›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Có đáp án)

docx 47 trang nhungbui22 12/08/2022 3490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_3_duong_thang_vu.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Có đáp án)

  1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa d  (P) d  a, a  (P) 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a,b  (P),a  b O d  (P) d  a,d  b 3. Tính chất Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. ab a b (P)  b ab (P)  a a  (P),b  (P) (P) (Q) (P) (Q) a  (Q) (P) Q) a  (P) (P)  a,(Q)  a a (P) a  (P) b  a a P) b  (P) a  b,(P)  b 4. Định lí ba đường vuông góc Cho a  (P),b  (P), a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a b  a 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu d  (P) thì d·,(P) = 900. Nếu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' với d là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 00 d·,(P) 900. B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó a ^ (P). Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu b ^ (P) thì b//a . B. Nếu b// (P) thìb ^ a . C. Nếu b//a thìb ^ (P). D. Nếu b ^ a thì b// (P). Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với cho trước? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Vô số. Hướng dẫn giải: Chọn D. Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với , các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với . Câu 3: Mệnh đề nào sau đây có thể sai? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
  2. Hướng dẫn giải: Chọn C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng. Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đường thẳng trong . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì d  . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . D. Nếu d  và đường thẳng a // thì d  a . Hướng dẫn giải: Chọn B. Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì d  chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau. Câu 5: Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB . C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A . D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB . Hướng dẫn giải: Chọn A. Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực. Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng D và điểmO . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với D cho trước? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 7: Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước? A. 1 B. Vô số C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải: Theo tiên đề qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Chọn đáp án A. Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng không nằm trong mp P , đường thẳng được gọi là vuông góc với mp P nếu: A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp P . B. vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mp P C. vuông góc với đường thẳng a nằm trong mp P . D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp P . Hướng dẫn giải: Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng P nếu vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng P .(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Vậy đáp án D đúng. Câu 9: Cho a,b,c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Nếu a  b và b  c thì a / /c. B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng và b / / thì a  b. C. Nếu a / /b và b  c thì c  a.
  3. D. Nếu a  b ,b  c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng a,c . Hướng dẫn giải: a  b Nếu thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai. b  c Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Hướng dẫn giải: Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước. Vậy chọn đáp án D . Câu 11: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Nếu a  P và b  a thì b P P . B. Nếu a P P và a Pb thìb P P . C. Nếu a P P và b  a thì b  P . D. Nếu a P P và b  P thì b  a . Câu 12: Cho hai đường thẳng a,b và mp P . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu a// P và b  a thì b// P . B. Nếu a// P và b  P thì a  b . C. Nếu a// P và b  a thì b  P . D. Nếu a  P và b  a thì b// P . Hướng dẫn giải: Câu A sai vì b có thể vuông góc với a . Câu B đúng bởi a// P a  P sao cho a//a , b  P b  a . Khi đó a  b . Câu C sai vì b có thể nằm trong P . Câu D sai vì b có thể nằm trong P . Vậy chọn B. Câu 13: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng cho trước. C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Câu 14: Tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó và đi qua: A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. B. Trọng tâm tam giác đó. C. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. D. Trực tâm tam giác đó. Câu 15: mệnh đề đúng trong các mặt phẳng sau: A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
  4. Hướng dẫn giải:: Đáp án A sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau. Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau. Chọn đáp án D. Câu 16: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song với nhau. C. Cho hai mp song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt mp này thì cũng vuông góc với mp kia. D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải: Vì qua một đường thẳng dựng được vô số mặt phẳng Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng (P). B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng (P) thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P). C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b. D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Hướng dẫn giải: Giả sử xét hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' như hình vẽ có ïì A' B '/ /(ABCD) íï nhưng B 'C '/ /(ABCD). ï îï B 'C ' ^ A' B ' Chọn đáp án A. Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ SH  ABC , H ABC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . B. H trùng với trực tâm tam giác ABC . C. H trùng với trung điểm của AC . D. H trùng với trung điểm của BC . Hướng dẫn giải: Chọn C. Do SA SB SC nên HA HB HC . Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Mà ABC vuông tại B nên H là trung điểm của AC .
  5. Câu 19: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA SB SC . Tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp ABC . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. SBH  SCH SH . B. SAH  SBH SH . C. AB  SH . D. SAH  SCH SH . Hướng dẫn giải:. S SBH  SCH SBC Chọn A. A C H B Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA SB SC SD . Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD . Khẳng định nào sau đây sai? A. HA HB HC HD . B. Tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. D. Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA SB SC SD và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy ra HA HB HC HD . Nên đáp án B sai. Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC . Các đường thẳng AH, SK, BC thỏa mãn: A. Đồng quy. B. Đôi một song song. C. Đôi một chéo nhau. D. Đáp án khác. S Hướng dẫn giải: Gọi AA là đường cao của tam giác ABC AA'  BC mà BC  SA nên BC  SA' A K C H Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc A' bằng nhau. Hình chiếu H của S trên (ABC). là: B A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. C. Trọng tâm tam giác ABC. D. Giao điểm hai đường thẳng AC và BD. Hướng dẫn giải: Gọi M , N, P lần lượt là hình chiếu của S lên các cạnh AB, AC, BC. Theo định lý ba đường vuông góc ta có M , N, P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC, BC.
  6. S·MH S· NH S· PH SMH SNH SPH. HM HN NP H là tâm dường tròn nội tiếp của ABC. Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó. B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau. C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều. D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân. Hướng dẫn giải: Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai. Câu 24: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng? A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành. B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật. C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A.
  7. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đương thẳng d  ta có thể dùng môt trong hai cách sau. Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a,b cắt nhau trong . d  a d  b a  a  ,b  a b I Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với . d Pa d   a Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a. Sử dụng định lí ba đường vuông góc. Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. Câu : Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD và ABC vuông ở B , AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai? A. SA  BC . B. AH  BC . C. AH  AC . D. AH  SC . Hướng dẫn giải: Chọn C. Do SA  ABC nên câu A đúng. Do BC  SAB nên câu B và D đúng. Vậy câu C sai. Câu 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA  ABC a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh BC  SAB . A. BC  SAB B. BC  SAC C. ·AD, BC 450 D. ·AD, BC 800 b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB , thì khẳng định nào sau đây D đúng nhất. Chứng minh AH  SC . A. AH  AD B. AH  SC C. AH  SAC D. AH  AC Hướng dẫn giải:. H a) Ta có SA  ABC nên SA  BC . C A B
  8. BC  SA  Do đó  BC  SAB Chọn A BC  AB b) Ta có BC  SAB BC  AH AH  BC Vậy  AH  SC .Chọn B AH  SB  Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB  ABC . B. AC  BD . C. CD  ABD . D. BC  AD . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi E là trung điểm của BC . Khi đó ta có AE  BC BC  ADE BC  AD . DE  BC Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và AB  BC. Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là: A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải: Có AB  BC ABC là tam giác vuông tại B. SA  AB Ta có SA  (ABC) SAB, SAC là các tam giác vuông tại A. SA  AC AB  BC Mặt khác BC  SB SBC là tam giác vuông tại B. SA  BC Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng. Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA SC và SB SD . Khẳng định nào sau đây sai? A. SO  ABCD . B. CD  SBD . C. AB  SAC . D. CD  AC . Hướng dẫn giải: Chọn B. Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến SO cũng là đường cao SO  AC . Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến SO cũng là đường cao SO  BD . Từ đó suy ra SO  ABCD . Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD . Do đó CD không vuông góc với SBD .
  9. Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  (ABCD).Gọi AE; AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? A. SC  AFB . B. SC  AEC . C. SC  AED . D. SC  AEF . Hướng dẫn giải: AB  BC Ta có: BC  SAB BC  AE. SA  BC AE  SB Vậy: AE  SC 1 AE  BC Tương tự : AF  SC 2 Từ 1 ; 2 SC  AEF .vậy đáp án D đúng. Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA  ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. CH  SA. B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . Hướng dẫn giải: Chọn D. Do ABC cân tại C nên CH  AB . Suy ra CH  SAB . Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai. Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH  (BCD) . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. CD  BD . B. AC BD . C. AB CD . D. AB  CD . Hướng dẫn giải:: CD  AH CD  (ABH ) CD  AB Chọn đáp án D. CD  BH Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA  (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
  10. A. CH  AK . B. CH  SB . C. CH  SA. D. AK  SB . Hướng dẫn giải:: CH  AB Ta có CH  (SAB) . CH  SA Từ đó suy ra CH  AK,CH  SB,CH  SA nên A, B, C đúng. Đáp án D sai trong trường hợp SA và AB không bằng nhau Chọn đáp án D. Câu 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC). Đối với DABC ta có điểm H là: A. Trực tâm. B. Tâm đường tròn nội tiếp. C. Trọng tâm. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải: ïì SH ^ AH ï SH ^ (ABC)Þ íï SH ^ BH ï îï SH ^ CH Xét ba tam giác vuông DSHA,DSHB,DSHC có ïì SA = SB = SC íï Þ DSHA = DSHB = DSHC îï SH chung Þ HA = HB = HC mà H Î (ABC)Þ H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Chọn đáp án D. Câu 10: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp(ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau: A. H là trực tâm ABC . B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 1 1 1 1 C. . OH 2 OA2 OB2 OC 2 D. CH là đường cao của ABC . Hướng dẫn giải:: Ta có OA  (OBC) OA  BC và OH  BC BC  (OAH ) BC  AH . Tương tự, ta có AB  CH , suy ra đáp án A, D đúng. 1 1 1 1 1 1 Ta có , với I AH  BC , suy ra đáp án C đúng. OH 2 OA2 OI 2 OA2 OB2 OC 2 Chọn đáp án B. Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB  CD và AC  BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD) . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. H là trực tâm tam giác BCD . B. CD  (ABH ) . C. AD  BC . D. Các khẳng định trên đều sai. Hướng dẫn giải:: CD  AB Ta có CD  (ABH ) CD  BH . Tương tự BD  CH CD  AH Suy ra H là trực tâm BCD . Suy ra đáp án A, B đúng. BC  AH Ta có BC  AD , suy ra C đúng. BC  DH Chọn đáp án D. Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
  11. A. AB  ABC . B. BC  AD. C. CD  ABD . D. AC  BD. Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC . ïì AB = AC ïì BC ^ AM íï Þ íï Þ BC ^ (ADM )Þ BC ^ AD. îï DB = DC îï BC ^ DM Chọn đáp án B. Câu 13: Cho hình chóp SABC có SA  ABC . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A. BC  SAH . B. HK  SBC . C. BC  SAB . D. SH, AK và BC đồng quy. Hướng dẫn giải: S Ta có BC  SA, BC  SH BC  (SAH ) Ta có CK  AB,CK  SA CK  (SAB) hay CK  SB Mặt khác có CH  SB nên suy ra SB  (CHK) hay SB  HK , tương tự SC  HK nên HK  (SBC) H C Gọi M là giao điểm của SH và BC . Do A BC  (SAH ) BC  AM hay đường thẳng K AM trùng với đường thẳng AK . Hay SH, AK và BC đồng quy. M Do đó BC  SAB . sai B Chọn đáp án C. Câu 14: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng AC và BF vuông góc với nhau. Gọi CH và FK lần lượt là đường cao của hai tam giác BCE và ADF . Chứng minh rằng : a) Khẳng định nào sau đây là đúng về 2 tam giác ACH và BFK ? A. ACH và BFK là các tam giác vuông B. ACH và BFK là các tam giác tù C. ACH và BFK là các tam giác nhọn D. ACH và BFK là các tam giác cân b) Khẳng định nào sau đây là sai? A. BF  AH B. B·F, AH 450 C. AC  BK D. AC  BKF Hướng dẫn giải:. AB  BC A a) Ta có  AB  BCE AB  BE  K F CH  AB D Vậy CH  ABEF CH  BE CH  AH ,hay ACH vuông tại H . FK  AD B Tương tự  FK  ABCD FK  AB  H E C
  12. BFK vuông tại K . b) Ta có CH  ABEF CH  BF , mặt khác AC  BF BF  ACH BF  AH . AC  KF  Tương tự  AC  BKF AC  BK . AC  BF  Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA SC, SB SD . a)Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SO  ABCD B. SO  AC C. SO  BD D. Cả A, B, C đều sai b) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. AC  SBD B. AC  SO C. AC  SB D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải:. a) Ta có O là trung điểm của AC và S SA SC SO  AC . Tương tự SO  BD . SO  AC Vậy  SO  ABCD .Chọn D SO  BD b) Ta có AC  BD ( do ABCD là hình thoi). D Lại có AC  SO ( do SO  ABCD ) A Suy ra AC  SBD AC  SD .Chọn D O B C Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA (ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. SA  BD B. SC  BD C. SO  BD D. AD  SC Hướng dẫn giải: Ta có SA  (ABCD) SA BD S Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD  AC, mà SA  BD nên BD  (SAC) hay BD  SC, BD  SO AD không vuông góc SC Chọn đáp án D. A D O B C Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  ABCD . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB , BC và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. IJK // SAC . B. BD  IJK . C. Góc giữa SC và BD có số đo 60 . D. BD  SAC . Hướng dẫn giải: Chọn C.
  13. Do IJ // AC và IK // SA nên IJK // SAC . Vậy A đúng. Do BD  AC và BD  SA nên BD  SAC nên D đúng. Do BD  SAC và IJK // SAC nên BD  IJK nên B đúng. Vậy C sai. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH  ABCD . Gọi K là trung điểm của cạnh AD . a) Khẳng định nào sau đây là sai? A. AC  SH B. AC  KH C. AC  SHK D. Cả A, B, C đều sai b) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. CK  SD B. DH  CK C. D· KC ·ADH 900 D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải:. a) Ta có SH  ABCD SH  AC S HK PBD lại có AC  HK AC  BD AC  SHK . b) Dễ thấy AHD DKC ·AHD D· KC · · 0 mà AHD ADH 90 A H · · 0 B DKC ADH 90 hay DH  CK , mặt khác ta có K SH  CK CK  SDH CK  SD . J Câu 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một D C vuông góC. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khẳng định nào sau đây sai? 1 1 1 1 A. OA ^ BC. B. . OH 2 OA2 OB2 OC 2 C. H là trực tâm DABC. D. 3OH 2 AB2 AC 2 BC 2. Hướng dẫn giải: ïì OA ^ OB íï Þ OA ^ (OBC)Þ OA ^ BC Þ đáp án A îï OA ^ OC đúng. Tương tự chứng minh được OC ^ AB. ïì OI ^ BC Hạ íï . îï OH ^ AI Ta có: ïì OI ^ BC íï Þ BC ^ (OAI)Þ BC ^ OH Þ OH ^ (ABC). îï BC ^ OA 1 1 1 1 1 1 = + = + + Þ Đáp án B đúng. OH 2 OA2 OI 2 OA2 OB2 OC 2
  14. ïì AB ^ OC Ta có: íï Þ AB ^ (OCH )Þ AB ^ HC(1). Tương tự BC ^ OH (2). îï AB ^ OH Từ (1) và (2)Þ H là trực tâm DABC Þ Đáp án C đúng. Chọn đáp án D. Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC . Khẳng định nào sau đây là đúng a) AH, SK và BC đồng qui. A. AH và BC chéo nhau B. AH và SK chéo nhau C. AH, SK và BC đồng qui. D. AH, SK và BC không đồng qui. b) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SB  CHK B. SB  HK C. CH  SAB D. Cả A, B, C đều sai c) HK  SBC .Khẳng định nào sau đây là sai? A. HK  SBC B. BC  SAI C. BC  HK D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải:. a) Gọi I AH  BC , để chứng minh AH, SK và BC đồng qui. S Ta cần chứng minh SI là đường cao của tam giác SBC , nhưng điều này đúng do BC  SA và BC  AI . b) Ta có SB  CK CH  AB thêm nữa ta có CH  SAB CH  SB CH  SA K Vậy SB  CHK . A C b) Theo các chứng minh trên ta có H SB  CHK SB  HK và BC  SAI BC  HK do đó I HK  SBC . B Câu 21: Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A , B , C , D . A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. O là trọng tâm tam giác ACD . C. O là trung điểm cạnh BD . D. O là trung điểm cạnh AD . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi O là trung điểm của AD . AB  CD Từ giả thiết ta có CD  ABC CD  AC . BC  CD Vậy ACD vuông tại C . Do đó OA OC OA (1)
  15. AB  CD Mặt khác AB  BCD AB  BD ABD vuông tại B . AB  BC Do đó OA OB OD (2) Từ (1) và (2) ta có OA OB OC OD . Câu 22: Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB  ABC . B. AC  BD . C. CD  ABD . D. BC  AD . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi E là trung điểm của BC . Khi đó ta có AE  BC BC  ADE BC  AD . DE  BC Câu 23: Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH  BCD . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai? A. AB CD . B. AC BD . C. AB  CD . D. CD  BD . Hướng dẫn giải: Chọn C. Do AH  BCD AH  CD . Mặt khác, H là trực tâm ABC nên BH  CD . Suy ra CD  ABH nên CD  AB . Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và SC a 2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . a) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SH  ABCD B. SH  HC C. A, B đều đúng D. A, B là sai b) Khẳng định nào sau đây là sai? A. CK  HD B. CK  SD S C. AC  SK D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải:. a) Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH  AB K a 3 2 2 a 5 A Lại có SH , SC a 2, HC = DH DC D 2 2 H B C
  16. 3a2 5a2 Do đó HC 2 HS 2 2a2 SC 2 4 4 HSC vuông tại H SH  HC SH  HC Vậy SH  ABCD . SH  AB b) Ta có AC  HK và AC  SH AC  SHK AC  SK . Tương tự CK  HD ( như bài 32) và CK  SH CK  SDH CK  SD . Câu 25: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Đường thẳng AC ' vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. A' BD . B. A' DC ' . C. A'CD ' . D. A' B 'CD . Hướng dẫn giải: Ta có: A' B' A' D  AD ' t / c HV A' D  C ' D ' C ' D '  A' D ' DA A' D  AC ' D ' A' D  AC ' 1 D' C' A' B  AB ' t / c HV A' B  B 'C ' B 'C '  A' D ' DA A B A' B  AB 'C ' A' B  AC ' 2 Từ 1 , 2 AC '  A' BD C Vậy chọn đáp án A. D Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. SA  ABCD . B. BD  SAC . C. AC  SBD . D. AB  SAC . Hướng dẫn giải: Ta có: SA SC SAC là tam giác cân Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi) Khi đó ta có: AC  SO AC  BD t / c hinh thoi S AC  SBD AC  SO Vậy chọn đáp án C . A B O D C Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  ABCD . Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M , K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
  17. A. AK  HK . B. HK  AM . C. BD  HK . D. AH  SB . Hướng dẫn giải: S Ta có: BD  AC t / c HV BD  SAC BD  AM BD  SA gt M H Gọi O AC  BD, I SO  HK I P là mặt phẳng A và vuông góc với SC K B A Qua I kẻ PBD  AM  P O Khi đó: K  SD, H  SB D C Ta có: AK  SDC , mà HK  SDC K AK không vuông góc với HK . Vậy chọn đáp án A. Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông. A. SBC . B. SCD . C. SAB . D. SBD . Hướng dẫn giải: Ta có : S AB  AD tc HV AB  SAD AB  SD AB  SA SA  ABCD Giả sử SB  SD SD  SAB (vô lý) Hay SBD không thể là tam giác vuông A B Vậy chọn đáp án D . O D C Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có B· SC 1200 ,C· SA 600 , ·ASB 900 , SA SB SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp ABC . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. I là trung điểm AB . B. I là trọng tâm tam giác ABC . C. I là trung điểm AC . D. I là trung điểm BC . Hướng dẫn giải: Gọi SA SB SC a S Ta có : VSAC đều AC SA a VSAB vuông cân tại S AB a 2 BC SB2 SC 2 2SB.SC.cos B· SC a 3 AC 2 AB2 BC 2 VABC vuông tại A Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn B C ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thi d đi qua I và d  ABC A Mặt khác : SA SB SC nên S d . Vậy SI  ABC nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC Vì H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC nên H và K lần lượt thuộc AA và SA Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A
  18. Câu 30: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC . Xét các mệnh đề sau : I. Vì OC  OA,OC  OB nên OC  OAB . II. Do AB  OAB nên AB  OC. 1 III. Có OH  ABC và AB  ABC nên AB  OH. 2 IV. Từ 1 và 2 AB  OCH . A. I, II, III, IV . B. I, II, III . C. II, III, IV . D. I, IV . Hướng dẫn giải: Ta có: OC  OA OC  OB OC  OAB . Vậy I đúng. OAOB O OA,OB  OAB OC  OAB AB  OC . Vậy II đúng. AB  OAB OH  ABC AB  OH . Vậy III đúng. AB  ABC AB  OC AB  OH AB  OCH . Vậy IV đúng. OC OH O OC,OH  OCH Vậy chọn đáp án A. Câu 31: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D '. Có đáy là hình thoi B·AD = 600 và A' A = A' B = A' D. Gọi O = AC ÇBD. Hình chiếu của A' trên (ABCD) là : A. trung điểm của AO. B. trọng tâm DABD. C. giao của hai đoạn AC và BD. D. trọng tâmDBCD. Hướng dẫn giải: Vì A' A = A' B = A' D Þ hình chiếu của A' trên (ABCD) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp DABD (1). Mà tứ giác ABCD là hình thoi và B·AD = 600 nên DBAD là tam giác đều (2). Từ (1) & (2)Þ H là trọng tâm DABD. Chọn đáp án B.
  19. DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ta thực hiện theo các bước sau: A a φ a' O A' α - Tìm giao điểm O a  - Dựng hình chiếu A' của một điểm A a xuống - Góc A· OA' chính là góc giữa đường thẳng a và . Lưu ý: - Để dựng hình chiếu A' của điểm A trên ta chọn một đường thẳng b  khi đó AA' Pb . - Để tính góc ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA' . Ngoài ra nếu không xác định góc thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng theo công thức u.n sin trong đó u là VTCP của a còn n là vec tơ có giá vuông góc với . u n - Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC , BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Góc giữa AC và BCD là góc ACB . B. Góc giữa AD và ABC là góc ADB . C. Góc giữa AC và ABD là góc CAB . D. Góc giữa CD và ABD là góc CBD . Hướng dẫn giải: Chọn A. AB  BC Từ giả thiết ta có AB  BCD . AB  CD Do đó AC, BCD ·ACB . Câu 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với a 6 ABC lấy điểm S sao cho SA . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và ABC . 2 A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 .
  20. Hướng dẫn giải: Chọn D. SA  ABC SA, ABC 90. Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Góc giữa CD và ABD là góc C· BD . B. Góc giữa AC và BCD là góc ·ACB . C. Góc giữa AD và ABC là góc ·ADB . D. Góc giữa AC và ABD là góc C· BA . Hướng dẫn giải: Do AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một nên AB  BCD , suy ra BC là hình chiếu của AC lên BCD . Chọn B. Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải: Chọn C. S Gọi H là trung điểm của BC suy ra 1 a AH BH CH BC . 2 2 a a 3 Ta có: SH  ABC SH SB2 BH 2 . 2 C α A · SA, ABC S· AH a SH 2 H tan 3 60 . AH B Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA  ABCD . Biết a 6 SA . Tính góc giữa SC và ABCD . 3 A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải: S Chọn A. Ta có: SA  ABCD SA  AC ·SC; ABCD S· CA A D a α B C
  21. a 6 SA 3 ABCD là hình vuông cạnh a AC a 2, SA tan 30. 3 AC 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 600 B. 750 C. 450 D. 300 Hướng dẫn giải: Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC nên S SH  ABC Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp ABC SA; ABC SA; AH S· AH Ta có: SH  ABC SH  AH H Mà: VABC VSBC SH AH . Vậy tam giác SAH vuông cân B C tại H S· AH 450 A Câu 7: Cho hình thoi ABCD có tâm O , AC 2a; BD 2AC . Lấy điểm S không thuộc ABCD sao 1 cho SO  ABCD . Biết tan S· BO . Tính số đo của góc giữa SC và ABCD . 2 A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: AC 2a; BD 2AC 4a OB 2a SO 1 1 tan S· BO SO OB a . S OB 2 2 SO a Mặt khác ·SC, ABCD S· CO; 1 OC a Suy ra số đo của góc giữa SC và ABCD bằng 45. A D a 2a O α B C Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và ABC . S A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải: Chọn B. a Ta có: a α SH  ABC SH  AH ·SA; ABC S· AH . C A H B
  22. a 3 ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a AH SH 2 a 3 AH SH SHA vuông cân tại H 45 . 2 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  (ABCD), SA a 6. Gọi là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? 3 A. 300. B. cos . C. 450. D. 600. 3 Hướng dẫn giải: Vì SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên S (ABCD). Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC & AC. S· CA. Xét tam giác SAC vuông tại A có: SA a 6 A D tan 3 600. AC a 2 B C Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ^ (ABCD). Biết a 6 SA . Tính góc giữa SC và (ABCD). 3 A. 300. B. 600. C. 750. D. 450. Hướng dẫn giải: Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a 2. SA ^ (ABCD)Þ AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)Þ S·CA là góc giữa SC và (ABCD). Tam giác SAC vuông tại A nên SA a 6 1 1 tan S·CA = = . = Þ S·CA = 300. AC 3 a 2 3 Chọn đáp án A. Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Gọi a là góc giữa AC ' và mp (A' BCD '). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 A. 300. B. tan . C. 450. D. tan 2. 3 Hướng dẫn giải:
  23. ïì A'C Ç AC ' = I Gọi íï îï C ' D ÇCD ' = H ïì C ' D ^ CD ' mà íï Þ C ' D ^ (A' BCD ')Þ IH là hình chiếu vuông îï C ' D ^ A' D ' góc của AC ' lên (A' BCD ')Þ C·' IH là góc giữa AC ' và C ' H 1 (A' BCD '). Mà tan C·' IH = = .2 = 2. IH 2 Chọn đáp án D. Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các ABC và SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp(SBC) là? A. 65 . B. 90 . C. 45. D. 120 . Hướng dẫn giải:: BC  SA Gọi I AH  BC . Ta có BC  (SAI) (SBC)  (SAI) và K SI . BC  AI SB  CK Ta lại có SB  (CHK) (SBC)  (CHK) . SB  CH Mà HK (SAI)  (SHK) , suy ra HK  (SBC) Chọn đáp án B. Câu 13: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA SB SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp ABC . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. H là trực tâm tam giác ABC . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Hướng dẫn giải: Do hình chóp S.ABC có SA SB SC và SH  ABC nên SH là S trục của hình chóp S.ABC . HA HB HC . Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vậy chọn C. A B C Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh S huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 300. B. 450. C. 600. D. 750. Hướng dẫn giải: B A M C
  24. a AM BM , SB a 2 Có SM  ABC nên AM là hình chiếu của SA lên mp ABC SA, ABC SA, AM S·AM . Áp dụng định lý Pytago a 3 SM SB2 AM 2 2 Xét tam giác SAM có SM tan S·AM 3 S·AM 600 . AM Vậy chọn C. Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và ABC vuông ở B . AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SA  BC. B. AH  BC. C. AH  AC. D. AH  SC. Hướng dẫn giải: Do SA  ABC nên SA  BC . Nên Phương án A đúng. S AH  SB Có AH  SBC . Phương án D đúng. AH  BC BC  SAB Suy ra AH  BC , AH  SC . Phương án B, D đúng. H Phương án C sai. Thật vậy với AH  AC , ta có AH  AC C AC  AB (vô lý). A SA  AC Vậy chọn C. B Câu 16: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P khi a và b song song (hoặc a trùng với b ). C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng Q thì mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q . D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P thì a song song với b . Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 17: Cho góc tam diện Sxyz với x¶Sy 1200 , ¶ySz 600 , z¶Sx 900. Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm A, B,C sao cho SA SB SC a . Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc điểm sau : A. Vuông cân. B. Đều. C. Cân nhưng không vuông. D. Vuông nhưng không cân. Hướng dẫn giải: Xét SAB có AB2 SA2 SB2 2SA.SB.cos ·ASB 3a2 AB a 3 . SBC đều BC a. SAC có AB SA2 SC 2 a 2 .
  25. Từ đó ABC vuông tại C. Vậy chọn D. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. IO  ABCD . B. BC  SB. C. SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. D. Tam giác SCD vuông ở D. Hướng dẫn giải: Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO//SA nên S IO  ABCD . Phương án A đúng. BC  AB Có BC  SB . Phương án B đúng BC  SA I CD  AD A Và CD  SD nên phương án D đúng. D CD  SA Phương án C sai. Thật vậy nếu SAC là mặt phẳng trung trực O B của BD BD  AC (vô lý). C Vậy chọn C. Câu 19: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Với mỗi điểm A và mỗi điểm B  thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của và  . D. Nếu hai mặt phẳng và  đều vuông góc với mặt phẳng  thì giao tuyến d của và  nếu có sẽ vuông góc với  . Hướng dẫn giải: Phương án A sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Phương án B sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau. Phương án C sai. Vậy chọn D. Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD , SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và mp SAB . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 1 1 A. tan . B. tan . C. 300. D. tan . 8 7 6 Hướng dẫn giải: Do BC  SAB nên SB là hình chiếu của SC lên SAB SC, SAB SC, SB B· SC Xét tam giác SBC có BC a 1 tan B· SC . SB a 7 7 Vậy chọn B.
  26. Câu 21: Cho hình chóp S.ABDC , với đáy ABDC là hình bình hành tâm O; AD, SA, AB đôi một vuông góc AD 8, SA 6 . (P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB . Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng? A. 20. B. 16. C. 17. D. 36. Hướng dẫn giải: Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh AB;CD;CS;SB , nên diện tích thiết diện là 1 1 (BC BC). SA (8 4)6 dt 2 2 36 2 2 Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA SB SC b . Gọi G là trọng tâm ABC . Độ dài SG là: 9b2 3a2 b2 3a2 9b2 3a2 b2 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Theo bài ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi H là trung điểm của BC , ta có SG  (ABC),G AH . a 3 a2 Mặt khác ta có: AH , SH b2 2 4 a2 AG 3b2 a2 SG SA.sin S¼AG b. 1 ( )2 b 1 3 SA b2 3 Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA SB SC b . Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C . A. b a 2 . B. b a 2 . C. a b 2 . D. a b 2 . Hướng dẫn giải: 2b2 a2 Để C nằm giữa S và C thì ¼ASC 900 cos ¼ASC 0  0  b 2 a 1 2b2 Chọn đáp án C Câu 24: Cho tứ diện ABCD có AB, BC,CD đôi một vuông góc. Điểm cách đều A, B,C, D là: A. Trung điểm BC . B. Trung điểm AD . C. Trung điểm AC . D. Trung điểm AB . Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất trung điểm của tam giác vuông Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA SC, SB SD . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. AB  (SAC) . B. CD  AC . C. SO  (ABCD) . D. CD  (SBD) . Hướng dẫn giải: Do hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA SC, SB SD nên SO  (ABCD) Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp(ABCD) . Gọi là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 3 A. 600 . B. 300 . C. cos . D. sin . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:
  27. AB 3 Gọi I là trung điểm AS , suy ra BI  (SAD) I¼DB . Ta có: BI , BD AB 2 . Suy ra 2 BI 3 sin BD 2 2 Câu 27: Cho tứ diện ABCD đều. Gọi là góc giữa AB và mp(BCD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 3 3 A. cos . B. cos . C. cos 0 . D. cos . 3 4 2 Hướng dẫn giải:: Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) , a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD . a 3 BH 3 Ta có ·ABH , BH . cos Chọn đáp án A. 3 AB 3 Câu 28: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với a 6 ABC lấy điểm S sao cho SA . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và ABC . 2 A. 750 B. 300 C. 450 D. 600 Hướng dẫn giải: S a 6 SA S·B,(ABC) S· BA tan 2 3 60 AB a a 6 2 2 A C α a Câu 29: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi là góc giữa B AC1 và mp ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 2 A. 450 B. tan C. tan D. 300 2 3 Hướng dẫn giải: CC a 1 Ta có ·AC , ABCD C· AC tan 1 1 1 AC a 2 2 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau? 1 A. tan 2 . B. tan 3 . C. tan . D. tan 1. 2 Hướng dẫn giải: Ta có: S S SAB S là hình chiếu của S trên SAB 1 BC  AB t / c HV BC  SAB BC  SA SA  ABCD B là hình chiếu của C trên SAB 2 A B D C
  28. · · · Từ 1 , 2 SC, SAB SC, SB BSC Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: SB SA2 AB2 a 2 BC a 1 Xét tam giác SBC vuông tại B ta có: tan SB a 2 2 Vậy chọn đáp án C . Câu 31: Cho hình thoi ABCD có tâm O , AC 2a . Lấy điểm S không thuộc ABCD sao cho 1 SO  ABCD . Biết tan S· OB . Tính số đo của góc giữa SC và ABCD . 2 A. 750 . B. 450 . C. 300 . D. 600 . Hướng dẫn giải: Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm ABC và SBC . Số đo S góc tạo bởi SC và BHK là: A. 450 . B. 1200 . C. 900 . D. 650 . Hướng dẫn giải: Ta có: BH  AC gt A C BH  SAC BH  SC K BH  SA SA  ABCD H Mà BK  SC SC  BHK Vậy chọn đáp án C . B
  29. DẠNG 3: THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. Phương pháp: Để xác định thiết diện của mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau: d b O I α a Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với d , khi đó sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở ( dạng 2, §2 chương II). Cách 2. Ta dựng mặt phẳng như sau: Dựng hai đường thẳng a,b cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có một đường thẳng đi qua O , khi đó chính là mặt phẳng mp a,b . Câu 130: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA  ABC . Gọi P là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC . Thiết diện của P và hình chóp S.ABC là: A. Hình thang vuông. B. Tam giác đều. C. Tam giác cân. D. Tam giác vuông. Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của AC , kẻ IH  SC . Ta có BI  AC, BI  SA BI  SC . S Do đó SC  BIH hay thiết diện là tam giác BIH . Mà BI  SAC nên BI  IH hay thiết diện là tam giác vuông. H Chọn D. A I C B Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng A. 36 2 . B. 40 . C. 36 3 D. 36 . Hướng dẫn giải: Thiết diện là tam giác BCE , với E là trung điểm của AD . Gọi F là trung điểm của BC .
  30. 12 3 A Ta có BE = CE = = 6 3 ; 2 EF = BE 2 - BF 2 = 6 2 . Diện tích thiết diện là: E 1 S = EF.BC = 36 2 . 2 B D F C Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA  ABC . Mặt phẳng P đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P,Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? A. Hình thang vuông. B. Hình thang cân. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: AB  BC S Ta có: BC  SB. SA  BC BC  SB Vậy P / /BC 1 . P P  SB Q Mà P  ABC MN 2 . C A N Từ 1 ; 2 MN / /BC M Tương tự ta có PQ / /BC; PN / /SA Mà SA  BC PN  NM. B Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC, SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H ). mặt phẳng P qua I và vuông góc vớiOH . Thiết diện của P và hình chóp S.ABC là hình gì? A. Hình thang cân B. Hình thang vuông C. Hình bình hành D. Tam giác vuông Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên (P) song song với SO S Suy ra (P) cắt (SAH ) theo giao tuyến là đường thẳng P qua I và song song với SO cắt SH tại K K Từ giả thiết suy ra (P) song song BC , do đó (P) sẽ cắt N (ABC),(SBC) lần lượt là các đường thẳng qua I và K Q C song song với BC cắt AB, AC, SB, SC lần lượt tại A O M , N,Q, P . Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ I H Ta có MN và PQ cùng song song BC suy ra I là M trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ , lại có các B tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ dó đó MNPQ là hình thang cân. Chọn đáp án A.
  31. Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA SB SC b ( a b 2 ). Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC tại điểm C1 nằm giữa S vàC . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng P là a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 a2 3b2 a2 A. S . B. S . C. S . D. S 4b 2b 2b 4b . Hướng dẫn giải: Kẻ AI  SC AIB  SC . Thiết diện là tam giác AIB . 2 2 2 · 2 · a b b a 2 2 Ta có AI AC sin ACS a 1 cos ACS a 1 4b a 2ab 2b Gọi J là trung điểm của AB . Dễ thất tam giác AIB cân tại I , suy ra IJ  AB . S a IJ AI 2 AJ 2 3b2 a2 . 2b Do đó: 1 a2 3b2 a2 I S AB.IJ . 2 4b Chọn A. A C G J B Câu 5: Tam giác ABC có BC 2a , đường cao AD a 2 . Trên đường thẳng vuông góc với ABC tại A , lấy điểm S sao cho SA a 2 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB và SC . Diện tích tam giác AEF bằng? 3 3 1 3 A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 4 6 2 2 Hướng dẫn giải: S Do AD  BC, SA  BC BC  SAD BC  AH EF  AH 1 S AEF EF.AH 2 F a 2 1 H Mà EF BC a . Do H là trung điểm SD AH a E 2 1 2 S AEF a A C 2 a 2 D 2a B
  32. 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA ^ (ABC), SA = a . Gọi (P) 2 là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. Thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P)có diện tích bằng? 3a2 3a2 A. . B. . 8 2 3 2a2 C. a2. D. . 4 3 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC thì BC ^ AM (1). Hiển nhiên AM = a 3. Mà SA ^ (ABC)Þ BC ^ SA(2). Từ (1) và (2) suy ra BC ^ (SAM )Þ (P)º (SAM ) Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) chính là DSAM. DSAM vuông tại A nên 1 1 a 3 3a2 S = SA.AM = .a 3 = . DSAM 2 2 2 4 Chọn đáp án C. Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  ABC , SA a . Gọi P là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC . Thiết diện của P và hình chóp S.ABC có diện tích bằng ? a2 3 a2 a2 A. B. C. D. a2 4 6 2 Hướng dẫn giải: Kẻ AE  BC, SA  BC BC  SAE  P S Thiết diện của mặt phẳng P và hình chóp S.ABC là tam giác SAE có 1 1 3 a2 3 diện tích : S SA.AE a.a a SAE 2 2 2 4 a A C a E a B 3 Câu 8: Cho tứ diện SABC có hai mặt (ABC) và (SBC) là hai tam giác đều cạnh a, SA = a . M là 2 điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a). (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và tứ diện SABC có diện tích bằng?
  33. 2 2 2 2 3 3 a b 3 a b 3 3 a b 3 3 a b A. . . B. . . C. . D. . 4 a 4 a 16 a 8 a Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của BC . ïì SB = SC ïì BC ^ SN íï Þ íï Þ BC ^ (SAN). îï AB = AC îï BC ^ AN ì ï M Î (P) Theo bài ra BC ^ (P)Þ í . ï îï (P)/ /(SAN) Kẻ MI / / AN, MK / /SA Þ Thiết diện của (P) và tứ diện SABC là DKMI. ïì DABC a 3 íï là hai tam giác đều cạnh a Þ AN = SM = = SA Þ DSAN là tam giác đều cạnh îï DSBC 2 æ ö2 a 3 3 a- b 3 3 ça- b÷ Þ DKMI là tam giác đều cạnh . Þ SDKMI = .ç ÷ . 2 2 a 16 èç a ø÷ Chọn đáp án C. Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a 12 , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng P qua B vuông góc với AP cắt mp ACD theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ? A. 9 B. 6 C. 8 D. 7 Hướng dẫn giải: Ta có : CD  AP,CD  BP CD  APB BG  CD Tương tự : AD  CM , AD  BM AD  BCM AD  BG Suy ra : BG  ABC BG  AP Kẻ KL đi qua trọng tâm G của ACD và song song với CD B AP  KL P chính là mặt phẳng BKL 2 ACD  BKL KL CD 8 3 Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G là trọng tâm ACD thì G là tâm ACD và BG  (ACD) Trong mp(ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC, AD lần lượt tại K, L M D A L Ta có (BKL)  (ACD), AP  KL AP  (BKL) . Vậy G (P)  (BKL) P 2 K ACD  BKL KL CD 8 . 3 C Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD , với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD 8, BC 6 , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA 6 . Gọi M S là trung điểm AB . P là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết diện của P và hình chóp có diện tích bằng? A. 10. B. 20 . C. 15. D. 16. I K Hướng dẫn giải: A Do P  AB P PSA D M N B C
  34. Gọi I là trung điểm của SB MI PSA MI  P Gọi N là trung điểm của CD MN  AB MN  P Gọi K là trung điểm của SC IK PBC , mà MN PBC MN PIK IK  P Vậy thiết diện của P và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M Ta có: 1 MI là đường trung bình của tam giác SAB MI SA 3 2 1 IK là đường trung bình của tam giác SBC IK BC 3 2 1 MN là đường trung bình của hình thang ABCD MN AD BC 7 2 IK MN 3 7 Khi đó S .MI .3 15 MNKI 2 2 Vậy chọn đáp án C . Câu 11: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Kẻ OH  ABC . a) Khẳng định nào đúng nhất? H là trực tâm của ABC . A. H là trực tâm của ABC . B. H là tâm đường tròn nội tiếp của ABC . C. H là trọng tâm của ABC . D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC . b) ABC là tam giác gì? A. ABC là tam giác nhọn. B. ABC là tam giác tù C. ABC là tam giác vuông D. ABC là tam giác cân 2 2 2 2 c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? S ABC S OAB S OBC S OCA 1 1 1 1 A. S 2 S 2 S 2 S 2 B. S 2 S 2 S 2 S 2 ABC 2 OAB 2 OBC 2 OCA 2 ABC OAB OBC OCA 1 C. S 2 S 2 S 2 S 2 D. S 2 S 2 S 2 S 2 3 ABC OAB OBC OCA ABC OAB OBC OCA d) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA2 MB2 MC 2 3MO2 . A. Mthuộc mặt phẳng đi qua vàI vuông góc với O , Gtrong đó làI điểm cách đều 4 điểm O, A, B,C và G là trọng tâm của tam giác ABC B. Mthuộc mặt phẳng đi qua vàI song song với O ,trongG đó làI điểm cách đều 4 điểm O, A, B,C và. là trọng tâm của tam giác ABC C. Mthuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với O , Gtrong đó làG trọng tâm của tam giác ABC D. Mthuộc mặt phẳng đi qua O và song song với O , Gtrong đó G là trọng tâm của tam giác ABC A Hướng dẫn giải:. OA  OB  a) Ta có  OA  OBC OA  BC OA  OC Lại có OH  ABC OH  BC H BC  OA  Vậy  BC  OAH BC  OH  O C I B
  35. BC  AH 1 . AC  OB  Tương tự  AC  OBH BH  AC 2 . AC  OH  Từ 1 , 2 suy ra H là trực tâm của tam giác ABC . b) Đặt OA a,OB b,OC c Ta có BC OB2 OC 2 b2 c2 Tương tự AC a2 c2 , AB a2 b2 Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có 2 2 2 2 2 2 AB2 AC 2 BC 2 a b (a c ) b c cos A 2AB.AC 2 a2 b2 (a2 b2 ) a2 0 suy ra Aµ nhọn. a2 b2 (a2 b2 ) Tương tự các góc B,C nhọn. 2 1 2 2 1 2 2 2 2 c) Ta có SABC AI BC OI OA OB OC 4 4 1 1 1 OI 2 BC 2 OA2OB2 OA2OC 2 S 2 S 2 S 2 4 4 4 OAB OBC OCA d) Gọi I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B,C và G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có : MA2 MB2 MC 2 3MO2   2   2   2   MI IA MI IB MI IC 3(MI IO)2             IA IB IC IM 3IO.MI 3IG.MI 3IO.IM OGMI 0 MI  OG ( do     IA IB IC 3IG ) Vậy M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG . Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC . Tính IK . a 2 a 3 a 2 3a 2 A. IK B. IK C. IK D. IK 2 2 3 2 Hướng dẫn giải:. S 2 2 2 a 2 a 5 Ta có IS AI AS a Tương tự 2 2 a 5 ID IC suy ra K 2 A B IS ID IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD . I CD  AD Mặt khác CD  SAD CD  SA CD  SD SCD vuông tại D , lại có K là trung điểm của SC D C nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD , do đó KI  SCD . 1 1 Ta có IK 2 ID2 DK 2 ID2 SC 2 ID2 SA2 AC 2 4 4
  36. 5a2 1 a2 a 2 a2 2a2 IK . 4 4 2 2 Câu 13: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng .2 Trêna đường thẳng qua vuôngO góc với ABCD lấy điểm S . Biết góc giữa SA và ABCD có số đo bằng 45 . Tính độ dài SO . a 3 a 2 A. .S O a 3 B. . SOC. . a 2 D. . SO SO 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Do SO  ABCD SA, ABCD S· AO 45 . Do đó SAO vuông cân tại O nên SO AO a 2 . Câu 14: Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng ABC . Tìm Giá trị nhỏ nhất của M 2 cot2 2 cot2  2 cot2  . A. 64 B. 8 C. 1 D. 64 2 Hướng dẫn giải:. Gọi H là hình chiếu của D trên ABC Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC . A Và ·DA, ABC ·DA, AH D· AH Đặt DA a, DB b, DC c Gọi I AH  BC thì DI là đường cao của tam giác DBC nên DB.DC bc DI H BC b2 c2 2 2 2 C DA a b c D cot2 DI b2c2 2 2 2 I a b c 2a2 4a 2 cot2 2 2 Vậy b2c2 bc bc B 4a 2 cot2 1 bc 4b 4c Tương tự 2 cot2  2 và 2 cot2  3 ac ab Nhân theo vế các BĐT 1 , 2 , 3 ta được 2 cot2 2 cot2  2 cot2  64 ( đpcm) Câu 15: Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính cố định BC và M là điểm di động trên đường tròn này. Trên đường thẳng d vuông góc với tại B lấy một điểm A . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông B. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông cân C. tam giác ACM vuông tại A. D. tam giác ACM vuông cân tại M .
  37. b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC . Khẳng định nào sau đây là sai? A. .A C  BB.HK BH  AC C. A, B đều đúng D. A, B đều sai c) Tìm tập hợp điểm H khi M di động. A. Hthuộc đường tròn đường kính B .K B. Hthuộc đường tròn đường kính AC. C. Hthuộc đường tròn đường kính BM. D. Hthuộc đường tròn đường kính AB. d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất. A. M  C B. M  B C. M  H D. M  K e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. A. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2 2BA2 BC 2 B. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính 1 BA.BC 2 2BA2 BC 2 C. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 3 2BA2 BC 2 D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2BA2 BC 2 Hướng dẫn giải:. AB  BM A a) Ta có AB  suy ra các tam giác ABM và AB  BC ABC vuông tại B . K MC  MB Tiếp theo ta có MC  ABM MC  AB H MC  AM hay tam giác ACM vuông tại M . B C BH  AM b) Ta có BH  ACM BH  MC M BH  AC . AC  BH  Vậy  AC  BHK . AC  BK  c) Dễ thấy BK cố định và B· HK 900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK .Từ đó ta có tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BK . d) MA2 AB2 BM 2 mà AB không đỏi nên AM lớn nhất khi MB lớn nhất BM BC M  C . 1 BH 2 HK 2 BK 2 e) Ta có S BH.HK không đổi nên BHK 2 4 4 BK 2 BK max S BH HK , lúc này HBK vuông cân tại H nên BH . BHK 4 2 1 1 1 1 1 1 Ta có ; BH 2 BA2 BM 2 BK 2 AB2 BC 2
  38. 1 1 1 1 1 1 2 nên 2 2 2 2 2 2 2 2 BA BC BM BA BM BA BC BA.BC MB 2BA2 BC 2 BK 2 BA.BC Vậy max SBHK MB M là các giao điểm của đường tròn đường kính 4 2BA2 BC 2 BA.BC BC với đường tròn tâm B bán kính 2BA2 BC 2 Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BC a 3 , mặt bên SBC là tam giác vuông tại B , mặt bên SCD vuông tại D và SD a 5 . a) Tính SA . A. SA a B. SA 2a C. SA 3a D. SA 4a b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB,CD lần lượt tại I, J . Gọi H là hình chiếu của A trên SC .Gọi K, L là các giao điểm K, L của SB,SD với HIJ . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. AK  SBC , B. AL  SCC.D AK  SC D. Cả A, B, C đều đúng Hướng dẫn giải:. a) SBC vuông tại B BC  SB mà BC  AD BC  SAB BC  SA . Tương tự ta có SA  CD nên SA  ABCD . S Ta có SC DS 2 DC 2 a 6 I H L SB SC 2 BC 2 a 2 K SA SB2 AB2 a . A D Vậy SA a . IJ  AC J b) Do IJ  SAC IJ  SC B C IJ  SA Lại có AH  SC HIJ  SC AK  SC 1 Dế thấy BC  SAB BC  AK 2 Từ 1 , 2 suy ra AK  SBC . Lập luận tương tự ta có AL  SCD . Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a, SA a 3 và SA  ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB Giả sử thiết diện của hình chóp S.ABC với là tứ giác MNPQ . a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì A. Hình chữ nhật B. hình vuông C. hình thang D. hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn nhất. a a 3a A. x B. x C. x D. x a 2 2 2
  39. Hướng dẫn giải:.  AB . Ta có SA P SA  AB M SAB  Do đó SA  SAB  SAB MN PSATương tự S SA P  AB P BC P BC  AB M  ABC N BC  ABC C A Q BC P M  ABC MQ PBC,Q AC B N SBC  BC  SBC  SBC NP PBC, P SC . BC P Thiết diện là tứ giác MNPQ . b) Ta có MN PSA, PQ PSA MN PPQ và MQ PBC, NP PBC MQ P NP nên MNPQ là hình bình hành. MN PSA Mặt khác NP PBC MN  NP . Vậy MNPQ là hình chữ nhật. SA  BC MN MB MB.SA a x a 3 b) Ta có MQ AM x , MN 3 a x SA AB AB a 2 a2 a a2 3 SMNPQ MN.MQ 3 a x x 3[ x ] 4 2 4 a2 3 a max S khi x . MNPQ 4 2 Câu 18: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng .2 Trêna đường thẳng qua vuôngO góc với ABCD lấy điểm S . Biết góc giữa SA và ABCD có số đo bằng 45 . Tính độ dài SO . a 3 a 2 A. .S O a 3 B. . SOC. . a 2 D. . SO SO 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Do SO  ABCD SA, ABCD S· AO 45 . Do đó SAO vuông cân tại O nên SO AO a 2 .
  40. Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC,CD đôi một vuông góc và AB a, BC b,CD c . Độ dài AD : A. . a2 b2 B.c 2. C. . a2 b2D. c.2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Hướng dẫn giải:: Ta có: BC  CD BD BC 2 CD2 b2 c2 A AB  BC Mặt khác: AB  BCD AB  BD AB  CD 2 2 2 2 2 AD AB BD a b c a Vậy chọn đáp án A . D B b c C Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 2 . Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện. a2 2 a2 2 a2 3 4a2 2 A. S B. S C. S D. S 3 2 3 3 Hướng dẫn giải:. Gọi K là hình chiếu của A trên SC thì K .Trong SAC gọi I SO  AK . BD  SA  Ta có  BD  SAC BD  AC BD  SC , mặt khác  SC nên BD P . I  SBD S Vậy BD  SBD BD P K L  SBD HL PBD, H SD, L SB Thiết diện là tứ giác AHKL . I H HL PBD B 1 A b) Do HL  AK SAHKL AH.KL BD  AK 2 Ta có SA AC a 2 SAC cân tại., mà AK  SC nên K là O SC 2a C trung điểm của SC AK a . D 2 2 HL SH SI 2 2 2a 2 HL PBD HL BD BD SD SO 3 3 3 1 2a 2 a2 2 Vậy S a. . AHKL 2 3 3
  41. Câu 21: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO 2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AA' của tam giác ABC . Xét mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AA' . Đặt AM x . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi . Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x . Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất. a 3 3a 3 3a 3a 3 A. x B. x C. x D. x 8 2 8 8 Hướng dẫn giải:. S Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO  ABC ( O là tâm tam giác ABC ).Do đó SO  AA1 mà K P AA1 SO P . Tương tự ta cũng có BC P Trường hợp 1. x 0 thì thiết diện là điểm A . A a 3 J C Trường hợp 2. 0 x thì M thuộc đoạn AO M A . M 3 I O Ta có : A1 M ABC  B BC  ABC  ABC IJ PBC, I AB, J AC BC P M  SAA1 Tương tự SO  SAA1  SAA1 MK PSO, K SA . SO P Thiết diện là tam giác KIJ . a 3 a 3 Trường hợp 3. x khi đó M thuộc đoạn S 3 2 OA M 0;M A Tương tự như trường hợp trên ta có: F M ABC  N BC  ABC E BC P A J C  ABC IJ PBC, O . M I AB, J AC A1 I M  SAA1 B SO  SAA1  SAA1 MN PSO, N SA1 . SO P N  SBC BC  SBC  SBC EF PIJ, N EF BC P Thiết diện là tứ giác IJEF .
  42. a 3 Trường hợp 4. x thì thiết diện là đoạn BC . 2 b) Xét các trường hợp: a 3 x 0 S 0 , x S 0 td 2 td a 3 1 0 x , thì S IJ.MK . 3 IJK 2 IJ AM x 2x 3 Ta có IJ PBC IJ BC AA1 a 3 3 2 MK AM x Tương tự MK 2x 3 . SO AO a 3 3 1 2x 3 Vậy S .2x 3 2x2 . IJK 2 3 a 3 a 2 1 x , dễ thây IJEF là hình thang nên S IJ EF MN 3 3 IJEF 2 a 3 x 2x 3 EF SN OM IJ , 3 EF 2 x 3 a 3 BC SA1 OA1 a 3 6 a 3 x MN MA 1 2 MN 2 3a 2x 3 SO OA1 a 3 6 2 Vậy S 4x 3 3a 3a 2x 3 . IJEF 3 a 3 a 3 3a2 Xét các trường hợp ta thấy S lớn nhất trong trường hợp x và max S khi td 3 2 IJEF 4 3a 3 x . 8 Câu 22: Cho tam giác ABC tại C có cạnh huyền nằm trên mặt phẳng P và các cạnh góc vuông tạo với P các góc ,  . Giả sử  là độ lớn góc giữa đường cao CKvới P .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. sin  2sin2 2sin2  B. sin  sin2 sin2  1 C. sin  sin2 sin2  D. sin  2 sin2 sin2  3 Hướng dẫn giải:. Kẻ CH  P thì C· KH là góc giữa CK và P và dễ thấy ·CA, P C· AH , ·CB, P C· BH  h h Đặt CH h , ta có CA ,CB sin sin 
  43. h2 h2 AB2 CA2 CB2 C sin2 sin2  2 1 1 h 2 2 . sin sin  Xét tam giác ABC có CK.AB CA.CB A H h h . K CA.CB sin sin  P B CK AB 1 sin2 sin2  2 2 2 h sin sin  h . sin2 sin2  CH Ta có sin C· KH sin2 sin2  . CK Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . SO  ABCD , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng ABCD và SBC các góc bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của A trên SBC . a a)Tính SA khi HB 2 a 5 a 5 a 5 a 3 A. B. C. D. 2 3 4 2 b) Tính góc giữa đường thẳng SA với ABCD . 3 3 A. arctan B. arctan 5 7 3 3 C. arctan D. arctan 8 2 Hướng dẫn giải:. a) Dễ thấy ·SA, ABCD S· AO nên SO SAcos 1 . OI  BC Gọi I là trung điểm của BC thì ta có BC  SIO S SO  BC Kẻ OK  SI thì OK  BC nên OK  SBC . Kẻ At POK cắt CK tại H , khi đó ta có AH PCK · AH  SBC nên SA, SBC S· AH do CK  SBC D K C H đó AH SAcos 2 . Từ 1 , 2 ta có AH SO . O I A B
  44. 2 a 2 2 2 a a 3 Khi BH thì trong tam giác vuông HAB có AH AB HB a . 2 2 2 2 2 a 3 2 2 a 3 a 2 a 5 SO AH SA SO OA . 2 2 2 2 a 3 SO 3 3 b) tan 2 arctan . OA a 2 2 2 2 Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ABCD , SC a . Góc giữa đường thẳng SC với các mặt phẳng ABCD và SAB lần lượt là và  . a) Tính SA A. SA asin B. SA a cos C. SA a tan D. SA 2asin b) Tính AB 1 A. a cos  cos  B. 2a cos  cos  2 C. 3a cos  cos  D. a cos  cos  Hướng dẫn giải:. a) Do SA  ABCD ·SA, ABCD S S· AC . BC  AB Tương tự BC  SAB BC  SA ·SC, SAB S· BC  . A β SA SC sin asin B b) SB SC sin  asin  AB SB2 SA2 a2 sin2  a2 sin2 α 1 cos 2 1 cos 2 a D C 2 2 . a cos  cos  Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của tứ diện. Gọi A, B,C là ba góc tương ứng của tam giác ABC . Đặt ·AOH,  B· OH, C· OH . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? sin2 sin2  sin2  sin2 2 sin2 2 sin2 2 A. B. sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C sin2 2 sin2 2 sin2 2 sin2 sin2  sin2  C. D. sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C Hướng dẫn giải:. ( HS tự giải)
  45. Câu 26: Cho tứ diện ABCD có B· DC 900 . Hình chiếu H của D trên mặt phẳng ABC là trực tâm tam giác ABC . a) TínhC· DA . A. C· DA 600 B. C· DA 900 C. C· DA 450 D. C· DA 300 b)Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. A. 6 DA2 DB2 DC 2 AB BC CA 2 B. 6 DA2 DB2 DC 2 5 AB BC CA 2 C. 3 DA2 DB2 DC 2 AB BC CA 2 D. 2 DA2 DB2 DC 2 3 AB BC CA 2 Hướng dẫn giải:. D BC  DH a) Vì BC  ADH BC  AH BC  DA 1 A Tương tự ta có BDH  AC DB  AC , vì vậy B DB  DC DB  ACD H M DB  AC N DB  DA 2 . C Từ 1 , 2 suy ra DA  BCD DA  DC ha C· DA 900 . b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có các cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc. Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có AB BC CA 2 3 AB2 BC 2 CA2 AB2 DA2 DB2 2 2 2 2 2 2 2 Mà BC DB DC nên . AB BC CA 6 DA DB DC 2 2 2 CA DA DC Đẳng thức xảy ra khi AB BC CA ABC đều, kết hợp với chân đường cao của D trùng với tâm đáy ta được D.ABC là hình chóp đều đỉnh D . Câu 27: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc.M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC . MA2 MB2 MC 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T . OA2 OB2 OC 2 A. minT 3 B. minT 2 C. minT 4 D. minT 6 b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC và , , lần lượt là góc gữa đường thẳng OH với các đường thẳng OA,OB,OC . Tìm giá trị lớn nhất của A cot cot  cot 2 2 1 A. max A B. max A C. max A D. max A 2 4 3 2 cos cos  cos  cos cos cos c) Tìm GTNN của S cos2  cos2 cos2  A. min S 6 3 B. min S 3 C. min S 6 D. min S 4 Hướng dẫn giải:.
  46. a) Gọi N AM  BC , kẻ MM1 POA thì ta có O OA  OBC A1 MM1  OBC MM1 POA kẻ MA1  OA, A1 OA . Khi đó 2 2 2 2 2 2 A AM AA1 MA1 AA1 MO OA1 M1 2 OM AA1 OA1 AA1 OA1 B 2 M OM OA OA 2OA1 N 2 2 OM OA 2OA.OA1 AM 2 OM 2 2OA Suy ra 1 1 1 . C OA2 OA2 OA Tương tự gọi B1,C1 là các điểm tương tự như A1 thì ta có MB2 OM 2 2OB 1 1 2 OB2 OB2 OB MC 2 OM 2 2OC 1 1 3 OC 2 OC 2 OC 2 1 1 1 OA1 OB1 OC1 Từ 1 , 2 , 3 ta có T OM 2 2 2 2 3 OA OB OC OA OB OC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta đã biết kết quả quen thuộc 2 1 1 1 1 OM OA1 OB1 OC1 2 2 2 2 nên T 2 2 3 OA OB OC OH OH OA OB OC OA NM S Mặt khác 1 MBC OA NA SABC OB S OC S OA OB OC Tương tự 1 MAC , 1 MAB nên 1 1 1 1 OB SABC OC SABC OA OB OC OM 2 Do đó T 1 2 do OM OH . OH 2 Vậy minT 2 khi M  H .    Cách 2. Đặt OA a,OB b,OC c . Do A,B,C, M đồng phẳng nên tồn tại x, y, z sao cho     OM xOA yOB zOC x y z 1 .    Ta có AM OM OA x 1 a b c , bình phương vô hướng ta được 2 2 2 2 2 2 MA 2 y b z c AM 2 x 1 a2 y2b2 z2c2 x 1 . OA2 a2 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MB x a 2 z c MC x a y b 2 Tương tự y 1 , z 1 OB2 b2 b2 OC 2 c2 c2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Vì vậy T 2 2 2 a x b y c z 1 a b c 2 1 1 1 .ax .by .cz 1 2 ( Theo Cauchy-Schwarz) a b c Vậy minT 2 . b) Dễ thấy ·AOH,  B· OH, C· OH .
  47. 2 2 2 1 1 1 1 OH OH OH Ta có 2 2 2 2 1 OA OB OC OH OA OB OC cos2 cos2  cos2  1 1 . 1 1 cot2 x Lại có 1 tan2 x cos2 x * cos2 x 1 tan2 x 1 cot2 x Áp dụng CT (*) cho x nhận các giá trị , , và kết hợp với 1 thu được cot2 cot2  cot2  1. 1 cot2 1 cot2  1 cot2  Đặt x cot2 , y cot2 , z cot2  x, y, z 0 thì bài toán trỏ thành x y z 1 Cho x, y, z 0 thỏa 1 . Chứng minh xyz . 1 x 1 y 1 z 8 x y z x y z yz Ta có 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 yz 2 2 . 1 x 1 y 1 z Tương tự ta có : 1 xz 1 xy 2 3 và 2 4 1 y 1 x 1 z 1 z 1 x 1 y 1 Nhân theo từng vế các BĐT 2 , 3 4 ta được xyz dpcm . 8 c) Tương tự như câu b) ta có min S 6 3 .