Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

1. CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Các tính chất thừa nhận. • Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. • Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. • Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. • Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. • Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng . • Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 2. Cách xác định mặt phẳng. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết: - Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. - Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó. - Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Các kí hiệu: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2. ABC là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba C điểm không thẳng hàng A,B,C ( h1) A α B (h1) - M,d là kí hiệu mặt phẳng đi qua d và điểm M d (h2) M d α (h2) - d1 ,d2 là kí hiệu mặt phẳng xác d2 định bởi hai đường thẳng cắt nhau d1 d1 ,d2 (h3) α (h3) 3. Hình chóp và hình tứ diện. 3.1. Hình chóp. Trong mặt phẳng cho đa giác lồi A1A2 An . Lấy điểm S nằm ngoài . Lần lượt nối S với các đỉnh A1 , A2 , , An ta được n tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 . Hình gồm đa giác A1A2 An và n tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 được gọi là hình chóp , kí hiệu là S.A1A2 An . Ta gọi S là đỉnh, đa giác A1A2 An là đáy , các đoạn SA1 ,SA2 , ,SAn là các cạnh bên, A1A2 , A2 A3 , , An A1 là các cạnh đáy, các tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 là các mặt bên 3.2. Hình Tứ diện Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là tứ diện ABCD . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
3. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG. Phương pháp:Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến. Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng và  thường được tìm như sau : Tìm hai đường thẳng a,b lần lượt thuộc γ β b và  , đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng  nào đó; giao điểm A a M a  b chính là điểm chung của và α  . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) SAC và SBD A.SCB.SB C.SO trong đóO AC  BD D. S b) SAC và MBD A.SMB.MB C.OM trong đóO AC  BD D.SD c) MBC và SAD A.SMB.FM trong đó F BC  AD C.SO trongO AC  BD D.SD d) SAB và SCD – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4. A.SE trong đó E AB CD B.FM trong đó F BC  AD C.SO trongO AC  BD D.SD Lời giải: a) Gọi O AC  BD O AC  SAC O BD  SBD Lại có S SAC  SBD O SAC  SBD S SO SAC  SBD . M b) O AC  BD A O AC  SAC D F O O BD  MBD C O SAC  MBD . B E Và M SAC  MBD OM SAC  MBD . c) Trong ABCD gọi F BC  MBC F BC  AD F MBC  SAD F AD  SAD Và M MBC  SAD FM MBC  SAD d) Trong ABCD gọi E AB CD , ta có SE SAB  SCD . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
5. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC . A. PC trong đó P DC  AN , N DO  BC B. PC trong đó P DM  AN , N DA  BC C. PC trong đó P DM  AB , N DO  BC D.PC trong đó P DM  AN , N DO  BC b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABD . A.DR trong đó R CM  AQ , Q CA  BD B. DR trong đó R CB  AQ , Q CO  BD C. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BA D. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BD c) Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD . A.FG trong đó F IJ CD , G KM  AE, K BE  IA , E BO CD B. FG trong đó F IA CD , G KM  AE, K BA  IJ , E BO CD C. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE, K BA  IJ , E BO CD D. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE, K BE  IJ , E BO CD Lời giải: a) Trong BCD gọi N DO  BC , trong A ADN gọi R G P M D Q J B O E – Website chuyên đề thi, tài liệu file wordK mới nhất I N C F
6. P DM  CDM P DM  AN P AN  ABC P CDM  ABC Lại có C CDM  ABC PC CDM  ABC . b)Tương tự, trong BCD gọi Q CO  BD , trong ACQ gọi R CM  AQ R CM  CDM R CDM  ABD R AQ  ABD D là điểm chung thứ hai của MCD và ABD nên DR CDM  ABD . c) Trong BCD gọi E BO CD,F IJ CD , K BE  IJ ; trong ABE gọi G KM  AE. F IJ  IJM G KM  IJM Có F IJM  ACD , F CD  ACD G AE  ACD G IJM  ACD . Vậy FG IJM  ACD . Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: - Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng. - Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
7. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC . Trên SA,SB và SC lấy các điểm D,E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .Khẳng định nào sau đây đúng? A.Ba điểm B, J,K thẳng hàng B. Ba điểm I, J,K thẳng hàng C. Ba điểm I, J,K không thẳng hàng D.Ba điểm I, J,C thẳng hàng Lời giải: Ta có I DE  AB,DE  DEF I DEF ; AB  ABC I ABC 1 .Tương tự S J EF  BC D F J EF DEF 2 K DF  AC J BC  ABC K A E C K DF  DEF B 3 Từ (1),(2) và (3) I K AC  ABC J ta có I, J,K là điểm chung của hai mặt phẳng ABC và DEF nên chúng thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC có D,E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua AC cắt SE,SB lần lượt tại M,N . Một mặt phẳng  đi qua BC cắt SD,SA tương ứng tại P và Q . a) Gọi I AM  DN, J BP  EQ . Khẳng định nào sau đây là đúng? – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
8. A. Bốn điểm S,I, J,G thẳng hàng. B. Bốn điểm S,I, J,G không thẳng hàng. C. Ba điểm P,I, J thẳng hàng. D. Bốn điểm I, J,Q thẳng hàng. b) Giả sử K AN  DM, L BQ  EP . Khằng định nào sau đây là đúng? A. Ba điểm S,K, L thẳng hàng. B. Ba điểm S,K, L không thẳng hàng C. Ba điểm B,K, L thẳng hàng D. Ba điểm C,K, L thẳng hàng Lời giải: a) Ta có S SAE  SBD , (1) L G AE  SAE G SAE S G AE  BD 2 G BD  SBD G SBD Q K I DN  SBD I SBD N P I AM  DN 3 M I AM  SAE I SAE J I A D C J BP  SBD J SBD G J BP  EQ 4 E J EQ  SAE J SAE B Từ (1),(2),(3) và (4) ta có S,I, J,G là điểm chung của hai mặt phẳng SBD và SAE nên chúng thẳng hàng. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
9. Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD tưng ứng tại các điểm M,N,P,Q . Khẳng định nào đúng? A. Các đường thẳng MP,NQ,SO đồng qui. B. Các đường thẳng MP,NQ,SO chéo nhau. C. Các đường thẳng MP,NQ,SO song song. D. Các đường thẳng MP,NQ,SO trùng nhau. Lời giải: Trong mặt phẳng MNPQ gọi I MP  NQ . S Ta sẽ chứng minh I SO . Q Dễ thấy SO SAC  SBD . M I N P I MP  SAC D A I NQ  SBD O I SAC I SO B C I SBD Vậy MP,NQ,SO đồng qui tại I . Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a . Trong P lấy hai điểm A,B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc P . Các đường thẳng SA,SB cắt Q tương ứng tại các điểm C,D . Gọi E là giao điểm của AB và a .Khẳng định nào đúng? A. AB,CD và a đồng qui. B. AB,CD và a chéo nhau. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
10. C. AB,CD và a song song nhau. D. AB,CD và a trùng nhau Lời giải: Trước tiên ta có S AB vì ngược lại thì S AB  P S P (mâu thuẫn giả thiết) do đó S, A,B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng SAB . Do C SA  SAB C SAB C SA  Q 1 C Q C Q Q Tương tự C D SB  SAB D SAB D D SB  Q 2 a D Q D Q E B A Từ (1) và (2) suy ra CD SAB  Q . P Mà E AB  SAB E SAB E AB  a S E a  Q E Q E CD . Vậy AB,CD và a đồng qui đồng qui tại E . Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P ta cần lưu ý một số trường hợp sau: Trường hợp 1. Nếu trong P có sẵn một đường thẳng P d' cắt d tại M , khi đó d d' – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất M Q
11. M d M d M d  P M d'  P M P Trường hợp 2. Nếu trong P chưa có sẵn d' cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn một mặt phẳng Q chứa d Bước 2: Tìm giao tuyến P  Q Bước 3: Trong Q gọi M d  thì M chính là giao điểm của d  P . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA . a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD . A.Điểm H, trong đó E AB CD , H SA  EM B. Điểm N, trong đó E AB CD , N SB  EM C. Điểm F, trong đó E AB CD , F SC  EM D. Điểm T, trong đó E AB CD ,T SD  EM b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD . A. Điểm H, trong đó I AC  BD , H MA SI B. Điểm F, trong đó I AC  BD , F MD SI C. Điểm K, trong đó I AC  BD , K MC SI D. Điểm V, trong đó I AC  BD , V MB SI Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
12. a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi S E AB CD . Trong SAB gọi. Ta có N EM  MCD N MCD và M N SB nên N SB  MCD . N K A I D b) Trong ABCD gọi I AC  BD . B C Trong SAC gọi K MC SI . E Ta có K SI  SBD và K MC nên K MC  SBD . Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳngSD với mặt phẳng AMN . A.Điểm K, trong đó K IJ SD , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD B. Điểm H, trong đó H IJ SA , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD C. Điểm V, trong đó V IJ SB, I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD D. Điểm P, trong đó P IJ SC , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD Lời giải: Trong mặt phẳng ABCD gọi S O AC  BD, J AN  BD . Trong SAC gọi I SO  AM và K K IJ SD . I A M B J N – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhấtO D C
13. Ta có I AM  AMN , J AN  AMN IJ  AMN . Do đó K IJ  AMN K AMN . Vậy K SD  AMN Bài toán 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP. Phương pháp: Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1A2 An cắt bởi mặt phẳng , ta tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp) Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD . a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì? A. Tam giác B. Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC . Thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP là hình gì? A. Ngũ giác – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
14. B. Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành Lời giải: a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi S E AB CD . Trong mặt phẳng SCD gọi Q SC  EP . P A Q Ta có E AB nên EP  ABP Q ABP , do đó B D Q SC  ABP . C E Thiết diện là tứ giác ABQP . b)Trong mặt phẳng ABCD gọi F,G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD Trong mặt phẳng SAD gọi H SA  FP S P Trong mặt phẳng SCD gọi K SC  PG . H Ta có F MN F MNP , F A D K FP  MNP H MNP M B H SA N C Vậy H SA  MNP Tương G H MNP tự K SC  MNP . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
15. Thiết diện là ngũ giác MNKPH . Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi M,N,P là ba điểm trên các cạnh AD,CD,SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành Lời giải: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E,K,F lần lượt là giao điểm của MN với DA,DB,DC . Trong mặt phẳng SDB gọi H KP SB S H Trong mặt phẳng SAB gọi T EH SA R T P F Trong mặt phẳng SBC gọi R FH SC . N D C K E MN M O Ta có EH  MNP , E A B H KP T SA T SA  MNP . T EH  MNP Lí luận tương tự ta có R SC  MNP . Thiết diện là ngũ giác MNRHT . Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
16. Phương pháp: d Để dựng đường thẳng d đi qua O và cắt O d1 ,d2 ta dựng giao tuyến của hai mặt phẳng mp O,d1 và mp O,d2 , khi đó d mp O,d  mp O,d . 1 2 d2 d1 Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD ,O là điểm huộc miền trong tam giác BCD , M là một điểm trên cạnh AB . a) Dựng đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD . b) Gọi N là mộtđiểm trên cạnh BC sao cho ON không song song với BD . Dựng đường thẳng đi qua N cắt AO và DM . Lời giải: a) Trong BCD gọi P BO CD A Trong ABN gọi I PM  AO M Đường thẳng MP chính là đường thẳng đi qua M cắt cả AO và CD . B I D O P C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
17. b) Trong mặt phẳng BCD gọi E NO  BD A Trong ABD gọi G MD  AE , trong M NAE gọi F AO  NG , thì NG chính là G đường thẳng đi qua F B D N cắt cả AO và DM . E O N C Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH. Phương pháp: Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a,b ta chọn hai mặt phẳng β cố định và  cắt nhau lần lượt chứa a I a  a,b , khi đó I a  b d I b   I b I d   α Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng và  . Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau - Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng  và  - Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng  và  , khi đó d đi qua điểm cố định J . Các ví dụ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
18. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB . Một mặt phẳng P quay quanh AB cắt các cạnh SC,SD tại các điểm tương ứng E,F . a) Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE . A. I SV , trong đó V AE  BC B. I ST , trong đó T AD  BF C. I SH , trong đó H AD  BC D. I SZ , trong đó H AE  BF b) Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF . A. J SO , trong đó SO SAC  SBD B. J SA C. J SB D. J SO , trong đó SO SAF  SBE Lời giải: a) Phần thuận: I AF S Ta có I AF  BE , I BE AF  SAD I F E BE  SBC J A B F SAD  SBC . O D C Trong ABCD gọi H H AD H AD  BC H BC – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
19. H SAD . H SBC SH SAD  SBC I SH . Giới hạn: Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H . Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S . Phần đảo: Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH , trong SAH gọi F SD  AI , trong SBH gọi E SH  BI khi đó ABEF là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC,SD tại E,F và I là giao điểm của AF và BE . Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH . J AE J SAC b) Ta có J AE  BF J SAC  SBD Nhưng J BF J SBD SO SAC  SBD nên J SO . Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O . Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S . Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABDC . Hai điểm M,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao AM AN cho . Một mặt phẳng P thay đổi luôn chứa MN , cắt các cạnh CD và BD AB AC lần lượt tại E và F . a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF . A. I OD trong đó, O AM  BN – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
20. B. I OD trong đó, O CM  BA C. I OD trong đó, O CB  BA D. I OD trong đó, O CM  BN c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE . A. đường thẳng AB trừ các điểm trong của đoạn AB B. đường thẳng AC trừ các điểm trong của đoạn AC C. đường thẳng BD trừ các điểm trong của đoạn BD D. đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD Lời giải: K MN K MNP a) Trong ABC gọi K MN  BC thì K cố định và K BC K BCD Lại có EF P  BCD K EF Vậy A EF luôn đi qua điểm K cố định M b) Phần thuận: F D B I Trong P gọi O N E I ME  MCD C I ME  NF I NF  NBD K J I MCD  NBD . Gọi O CM  BN OD MCD  NBD I OD Giới hạn: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
21. Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D Phần đảo: Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD , trong MCD gọi E MI CD , trong NBD gọi F NI  BD suy ra MNEF là mặt phẳng quay quanh MN căt các cạnh DB,DC tại các điểm E,F và I ME  NF . Vậy tập hợp điểm I là đoạn OD . J MF  ADB c) Gọi J MF  NE J ADB  ACD . J NE  ACD Mà AD ADC  ADB . Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A Khi Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD . CÁC BÀI TOÁN TỰ LUẬN LUYỆN TẬP 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và NAD b) Gọi E,F là các điểm lần lượt trên các cạnh AB và AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và DEF . 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác ABCD , AB cắt CD tại E , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại F . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) SAB và SCD ; SAC và SBD . b) SEF với các mặt phẳng SAD và SBC . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
22. 3. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABD , N một điểm thuộc miền trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) BCD và AMN . b) ABC và DMN . 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP 3PD . a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng MNP . b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABD và MNP . 5. Cho hình chóp S.ABCD , M và N là các điểm lần lượt trên các cạnh SC,BC . a) Tìm giao điểm của AM với SBD . b) Tìm giao điểm của SD với SMN . 6. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại O , A,B là hai điểm nằm ngoài sao cho AB cắt với . Một mặt phẳng  quay quanh AB cắt d và d' lần lượt tại M,N . a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi I AM  BN , chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định. c) Gọi J AN  BM , chứng minh J thuộc một đường thẳng cố định. d) Chứng minh IJ đi qua một điểm cố định. 7. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2KD . a) Xác định giao điểm E của đường thẳng CD với IJK và chứng minh DE DC . b) Xác định giao điểm F của đương thẳng AD với IJK và chứng minh FA 2FD . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
23. c) Chứng minh FK P AB . 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC . EM a) Tìm giao điểm E của AM với SBD . Tính . EA b) Tìm giao điểm F của SD với MAB và chứng minh F là trung điểm của SD . 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD . a) Tìm giao điểm I của GM với ABCD . Chứng minh I,C,D thảng hàng và IC 2ID . JD b) Tìm giao điểm J của AD với MOG . Tính . JA KS c) Tìm giao điểm K của SA với MOG . Tính . KA 10. Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a,b cắt nhau ở O và c là đường thẳng cắt tại I I O . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và mp O,c b) Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng M,a và M,b và chứng minh luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c . 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SC . a) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với AMN b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng AMN . 12. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I, J lần lượt là các điểm cố định trên các cạnh SA và SC ( IJ không song song với AC ). – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
24. Một mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB tại M và cắt SD tại N . a) Chứng minh các đường thẳng MN,IJ,SO đồng qui b) Giả sử AD  BC E,IN  JM F . Chứng minh S,E,F thẳng hàng. c) Gọi P IN  AD,Q JM  BC . Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi di động. 13. Cho hình chóp S.ABC . Trên các cạnh AB,BC,CS lấy các điểm M,N,P sao cho MN và AC không song song với nhau. a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP . b) Gỉa sử I MP  NQ , chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi P chạy trên cạnh SC . 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là một điểm trên 1 cạnh SD sao cho SM SD . 3 a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với SAC . b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC . Xác định giao tuyến d của SBC và AMN . Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định. c) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp với MNG . 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng căt các cạnh bên SA,SB,SC tương ứng tại các điểm A',B',C'. Gọi O là giao điểm của AC và BD . a) Tìm giao điểm D' của với SD . SA SC SB SD b) Chứng minh . SA' SC' SB' SD' 16. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I, J là hai điểm trên các cạnh AD và SB . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
25. a) Tìm giao các điểm K, L của các đường thẳng IJ và DJ với SAC . b) Giả sử O AD  BC, M OJ SC . Chứng minh A,K, L, M thẳng hàng. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD , AB 2CD . Gọi I là trung điểm của SA , J là một điểm trên cạnh SC với JS JC . Gọi là mặt phẳng quay quanh IJ , cắt các cạnh SD,SB tại M,N . Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN . 18. Cho tứ diện ADCD thỏa mãn điều kiện AB.CD AC.BD AD.CB . Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng qui tại một điểm. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. a) Ta có M,N lần lượt là điểm chung của hai mặt phẳng (MBC) và (NAD)nên (MBC) (NAD) MN . I BM  BCM b) Gọi I BM  DE I BCM  DEF . I DE  DEF Tương tự, gọi J CM  DF thì J BCM  DEF . Do đó IJ BCM  DEF . 2. a)Ta có (SAB) (SCD) SE, S (SAC) (SBD) SF. b) Gọi I, J lần lượt là giao B E I điểm của EF với BC, AD thì A F C (SEF) (SAD) SJ , (SEF) (SBC) SI . J D – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
26. 3. A a) Gọi E,F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD và CD thì K  EF (AMN) (BCD) . M N b) Gọi I,K lần lượt là giao điểm của I B DN,DM với AC và AB thì E D EF (DMN) (ABC) . F C 4. A a) Trong BCD gọi E CD  NP thì E CD M  Q E NP MNP E CD  MNP . C D E N P b) Trong ACD gọi Q AD  ME thì B ta có MNP  ABD PQ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
27. 5. S a) Trong ABCD gọi O AC  BD , trong K SAC gọi I AM SO I M I AM I AM  SBC . B I SO  SBD A J b) Trong ABCD gọi J AN  BD , kéo N O dài IJ cắt SD tại K . D C Ta có K SD K SD  AMN . K IJ  AMN 6. a) Gọi E AB  thì E cố định và E AB   E   1 β A I E Tương tự J B M d1   N d1   M   2 . M N d1  d1  d E 2 O d1 α N   3 . Từ 1 , 2 , 3 suy ra M,N,E thẳng hàng hay MN đi qua điểm E cố định. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
28. I AM  mp A,d1 b) Ta có I AM  BN I ' mp A,d  mp B,d  1 2 I BN mp B,d2 rõ ràng mp A,d1 ,mp B,d2 là các mặt phẳng cố định nên ' cố định. Vậy I luôn thuộc đường thẳng cố định ' . c) Lập luận tương tự câu b) ta có J " mp A,d2  mp B,d1 . d) Gọi  là mặt phẳng xác định bởi ', " thì  cố định Gọi F AB   . Gọi K AB   K cố định Dễ thấy I, J là điểm chung của các mặt phẳng A,d1 , B,d2 và A,d2 , B,d1 nên I, J thuộc mp ', " . Vậy I, J,K thẳng hàng do đó IJ đi qua điểm K cố định. E CD 7. a) Trong BCD gọi E JK CD E IJK E E CD  IJK . Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác BCD đối KD JB EC với cát tuyến EKJ ta có . . 1 mà D KB JC ED K KD 1 JB EC F , 1, do đó 2 . Hay DE DC . KB 2 JC ED F AD A B b) Trong ACD gọi F AD  IE F IE  IJK I J F AD  IJK . C Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác ACD đối với cát tuyến EFI ta có EC FD IA EC . . 1, mà 2 ( câu a) ED FA IC ED – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
29. IA FD 1 1 suy ra FA 2FD . IC FA 2 FD 1 KD 1 FD KD c) Do , FK P AB . FA 2 KB 2 FA KB 8. a) Gọi O AC  BD , trong SAC gọi E AM E AM SO E AM  SBD . E SO  SBD S Do O, M lần lượt là trung điểm của AC và SC nên EM 1 E là trọng tâm của tam giác SAC do đó . EA 2 F b) Trong SBD gọi M E F SD F BE SD F SD  ABM . A F BE  ABM D SE 2 Vì SO là trung tuyến của tam giác SBD và ( O SO 3 do E là trọng tâm của tam giác SAC ) nên E là trọng B C tâm của tam giác SBD , do đó F là trung điểm của SD . 9. a) Gọi E là trung điểm của AD và S I MG  BE I I MG I GM  ABCD . K I BE  ABCD G M A E D J – Website chuyên đề thi, tài liệu file wordN mới nhất O B C
30. Gọi N là trung điểm của BE thì 1 MN P SE . 2 1 SE IG GE 2 Ta có 3 , mà IM là IM MN 1 3 SE 2 trung tuyến của SBI nên G là trọng tâm của SBI E là trung điểm của BI , do đó ABDI là hình bình hành DI P AB , mặt khác CD P AB . Vậy I,C,D thẳng hàng, hay I CD và IC 2ID . b) Trong ABCD gọi J AD OI thì J chính là giao điểm của AD với OMG . JA Dễ thấy rằng J là trọng tâm của tam giác IAC nên 2 . JD c) Trong SAD gọi K JG SA thì K là giao điểm của OMG với SA EJ 1 EG Ta có J là trọng tâm tam giác IBD nên JG PSD từ đó ta có ED 3 ES KS JD 1 . KA JA 2 10. c M I c  mp O,c a) Ta có I c  I Lại có b I a O  mp O,c OI  mp O,c . O α – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
31. O a  mp M,a b) Do O a  b O b  mp M,b O mp M,a  mp M,b . Vậy OM mp M,a  mp M,b , rõ ràng OM  mp O,c cố định. 11. a) Gọi O AC  BD , trong SAC gọi S I SO  AN , trong SBD gọi P MI SD thì P SD  AMN . M b) Thiết diện là tứ giác AMNP . I N P A B O D C 12. a) Trong gọi K IJ  MN Ta chứng minh S,O,K thẳng hàng. S K IJ  MN N Thật vậy K IJ  SAC  I K K MN SBD R J M D K SAC  SBD . A F P O C Mà SO SAC  SBD K SO Vậy B Q SO,IJ, MN đồng qiu tại K . E – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
32. E AB CD E AB  SAB b) Ta có E CD  SCD E SAB  SCD Tương tự F SAB  SCD , do đó S,E,F là điểm chung của hai mặt phẳng SAB và SCD nên chứng thẳng hàng. c) Do IJ không song song với AC nên trong SAC gọi R IJ  AC thì R cố định. Dễ thấy PQ ABCD  . R IJ R IJ  AC R AC R R PQ . R ABCD Vậy PQ luôn đi qua điểm R cố định khi thay đổi. 13. a) Trong ABC gọi E MN  AC , S trong SAC gọi Q EP SA , thiết diện là Q P tứ giác MNPQ . I b) Vì I MP  NQ C E I MP  SMC A O I NQ  SAN N M B – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
33. I SAN  SMC Mặt khác gọi O AN CM thì O cố định nên SO SCM  SAN cố định. Vậy I thuộc đường thẳng SO cố định. 14. a) Gọi O AC  BD , I SO  BM S d F I BM thì I SO  SAC M I BM  SAC . I b) Gọi K AN  BD , J SO  KM , J E A D E AJ SC . K O Do J KM  AMN AJ  AMN B N C E AMN E SBC  AMN . Từ đó ta có NE AMN  SBC . Gọi d SAD  SBC thì d cố định. Trong SAD gọi F AM  d thì F cố định. Do F d  SBC F SBC . Vậy N,E,F là điểm chung của hai mặt phẳng AMN và SBC nên chúng thẳng hàng, hay NE đi qua điểm F cố định. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
34. c) Gọi Y là trung điểm của AB và S X DY  MG . Trong ABCD gọi M O NX  AB và Z NX CD , trong P SCD gọi T MZ SC G trong SAB gọi P QG SA . Thiết diện A D là ngũ giác MPQNT . T Y X Q B N C Z 15. S a) Trong SAC gọi I SO  A'C' , vì I SO  BD I SBD . D' A' I  C' Trong SBD gọi D' B' I SD B' D D' SD A D' SD  . D' B' I  O B C ‘ b) Kẻ AK P A'C',K SO và S CJ ' P A'C', J SO . SA SK C' Ta có . I SA' SI A' K SC SJ SA SC SO SK Và SC' SI SA' SC' SI SI A O C J – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
35. SO SJ SO OK SO OJ 2SO 1 SI SI SI OK OA ( do AK PCJ 1 OK OJ ) OJ OC Tương tự ta cũng tính được SB SD 2SO 2 SB' SD' SI SA SC SB SD Từ 1 , 2 suy ra: SA' SC' SB' SD' ( đpcm) 16. a) Trong ABCD gọi S E AC  BI E BI  SBI . Trong SBI K IJ gọi K IJ SE K SE  SAC K IJ  SAC . J M K L A  O Trong ABCD gọi F AC BD E I D  F F BD SBD . C B Trong SBD gọi L DJ L SF  DJ L SF  SAC L DJ  SAC . b) Dễ thấy A,K, L, M SAC 1 . Mặt khác – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
36. K IJ  AOJ , L DJ  AOJ , M OJ  AOJ nên A,K, L, M AOJ 2 . Từ 1 , 2 suy ra A,K, L, M cùng thuộc hai mặt phẳng SAC và AOJ nên chúng thuộc giao tuyến của hai mawth phẳng SAC và AOJ , hay A,K, L, M thẳng hàng. 17. Gọi O AC  BD , K IJ SO thì SO, MN,IJ đồng quy tại K S Gọi H MI  SAB N H MI  NJ H SAB  SCD . 0 H SBC I N M0 K Gọi E AD  BC SE SAD  SBC .Vậy H SE . M A B J Gới hạn H1 O Gọi M0 BK SD và N0 DK SB D C H Khi M M0 thì N B E Khi N N0 thì M D Vậy để cắt các cạnh SB,SD thì M thuộc đoạn DM0 và N thuộc đoạn BN0 . Gọi H1 IM0 SE thì quỹ tích điểm H là tia H1x chứa E . (Bạn đọc tự làm phần đảo). – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
37. 18. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và E AI CD . A Theo tính chất đường phân giác ta có ED BD 1 . Mặt khác từ giả thiết EC BC BD AD AB.CD AC.BD 2 BC AC J EC AD O Từ 1 và 2 suy ra AE là B ED AC C đường phân giác của góc A trong tam I giác ACD . Nghĩa là tâm J của đường tròn E nội tiếp tam giác ACD thuộc AE . Do AI D và BJ cùng thuộc ABE nên chúng cắt nhau tại O . Vậy bốn đường thẳng nối các đỉnh với tâm đường tròn nội tiếp các mặt đối diện đôi một cắt nhau và chúng không đồng phẳng nên phải đồng quy. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất