS: a) a/2 b) a 3 /4 b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA và B C vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.34 Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA 3a, SB a, SC 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: 3a 2 7a 5 8a 3 5a 6 A. B. C. D. 2 5 3 6 TN3.35 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 31 2 6 7 4 A. a B. a C. a D. a 3 11 5 7 TN3.36 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: 3a 2 2a 3 4a 5 a 11 A. B. C. D. 2 3 3 2 TN3.37 Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bµ 600. Biết SA 2a . Tính khỏang cách từ A đến SC 3a 2 4a 3 2a 5 5a 6 A. B. C. D. 2 3 5 2 TN3.38 Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằnga . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC. a 3 a 3 a 2 a 2 A. B. C. D. 3 4 3 4 TN3.39 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: a 2 a 2 A. a 2 cotα B. a 2 tan C. cosα D. sinα 2 2 TN3.40 Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a, AB a 3, BC a 6. Khỏang cách từ B đến SC bằng: A. a 2 B. 2a C. 2a 3 D. a 3 TN3.41 Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA a 3, AB a 3 . Khoảng cách từ A đến SBC bằng: a 3 a 2 2a 5 a 6 A. B. C. D. 2 3 5 2 TN3.42 Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a, SA a . Khỏang cách từ A đến SCD bằng: 3a 2 2a 3 2a 3a A. B. C. D. 2 3 5 7 TN3.43 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằnga 3 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: a 5 2a 3 3 2 A. B. C. a D. a 2 3 10 5 TN3.44 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằnga 2 . Tính khỏang cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên: a 3 a 2 2a 5 a A. B. C. D. 2 3 3 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 32 TN3.45 Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB vàCB . Tính khỏang cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a 3 a a A. B. C. D. 2 3 2 3 TN3.46 Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D , AD 2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với ABCD lấy điểm S với SD a 2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và SAB . 2a a a 3 A. B. C. a 2 D. 3 2 3 2a TN3.47 Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của 3 OA vàOB . Khỏang cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng:. a a 2 a a 3 A. B. C. D. 2 2 3 3 TN3.48 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB vàCD . a 3 a 2 a 2 a 3 A. B. C. D. 2 3 2 3 TN3.49 Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2. Tính khoảng cách giữa SD và BC 3a 2a a 3 A. B. C. D. a 3 4 3 2 TN3.50 Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng: a a a 2 a 3 A. B. C. D. 2 3 2 3 TN3.51 Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA' và BD ' bằng: 3 2 2 2 3 5 A. B. C. D. 3 2 5 7 TN3.52 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC ' . a 3 a a a 2 A. B. C. D. 3 4 3 4 TN3.53 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 0, đáy ABC là tam giác đều và A' cách đều A, B,C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. a 3 2a A. a B. a 2 C. D. 2 3 TN3.54 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến BCD bằng:
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 33 a 6 a 6 a 3 a 3 A. B. C. D. 2 3 6 3 TN3.55 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng: a 2 a 3 a a A. B. C. D. 2 2 2 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 3.38 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . a) Chứng minh rằng B D  (BA C ) và BC  (A B CD) . b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA C ) và (ACD ) . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và CD . d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và BC . 3.39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AB và SC . Chứng minh IS IC ID và suy ra IK  SDC . Tính IK . ĐS: a2 /2 3.40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SAB đều. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , AD và SH  BC . Chứng minh: a) SH  ABCD . b) AC  SK và CK  SD . 3.41 Cho tứ diện SABC có SA  ABC . Gọi H , K lần lượt là trực tâm ABC và SBC . Chứng minh: a) AH , SK , BC đồng qui. b) SC  BHK . c) HK  SBC . 3.42 Cho lăng trụ ABC.A B C có ABC đều cạnh a , cạnh bên CC vuông góc với đáy và CC a . a) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh AI  BC . b) Gọi M là trung điểm của BB . Chứng minh AM  BC . a c) Lấy N A B sao cho NB và gọi J là trung điểm của B C . Chứng minh AM MNJ . 4 3.43 Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD vuông tại B , BCD vuông tại C . a) Chứng minh AB  BCD và ACD vuông tại C . b) Chứng minh CD  ABC và BHD vuông tại H với H là hình chiếu của B lên AC . 3.44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA a . a) Gọi I là trung điểm của SD . Chứng minh AI  SCD . b) Gọi M là một điểm thay đổi trên SD . Chứng minh hình chiếu của O trên CM thuộc đường tròn cố định. 3.45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a ; SA  ABCD và SA 2a . Gọi M là một điểm trên cạnh AB . là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Đặt AM x , ( 0 x a ). a) Định hình tính của thiết diện của hình chóp S.ABCD với . b) Tính diện tích thiết diện theo a và x . ĐS: (2a – x)(a – x)
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 34 3.46 Cho đường tròn C đường kính AB trong mặt phẳng và một đường thẳng d vuông góc với tại A , trên d lấy một điểm S và trên C lấy một điểm M . a) Chứng minh MB  SAM . b) Dựng AH  SB tại H , AK  SM tại K . Chứng minh AK  SBM và SB  AHK . c) Gọi I HK  MB . Chứng minh AI  SAB và AI là tiếp tuyến của C . 3.47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SB SD AB . a) Chứng minh SAC là mặt trung trực của đoạn BD . b) Chứng minh SAC vuông tại S . c) Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD . Chứng minh SH SK , OH OK , HK //BD . d) Chứng minh SAC là mặt trung trực của đoạn HK . 3.48 Cho hình chóp S.ABCD có SA a 6 và vuông góc với mặt phẳng ABCD , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2a . a) Tính khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng SBC . b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SCD . c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp với mặt phẳng song song với mặt phẳng SAD a 3 và cách một khoảng bằng . ĐS: a) a 2 , a 2 /2 b) a 6 /3 c) a2 6 /2 4 3.49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a , có SA a 2 và SA  ABCD . Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC . a) Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi . b) Chứng minh thiết diện là tứ giác nội tiếp và có hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính diện tích thiết diện. ĐS: a2 2 /3 3.50 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB a , AC 2a , SA  ABC , SA 2a . a) Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC . b) Tính diện tích của thiết diện. ĐS: a2 6 /5 3.51 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB BC a , SA a 3 , SA  ABC , M AB , AM x . Gọi là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Dựng và tính diện tích S của thiết diện bởi hình chóp với theo a và x . Tìm x để S lớn nhất. ĐS: a2 3 /4 ; a/2 3.52 Cho tứ diện ABCD có BCD đều. BH là đường cao của BCD . O là trung điểm của BH và AO  BCD , AO BH 2a , BI x với I OH ( a x 2a ), qua I và vuông góc với OH . Dựng và tính diện tích thiết diện tạo bởi .ĐS: 2(3x – 2a)(2a – x)/ 3 3.53 Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD cùng vuông góc với BCD . a) Chứng minh AB  BCD .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 35 b) Cho BE và DF là các đường cao của BCD . Chứng minh ABE vuông góc với ACD , DAF vuông góc với ABC . c) Cho DI là đường cao của ABD . Chứng minh DIF  ACD . d) Gọi H BE  DF và K DI  AE . Chứng minh KH  ACD . 3.54 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , BC b , CC c . a) Tính khoảng cách từ B đến ACC A . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC . 3.55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , SO  ABCD , SA a 6 , mặt phẳng P đi qua B và vuông góc với SD . Hãy xác định thiết diện và tính diện tích của thiết diện tạo bởi P với hình chóp. ĐS: a2 39 /39 a 3 3.56 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đểu cạnh a , các cạnh bên đều bằng . Gọi 2 là mặt phẳng qua A và song song với BC và vuông góc với SI ( I là trung điểm BC ). a) Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Thiết diện là hình gì ? b) Tính góc giữa đường thẳng AB và . ĐS : 45 0 3.57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a và góc µA 600 , các cạnh SA , SB và SD bằng a 3 . Gọi H là trọng tâm ABD . a) Chứng minh SH  ABCD . b) Tính các khoảng cách từ S đến đường thẳng AC và BD . a 15 a 3 5 c) Tính góc giữa SC và mặt phẳng ABCD . ĐS: b) ; c) arctan 3 3 3 3.58 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BCD vuông cân tại C , O là trung điểm của BD và I là trung điểm của BC . Chứng minh: a) AOC  BCD , ABD  BCD và AOI  ABC . b) Cho CH là đường cao của ABC . Chứng minh OCH  ABC . 3.59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA  ABCD , SA a 3 . Mặt phẳng chứa AB và vuông góc với SCD . Xác định và tính diện tích thiết diện bởi hình chóp với . ĐS: 7a2 3 /16 3.60 Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm O đường kính AB và M thuộc đường tròn ấy ( M không trùng với A , B ). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại A lấy điểm S . Gọi D , E lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SM . Chứng minh: a) ADE  SBM . b) Tìm vị trí của điểm M để SOM  SAB . 3.61 Cho hính chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2a , AD DC a , SA  ABCD , SA a . Gọi là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với SAC .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 36 a) Chứng minh BC  SAC . b) Xác định thiết diện của hình chóp bởi . c) Tính diện tích thiết diện ấy. ĐS: a2 3 /2 3.62 Gọi  là mặt phẳng qua trung điểm M của SA và N AD , AN x , vuông góc với SAD . Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với  . ĐS: ( 3a 2x ) a2 4x2 /4 3.63 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S tới đường thẳng BE . ĐS: 3a 5 /5 3.64 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a , SA a 3 và SA  ABCD . a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC . b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC . a) Tính khoảng cách từ trọng tâm SAB đến mặt phẳng (SAC). ĐS: a) a 3 /2 b) a 3 /4 c) a 2 /6 3.65 Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a và AC a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH  ABCD với SH a , Bµ 600 . a) Tính khoảng cách từ điểm O đến SCD . ĐS: a 21 /14 b) Tính khoảng cách từ điểm A đến SBC . ĐS: 2a 57 /19 3.66 Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , µA 600 góc của đường chéo A C và mặt đáy bằng 600 . a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp, suy ra khoảng cách giữa hai đường AC và D C b) Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng A C và BB . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.ĐS : a) 3a ; 3a b) a/2 3.67 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , cạnh bện bằng a 2 . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . a) Chứng minh: AB  SIJ . b) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC . ĐS: a 42 /7 3.68 Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và SA  ABC . Tam giác ABC có AB BC 2a , B· AC 1200 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ABC .ĐS : 3a/2 3.69 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , BC a , SA  ABC , SA 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SB . a) Tính khoảng cách giữa SB và SB . ĐS: 3a 20 /20 b) Dựng mặt phẳng chứa MN và song song với BC . Tính d MN, BC . ĐS: a/2 3.70 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA  ABCD và SA a Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB . a) Chứng minh OI  ABCD . b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM . ĐS: a 105 /10
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 37 3.71 Cho hình tứ diện ABCD có AD  ABC , AC AD 4cm , AB 3cm , BC 5cm . Tính khoảng cách giữa A và mặt phẳng BCD .ĐS : 6 34 /17 3.72 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA  ABC . Tính d A, ABC a 6 theo a , biết SA . ĐS: a 2 /2 2 3.73 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và B D . b) Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh B B , CD , A D . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C N . ĐS: a) a 6 /6 b) 900 3.74 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O , cạnh bên bằng a . a) Tính đường cao của hình chóp. b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy. a 6 a 42 a 3 6a2 42 c) Tính d O, SCD . ĐS: a) c) d) e) 2 14 2 49 d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa BD và SC . e) Gọi là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với SCD , cắt SC , SD lần lượt tại C và D . Tứ giác ABC D là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác. 3.75 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ABCD và góc giữa SBC và đáy bằng 600 . Gọi I là trung điểm của CD , E là trung điểm cạnh BC và J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ 2JC . Tính các khoảng cách: a) Giữa hai đường BC và SD b) Giữa hai đường CD và SB c) Giữa hai đường SA và BD d) Giữa hai đường SI và AB e) Giữa hai đường DJ và SA f) Giữa hai đường DJ và SC g) Giữa hai đường AE và SC 3.76 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 , SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB . Tính khoảng cách: a) từ A đến mặt phẳng SBD b) giữa hai đường SH và CD c) giữa hai đường SH và AC d) giữa hai đường SB và CD e) giữa hai đường BC và SA f) giữa hai đường SC và BD 3.77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 2 , AD 2a . Biết tam giác a2 6 SAB cân tại S và có diện tích bằng . Gọi H là trung điểm của AB . Tính khoảng cách: 6 a) từ A đến mặt phẳng SBD b) giữa hai đường SH và BD c) giữa hai đường BC và SA 3.78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SAB đều cạnh a , SAB  ABCD . a) Chứng minh SCD cân. b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng SCD và ABCD . c) Tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB và SC . ĐS: b) 600, c) a 21 / 7
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 38 3.79 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Lấy điểm M AD , điểm N BD sao cho: AM DN x ( 0 x a 2 ). a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất. ĐS: a 2 / 3 b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD và DB , đồng thời MN //A C . 3.80 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cách AB , AI x ( 0 x a) a) Khi góc giữa hai đường thẳng AC và DI bằng 600 , hãy xác định vị trí của điểm I . b) Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B DI) . Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhất. c) Tính khoảng cách từ điểm C đến B DI theo a và x . 2 2 2 2 a a ĐS: a) x ( 4 15 )a b) S a a x ( a x ) (đvdt), Smin khi x ; c) h 2 a2 x2 ( a x )2 3.81 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , I là trung điểm của BC , SA  ABC . a) Chứng minh SAI  SBC . b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , AB ; BE , CF lần lượt là đường cao của SBC . Chứng minh MBE vuông góc với SAC và NFC vuông góc với SBC . c) Gọi H , O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC . Chứng minh OH vuông góc với SBC . d) Cho qua A và song song voi BC và vuông góc với SBC . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABC và mặt phẳng khi SA 2a . ĐS: 16a2 3 / 19 19 e) Chứng minh AK.AS không đổi. Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất. f) Khi SA a 3 . Tính góc giữa hai mp SBC và ABC , SAC và SBC . arctan 2; arctan 2 3.82 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 6 . Xét đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD . Gọi P là mặt phẳng qua và C . a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bới P là hình gì? Tính diện tích thiết diện. b) Tính góc giữa hai mặt phẳng P và ABCD . ĐS: a) S 2a2 (đvdt) b) 600 3.83 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC và A B . ĐS: 900 b) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B , BC , DD . Cm: AC  MNP . 3.84 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC nếu hình chóp S.ABC : a) Có tất cả các cạnh đều bằng a . b) Cạnh bên SA a 2 , cạnh đáy AB a . c) Cạnh đáy AB a và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 . a 3 d) Cạnh bên SB và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 . 2 a 3 e) Cạnh bên SB và góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 600 . 2 3.85 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD nếu hình chóp S.ABCD : a) Tất cả các cạnh đều bằng a .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 39 a 10 b) SA , AB a . 2 c) SA 2a 3 và góc tạo bởi giữa cạnh bên và mặt đáy là 600 . d) SA a 2 và góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy là 600 . e) AB 2a và góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 600 . 3.86 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi C1 là trung điểm CC . a) Tín góc giữa hai đường thẳng C1B và A B . Tính góc giứa hai mặt phẳng C1 AB và ABC . b) Chứng minh hình chóp C1.ABB A là hình chóp tứ giác đều. c) Một mặt phẳng P chứa cạnh AB , tạo với mặt phẳng đáy ABC góc và cắt hình lăng trụ đã cho theo hình có diện tích khác 0 . Tính diện tích thiết diện theo a và . a2 3 a2 3 ĐS: a) 300 ; 300 b) 00 ·C' MC : S , ·C' MC 900 : S 3 tan 1 , 4 cos 3tan sin 900 : S a2 3.87 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và SAB  ABCD , cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc . Tính: a 5 a 5 tan a2 5 a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD . ĐS: a) tan b) c) tan (đvdt) 2 5tan2 4 16 b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến SCD . c) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 TN3.101 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng. B. Vectơ trong không gian là một tia. C. Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có độ dài xác định. D. Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. TN3.102 Trong không gian cho hai điểm M , N . Khi đó,   A. giá của vectơ MN là tia MN . B. giá của vectơ MN là đoạn thẳng MN .  C. giá của vectơ MN là đường thẳng MN .   D. giá của vectơ MN song song với giá của vectơ NM .  TN3.103 Trong không gian cho vectơ AB . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  A. Độ dài vectơ AB là một số thực dương.  B. Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn thẳng AB .   C. Độ dài vectơ AB là đoạn thẳng AB.D. Độ dài vectơ AB là đường thẳng AB.  TN3.104 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Khi đó, vectơ AD bằng vectơ nào dưới đây?     A. CD .B. B C .C. D C . D. BA .      TN3.105 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Trong các vectơ DC, AC, A B , BB , AB , có bao  nhiêu vectơ bằng vectơ AB ? A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. TN3.106 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Khi đó, ba vectơ đồng phẳng là
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 40       A. CD, B A và D C .B. CD, B A và BC .       C. CD, B A và A A . D. AD, AB và BC . TN3.107 Cho hình hộp chữ nhật MNPQ.M N P Q . Khi đó,       A. MN NP PM .B. MQ Q N PQ .       C. PN Q N PQ .D. MM N N 2 MN . TN3.108 Gọi M , N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, AC,CD và DB của tứ diện ABCD . Các vectơ đồng phẳng là             A. AB, BC, AD .B. MP, PQ,CD .C. AC, MP, BD .D. MP, BC, AD . TN3.109 Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có O và O tương ứng là giao hai đường chéo của mỗi hình đó. Khi đó,        A. CE DF 4OO .B. CE DF DC 3OO .         C. EA EB EC 3EO . D. DC BA CE DF 0 . TN3.110 Cho hình hộp chữ nhật MNPQ.M N P Q . Khi đó,         A. MN NN NP MP .B. MP PP MN MM .         C. MQ QN P P P Q . D. MP PP P N M M 0. TN3.111 Cho các điểm A, B, C, D trong không gian, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?       A. AB BC CA 0 .B. AB CB CA.         C. AD DB CB CA 0 . D. AC CB DB AD . TN3.112 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vectơ đó cùng song song với một mặt phẳng. B. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có một vectơ ngược hướng với hai vectơ còn lại. C.Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vectơ đó trùng nhau hoặc song song với nhau. D. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó nằm trong cùng một mặt phẳng.    TN3.113 Cho hình hộp MNPQ.M N P Q , khi đó MN , NP và NQ là A. ba vectơ cùng phương.B. ba vectơ cùng hướng. C. ba vectơ đồng phẳng.D. ba vectơ không đồng phẳng. TN3.114 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có O, O lần lượt là tâm của các mặt    ABCD, A B C D . Khi đó AC, OO và BB là A. ba vectơ đồng phẳng.B. ba vectơ không đồng phẳng. C. ba vectơ cùng phương.D. ba vectơ cùng hướng. TN3.115 Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a,b,c đồng phẳng là: A. Có hai số x, y để xa yb c 0 . B. Có hai số x, y không đồng thời bằng 0 để c xa yb . C. Có ba số x, y, z để xa yb zc 0 . D. Có ba số x, y, z không đồng thời bằng 0 để xa yb zc 0 .    TN3.116 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Đặt AA' a, AB b, AC c . Gọi M là trung điểm của CD . Khi đó:
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 41  1  1  1  1 A. MC a b . C. MC a b c .B. MC a b c . D. MC a b c . 2 2 2 2    TN3.117 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Đặt AA a, AB b, AC c . Gọi E là trung điểm của CC '. Khi đó:   1  1  1 A. AE a b c .B. AE a c .C. AE a b .D. AE a c . 2 2 2 TN3.118 Cho hình bình hành ABCD , gọi E là một điểm bất kì. Khi đó:         A. EA EC EB ED .B. EA EB EC ED .         C. EA EB EC ED . D. EA EC EB ED . TN3.119 Cho tứ diện SMNP , gọi G là trọng tâm tam giác MNP , khi đó        1  A. SM SN SP SG .B. SM SN SP SG . 3         C. SM SN SP SG 0 .D. SM SN SP 3SG .  TN3.120 Cho tứ diện SMNP , gọi G là trọng tâm của tam giác MNP . Vectơ SG cùng phương với vectơ nào sau đây?             A. SA SB SC .B. SA SC SB .C. 2 SA SB SC .D. SB SC SA .  TN3.121 Cho tứ diện SMNP , gọi G là trọng tâm của tam giác MNP . Vectơ GS cùng hướng với vectơ nào sau đây?             A. SA SB SC .B. SA SB SC .C. 2 SA SB SC .D. SB SC SA . TN3.122 Cho hình chóp S.ABC, các điểm M, N tương ứng là trung điểm các cạnh SA, BC . Gọi I là trung điểm của MN, P là điểm bất kì. Khi đó           A. 2 PI PS PA PB PC .B. 3PI PS PA PB PC .       1     C. 4PI PS PA PB PC .D. PI PS PA PB PC . 2 TN3.123 Cho hình chóp S.ABC, các điểm M, N tương ứng là trung điểm các cạnh SA, BC . Gọi I là trung  điểm của MN và P là điểm bất kì. Khi đó, PI cùng phương với vectơ nào sau đây?          A. PA PB .B. PM PN .C. PB PC .D. PA PB PC . TN3.124 Cho hình chóp S.ABC, các điểm M, N tương ứng là trung điểm các cạnh SA,BC . Khi đó, vectơ     PS PA PB PC cùng hướng với vectơ nào sau đây?          A. PA PB .B. PM PN . C. PM PN PS .D. PM PN .   TN3.125 Cho hình hộp MNPQ.M N P Q . Khi đó, góc giữa hai vectơ MN và NP ' là góc nào dưới đây? A. N· PQ .B. M· PN .C. N· MQ .D. N· MQ .   TN3.126 Cho hình hộp MNPQ.M N P Q . Khi đó, góc giữa hai vectơ MM và NP là góc nào dưới đây? A. N· NP .B. M· PN .C. N· MQ .D. N· MM .   TN3.127 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Khi đó, góc giữa hai vectơ BS và CD bằng A. S· BC .B. S· CB .C. S· AB .D. S· BA.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 42 TN3.128 Cho vectơ a khác 0 . Khi đó, góc giữa hai vectơ a và a là góc có số đo bằng A. 00 .B. 900 . C.1800 .D. 3600 . TN3.129 Trong không gian, với hai điểm phân biệt A, B , ta luôn có:         A. AB.BA BA. AB .B. AB.BA BA. AB 0.     C. AB.BA AB2 . D. AB.BA 2AB2 . TN3.130 Trong không gian, với ba vectơ a, b và c đều khác 0 , ta luôn có : A. a b .c c. a b .B. a.b .c a. b.c 0 . C. a b .c c. a b .D. a.b .c a. b.c . TN3.131 Trong không gian, với hai vectơ a và b khác vectơ không, ta luôn có : A. a.b a . b .B. a.b a . b . C. a.b a . b .cos a,b . D. a.b a . b . TN3.132 Trong không gian, với hai vectơ a và b khác vectơ không, ta luôn có : A. a.b 0 .B. a.b 0 .C. a.b 0 .D. a.b ¡ . TN3.133 Trong không gian, với hai điểm phân biệt A, B , ta luôn có:     A. AB. AB 0 .B. AB. AB 0 .     C. AB. AB AB2 . D. AB. AB AB2 .   TN3.134 Gọi là góc giữa hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có vectơ chỉ phương u1, u2 . Ta luôn có :     A. cos cos u1,u2 .B. cos cos u1,u2 .     C. cos cos u1,u2 .D. cos cos u1,u2 . TN3.135 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một vectơ. B. Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực dương. C. Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực. D. Tích vô hướng của hai vectơ a và b là số thực khác 0. TN3.136 Cho hình hộp MNPQ.M N P Q , trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?     A. MN PQ .B. MN N M .     C. MM PP .D. MP NQ . TN3.137 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a, AD b, AA c . Tích vô hướng   AB.B C bằng A. 1.B. ab . C. 0. D. abc .   TN3.138 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tổng AB AD bằng     A. AS .B. SC . C. AC .D. SA .   TN3.139 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a. Tích vô hướng AB.C D bằng A. 2a2 .B. 0.C. a2 .D. a2 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 43    TN3.140 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a. Tích vô hướng AB BC .B D bằng A. a2 .B. 0.C. 2a2 . D. 2 a2 . TN3.141 Cho hình lập phương MNPQ.M N P Q có cạnh a. Khi đó,     A. MN .Q P a2 .B. MN .PQ a2 .     C. MN .NP a2 . D. MN .NP 0 . TN3.142 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a. Khi đó,     A. AC.B D a2 .B. AC.B D 2a2 .     C. AC.B D 0 .D. AC.B D a2 . TN3.143 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Một đường thẳng có đúng một vectơ chỉ phương. B. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. C.Các vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng hướng với nhau. D. Các vectơ chỉ phương của đường thẳng ngược hướng với nhau. TN3.144 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. TN3.145 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng d thì song song hoặc trùng nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng d thì vuông góc với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng d thì có thể chéo nhau. D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng d thì cắt nhau. TN3.146 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu a  b, (P)  a thì (P) // b. C. Nếu a // b, (P)  a thì (P)  b. B. Nếu a // (P), b  a thì b  (P). D. Nếu a // (P), b  a thì b // (P). TN3.147 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu góc giữa hai vectơ bằng 1800 thì hai vectơ đó bằng nhau. B. Nếu góc giữa hai vectơ bằng 1800 thì hai vectơ đó đối nhau. C.Nếu góc giữa hai vectơ bằng 1800 thì hai vectơ đó ngược hướng. D. Nếu góc giữa hai vectơ bằng 1800 thì hai vectơ đó cùng hướng. TN3.148 Nếu hai vectơ a, b khác 0 thỏa mãn a.b a . b thì A. góc giữa hai vectơ a, b bằng 1800 .B. góc giữa hai vectơ a, b bằng 900 . C. hai vectơ a, b ngược hướng.D. hai vectơ a, b cùng hướng. TN3.149 Nếu hai vectơ a, b khác 0 thỏa mãn a.b a . b thì
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 44 A. cos a,b 1.B. cos a,b 1.C. cos a,b 1.D. cos a,b 0 . TN3.150 Cho hình hộp ABCD.A B C D , đường thẳng nào không song song với mặt phẳng ABCD ? A. B D .B. A D .C. AC .D. B C . TN3.151 Cho hình chóp đều S.ABCD . Khi đó số mặt bên của hình chóp là tam giác cân bằng A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. TN3.152 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Khi đó số mặt của hình chóp S.ABC là tam giác vuông bằng A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. TN3.153 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. ACC A .B. ABB A .C. BDD B .D. BC D . TN3.154 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy. Khi đó, góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng góc nào dưới đây? A. S· CA .B. S· BA.C. S· BD .D. B· AB . TN3.155 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SB a 2 . Khi đó góc giữa SD với mặt phẳng ABCD bằng A. 600 .B. 900 . C. 450 .D. 300 . TN3.156 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC a 3 . Khi đó góc giữa SB với mặt phẳng ABCD bằng A. 450 .B. 600 . C. 900 .D. 300 . TN3.157 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Trong các tam giác cho dưới đây, tam giác nào không phải tam giác vuông? A. SAB .B. SAD .C. SAC .D. SCD . TN3.158 Cho hình lập phương MNPQ.M N P Q . Khi đó mặt phẳng MPP M vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? A. NN P P .B. NN Q .C. NN M .D. MNPQ . TN3.159 Cho hai mặt phẳng P , Q vuông góc với nhau theo giao tuyến và cho đường thẳng a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Nếu a / / P thì a  Q .B. Nếu a / / Q thì a  P . C. Nếu a  P , a  thì a  Q . D. Nếu a  thì a  P hoặc a  Q . TN3.160 Cho hai mặt phẳng phân biệt P , Q cùng vuông góc với mặt phẳng R . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. P  Q .B. P // Q . C. P cắt Q .D. P // Q hoặc P cắt Q theo giao tuyến thỏa mãn  R . TN3.161 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Hình hộp chữ nhật có các mặt bên đều là hình chữ nhật. B. Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng. C. Hình lăng trụ đứng là hình hộp chữ nhật.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 45 D. Hình hộp chữ nhật có các cạnh bên vuông góc với đáy. TN3.162 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì cắt nhau. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. TN3.163 Cho hai mặt phẳng P , Q và một đường thẳng a. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu P // Q , a  P thì a  Q . B. Nếu P  Q , a // P thì a  Q . C. Nếu P  Q , a  P thì a // Q . D. Nếu P //a , Q //a thì P // Q . TN3.164 Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng (P) là đường thẳng a , đường thẳng b nằm trong P . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Nếu a  b thì a  b . B. Nếu a  b thì a  b. C. Nếu a // b thì a // b hoặc a trùng b.D. Nếu a // b thì a // b. TN3.165 Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc. B. Ba mặt phẳng ABC , ABD , ACD đôi một vuông góc. C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác BCD . D. Tam giác BCD vuông. TN3.166 Cho đoạn thẳng AB là P là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu M P thì MA MB . B. Nếu MN  P thì MN  AB . C. Nếu MA MB thì M P .D. Nếu MN  AB thì MN  P . TN3.167 Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến c . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Góc giữa P và Q bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên P và Q . B. Góc giữa P và Q bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên P , Q và cùng đi qua một điểm. C. Góc giữa P và Q bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên P , Q và cùng vuông góc với c. D. Góc giữa P và Q bằng góc giữa đường thẳng a nằm trên P và hình chiếu của a trên Q . TN3.168 Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và DBC bằng góc: A. D· BA .B. D· MA ( M là trung điểm BC ). C. D· CA . D. D· HA ( H là chân đường cao của ABC kẻ từ A ). TN3.169 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi: A. Mọi đường thẳng trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 46 C. Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. D. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia. TN3.170 Qua một đường thẳng a// P cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với P ? A. 0 B. 1.C. 2.D. Vô số. TN3.171 Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau theo giao tuyến c . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng a nằm trong P thì vuông góc với (Q). B. Đường thẳng a vuông góc với Q thì nằm trong P . C. Đường thẳng a vuông góc với c thì vuông góc với Q . D. Đường thẳng a đi qua điểm A thuộc P và vuông góc với c thì a nằm trên P . TN3.172 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4 , 4 thì độ dài đường chéo của nó là: A. 5. B. 41 .C. 2 5 .D. 5 2 . TN3.173 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3, cạnh bên bằng 2 thì đường cao bằng bao nhiêu? 2 A. 1. B. 2 2 . C. 2 .D. . 2 TN3.174 Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 , cạnh bên bằng 5 thì đường cao bằng bao nhiêu? A.3 3 . B. 23 .C. 3.D. 5 . TN3.175 Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD , O là trung điểm của MN . Gọi I là giao điểm của đường thẳng AO và mặt phẳng BCD . Khi đó A. I trùng với trực tâm của tam giác BCD . B. I trùng với trọng tâm của tam giác BCD . C. I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . D. I trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD . TN3.176 Một hình chóp tam giác là hình chóp đều khi và chỉ khi A. đường cao của hình chóp đi qua trọng tâm của đáy. B. các cạnh bên của hình chóp bằng nhau. C. các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. D. đáy là tam giác đều và các cạnh bên có độ dài bằng nhau. TN3.177 Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Không tồn tại đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng a, b, c . B. Tồn tại vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng a, b, c . C. Tồn tại đúng hai đường thẳng phân biệt cắt cả ba đường thẳng a, b, c . D. Tồn tại duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng a, b, c . TN3.178 Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Hình hộp đã cho là hình lăng trụ đứng. B. Hình hộp đã cho là hình lăng trụ đều. C. Tất cả các mặt đều là hình vuông. D. Các mặt bên là các hình chữ nhật.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 47 TN3.179 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Hình hộp có ba cạnh chung một đỉnh đôi một vuông góc là hình hộp chữ nhật. B. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật là hình hộp chữ nhật. C. Hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác là hình hộp chữ nhật. D. Hình hộp đứng có tất cả các cạnh bằng nhau là hình hộp chữ nhật. TN3.180 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Hình hộp có sáu mặt là hình vuông là một hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật có sáu mặt có diện tích bằng nhau là một hình lập phương. C. Hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng nhau là một hình lập phương. D. Hình lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau là một hình lập phương. TN3.181 Hình nào trong các hình sau đây không có đủ sáu mặt là hình chữ nhật? A. Hình lập phương. B. Hình lăng trụ tứ giác đều. C. Hình hộp đứng. D. Hình hộp chữ nhật. TN3.182 Hình nào trong các hình sau đây có tất cả các cạnh bằng nhau? A. Hình hộp chữ nhật .B. Hình hộp . C. Hình lăng trụ đều.D. Hình lập phương. TN3.183 Hình lập phương có cạnh bằng 2 thì đường chéo có độ dài là: A. 6 . B. 3 2 . C. 6 .D. 2 2 . TN3.184 Hình nào trong các hình sau đây không có mặt nào là hình bình hành? A. Hình lăng trụ ngũ giáC.B. Hình chóp cụt tứ giác đều. B. Hình lập phương.D. Hình chóp cụt ngũ giác đều. TN3.185 Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Khi đó: · · A. SBCD .cos DCA SABC .B. SBCD .cos DBA SABC . · C. SBCD .cos DHA SABC ( H là chân đường cao của ABC kẻ từ A ). · D. SBCD .cos DMA SABC ( M là trung điểm của BC ). TN3.186 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt đi qua hai đường thẳng đó. C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song lần lượt cắt hai đường thẳng đó. TN3.187 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn thẳng ngắn nhất nối hai điểm thuộc hai đường thẳng đó. B. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng đó. C. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cắt cả hai đường thẳng đó. D. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau vuông góc với mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 48 TN3.188 Cho tứ diện OABC có OA  OB, OB  OC, OC  OA . Gọi , , theo thứ tự là góc tạo bởi các mặt phẳng OAB , OBC , OAC với ABC . Khi đó, giá trị biểu thức sin2 sin2  sin2  bằng 3 1 3 A. 2.B. .C. .D. . 2 2 2 TN3.189 Cho tứ diện OABC có OA  OB, OB  OC, OC  OA . Đặt OA a, OB b, OC c . Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng a2b2 b2c2 c2a2 a b c A. h .B. h . abc 3 abc 1 1 1 C. h . D. h . a2b2 b2c2 c2a2 a b c TN3.190 Đường cao của tứ diện đều cạnh a bằng a 6 3a A. .B. .C. a 2 .D. 2a 3 . 3 2 TN3.191 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng P . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Khoảng cách giữa a và P bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và đường thẳng a  P và song song với a . B. Khoảng cách giữa a và P bằng khoảng cách giữa a và hình chiếu của nó lên P . C. Khoảng cách giữa a và P bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng b nằm trên P và vuông góc với a D. Khoảng cách giữa a và P bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng b nằm trên P và không song song với a . TN3.192 Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d AC, B D AA .B. d AC, B D AD . C. d AC, B D AB .D. d AC, B D CB . TN3.193 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. d BB , AC d BB , ACC A B. d BB , AC d B, AC C. d BB , AC d B, ACC A D. d BB , AC BO (O là tâm hình vuông ABCD ) TN3.194 Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. AD  BDD B . B. BD  ACC A . C. BDD B  ACC A . D. BC// ADC B . TN3.195 Trong không gian cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và đường thẳng c song song với a . Khi đó A. b và c song songB. b và c cắt nhau. C. b và c chéo nhau.D. Cả 3 đều sai. TN3.196 Cho tứ diện đều ABCD, gọi là góc giữa hai mặt bất kỳ của tứ diện ABCD . Khi đó, 1 2 1 3 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 3 2 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 49 TN3.197 Cho tứ diện đều SABC , gọi là góc giữa SA và mặt ABC . Khi đó, 3 1 1 1 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 2 2 2 3 TN3.198 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng BDD B bằng a a a 2 a 3 A. .B. .C. . D. . 3 2 2 2 TN3.199 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBD bằng A. 300 .B. 450 . C. 600 .D. 900 . TN3.200 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD 2a , cạnh bên SA vuong góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 3 a 5 2a 5 a A. .B. .C. .D. . 2 2 5 3 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo – Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3] Trần Văn Hạo – Hình học 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4] Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [6] Lê Hồng Đức – Bài giảng trọng tâm TOÁN 11 - Nhà xuất bản ĐHQGHN [7] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN ĐẠI SỐ 11 - NXB ĐHQGHN [8] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - NXB ĐHQGHN [9] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Giải tích 11 - NXB ĐHQGHN [10] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Hình học 11 - NXB ĐHQGHN [11] [12] [13] [14] [15] Và một số tài liệu trên Internet mà không rõ tác giả.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 50
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 51 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B A A C C D A C D C A D A D B A D C D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B B A C C A D D C D B B C D B C D C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B A B B C D C A C C D B A D B B D A D D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C B B D B A A A D C C D A C C C A C B B 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 D C A D B D B C B C A D C D C B B A B A 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C B B B A C D A A B A C A D A B A D C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B C B D C A D C C C C D C C C C C C D B 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 A C B D C C C D B C D B C B C A D B C D 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 C B A D D D C D C B D B A B B D B C D C 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 C D D D C D B A C A A A B A D A D C D C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 52 PHỤ LỤC A – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Chứng minh đường thẳng d song song mp ( ) (d  ( )) Cách 1. Chứng minh d //d ' và d '  ( ) Cách 2. Chứng minh d  ( ) và ( ) / /( ) Cách 3. Chứng minh d và ( ) cùng vuông góc với 1 đường thẳng hoặc cùng vuông góc với 1 mặt phẳng 2. Chứng minh mp( ) song song với mp() Cách 1. Chứng minh mp( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với () (Nghĩa là 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt này song song với 2 đường thẳng trong mặt phẳng kia) Cách 2. Chứng minh ( ) và () cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng. 3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Cách 1. Hai mặt phẳng ( ), () có điểm chung S lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b thì ( )  () = Sx // a // b. Cách 2.( ) // a, a  () ( )  () = b // a Cách 3. Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. Cách 4. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho 2 giao tuyến song song Cách 5. Một mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau, ta được 3 giao tuyến song song. Cách 6. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Cách 7. Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác đặc biệt, 4. Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) Cách 1. Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ). Cách 2. Chứng minh d nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến d vuông góc với mp còn lại. Cách 3. Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3. Cách 4. Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a  ( ). Cách 5. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. Cách 6. Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong ( ) 5. Chứng minh hai đường thẳng d và d vuông góc: Cách 1. Chứng minh d  ( ) và ( )  d . Cách 2. Sử dụng định lí 3 đường vuông góc. Cách 3. Chứng tỏ góc giữa d, d bằng 900. 6. Chứng minh hai mặt phẳng ( ) và () vuông góc: Cách 1. Chứng minh ( )  d và d  (). Cách 2. Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng ( ) và () bằng 900. Cách 3. Chứng minh a // ( ) mà ()  a Cách 4. Chứng minh ( ) // (P) mà ()  (P)
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 53 B – CÔNG THỨC CƠ BẢN 1. Tam giác a. Tam giác thường: 1 1 abc ① S BC.AH AB.AC.sin A pr p( p a)( p b)( p c) ABC 2 2 4R 1 A ② S S S ABM ACM 2 ABC 2 ③ AG AM (G là trọng tâm) G 3 AB2 AC 2 BC 2 ④ Độ dài trung tuyến: AM 2 B H M C 2 4 ⑤ Định lí hàm số cosin: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A a b c ⑥ Định lí hàm số sin: 2R sin A sin B sin C b. Tam giác đều ABC cạnh a: A 2 canh 3 a2 3 ① S ABC 4 4 a canh 3 a 3 ② AH 3 2 B H C 2 a 3 ③ AG AH 3 3 A c. Tam giác ABC vuông tại a: 1 1 ① S AB.AC AH.BC ABC 2 2 BC 2 AB2 AC 2 ② B H C ③ BA2 BH.BC ④ CA2 CH.CB ⑤ HA2 HB.HC ⑤ HA2 HB.HC ⑥ AH.BC AB.AC 1 1 1 HB AB2 1 ⑦ ⑧ ⑨ AM BC AH 2 AB2 AC 2 HC AC 2 2 AC AB AC AB ⑩ sin B ⑪ cos B ⑫ tan B ⑬ cot B C BC BC AB AC d. Tam giác ABC vuông cân tại A BC ① BC AB 2 AC 2 ② AB AC 2 A B 2. Tứ giác A D a. Hình bình hành: Diện tích: S ABCD BC.AH AB.AD.sin A A B H C b. Hình thoi: B D 1 • Diện tích: S ABCD AC.BD AB.AD.sin A 2 C • Đặc biệt: khi ·ABC 600 hoặc B· AC 1200 thì các tam giác ABC, ACD đều.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 54 c. Hình chữ nhật: A D A D S ABCD AB.AD d. Hình vuông: 2 B C B C • Diện tích: S ABCD AB A D • Đường chéo: AC AB 2 (AD BC).AH e. Hình thang: S ABCD 2 B H C C – MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP HÌNH 1. Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy H1.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp 1. Đáy: là hình vuông hoặc hình chữ nhật 2. Đường cao: SA S 3. Cạnh bên: SA , SB , SC , SD 4. Cạnh đáy: AB , BC , CD , DA 5. Mặt bên: SAB là tam giác vuông tại A . D A SBC là tam giác vuông tại B . SCD là tam giác vuông tại D . B C SAD là tam giác vuông tại A . H1.2 - Góc giữa cạnh bên và đáy S 1. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABCD bằng : D Ta có: SA  ABCD (gt) A Hình chiếu của SB lên ABCD là AB B C S·B,(ABCD) S·B, AB S· BA 2. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ABCD bằng : S Ta có: SA  ABCD (gt) Hình chiếu của SD lên ABCD là AD D A S·D,(ABCD) S·D, AD S· DA B C 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABCD bằng : S Ta có: SA  ABCD (gt) Hình chiếu của SC lên ABCD là AC D A S·C,(ABCD) S·C, AC S· CA B C
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 55 H1.3 - Góc giữa cạnh bên và mặt bên: S 1. Góc giữa cạnh bên SB và mặt bên SAD bằng : Ta có: AB  SAD Hình chiếu của SB lên SAD là SA D A S·B,(SAD) S·B, SA B· SA B C 2. Góc giữa cạnh bên SD và mặt bên SAB bằng : S Ta có: AD  SAB Hình chiếu của SD lên SAB là SA D A S·D,(SAB) S·D, SA D· SA B C 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt bên SAB bằng : S Ta có: BC  SAB Hình chiếu của SC lên SAB là SB D S·C,(SAB) S·C, SB B· SC A 4. Góc giữa cạnh bên SC và mặt bên SAD bằng : B S C Ta có: DC  SAD Hình chiếu của SC lên SAD là SD · · · SC,(SAD) SC, SD DSC D A H1.4 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy: B C 1. Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABCD bằng : S Ta có: BC  AB tại B (?), BC  SB tại B (?) SBC  ABCD BC D (·SBC),(ABCD) ·AB, SB S· BA A B C 2. Góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD bằng : S Ta có: CD  AD tại D (?), CD  SD tại D (?) SCD  ABCD CD D (·SCD),(ABCD) ·AD, SD S· DA A B C 3. Góc giữa mặt phẳng SBD và mặt đáy ABCD bằng : S ❖ Đáy ABCD là hình chữ nhật: Trong ABCD , vẽ AH  BD tại H BD  SH (?) (·SBD),(ABCD) ·AH, SH S· HA A D H  Chú ý: Nếu AB AD thì điểm H ở gần B hơn B C Nếu AB AD thì điểm H ở gần D hơn S ❖ Đáy ABCD là hình vuông: Gọi O AC  BD AO  BD (?) A D BD  SO (?) O (·SBD),(ABCD) S·O, AO S· OA B C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 56 H1.5 – Khoảng cách “điểm – mặt” S 1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Trong mp SAD , vẽ AH  SD tại H H D AH  SCD (?) A d A, SCD AH B C 2. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD Vì AB// SCD (?) nên d B, SCD d A, SCD (xem dạng 1) 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC S Trong mp SAB , vẽ AH  SB tại H H AH  SBC (?) D A d A, SBC AH B C 4. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC Vì AD // SBC (?) nên d D, SBC d A, SBC (xem dạng 3) 5. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD ❖ Đáy ABCD là hình chữ nhật: S • Trong ABCD , vẽ AI  BD tại I BD  SAI (?) H A D • Trong SAI , vẽ AH  SI tại H I AH  SBD (?) B C d A, SBD AH  Chú ý: Nếu AB AD thì điểm I ở gần B hơn Nếu AB AD thì điểm I ở gần D hơn ❖ Đáy ABCD là hình vuông: • Gọi O AC  BD AO  BD (?) S BD  SAO (?) • Trong SAO , vẽ AH  SO tại H H A D AH  SBD (?) d A, SBD AH O B C 6. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD Vì O là trung điểm của AC nên d C, SBD d A, SBD
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 57 HÌNH 2. Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B và SA vuông góc với đáy H2.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp S 1. Đáy: Hình thang ABCD vuông tại A và B 2. Đường cao: SA 3. Cạnh bên: SA , SB , SC , SD 4. Cạnh đáy: AB , BC , CD , DA A D 5. Mặt bên: SAB là tam giác vuông tại A . SBC là tam giác vuông tại B . SAD là tam giác vuông tại A . B C  Chú ý: Nếu AB BC và AD 2BC thì AC  CD A D CD  SAC SCD vuông tại C H2.2 - Góc giữa cạnh bên SB và đáy 1. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABCD : B C Ta có : SA  ABCD (gt) Hình chiếu của SB lên ABCD là AB S·B,(ABCD) S·B, AB S· BA 2. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ABCD : S Ta có: SA  ABCD (gt) Hình chiếu của SD lên ABCD là AD S·D,(ABCD) S·D, AD S· DA A D 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABCD : Ta có: SA  ABCD (gt) B C Hình chiếu của SC lên ABCD là AC S·C,(ABCD) S·C, AC S· CA H2.3 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy: S 1. Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABCD : Ta có: BC  AB tại B (?) BC  SB tại B (?) A D SBC  ABCD BC (·SBC),(ABCD) ·AB, SB S· BA B C 2. Góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD : S Trong ABCD , vẽ AM  CD tại M SM  CD tại M (?) Mà SCD  ABCD CD A D (·SCD),(ABCD) ·AM , SM S· MA M  Chú ý: Nếu AB BC và AD 2BC thì AC  CD . Do đó M  C . B C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 58 H2.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” S 1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC H Trong mp SAB , vẽ AH  SB tại H AH  SBC (?) A D d A, SBC AH B C 2. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC Vì AD // SBC (?) nên d D, SBC d A, SBC (xem dạng 3) S 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD • Trong ABCD , vẽ AM  CD tại M CD  SAM (?) H A D • Trong SAM , vẽ AH  SM tại H M AH  SCD (?) B C d A, SCD AH  Chú ý: Nếu AB BC và AD 2BC thì AC  CD . Do đó M  C . HÌNH 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD S H3.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp 1. Đáy: ABCD là hình vuông 2. Đường cao: SO 3. Cạnh bên: SA SB SC SD A D 4. Cạnh đáy: AB BC CD DA 5. Mặt bên: SAB , SBC , SCD , SAD O là các tam giác cân tại S và bằng nhau. B C Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO  ABCD H3.2 - Góc giữa cạnh bên và đáy 1. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABCD : Ta có: SO  ABCD (?) Hình chiếu của SA lên ABCD là AO S S·A,(ABCD) S·A, AO S· AO 2. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABCD : Tương tự S·B,(ABCD) S·B, BO S· BO A D 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD): Tương tự S·C,(ABCD) S·C,CO S· CO O 4. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ABCD : B C Tương tự S·D,(ABCD) S·D, DO S· DO  Chú ý: S· AO S· BO S· CO S· DO “Góc giữa các cạnh bên với mặt đáy bằng nhau”
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 59 H3.3 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy: S 1. Góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy ABCD : Ta có: OM  AB tại M (?) AB  SM tại M (?) A D Mà SAB  ABCD AB M O (·SAB),(ABCD) O·M , SM S·MO B S C 2. Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABCD : Ta có: ON  BC tại N (?) BC  SN tại N (?) A D Mà SBC  ABCD BC O (·SBC),(ABCD) O·N, SN S· NO B N S C 3. Góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD : Ta có: OP  CD tại P (?) CD  SP tại P (?) A Mà SCD  ABCD CD D (·SCD),(ABCD) O· P, SP S· PO O P B S C 4. Góc giữa mặt bên SAD và mặt đáy ABCD : Ta có: OQ  AD tại Q (?) AD  SQ tại Q (?) A Q Mà SAD  ABCD AD D (·SAD),(ABCD) O·Q, SQ S· QO O B C  Chú ý: S·MO S· NO S· PO S· QO “Góc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau” H3.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SCD S Trong ABCD , vẽ OM  CD tại M CD  SOM (?) H Trong SOM , vẽ OH  SM tại H A D d O, SCD OH O M B C 2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Vì O là trung điểm của AC nên d A, SCD 2d O, SCD 3. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD Vì O là trung điểm của BD nên d B, SCD 2d O, SCD HÌNH 4. Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy H4.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 60 1. Đáy: tam giác ABC S 2. Đường cao: SA 3. Cạnh bên: SA , SB , SC 4. Cạnh đáy: AB , BC , CA 5. Mặt bên: SAB là tam giác vuông tại A . A C SAC là tam giác vuông tại A . Chú ý: Nếu ABC vuông tại B thì SBC vuông tại B Nếu ABC vuông tại C thì SBC vuông tại C B H4.2 - Góc giữa cạnh bên và đáy 1. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABC : S Ta có: SA  ABC (gt) Hình chiếu của SB lên ABC là AB S·B,(ABC) S·B, AB S· BA A C 2. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABC : Ta có: SA  ABC (gt) B Hình chiếu của SC lên ABC là AC S S·C,(ABC) S·C, AC S· CA H4.3 - Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC): 1. Tam giác ABC vuông tại B A C Ta có: BC  AB tại B (?) BC  SB tại B (?) B SBC  ABC BC (·SBC),(ABC) ·AB, SB S· BA S 2. Tam giác ABC vuông tại C Ta có: BC  AC tại C (?) BC  SC tại C (?) A C SBC  ABC BC (·SBC),(ABC) ·AC, SC S· CA B 3. Tam giác ABC vuông tại A Trong ABC , vẽ AM  BC tại M (?) S BC  SM tại M (?) SBC  ABC BC (·SBC),(ABC) ·AM , SM S· MA  Chú ý:  M không là trung điểm BC A C  Nếu ·ABC ·ACB thì M ở trên đoạn BC và gần B hơn M · ·  Nếu ABC ACB thì M ở trên đoạn BC và gần C hơn B  Nếu AB AC thì M ở trên đoạn BC và gần C hơn  Nếu AB AC thì M ở trên đoạn BC và gần B hơn S 4. Tam giác ABC cân tại A (hoặc đều) Gọi M là trung điểm BC A C M B
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 61 BC  AM tại M (?) BC  SM tại M (?) Mà SBC  ABC SM (·SBC),(ABC) ·AM , SM S· MA 5. Tam giác ABC có ·ABC 900 S Trong ABC , vẽ AM  BC tại M (?) BC  SM tại M (?) SBC  ABC BC (·SBC),(ABC) ·AM , SM S· MA A C  Chú ý: M nằm ngoài đoạn BC và ở về phía B B · 0 M 6. Tam giác ABC có ACB 90 S Trong ABC , vẽ AM  BC tại M (?) BC  SM tại M (?) SBC  ABC BC M (·SBC),(ABC) ·AM , SM S· MA A C  Chú ý: M nằm ngoài đoạn BC và ở về phía C S B H4.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 1. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC Trong ABC , vẽ BH  AC tại H H A C BH  SAC (?) d B, SAC BH  Chú ý: S B  Nếu ABC vuông tại A thì H  A và khi đó AB d B, SAC  Nếu ABC vuông tại C thì H  C và khi đó BC d B, SAC 2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB A C Trong ABC , vẽ CH  AB tại H H CH  SAB (?) d C, SAB CH B  Chú ý: S  Nếu ABC vuông tại ABC thì H  A và khi đó CA d C, SAB  Nếu ABC vuông tại B thì H  C và khi đó CB d B, SAB H 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A C • Trong ABC , vẽ AM  BC tại M (?) BC  SM tại M (?) M • Trong SAM , vẽ AH  SM tại H d A, SBC AH B  Chú ý: Tùy đặc điểm của ABC để các định đúng vị trí của điểm M trên đường thẳng BC . HÌNH 5. Hình chóp tam giác đều S.ABC S H5.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chóp 1. Đáy: Tam giác ABC đều A C O B
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 62 2. Đường cao: SO 3. Cạnh bên: SA SB SC 4. Cạnh đáy: AB BC CA 5. Mặt bên: SAB , SBC , SCA là các tam giác cân tại S và bằng nhau. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC SO  ABC  Chú ý: Tứ diện đều S.ABC là hình chóp có đáy và các mặt bên là những tam giác đều bằng nhau. H5.2 - Góc giữa cạnh bên và đáy 1. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABC : Ta có: SO  ABC (?) S Hình chiếu của SA lên ABC là AO S·A,(ABC) S·A, AO S· AO 2. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABC : A C Tương tự S·B,(ABC) S·B, BO S· BO O 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABC : B Tương tự S·C,(ABC) S·C,CO S· CO  Chú ý: S· AO S· BO S· CO “Góc giữa các cạnh bên với mặt đáy bằng nhau” H5.3 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy: 1. Góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy ABC : Ta có: OM  AB tại M (?) AB  SM tại M (?) Mà SAB  ABC AB (·SAB),(ABC) O·M , SM S·MO S 2. Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC : Ta có: ON  BC tại N (?) BC  SN tại N (?) P Mà SBC  ABC BC A C · · · (SBC),(ABCD) ON, SN SNO O M N 3. Góc giữa mặt bên SAC và mặt đáy ABC : B Ta có: OP  AC tại P (?) AC  SP tại P (?) Mà SAC  ABC AC (·SAC),(ABC) O· P, SP S· PO  Chú ý: S·MO S· NO S· PO “Góc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau” H5.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB S H A C O M B
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 63 • Trong ABC , vẽ OM  AB tại M AB  SOM (?) • Trong SOM , vẽ OH  SM tại H d O, SAB OH 2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB MC Vì O là trọng tâm của ABC nên 3 MO MC d C, SAB d O, SAB 3 d O, SAB MO HÌNH 6a. Hình chóp S.ABC có một mặt bên (SAB) vuông góc với đáy (ABCD) “Luôn luôn vẽ SH vuông góc với giao tuyến” S H6a.1 - Góc giữa cạnh bên và mặt đáy • Vẽ SH  AB tại H Vì SAB  ABC nên SH  ABC A C  Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H trên đường thẳng AB . H B 1. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABC : S Ta có: SH  ABC (?) Hình chiếu của SA lên ABC là AH · · · SA,(ABC) SA, AH SAH A C 2. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABC : H Ta có: SH  ABC (?) B Hình chiếu của SB lên ABC là BH S S·B,(ABC) S·B, BH S· BH 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABC : Ta có: SH  ABC (?) A C Hình chiếu của SC lên ABC là CH H S·C,(ABC) S·C,CH S· CH B S H6a.2 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy: • Vẽ SH  AB tại H • Vì SAB  ABC nên SH  ABC  Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí M của điểm H trên đường thẳng AB . A C 1. Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy ABC : H B Vì SAB  ABC nên (·SAB),(ABC) 900 2. Góc giữa mặt bên SAC và mặt đáy ABC : Vẽ HM  AC tại M
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 64 HM  AC Ta có:  AC  (SHM ) , mà SM  SHM SM  AC S SH  AC  (·SBC),(ABC) H·M , SM S·MH 3. Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC : A C Vẽ HN  BC tại N H HN  BC N Ta có:  BC  (SHN) , B SH  BC  mà SN  SHN SN  AB (·SBC),(ABC) H· N, SN S· NH HÌNH 6b. Hình chóp S.ABCD có một mặt bên (SAB) vuông góc với đáy (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật hoặc hình vuông “Luôn luôn vẽ SH vuông góc với giao tuyến” H6b.1 - Góc giữa cạnh bên và mặt đáy • Vẽ SH  AB tại H S • Vì SAB  ABCD ) nên SH  ABCD  Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H trên đường thẳng AB . A D 1. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABCD : H B Ta có: SH  ABCD (?) C Hình chiếu của SA lên ABCD là AH S·A,(ABCD) S·A, AH S· AH S 2. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy ABCD : Tương tự S·B,(ABCD) S·B, BH S· BH A D 3. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABCD : H Tương tự S·C,(ABCD) S·C,CH S· CH B C 4. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ABCD : Tương tự S·C,(ABCD) S·D, DH S·DH S H6b.2 - Góc giữa mặt bên và mặt đáy: 1. Góc giữa mặt bên SAD và mặt đáy ABCD : A D Ta có: HA  AD (?) H SH  AD (?) B C AD  SHA AD  SA Mà SAD  ABCD AD (·SAD),(ABCD) S·A, AH S· AH S 2. Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABCD : Ta có: BA  BC (?) A D H B C
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 65 SH  BC (?) BC  SHB BC  SB Mà SBC  ABCD BC · · · (SBC),(ABCD) SB, AH SBH S 3. Góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD : Trong ABCD , vẽ HM  CD tại M A D HM  CD Ta có:  CD  SHM CD  SM SH  CD H M  B C Mà SCD  ABCD CD (·SCD),(ABCD) H·M , SM S·MH HÌNH 7. Hình lăng trụ ① Lăng trụ có: • Hai đáy song song và là 2 đa giác bằng nhau • Các cạnh bên song song và bằng nhau Lăng trụ xiên • Các mặt bên là các hình bình hành Cạnh bên ② Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy vuông góc đáy ③ Lăng trụ tam giá đều là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều ④Lăng trụ có đáy là tam giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là tam giác đều Lăng trụ đứng ⑤ Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là hình vuông Đáy là ⑥ Lăng trụ có đáy là tứ giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là hình vuông đa giác đều ⑦ Hình hộp là hình lăng trụ xiên, có đáy là hình bình hành ⑧ Hình hộp đứng là lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành Lăng trụ đều ⑨ Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có đáy là hình chữ nhật A ' C' ⑩ Hình lập phương là lăng trụ đứng, có đáy và các mặt bên là hình vuông. B' ⑪ Lăng trụ đứng ABC.A B C . • Góc giữa (A BC) và ABC : Vẽ AM  BC tại M A C M · · A M  BC (?) (A BC),(ABC) AMA B • Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác ABC để xác định đúng vị trí của điểm M trên đường thẳng A ' BC . D' ⑫ Hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . B' C' • Góc giữa A B CD và ABCD : · · Ta có: BC  CD CD  B C (?) (A B CD),(ABCD) BCB A D B C