Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Hai mặt phẳng vuông góc (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Hai mặt phẳng vuông góc (Có đáp án)

1. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Góc giữa hai mặt phẳng a  (P) · ¶ • (P),(Q) a,b b  (Q) a  (P),a  c · ¶ • Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (P),(Q) a,b b  (Q),b  c Chú ý: 00 (·P),(Q) 900 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H ) của (H) trên (Q), = (·P),(Q) . Khi đó:S = S.cos 3. Hai mặt phẳng vuông góc • (P)  (Q) (·P),(Q) 900 (P)  a • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P)  (Q) a  (Q) 4. Tính chất (P)  (Q),(P)(Q) c • a  (Q) • a  (P),a  c (P)  (Q) A (P) a  (P) a  A,a  (Q) (P)(Q) a • (P)  (R) a  (R) (Q)  (R) B – BÀI TẬP Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định. D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia. B. Cho đường thẳng a  , mọi mặt phẳng  chứa a thì   . C. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b , luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia. D. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng chứa a và mặt phẳng  chứa b thì   . Hướng dẫn giải: Chọn B
2. Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau. D. Một mặt phẳng P và một đường thẳng a không thuộc P cùng vuông góc với đường thẳng b thì P //a . Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề đúng. A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. C. Hai mặt phẳng và  vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d . Với mỗi điểm A thuộc và mỗi điểm B thuộc  thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d . D. Nếu hai mặt phẳng và  đều vuông góc với mặt phẳng  thì giao tuyến d của và  nếu có sẽ vuông góc với  . Hướng dẫn giải: Theo Định lí 2 tr109 SGK HH11 CB . Chọn D Câu 7: Cho hai mặt phẳng và  vuông góc với nhau và gọi d   . I. Nếu a  và a  d thì a   . II. Nếu d  thì d  d . III. Nếu b  d thì b  ( ) hoặc b  (). IV. Nếu ()  d thì ()  ( ) và ()  (). Các mệnh đề đúng là : A. I, II và III. B. III và IV. C. II và III. D. I, II và IV. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 8: Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau và một điểm M không thuộc P và Q . Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với P và Q ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Hướng dẫn giải: Chọn A.
3. Câu 9: Cho hai mặt phẳng P và Q , a là một đường thẳng nằm trên P . Mệnh đề nào sau đây sai ? A. Nếu a//b với b P  Q thì a// Q . B. Nếu P  Q thì a  Q . C. Nếu a cắt Q thì P cắt Q . D. Nếu P / / Q thì a / / Q . Hướng dẫn giải: Gọi b= P  Q nếu a//b thì a / / Q . Chọn B. Câu 10: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Luôn có mặt phẳng chứa a và  b. C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng chứa a và mặt phẳng  chứa b thì   . D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 11: Cho hai mặt phẳng P và Q song song với nhau và một điểm M không thuộc P và Q . Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với P và Q ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. Vô số. Hướng dẫn giải: Qua M dựng đường thẳng d vuông cóc với P và Q . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh d thỏa yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. B. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 13: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Một mặt phẳng ( ) và một đường thẳng a không thuộc ( ) cùng vuông góc với đường thẳng b thì ( ) song song với a. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau Hướng dẫn giải: b a a  Đáp án A đúng. Đáp án B sai.
4. Q R b a P Đáp án D sai. Đáp án C sai. Chọn A. Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Hướng dẫn giải: a Q R  P Qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng B đúng Đáp án A đúng a M    Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Đáp án Đáp án C đúng. D sai. Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng P . Mọi mặt phẳng Q chứa a và vuông góc với b thì P vuông góc với Q . B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng P chứa a, mặt phẳng Q chứa b thì P vuông góc với Q . C. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P , mọi mặt phẳng Q chứa a thì P vuông góc với Q . D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Hướng dẫn giải:
5. P P a b b Q a P Đáp án B sai. Đáp án A đúng. a a P Đáp án D đúng. Đáp án C đúng. Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước. D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau đã cho. Chọn C. Câu 17: Cho a,b,c là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Cho a  b . Mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a . B. Nếu a  b và mặt phẳng chứa a ; mặt phẳng  chứa b thì   . C. Cho a  b nằm trong mặt phẳng . Mọi mặt phẳng  chứa a và vuông góc với b thì   . D. Cho a//b , mọi mặt phẳng chứa c trong đó c  a và c  b thì đều vuông góc với mặt phẳng a,b . Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 18: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. mặt phẳng (Q) chứa b và đường vuông góc chung của a và b thì mp(Q)  a . B. mặt phẳng ( R) chứa b và chứa đường thẳng b'  a thì mp R  a . C. mặt phẳng (a) chứa a , mp() chứa b thì ( )  () . D. mặt phẳng ( P) chứa b thì mặt phẳng ( P) ^ a . Hướng dẫn giải: Chọn A
6. Giả sử AB là đoạn vuông góc chung của a và b thì mp Q  AB,b mà a  AB, a  b, a  AB,b a  mp Q Câu 19: Cho các mệnh đề sau với và  là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến m   và a, b, c, d là các đường thẳng. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu b  m thì b  hoặc b   . B. Nếu b  m thì d  . C. Nếu a  và a  m thì a   . D. Nếu c//m thì c// hoặc c//  . Hướng dẫn giải: Chọn C Do a  , a  m , ( )  () nên a   Câu 20: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c  a,c  b . Mọi mặt phẳng ( ) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng a,b . B. Cho a  ( ) , mọi mặt phẳng  chứa a thì   . C. Cho a  b , mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a . D. Cho a  b , nếu a  ( ) và b   thì   . Hướng dẫn giải: Câu A sai vì a,b có thể trùng nhau. Câu C sai vì khi a,b cắt nhau, mặt phẳng a,b không vuông góc với a . Câu D sai vì khi a,b chéo nhau và vuông góc với nhau, ta gọi là mặt phẳng chứa a , song song với b và  là mặt phẳng chứa b và song song với a thì //  Chọn B. Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Hướng dẫn giải: Mệnh đề A sai vì có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau nhưng đường thẳng thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia. Mệnh đề B sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng song song. Mệnh đề C sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc. Chọn đáp án D Câu 22: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng không cắt nhau, không song song thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Hướng dẫn giải: Mệnh đề sai vì còn trường hợp chéo nhau hoặc trùng nhau. Mênh đề C sai vì còn trường hợp hai đường thẳng chéo nhau. Mênh đề D sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Chọn B.
7. Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Hướng dẫn giải: D' C' A' B' D C A B * Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước, chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm đó và vuông góc với một đường thẳng cho trước “Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước”: SAI * Có vô số mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, trong trường hợp: đường thẳng cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước :Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”: SAI * Có vố số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước ”Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”: SAI Chọn D Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH . Xét các mệnh đề sau: (I) SA SB SC . (II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . (III) Tam giác ABC là tam giác đều. (IV) H là trực tâm tam giác ABC . Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S.ABC là hình chóp đều? A. (III) và (IV). B. (II) và (III). C. (I) và (II). D. (IV) và (I). Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân đỉnh S. B. S.ABC là hình chóp đều nếu góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy bằng nhau. C. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân. D. S.ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên có diện tích bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 26: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai? A. Đáy là đa giác đều. B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. C. Các cạnh bên là những đường cao. D. Các mặt bên là những hình bình hành.
8. Hướng dẫn giải: A. Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều. B. Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy. C. Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy. D. Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông. Chọn D. Câu 27: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương. B. Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương. C. Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương. D. Nếu hình hộp có sau mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương. Hướng dẫn giải: Đây là câu hỏi lý thuyết. Chọn đáp án B Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. B. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. D. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B A sai vì đáy có thể là hình bình hành. B đúng C sai vì đáy có thể là hình bình hành D sai vì đáy có thể là hình bình hành. Câu 29: Hình hộp ABCD.A B C D là hình hộp gì nếu tứ diện AB C D đều. A. Hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật. C. Hình hộp thoi. D. Đáp số khác. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A A B D C A / B / D / C / Câu 30: Hình hộp ABCD.A B C D trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây? A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. B. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông. C. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông. D. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Câu 31: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu tứ diện AA’B’D’ có các cạnh đối vuông góc. A. Hình lập phương. B. Hình hộp tam giác. C. Hình hộp thoi. D. Hình hộp tứ giác.
9. Hướng dẫn giải: Ta có AA'  B'D', A'D'  AB', A'B'  AD' suy ra Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương. Câu 32: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng góc nhọn giữa mặt phẳng P và mặt phẳng (R) khi mặt phẳng Q song song với mặt phẳng R . B. Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng góc nhọn giữa mặt phẳng P và mặt phẳng R khi mặt phẳng Q song song với mặt phẳng R (hoặc Q  R ). C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn. D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Câu 33: Cho hình chóp tam giác S.ABC với đường cao SH . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng A. H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi các cạnh bên bằng nhau B. H là trung điểm của một cạnh đáy khi hình hộp đó có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. C. H trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy bằng nhau. D. H thuộc cạnh đáy thì hình chóp đó có một mặt bên vuông góc với đáy Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Câu 34: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng. B. Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều. C. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều. D. Hình lăng trụ có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều. Hướng dẫn giải: Giả sử lăng trụ ABC.A' B 'C ' có các mặt bên AA' B ' B , AA'C 'C là hình chữ nhật, khi AA'  AB AA'  ABC đó ta có . Vậy là lăng trụ đứng. AA'  AC ABC.A' B 'C ' Theo định nghĩa hình chóp đều và hình lăng trụ đều ta có đáp án B, C đúng. Đáp án D sai. Câu 35: Cho P và Q là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a,b,c,d là các đường thẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu a  P và a  m thì a  Q . B. Nếu c  m thì c  Q . C. Nếu b  m thì b  P hoặc b  Q . D. Nếu d  m thì d  P . Hướng dẫn giải: Áp dụng hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Chọn đáp án A.
10. DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG. Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng H và  ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau: Cách 1. Tìm hai đường thẳng a,b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng α và Ox,Oy,Oz . Khi đó góc giữa hai đường thẳng A, B,C chính là góc giữa hai mặt phẳng OA OB OC 1 và OABC . O· BA ·ABC O· CB . Cách 2. Tìm hai vec tơ ABC.A' B 'C ' có giá lần lượt vuông góc với AB AC a, AA' a 2 và M khi đó góc giữa hai mặt phẳng AB và xác định bởi M . Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu B 'C , từ đó để tính cos thì ta cần tính a và b . Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau: a) α β a b p γ q Tìm giao tuyến M , N Chọn mặt phẳng AB, BC Tìm các giao tuyến · ,  ·a,b b) β M φ α H N Tìm giao tuyến SB Lấy M , N, P .Dựng hình chiếu AB, BC,C ' D ' của ABCD.A' B 'C ' D ' trên MN Dựng BD . Phương pháp này có nghĩa là tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng AD ' và vuông góc với giao tuyến MN tại một điểm trên giao tuyến. Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC AD và BC BD . Gọi I là trung điểm của CD . Khẳng định nào sau đây sai?
11. A. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD là C· BD . B. Góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD là ·AIB . C. BCD  AIB . D. ACD  AIB . Hướng dẫn giải: A Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD CD  BI (1) Tam giác ACD cân tại A có I trung điểm đáy CD CD  AI (2) (1) và (2) CD  ABI . Vậy A: sai B D Chọn A C I Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng A và góc a 6 µA 600 , cạnh SC và SC vuông góc với mặt phẳng ABCD . Trong tam giác SAC kẻ 2 IK  SA tại K . Tính số đo góc B· KD . A. 600 . B. 450 . C. 900 . D. 300 . Hướng dẫn giải: CS.CA Ta có CH a;(CA 2AI a 3) ; CS 2 CA2 1 1 IK CH a IB ID . 2 2 với H là hình chiếu của C lên SA , K là hình chiếu của I lên SA . Vậy chọn đáp án C . Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa ABC và ABD bằng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 1 1 A. cos . B. cos . C. 600 . D. cos . 3 4 5 Hướng dẫn giải: Đặt AB a . Gọi I là trung điểm của AB . a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên CI  AB và CI . 2 a 3 Tam giác ABD đều nên DI  AB và DI . 2 Do đó, ABC , ABD CI, DI C· ID . 2 2 2 3a 3a 2 a 2 2 2 a IC ID CD 1 Tam giác CID có cos 4 4 2 . Chọn A. 2.IC.ID a 3 a 3 3a2 3 2. . 2 2 2
12. Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải:. Chọn C. Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S.ABCD có đường cao SH . S Ta có: SCD  ABCD CD . Gọi M là trung điểm CD . Dễ chứng minh được SM  CD và HM  CD SCD , ABCD SM , HM S·MH . a a Từ giả thiết suy ra SCD là tam giác đều cạnh a có SM là a a 3 B C đường trung tuyến SM . 2 ? a H M a HM 2 1 a cos . A D SM a 3 3 2 Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH H BC . Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên SBC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SC  ABC . B. O SH . C. SAH  SBC . D. ·SBC , ABC S· BA. Hướng dẫn giải: SAB  ABC  Ta có SAC  ABC  SA  ABC SA  BC . SAB  SAC SA BC  AH   BC  SAH BC  SH . BC  SA  Mặt khác, AH  BC nên SBC , ABC SH, AH S· HA . Chọn D. Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc B· AD 600 . Đường 3a thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SO . Gọi E là trung điểm BC và F là 4 trung điểm BE . Góc giữa hai mặt phẳng SOF và SBC là A. 90o. B. 60o. C. 30o. D. 45o.S Hướng dẫn giải:  BCD đều nên DE  BC . Mặt khác OF //DE BC  OF (1). D 60o C O E F A B
13.  Do SO  ABCD BC  SO (2).  Từ (1) và (2), suy ra BC  SOF SBC  SOF . Vậy, góc giữa SOF và SBC bằng 90o. Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA SB SC a . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng A. 30o . B. 90o . C. 60o . D. 45o . Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy ABCD ( SH  ABCD ) SA SB SC a các hình chiếu: HA HB HC H là tâm đường tròn ABC Mà tam giác ABC cân tại B (vì BA BC a ) tâm H phải nằm trên BD SH  SBD SH  ABCD  Vậy có  SBD  ABCD nên góc S SH  SBD   SBD , ABCD  90o . Chọn B A D H B C Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SC . Góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD bằng: A. 900 . B. 600 . C. 450 . D. 300 . Hướng dẫn giải: Gọi M ' là trung điểm OC . Có 1 1 a a2 2 S MO.BD . .a 2 ; MBD 2 2 2 4 1 1 1 a2 S M O.BD . .a 2.a 2 . Do đó BM D 2 2 4 4 S 2 cos BM D 450 S BMD 2 Vậy chọn đáp án C . Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB a nằm trong mặt phẳng P , cạnh AC a 2 , AC tạo với P một góc 600 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. ABC tạo với P góc 450 . B. BC tạo với P góc 300 . C. BC tạo với P góc 450 . D. BC tạo với P góc 600 . Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng P .
14. Khi đó, AC, P AC, AH C· AH 600 và BC, P BC, AH C· BH . CH a 6 Tam giác AHC vuông tại H nên sin C· AH CH AC.sin C· AH a 2.sin 600 . AC 2 a 6 CH a 2 Tam giác CHB vuông tại H nên sin 2 450 . BC 2 2 a2 a 2 Chọn C. Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và đáy ABC vuông ở A . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SAB  ABC . B. SAB  SAC . C. Vẽ AH  BC, H BC góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . D. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là góc S· CB . Hướng dẫn giải: S Chọn D. Ta có: SA  ABC SAB  ABC nên đáp án A đúng. AB  AC, AB  SA AB  SAC SAB  SAC . Nên đáp án B đúng AH  BC; BC  SA BC  SAH A C · · SH  BC SBC , ABC SHA . H Nên đáp án C đúng. B Ta có: SBC  SAC SC nên đáp án D sai. Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC AD và BC BD . Gọi I là trung điểm của CD . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD là góc ·AIB . B. BCD  AIB . C. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD là góc C· BD . D. ACD  AIB . Hướng dẫn giải: Chọn C. A ABC  ABD AB · · Ta có: BC  AB ABD , ABC CBD . BD  AB Nên đáp án C sai C B α I D
15. Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và AB  BC , gọi I là trung điểm BC . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc nào sau đây? A. Góc SBA. B. Góc SCA . C. Góc SCB . D. Góc SIA . Hướng dẫn giải: Chọn A. S Ta có: BC  SA, BC  AB BC  SB SBC  ABC BC · · AB  BC, AB  ABC SBC , ABC SBA. SB  BC, SB  SBC A C I B Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  ABCD , gọi O là tâm hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây sai? A. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc ·ABS . B. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc S· OA . C. Góc giữa hai mặt phẳng SAD và ABCD là góc S S· DA . D. SAC  SBD . Hướng dẫn giải: Chọn C. A D SAD  ABCD AD Ta có: AB  AD, AB  ABCD O SA  AD, SA  SAD B C · SAD , ABCD S· AB . Nên đáp án C sai. Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Biết SO  ABCD , SO a 3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a . Gọi là góc hợp bởi mặt bên SCD với đáy. Khi đó tan ? 3 3 6 A. . B. . C. . D. 6 . 2 2 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. S Gọi M là trung điểm của CD . CD  OM Khi đó CD  SO · · A CD  SM SCD , ABCD SMO . D a α O M B C
16. Ta có: R OA a AC 2a AB AD a 2 . a 2 SO OM tan 6 . 2 OM Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA= 2AB . Góc giữa SAB và ABC bằng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 A. 600 . B. cos . 3 5 1 1 C. cos . D. cos . 4 5 2 5 Hướng dẫn giải: C Gọi O là tâm của tam giác đều ABC S Gọi CO  AB H suy ra H là trung điểm AB( vì ABC đều) 1 1 AB 3 AB 3 OH  AB và OH CH . 3 3 2 6 Tìm góc giữa SAB và ABC SAB  ABC AB OH  AB SO  AB SO  (ABC) A C SH  AB (1) O H Ta có B SAB  ABC AB OH  AB, OH  (ABC) SH  AB, SH  (SAB) (·SAB);(ABC) S·H;OH S· HO 2 2 2 2 AB 15 Từ (1) suy ra SH SA AH 2AB AB 2 2 3 AB OH 1 Từ đó ta có : cos 6 SH 15 3 5 AB 2 Chọn B Câu 16: Cho tam giác cân ABC có đường cao AH a 3 , BC 3a, BC chứa trong mặt phẳng P . Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng P . Biết tam giác A' BC vuông tại A' . Gọi là góc giữa P và ABC . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 A. . 600 B. . 450C. . D. . cos 300 3 Hướng dẫn giải:
17. BC  AA' Ta có BC  A' AH BC  A' H . BC  AH Do đó: ABC  A' BC BC ABC , A' BC AH, A' H ·AHA' . BC  AH, BC  A' H 1 3a Mặt khác, tam giác A' BC vuông tại A' nên A' H BC . 2 2 3a A' H 1 Ta có cos 2 . AH a 3 2 Chọn D. Câu 17: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD bằng : 2 2 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Hướng dẫn giải: Ta có: S SAB  SCD Gọi d SAB  SCD với d S;d P AB PCD Do đó: d SAB  SCD Mặt khác: SAB  ABCD ; mà HK  AB hv HK  SAB Vì H là trung điểm của AB SH  AB SH  d (vì d P AB ) d  SK (theo định lí ba đường vuông góc) Do đó: K· SH là góc giữa SAB và SCD Mà SH là đường cao trong SAB đều cạnh a 3 a SH 2 HK a 2 3 Xét SHK vuông tại H có: tan . SH a 3 3 2 Vậy chọn đáp án B . Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến 2a BD bằng . Biết SA  ABCD và SA 2a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABCD và 5 SBD . Khẳng định nào sau đây sai? S A. SAB  SAD . B. SAC  ABCD . C. tan 5 . D. S· OA . Hướng dẫn giải: 2a Chọn D. A D O K B C
18. Gọi AK là khoảng cách từ A đến BD 2a Khi đó AK và BD  AK , BD  SA 5 SA · SBD , ABCD S· KA tan 5. AK Vậy đáp án D sai. Câu 19: Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi, AC 2a . Các cạnh bên vuông góc với đáy và AA a . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật. B. Góc giữa hai mặt phẳng AA C C và BB D D có số đo bằng 60 . C. Hai mặt bên AA C và BB D vuông góc với D hai đáy. C D. Hai hai mặt bên AA B B và AA D D bằng O A nhau. B Hướng dẫn giải: Chọn B. a D' Ta có: các cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình C' thoi nên 2a O' Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật. Hai mặt bên AA C và BB D vuông góc với hai A' B' đáy. Hai hai mặt bên AA B B và AA D D bằng nhau. suy ra đáp án A,C,D đúng. Mặt khác hai đáy ABCD và A B C D là các hình thoi nên AA C C  BB D D . Suy ra đáp án B sai. Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng A1D1CB và (ABCD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. a = 450 . B. a = 300 . C. a = 600 . D. a = 900 . Hướng dẫn giải: A D a là góc giữa hai mặt phẳng A D CB và (ABCD) là M C 1 1 B a = M· NP MP Ta có tana = =1Þ a = 450 NP Chọn đáp án A. A1 D1 N Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA  ABCD . Khẳng định nào sau đây sai ? B1 P C' A. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc ·ABS .
19. B. SAC  SBD . C. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc S· OA . D. Góc giữa hai mặt phẳng SAD và ABCD là góc S· DA . Hướng dẫn giải: SBC  ABCD CD Ta có: S AB  BC, AB  ABCD SB  BC, SB  SBC (·SBC); ABCD ·ABS . Vậy A đúng A D BD  AC BD  SAC Ta có: BD  SA O BD  SBD SAC  SBD Mà . Vậy B đúng B C SBD  ABCD BD Ta có: AO  BD, AB  ABCD SO  BD, SO  SBD (·SBD); ABCD S· OA . Vậy C đúng SAD  ABCD BD Ta có: AB  AD, AB  ABCD SA  AD, SA  SAD (·SAD); ABCD S· AB 900 . Vậy D sai. Câu 22: Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của AC khi đó BH  AC; DH  AC Góc giữa hai mặt của tứ diện bằng B· HD a 3 A Ta có BH DH 2 Trong tam giác BHD có : BD2 BH 2 HD2 2BH.HD.cos B· HD 3a2 3a2 3a2 a2 2 .cos B· HD H 4 4 4 1 B D cos B· HD 3 C Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA SB . Góc giữa SAB và SAD bằng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
20. 1 2 2 A. cos . B. cos . C. 600 . D. cos . 3 5 3 Hướng dẫn giải: S Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều S.ABCD là a . Gọi I là trung điểm của SB ta có DI  SB (vì tam giác SBD đều) và AI  SB (vì tam giác SAB đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng I (SAB) và (SAD) chính là góc ·AID . a 3 A Ta có : AD a 2 (đường chéo hình vuông), AI DI B 2 (đường cao tam giác đều) Áp dụng định lý cosin cho góc I trong tam giác AID ta có : 2 2 2 a 3 a 3 C a 2 D AI 2 DI 2 AD2 2 2 1 cos(·AID) 2AD.DI a 3 a 3 3 2. . 2 2 1 Vậy cos 3 Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ·ABC 600 . Các cạnh 3 SA,SB,SC đều bằng a . Gọi là góc của hai mặt phẳng SAC và ABCD . Giá trị tan 2 bằng bao nhiêu? A. 2 5 B. 3 5 C. 5 3 D. 3 Hướng dẫn giải: Do AB BC và ·ABC 600 nên tam giác ABC đều. Gọi H là hình chiếu của A lên ABCD . Do SA SB SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiế tam giác ABC . SAC  ABCD AC Ta có : SO  AC, HO  AC . SAC , ABCD SO, HO S·OH 1 1 a 3 a 3 Mặt khác, HO BO . , 3 3 2 6 3a2 a2 a 5 SH SB2 BH 2 4 3 2 3 Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . AB 2a, AD DC a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. SBC  SAC . B. Giao tuyến của SAB và SCD song song với AB . C. SDC tạo với BCD một góc 600 .
21. D. SBC tạo với đáy một góc 450 . Hướng dẫn giải: BC  SA BC  SAB +Ta có: BC  AB Mà BC  SBC SBC  SAC (A đúng) SAD  SAB S S AB/ /CD SAD  SAB Sx/ /AB AB SAB CD SCD + a 2 2a B đúng A B + SCD  BCD CD a AD  CD, AD  BCD Ta có: D a C SD  CD, SD  SCD Suy ra góc giữa SDC và BCD là S· DA . SA tan S· DA 2 S· DA 54044' AD (C sai) Vậy chọn C. Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB AA a , AD 2a . Gọi là góc giữa đường chéo A C và đáy ABCD . Tính . A. 2045 . B. 245 . C. 3018 . D. 2548 . Hướng dẫn giải:. Chọn B. Từ giả thiết ta suy ra: AA  ABCD AC là hình chiếu B C a vuông góc của A C lên mặt phẳng ABCD D A A C, ABCD A C, AC ·A CA . 2a Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta a có: C' AC 2 AB2 BC 2 a2 4a2 5a2 AC a 5 . B' Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA C vuông tại A ta A' 2a D' có: AA a 1 tan 245 . AC a 5 5 Câu 27: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Xét mặt phẳng A' BD . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa mặt phẳng A' BD và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng mà 1 tan . 2 B. Góc giữa mặt phẳng A' BD và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng mà 1 sin . 3
22. C. Góc giữa mặt phẳng A' BD và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương. D. Góc giữa mặt phẳng A' BD và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau. Hướng dẫn giải: ABCD.A' B 'C ' D ' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A' BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau. Gọi S1 là diện tích các tam giác này Lại có S1 SAB'D .cos . Vậy chọn đáp án D . Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy. A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải:. Chọn C. S + Vì SH  ABC và AN  ABC SH  AN hay SH  AH AH là hình chiếu vuông góc của SA lên ABC SA, ABC SA, AH S· AH . + Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BC . a a 3 Vì ABC là tam giác đều cạnh a nên dễ tính được : AN . 2 a A Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm ABC B a 2 2 a 3 a 3 H AH AN . . M N 3 3 2 3 a + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có: C SH a tan S· AH 3 S· AH 60. AH a 3 3 a 2 Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng . Tính số đo của 2 góc giữa mặt bên và mặt đáy. A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải:. Chọn B. S Giả sử hình chóp đã cho là S.ABCD có đường cao SH . Ta có: ABCD  SCD CD . Gọi M là trung điểm của CD dễ chứng minh được SM  CD a 2 và HM  CD . 2 · ABCD , SCD HM , SM SMH . B C ? H M a 2 A a 2 D
23. 1 a 2 Mặt khác: HM AD 2 2 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H , ta có : SH a 2 2 tan S·MH . 1 S·MH 45 . HM 2 a 2 Câu 30: Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải:. Chọn D. Giả sử tứ diện đều đã cho là ABCD có cạnh a . Ta có: ABC  BCD BC . Gọi E là trung điểm BC . Khi đó dễ dàng chứng minh được AE  BC và DE  BC . ABC , BCD AE, DE ·AED . a 3 A Ta dễ tính được: AE DE . 2 Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác AED ta có: a 2 2 2 a 3a 3a 2 a 2 2 2 a AE DE AD 1 cos ·AED 4 4 2 . 2.AE.DE 3a2 3 a 3 a 3 a 2. . D 2 2 2 B a a E C Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 10 1 10 1 A. cos . B. cos . C. sin . D. sin . 2 4 2 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Ta có SB = SD = 2a Vì DSCD = DSCB (c.c.c) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau Þ BH = DH Do đó (·(SBC),(SCD)) = D·HB =j Ta có BD a 2 OB = OD = = 2 2 S 1 1 1 1 1 5 2 5 = + = + = Þ BH = DH = a BH 2 SB2 BC 2 4a2 a2 4a2 5 Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên HO ^ BD hay M DHOB vuông tại O A B O D C
24. æ ö2 æ ö2 2 2 ç2 5a ÷ ça 2 ÷ 30 OH = BH - OB = ç ÷ - ç ÷ = a è 5 ø è 2 ø 10 30 2 j OH 6 j OB 10 Ta có sin = = 10 = ;sin = = 2 = 2 BH 2 5 4 2 BH 2 5 4 5 5 Chọn đáp án C. Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu? A. 300 B. 450 C. 900 D. 600 Hướng dẫn giải: Ta có: SC  BD (vì BD  AC, BD  SA) S Trong mặt phẳng (SAC) , kẻ OI  SC thì ta có SC  (BID) Khi đó (·SBC),(SCD) B· ID H a 2 Trong tam giác SAC , kẻ đường cao AH thì AH A D 3 I a Mà O là trung điểm AC và OI P AH nên OI O 6 B Tam giác IOD vuông tại O có tan O· ID 3 O· ID 600 C Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 600 . Câu 33: Lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a . Gọi M là điểm trên cạnh AA sao 3a cho AM . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng MBC và ABC là: 4 2 1 3 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khi đó, A O  ABC . Trong mặt phẳng ABC , dựng AH  BC . Vì tam giác ABC a 3 đều nên AH . 2 BC  AH  Ta có  BC  A HA BC  MH . BC  A O Do đó, MBC , ABC MH, AH M· HA .
25. 3a AM 3 Tam giác MAH vuông tại A nên tan 4 . Chọn D. AH a 3 2 2 Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA  ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SCD tạo với nhau góc 60o . 3a a A. x B. x C. x a D. x 2a 2 2 Hướng dẫn giải: * Trong SAB dựng AI  SB ta chứng minh được AI  SBC (1) Trong SAD dựng AJ  SD ta chứng minh được AJ  SCD (2) Từ (1) và (2) góc (SBC),(SCD) AI, AJ I·AJ * Ta chứng minh được AI AJ . Do đó, nếu góc I·AJ 60o thì AIJ đều AI AJ IJ SAB vuông tại A có AI là đường cao AI.SB SA.AB SA.AB S AI (3) SB SA2 I Và có SA2 SI.SB SI (4) x SB J IJ SI SI.BD (4) Ta chứng minh được IJ //BD IJ 60o BD SB SB A a B SA2.BD a (5) SB2 D C SA.BD Thế (3)&(5) vào AI IJ AB AB.SB SA.BD SB a. x2 a2 x.a 2 x2 a2 2x2 x a Chọn C Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SO  ABCD , SO a 3 và đường tròn nội tiếp ABCD có bán kính bằng a. Tính góc hợp bởi mỗi mặt bên với đáy. A. 300. B. 450. C. 600. D. 750. Hướng dẫn giải: Chọn C ‰ S Ta có SO  (ABCD) và OM ,ON,OP,OQ lần lượt vuông góc với AB, BC,CD, DA Theo định lí ba đường vuông góc ta có SM  AB, SN  BC, SP  CD, SQ  DA · · · · Từ đó suy ra SMO SNO SPO SQO D Xét tam giác SMO vuông tại O ta có A O tan S·MO 3 S·MO 600 Vậy mỗi mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau và bằng 600 M C Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B B, SA  ABC . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC là : A. C· SF . B. B· SF . C. B· SE . D. C· SE .
26. Hướng dẫn giải: Ta có: SEF  SBC Sx / /EF / /BC BC  AB BC  SAB BC  SA BC  SE, BC  SB SB  Sx, SE  Sx · Góc giữa hai mặt phẳng SEF và SBC là : BSE Chọn C. Câu 37: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng P . Trên các đường thẳng vuông góc với P tại B,C lần lượt lấy D, E nằm trên cùng một 3 phía đối với P sao cho BD a ,CE a 3 . Góc giữa P và ADE bằng bao nhiêu? 2 A. 300 B. 600 C. 900 D. 450 Hướng dẫn giải: Gọi ABC , ADE . a2 3 Ta có: S . ABC 4 3a2 a 7 Mặt khác, ta có: AD AB2 BD2 a2 , 4 2 AE AC 2 CE 2 a2 3a2 2a . Gọi F là trung điểm EC , ta có DF BC a . 3a2 a 7 Do đó DE DF 2 FE 2 a2 . 4 2 Suy ra tam giác ADE cân tại D . 7a2 a 3 Gọi H là trung điểm AE , ta có DH AD2 AH 2 a2 . 4 2 1 1 a 3 a2 3 Suy ra S DH.AE . .2a ADE 2 2 2 2 a2 3 S 1 Vậy cos ABC 4 60o . 2 S ADE a 3 2 2 Chọn B. Câu 38: Cho góc tam diện Sxyz với x¶Sy 1200 , ¶ySz 600 , z¶Sx 900 . Trên các tia Sx , Sy , Sz lần lượt lấy các điểm A, B,C sao cho SA SB SC a . Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng : A. 150 B. 900 C. 450 D. 600 Hướng dẫn giải: Chọn B Áp dụng định lí Côsin trong tam giác SAB , ta có AB a 3
27. Tam giác SAC vuông cân tại S nên AC a 2 ; tam S giác SBC đều nên BC a . 0 I Vì AC 2 BC 2 AB2 nên tam giác ABC vuông tại C 60 Gọi H là trung điểm AB thì ta có A H K B HA HB HC x y SH  (ABC) SA SB SC Mà SH  (SAB) nên (SAB)  (ABC) C z Vậy (·SAB),(ABC) 900 Câu 39: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi dB ,dC lần lượt là đường thẳng đi qua B,C và vuông góc 0 với ABC . P là mặt phẳng qua A và hợp với ABC góc 60 . P cắt dB ,dC lần lượt tại D và 6 E . biết AD a , AE a 3. đặt D· AE . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 2 3 A. sin . B. 600 . C. sin . D. 300 . 6 6 Hướng dẫn giải: 0 Ta có: SABC SADE .cos với ABC , ADE 60 . a2 3 S a2 3 Do đó S ABC 4 . ADE cos cos600 2 Mặt khác, 1 a2 3 1 a 6 2 S AD.AE.sin . .a 3.sin sin ADE 2 2 2 2 6 . Chọn A.
28. DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q). • Chứng minh (·P),(Q) 900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). • Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P). • Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB  BCD . Trong BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O . Trong ADC vẽ DK  AC tại K . Khẳng định nào sau đây sai ? A. ADC  ABE . B. ADC  DFK . C. ADC  ABC . D. BDC  ABE . Hướng dẫn giải: A CD  BE * Ta có  CD  ABE  . CD  AB  ADC  ABE CD  ADC  Vậy “ ADC  ABE ”: ĐÚNG. K B D F E C * DF  BC  DF  ABC  . DF  AB  DF  AC  SC  ABC   AC  DFK  DK  AC  ADC  DFK AC  ADC  Vậy “ ADC  DFK ”: ĐÚNG. CD  BE * Ta có  CD  ABE  . CD  AB  BDC  ABE CD  BDC  Vậy “ BDC  ABE ”: ĐÚNG. * “ ADC  ABC ”: SAI Chọn C Câu 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC và ABD cùng vuông góc với DBC . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác ACD . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
29. A. (ABE)  (ADC) . B. (ABD)  (ADC) . C. (ABC)  (DFK) . D. (DFK)  (ADC) . Hướng dẫn giải: ABC  BCD Ta có: ABD  BCD AB  BCD . ABC  ABD AB CD  BE Mặt khác: CD  ABE nên câu A CD  AB đúng. ABC  BCD ABC  BCD BC DF  ABC nên câu C DF  BC đúng. Theo trên ta có DF  ABC nên DF  AC . AC  DF Vậy ta có AC  DKF ACD  DKF . Do đó câu D đúng. AC  DK Chọn B. Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp. B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. C. Hai mặt ACC A và BDD B vuông góc nhau. D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường. Hướng dẫn giải: D' C' Chọn C A' B' D C A B Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SBC và SAC vuông góc với đáy ABC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Đáy là đa giác đều. B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. C. Các cạnh bên là những đường cao. D. Các mặt bên là những hình bình hành. Hướng dẫn giải:
30. SBC  ABC Ta có: SAC  ABC SC  ABC . Do đó câu A và B đúng SC SBC  SAC C. Sai. vì nếu A' SB thì hai mặt phẳng SAB và SBC phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB SC  ABC D. Ta có: SAC  ABC theo giao tuyến AC SC  SAC Mà BK là đường cao của ABC BK  AC BK  SAC . Vậy D. đúng Vậy chọn đáp án D . Câu 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Hình chiếu vuông góc của A’ lên ABC trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. BB’C’C là hình chữ nhật. B. AA’H  A’B’C’ . C. BB’C’C  AA’H . D. AA’B’B  BB’C’C . Hướng dẫn giải: A B Ta có BC  A’AH nên BC  BB’ ,nếu AA’B’B  BB’C’C thì BC  AB vô lý vì H trùng A . Chọn D. D C A' B' D' C' Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và đáy ABC là tam giác cân ở A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SBC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H SB . B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC . C. H SC . D. H SI ( I là trung điểm của BC ). Hướng dẫn giải: Chọn D. S Gọi I là trung điểm của BC AI  BC mà BC  SA BC  SAI . Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên SBC . Suy ra H H SI . A C I B Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SBC và SAC vuông góc với đáy ABC . Khẳng định nào sau đây sai? A. SC  ABC . B. Nếu A là hình chiếu vuông góc của A lên SBC thì A SB . C. SAC  ABC .
31. D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK  SAC . Hướng dẫn giải: Chọn B. SAC  SBC SC S Ta có: SAC  ABC SC  ABC . SBC  ABC Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên SBC , khi đó AA  SBC AA  BC A BC . Suy ra đáp án B sai A' C B A Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy ABC , tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH, (H BC) . Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên SBC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. SC  ABC . B. SAH  SBC . C. O SC . D. Góc giữa SBC và ABC là góc S· BA. Hướng dẫn giải: Chọn B. S SAB  SAC SA Ta có: SAC  ABC SA  ABC . SAB  ABC O Gọi H là trung điểm của BC AH  BC mà BC  SA BC  SAH SBC  SAH . A C Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên SBC H B Thì suy ra O SI và · SBC , ABC S· HA. Vậy đáp án B đúng. Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A . H là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Các mặt bên của ABC.A B C là các hình chữ nhật bằng nhau. B. AA H là mặt phẳng trung trực của BC . C. Nếu O là hình chiếu vuông góc của A lên A BC thì O A H . D. Hai mặt phẳng AA B B và AA C C vuông góc nhau. A' C' Hướng dẫn giải: B' Chọn A. Vì ABC là tam giác vuông cân ở A AB AC BC nên các mặt bên của lăng trụ không bằng nhau. Vậy đáp án A sai. A C H B
32. Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. B. Hai mặt ACC A và BD D B vuông góc nhau. C. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp. D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường. Hướng dẫn giải: Chọn B. D Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông C góc với BD O A Suy ra hai mặt ACC A và BD D B không vuông B góc với nhau. Vậy đáp án B sai. D' C' O' A' B' Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Mặt phẳng A1BD không vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? A. AB1D . B. ACC1 A1 . C. ABD1 . D. A1BC1 . Hướng dẫn giải: * Gọi I AB1  A1B . Tam giác A1BD đều có DI là đường trung tuyến nên DI  A1B . DA  AA1B1B DA  A1B . A1B  DI   A1B  AB1D nên A đúng. A1B  AD * Ta có BD  AC   BD  ACC1 A1 A1BD  ACC1 A1 nên BD  AA1  B đúng. * Gọi J AD1  A1D . Tam giác A1BD đều có BJ là đường trung tuyến nên BJ  A1D . BA  AA1D1D BA  A1D . A1D  BJ   A1B  ABD1 nên C đúng. Chọn D. A1D  BA Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây sai? A. Tam giác AB C là tam giác đều.
33. 2 B. Nếu là góc giữa AC và ABCD thì cos . 3 C. ACC A là hình chữ nhật có diện tích bằng 2a2 . D. Hai mặt AA C C và BB D D ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải:. Chọn C. + Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra C là đáp án sai. Từ giả thiết dễ dàng tính được AC a 2 . Mặt khác vì ABCD.A B C D là hình lập phương nên suy ra ·AA C 90 . AA / /CC B C Xét tứ giác ACC A có AA CC a ACC A là hình chữ O · AA C 90 A nhật có các cạnh a và a 2 . α D Diện tích hình chữ nhật ACC A là : S a.a 2 a2 2 (đvdt) đáp án C sai. B' C' + Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A , B , D đều đúng và suy ra đáp a a án C sai. O' Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH . Xét các mệnh đề sau: A' a D' I) SA SB SC . II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . III) Tam giác ABC là tam giác đều. IV) H là trực tâm tam giác ABC . Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S.ABC là hình chóp đều? A. I và II . B. II và III . C. III và IV . D. IV và I . Hướng dẫn giải:. Chọn A. Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hai mặt ACC A và BDD B vuông góc nhau. B. Bốn đường chéo AC , A C , BD , B D bằng nhau và bằng a 3 . C. Hai mặt ACC A và BDD B là hai hình vuông bằng nhau. D. AC  BD . Hướng dẫn giải:. Chọn C. C D Vì theo giả thiết ABCD.A B C D ta dễ dàng chỉ ra được: AC  BD + và BD cắt BB cùng nằm trong BB D D AC  BB B A AC  BB D D . Mà BD  BB D D AC  BD đáp án D đúng. D' a C' AC  ACC A + ACC A  BB D D đáp án A đúng. AC  BB D D B' + Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác B A D vuông tại A ta có: a A' B D 2 B A 2 A D 2 a2 a2 2a2 . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BB D vuông tại B ta có:
34. BD 2 BB 2 B D 2 a2 2a2 3a2 BD a 3 . Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 3 đáp án B đúng. AC / / A C AC A C a 3 + Xét tứ giác ACC A có ACC A là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng AA CC a · ACC 90 chỉ ra BDD B cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và a 3 . Hai mặt ACC A và BDD B là hai hình vuông bằng nhau đáp án C sai. Câu 15: Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D . Hình chiếu vuông góc của A lên ABC trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. AA B B  BB C C . B. AA H  A B C . C. BB C C là hình chữ nhật. D. BB C C  AA H . Hướng dẫn giải: Chọn A. D' A' Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC H AK, BC  AK, BC  A H BC  AA H C' AA H  A B C B' BB C C  AA H nên đáp án B,C,D đúng. BC  BB A D L H B K C Câu 16: Hình hộp ABCD.A B C D trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây? A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông. D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông. Hướng dẫn giải: Chọn D. Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC có số đo bằng 60 . Cạnh bên của hình lăng trụ bằng: A. 3a . B. a 3 . C. 2a . D. a 2 . Hướng dẫn giải:. a Chọn B. D' A' Ta có: ABCD  ABC AB . a a Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: AB  BB C C mà B' C' C B  BB C C AB  C B . Mặt khác: CB  AB . ABCD , ABC CB,C B C· BC 60 . ? Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BCC vuông tại C ta có: D A a 60° C a B
35. CC tan C· BC CC CB.tan C· BC a.tan 60 a 3 . CB Câu 18: Cho hai mặt phẳng vuông góc P và Q có giao tuyến . Lấy A , B cùng thuộc và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC  AB , BD  AB và AB AC BD . Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD là hình gì? A. Tam giác cân. B. Hình vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác vuông. Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BC . Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AI  BC . P  Q  Ta có P  Q d  BD  P BD  AI . Q  BD  d  AI  BC  AI  BCD AI  CD . AI  BD Trong ACD , dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với CD cắt CD tại H . Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng là tam giác AHI . Vì AI  BCD AI  HI nên tam giác AHI là tam giác vuông tại I . Chọn D. Câu 19: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a;CD 2x . với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc. a 3 a a 2 a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: YCBT CJD vuông cân tại J AB a2 a2 a 3 IJ IC ID 4x2 2AI 2 2( x2 ) x 2 2 3 ( Với I là trung điểm CD ; J là trung điểm AB ) Vậy chọn đáp án A.
36. DẠNG 3: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU, CHU VI VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , BC b , CC c . Độ dài đường chéo AC là A. AC ' a2 b2 c2 . B. AC ' a2 b2 c2 . C. AC ' a2 b2 c2 . D. AC ' a2 b2 c2 . Hướng dẫn giải: D' C' Từ sách giáo khoa, đường chéo hình hộp chữ nhật 2 2 2 AC ' a b c A' B' c Chọn A D C b A a B Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB a , BC b , CC c . Nếu AC BD B D a2 b2 c2 thì hình hộp là A. Hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật C. Hình hộp thoi. D. Hình hộp đứng. Hướng dẫn giải: A' D' A' D' B' C' B' C' c c A D A D a a B B b C b C AC BD hình bình hành ABC D là hình chữ nhật BD B D hình bình hành BDD B là hình chữ nhật AC B D hình bình hành ADC B là hình chữ nhật Chọn B Câu 3: Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB 8 . Gọi C là một điểm trên P , D là một điểm trên Q sao cho AC , BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC 6 , BD 24. Độ dài CD là: A. 20 . B. 22 . C. 30 . D. 26 . Hướng dẫn giải: Tam giác ABC vuông tại A nên BC AB2 AC 2 82 62 10 .
37. P  Q  Ta có P  Q d  BD  P BD  BC . Q  BD  d  Tam giác BCD vuông tại B nên CD BD2 BC 2 242 102 26 . Chọn D. Câu 4: Cho ba tiaOx , Oy , Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox , Oy , Oz lần lượt lấy các điểm A , B , C sao choOA OB OC a . Khẳng định nào sau đây sai? A. O.ABC là hình chóp đều. a2 3 B. Tam giác ABC có diện tích S . 2 3a 2 C. Tam giác ABC có chu vi 2 p . 2 D. Ba mặt phẳng OAB , OBC , OCA vuông góc với nhau từng đôi một. Hướng dẫn giải:. Chọn C. + Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại O ta có: AB2 OA2 OB2 a2 a2 2a2 AB a 2 . Hoàn toàn tương tự ta tính được BC AC a 2 . B ABC là tam giác đều. Mặt khác theo giả thiết OA OB OC a các mặt bên của hình chóp O.ABC là các tam giác cân tại O O.ABC là hình chóp đều đáp án A đúng. a + Chu vi ABC là: 2 p AB AC BC a 2 a 2 a 2 3a 2 đáp án O a A C sai. a 3a 2 + Nửa chu vi Diện tích ABC là: p . Diện tích ABC 2 C là: 3 3 3a 2 3a 2 3a 2 a 2 3a 2 2a3 2 3a4 a2 3 S a 2 . (đvdt). 2 2 2 2 2 8 4 2 đáp án B đúng. OA  OBC OAB  OBC OB  OAC + Dễ chứng minh được OA  OAB , OAB  OAC . OAC  OBC OB  OAB OA  OAC đáp án D đúng. Câu 5: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và µA 60. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại O (O là tâm của ABCD ), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S.ABCD là hình chóp đều. B. Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các tam giác cân.
38. 3a C. SO . 2 D. SA và SB hợp với mặt phẳng ABCD những góc bằng nhau. Hướng dẫn giải:. Chọn C. S Xét ABD có µA 60, AB AD a ABD là tam giác đều cạnh a . Vì O là tâm của ABCD nên suy ra AO là đường trung a 3 tuyến trong ABD đều cạnh a nên dễ tính được AO 2 AC 2AO a 3 . B Mặt khác theo giả thiết SAC là tam giác đều C a 3 3a O a SA SC AC a 3 SO a 3. . 60° 2 2 A a D Câu 6: Cho hình chóp cụt đều ABC.A B C với đáy lớn ABC có a a cạnh bằng a . Đáy nhỏ A B C có cạnh bằng , chiều cao OO . Khẳng định nào sau đây sai? 2 2 A. Ba đường cao AA , BB , CC đồng qui tại S . a B. AA BB CC . 2 C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO ( I là trung điểm BC ). D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ A B C . Hướng dẫn giải:. Chọn B. S + Đáp án A đúng. + Gọi I là trung điểm của BC . a AA OO 1 C' Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được SO 2OO a . A' 2 O' SA SO 2 a a Mặt khác ABC là tam giác đều cạnh a , có AI là đường trung 2 2 B' a a 3 2 a 3 a 3 2 tuyến AI AO . . a 2 3 2 3 A C Áp dụng định lý Pytago trong SOA vuông tại O ta có: a a 2 O a 3 12a2 2a 3 I 2 2 2 2 SA SA SO AO a 3 9 3 B a 3 AA . Vì ABC.A B C là hình chóp cụt đều nên 3 a 3 AA BB CC đáp án B sai. 3 + Ta có: SBC  ABC BC . Vì SBC cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra SI  BC . Mặt khác ABC là tam giác đều có I là trung điểm của BC AI  BC . SBC , ABC SI, AI SI,OI S· IO đáp án C đúng. 1 .AB.AC.sin A S AB.AC 2A B .2A C + Ta có: ABC 2 4 đáp án D đúng. S 1 A B .A C A B .A C A B C .A B .A C .sin A 2
39. a Câu 7: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A B C D cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng và cạnh của 3 đáy lớn A B C D bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính chiều cao OO của hình chóp cụt đã cho. a 6 a 3 2a 6 3a 2 A. OO . B. OO . C. OO . D. OO . 6 2 3 4 Hướng dẫn giải:. S Chọn A. Ta có SO  A B C D  B D SO  B D O D là hình B C chiếu vuông góc của SD lên A B C D O a · A a D SD , ABCD SD ,O D SD O 60. 3 3 AA OO 1 Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được . SA SO 3 Vì A D C là tam giác vuông cân tại D có D O là đường cao B' C' nên ta có: a 2 1 1 1 1 1 2 2 a O' 2 2 2 2 2 2 D O 60° D O A D D C a a a 2 a A' a 2 D' D O . 2 Áp dụng hệ thức lượng trong SD O vuông tại O ta có: SO a 2 a 6 1 1 a 6 a 6 tan 60 SO O D .tan 60 . 3 OO SO . . O D 2 2 3 3 2 6 Câu 8: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A B C D E F có cạnh bên bằng a và ADD A là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng: a a 3 a 2 A. a . B. . C. . D. . 2 3 2 Hướng dẫn giải:. Chọn B. B C Tổng số đo các góc của hình lục giác là 4.180 720 . Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là a A D 120 F· AB 120 . Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra: E F F· AB + AD là tia phân giác của góc F· AB và E· DC F· AD 60 . a 2 a a + Tam giác AFD vuông tại F . B' C' Xét tam giác AFD vuông tại F có F· AD 60 và AD a ta suy ra: a AF A' cos F· AD D' AD 1 a AF AD.cos F· AD a.cos60 a. . F' E' 2 2 Câu 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có ACC A là hình vuông, cạnh bằng a . Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng: a 2 a 3 A. . B. a 2 . C. . D. a 3 . 2 3
40. Hướng dẫn giải:. Chọn A. B C Từ giả thiết ta sauy ra ABC vuông cân tại B a B· AC B· CA 45. D Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông cân tại B có A B· AC 45 và cạnh AC a , ta có: a AB 2 a 2 cos B· AC AB AC.cos B· AC a.cos 45 a. AC 2 2 a . B' C' a A' D' Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 2a 3 và cạnh bên bằng 2a . Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A B C . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về AA G G ? A. AA G G là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và3a . B. AA G G là hình vuông có cạnh bằng 2a . C. AA G G là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a2 . D. AA G G là hình vuông có diện tích bằng8a2 . Hướng dẫn giải:. Chọn B. Gọi M là trung điểm BC . Khi đó ta dễ dàng tính được : A' C' 3 G' AM 2a 3. 3a . 2 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: 2 2 2a B' AG AM .3a 2a AA . 2a 3 3 AA G G là hình vuông có cạnh bằng 2a . 2a 3 A C 2a 3 2a 3 G M B Câu 11: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a , CD 2x . Tính AB theo a và x ? A. AB 2 a2 x2 . B. AB a2 x2 . C. AB 2 a2 x2 . D. AB a2 x2 . Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của CD . Vì tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B nên AH  CD , BH  CD .
41. Ta có ACD  BCD  ACD  BCD CD AH  BCD AH  BH . ACD  AH  CD  ACD BCD c.c.c AH BH BC 2 CH 2 a2 x2 . Tam giác AHB vuông tại H nên AB AH 2 BH 2 2 a2 x2 . Chọn C. Câu 12: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a , CD 2x . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính IJ theo a và x ? 2 2 2 2 a2 x2 2 a x 2 a x a2 x2 A. IJ . B. IJ . C. IJ . D. IJ . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: CD  AJ Ta có: ACD  BCD AJ  BCD AJ  BJ . Vậy ACD  BCD CD tam giác ABJ vuông tại J Ta có: AJ BJ a2 x2 . Do đó tam giác ABJ vuông cân tại J . Suy ra 2 2 AJ 2 2 a x IJ 2 2 Chọn C. Câu 13: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính độ dài đường cao SH . a a 3 a 2 a 3 A. SH . B. SH . C. SH . D. SH . 2 2 3 3 Hướng dẫn giải:. S Chọn A. Ta có: SBC  ABC BC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC . Dễ chứng minh được SM  BC và AM  BC . · · SBC , ABC SM , AM SMA SMH 60 . a B A a a 3 a Ta dễ tính được: AM . Vì H là chân đường cao của hình chóp 60° H 2 M N đều S.ABC nên H trùng với trọng tâm của tam giác ABC 1 1 a 3 a 3 C MH AM . . 3 3 2 6
42. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H ta có : SH a 3 a 3 3a a tan S·MH SH MH.tan S·MH .tan 60 . 3 . MH 6 6 6 2 Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AA a , BC 2a , CA a 5 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đáy ABC là tam giác vuông. B. Hai mặt AA B B và BB C vuông góc nhau. C. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BC có số đo bằng 45. D. AC 2a 2 . Hướng dẫn giải:. A' C' Chọn D. + Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra D là đáp án sai. a 2a Từ giả thiết dễ dàng suy ra CC AA a . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ACC vuông tại C ta có: B' a AC 2 AC 2 CC 2 5a2 a2 6a2 AC a 6 đáp án D sai. + Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A , B , C đều đúng A a 5 suy ra đáp án D sai. C 2a a B Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc a 6 µA 600 , cạnh SC và SC vuông góc với mặt phẳng ABCD . Trong tam giác SCA kẻ 2 IK  SA tại K . Tính độ dài IK được a a 3 a a 2 A. B. C. D. 2 3 3 2 Hướng dẫn giải: IK AI Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS S SC SA SC.AI IK SA a 6 K a 3 BCD và ABD đều cạnh a IA IC 2 2 B A AC a 3 60o I SAC vuông tại C SA SC 2 AC 2 = D 2 C a 6 2 3a 2 a 3 = 2 2 a Vậy IK 2 Chọn A
43. Câu 16: Cho tam giác ABC và mặt phẳng P . Biết góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng ABC là . Hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng P là tam giác A B C . Tìm hệ thức liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác A B C . A. S A'B'C ' S ABC .cot . B. S A'B'C ' S ABC .sin . C. S A'B'C ' S ABC .tan . D. S A'B'C ' S ABC .cos . Hướng dẫn giải: Qua B kẻ mặt phẳng Q // P cắt AA ;CC lần lượt tại A ;C 1 1 A khi đó S S A B C A1BC1 Góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng ABC bằng góc giữa mặt phẳng ABC và BA1C1 và bằng Kẻ AH  BF A1H  BF B C 1 A1 S A H.BF A1BC1 2 1 D B' A' 1 C1 AH.cos .BF H 2 C' SABC .cos F Vậy S A'B'C ' S ABC .cos . E
44. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG. Phương pháp: Cho mặt phẳng và đường thẳng a không vuông góc với .Xác định mặt phẳng  chứa a và vuông góc với β a A b d H α . Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau: • Chọn một điểm A a • Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với . Khi đó mp a,b chính là mặt phẳng  . Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD) . Gọi (a) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD) , (a) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? A. hình bình hành. B. hình thang vuông. C. hình thang không vuông. D. hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Dựng AH ^ CD CD ^ SA ïü Ta có ý Þ CD ^ (SAD) . S CD ^ ADþï Suy ra CD ^ AH K mà AH Ì (SCD) suy ra AH Ì (a) H Do đó (a) º (AHB) Vì (a) //CD nên (a) Ç(SAD) = HK //CD(K Î SC) . A B Từ đó thiết diện là hình thang ABKH . Mặt khác AB ^ (SAD) nên AB ^ AH D C Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H . Chọn đáp án B. a a 1 a Ta có AC a 2,OC , SO SC 2 OC 2 , mà SO  OC OM SC . Chon A 2 2 2 2 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB a, AD 2a. SA vuông góc với đáy và SA a . Gọi P là mặt phẳng qua SO và vuông góc với SAD . Diện tích thiết diện của P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 3 2 a2 A. a2 . B. a2 . C. . D. a2 . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc AD ( M , N thuộc AD, BC ) ta có MN  SAD nên SMN là thiết diện cần tìm.
45. SM.MN 2 SMN vuông tại M nên S a2 . SMN 2 2 Chọn B. Câu 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến . Lấy A , B cùng thuộc và lấy C trên (P) , D trên (Q) sao cho AC  AB , BD  AB và AB AC BD a . Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với CD là? a2 2 a2 2 a2 3 a2 3 A. B. C. D. 12 8 12 8 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: (P)  (Q) D (P)  (Q) BD  (P) BD  (Q), BD  AH  BC Gọi H là trung điểm BC , ta có AH  CD AH  BD K Trong mặt phẳng (BCD) , kẻ HI  CD thì ta có CD  (AHI) Khi đó mặt phẳng ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam B I A giác AHI Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên BC a 2 . H Trong tam giác vuông BCD , kẻ đường cao BK thì a 2 a C BK và HI 3 6 a2 3 Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích S 12 Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , với AB c , AC b , cạnh bên AA’ h . Mặt phẳng P đi qua A’ và vuông góc với B’C .Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng P có hình: A. h.1 và h.2. B. h.2 và h.3 . C. h.2 . D. h.1. Hướng dẫn giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A' và vuông góc với BC . Từ A' ta dựng A' K '  B 'C ', Vì (ABC)  (BCC ' B ') nên A' K '  B 'C ' A' K '  (BCC ' B ') A' K '  BC ' (1) .
46. Mặt khác trong mặt phẳng (BCC ' B ') dựng K ' x  B 'C và cắt B ' B tại 1 điểm N (2) (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm N ). BC '  A' K ' Từ (1) và (2) ta có : BC '  (A' K ' N) BC '  K ' N Chọn đáp án A Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC ' . Thiết diện là hình gì? A. Hình vuông. B. Lục giác đều. C. Ngũ giác đều. D. Tam giác đều. Hướng dẫn giải: Ta có AC là hình chiếu của AC ' lên (ABCD) . A B mà AC ^ BD nên AC ' ^ BD, (1) K AD ^ (AA' B ' B)ïü H C Ta có ý Þ A' B ^ AD D A' B Ì (AA' B ' B þï Q Lại có A' B ^ AB ' suy ra I A' B ^ (AB 'C ' D)ïü ý Þ AC ' ^ A' B, (2) M AC ' Ì (AB 'C ' D) þï Từ (1) và (2) suy ra AC ' ^ (A' BD), (3) A' B' P Mặt phẳng trung trực AC ' là mặt phẳng (a) đi qua N O trung điểm I của AC ' và (a) ^ AC ', (4) D' C' ïì mp(a) qua I Từ (3) và (4) suy ra í îï (a)//(A' BD) Do đó Qua I dựng MQ//BD Dựng MN //A'D NP//B ' D '//BD QK //B'C//A'D KH //BD a 2 Mà MN = NP = PQ = QK = KM = 2 Suy ra thiết diện là lục giác đều. Chọn đáp án B. Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC . Diện tích thiết diện là a2 3 a2 3 3a2 3 A. S . B. S a2. C. S . D. S . 2 4 4 Hướng dẫn giải: D Q C Ta có mặt phẳng trung trực của AC cắt hình lập phương ABCD.A B C D theo thiết diện là lục giác đều MNPQRDS cạnh P 1 a 2 A B C R B 2 2 1 a 2 a 2 3 3 3 Khi đó S 6. . a2 2 2 2 2 4 N D' C' S A' M B'