Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Hai đường thẳng vuông góc (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Hai đường thẳng vuông góc (Có đáp án)

1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a 0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d. 2. Góc giữa hai đường thẳng: • a //a, b //b a¶,b a· ',b' • Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u,v) . neáu 00 1800 Khi đó: a¶,b 0 0 0 180 neáu 90 180 • Nếu a//b hoặc a  b thì a¶,b 00 Chú ý: 00 a¶,b 900 3. Hai đường thẳng vuông góc: • a  b a¶,b 900 • Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a  b u.v 0 . • Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b , c . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a //b . B. Nếu a //b và c  a thì c  b . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a //b . D. Nếu a và b cùng nằm trong mp // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . Hướng dẫn giải: Chọn B. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. C sai do: Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b . Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90 , nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song. D sai do: giả sử a vuông góc với c , b song song với c , khi đó góc giữa a và c bằng 90 , còn góc giữa b và c bằng 0 . Do đó B đúng. Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ). B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn. B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn. C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn. D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn.
2. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 4: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là? A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A. Theo lý thuyết. Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng a, b . Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi d1 , d2 , d3 là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử d1 , d2 cắt nhau tại A , vì d3 không nằm cùng mặt phẳng với d1 , d2 mà d3 cắt d1 , d2 nên d3 phải đi qua A . Thật vậy giả sử d3 không đi qua A thì nó phải cắt d1 , d2 tại hai điểm B , C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt. Câu 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c . C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b thì a, b , c không đồng phẳng. D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông góc với c . Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
3. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 10: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng(a,b). B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c . C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c . D. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c . Hướng dẫn giải: Chọn D. Theo định lý-sgk
4. DẠNG 1: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng). d1 d'1 O d'2 d2 ' ' Từ O dựng các đường thẳng d1 ,d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai ' ' đường thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 . Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác b2 c2 a2 cos A . 2bc   Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u ,u của hai đường thẳng d ,d 1 2 1 2  u1.u2 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 xác định bởi cos d1 ,d2   . u1 u2     Lưu ý 2: Để tính u1u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài   và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1 ,u2 qua các vec tơ a,b,c rồi thực hiện các tính toán a 3 Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , IJ ( I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD 2 ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Hướng dẫn giải: Chọn C. A Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC . Ta có: J 1 1 a MI NI AB CD M 2 2 2 MINJ là hình thoi. O B D MI // AB // CD // NI N Gọi O là giao điểm của MN và IJ . I Ta có: M· IN 2M· IO . C a 3 IO 3 Xét MIO vuông tại O , ta có: cos M· IO 4 M· IO 30 M· IN 60 . MI a 2 2
5. Mà: AB,CD IM , IN M· IN 60. Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? A. B· DB .B. ·AB C . C. D· B B . D. D· A C . A' Hướng dẫn giải: D' Chọn D. B' C' Ta có: AC // A C (tính chất của hình hộp) · A AC, A D A C , A D DA C (do giả thiết D cho DA C nhọn). B C Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Hướng dẫn giải: Chọn D. A Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AH  BCD . Gọi E là trung điểm CD BE  CD (do BCD đều). Do AH  BCD AH  CD . B D CD  BE · H Ta có: CD  ABE CD  AB AB,CD 90. E CD  AH C Câu 17. [1H3-2] Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng 3 2 3 1 A. .B. .C. .D. . 6 2 2 2 Hướng dẫn giải: A Chọn A. Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AH  BCD . E B D Gọi E là trung điểm AC ME // AB AB, DM ME,MD H   M Ta có: cos AB, DM cos ME,MD cos ME,MD cos E· MD . C Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của MED : a 3 ME a , ED MD . 2 2 2 2 a a 3 a 3 ME 2 MD2 ED2 2 2 2 3 Xét MED , ta có: cos E· MD . 2ME.MD a a 3 6 2. . 2 2 3 3 Từ đó: cos AB, DM . 6 6 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN,SC bằng A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 .
6. Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn S ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). N Từ (1) và (2) SO  ABCD . A Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình B của SAD ). MN,SC SA,SC . M O D SA2 SC 2 a2 a2 2a2 C Xét SAC , ta có: SAC vuông tại S SA  SC . 2 2 AC 2AD 2a SA,SC MN,SC 90 . Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ,CD bằng A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Hướng dẫn giải: Chọn C. S Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). I A Từ (1) và (2) SO  ABCD . B Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của O J D SAB ). IJ,CD SB, AB . C Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó S· BA 60 SB, AB 60 IJ,CD 60 . Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD , AD . Góc giữa IE, JF bằng A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Hướng dẫn giải: Chọn D. A IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có: (tính chất đường trung bình trong JE // IF // CD F tam giác) I Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành. B 1 1 E D Mặt khác: AB CD IJ AB JE CD ABCD là hình thoi 2 2 J IE  JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi) C IE, JF 90 .   Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ? A. 45 B. 90 C. 120 D. 60 Hướng dẫn giải: Chọn B. AB  AE  ·  AB  DH AB, DH 90 AE // DH 
7. Câu 8: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC ' D ' có chung cạnh AB và nằm trong   hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB vàOO '? A. 60 B. 45 C. 120 D. 90 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì ABCD và ABC ' D ' là hình vuông nên AD // BC '; AD BC ' ADBC ' là hình bình hành Mà O; O ' là tâm của 2 hình vuông nên O; O ' là trung điểm của BD và AC ' OO ' là đường trung bình của ADBC ' OO '// AD Mặt khác, AD  AB nên OO '  AB  ·OO ', AB 90o Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và B· AC B· AD 600 , C· AD 900 . Gọi I và J lần   lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ? A. 45 B. 90 C. 60 D. 120 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI DI (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB ) nên CID là tam giác cân ở I . Do đó IJ  CD. Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ SB và AC ? A. 60 . B. 120 . C. 45 . D. 90 . Hướng dẫn giải: Chọn D. S Ta có: SAB SBC SCA c g c AB BC CA. Do đótam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Vì hình chóp S.ABC có SA SB SC nên hình chiếu của S trùng với G Hay SG  ABC . A C AC  BG Ta có: AC  SBG G AC  SG Suy ra AC  SB .   B Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 900 . Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và B· AC B· AD 600 ,C· AD 900 . Gọi I và J lần   lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD . A  1   Ta có: IJ IC ID 2 I Vì tam giác ABC có AB AC và B· AC 60 Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI  AB Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI  AB . B D   1    1   1   Xét IJ.AB IC ID .AB IC.AB ID.AB 0 . 2 2 2     J Suy ra IJ  AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 900 . C
8. Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng? A. AB2 AC 2 AD2 BC 2 BD2 CD2 3 GA2 GB2 GC 2 GD2 . B. AB2 AC 2 AD2 BC 2 BD2 CD2 4 GA2 GB2 GC 2 GD2 . C. AB2 AC 2 AD2 BC 2 BD2 CD2 6 GA2 GB2 GC 2 GD2 . D. AB2 AC 2 AD2 BC 2 BD2 CD2 2 GA2 GB2 GC 2 GD2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. AB2 AC 2 AD2 BC 2 BD2 CD2   2   2   2   2   2   2 AG GB AG GC AG GD BG GC BG GD CG GD             3AG2 3BG2 3CG2 3DG2 2 AG.GB AG.GC AG.GD BG.GD BG.GD CG.GD 1 Lại có:     A GA GB GC GD 0 2 2 2 2 GA GB GC GD I             2 AG.GB AG.GC AG.GD BG.GD BG.GD CG.GD 2 G Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. B D J C Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là? C A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn C. A D Gọi I là trung điểm của AB Vì ABC và ABD là các tam giác đều I CI  AB Nên . B DI  AB Suy ra AB  CID AB  CD . Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ, CD bằng: A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 . Hướng dẫn giải: S Chọn D. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có: OJ //CD . Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ . I Xét tam giác IOJ có D 1 a 1 a 1 a A K IJ SB ,OJ CD , IO SA . 2 2 2 2 2 2 B O J C
9. Nên tam giác IOJ đều. Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ bằng góc I·JO 600 . Câu 15: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? A. ·AB C . B. D· A C . C. B· B D . D. B· DB . Hướng dẫn giải: Chọn B. A' Ta có: AC//A C nên góc giữa hai đường thẳng AC và A D D' là góc giữa hai đường thẳng A C và A D bằng góc nhọn D· A C (Vì tam giác A DC đều có 3 góc nhọn B' C' A D B C Câu 16: Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 . Hướng dẫn giải: Chọn C. A Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì tứ diện ABCD đều nên AG  BCD . CD  AG Ta có: CD  ABG CD  AB . CD  BG B D Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 900 G C Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện của tứ diện. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Thiết diện là hình chữ nhật. B. Thiết diện là hình vuông. C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn A. A Gỉa sử thiết diện là tứ giác MNPQ . Ta có: MN //PQ và MN PQ nên MNPQ là hình bình hành Lại có AC  BD MQ  PQ M Q Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. B D N P C
10.       Câu 18: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB.AC .AC.AD AD.AB thì AB  CD , AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:          Bước 1: AB.AC .AC.AD AC.(AB AD) 0 AC.DB 0 AC  BD     Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD AD.AB ta được AD  BC và     AB.AC AD.AB ta được AB  CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Sai ở bước 3. B. Đúng C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Bài giải đúng. Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ SC và AB ? A. 120 B. 45 C. 60 D. 90 Hướng dẫn giải: Chọn D. S          Ta có: SC.AB SC. SB SA SC.SB SC.SA SA.SB cos B· SC SC.SA.cos ·ASC 0 Vì SA SB SC và B· SC ·ASC   A C Do đó: SC, AB 900 B Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng: A. 45 B. 30 C. 90 D. 60 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: AC a 2 AC 2 2a2 SA2 SC 2 SAC vuông tại S . S   1     Khi đó: NM.SC SA.SC 0 NM , SC 90 2 MN, SC 90 N C B A M D Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Chọn khẳng định sai? A. Góc giữa AC và B1D1 bằng 90 . B. Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 60 . C. Góc giữa AD và B1C bằng 45 . D. Góc giữa BD và A1C1 bằng 90 .
11. Hướng dẫn giải: A Chọn B. 1 D        1 Ta có: AA .B D BB .BD BB . BA BC B 1 1 1 1 1 1 C     1 BB .BA BB .BC 0  1  1   (vì BB , BA 900 và BB , BC 900 ) 1 1 A D   0 0 B Do đó: AA1, B1D1 90 AA1, B1D1 90 C Câu 22: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD . Giá trị   1 1 1 1 B1M.BD1 là: 1 3 3 A. a2 . B. a2 . C. a2 . D. a2 . 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.         Ta có: B1M.BD1 B1B BA AM BA AD DD1    2   A1 B B1B.DD1 BA AM.AD 1 2 D 2 2 a 1 C a a 1 2 a2 A 2 M B D C Câu 23: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A C  BD B. BB  BD C. A B  DC D. BC  A D Hướng dẫn giải: Chọn B.          Ta có: BB .BD BB . BA BC BB .BA BB .BC BB .BA cosB· BA cosB· BC Vì AA B B và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên   + B· BA B· BC BB .BD 0 suy ra BB không vuông góc với BD   + B· BA B· BC 1800 cosB· BA cosB· BC BB .BD 0 suy ra BB  BD Nên đáp án B có thể sai vì chưa có điều kiện của góc B· BA và B· BC Chọn B.   Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 90 B. 60 C. 45 D. 120 Hướng dẫn giải: E Chọn C. H Ta có: EG//AC (do ACGE là hình chữ nhật)     F G AB, EG AB, AC B· AC 45 A D B C
12. Câu 25: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm CD , là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 A. cos B. cos C. cos D. 600 4 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. A Gọi O là trọng tâm của BCD AO  BCD Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra: ·AC, BM ·AC,CN ·ACN B D 3 a d Có: CN BM a và BN CN O 2 2 N M 2 2 2 2 2 2 2 2 C AO AB BO AB BM a 3 3 7 5 AC 2 CN 2 AN 2 3 ON 2 BN 2 BO2 a2 ; AN AO2 ON 2 a cos 12 2 2AC.CN 6 Câu 26: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC ' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC ' và C' A.   Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CC ' ? A. 450 B. 1200 C. 600 D. 900 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi I là trung điểm CC CAC cân tại A CC  AI (1) CBC cân tại B CC  BI (2)   (1),(2) CC  AIB CC  AB CC AB C I C'   Kết luận: góc giữa CC và AB là 90 M Q A N P B Câu 27: Cho a 3, b 5 góc giữa a và b bằng 120. Chọn khẳng định sai trong các khẳng đính sau? A. a b 19 B. a b 7 C. a 2b 139 D. a 2b 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 2 2 Ta có: a b a 2 b 2 2a.b.cos a,b 19 a b a b 2a.b.cos a,b 19   Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ? A. 900 B. 600 C. 450 D. 1200 Hướng dẫn giải: Chọn B.
13. Đặt cạnh của hình lập phương trên là a H G Gọi I là giao trung điểm EG Qua A kẻ đường thẳng d //FI I Qua I kẻ đường thẳng d //FA Suy ra d cắt d tại J . E F   Từ đó suy ra E·G,AF E· IJ D C d IJ AF 2EI 2FI 2AJ a 2 3 J EJ 2 AE 2 AJ 2 d' 2 A B EI 2 IJ 2 AJ 2 1 cos 60 2.EI.EJ 2 Câu 29: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và B· AC B· AD 600 . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ AB và CD ? A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 900 . Hướng dẫn giải: A Ta có          AB.CD AB. AD AC AB.AD AB.AC AB.AD.cos600 AB.AC.cos600 0   B D AB,CD 900 C Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Góc giữa AC và DA1 là A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 1200 . Hướng dẫn giải: · B C Vì A'C '//AC nên góc giữa AC và DA1 là DA1C1 . · 0 A D Vì tam giác DA1C1 đều nên DA1C1 60 . 0 Vậy góc giữa AC và DA1 bằng 60 . C1 B1 A1 D1 Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ·ASB B· SC C· SA .   Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SA và BC ? A. 1200 . B. 900 . C. 600 . D. 450 . Hướng dẫn giải: Ta có          S SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB SA.SC.cos ·ASC SA.SB.cos ·ASB 0   C SA, BC 900 A B Câu 32: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng
14. 2 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh của tứ diện là a. A       AB.DM AB.DM Ta có cos AB, DM   AB . DM a 3 a. 2 B D Mặt khác M          AB.DM AB AM AD AB.AM AB.AD AB.AM.cos300 AB.AD.cos600 C a 3 3 1 3a2 a2 a2 a. . a.a. . 2 2 2 4 2 4   3 3 Do có cos AB, DM . Suy ra cos AB, DM . 6 6 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB CD 6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC x.BC 0 x 1 . mp P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M , N, P,Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ? A. 9 . B. 11. C. 10. D. 8 . Hướng dẫn giải: MQ//NP//AB Xét tứ giác MNPQ có MN //PQ//CD MNPQ là hình bình hành. Mặt khác, AB  CD MQ  MN . A Do đó, MNPQ là hình chữ nhật. MQ CM Vì MQ//AB nên x MQ x.AB 6x . P AB CB Q Theo giả thiết MC x.BC BM 1 x BC . B D MN BM N Vì MN //CD nên 1 x MN 1 x .CD 6 1 x CD BC M . Diên tích hình chữ nhật MNPQ là C 2 x 1 x SMNPQ MN.MQ 6 1 x .6x 36.x. 1 x 36 9 . 2 1 Ta có S 9 khi x 1 x x MNPQ 2 Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC . Câu 34: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ? A. 00 . B. 300 . C. 900 . D. 600 . Hướng dẫn giải:      A Ta có AO.CD CO CA CD     CO.CD CA.CD CO.CD.cos300 CA.CD.cos600 a 3 3 1 a2 a2 .a. a.a. 0. B D 3 2 2 2 2 O C
15. Suy ra AO  CD . Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD . Góc IE, JF bằng A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Hướng dẫn giải: Tứ giác IJEF là hình bình hành. 1 A IJ AB 2 Mặt khác mà AB CD nên IJ JE . 1 F JE CD 2 I Do đó IJEF là hình thoi. B D E Suy ra IE, JF 900 . J C 3 Câu 36: Cho tứ diện ABCD với AC AD,C· AB D· AB 600 ,CD AD . Gọi là góc giữa AB và 2 CD . Chọn khẳng định đúng ? 3 1 A. cos . B. 600 . C. 300 . D. cos . 4 4 Hướng dẫn giải:       AB.CD AB.CD Ta có cos AB,CD   A AB . CD AB.CD Mặt khác          AB.CD AB AD AC AB.AD AB.AC B D AB.AD.cos600 AB.AC.cos600 1 3 1 1 1 C AB.AD. AB. AD. AB.AD AB.CD. 2 2 2 4 4 1 AB.CD   1 1 Do có cos AB,CD 4 . Suy ra cos . AB.CD 4 4 Câu 37: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC ' D ' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Tứ giác CDD 'C ' là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình thang. D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Tứ giác CDD 'C ' là hình bình hành. Lại có: DC  ADD ' DC  DD '. Vậy tứ giác CDD 'C ' là hình chữ nhật. a 3 Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB CD a, IJ= ( I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). 2 Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. 300. B. 450. C. 600. D. 900. Hướng dẫn giải:
16. Gọi M là trung điểm của AC. A Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ. 2 2 2 IM MJ IJ 1 J Tính được: cosIMJ 2MI.MJ 2 M Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 600. B D I Câu 38: Cho tứ diện ABCD với AB  AC, AB  BD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Góc giữa PQ và AB là? A. 900. B. 600. C. 300. D. 450. Hướng  dẫn giải: AB.PQ AB  PQ Câu 39: Cho hai vectơ a,b thỏa mãn: a 4; b 3; a b 4 . Gọi là góc giữa hai vectơ a,b . Chọn khẳng định đúng? 3 1 A. cos . B. 300 . C. cos . D. 600 . 8 3 Hướng dẫn giải: 2 2 9 (a b)2 a b 2a.b a.b . 2 a.b 3 Do đó: cos . a . b 8       Câu 40: Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD AC.DB AD.BC k A. k 1. B. k 2. C. k 0. D. k 4. Hướng dẫn giải:              AB.CD AC.DB AD.BC AC CB .CD AC.DB AD.CB           AC CD DB CB CD AD AC.CB CB.AC 0. Chọn đáp án C. Câu 41: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng? A. AB2 AC 2 BC 2 2 GA2 GB2 GC 2 . B. AB2 AC 2 BC 2 GA2 GB2 GC 2 . C. AB2 AC 2 BC 2 4 GA2 GB2 GC 2 . D. AB2 AC 2 BC 2 3 GA2 GB2 GC 2 . Hướng dẫn giải: Cách 1 Ta có    2 GA GB GC 0       GA2 GB2 GC 2 2GA.GB 2GA.GC 2GB.GC 0 GA2 GB2 GC 2 GA2 GB2 AB2 GA2 GC 2 AC 2 GB2 GC 2 BC 2 0 AB2 AC 2 BC 2 3 GA2 GB2 GC 2
17. Cách 2: Ta có: ì 2 2 2 ï 2 AB + AC BC ï MA = - æ 2 2 2 ö ï 2 4 2 4 AB + AC BC íï Þ GA = ç - ÷. ï 2 9 èç 2 4 ø÷ ï GA = MA îï 3 Tương tự ta suy ra được æ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ö 2 2 2 4çAB + AC BC BA + BC AC CA + CB AB ÷ GA + GB + GC = ç - + - + - ÷. 9 èç 2 4 2 4 2 4 ø÷ 1 = (AB2 + BC 2 + CA2 ). 3 Û 3 GA2 + GB2 + GC 2 = AB2 + BC 2 + CA2 ( ) Chọn đáp án D. Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó ïì AB2 + BC 2 + CA2 = 3 íï Þ 3(GA2 + GB2 + GC 2 )= AB2 + BC 2 + CA2. ï 2 2 2 îï GA + GB + GC = 1 Chọn đáp án D. Câu 42: Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M là trọng tâm tam giác ABC . B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. M là trực tâm tam giác ABC . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Hướng dẫn giải: uur uuur uuur r Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Þ G cố định và GA+ GB + GC = 0. uuur uur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2 P = (MG + GA) + (MG + GB) + (MG + GC) uuur uur uuur uuur = 3MG2 + 2MG.(GA+ GB + GC)+ GA2 + GB2 + GC 2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC 2 ³ GA2 + GB2 + GC 2. Dấu bằng xảy ra Û M º G. 2 2 2 Vậy Pmin = GA + GB + GC với M º G là trọng tâm tam giác ABC. Chọn đáp án A. Câu 43: Cho hai vectơ a,b thỏa mãn: a 26; b 28; a b 48 . Độ dài vectơ a b bằng? A. 25. B. 616 . C. 9. D. 618 . Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b 2a.b 2 a b a b 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 26 28 48 616 a b 616. Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC và B· DA 600 , ·ADC 900 , B· DC 1200 . Trong các mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất.
18. C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn giải: Đặt DA DB DC a a2 3 Tam giác ABD đều cạnh a nên diện tích S . ABD 4 1 a2 Tam giác ACD vuôn tại D nên diện tích S DA.DC . ACD 2 2 1 a2 3 Diện tích tam giác BCD là S DB.DC sin1200 . BCD 2 4 Tam giác ABC có AB a, AC a 2, BC a 3 nên tam giác ABC 1 a2 2 vuông tại A . Diện tích tam giác ABC là S AB.AC . ABC 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất.  Câu 45: Cho hai vectơ a,b thỏa mãn: a 4; b 3;a.b 10. Xét hai vectơ y a b x a 2b, . Gọi  α là góc giữa hai vectơ x, y . Chọn khẳng định đúng. 2 1 3 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải:  2 2 Ta có x.y a 2b a b a 2 b 3a.b 4 . 2 2 2 2 x x a 2b a 4 b 4a.b 2 3 .   2 2 2 2 y y a b a b 2a.b 5 .  x.y 4 2 cos  x . y 2 3. 5 15 Câu 46: Cho tam giác ABC có diện tích S . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: 1  2  2   2 S AB .AC 2k AB.AC . 2 1 1 A. k . B. k = 0. C. k . D. k 1. 4 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 S AB.AC.sin C AB2.AC 2 sin2 C AB2.AC 2 1 cos2 C 2 2 2 1  2  2   2 AB .AC AB.AC . 2 Chọn C. Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều a) Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. AB và CD chéo nhau B. AB và CD vuông góc với nhau C. AB và CD đồng phẳng D. AB và CD cắt nhau b) Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, BD, DA . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
19. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật. A. MNPQ là hình vuông B. MNPQ là hình bình hành C. MNPQ là hình chữ nhật D. MNPQ là hình thoi Hướng dẫn giải: a) Đặt AB AD AC a      Ta có CD.AB AD AC AB     1 1 AB AD cos600 AB AC cos600 a.a. a.a. 0 C 2 2 Vậy AB  CD . AB a b) Ta có MN PPQ P AB và MN PQ nên tứ giác N 2 2 M MNPQ là hình bình hành. P MN P AB B Lại có NP PCD MN  NP , do đó MNPQ là hình chữ nhật. D Q AB  CD A Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a và BC a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. ·AB, SC 600 B. ·AB, SC 450 C. ·AB, SC 300 D. ·AB, SC 900 Hướng dẫn giải: Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC , khi đó S MN P AB nên ·AB, SC ·MN, SC . Đặt N· MP , trong tam giác MNP có M N MN 2 MP2 NP2 φ cos 1 . 2MN.MP a Ta có MN MP , AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại A , 2 A 2 2 B 2 2 2 5a 2 3a vì vậy PB AP AC , PS .Trong tam giác PBS P 4 4 theo công thứ tính đường trung tuyến ta có C 5a2 3a2 2 2 2 2 2 PB PS SB a 3a PN 2 4 4 . 2 4 2 4 4 1 Thay MN, MP, NP vào 1 ta được cos 1200 . 2 Vậy ·AB, SC ·MN, SC 600 . Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA AB và SA  BC . a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . A. ·BC, SD 300 B. ·BC, SD 450 C. ·BC, SD 600 D. ·BC, SD 500 b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ PBD . Chứng minh góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J .
20. A. ·IJ, AC 900 B. ·IJ, AC 600 C. ·IJ, AC 300 D. ·IJ, AC 450 Hướng dẫn giải: a) ·BC, SD 450 b) ·IJ, AC 900 . Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. AD  BC B. AD cắt BC C. AD và BC chéo nhau D. Cả A, B, C đều đúng     b) Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MA kMB, ND k NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . A. ·MN, BC 900 B. ·MN, BC 800 C. ·MN, BC 600 D. ·MN, BC 450 Hướng dẫn giải: a) Gọi P là trung điểm của BC , thì các tam giác A AP  BC ABC và DBC cân nên . DP  BC      Ta có BC.AD BC PD PA 0 Vậy BC  AD .   MA   ND M b) Ta có MA kMB k , ND k NB k MB NB MA ND N B MB NB D · · 0 suy ra MN P AD MN, BC AD, BC 90 ( Theo câu a) P C Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD.A' B 'C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng a và ·ABC B· ' BA B· ' BC 600 .Tính góc giữa hai đường thẳng AC và B’D’. A. ·AC, B 'D' 900 B. ·AC, B 'D' 600 C. ·AC, B 'D' 450 D. ·AC, B 'D' 300 Hướng dẫn giải: HS tự giải. Câu 52: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết AB CD 2a và MN a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. ·AB,CD 300 B. ·AB,CD 450 C. ·AB,CD 600 D. ·AB,CD 900 Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm của AC , ta có OM ON a . OM P AB · · AB,CD OM ,ON ON PCD Áp dụng định lí côsin cho tam giác OMN ta có
21. 2 2 2 OM 2 ON 2 MN 2 a a a 3 1 A cos M· ON . 2OM.ON 2.a.a 2 Vậy ·AB,CD 600 . N O B D M C Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c . a)Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. A. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó B. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì không vuông góc với hai cạnh đó C. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì có thể vuông góc có thể không vuông góc với hai cạnh đó D. cả A, B, C đều sai b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD . 2 2 A a c A. ·AC, BD arccos b2 2 2 · 2 a c M B. AC, BD arccos P b2 2 a2 c2 C. ·AC, BD arccos 3b2 B D 2 2 2 a c N D. ·AC, BD arccos b2 C Hướng dẫn giải: Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD, AD . a) Do hai tam giác ACD và BCD có CD chung và AC BD, AD BC nên chúng bằng nhau, suy ra MC MD Vậy tam giác MCD cân tại M và có trung tuyến MN nên MN  CD . Tương tự MN  AB . Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối còn lại. PM PBD · · b) Ta có BD, AC PM , PN PN P AC Theo công thức tính đường trung tuyến ta có 2 2 2 CA2 CB2 AB2 2 b c a CM 2 2 4 4
22. 2 b2 c2 a2 Tương tự DM 2 , nên 4 2 2 2 MC 2 MD2 CD2 2 b c a a2 b2 c2 a2 MN 2 2 4 4 4 2 Áp dụng định lí cô sin cho tam giác PMN ta có 2 2 b b b2 c2 a2 2 2 2 2 2 PM PN MN 2 2 2 2 a c cos M· PN 2.PM.PN b b b2 2 2 2 2 a2 c2 Vậy ·AC, BD arccos . b2
23. DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: Để chứng minh d  d ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau: 1 2     • Chứng minh d1  d2 ta chứng minh u1u2 0 trong đó u1 ,u2 lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d1 và d2 . b Pc • Sử dụng tính chất a  b . a  c • Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d1 ,d2 và tính trực tiếp góc đó. • Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác • Tính tích vô hướng Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A C  BD . B. BB  BD .C. A B  DC .D. BC  A D . Hướng dẫn giải: Chọn B. A' D' Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi. A đúng vì: B' C' A C  B D A C  BD . B D // BD A B sai vì: D A B  AB C đúng vì: A B  DC . AB // DC B BC  B C C D đúng vì: BC  A D . B C // A D       Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB.AC AC.AD AD.AB thì AB  CD , AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:        Bước 1: AB.AC AC.AD AC. AB AD 0 AC.DB 0 AC  BD . Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD AD.AB ta được AD  BC và AB.AC AD.AB ta được AB  CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Đúng.B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 1.D. Sai ở bước 3. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M , N, P, Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải là hình thang. Hướng dẫn giải:
24. Chọn C. MNPQ //AB A Ta có: MQ//AB. MNPQ  ABC MQ Tương tự ta có: MN //CD, NP//AB, QP//CD . P Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành Q lại có MN  MQ do AB  CD . B D Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. N M C Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N, P,Q, R lần lượt là trung điểm của AB,CD, AD, BC và AC . a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. MN  RP, MN  RQ B. MN  RP, MN cắt RQ C. MN chéo RP; MN chéo RQ D. Cả A, B, C đều sai b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD? A. ·AB,CD 600 B. ·AB,CD 300 C. ·AB,CD 450 D. ·AB,CD 900 Hướng dẫn giải: a 3 a) Ta có MC MD nên tam giác MCD cân tại M , do đó MN  CD . 2 Lại có RP PCD MN  RQ . b) Tương tự ta có QP  AD Trong tam giác vuông PDQ ta có A 2 2 2 2 2 2 a 3 a a QP QD DP Ta có : 2 2 2 M P 2 2 R 2 2 a a 2 2 RQ RP a QP 2 2 Do đó tam giác RPQ vuông tại R , hay RP  RQ . B D AB PRQ Q N Vì vậy CD PRP AB  CD . C RP  RQ Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC và C A. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì M , N, P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành. C' Gọi H là trung điểm của AB . CH  AB Q Vì hai tam giác ABC và ABC nên C H  AB A P M C H N B
25. Suy ra AB  CHC . Do đó AB  CC . PQ//AB Ta có: PN //CC PQ  PN . AB  CC Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB a, AD 2a . Tam giác SAB vuông can tại A , M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng đi qua M và song sog với SAB cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P,Q . a) MNPQ là hình gi?. A. MNPQ là hình thang vuông. B. MNPQ là hình vuông. C. MNPQ là hình chữ nhật. D. MNPQ là hình bình hành. b)Tính diện tích của MNPQ theo a. 3a2 a2 3a2 a2 A. S B. S C. S D. S MNPQ 8 MNPQ 8 MNPQ 4 MNPQ 4 Hướng dẫn giải: P SAB a) Ta có SAB  ABCD AB MN P AB .  ABCD MN P SAB Tương tự SBC  SAB SB NP PSB  SBC NP P SAB S SAD  SAB SA MQ PSA  SAD MQ Q Dễ thấy MN PPQ P AB PCD nên MNPQ là hình bình hành P MN P AB D Lại có MQ PSA MN  MQ . A M AB  SA C Vậy MNPQ là hình thang vuông. B N SA a CD a b) Ta có MN AB a , MQ , PQ . 2 2 2 2 1 1 a a 3a2 Vậy SMNPQ MN PQ .MQ a . 2 2 2 2 8 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a. Trên các cạnh DC và BB ' lấy các điểm M và N sao cho MD NB x 0 x a . Khẳng định nào sau đây là đúng? a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AC '  B ' D ' B. AC’ cắt B’D’ C. AC’và B’D’ đồng phẳng D. Cả A, B, C đều đúng
26. b) khẳng định nào sau đây là đúng ?. B A. AC '  MN A B. AC’ và MN cắt nhau C. AC’ và MN đồng phẳng M D. Cả A, B, C đều đúng D C N Hướng dẫn giải:  Đặt AA' a, AB b, AD c . B'   A' a) Ta có AC ' a b c , B ' D ' c b nên   AC '.B ' D ' a b c c b D' C' 2 2 a c b c b a2 a2 0 AC '  B ' D ' .        x x x x b) MN AN AM AB BN AD DM b a - c b a 1- b - c a a a a   x x x x Từ đó ta có AC '.MN a b c [ b a - c b a 1- b - c] a a a a x 2 x 2 2 x 2 2 a 1 b c x.a 1 a a 0 . a a a Vậy AC '  MN . Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN . a 10 a 6 3a 2 2a 3 A. MN . B. MN .C. MN .D. MN . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD . A EN // AC Ta có: AC, BD NE, NF 90 NE  NF (1). NF // BD M 1 E NE FM AC 2 Mà: (2). C D 1 F NF ME BD N 2 B Từ (1), (2) MENF là hình chữ nhật. 2 2 2 2 2 2 AC BD a 3a a 10 Từ đó ta có: MN NE NF . 2 2 2 2 2 Chọn D Câu 10: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?     A. 2AB.AC AB2 AC 2 BC 2 B. 2AB.AC AB2 AC 2 2BC 2     C. AB.AC AB2 AC 2 2BC 2 D. AB.AC AB2 AC 2 BC 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.   BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos AB, AC AB2 AC 2 2.AB.AC    Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB.EG a2 2 A. a2 3 . B. a2 C. D. a2 2 2
27. Hướng dẫn giải:. Chọn B.       Ta có AB.EG AB.AC , mặt khác AC AB AD .           Suy ra AB.EG AB.AC AB AB AD AB2 AB.AD a2 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB a, BD 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN a 6 a 10 A. MN B. MN C. 3 2 2a 3 3a 2 MN D. MN 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Kẻ NP//AC P AB , nối MP . 1 a NP là đường trung bình ABC PN AC . 2 2 1 3a MP là đường trung bình ABD PM BD .  2 2 Lại có AC, BD PN, PM NPM 90 suy ra MNP vuông tại P . a 10 Vậy MN PN 2 PM 2 . 2 Câu 13: Cho tứ diện ABCD trong đó AB 6, CD 3 , góc giữa AB và CD là 60 và điểm M trên BC sao cho BM 2MC . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt BD , AD , AC lần lượt tại M , N , Q . Diện tích MNPQ bằng: 3 A. 2 2 B. 2 C. 2 3 D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Thiết diện MNPQ là hình bình hành. Ta có AB,CD QM , MP Q· MP 60 . Suy ra SMPNQ QN.QN.sin 60. Lại có CM MO 1 CMQ # CBA MQ 2 AB AB 3 AQ QN 2 AQN # ACD QN 2 AC CD 3 Do đó SMPNQ QM.QN.sin 60 2.2.sin 60 2 3 . Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB 4, CD 6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC 2BM . Mặt phẳng P đi qua M song song với AB và CD . Diện tích thiết diện của P với tứ diện là?
28. 17 16 A. 5 B. 6 C. D. 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có AB,CD MN, MQ N· MQ 90 . Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: CM MN 1 4 CMN : CBA MN CB AB 3 3 AN NP 2 ANP : ACD MP 4 AC CD 3 16 Suy ra S MN.NP . MNPQ 3