›
›
›

Hướng dẫn phương pháp giải bài tập Đại số Lớp 11

doc 128 trang nhungbui22 12/08/2022 1920
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hướng dẫn phương pháp giải bài tập Đại số Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • dochuong_dan_phuong_phap_giai_bai_tap_dai_so_lop_11.doc

Nội dung text: Hướng dẫn phương pháp giải bài tập Đại số Lớp 11

  1. Đại số 11 CHƯƠNG 0 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: tang T OP cos B T' cotang OQ sin Q sin M AT tan BT ' cot cosin O p A Nhận xét:  , 1 cos 1; 1 sin 1 tan xác định khi k ,k Z 2 cot xác định khi k ,k Z 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư I II II IV Giá trị lượng giác sin + + – – cos + – – + tan + – + – cot + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin2 + cos2 = 1; tan .cot = 1 1 1 1 tan2 ; 1 cot2 cos2 sin2 4. Cung liên kết: Trang 1
  2. Đại số 11 Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Cung hơn kém Cung hơn kém 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các gĩc (cung) đặc biệt 2 3 3 0 2 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 1 2 3 3 2 sin 0 1 0 –1 0 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 cos 1 0 –1 0 1 2 2 2 2 2 3 tan 0 1 3 3 –1 0 0 3 3 3 cot 3 1 0 –1 0 3 3 Trang 2
  3. Đại số 11 II. CƠNG THỨC CỘNG Cơng thức cộng: sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa tan a tan b tan(a b) sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa 1 tan a.tan b cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b tan a tan b tan(a b) cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b 1 tan a.tan b 1 tan 1 tan Hệ quả: tan , tan 4 1 tan 4 1 tan III. CƠNG THỨC NHÂN 1. Cơng thức nhân đơi: sin 2 2sin .cos cos2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 2 tan cot2 1 tan 2 ; cot 2 1 tan2 2 cot Cơng thức hạ bậc Cơng thức nhân ba (*) 1 cos2 3 sin2 sin3 3sin 4sin 2 cos3 4 cos3 3cos 2 1 cos2 cos 3tan tan3 2 tan3 1 cos2 2 tan2 1 3tan 1 cos2 2. Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : 2 2t 1 t2 2t Đặt: t tan ( 2k ) thì: sin ; cos ; tan 2 1 t2 1 t2 1 t2 IV. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Cơng thức biến đổi tổng thành tích: Trang 3
  4. Đại số 11 a b a b sin(a b) cosa cosb 2 cos .cos tan a tan b 2 2 cosa.cosb a b a b sin(a b) cosa cosb 2sin .sin tan a tan b 2 2 cosa.cosb a b a b sin(a b) sin a sin b 2sin .cos cot a cot b 2 2 sin a.sin b a b a b sin(b a) sin a sin b 2 cos .sin cot a cot b 2 2 sin a.sin b sin cos 2.sin 2.cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 2. Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.cosb sin(a b) sin(a b) 2 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T 1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0 2 . 2 * y = sin(ax + b) cĩ chu kỳ T 0 a Trang 4
  5. Đại số 11 * y = sin(f(x)) xác định f (x) xác định. y cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T 1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 2 . 2 * y = cos(ax + b) cĩ chu kỳ T 0 a * y = cos(f(x)) xác định f (x) xác định.  y tan x : Tập xác địnhD R \ k ,k Z ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 . 2  * y = tan(ax + b) cĩ chu kỳ T 0 a * y = tan(f(x)) xác định f (x) k (k Z) 2 y cot x : Tập xác địnhD R \ k ,k Z; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 . * y = cot(ax + b) cĩ chu kỳ T 0 a * y = cot(f(x)) xác định f (x) k (k Z) . * y = f1(x) cĩ chu kỳ T1 ; y = f2(x) cĩ chu kỳ T2 Thì hàm số y f1(x) f2(x) cĩ chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Bài 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: 2x a) y sin b) y sin x c) y 2 sin x x 1 2 1 d) y 1 cos x e) y f) y tan x sin x 1 6 sin x 1 g) y cot x h) y i) y = 3 cos(x ) tan x 1 Trang 5
  6. Đại số 11 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = 2sin x 1 b) y 2 cos x 1 3 c) y sin x 4 d) y 4sin2 x 4sin x 3 e) y cos2 x 2sin x 2 f) y sin4 x 2 cos2 x 1 g) y = sinx + cosx h) y = 3 sin 2x cos2x i) y = sin x 3 cos x 3 Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx sin x tan x cos3 x 1 g) y = h) y = i) y = tan x sin x cot x sin3 x Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số: x a) y sin 2x b) y cos c) y sin2 x 3 x 3x 2x d) y sin 2x cos e) y tan x cot 3x f) y cos sin 2 5 7 g) y 2sin x. cos3x h) y cos2 4x i) y = tan( 3x + 1) HD: a) b) 6 c) d) 4 e) f) 70 g) h) i) 4 3 Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D. – Tìm chu kỳ T0 của hàm số. – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn cĩ độ dài bằng chu kỳ T0 cĩ thể chọn: T0 T0 x 0, T0 hoặc x , . 2 2 – Vẽ đồ thị trên đoạn cĩ độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thị cịn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v k.T0.i về bên trái và Trang 6
  7. Đại số 11 phải song song với trục hồnh Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn vị nếu a < 0. b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hồnh. f (x), nếu f (x) 0 c) Đồ thị y f (x) được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ f (x), nếu f (x) 0 nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh. y Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. 1 y = sinx – Tập xác định: D = R. 3 0 3 5 x – Tập giá trị: 1, 1 .  2 2 2 2 2 – Chu kỳ: T = 2 . –1 – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 3 x 0 2 2 2 1 y 0 0 0 –1 – Tịnh tiến theo véctơ v 2k .i ta được đồ thị y = sinx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, và nghịch biến trên , . 2 2 y Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. 1 y = cosx – Tập xác định: D = R. 3 0 3  5 x 2 2 2 2 – Tập giá trị: 1, 1 . 2 –1 Trang 7
  8. Đại số 11 – Chu kỳ: T = 2 . – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : 3 x 0 2 2 2 1 1 y 0 0 –1 – Tịnh tiến theo véctơ v 2k .i ta được đồ thị y = cosx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 3 – Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, và nghịch biến trên khoảng , . 2 2 Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. y  – Tập xác định: D = R \ k ,k Z y = tanx 2  – Tập giá trị: R. 3 O 3 2 5 – Giới hạn: lim y x 2 2 2 2 2 x 2 x : là tiệm cận đứng. 2 – Chu kỳ: T = . x 0 – Bảng biến thiên trên , : 2 2 2 2 + y 0 – – Tịnh tiến theo véctơ v k .i ta được đồ thị y = tanx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luơn đồng biến trên tập xác định D. Trang 8
  9. Đại số 11 Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. y – Tập xác định: D = R \ k ,k Z y = cotx – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 2 2 3 O 3 x lim y , lim y 2 2 2 2 x 0 x x tiệm cận đứng: x = 0, x = . – Chu kỳ: T = . – Bảng biến thiên trên đoạn 0, : x 0 2 + y 0 – – Tịnh tiến theo véctơ v k .i ta được đồ thị y = cotx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luơn giảm trên tập xác định D. Trang 9
  10. Đại số 11 Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. y 1 y = –sinx –2 3 O 3 2 x 2 2 2 2 –1 Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx sin x, nếu sin x 0 y sin x -sin x, nếu sin x < 0. y 1 y = /sinx/ O 3 2 x 2 2 2 Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y 1 cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị y cos x lên trục hồnh 1 đơn vị. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : 3 x 0 2 2 2 1 1 y = cosx 0 0 –1 2 2 y = 1 + cosx 1 1 0 Trang 10
  11. Đại số 11 y 2 1 y = 1 + cosx y = cosx O 3 x 2 2 2 –1 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x cĩ chu kỳ T = – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : x 0 2 4 2 2 2x 0 2 2 1 y = sin2x 0 0 0 –1 y 1 y = sin2x O 3 5 x 2 4 4 2 2 4 –1 Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. Trang 11
  12. Đại số 11 – y = cos2x cĩ chu kỳ T = – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : x 0 2 4 4 2 2x 0 2 2 1 y = cos2x 0 0 –1 –1 y 1 y = cos2x O 3 x 2 4 4 2 4 –1 Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y sin x cĩ chu kỳ T = 2 . 4 3 3 x – 0 4 2 4 4 2 4 3 3 5 x 0 0 4 4 2 4 4 2 2 4 1 2 2 2 2 y sin x 0 0 4 2 2 2 2 –1 2 2 y 1 2 / 2 y = sin x 4 3 O 3 5 3 7 x 4 2 4 4 2 4 4 2 4 2 / 2 –1 Trang 12
  13. Đại số 11 Ví dụ 11: Vẽ đồ thị y cos x cĩ chu kỳ T = 2 . 4 3 3 x – 0 4 2 4 4 2 4 5 3 3 x 0 4 4 4 2 4 4 2 4 1 2 2 y cos x 0 2 2 0 4 2 2 2 2 –1 2 2 Ví dụ 12: Vẽ đồ thị y sin x cos x 2 sin x cĩ chu kỳ T = 2 . 4 3 3 x – 0 4 2 4 4 2 4 3 3 5 x 0 4 4 2 4 4 2 4 4 2 –1 2 0 2 1 2 0 2 sin x 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin x 0 0 4 –1 –1 –1 2 2 2 sin x cosx 1 1 1 1 1 0 0 Trang 13
  14. Đại số 11 y 2 1 y = 2 sin x 4 3 O 3 5 3 7 x 4 2 4 4 2 4 4 2 4 2 –1 y 2 1 y = sin x cos x 3 O 3 5 3 7 x 4 2 4 4 2 2 4 2 4 Ví dụ 13: Vẽ đồ thị y cos x sin x 2 cos x cĩ chu kỳ T = 2 . 4 3 0 3 x 4 2 4 4 2 4 2 2 2 2 cosx –1 0 1 0 –1 2 2 2 2 2 2 2 2 sinx 0 –1 0 1 0 2 2 2 2 cosx – sinx –1 0 1 2 1 0 –1 2 –1 2 2 cosx sin x 1 1 1 1 1 0 0 Trang 14
  15. Đại số 11 y y 2 2 1 y = cosx – sinx 1 y = cosx – sinx 3 o 3 5 3 o 3 5 x x 4 2 4 4 2 4 4 4 2 4 4 2 4 4 1 2 Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.  – Tập xác định: D R \ k. ,k Z 2  – Chu kỳ T = . 0 x 2 3 4 6 6 4 3 2 3 3 tanx  3 –1 0 1 3  3 3 3 3 cotx 0 –1 3  3 1 0 3 3 + + 4 3 4 3 y = 2 3 3 tanx + cotx 4 3 4 3 2 3 3 – – Trang 15
  16. Đại số 11 y y = tanx + cotx 4 3 3 2 O x 2 3 4 6 6 4 3 2 –2 4 3 3 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = sin x k2 a) sin x sin (k Z) x k2 sin x a. Điều kiện : 1 a 1. b) x arcsin a k2 sin x a (k Z) x arcsin a k2 c) sin u sin v sin u sin( v) Trang 16
  17. Đại số 11 d) sin u cosv sin u sin v 2 e) sin u cosv sin u sin v 2 Các trường hợp đặc biệt: sin x 0 x k (k Z) sin x 1 x k2 (k Z) sin x 1 x k2 (k Z) 2 2 sin x 1 sin2 x 1 cos2 x 0 cos x 0 x k (k Z) 2 2. Phương trình cosx = cos a) cos x cos x k2 (k Z) cos x a. Điều kiện : 1 a 1. b) cos x a x arccosa k2 (k Z) c) cosu cosv cosu cos( v) d) cosu sin v cosu cos v 2 e) cosu sin v cosu cos v 2 Các trường hợp đặc biệt: cos x 0 x k (k Z) 2 cos x 1 x k2 (k Z) cos x 1 x k2 (k Z) cos x 1 cos2 x 1 sin2 x 0 sin x 0 x k (k Z) 3. Phương trình tanx = tan a) tan x tan x k (k Z) b) tan x a x arctan a k (k Z) c) tan u tan v tan u tan( v) Trang 17
  18. Đại số 11 d) tan u cot v tan u tan v 2 e) tan u cot v tan u tan v 2 Các trường hợp đặc biệt: tan x 0 x k (k Z) tan x 1 x k (k Z) 4 4. Phương trình cotx = cot cot x cot x k (k Z) cot x a x arccot a k (k Z) Các trường hợp đặc biệt: cot x 0 x k (k Z) cot x 1 x k (k Z) 2 4 5. Một số điều cần chú ý: a) Khi giải phương trình cĩ chứa các hàm số tang, cotang, cĩ mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x k (k Z). 2 * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k (k Z) * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x k (k Z) 2 * Phương trình cĩ mẫu số: sin x 0 x k (k Z) cos x 0 x k (k Z) 2 tan x 0 x k (k Z) 2 cot x 0 x k (k Z) 2 b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Trang 18
  19. Đại số 11 2. Dùng đường trịn lượng giác. 3. Giải các phương trình vơ định. Bài 1. Giải các phương trình: 1) cos 2x 0 2) cos 4x 1 3) cos x 1 6 3 5 x 4) sin 3x 0 5) sin 1 6) sin 2x 1 3 2 4 6 1 0 2 x 3 7) sin 3x 1 8) cos x 15 9) sin 2 2 2 3 2 1 0 3 10) cos 2x 11) tan 2x 1 3 12) cot 3x 10 6 2 3 2 13) tan 3x 1 14) cot 2x 1 15) cos(2x + 250) = 6 3 2 Bài 2. Giải các phương trình: 1) sin(3x 1) sin(x 2) 2) cos x cos 2x 3 6 3) cos3x sin 2x 4) sin(x 1200 ) cos2x 0 x 5) cos 2x cos x 0 6) sin3x sin 0 3 3 4 2 7) tan 3x tan x 8) cot 2x cot x 4 6 4 3 9) tan(2x 1) cot x 0 10) cos(x2 x) 0 11) sin(x2 2x) 0 12) tan(x2 2x 3) tan 2 1 13) cot2 x 1 14) sin2 x 2 1 2 2 15) cos x 16) sin x cos x 2 4 Trang 19
  20. Đại số 11 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng Đặt Điều kiện asin2x bsin x c 0 t = sinx 1 t 1 a cos2 x b cos x c 0 t = cosx 1 t 1 a tan2 x b tan x c 0 t = tanx x k (k Z) 2 a cot2 x b cot x c 0 t = cotx x k (k Z) Nếu đặt: t sin2 x hoặc t sin x thì điều kiện : 0 t 1. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan2 x 1 3 tan x 3 0 5) 4sin2 x 2 3 1 sin x 3 0 6) 4 cos3 x 3 2 sin 2x 8cos x 7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 4sin23x + 2 3 1 cos3x 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 1 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 3 3 tan x 3 3 0 cos2 x 3 4 5) + tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + = 0 cos x 1 tan2 x 1 1 7) = cotx + 3 8) + 3cot2x = 5 sin2 x cos2 x x 4 9) cos2x – 3cosx = 4 cos2 10) 2cos2x + tanx = 2 5 sin3x cos3x 3 cos2x Bài 3. Cho phương trình sin x . Tìm các nghiệm của phương 1 2sin 2x 5 trình thuộc 0 ; 2 . Trang 20
  21. Đại số 11 Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ; . 4 4 4 5 Bài 5. Giải phương trình : sin x sin x sin x . 4 4 4 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: a b c (1) sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b Đặt: sin , cos 0, 2 a2 b2 a2 b2 c phương trình trở thành: sin .sin x cos .cos x a2 b2 c cos(x ) cos  (2) a2 b2 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: c 1 a2 b2 c2. a2 b2 (2) x  k2 (k Z) Cách 2: x a) Xét x k2 k cĩ là nghiệm hay khơng? 2 2 x b) Xét x k2 cos 0. 2 x 2t 1 t2 Đặt: t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1 t2 1 t2 (b c)t2 2at c b 0 (3) Vì x k2 b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi: Trang 21
  22. Đại số 11 ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2. x Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan t . 2 0 Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2 b2 c2. 3) Bất đẳng thức B.C.S: y a.sin x b.cos x a2 b2 . sin2 x cos2 x a2 b2 sin x cos x a min y a2 b2 và max y a2 b2 tan x a b b Bài 1. Giải các phương trình sau: 6 1) cos x 3 sin x 2 2) sin x cos x 3) 3 cos3x sin3x 2 2 4) sin x cos x 2 sin 5x 5) 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 6) 3 sin 2x sin 2x 1 2 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 2sin2 x 3 sin 2x 3 2) sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x 3 1 3) 8cos x 4) cosx – 3 sin x 2 cos x sin x cos x 3 5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 Bài 4. Giải các phương trình sau: 3 2 1) 2sin x + sin x = 2) 3 cos2x sin 2x 2sin 2x 2 2 4 4 2 6 Bài 5. Tìm m để phương trình: (m + 2)sinx + mcosx = 2 cĩ nghiệm . Bài 6. Tìm m để phương trình: (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vơ nghiệm. Trang 22
  23. Đại số 11 IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn (1) hay khơng? Lưu ý: cosx = 0 x k sin2 x 1 sin x 1. 2 Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được: a.tan2 x b.tan x c d(1 tan2 x) Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a d)t2 b.t c d 0 Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc 1 cos2x sin 2x 1 cos2x (1) a. b. c. d 2 2 2 b.sin 2x (c a).cos2x 2d a c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2sin2 x 1 3 sin x.cos x 1 3 cos2 x 1 2) 3sin2 x 8sin x.cos x 8 3 9 cos2 x 0 3) 4sin2 x 3 3 sin x.cos x 2 cos2 x 4 1 4) sin2 x sin 2x 2 cos2 x 2 5) 2sin2 x 3 3 sin x.cos x 3 1 cos2 x 1 6) 5sin2 x 2 3 sin x.cos x 3cos2 x 2 7) 3sin2 x 8sin x.cos x 4 cos2 x 0 8) 2 1 sin2 x sin 2x 2 1 cos2 x 2 9) 3 1 sin2 x 2 3 sin x.cos x 3 1 cos2 x 0 10) 3cos4 x 4sin2 x cos2 x sin4 x 0 11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 Trang 23
  24. Đại số 11 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 1) sin3 x 2sin x.cos2 x – 3cos3 x 0 2) 3 sin x.cos x sin2 x 2 3) sin3 x 5sin2 x.cos x 3sin x.cos2 x 3cos3 x 0 Bài 3. Tìm m để phương trình: m 1 sin2 x –sin 2x 2cos2 x 1 cĩ nghiệm. Bài 4. Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vơ nghiệm . V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 Đặt: t cos x sin x 2.cos x  ; t 2. 4 1 t2 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t2 1). 2 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa t 2. Suy ra x. Lưu ý dấu: cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 Đặt: t cos x sin x 2. cos x  ; Đk : 0 t 2. 4 1 sin x.cos x (t2 1). 2 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bài 1. Giải các phương trình: Trang 24
  25. Đại số 11 1) 2sin 2x 3 3 sin x cos x 8 0 2) 2 sin x cos x 3sin 2x 2 3) 3 sin x cos x 2sin 2x 3 4) 1 2 1 sin x cos x sin 2x 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) 1 2 sin x cos x sin 2x 1 2 Bài 2. Giải các phương trình: 1) sin 2x 4 cos x sin x 4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 3) 1 2 1 sin x cos x sin 2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 5) sin2x + 2 sin x 1 4 2 6) sin x cos x 2 1 (sin x cos x) 2 0 Bài 3. Giải các phương trình: 1) sin3x + cos3x = 1 + 2 2 sinx.cosx2) 2sin2x – 3 6 sin x cos x 8 0 VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Bài 1. Giải các phương trình sau: 3 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 2 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 1 1) sin6x + cos6x = 2) sin8x + cos8x = 4 8 1 3) cos4x + 2sin6x = cos2x 4) sin4x + cos4x – cos2x + – 1 = 0 4sin2 2x Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x Trang 25
  26. Đại số 11 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) Bài 4. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Bài 5. Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Bài 6. Giải các phương trình sau: 1 1) sin3x + cos3x + sin 2x.sin x = cosx + sin3x 2 4 2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT A. TỔ HỢP I. Qui tắc đếm 1. Qui tắc cộng: Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A cĩ m cách thực hiện, phương án B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện. Trang 26
  27. Đại số 11 2. Qui tắc nhân: Một cơng việc nào đĩ cĩ thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A cĩ m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đĩ cĩ m.n cách thực hiện. Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C cĩ 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D cĩ 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D cĩ 3 con đường. Khơng cĩ con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: cĩ 12 đường. Bài 2: Cĩ 25 đội bĩng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi cĩ bao nhiêu trận đấu? ĐS: cĩ 25.24 = 600 trận Bài 3: a) Một bĩ hoa gồm cĩ: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi cĩ mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa? b) Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau cĩ những chữ số khác nhau? ĐS: a) 18. b) 15. Bài 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên cĩ bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? ĐS: 36. Bài 5: Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b) Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35. b) 29. Bài 6: Một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên tốn. Thành lập một đồn gồm hai người sao cho cĩ một học sinh chuyên tốn và một học sinh chuyên tin. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một đồn như trên? Trang 27
  28. Đại số 11 Bài 7: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ơng và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. Bài 8: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu khơng được ở gần nhau. Bài 9: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đĩ cĩ 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đĩ, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đĩ phải cĩ ít nhất một người nam. ĐS: 161. Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x A, y A b) {x, y}  A c) x A, y A và x y 6 . ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp. Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, , n} trong đĩ n là số nguyên dương lớn hơn 1. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: x A, y A, x y . n(n 1) ĐS: . 2 Bài 12: Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nĩ khơng thay đổi). ĐS: Số cần tìm cĩ dạng: abcba cĩ 9.10.10 = 900 (số) Bài 13: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 14: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số? b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số? c) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000. Bài 15: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số? d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại? Trang 28
  29. Đại số 11 f) Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24. Bài 16: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300? c) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5? d) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn? e) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ? ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48. Bài 17: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ĐS: a) 35. b) 24. II. Hốn vị 1. Giai thừa: n! = 1.2.3 n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2) n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2) n (với n>p) (n p)! 2. Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của n phần tử. Số các hốn vị của n phần tử là:P n = n! 3. Hốn vị lặp: Trang 29
  30. Đại số 11 Cho k phần tử khác nhau: a 1, a2, , ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đĩ gồm n 1 phần tử a1, n2 phần tử a 2, , nk phần tử a k (n1+n2+ + nk = n) theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử. Số các hốn vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử là: n! Pn(n1, n2, , nk) = n1!n2 ! nk ! 4. Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hốn vị vịng quanh của n phần tử. Số các hốn vị vịng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 7!4! 8! 9! 2011! 2009 5! (m 1)! A = B = . C = . 10! 3!5! 2!7! 2010! 2009! 2011 m(m 1) (m 1)!3! 7! (m 2)! n n k 1 D = . E = k.k! F = 2   (m m) 4!(m 1)! k 1 k 2 k! 6! 1 (m 1)! m.(m 1)! A = . . (với m 5) (m 2)(m 3) (m 1)(m 4) (m 5)!5! 12.(m 4)!3! Bài 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 (n –1)Pn–1 b) Pn (n 1)Pn 1 (n 2)Pn 2 2P2 P1 1 n2 1 1 1 1 1 1 c) d) 1 3 n! (n 1)! (n 2)! 1! 2! 3! n! e) n! 2n 1 Bài 3: Giải các bất phương trình sau: 1 5 (n 1)! n.(n 1)! a) . 5 b) 4 n! (n 1)! 50 n 2 n 1 (n 3)!4! 12(n 3).(n 4)!2! n! c) n3 10 (n 2)! (n 1)n ĐS: a) 5 n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3 6 Bài 4: Giải các phương trình sau: Trang 30
  31. Đại số 11 2 Px Px 1 1 (n 1)! a) P2.x – P3.x 8 b) c) 72 Px 1 6 (n 1)! n! n! n! n! d) 3 e) (n 3)! f) n3 10 (n 2)! (n 1)! 20n (n 2)! ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8 d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2 Bài 5: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Khơng bắt đầu bằng 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số: a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Khơng bắt đầu bởi chữ số 1? c) Bắt đầu bởi 19? d) Khơng bắt đầu bởi 135? ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118. Bài 7: Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên cĩ được từ các hốn vị của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j 1,2,3,4,5,6,7, số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. Tổng tất cả các số là: (6!1+ +6!7) + (6!1+ +6!7).10 + + (6!1+ +6!7).106 = 6! (1+2+ +7).(1+10+ +106) Bài 8: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hốn vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. ĐS: 279999720. Bài 9: Trên một kệ sách cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng mơn? c) Theo từng mơn và sách Tốn nằm ở giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 10: Cĩ 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn trịn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 khơng ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ khơng ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Cĩ 4!5.4.3 cách sắp xếp Trang 31
  32. Đại số 11 Bài 11: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng một lần? 8! 7 ĐS: 3! 3! Bài 12: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. ĐS: 18. Bài 13: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480. Bài 14: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa? b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? ĐS: a) 24. b) 12. Bài 15: Một hội nghị bàn trịn cĩ phái đồn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000. Bài 16: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Cĩ 5 người trong nhĩm muốn ngồi kề nhau? b) Cĩ 2 người trong nhĩm khơng muốn ngồi kề nhau? ĐS: a) 86400. b) 2903040. Bài 17: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ cĩ nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 34560. b) 120960. Bài 18: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đĩ phải cĩ 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400. Bài 19: Cĩ 2 đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phịng thi cĩ 5 dãy Trang 32
  33. Đại số 11 ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau cĩ đề khác nhau, cịn các em ngồi nối đuơi nhau cĩ cùng một đề? ĐS: 26336378880000. Bài 20: Cĩ 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? ĐS: 298598400. Bài 21: Trên giá sách cĩ 30 tập sách. Cĩ thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để cĩ: a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? b) Tập 5 và tập 6 khơng đứng cạnh nhau? ĐS: a) 2.29!. b) 28.29!. Bài 22: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số cịn lại cĩ mặt đúng một lần? ĐS: 3360. Bài 23: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần. ĐS: 5880. Bài 24: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi cĩ bao nhiêu số như thế nếu: a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? b) Các chữ số được xếp tuỳ ý? ĐS: a) 120. b) 3024. III. Chỉnh hợp Trang 33
  34. Đại số 11 1. Chỉnh hợp (khơng lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 k n) theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ak n(n 1)(n 2) (n k 1) n (n k)! Cơng thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. n Khi k = n thì An = Pn = n! 2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đĩ mỗi phần tử cĩ thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A. k k Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An n Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 2 5 A5 A10 1 2 3 4 A = B = P1A2 P2 A3 P3A4 P4 A5 P1P2P3P4 P2 7P5 12 11 10 9 A A A A P P P P 2 C = 49 49 17 17 D = 5 4 3 2 A 10 8 4 3 2 1 5 A49 A17 A5 A5 A5 A5 39A10 12!(5! 4!) 21(P P ) E = 49 F = 3 2 38A10 A11 13!4! P P P P 49 49 20 5 4 3 2 4 3 2 1 A5 A5 A5 A5 ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 n 1 a) , với n N, n 2. 2 2 2 n A2 A3 An n 2 n 1 2 n b) An k An k k .An k với n, k N, k 2 k k k 1 c) An An 1 k.An 1 Bài 3: Giải các phương trình sau: Trang 34
  35. Đại số 11 3 3 2 2 2 a) An 20n b) An 5An = 2(n + 15) c) 3An A2n 42 0. P d) n 2 210 e) 2( A3 3A2 ) = P f) 2P 6A2 P A2 12 n 4 n n n+1 n n n n An 1 .P3 10 9 8 2 2 2 2 g) Ax Ax 9Ax . h) Px .Ax 72 6(Ax 2Px ) i) 2Ax 50 A2x Ay 1 P x 1. x y 5 6 5 4 k) 72. l) Pn 3 720An.Pn 5 m) An An An Px 1 ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 5 e) n = 4 f) n = 2; 3 g) x = 11. h) x = 3; 4. i) x = 5. k) x = 8, y 7, y N. Bài 4: Giải các bất phương trình: 4 4 An 4 15 An 2 143 3 a) b) 0 c) An 15 15n (n 2)! (n 1)! Pn 2 4Pn 1 1 3 2 An 1 143 d) An An 12 e) 0 Pn 2 4Pn 1 ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2 n 36 4 An 4 143 Bài 5: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, x3, , xn với: xn (n 1, 2, 3, ) Pn 2 4.Pn 63 23 ĐS: n 1, x ; n 2, x . 1 1 4 2 2 8 Bài 6: Một cuộc khiêu vũ cĩ 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn cĩ thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn? 3 3 ĐS: Cĩ A10.A6 cách Bài 7: Trong khơng gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – khơng. Hỏi cĩ thể cĩ được bao nhiêu vectơ? 2 ĐS: A4 = 12 vectơ Bài 8: Một lớp học chỉ cĩ các bàn đơi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này cĩ bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ cĩ thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) 2 ĐS: An = 132 n = 12 Bài 9: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phĩ và 1 thư ký. Hỏi cĩ mấy cách chọn? Trang 35
  36. Đại số 11 ĐS: 6840. Bài 10: Huấn luyện viên một đội bĩng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Cĩ bao nhiêu cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ cĩ khả năng như nhau? (kể cả thủ mơn). b) Cĩ 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4. ĐS: a) 55440. b) 120. Bài 11: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a) Người đĩ cĩ 6 pho tượng khác nhau? b) Người đĩ cĩ 4 pho tượng khác nhau? c) Người đĩ cĩ 8 pho tượng khác nhau? ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160. Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9, cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? 4 5 ĐS: a) 9.A9 b) Cĩ 9 số Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải cĩ mặt chữ số 5? 4 3 3 ĐS: a) 6. A6 b) 6.A5 3.5A5 c) Số gồm 5 chữ số cĩ dạng: abcde 4 Nếu a = 5 thì cĩ A6 số Nếu a 5 thì a cĩ 5 cách chọn. Số 5 cĩ thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e cĩ 4 3 cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí cịn lại cĩ thể chọn từ 5 chữ số cịn lại cĩ A5 cách chọn. 4 3 Cĩ A6 4.5.A5 = 1560 số Bài 14: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 cĩ thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? 3 ĐS: A10 1= 999 Bài 15: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số với: Trang 36
  37. Đại số 11 a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? 4 4 ĐS: a) 9. A10 = 9.10 số 6 5 5 5 4 b) Cĩ tất cả: A10 A10 = 9.10 số gồm 6 chữ số Cĩ 9.10 – 9.10 số c) Cĩ 9.10.10.10 = 9000 số Bài 16: Cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số? Trong đĩ cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số khác nhau? 6 6 6 ĐS: a) A10 = 10 b) A10 = 15120 Bài 17: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, , Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Hỏi: a) Cĩ bao nhiêu biển số xe trong đĩ cĩ ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đơi một khác nhau? b) Cĩ bao nhiêu biển số xe cĩ hai chữ cái khác nhau và cĩ đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? ĐS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26 26 – 1 = 675 cách 4 Số cách chọn 4 chữ số: A10 = 5040 cách Số biển số xe: 675 5040 = 3.402.000 số b) Chữ cái thứ nhất: cĩ 26 cách chọn Chữ cái thứ hai: cĩ 25 cách chọn Các cặp số lẻ giống nhau cĩ thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) Cĩ 5 cách chọn 1 cặp số lẻ. 2 Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí cĩ C4 cách 2 Cĩ 5.C4 cách sắp xếp cặp số lẻ. Cịn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn: Chữ số chẵn thứ nhất: cĩ 5 cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: cĩ 5 cách chọn 2 Cĩ 26 25 5 C4 5 5 = 487500 cách Bài 18: a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đĩ bằng 18? b) Hỏi cĩ bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đĩ? ĐS: Chú ý: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 Trang 37
  38. Đại số 11 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 a) 3 5 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số Bài 19: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau và thoả: a) Số chẵn. b) Bắt đầu bằng số 24. c) Bắt đầu bằng số 345. d) Bắt đầu bằng số 1? Từ đĩ suy ra các số khơng bắt đầu bằng số 1? ĐS: a) 312. b) 24. c) 6. d) 120 ; 480. Bài 20: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đơi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: a) n là số chẵn? b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a) 3000. b) 2280. Bài 21: a) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và số 1. (HVCN Bưu chính Viễn thơng, 1999) c) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đĩ nhất thiết phải cĩ mặt chữ số 4. ĐS: a) 18. b) 42000. c) 13320. Bài 22: a) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. b) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của các số này. ĐS: a) 37332960. b) 96 ; 259980. Bài 23: a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0). (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Cĩ bao nhiêu số lẻ cĩ 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho. (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a) 3024. b) 36960. Trang 38
  39. Đại số 11 IV. Tổ hợp 1. Tổ hợp (khơng lặp): Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ak n! Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ck n n k! k!(n k)! 0 Qui ước: Cn = 1 Trang 39
  40. Đại số 11 Tính chất: n k 1 C0 Cn 1; Ck Cn k ; Ck Ck 1 Ck ; Ck Ck 1 n n n n n n 1 n 1 n k n 2. Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1;a2; ;an và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đĩ mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. k k m 1 Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Cn Cn k 1 Cn k 1 3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: k k Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi cơng thức: An k!Cn Chỉnh hợp: cĩ thứ tự. Tổ hợp: khơng cĩ thứ tự. Những bài tốn mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp. Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): k + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cn k + Cĩ thứ tự, khơng hồn lại: An k + Cĩ thứ tự, cĩ hồn lại: An Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 1 C4 C3 C4 A2 A = C23 C13 3C7 B = 7 7 8 3 C = 25 15 10 5 6 6 P 1 C10 C10 C11 2 8 9 10 C15 2C15 C15 10 C17 C5 2C6 C7 D = 15 15 15 7 C17 ĐS: A = – 165 B = 4 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: Trang 40
  41. Đại số 11 P C8 2C9 C10 A = Cn.Cn .Cn ; B = n 2 15 15 15 ; n 2n 3n k 10 An .Pn k C17 C2 Ck Cn C = C1 2 n k n n n n 1 k 1 n 1 Cn Cn Cn (3n)! n(n 1) ĐS: A = B = (n+1)(n+2) + 1 C = (n!)3 2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh các hệ thức sau: n a) Ck .C p k C p.Ck (k p n) b) Ck Ck 1 (1 k n) n n k n p n k n 1 k 1 k k 1 k 1 m k k m k c) Cn 2Cn Cn Cn 2 d) Cn .Cm Cn .Cn k (0 k m n) k k 1 k 2 k 3 k 2 k 3 k k 2 e) 2Cn 5Cn 4Cn Cn Cn 2 Cn 3 f) k(k 1)Cn n(n 1)Cn 2 ( 2 < k < n) k k 1 k 2 k 3 k g) Cn 3Cn 3Cn Cn Cn 3 (3 k n) k k 1 k 2 k 3 k 4 k h) Cn 4Cn 6Cn 4Cn Cn Cn 4 (4 k n) k 1 k k ĐS: Sử dụng tính chất: Cn Cn Cn 1 Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau: 0 p 1 p 1 p 0 p 0 2 1 2 n 2 n a) Cr .Cq Cr .Cq Cr .Cq Cr q b) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2n 0 2 4 2 p 1 3 2 p 1 2 p 1 c) C2 p C2 p C2 p C2 p C2 p C2 p C2 p c 1 2 3 p p p p d) 1 Cn Cn Cn ( 1) Cn ( 1) Cn 1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế. b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p r r 1 r d) Sử dụng Cn Cn 1 Cn 1 , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1. Trang 41
  42. Đại số 11 Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 1 n 1 Bài 1: Chứng minh rằng: .C2n ( n N, n 1) 22n 2n 1 1 n (2n)! 1.3.5 (2n 1) HD: Biến đổi vế trái: .C2n 22n 22n.n!n! 2.4.6 (2n) 1.3.5 (2n 1) 1 Vậy ta phải chứng minh: 2.4.6 (2n) 2n 1 2k 1 ( 2k 1)2 ( 2k 1)2 2k 1 Ta cĩ: 2k 4k2 4k2 1 2k 1 Cho k lần lượt từ 1, 2, , n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. n n n 2 Bài 2: Chứng minh rằng: C2n k .C2n k (C2n ) (với k, n N, 0 k n) n n HD: Đặt uk = C2n k .C2n k (k = 0;1; ;n) Ta chứng minh: uk > uk+1 (*) n n n n Thật vậy, (*) C2n k .C2n k C2n k 1.C2n k 1 n + 2nk > 0 Điều này luơn luơn đúng đpcm. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp k 1 k m Bài 1: a) Chứng minh: Cn Cn với n = 2m, k m. Từ đĩ suy ra Cn là lớn nhất. k 1 k b) Chứng minh: Cn Cn với n = 2m + 1, k m. m m 1 Từ đĩ suy ra Cn ; Cn là lớn nhất. n k 1 Ck n 1 HD: a) Theo tính chất: Ck .Ck 1 n 1 n k n k 1 k Cn n 1 Với k m 2k n 1 1 Ck Ck 1 k n n k n k k Vì Cn Cn nên Cn lớn nhất. b) Tương tự p Bài 2: Cho n > 2, p [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Cn . n HD: Vì C p Cn p nên ta chi cần xét 1 p n n 2 Trang 42
  43. Đại số 11 C p n p 1 n 1 Ta cĩ: C p C p 1 n > 1 p < n n p 1 p 2 Cn p 1 n 1 Vậy Cn nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với Cn Cn = n n 1 n C p lớn nhất khi p = (nếu n lẻ) hoặc p = (nếu n chẵn) n 2 2 p Bài 3: Với giá trị nào của p thì Cn lớn nhất. C p m p 1 m 1 HD: Ta cĩ: m 1. Tỉ số này giảm khi p tăng. p 1 p p Cm m p 1 m 1 C p C p 1 1, do đĩ: p m m p 2 1 Nếu m chẵn: m = 2k p k + 2 1 Để C p C p 1 ta phải cĩ: p k + , vì p, k N nên chọn p = k m m 2 Nếu m lẻ: m = 2k + 1 p k + 1, ta sẽ cĩ: C p (2k 1)! m 1 khi p = k + 1 C p Ck 1 p 1 m 2k 1 (k 1)!k! Cm * Áp dụng bài tốn này ta cĩ thể giải nhiều bài tốn khác. Ví dụ: Cĩ 25 học sinh. Muốn lập thành những nhĩm gồm p học sinh. Tìm giá trị của p để được số cách chia nhĩm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhĩm đĩ. p * Vì cĩ 25 học sinh, chọn p em nên số nhĩm cĩ thể lập là C25 . p Theo trên, ta cĩ m = 25 (lẻ) với k = 12 do đĩ C25 lớn nhất khi p = k + 1 = 13. 13 Vậy p = 13, khi đĩ: số nhĩm tối đa cĩ thể lập: C25 = 5200300. Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình cĩ chứa biểu thức tổ hợp Bài 1: Giải các phương trình sau: A4 24 1 1 1 a) n b) c) C1 6C2 6C3 9x2 14x 3 n 4 23 x x x x x x An 1 Cn C4 C5 C6 Trang 43
  44. Đại số 11 x 4 2x 10 2 x 2 1 2 x 2 d) C10 x C10 x e) x C4 .x C3 .C3 0 f) Ax 2 Cx 101 x 3 3 x 2 3 3 x 2 g) C8 x 5Ax 6 h) Cx 1 2Cx 1 7(x 1) i) Ax Cx 14x A5 C2x 225 7 k) x 336 l) 28 m) C1 C 2 C3 x x 5 2x 4 52 x x x 2 Cx 2 C24 x 1 x 2 x 3 x 10 1 1 7 n) Cx Cx Cx Cx 1023 o) 1 2 1 Cx Cx 1 6Cx 4 ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 7 d) x = 14 e) x = 3 f) x = 10 g) x = 17 h) x = 5 i) x = 5 k) x = 8 l) x = 7 m) x = 4 n) x = 10 o) x = 3; x = 8 Bài 2: Giải các bất phương trình: Cn 3 1 P 5 a) n 1 b) n 5 60Ak 2 c) C4 C3 A2 0 4 14P (n k)! n 3 n 1 n 1 4 n 2 An 1 3 1 6 d) 2C2 3A2 30 e) A2 A2 C3 10 f) Cn 2 Cn 1 100 x 1 x 2 2x x x x n 1 n 1 ĐS: a) đk: n 3, n2 + n – 42 > 0 n 6 k n b) (n 5)(n 4)(n k 1) 0 Xét với n 4: bpt vơ nghiệm Xét n {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) đk: n 5, n2 – 9n – 22 < 0 n = 5; 6; 7; 8; 9; 10 d) x = 2 e) x = 3, x = 4 Bài 3: Giải các hệ phương trình: Ax y y x y y 1 y 1 y y 1 C 126 Cx 1 Cx Cx Cx Cx 0 a) P y b) c) x 1 6 5 2 y y 1 4Cx 5Cx 0 Px 1 720 x x 1 y y C :C y 2 y 1 2A 5C 90 y y 2 5Cx 3Cx d) x x e) 3 f) y y y y 1 x x 1 C C 5Ax 2Cx 80 C : A x x y y 24 x 1 A y 3 y 2 y y y C y x 1 126 7A A 2A C 180 g) y h) 5x 5x i) x x Px y 2 y 3 y y 4C4x 7C5x Ax Cx 36 Px 2 720 x 5 x 8 x 17 ĐS: a) b) c) d) x = 5, y = 2. y 7 y 3 y 8 Trang 44
  45. Đại số 11 e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4 k k 1 k 2 Bài 4: Tìm số tự nhiên k sao cho C14, C14 , C14 lập thành một cấp số cộng. ĐS: k = 4; 8. Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đĩ nhất thiết phải cĩ ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi cĩ thể tạo ra bao nhiêu đề thi? 2 1 ĐS: Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: C4 .C6 36 1 2 Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: C4.C6 60 Vậy cĩ: 36 + 60 = 96 đề thi. Bài 2: Một lớp học cĩ 40 học sinh, trong đĩ gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Cĩ 1 nam và 3 nữ. c) Cĩ 2 nam và 2 nữ. d) Cĩ ít nhất 1 nam. e) Cĩ ít nhất 1 nam và 1 nữ. 4 1 3 2 2 1 3 2 2 3 1 4 ĐS: a) C40 b) C25.C15 c) C25.C15 d) C25.C15 C25.C15 C25.C15 C25 4 4 4 e) C40 C25 C15 Bài 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cĩ bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Cĩ bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? ĐS: 20 ; 10. Bài 4: Cĩ 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đĩ ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi cĩ bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200. Bài 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đĩ, cĩ bao nhiêu cách lấy được: a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? ĐS: a) 20. b) 150. Bài 6: Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phĩ đồn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi cĩ mấy cách chọn? ĐS: 4651200. Bài 7: Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bơng hồng đỏ (các bơng hoa xem như Trang 45
  46. Đại số 11 đơi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bĩ hĩa gồm 7 bơng, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn bĩ hoa trong đĩ: a) Cĩ đúng 1 bơng hồng đỏ? b) Cĩ ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ? ĐS: a) 112 b) 150. Bài 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đĩ chữ số 6 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần. ĐS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} cĩ thể lập được bao nhiêu số: a) Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? b) Gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một sao cho 5 chữ số đĩ cĩ đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ? ĐS: a) 360. b) 2448. (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài 10: a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đĩ cĩ mặt chữ số 0 nhưng khơng cĩ chữ số 1). b) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ số 3 cĩ mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại cĩ mặt khơng quá một lần. ĐS: a) 33600 b) 11340. (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) Bài 11: Người ta viết các số cĩ 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết cĩ một chữ số xuất hiện hai lần cịn các chữ số cịn lại xuất hiện một lần. Hỏi cĩ bao nhiêu số như vậy? ĐS: 1800. (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Bài 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đĩ cĩ An và Bình, người ta muốn chọn một tổ cơng tác gồm cĩ 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a) Trong tổ phải cĩ cả nam lẫn nữ? b) Trong tổ cĩ 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình khơng đồng thời cĩ mặt trong tổ? ĐS: a) 2974. b) 15048. (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Bài 13: Một đồn tàu cĩ 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga cĩ 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa cĩ ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: a) Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. b) Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu cĩ 1 toa cĩ 3 trong 4 vị khách nĩi trên. ĐS: a) 99. b) 24. (ĐH Luật Hà Nội, 1999) Bài 14: Trong số 16 học sinh cĩ 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Cĩ bao nhiêu cách chia Trang 46
  47. Đại số 11 số học sinh đĩ thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều cĩ học sinh giỏi và mỗi tổ cĩ ít nhất hai học sinh khá. ĐS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001) Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn hình học Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đơi một, nhưng khơng cĩ 3 đường nào đồng quy. Hỏi cĩ bao nhiêu giao điểm? Cĩ bao nhiêu tam giác được tạo thành? n(n 1) ĐS: Số giao điểm: C2 n 2 n(n 1)(n 2) Số tam giác: C3 n 6 Bài 2: Cho 10 điểm trong khơng gian, trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. a) Cĩ bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? b) Cĩ bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm? c) Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh là 3 trong 10 điểm trên? d) Nếu trong 10 điểm trên khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng, thì cĩ bao nhiêu tứ diện được tạo thành? 2 2 3 4 ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 Bài 3: Cho đa giác lồi cĩ n cạnh (n 4) a) Tìm n để đa giác cĩ số đường chéo bằng số cạnh? b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì khơng đồng qui. Hãy tính số giao điểm (khơng phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? 2 ĐS: a) Cn n n n = 5 b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (khơng phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nĩ là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm 4 phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: Cn Bài 4: Cho một đa giác lồi cĩ n-cạnh (n , b 3) . a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác cĩ số cạnh bằng số đường chéo? b) Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? Trang 47
  48. Đại số 11 c) Cĩ bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo? n(n 3) (n 2)(n 1)n n(n 1)(n 2)(n 3) ĐS: a) ; n 5. b) . c) . 2 6 24 Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường trịn phân biệt? c) 10 đường thẳng và 10 đường trịn trên? ĐS: a) 45. b) 90. c) 335. Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác cĩ các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2). ĐS: 5950. (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác đều H cĩ 20 cạnh. Xét các tam giác cĩ ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. a) Cĩ tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đúng hai cạnh là cạnh của H? b) Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đúng một cạnh là cạnh của H? Cĩ bao nhiêu tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của H? ĐS: a) 1140; 20. b) 320 ; 80. (HVNH, 2000, khối D) Bài 8: Cĩ 10 điểm A, B, C, trên mặt phẳng trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đĩ cĩ bao nhiêu đường khơng đi qua A hay B? b) Cĩ bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a) 45; 28. b) 120 ; 36 ; 8. Bài 9: Cĩ p điểm trong mặt phẳng trong đĩ cĩ q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đĩ lại với nhau. Hỏi: a) Cĩ bao nhiêu đường thẳng? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác? 1 1 ĐS: a) p(p 1) q(q 1) 2;. b) p(p 1)(p 2) q(q 1)(q 2) . 2 6 Bài 10: Cho p điểm trong khơng gian trong đĩ cĩ q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đĩ. Hỏi: a) Cĩ bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện? 3 3 4 4 ĐS: a) Cp Cq 1. b) Cp Cq . Bài 11: Cho p điểm trong đĩ cĩ q điểm cùng nằm trên 1 đường trịn, ngồi ra khơng cĩ 4 Trang 48
  49. Đại số 11 điểm nào đồng phẳng. Hỏi cĩ bao nhiêu: a) Đường trịn, mỗi đường đi qua ba điểm? b) Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đĩ? 3 3 4 4 ĐS: a) Cp Cq 1. b) Cp Cq . V. Nhị thức Newton 1. Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta cĩ: n n k n k k (a b)  Cn a b k 0 2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) cĩ dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, , n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: k n k Cn Cn 0 n k 1 k k 5) Cn Cn 1, Cn Cn Cn 1 Trang 49
  50. Đại số 11 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những cơng thức đặc biệt. Chẳng hạn: n 0 n 1 n 1 n 0 1 n n (1+x) = Cn x Cn x Cn Cn Cn Cn 2 n 0 n 1 n 1 n n 0 1 n n (x–1) = Cn x Cn x ( 1) Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với: a) (x 3)9; M x4 b) (2x 1)12; M x5 c) (2 x)15; M x9 d) (1 3x)11; M x6 e) (3x x2 )12; M x15 f) (2 5x)13; M x7 10 12 14 2 2 11 1 3 2 2 g) x ; M x h) 2x ; M x i) y ; M y x x y k) (2x 3y)17; M x8y9 l) (x3 xy)15; M x25y10 k) (2x 3y)25; M x12y13 ĐS: Bài 2: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của nhị thức: 10 12 5 6 1 2 1 3 1 2 1 a) x b) x c) x d) x x4 x4 x2 x 10 10 15 10 1 2 1 3 2 1 e) 2x f) x g) x h) x x x3 x2 x ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210 2 n Bài 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: P(x) a0 a1x a2x an x . Xác định hệ số ak: 9 10 14 a) P(x) (1 x) (1 x) (1 x) ; a9 ? 2 3 20 b) P(x) (1 x) 2(1 x) 3(1 x) 20(1 x) ; a15 ? 80 2 80 c) P(x) (x 2) a0 a1x a2x a80x ; a78 ? Trang 50
  51. Đại số 11 50 2 50 d) P(x) (3 x) a0 a1x a2x a50x ; a46 ? 3 4 5 30 e) P(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) ; a3 ? ĐS: a) a9 3003 b) a15 400995 c) a78 12640 d) a46 = 18654300 Bài 4: Trong khai triển (x y z)n , tìm số hạng chứa xk .ym (k, m < n) ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa xk. n n k n k k Ta cĩ: (x + y + z) = x y z Cn x y z n–k m m n k m mà (y + z) = Cn k y z k m k m k m n k m số hạng chứa x .y là: Cn .Cn k x y z Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với: a) (1 x x2 )10; M x6 b) (1 x 2x2 )10; M x17 c) (x2 x 1)5; M x3 d) (1 x2 x3)8; M x8 8 2 3 10 5 2 8 e) (1 x x x ) ; M x f) 1 x (1 x) ; M x Bài 6: n 3 1 a) Cho biết trong khai triển x tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, x2 thứ ba bằng 11. Tìm hệ số của x2 . n 2 1 b) Cho biết trong khai triển x , tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, x thứ ba là 46. Tìm hạng tử khơng chứa x. n 2 2 c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển x là 97. Tìm 3 hạng tử của khai triển chứa x4. n 26 1 7 d) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x , biết rằng: x4 1 2 n 20 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1. e) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (2 x)n , biết rằng: 0 0 n 1 1 n 2 2 n n 3 Cn 3 Cn 3 Cn ( 1) Cn 2048 2 4 26 ĐS: a) n 4, C4 6 b) n = 9 ; 84 c) n = 8; 1120x d) n = 10; 210x Trang 51
  52. Đại số 11 e) n = 11; 22x10 5 Bài 7: a) Tìm số hạng khơng chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: 3 3 2 n 1 b) Tìm số mũ n của biểu thức b . Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 3 12 và thứ 3 trong khai triển của nhị thức đĩ là 7:2. Tìm số hạng thứ 6? 15 1 c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển x . x 12 3 3 2 2 d) Tìm số hạng chứa a7 trong khai triển a a . 64 3 10 1 3 e) Tìm số hạng giữa của khai triển x . 5 x 12 1 f) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của nhị thức: x . x 16 3 1 g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển x . x 5 4 2 5 1 126 ĐS: a) C .3.2 60 b) n = 9 T6 = C b . c) 5 9 3 3 b2 b b2 5 T6 C15. 7 30 15 30 15 d) 924a .2 . e) T16 C30.x .y . f) 495. g) 1820. 21 a b Bài 8: Trong khai triển của nhị thức: 3 , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ 3 b a thừa giống nhau? 21 k k 21 k k k 21 k k a b k ĐS: Ta cĩ: T = C . 3 . = C .a 3 6 .b2 6 k+1 21 3 21 b a 5 5 21 k k k 21 k 9 2 2 k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T10 = C .a .b 3 6 2 6 21 Bài 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau: 13 4 10 1 a) ( x x) . b) x . 3 x Trang 52
  53. Đại số 11 2 6 7 10 10 0 13 3 9 6 5 9 ĐS: a) C10x, C10x , C10 x . b) C13x , C13x , C13x ,C13x. Bài 10: a) Tìm số hạng của khai triển ( 3 3 2)9 là một số nguyên. b) Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ( 3 15)6. c) Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển (5 3 3 7)36. d) Cĩ bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ( 3 4 5)124. ĐS: a) T4 4536, T10 8. b) T1 27, T3 2005, T5 10125, T7 3375. c) T7, T22, T37. d) 32 số hạng n a Bài 11: a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển 13 a nếu C3 : C2 4 :1. n n a 1 T 4T n 3 5 b) Trong khai triển (1 x) theo lũy thừa tăng của x, cho biết : 40 . Tìm n và x? T T 4 3 6 n 1 c) Trong khai triển a a cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ a4 hai là 44. Tìm n. 1 ĐS: a) n 14, T 9113 a51. b) n 6, x . c) n = 11 3 2 Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b)n ): 0 1 6 6 a) S C6 C6 C6 HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 1 0 1 2 2 5 5 5 b) S C5 2C5 2 C5 2 C5 HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 2 0 1 2 2010 2010 c) S C2010 C2010 C2010 C2010 HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 1 0 1 2 2 2010 2010 2010 d) S C2010 2C2010 2 C2010 2 C2010 HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 2 6 7 8 9 10 11 11 e) S C11 C11 C11 C11 C11 C11 HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 1 16 0 15 1 14 2 16 16 f) S 3 C16 3 C16 3 C16 C16 HD: Sử dụng: (x 1) , với x = 3 Trang 53
  54. Đại số 11 17 0 1 16 1 17 17 17 g) S 3 C17 4 .3 .C17 4 C17 HD: Sử dụng: (3x 4) , với x = 1 Bài 2: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b)n ): 0 1 2 n n a) S Cn Cn Cn Cn . HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 1 0 2 4 2n 2n b) S1 C2n C2n C2n C2n HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 1 1 3 5 2n 1 S2 C2n C2n C2n C2n 0 1 2 3 n n n c) S Cn 3Cn 3 Cn 3 Cn HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 3 0 1 2 2 n n n d) S Cn 6Cn 6 Cn 6 Cn HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 6 0 1 2 2 n n n d) S Cn 2Cn 2 Cn 2 Cn HD: Sử dụng: (1 x) , với x = 2 Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b)n ): 0 2 2n 1 3 2n 1 2n a) C2n C2n C2n C2n C2n C2n HD: (1 x) , với x = 1 0 1 2 2n n 2n b) C2n C2n C2n C2n 4 HD: (1 x) , với x = 1 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n n 2n c) 1 10.C2n 10 .C2n 10 .C2n 10 C2n 10 81 . HD: (1 x) , với x = 10 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n d) C2n C2n 3 C2n 3 C2n 3 2 .(2 1) HD: (1 x)2n (1 x)2n , với x = 3 32004 1 e) S C0 22C2 24C4 22004C2004 2004 2004 2004 2004 2 HD: (1 x)2004 (1 x)2004 , với x = 2 Bài 4: Dùng đẳng thức (1 x)m.(1 x)n (1 x)m n , chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 2 k 2 m k m k a) Cm.Cn Cm.Cn Cm.Cn Cm .Cn Cm n , m k n. (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)). 0 2 1 2 2 2 n 2 n b) (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2n. Trang 54
  55. Đại số 11 (2n)! c) C0.Ck C1.Ck 1 C2.Ck 2 Cn k .Cn n n n n n n n n (n k)!(n k)! Bài 5: Tính giá trị các biểu thức A, B bằng cách tính A + B, A – B: 2n 0 2n 2 2 0 2n 2n 1 1 2n 3 3 1 2n 1 a) A = 2 C2n 2 C2n 2 C2n B = 2 C2n 2 C2n 2 C2n n 0 n 2 2 n 4 4 n 1 1 n 3 3 n 5 5 b) A = 2 Cn 2 Cn 2 Cn B = 2 Cn 2 Cn .2 Cn n k 2n 2 2n k 2n n HD: a) Ta cĩ : (2x 1) =  C2n. 2x . Thay x = 1 ta được A + B = 3 = 9 k 0 2n 2n k 2n k k Mặt khác, (2x –1) =  C2n.(2x) .( 1) . Thay x = 1 ta được A – B = 1 k 0 1 1 Từ đĩ suy ra: A = (9n 1) , B = (9n 1) 2 2 b) Khai triển (2x 1)n , với x = 1 A + B = 3n Khai triển (2x 1)n , với x = 1 A – B = 1 1 1 A (3n 1), B (3n 1) 2 2 Bài 6: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x2 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đĩ. ĐS: a = 210. (HV hành chính QG, 2000) Bài 7: Chứng minh: 0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0 2002 a) S C2002C2002 C2002C2001 C2002C2002 k C2002C1 1001.2 k 2001 k k HD: a) Chú ý: C2002C2002 k 2002.C2001 2001 k 2001 2002 S = 2002  C2001 2002.2 1001.2 k 0 Bài 8: Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm của khai triển (a b)n ): 0 1 2 2010 2011 a) S C2010 2C2010 3C2010 2011C2010 HD: Lấy đạo hàm: (1 x) , với x = 1 ĐS: Bài 9: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển (a b)n ): 1 2 n n 1 n a) S 1.Cn 2.Cn n.Cn n.2 HD: (1 x) , với x = 1 Trang 55
  56. Đại số 11 2 3 n n 2 n b) S 2.1.Cn 3.2.Cn n(n 1).Cn n.(n 1)2 HD: (1 x) , với x = 1 2 1 2 2 2 n n 2 c) S 1 Cn 2 Cn n Cn n(n 1).2 HD: 2 k k k Cn k(k 1) kCn 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1 n d) S Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn n.4 HD: (3 x) , với x = 1 Bài 10: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng tích phân của khai triển (a b)n ): 2 3 n 1 n 1 2 0 2 1 2 2 2 n 3 1 n a) S 2Cn Cn Cn Cn HD: S (1 x) dx 2 3 n 1 n 1 0 n 1 1 0 1 1 1 2 1 n 2 1 n b) S Cn Cn Cn Cn HD: S (1 x) dx 2 3 n 1 n 1 0 n 1 0 1 1 1 2 ( 1) n 1 n c) S Cn Cn Cn Cn HD: S (1 x) dx 2 3 n 1 n 1 0 n 1 1 0 1 1 1 2 ( 1) n 1 2 n d) S Cn Cn Cn Cn HD: S x(1 x ) dx 2 4 6 2(n 1) 2(n 1) 0 n 1 1 1 0 1 1 1 2 1 n 2 1 2 n e) S Cn Cn Cn Cn HD: S x(1 x ) dx 2 4 6 2(n 1) 2(n 1) 0 2 2 n 1 n 1 n 1 2 0 2 1 1 2 1 2 2 1 n 3 2 n f) S Cn Cn Cn Cn HD: S (1 x) dx 2 3 n 1 n 1 1 Dạng 3: Tốn chia hết Nếu a chia cho b cĩ số dư là r thì a = bq + r nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + + nbqrn–1 + rn Do đĩ an và rn cĩ cùng số dư khi chia cho b. Tức là: an  rn(mod b) Vậy nếu a r (mod b) thì an  rn (mod b) Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n Z+, ta cĩ: a) 4n + 15n – 1  9 b) 16n – 15n – 1  225 HD: a) Ta cĩ 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + + 3n + 1  3n + 1 (mod 9) Trang 56
  57. Đại số 11 (vì 3k  9 , k 2) 4n + 15n – 1  3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9) Vậy 4n + 15n – 1  9 n(n 1) b) 16n = (1 + 15)n = 1 + n.15 + .152 + + n.15n–1 + 15n 2  1 + 15n (mod 152) Do đĩ: 16n – 15n – 1  1 + 15n – 15n – 1  0 (mod 225) Vậy 16n – 15n – 1  225 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n Z+, ta cĩ: 26n+1 + 36n+1 + 56n + 1  7 HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + 1 = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + 1 = 2.64n + 3.729n + 15625n + 1 = 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + 7 Do đĩ với mọi số tự nhiên p và q thì: (7p+1)q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ + (7p+1) + 1] nên biểu thức đã cho luơn chia hết cho 7. B. XÁC SUẤT Trang 57
  58. Đại số 11 I. Biến cố và xác suất 1. Biến cố Khơng gian mẫu : là tập các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử. Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  . Biến cố khơng:  Biến cố chắc chắn:  Biến cố đối của A: A  \ A Hợp hai biến cố: A  B Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A  B =  Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này khơng ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 2. Xác suất n(A) Xác suất của biến cố: P(A) = n( ) 0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0 Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P( A ) = 1 – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. 5 1 3 ĐS: a) n() = 36. n(A) = 5 P(A) = b) c) 36 4 4 Bài 2: Một lớp học cĩ 25 học sinh, trong đĩ gồm cĩ 15 em học khá mơn Tốn, 17 em học khá mơn Văn. a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 mơn. b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá mơn Tốn nhưng khơng khá mơn Văn. Trang 58
  59. Đại số 11 C2 C3 ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +17 – 25 = 7 P(AB)= 7 b) 8 25 25 Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. b) Các mặt xuất hiện cĩ số chấm bằng nhau. 1 1 ĐS: a) b) 6 6 Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh. 5 ĐS: 8 Bài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. 1 ĐS: 2 Bài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của 3 1 người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. 5 2 4 ĐS: 5 Bài 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. d) Khơng lần nào xuất hiện mặt 6 chấm. 1 1 11 25 ĐS: a) b) c) d) 6 6 36 36 Bài 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. b) Cĩ đúng 3 đồng xu lật ngửa. c) Cĩ ít nhất hai đồng xu lật ngửa. 1 1 11 ĐS: a) b) c) 16 4 16 Trang 59
  60. Đại số 11 Bài 9: Một hộp bĩng đèn cĩ 12 bĩng, trong đĩ cĩ 7 bĩng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bĩng.Tính xác suất để lấy được: a) ít nhất 2 bĩng tốt b) ít nhất 1 bĩng tốt. Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đĩ cĩ 6 học sinh giỏi Tốn, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 mơn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đĩ là học sinh giỏi. Bài 11: Một hộp cĩ 20 quả cầu giống nhau, trong đĩ cĩ 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra cĩ ít nhất một quả màu đen. Bài 12: Một tổ cĩ 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đĩ khác phái. Bài 13: Một lớp cĩ 30 học sinh, trong đĩ cĩ 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Cĩ ít nhất 1 học sinh giỏi c) Khơng cĩ học sinh trung bình. Bài 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: a) Số đĩ là số lẻ. b) Số đĩ chia hết cho 5 c) Số đĩ chia hết cho 9. II. Biến ngẫu nhiên rời rạc 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1, x2, ,xn} P(X=xk) = pk p1 + p2 + + pn = 1 2. Kì vọng (giá trị trung bình) Trang 60
  61. Đại số 11 n  = E(X) =  xi pi i 1 3. Phương sai và độ lệch chuẩn n n 2 2 2 V(X) = (xi ) pi =  xi pi  (X) = V(X) i 1 i 1 Bài 1: Hai cầu thủ bĩng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94. Bài 2: Một cặp vợ chồng cĩ 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Bài 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X. Bài 4: Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: X 1 2 3 P 0,3 0,5 0,2 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Bài 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Bài 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X. BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II Bài 18: Một cơ quan cĩ 4 cổng ra vào. a) Hỏi một người khách cĩ thể chọn bao nhiêu cách ra vào cơ quan đĩ? b) Cĩ thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đĩ bằng 2 cổng khác nhau (cổng vào khác cổng ra)? ĐS: Trang 61
  62. Đại số 11 Bài 19: Cĩ 10 mơn học buổi sáng và 7 mơn học buổi chiều. a) Hỏi cĩ mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 mơn và buổi chiều chỉ học 1 mơn? b) Hỏi cĩ mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 mơn và buổi chiều khơng học mơn nào? ĐS: Bài 20: Một người cĩ 6 cái áo, 5 cái quần và 3 đơi giày. Trong đĩ cĩ 3 áo sọc và 3 áo trắng, 2 quần đen, 2 đơi giày đen. Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn mặc áo – quần – giày, nếu: a) Chọn áo, quần, giày nào cũng được? b) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào, giày nào cũng được; cịn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen? ĐS: Bài 21: Một nhĩm học sinh gồm cĩ 30 em giỏi Tốn và 20 em giỏi Văn. Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh sao cho cĩ ít nhất 3 em giỏi Tốn? ĐS: Bài 22: Một đồn cảnh sát cĩ 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, cịn 5 người thường trực tại đồn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng? ĐS: Bài 23: Trong số 107 số điện thoại 7 chữ số thì những số cĩ 7 chữ số khác nhau chiếm tỉ lệ bao nhiêu? ĐS: Bài 24: Hội đồng quản trị của một cơng ty gồm 15 người. Từ hội đồng đĩ bầu cử ra một chủ tịch, một phĩ chủ tịch và 2 ủy viên kiểm tra) Hỏi cĩ bao nhiêu cách? ĐS: 16380 Bài 25: Trong bình hoa cĩ 10 bơng hồng đỏ và 5 bơng hồng trắng. Cĩ bao nhiêu cách lấy ra từ bình hoa 4 bơng hồng cùng màu? ĐS: 215 Bài 26: Một bộ sách gồm 30 tập. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp bộ sách đĩ lên kệ sách dài sao cho tập 1 và tập 2 khơng đứng kề nhau. ĐS: 30! – 2 . 29! = 28 . 29! Bài 27: Hai nhân viên bưu điện cần phải chuyển 10 lá thư đến 10 địa chỉ. Hỏi họ cĩ bao nhiêu cách phân cơng cơng việc đĩ? Trang 62
  63. Đại số 11 ĐS: 210 Bài 28: Cần phát 12 đề thi gồm 6 đề A và 6 đề B cho 12 học sinh, mỗi học sinh đều được 1 đề. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh ấy thành hai dãy mỗi dãy 6 học sinh sao cho các học sinh ngồi kề nhau thì khơng cùng đề với nhau cịn các học sinh ngồi trước cùng đề với học sinh ngồi ngay phía sau. ĐS: 2 . 6! 6! Bài 29: Cĩ thể chia 12 quyển sách khác nhau cho 4 đứa trẻ theo bao nhiêu cách biết rằng: a) Mỗi đứa trẻ được 3 quyển sách? b) Hai đứa lớn nhất được 4 quyển sách mỗi đứa và hai đứa bé nhất được 2 quyển sách mỗi đứa? ĐS: a) 369600; b) 207900. Bài 30: Cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách: a) Vào 5 ghế thành 1 dãy b) Vào 5 ghế chung quanh một bàn trịn, nếu khơng cĩ sự phân biệt giữa các ghế này? ĐS: a) 120 b) 24 Bài 31: Một dãy ghế dành cho 3 nam và 2 nữ. Cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Họ ngồi thế nào cũng được? b) Nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề nhau? c) Chỉ cĩ nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 120; b) 24; c) 24. Bài 32: Xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, cĩ bao nhiêu cách nếu: a) Cĩ 3 người trong họ muốn ngồi kề nhau? b) Cĩ 2 người trong họ khơng muốn ngồi kề nhau? c) Cĩ 3 người trong họ khơng muốn ngồi kề nhau đơi một? ĐS: a) 144; b) 480; c) 144. Bài 33: Cĩ bao nhiêu cách xếp 5 người gồm 3 nam và 2 nữ vào một hàng ghế gồm 8 ghế nếu: a) Họ ngồi thế nào cũng được? b) Họ ngồi kề nhau? c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhĩm này cĩ ít nhất 1 ghế trống? ĐS: a) 6720; b) 480; c) 144. Bài 34: Một hàng ghế gồm 10 chiếc ghế. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp một đơi vợ chồng ngồi vào các ghế đĩ nếu: a) Họ ngồi ghế nào cũng được? b) Họ ngồi kề nhau? Trang 63
  64. Đại số 11 c) Vợ ngồi bên phải chồng? d. Họ ngồi cách nhau một ghế? ĐS: a) 90; b) 18; c) 9; d) 16. Bài 35: Cĩ bao nhiêu cách xếp 5 người vào một cái bàn cĩ 5 chỗ ngồi sao cho A và B ngồi cạnh nhau nếu? a) Cái bàn là bàn dài? b) Cái bàn là bàn trịn khơng phân biệt các chỗ? c) Cái bàn là bàn trịn cĩ đánh số (cĩ phân biệt chỗ)? ĐS: a) 48; b) 12; c) 60. Bài 36: Lớp cĩ 12 nam trong đĩ cĩ An và cĩ 8 nữ trong đĩ cĩ Bình. Cĩ bao nhiêu cách cử ra 5 người đi dự trại hè quốc tế sao cho phải cĩ ít nhất hai nam, ít nhất hai nữ, hơn nữa An và Bình khơng đồng thời được cử đi? ĐS: 9240 Bài 37: Một lớp học cĩ 15 học sinh ưu tú trong đĩ cĩ An và Bình. Cĩ bao nhiêu cách cử 4 học sinh ưu tú đi du học ở 4 nước khác nhau, mỗi nước một người, trong 4 người đĩ cĩ An và Bình. 2 ĐS: 4.3.A13 4.3.13.12 1872 Bài 38: Cĩ 5 học sinh trong đĩ cĩ An và Bình. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp họ lên một đồn tàu gồm 8 toa nếu: a) 5 người lên cùng một toa? b) 5 người lên 5 toa đầu? c) 5 người lên 5 toa khác nhau? d) An và Bình lên cùng toa đầu? e) An và Bình lên cùng một toa? f) An và Bình lên cùng một toa, ngồi ra khơng cĩ người nào khác lên toa này? ĐS: a) 7; b) 120; c) 6720 d) 512; e) 4096; f) 343. Bài 39: Giám đốc một cơng ty muốn chọn một nhĩm 5 người vào hội đồng tư vấn. Trong cơng ty cĩ 12 người hội đủ điều kiện để được chọn, trong đĩ cĩ hai cặp vợ chồng. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn nếu: a) Hội đồng này cĩ đúng một cặp vợ chồng? b) Hội đồng này khơng thể gồm cả vợ lẫn chồng (nếu cĩ)? ĐS: a) 112; b) 560. Bài 40: Cho 5 quả cầu màu trắng cĩ bán kính khác nhau và 5 quả cầu màu xanh cĩ bán kính khác nhau. Người ta muốn xếp 10 quả cầu đĩ vào một hàng 10 chỗ cho trước. a) Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Cĩ bao nhiêu cách xếp sao cho hai quả cầu đứng cạnh nhau thì phải khác nhau? Trang 64
  65. Đại số 11 c) Cĩ bao nhiêu cách xếp sao cho 5 quả cầu trắng đứng kề nhau? ĐS: a) 3628800; b) 28800; c) 86400. Bài 41: Cho 1 thập giác lồi: a) Tìm số đường chéo? b) Tìm số tam giác cĩ đỉnh là đỉnh của thập giác? c) Trong các tam giác trên cĩ bao nhiêu tam giác cĩ ít nhất một cạnh là cạnh của thập giác? Cĩ bao nhiêu tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của thập giác? ĐS: Bài 42: a) Cho trước 15 điểm trong mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong số đĩ khơng cùng nằm trên 1 đường thẳng. Cĩ bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong số đĩ? b) Cho trước 25 điểm trong khơng gian sao cho 4 điểm bất kỳ trong số đĩ khơng cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Cĩ bao nhiêu tam giác nối 3 điểm bất kỳ trong số đĩ? Cĩ bao nhiêu tứ diện nối 4 điểm bất kỳ trong số đĩ? ĐS: a) 105; b) 2300; 12650. Bài 43: Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song. Hỏi cĩ bao nhiêu hình bình hành được tạo thành? mn(m 1)(n 1) ĐS: 4 Bài 44: Cho một đa giác lồi n đỉnh (n 4) a) Tính số đường chéo của đa giác này? b) Biết rằng 3 đường chéo khơng đi qua cùng một đỉnh thì khơng đồng quy, hãy tính số các giao điểm khơng phải là đỉnh của các đường chéo ấy? n(n 3) n(n 1)(n 2)(n 3) ĐS: a) ; b) 2 24 Bài 45: Cho tam giác ABC. Xét tập hợp đường thẳng gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo được: a) Bao nhiêu tam giác? b) Bao nhiêu hình thang mà khơng phải là hình bình hành? ĐS: a) 120; b) 720. Bài 46: Cĩ bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lập nên từ các số 1, 2, 3, 4, 5 và: a) Bắt đầu với chữ số 3? b) Khơng bắt đầu với chữ số 5? c) Bắt đầu với số 54? d) Khơng bắt đầu với số 543? Trang 65
  66. Đại số 11 Bài 47: Cĩ 100000 chiếc vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi cĩ bao nhiêu vé số gồm 5 chữ số khác nhau? Bài 48: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? Bài 49: Cĩ bao nhiêu số gồm n chữ số, trong đĩ các chữ số chỉ là 1, 2, 3, sao cho mỗi chữ số cĩ mặt ít nhất một lần trong mỗi số đĩ? Bài 50: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi sao cho tất cả các chữ số đều khác khơng và cĩ mặt đồng thời các chữ số 2, 4, 5. ĐS: 1800. Bài 51: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 4 chữ số trong đĩ a) Cĩ một chữ số 1? b) Cĩ chữ số 1 và các chữ số đều khác nhau? ĐS: a) 1225; b) 750. Bài 52: a) Cĩ bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau. b) Tính tổng các số ở câu a) ĐS: a) 648; b) 355680. Bài 53: Cĩ bao nhiêu số lớn hơn 2000 với các chữ số khác nhau từng đơi lấy từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4} ĐS: 168. Bài 54: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số biết rằng hai chữ số đứng kề nhau phải khác nhau? ĐS: 59049 Bài 55: Với các chữ số 2, 3, 5, 8 cĩ thể lập được bao nhiêu a) Số tự nhiên lớn hơn 400 và nhỏ hơn 600? b) Số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau từng đơi và chia hết cho 4? ĐS: a) 16; b) 6. Bài 56: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từng đơi và: a) Các số này lớn hơn 300000? b) Các số này lớn hơn 300000 và chia hết cho 5? c) Các số này lớn hơn 350000? ĐS: a) 360; b) 120; c) 264. Bài 57: Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 người ta muốn lập những số gồm bốn chữ số khác nhau. a) Cĩ bao nhiêu số nhỏ hơn 5000? Trang 66
  67. Đại số 11 b) Cĩ bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000? ĐS: a) 120; b) 120. Bài 58: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đơi và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 8. ĐS: 12. Bài 59: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đơi biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 12. ĐS: 54. Bài 60: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta muốn lập các số gồm 8 chữ số khác nhau từng đơi. Cĩ bao nhiêu số trong đĩ a) Chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần? b) Chữ số 1 cĩ mặt hai lần, chữ số 2 cĩ mặt hai lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng một lần? 5 4 2 2 2 ĐS: a) 6720 HD: A8 ; b)10080 HD: A8 .C4 .1 C8 .C6 .4!. Bài 61: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ năm chữ số khác nhau từng đơi trong đĩ: a) Phải cĩ mặt chữ số 0? b) Phải cĩ mặt chữ số 6? c) Phải cĩ mặt hai chữ số 0 và 6? 4 4 4 3 2 2 ĐS: a) 4.A6 1440; b) 6.A6 5.A5 1560; c) 1.4.A5 5.A4 .A4 960 Bài 62: Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Cĩ bao nhiêu tập con A của S trong mỗi trường hợp sau: a) A cĩ 5 phần tử. b) A cĩ 5 phần tử và phần tử bé nhất của A là 3. c) A cĩ 5 phần tử và phần tử bé nhất của A bé hơn hay bằng 3. ĐS: a) 252; b) 35; c) 231. Bài 63: a) Cĩ bao nhiêu tập con của {1, 2, , 11} chứa ít nhất một số chẵn? b) Cĩ bao nhiêu tập con của {1, 2, , 12} chứa ít nhất một số chẵn? ĐS: a) 2 11 – 26; b) 212 – 26. Bài 64: Giả sử chỉ cĩ một phần tư số tập con 5 phần tử của {1, 2, , n} chứa số 7. Hãy tìm n. ĐS: n = 20. Bài 65: Tính giá trị các biểu thức sau: 10! 8! 7!4! 8! 9! A = B = . 8! 10! 3!5! 2!7! Trang 67
  68. Đại số 11 A2 A5 P P P P C = 5 10 D = 5 1 3 2 .A2 P 7P 1 3 2 1 5 2 3 A5 A5 A5 A5 Bài 66: Giải các phương trình: 2 2 k a) 2Ax 50 A2x (x N) b) Pn 5 15An 1.Pn 1 k 30 c) A3 2C4 3A2 d) Ax 1 2P P x x x x 1 x 1 7 x ĐS: c) x = 6 v x = 11; d) x = 7; Bài 67: Giải các hệ phương trình y 1 y y 2 y 1 y 1 Ax : P C y x 126 C C C 2C C a) y x 1 y b) x x 2 x 2 x 2 x 3 5 5 Px 1 720 Ay yAy 1 Ay 1 C y 1 c) x 1 x 1 x x 10 2 1 ĐS: a) x = 5, y = 7; b) x = 7, y = 3; c) x = 7, y = 3. Bài 68: Chứng minh rằng: a) (n!)2 > nn (n N, n 2) n 1 2n 2 b) C0.C1 Cn (n N, n 2); khi nào dấu “=” xảy ra) n n n n 1 Bài 69: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 2 2 5 a) Pk .An 1.An 3.An 5 nk!An 5 (k n; k, n N) k k 1 k 2 k 3 k 1 k b) Cn 4Cn 6Cn 4Cn Cn Cn 4 (4 k n) k k 1 k 2 k 3 k 2 k 3 c) 2Cn 5Cn 4Cn Cn Cn 2 Cn 3 10 9 9 9 d) C21 C9 C10 C20 Bài 70: Chứng minh các đẳng thức sau: k m k k m a) Pn (n 1)(Pn 1 Pn 2 ) b) Cn Cn k Cm Cn m m m m 1 m 1 c) Cn Cn 1 Cn 10 Cn 1 Cn 10 0 1 2 n n 1 d) Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn (n 2)2 22C1 23C2 24C3 2n 1Cn 3n 1 1 e) 2C0 n n n n n 2 3 4 n 1 n 1 2 2 2 f) C0 C1 Cn Cn n n n 2n Trang 68
  69. Đại số 11 m m m m 1 m 1 g) Cn Cn 1 Cn p Cn 1 Cn p 0 1 2 3 k k k k h) Cn Cn Cn Cn ( 1) Cn ( 1) Cn 1 ĐS: f. (1 + x) n(n + 1)n = (1 + x)2n. So sánh hệ số của xn ở cả 2 vế. g. Sử dụng cơng thức Pascal Bài 71: Tính các tổng sau: 0 2 4 k 2k 1 3 5 k 2k 1 a) A Cn 2Cn 4Cn 2 Cn B Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 1 2 2 2 3 2 k 2 n b) S 1.Cn 2 Cn 3 Cn k Cn n Cn n 1 n 1 2 2 n 2 n n n c) (1 x) Cn x(1 x) Cn x (1 x) ( 1) Cn x 1 1 1 1 1 d) 0!n! 1!(n 1)! 2!(n 2)! k!(n k)! n!0! 1 1 1 1 e) ( 1)n 0!n! 1!(n 1)! 2!(n 2)! n!0! n n ĐS: a) Khai triển các biểu thức 1 2 và 1 2 b) Đạo hàm các hàm số: f(x) = (1 + x)n và g(x) = x(1 + x)n. 2n d) ; e) 0. n! k k 1 k 2 Bài 72: CMR: Cn ,Cn ,Cn (với k+3 n ; n, k N) là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng. Bài 73: Viết khai triển của biểu thức (3x –1)16 , từ đĩ chứng minh rằng : 16 0 15 1 14 2 16 16 3 .C16 3 .C16 3 .C16 C16 2 Bài 74: Chứng minh các hệ thức sau: 0 1 2 n n 1 a) Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn (n 2).2 2 3 n n 2 b) 2.1Cn 3.2Cn n(n 1)Cn n(n 1).2 2 1 2 2 2 n n 2 c) 1 Cn 2 Cn n Cn n(n 1).2 Bài 75: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 ( 1)n 1 a) C0 C1 C2 C3 Cn 2 n 4 n 6 n 8 n 2n 2 n 2(n 1) C1 .2 C2 .22 ( 1)nC2n 1.22n 1 b) C0 2n 1 2n 1 2n 1 0 2n 1 1 1 1 2 1 (n 1) Trang 69
  70. Đại số 11 n 1 n Ck 22n 2 3n 1 Bài 76: Chứng minh: .Ck n  n  k 1 n 1 k 0 k 1 k 0 (k 1).2 (n 1).2 1 Bài 77: a) Tính I = x2(1 x3)dx 0 1 1 1 1 2n 1 1 b) Chứng minh : C0 C1 C2 Cn 3 n 6 n 9 n 3n 3 n 3(n 1) Bài 78: Cho n N, chứng minh hệ thức sau: n 1 n n 1 n (1 e) 1 k 2 1 k k 1  Cn  Cn .e n 1 k 0 k 1 n 1 k 0 k 1 Bài 79: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 trong khai triển của (5 2x)16 lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5. 15 10 ĐS: x . 28 13 n 1 Bài 80: Số hạng thứ 3 trong khai triển 2x khơng chứa x. Với giá trị nào của x thì số x2 hạng đĩ bằng số hạng thứ 2 trong khai triển (1 x3)30 . ĐS: x = 2. Bài 81: a) Dùng khai triển của P = (a b c)n , CMR số các hốn vị khác nhau của m chữ a, (m n p)! n chữ b, p chữ c là: N = m!n! p! b) Áp dụng:Tính hệ số của đơn thức x6y5z4 trong khai triển của P = (2x –5y z)15 Bài 82: Xác định hệ số của x4 trong khai triển của P = (1 2x 3x2 )10 Bài 83: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển, biết: n 28 3 15 n n 1 n 2 a) x x x , biết Cn Cn Cn 79. 3n 1 b) 2nx , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 64. 2nx2 n 1 c) ax x 4 , biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển bằng 512. n 5 2 1 d) x , biết tổng hệ số của số hạng thứ hai và thứ 3 trong khai triển bằng 26 x Trang 70
  71. Đại số 11 25,5. 1547 ĐS: a) 792. b) 240 c) 45a 2 d) 1024 n  Bài 84: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển của 2x , (n là số nguyên 2x 1 dương) cĩ số hạng thứ 3 và thứ 5 cĩ tổng bằng 135, cịn các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển đĩ cĩ tổng bằng 22. ĐS: x = 2; x = –1. n 1 Bài 85: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển của 3 tỉ số của số hạng thứ 2 4 và số hạng thứ 3 là 3 2. ĐS: n = 5. 12 6 1 Bài 86: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển của x x hiệu số giữa số hạng thứ k + 1 và số hạng thứ k bằng 30 cịn số mũ của x trong số hạng thứ k gấp đơi số mũ của x trong số hạng thứ k + 1. 2 ĐS: x ; x 5 5. 1 4 2 9 1 Bài 87: Với những giá trị nào của x, số hạng thứ 3 của khai triển xlg x bằng 7 x2 3600. n 1 Bài 88: Tìm giá trị của số thực x, sao cho trong khai triển 2x tổng các số hạng x x 1 thứ 3 và thứ 5 là 135, tổng của 3 hạng tử cuối là 22. Bài 89: Gieo một đồng tiền hai lần, xét biến cố A = “ ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp ”. Tính n(  ) và n(A). Bài 90: Gieo đồng thời ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố ba mặt khơng giống nhau. Tính n(  ) và n(A). Bài 91: Gieo một con xúc sắc hai lần. tính xác suất của biến cố: a) A : “ tổng số chấm hai lần gieo bằng 8”. b) B : “ tổng số chấm hai lần gieo là một số chia hết cho 9 ”. c) C : “ tổng số chấm hai lần gieo là như nhau ”. Trang 71
  72. Đại số 11 Bài 92: Gieo một con xúc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) A : “ lần đầu được mặt cĩ số chấm lẻ, lần sau được mặt cĩ số chấm lớn hơn 2 ”. b) B : “ một lần được số chấm là chẵn, một lần được số chấm là lẻ ”. Bài 93: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: d) Số đĩ là số lẻ. e) Số đĩ chia hết cho 5 f) Số đĩ chia hết cho 9. Bài 94: Một hộp đựng 8 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ, cân đối, đồng chất. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. Tính xác suất để được: a) 4 viên bi màu xanh. b) 4 viên bi màu đỏ. c) 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu đỏ. Bài 95: Một hộp bĩng đèn cĩ 12 bĩng, trong đĩ cĩ 7 bĩng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bĩng.Tính xác suất để lấy được: b) ít nhất 2 bĩng tốt b) ít nhất 1 bĩng tốt. Bài 96: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đĩ cĩ 6 học sinh giỏi Tốn, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 mơn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đĩ là học sinh giỏi. Bài 97: Một hộp cĩ 20 quả cầu giống nhau, trong đĩ cĩ 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra cĩ ít nhất một quả màu đen. Bài 98: Một tổ cĩ 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đĩ khác phái. Bài 99: Một lớp cĩ 30 học sinh, trong đĩ cĩ 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Cĩ ít nhất 1 học sinh giỏi c) Khơng cĩ học sinh trung bình. CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ Trang 72
  73. Đại số 11 I. Phương pháp qui nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Bài 100: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta cĩ: n(n 1) n(n 1)(2n 1) a) 1 + 2 + + n = b) 12 22 n2 2 6 2 n(n 1) c) 13 23 n3 d) 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1)2 2 n(n 1)(n 2) 1 1 1 n e) 1.2 2.3 n(n 1) f) 3 1.2 2.3 n(n 1) n 1 Bài 101: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta cĩ: a) 2n 2n 1 (n 3) b) 2n 2 2n 5 1 1 1 1 3 2n 1 1 c) 1 2 (n 2) d) . 22 n2 n 2 4 2n 2n 1 1 1 1 1 1 13 e) 1 2 n f) (n > 1) 2 n n 1 n 2 2n 24 Bài 102: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta cĩ: a) n3 11n chia hết cho 6. b) n3 3n2 5n chia hết cho 3. c) 7.22n 2 32n 1 chia hết cho 5. d) n3 2n chia hết cho 3. e) 32n 1 2n 2 chia hết cho 7. f) 13n 1 chia hết cho 6. n(n 3) Bài 103: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là . 2 Bài 104: Dãy số (an) được cho như sau: a1 2, an 1 2 an với n = 1, 2, Trang 73
  74. Đại số 11 Chứng minh rằng với mọi n N* ta cĩ: an 2 cos . 2n 1 II. Dãy số 1. Dãy số u : ¥ * ¡ Dạng khai triển: (u ) = u , u , , u , n u(n) n 1 2 n 2. Dãy số tăng, dãy số giảm (un) là dãy số tăng un+1 > un với  n N*. un 1 un+1 – un > 0 với  n N* 1 với n N* ( un > un 0). (un) là dãy số giảm un+1 un 0). 3. Dãy số bị chặn (un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*. (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*. (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*. Bài 25: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 2n2 1 n ( 1)n n 1 a) u b) u c) u n 2 n n n 1 2n 1 n2 1 n 1 2 (n 1)! d) un e) un n cos n f) un 3 2n Bài 26: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 1 a) u 2, u u 1 b) u 15, u 9, u u u 1 n 1 3 n 1 2 n 2 n n 1 Trang 74
  75. Đại số 11 2 c) u 0, u d) u 1, u 2, u u 2u 1 n 1 2 1 2 n 2 n 1 n un 1 Bài 27: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un và chứng minh cơng thức đĩ bằng qui nạp: 2 a) u1 1, un 1 2un 3 b) u1 3, un 1 1 un c) u1 3, un 1 2un 5 u 1 d) u 1, u 2u 1 e) u 1, u u 7 e) u ,u n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 4 n 1 2 n 1 n 1 ĐS: a) un 2 3 b) un n 8 c) un 3.2 2n 1 1 d) un 1 e) un 7n 6 f) un 2n 1 Bài 28: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi: 2n 1 4n 1 ( 1)n a) un b) un c) un 3n 2 4n 5 n 2 2 n n 1 2 2 n d) un e) un n cos n f) un n2 1 n Bài 29: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi: 2n 3 1 a) u b) u c) u n2 4 n n 2 n n(n 1) n n2 2n n d) u e) u f) u ( 1)n cos n 2 n n n n 1 n2 2n n 2n III. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: cơng sai) 2. Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n 2 u u 3. Tính chất các số hạng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n(u u ) n 2u (n 1)d 4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u u 1 n = 1 n 1 2 n 2 2 Trang 75
  76. Đại số 11 Bài 24: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đĩ cho biết số hạng đầu và cơng sai của nĩ: 3n 2 2 a) un = 3n – 7 b) u c) u n n 5 n 7 3n n d) u 3n e) u f) u 1 n n 2 n 2 Bài 25: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết: u u u 10 u u u 10 u 15 a) 1 5 3 b) 2 5 3 c) 3 u1 u6 17 u4 u6 26 u14 18 u u 8 u7 u15 60 u u u 12 d) 7 3 e) f) 1 3 5 u .u 75 2 2 u u u 8 2 7 u4 u12 1170 1 2 3 Bài 26: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng. b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng. Bài 27: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình phương của chúng bằng 66. Bài 28: a) Ba gĩc của một tam giác vuơng lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các gĩc đĩ. b) Số đo các gĩc của một đa giác lồi cĩ 9 cạnh lập thành một cấp số cộng cĩ cơng sai d = 30. Tìm số đo của các gĩc đĩ. c) Số đo các gĩc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và gĩc lớn nhất gấp 5 lần gĩc nhỏ nhất. Tìm số đo các gĩc đĩ. Bài 29: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: a) x b2 bc c2; y c2 ca a2; z a2 ab b2 b) x a2 bc; y b2 ca; z c2 ab Bài 30: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: a) a 10 3x; b 2x2 3; c 7 4x b) a x 1; b 3x 2; c x2 1 Bài 31: Tìm các nghiệm số của phương trình: x3 15x2 71x 105 0 , biết rằng các nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng. Bài 32: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất cĩ 1 cây, hàng thứ hai cĩ 2 cây, hàng thứ ba cĩ 3 cây, . Hỏi cĩ bao nhiêu hàng? Trang 76
  77. Đại số 11 IV. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: cơng bội) n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk uk 1.uk 1 với k 2 Sn nu1 với q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên: n u1(1 q ) Sn với q 1 1 q Bài 3: Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết: u u 72 u u u 65 u u 90 a) 4 2 b) 1 3 5 c) 3 5 u5 u3 144 u1 u7 325 u2 u6 240 u u u 21 u u u 14 1 2 3 d) 1 2 3 e) 1 1 1 7 f) u u u 1. 2. 3 64 u1 u2 u3 12 u1 u2 u3 u4 30 2 2 2 2 u1 u2 u3 u4 340 Bài 4: a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Bài 5: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Bài 6: a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng cơng bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486. b) Tìm cơng bội của một cấp số nhân cĩ số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889. Bài 7: a) Tìm 4 gĩc của một tứ giác, biết rằng các gĩc đĩ lập thành một cấp số nhân và gĩc cuối gấp 9 lần gĩc thứ hai. b) Độ dài các cạnh của ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng ABC cĩ hai gĩc khơng quá 600. Bài 8: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đĩ số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, cịn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. Bài 9: Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nĩ lớn gấp 3 lần tổng các số hạng cĩ chỉ số lẻ. Xác định cơng bội của cấp số đĩ. Trang 77
  78. Đại số 11 148 Bài 10: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là , 9 đồng thời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Bài 11: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đĩ tạo thành một cấp số cộng, cịn nếu sau đĩ tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân. Bài 12: Tìm 4 số trong đĩ ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, cịn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24. Bài 13: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân. 2 1 2 Bài 14: Chứng minh rằng nếu 3 số , , lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z y x y y z lập thành một cấp số nhân. BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Bài 1: Tính tổng : S 1.2 2.3 n(n 1) u1 1 Bài 2: Dãy số (un ) xác định bởi cơng thức: với n 1. un 1 3un 1 Chứng minh dãy số tăng bằng phương pháp quy nạp 5 u 1 Bài 3: Cho dãy số (u ) xác định bởi: u và u n với mọi n 1. n 1 4 n 1 2 1 a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi n 1 ta cĩ u 1. n 2n 1 b) Chứng minh rằng dãy số (un ) là dãy giảm và bị chặn. Bài 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un ) với: 3n n 1 a) u 2 n b) u n n 4n Bài 5: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 =2 và un 1 un 2 với mọi n 1. Chứng minh un = 2 với mọi n 1. Cĩ nhận xét gì về dãy số này ? Bài 6: Cấp số cộng: a) Tìm các nghiệm của phương trình: x3 –15x2 71x –105 0 . Biết rằng các nghiệm Trang 78
  79. Đại số 11 này tạo thành một cấp số cộng. b) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình phương của chúng bằng 30. Hãy tìm cấp số cộng đĩ. c) Cho phương trình x4 –(3m 4)x2 (m 1)2 0 . Định m dể phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. 1 1 1 d) Cho các số a, b, c thoả mãn , , tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh a b a c b c rằng a2, b2, c2 cũng tạo thành một cấp số cộng e) Nếu số thứ p, thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là a, b, c. Chứng minh rằng: (q –r)a (r – p)b (p –q)c 0 f) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là Sn n(5n –3) . Tìm số hạng thứ p của cấp số cộng đĩ. g) Cho hai cấp số cộng lần lượt cĩ tổng n số hạng là Sn 7n 1 và Tn 4n 7 . Tìm tỉ số u 11 của 2 số hạng thứ 11 của hai cấp số đĩ. v11 Bài 7: Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số hạng đầu bằng 56. 1 b) Một cấp số nhân (u ) cĩ 5 số hạng, biết cơng bội q và u u 24 . Tìm các số n 4 1 4 hạng của cấp số nhân này. Bài 8: Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số x 6y, 5x 2y, 8x y , theo thứ tự đĩ lập thành cấp số cộng. Đồng thời x 1, y 2, x 3y theo thứ tự đĩ lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y. b) Cho 3 số cĩ tổng bằng 28 lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số nhân đĩ biết nếu số thứ nhất giảm 4 thì ta được 3 số lập thành cấp số cộng. c) Tìm hai số a và b biết ba số: 1, a 8 , b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1, a, b theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. d) Ba số cĩ tổng là 217 cĩ thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của CSC để tổng của chúng là 280? e) Một CSC và một CSN cĩ số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ 2 của CSN là 10, cịn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy? Trang 79
  80. Đại số 11 2n 5n 1 1 1 Bài 9: Cho dãy số (un) với un n n . Tính S10 . 2 5 u 1 1 u2 1 u10 1 7n 3n2 Bài 10: Cho dãy số (un), kí hiệu tổng n số hạng đầu tiên của nĩ là nS, được xác địnhS . n 2 a) Tính u1, u2, u3. b) Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định số hạng tổng quát của nĩ. Bài 11: a) CHƯƠNG IV GIỚI HẠN I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ ) n n n nk lim qn (q 1) lim qn 0 ( q 1) ; lim C C n n 2. Định lí: 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un thì lim 0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un lim (un + vn) = a + b un b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = lim (un – vn) = a – b vn lim (un.vn) = a.b 0 u a c) Nếu lim u = a 0, lim v = 0 lim n (nếu b 0) n n v b n u nếu a.v 0 thì lim n = n nếu a.v 0 b) Nếu un 0, n và lim un= a vn n d) Nếu lim u = + , lim v = a thì a 0 và lim un a n n Trang 80