›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Đạo hàm

docx 52 trang nhungbui22 12/08/2022 2290
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Đạo hàm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_nang_cao_dao_ham.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Đạo hàm

  1. Đạo Hàm Nâng Cao
  2. Đạo Hàm Nâng Cao ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a ; b và x0 a ; b , đạo hàm của hàm số f x f x0 tại điểm x0 là : f ' x0 lim . x x 0 x x0 1.2. Chú ý : Nếu kí hiệu x x x0 ; y f x0 x f x0 thì : f x0 x f x0 y f ' x0 lim lim . x x x 0 0 x x0 x Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y f x có đồ thị C f ' x0 là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị C của hàm số y f x tại M 0 x0 , y0 C . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M 0 x0 , y0 C là : y f ' x0  x x0 y0 . 2.2. Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s s t tại thời điểm t0 là v t0 s ' t0 . Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t tại thời điểm t0 là : I t0 Q ' t0 . 3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số . u v ' u ' v ' u.v ' u '.v v '.u C.u C.u u u '.v v '.u C C.u 2 , v 0 2 v v u u Nếu y f u , u u x y x yu .u x . 3.2. Các công thức : C 0 ; x 1 n n 1 n n 1 x n.x u n.u .u , n ¥ , n 2
  3. Đạo Hàm Nâng Cao 1 u x , x 0 u , u 0 2 x 2 u sin x cos x sin u u. cosu cos x sin x cosu u .sin u 1 u tan x tan u cos2 x cos2 u 1 u cot x cot u . sin2 x sin2 u 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y f x tại điểm x0 là : df x0 f x0 . x . Cho hàm số y f x có đạo hàm f x thì tích f x . x được gọi là vi phân của hàm số y f x . Kí hiệu : df x f x . x f x .dx hay dy y .dx . 4.2. Công thức tính gần đúng : f x0 x f x0 f x0 . x . 5. Đạo hàm cấp cao 5.1. Đạo hàm cấp 2 : Định nghĩa : f x f x Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t0 là a t0 f t0 . n n 1 5.2. Đạo hàm cấp cao : f x f x , n ¥ , n 2 . B. BÀI TẬP TÍNH ĐẠO HÀM x2 1 khi x 0 Câu 1: Tìm a,b để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 a 11 a 10 a 12 a 1 A. . B. . C. . D. . b 11 b 10 b 12 b 1 ax2 bx 1 khi x 0 Câu 2: Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 0 asin x bcos x khi x 0
  4. Đạo Hàm Nâng Cao A. a 1;b 1. B. a 1;b 1. C. a 1;b 1. D. a 0;b 1. Câu 3: Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2) (x 1000) . Tính f (0) . A. 10000!. B. 1000!. C. 1100!. D. 1110!. 3 4x2 8 8x2 4 khi x 0 Câu 4: Cho hàm số f (x) x .Giá trị của f (0) bằng: 0 khi x 0 1 5 4 A. . B. . C. . D. Không tồn tại. 3 3 3 xsin khi x 0 Câu 5: Với hàm số f (x) x .Để tìm đạo hàm f '(x) 0 một học sinh lập luận 0 khi x 0 qua các bước như sau: 1. f (x) x . sin x . x 2.Khi x 0 thì x 0 nên f (x) 0 f (x) 0 . 3.Do lim f (x) lim f (x) f (0) 0 nên hàm số liên tục tại x 0 . x 0 x 0 4.Từ f (x) liên tục tại x 0 f (x) có đạo hàm tại x 0 . Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. 1 xsin khi x 0 Câu 6: Cho hàm số f (x) x2 . 0 khi x 0 (1) Hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . (2) Hàm số f (x) không có đạo hàm tại điểm x 0 . Trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (1) đúng. B. Chỉ (2) đúng. C. Cả (1),(2) đều đúng.D. Cả (1),(2) đều sai. ax2 bx khi x 1 Câu 7: Cho hàm số f (x) .Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x 1 2x 1 khi x 1 A. a 1,b 0 . B. a 1,b 1. C. a 1,b 0 . D. a 1,b 1. 2 x x 1 khi x 1 Câu 8: Đạo hàm của hàm số f x là: x 1 3 khi x 1 2x khi x 1 2x 1 khi x 1 A. f x 1 . B. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1 C. f x 1 . D. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 2 x 1
  5. Đạo Hàm Nâng Cao x2 x 1 khi x 0 Câu 9: Cho hàm số f x x 1 . Tìm a , b để hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . 2 x ax b khi x 0 A. a 0 , b 11. B. a 10 , b 11. C. a 20 , b 21. D. a 0 , b 1. Câu 10: Đạo hàm của hàm số y (x2 1)(x3 2)(x4 3) bằng biểu thức có dạng ax8 bx6 cx5 15x4 dx3 ex2 gx . Khi đó a b c d e g bằng: A. 0. B. 2. C. 3. D. 5. x2 2x 3 ax4 bx3 cx2 dx e Câu 11: Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi x3 2 (x3 2)2 đó a b c d e bằng: A. 12 . B. 10 . C. 8. D. 5. ax2 bx c Câu 12: Đạo hàm của hàm số y (x 2) x2 1 biểu thức có dạng . Khi đó a.b.c bằng: x2 1 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . x 1 ax b Câu 13: Đạo hàm của hàm số y biểu thức có dạng . Khi đó P a.b bằng: x2 1 (x2 1)3 A. P 1. B. P 1. C. P 2 . D. P 2 . x Câu 14: Cho f x thì f 0 x 1 x 2  x 2017 1 1 A. . B. 2017!. C. . D. 2017!. 2017! 2017! 1 x 1 x Câu 15: Cho hàm số f x . Đạo hàm f x là biểu thức nào sau đây? 1 x 1 x 1 2 khi x 1, x 1 khi x 1, x 1 A. x2 . B. x2 . 1 khi 1 x 1 1 khi 1 x 1 1 3 khi x 1, x 1 khi x 1, x 1 C. x2 . D. x2 . 1 khi 1 x 1 2 khi 1 x 1 Câu 16: Cho hàm số y sin cos2 x .cos sin2 x . Đạo hàm y a.sin 2x.cos cos 2x . Giá trị của a là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. 1;5 . C. 3;2 . D. 4;7 . 1 1 1 1 1 1 Câu 17: Cho hàm số y cos x với x 0; có y là biểu thức có dạng 2 2 2 2 2 2 x a.sin . Khi đó a nhận giá trị nào sau đây: 8
  6. Đạo Hàm Nâng Cao 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 8 x Câu 18: Đạo hàm của hàm số y ( a là hằng số) là: a2 x2 a2 a2 2a2 a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 Câu 19: Cho hàm số y 2x x2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. y3.y 1 0 . B. y2.y 1 0 . C. 3y2.y 1 0 D. 2y3.y 3 0. sin3 x cos3 x Câu 20: Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 sin x cos x A. 2y y 0. B. y y 0. C. y y 0. D. 2y 3y 0. Câu 21: Cho f (x) sin6 x cos6 x và g(x) 3sin2 x.cos2 x . Tổng f (x) g (x) bằng biểu thức nào sau đây? A. .6 (sin5 x cos5 xB. s.in x.cos x) 6(sin5 x cos5 x sin x.cos x) C. 6. D. 0. x2 Câu 22: Cho hàm số f x . Tìm f 30 x : x 1 A. f 30 x 30! 1 x 30 . B. f 30 x 30! 1 x 31 . C. f 30 x 30! 1 x 30 . D. f 30 x 30! 1 x 31 . Câu 23: Cho hàm số y cos x . Khi đó y(2016) (x) bằng A. cos x . B. sin x . C. sin x . D. cos x . Câu 24: Cho hàm số y cos2 2x . Giá trị của biểu thức y y 16y 16y 8 là kết quả nào sau đây? 1 A. 0 . B. 8. C. cos x . D. 2 x k2 ,k ¢ . 3 4 Câu 25: Cho hàm số y f x cos 2x . Phương trình f x 8 có các nghiệm thuộc 3 đoạn 0; là: 2 A. x 0 , x . B. x . C. x 0 , x . D. x 0 , x . 3 2 2 6 Câu 26: Cho hàm số f x 5x2 14x 9. Tập hợp các giá trị của x để f ' x 0 là
  7. Đạo Hàm Nâng Cao 7 9 7 7 7 A. ; . B. ; . C. 1; . D. ; . 5 5 5 5 5 Câu 27: Cho hàm số f x x x2 1 . Tập các giá trị của x để 2x. f x f x 0 là: 1 1 1 2 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 3 3 3 3 Câu 28: Cho hàm số f x x2 x. Tập nghiệm S của bất phương trình f ' x f x là: 2 2 S ;0 1; A. S ;0  ; . B.  . 2 2 2 2 2 2 2 C. S ;  ; . D. S ; 1; 2 2 2 Câu 29: Cho các hàm số f x sin4 x cos4 x, g x sin6 x cos2 x . Tính biểu thức 3 f ' x 2g ' x 2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 Câu 30: Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình vẽ. Tính A f ' 1 f ' 2 f ' 3 A. A 6 B. A 6 C. A 0 D. A 12 mx3 Câu 31: Cho hàm số f x mx2 3m 1 x 1. Tập các giá trị của tham số m để y 0 với 3 x ¡ là: A. ; 2 . B. ;2 . C. ;0 . D. ;0 . Câu 32: Cho hàm số y m 1 x3 3 m 2 x2 6 m 2 x 1. Tập giá trị của m để y 0 x ¡ là A. 3; . B. 1; . C.  . D. 4 2; . Câu 33: Cho hàm số f x sin2 x sin 2x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của f x trên ¡ .
  8. Đạo Hàm Nâng Cao A. m 2 , M 2 . B. m 1, M 1. C. m 2 , M 2 . D. m 5 , M 5 . cos3 x Câu 34: Cho hàm số f x 2 sin3 x 2cos x 3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình 3 lượng giác f x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 3 n n 1 A. Cn 2Cn 3Cn  nCn n.2 ,n N. 1 2 3 n n B. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 ,n N. 1 2 3 n n 1 C. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 , n N. 1 2 3 n n 1 D. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 , n N. Câu 36: Tính tổng với n N, n 2 : 2 3 n 1 n S 1.2.Cn 2.3.Cn (n 2).(n 1).Cn (n 1).n.Cn A. (n 1).(n 2).2n 2 . B. n.(n 1).2n 2 . C. n.(n 1).2n 1 . D. (n 1).(n 2).2n . 0 1 2 n Câu 37: Tính tổng S Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn bằng A. n.2n 1 . B. (n 1).2n 1 . C. (n 2).2n 1 . D. (n 1).2n . 99 100 198 199 0 1 1 1 0 1 100 1 Câu 38: Tính tổng: S 100.C100 101.C100 199.C100 200.C100 2 2 2 2 A. 10. B. 0 . C. 1. D. 100. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 39: Biết tiếp tuyến d của hàm số y x3 2x 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình d là: 1 18 5 3 1 18 5 3 A. y x , y x . 3 9 3 9 B. y x, y x 4. 1 18 5 3 1 18 5 3 C. y x , y x . 3 9 3 9 D. y x 2, y x 4.
  9. Đạo Hàm Nâng Cao x 1 Câu 40: Cho hàm số y (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó x 1 song song với nhau: A. .0 B. . 2 C. . 1 D. Vô số. 1 Câu 41: Cho hàm số y x3 3x2 x 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với đồ thị C , hãy 3 tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y 8x 19 . B. y x 19 . C. y 8x 10 . D. y x 19 . 3 2 Câu 42: Cho hàm số y x 2x 2x có đồ thị (C). Gọi x1 , x2 là hoành độ các điểm M , N trên C , mà tại đó tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y x 2017 . Khi đó x1 x2 bằng: 4 4 1 A. . B. . C. . D. . 1 3 3 3 1 Câu 43: Cho đồ thị hàm số C : y x4 4x2 2017 và đường thẳng d : y x 1. Có bao nhiêu tiếp 4 tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d? A. 2 tiếp tuyến. B. 1 tiếp tuyến. C. Không có tiếp tuyến nào. D. 3 tiếp tuyến. 1 Câu 44: Trên đồ thị của hàm số y có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa x 1 độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: 1 3 4 3 A. 2;1 . B. 4; . C. ; . D. ; 4 . 3 4 7 4 Câu 45: Tiếp tuyến của paraboly 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 1 Câu 46: Cho đồ thị hàm số C : y ; điểm M có hoành độ x 2 3 thuộc (C). Biết tiếp tuyến x M của (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A ,. B . Tính diện tích tam giácOAB . A. S OAB 1. B. S OAB 4. C. S OAB 2. D. S OAB 2 3 . x2 3x 3 Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y , tiếp tuyến tại M cắt C tại hai x 2 điểm A,B tạo với I 2; 1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là? A. 2 (đvdt ). B. 4 (đvdt ). C. 5(đvdt ). D. 7 (đvdt ).
  10. Đạo Hàm Nâng Cao Câu 48: Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là C . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 8 28 8 28 A. M ;0 . B. M ;0 . C. M ;0 . D. M ;0 . 27 7 7 27 2x 1 Câu 49: Cho hàm số y có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho x 1 tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA 4OB. 1 5 1 5 1 5 1 5 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 1 13 1 13 1 13 1 13 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 1 3 2 4 4 Câu 50: Cho hàm số y x 2x 3x có đồ thị là A ; . Có bao nhiêu giá trị 3 9 3 : y x : y 3x 4 4 : y x để tiếp tuyến của : y x 1 tại giao điểm của nó với trục tung 3 3 5 8 5 128 : y x : y x 9 81 9 81 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . x 1 Câu 51: Cho hàm số y .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 2x 1 C mà tiếp tuyến của C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y 2m 1. 1 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 52: Cho hàm số y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. , có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm C thuộc C sao cho tiếp tuyến tại của C cắt Oy tại 2 3 2 B sao cho diện tích tam giác x 1 bằng 24 3x0 4x0 1 4 x0 x0 2x0 x0 4 0 1 , x 6 là gốc tọa độ. 4 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x2 2mx 2m2 1 Câu 53: y C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với x 1 m Cm tại hai điểm này vuông góc với nhau.
  11. Đạo Hàm Nâng Cao 2 2 A. m . B. m 1. C. m , m 1. D. m 0 . 3 3 x2 2mx m Câu 54: Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp x m tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3. B. 4 . C. 5. D. 7 . Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó đi qua điểm M 2; 0 là: A. y 27x 54 . B. y 27x 9; y 27x 2 . C. y 27x 27 . D. y 0; y 27x 54 . x2 Câu 56: Cho hàm số f x x 1, có đồ thị C . Từ điểm M 2; 1 kẻ đến C hai tiếp tuyến 4 phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình: A. y x 1 và y x 3 . B. y 2x 5 và y 2x 3 . C. y x 1 và y x 3 . D. y x 1 và y x 3 . Câu 57: Tiếp tuyến của parabol y 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 1 x2 Câu 58: Cho hai hàm số f x và g x . x 2 2 Gọi d1,d2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f x , g x đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu A. 60 . B. 45. C. 30 . D. 90 . 2x 2 Câu 59: Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp x 1 tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. A. : y x 7 ; : y x 1. B. : y 2x 7 ; : y x 11. C. : y x 78 ; : y x 11. D. : y x 9 ; : y x 1. Câu 60: Cho hàm số y x 1 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x0 . 2 3 A. ; 2 . B. y y ' x0 x x0 y x0 3x0 6x0 9 x x0 x0 3x0 9x0 11 29 ; I ;184 . 3
  12. Đạo Hàm Nâng Cao 2 29 3 2 C. 184 3x0 6x0 9 x0 x0 3x0 9x0 11; 3 3 2 2x0 32x0 58x0 260 0 x0 13. D. x0 5 ; x0 2 x 1 Câu 61: Cho hàm số y (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó x 1 song song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. 1 Câu 62: Trên đồ thị của hàm số y có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa x 1 độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: 1 3 4 3 A. 2;1 . B. 4; . C. ; . D. ; 4 . 3 4 7 4 Câu 63: Định m để đồ thị hàm số y x3 mx2 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y 5? A. m 3 . B. m 3 . C. m 1. D. m 2 . Câu 64: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d : y mx m 3 cắt đồ thị (C) : y 2x3 3x2 2 tại ba điểm phân biệt A, B, I 1; 3 mà tiếp tuyến với (C) tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 1. B. 1. C. 2 . D. 5. 3 Câu 65: Cho hàm số y x 2018x có đồ thị là C . M1 là điểm trên C có hoành độ x1 1. Tiếp tuyến của C tại M1 cắt C tại điểm M 2 khác M1 , tiếp tuyến của C tại M 2 cắt C tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của C tại điểm M n 1 cắt C tại điểm M n khác M n 1 n 4; 5; , gọi xn ; yn là tọa độ điểm M n . Tìm n để: 2019 2018xn yn 2 0 . A. n 647 . B. n 675 . C. n 674 . D. n 627 . Câu 66: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn 2 3 f 1 2x x f 1 x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 8 6 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số y x3 3x 1 C , đường thẳng d : y mx m 3 giao nhau tại A 1;3 , B,C và tiếp tuyến của C tại B và C vuông góc nhau.
  13. Đạo Hàm Nâng Cao 3 2 2 2 2 2 m m 3 3 A. B. 3 2 2 2 2 2 m m 3 3 4 2 2 5 2 2 m m 3 3 C. D. 4 2 2 5 2 2 m m 3 3 4 x 2 5 Câu 68: Cho hàm số: y 3x (C) và điểm M (C) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a 2 2 thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M. a 3 a 3 a 3 a 7 A. B. C. D. a 1 a 1 a 1 a 2 1 Câu 69: Cho hàm số y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 có đồ thị là C , m là tham số. Tìm các 3 m giá trị của m để trên Cm có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của Cm tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 0 . m 0 m 1 m 0 1 A. 2 B. C. 0 m D. 5 m m 1 3 m 3 3 Câu 70: Cho hàm số y x3 12x 12 có đồ thị C và điểm A m; 4 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng 2;5 để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị C . Tổng tất cả các phần tử nguyên của S bằng A. .7 B. . 9 C. . 3 D. . 4 Câu 71: Cho hàm số f x x3 6x2 9x 1 có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm thuộc đồ thị C có tung độ là nghiệm phương trình 2 f ' x x. f '' x 6 0. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2 f (x) Câu 72: Cho các hàm số y f (x), y f (x2 ), y có đồ thị lần lượt là (C ),(C ),(C ) . Hệ số f (x2 ) 1 2 3 góc các tiếp tuyến của (C1),(C2 ),(C3 ) tại điểm có hoành độ x0 1 lần lượt là k1,k2 ,k3 thỏa mãn k1 2k2 3k3 0 . Tính f (1) . 1 2 3 4 A. f (1) . B. f (1) . C. V D. f (1) . 5 5 5 5 f x Câu 73: Cho các hàm số y f x , y g x , y . Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của g x các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x 0 bằng nhau và khác 0 thì:
  14. Đạo Hàm Nâng Cao 1 1 1 1 A. f 0 . B. f 0 . C. f 0 . D. f 0 . 4 4 4 4 Câu 74: Cho hàm số y f (x); y g(x) dương có đạo hàm f '(x); g '(x) trên ¡ . Biết rằng tiếp tuyến f (x) 1 tại điểm có hoành độ x 0 của đồ thị hàm số y f (x); y g(x) và y có cùng o g(x) 1 hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 A. f (0) . B. f (0) . C. f (0) . D. f (0) . 4 4 4 4 Câu 75: Cho hàm số y x3 3x2 2x 1 có đồ thị (C) . Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ lần lượt là a và b a b và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. AB 2 . Tính S 2a 3b. A. S 4 . B. S 6 . C. S 7 . D. S 8. Câu 76: Cho hàm số y 2x3 3x2 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B (B A) thỏa 1 mãn ab trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tổng tất cả các phần 2 tử của S. A. S 4 . B. S 6 . C. S 7 . D. S 8. Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 2 5 y x3 (m 1)x2 (3m 2)x tồn tại hai điểm M (x ; y ), M (x ; y ) có toạ độ thoả 3 3 1 1 1 2 2 2 mãn x1.x2 0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng x 2y 1 0 . Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S. A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . 1 5 Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số y x4 3x2 (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A 2 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC 3AB (với B nằm giữa A và C). Tính độ dài đoạn thẳng OA. 3 14 17 A. OA 2 . B. . C. . D. . 2 2 2 5 Câu 79: Cho hàm số y 2x3 3x2 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A có hoành độ x thuộc (C). Tiếp 1 1 2 tuyến của (C) tại A1 cắt (C) tại điểm thứ hai A2 A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của (C) tại A2 cắt (C) tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) tại An 1 cắt (C) tại điểm thứ hai An An 1 có hoành độ xn . Tìm x2018 . 1 1 A. x 22018 . B. x 22018 . 2018 2 2018 2
  15. Đạo Hàm Nâng Cao 1 1 C. x 3.22017 . D. x 3.22017 . 2018 2 2018 2 3 2 Câu 80: Cho hàm số y 2x 3x 1 có đồ thị C . Xét điểm A1 có hoành độ x1 1 thuộc C . Tiếp tuyến của C tại A1 cắt C tại điểm thứ hai A2 A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của C tại A2 cắt C tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của C tại An 1 cắt C tại điểm thứ hai An An 1 có hoành độ xn . Tìm giá trị nhỏ nhất 100 của n để xn 5 . A. 235 B. 234 C. 118 D. 117 Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x a 3 x b 3 x c 3 có hệ số góc nhỏ nhất tại tiếp điểm có hoành độ x 1 đồng thời a,b,c là các số thực không âm. Tìm GTLN tung độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung? A. 27 B. 3 C. 9 D. 18
  16. Đạo Hàm Nâng Cao C. HƯỚNG DẪN GIẢI TÍNH ĐẠO HÀM x2 1 khi x 0 Câu 1: Tìm a,b để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 a 11 a 10 a 12 a 1 A. . B. . C. . D. . b 11 b 10 b 12 b 1 Hướng dẫn giải Chọn D. Trước tiên hàm số phải liên tục tại x 0 lim f (x) 1 f (0), lim f (x) b b 1 x 0 x 0 f (x) f (0) x 1 Xét lim lim 1 x 0 x x 0 x 1 f (x) f (0) lim lim a a x 0 x x 0 Hàm số có đạo hàm tại x 0 a 1 ax2 bx 1 khi x 0 Câu 2: Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 0 asin x bcos x khi x 0 A. a 1;b 1. B. a 1;b 1. C. a 1;b 1. D. a 0;b 1. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f (0) 1 lim f (x) lim(ax2 bx 1) 1 x 0 x 0 lim f (x) lim(asin x bcos x) b x 0 x 0 Để hàm số liên tục thì b 1 ax2 x 1 1 f (0 ) lim 1 x 0 x x x x 2asin cos 2sin2 asinx bcos x 1 f (0 ) lim lim 2 2 2 x 0 x x 0 x x x sin sin x x lim 2 . lim a cos lim 2 . lim sin a x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 2 2 Để tồn tại f (0) f (0 ) f (0 ) a 1
  17. Đạo Hàm Nâng Cao sinx sinf(x) Giới hạn lượng giác lim 1 lim 1 x 0 x f (x) 0 f (x) Câu 3: Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2) (x 1000) . Tính f (0) . A. 10000!. B. 1000!. C. 1100!. D. 1110!. Hướng dẫn giải Chọn B. f (x) f (0) x(x 1)(x 2) (x 1000) 0 f (x) lim lim lim(x 1)(x 2) (x 1000) x 0 x 0 x 0 x x 0 ( 1)( 2) ( 1000) 1000! 3 4x2 8 8x2 4 khi x 0 Câu 4: Cho hàm số f (x) x .Giá trị của f (0) bằng: 0 khi x 0 1 5 4 A. . B. . C. . D. Không tồn tại. 3 3 3 Chọn B. f x f 0 3 4x2 8 8x2 4 3 4x2 8 2 2 8x2 4 lim lim lim x 0 x x 0 x2 x 0 x2 Ta có: 1 4x2 8x2 1 5 lim 2 2 x 0 x 2 2 3 2 2 3 3 3 4x 8 2 4x 8 4 2 8x 4 xsin khi x 0 Câu 5: Với hàm số f (x) x .Để tìm đạo hàm f '(x) 0 một học sinh lập luận 0 khi x 0 qua các bước như sau: 1. f (x) x . sin x . x 2.Khi x 0 thì x 0 nên f (x) 0 f (x) 0 . 3.Do lim f (x) lim f (x) f (0) 0 nên hàm số liên tục tại x 0 . x 0 x 0 4.Từ f (x) liên tục tại x 0 f (x) có đạo hàm tại x 0 . Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. Chọn D. f x f 0 Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa sin x 0 x không có giới hạn khi x 0 1 xsin khi x 0 Câu 6: Cho hàm số f (x) x2 . 0 khi x 0
  18. Đạo Hàm Nâng Cao (1) Hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . (2) Hàm số f (x) không có đạo hàm tại điểm x 0 . Trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (1) đúng. B. Chỉ (2) đúng. C. Cả (1),(2) đều đúng.D. Cả (1),(2) đều sai. Chọn C. 1 Ta có: x x.sin x x2 1 1 lim x lim x.sin lim x 0 lim x.sin 0 f 0 x 0 x 0 x2 x 0 x 0 x2 Vậy hàm số liên tục tại x 0 f x f 0 1 Xét lim lim sin 2 x 0 x 0 x 1 Lấy dãy (xn): x có: n 2n 2 1 lim xn lim 0 lim f xn lim sin 2n 1 n n n 2 2n 2 1 1 Lấy dãy x : x , tương tự ta cũng có: n n 2 2 n 6 f x f 0 1 1 lim xn 0 lim f xn 0 lim sin 2n lim limsin 2 n n n 6 2 x 0 x 0 x 0 x không tồn tại ax2 bx khi x 1 Câu 7: Cho hàm số f (x) .Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x 1 2x 1 khi x 1 A. a 1,b 0 . B. a 1,b 1. C. a 1,b 0 . D. a 1,b 1. Chọn C. lim f x a b f 1 x 1 Ta có: a b 1 lim f x lim 2x 1 1 x 1 x 1 f x f 1 ax2 bx a b lim lim lim a x 1 b 2a b x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f 1 2x2 1 a b 2x 1 1 lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a b 1 a 1 Ta có hệ: 2a b 2 b 0 2 x x 1 khi x 1 Câu 8: Đạo hàm của hàm số f x là: x 1 3 khi x 1
  19. Đạo Hàm Nâng Cao 2x khi x 1 2x 1 khi x 1 A. f x 1 . B. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1 C. f x 1 . D. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải Chọn D. Với x 1: f x 2x 1 1 Với x 1: f x 2 x 1 f x f 1 x 1 Với x 1, ta có lim lim nên không có đạo hàm tại x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 Vậy f x 1 khi x 1 2 x 1 x2 x 1 khi x 0 Câu 9: Cho hàm số f x x 1 . Tìm a , b để hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . 2 x ax b khi x 0 A. a 0 , b 11. B. a 10 , b 11. C. a 20 , b 21. D. a 0 , b 1. Chọn D. Với x 0 hàm số luôn có đạo hàm. Để hàm số có đạo hàm trên ¡ thì hàm số phải có đạo hàm tại x 0 . lim f x 1, lim f x b b 1. x 0 x 0 Để hàm số liên tục tại x 0 b 1. x2 x 1 1 2 f x f 0 f x f 0 x ax b 1 Xét lim lim x 1 0 ; lim lim a . x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x a 0 . Vậy a 0 , b 1. Câu 10: Đạo hàm của hàm số y (x2 1)(x3 2)(x4 3) bằng biểu thức có dạng ax8 bx6 cx5 15x4 dx3 ex2 gx . Khi đó a b c d e g bằng: A. 0. B. 2. C. 3. D. 5. Chọn C. y 2x x3 2 x4 3 3x2 x2 1 x4 3 4x3 x2 1 x3 2 2x x7 2x4 3x3 6 3x2 x6 x4 3x2 3 4x3 x5 x3 2x2 2
  20. Đạo Hàm Nâng Cao 9x8 7x6 12x5 15x4 8x3 9x2 12x. a b c d e g 3 . x2 2x 3 ax4 bx3 cx2 dx e Câu 11: Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó x3 2 (x3 2)2 a b c d e bằng: A. 12 . B. 10 . C. 8. D. 5. Chọn A. 3 2 2 2x 2 x 2 3x x 2x 3 x4 4x3 9x2 4x 4 y 2 2 x3 2 x3 2 a b c d e 12 ax2 bx c Câu 12: Đạo hàm của hàm số y (x 2) x2 1 biểu thức có dạng . Khi đó a.b.c bằng: x2 1 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Chọn B. 2x 2x2 2x 1 y x2 1 x 2 . . 2 x2 1 x2 1 x 1 ax b Câu 13: Đạo hàm của hàm số y biểu thức có dạng . Khi đó P a.b bằng: x2 1 (x2 1)3 A. P 1. B. P 1. C. P 2 . D. P 2 . Chọn A. x x2 1 x 1 . 2 x2 1 x2 x x 1 y x 1 . 2 3 3 x 1 x2 1 x2 1 P a.b 1. x Câu 14: Cho f x thì f 0 x 1 x 2  x 2017 1 1 A. . B. 2017!. C. . D. 2017!. 2017! 2017! Chọn C. x 1 x 2  x 2017 x x 1 x 2  x 2017 Ta có: f x 2 x 1 x 2  x 2017 1 2  2017 1 f 0 . 2 2017! 1 2  2017
  21. Đạo Hàm Nâng Cao 1 x 1 x Câu 15: Cho hàm số f x . Đạo hàm f x là biểu thức nào sau đây? 1 x 1 x 1 2 khi x 1, x 1 khi x 1, x 1 A. x2 . B. x2 . 1 khi 1 x 1 1 khi 1 x 1 1 3 khi x 1, x 1 khi x 1, x 1 C. x2 . D. x2 . 1 khi 1 x 1 2 khi 1 x 1 Chọn A. 1 khi x 1, x 1 Lập bảng dấu ta được: f x x . x khi 1 x 1 1 - Với x 1 hoặc x 1 f x . x2 - Với 1 x 1 f x 1. Ta có lim f x lim f x 1 nên hàm số liên tục tại x 1. x 1 x 1 f x f 1 f x f 1 Xét lim 1, lim 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại x 1. 1 khi x 1, x 1 Vậy f x x . x khi 1 x 1 Câu 16: Cho hàm số y sin cos2 x .cos sin2 x . Đạo hàm y a.sin 2x.cos cos 2x . Giá trị của a là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. 1;5 . C. 3;2 . D. 4;7 . Chọn C y′ = ―2 sin x . cos x. cos(cos2x) .cos(sin2x) ― 2 sin x . cos x.sin(cos2x).sin(sin2x) = ―sin(2x).cos(cos2x ― sin2x) = ―sin(2x).cos(cos 2x) a 1. 1 1 1 1 1 1 Câu 17: Cho hàm số y cos x với x 0; có y là biểu thức có dạng 2 2 2 2 2 2 x a.sin . Khi đó a nhận giá trị nào sau đây: 8
  22. Đạo Hàm Nâng Cao 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 8 Chọn D. 1 1 x x Ta có: cos x cos2 cos 2 2 2 2 x x 1 x Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: y cos2 cos y sin 8 8 8 8 x Câu 18: Đạo hàm của hàm số y ( a là hằng số) là: a2 x2 a2 a2 2a2 a2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 Hướng dẫn giải Chọn D. x2 a2 x2 2 2 a2 y a x 2 2 3 a x a2 x2 Câu 19: Cho hàm số y 2x x2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. y3.y 1 0 . B. y2.y 1 0 . C. 3y2.y 1 0 D. 2y3.y 3 0. Chọn A Hướng dẫn giải : 1 x 1 Ta có: y , y 2 3 2x x 2x x2 3 1 Thay vào: y3.y 1 2x x2 . 1 1 1 0. 3 2x x2 sin3 x cos3 x Câu 20: Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 sin x cos x A. 2y y 0. B. y y 0. C. y y 0. D. 2y 3y 0. Hướng dẫn giải : sin x cos x sin2 x cos2 x sin x cos x Ta có : y sin x cos x 1 sin x cos x y cos x sin x, y sin x cos x y y 0.
  23. Đạo Hàm Nâng Cao Câu 21: Cho f (x) sin6 x cos6 x và g(x) 3sin2 x.cos2 x . Tổng f (x) g (x) bằng biểu thức nào sau đây? A. .6 (sin5 x cos5 xB. s.in x.cos x) 6(sin5 x cos5 x sin x.cos x) C. 6. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f x 6sin5 x.cos x 6cos5 x. sin x 6sin5 x.cos x 6cos5 x.sin x 3 2 3 g x .sin 2x sin 2x.2.cos 2x 4 2 Suy ra: f x g x 6.sin x.cos x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 6sin x.cos x. cos2 x sin2 x 6sin x.cos x. cos2 x sin2 x 6sin x.cos x. cos2 x sin2 x 0 x2 Câu 22: Cho hàm số f x . Tìm f 30 x : x 1 A. f 30 x 30! 1 x 30 . B. f 30 x 30! 1 x 31 . C. f 30 x 30! 1 x 30 . D. f 30 x 30! 1 x 31 . Hướng dẫn giải Chọn B. n n k b n k. 1 .a .n! b Với g x x ,k R,k 0 . Ta có: g x n 1 , x . ax b a ax b a 2 x 1 30! 31 Hàm số f x x 1 . Nên f 30 x 30! x 1 . x 1 x 1 x 1 31 Câu 23: Cho hàm số y cos x . Khi đó y(2016) (x) bằng A. cos x . B. sin x . C. sin x . D. cos x . Hướng dẫn giải y sin x cos(x ) ; y cos x cos(x ) ; 2 n Dự đoán y(n) (x) cos(x ) . 2 Thật vậy: Dễ thấy MĐ đúng khi n 1. Giả sử MĐ đúng khi n k(k 1) , tức là ta có k y(k ) (x) cos(x ) 2
  24. Đạo Hàm Nâng Cao k k k (k 1) Khi đó y(k 1) (x) [y(k ) (x)] [cos(x )] =-sin(x )=sin(-x )=cos(x ) . 2 2 2 2 Vậy MĐ đúng khi n k 1 nên nó đúng với mọi n . Do đó y(2016) (x) cos(x 1008 ) cos x Chọn D. Câu 24: Cho hàm số y cos2 2x . Giá trị của biểu thức y y 16y 16y 8 là kết quả nào sau đây? 1 A. 0 . B. 8. C. cos x . D. 2 x k2 ,k ¢ . 3 Hướng dẫn giải y 2cos 2x.2sin 2x 2sin 4x , y 8cos 4x , y 32sin 4x . y y 16y 16y 8 32sin 4x 8cos 4x 32sin 4x 16cos2 2x 8 16cos2 2x 8cos 4x 8 0 . Chọn A. 4 Câu 25: Cho hàm số y f x cos 2x . Phương trình f x 8 có các nghiệm thuộc đoạn 3 0; là: 2 A. x 0 , x . B. x . C. x 0 , x . D. x 0 , x . 3 2 2 6 Hướng dẫn giải f x 2sin 2x , f x 4cos 2x , f x 8sin 2x , 3 3 3 4 f x 16cos 2x . 3 x k 4 1 2 f x 8 cos 2x k ¢ . 3 2 x k 6 Vì x 0; nên lấy được x . 2 2 Chọn B. Câu 26: Cho hàm số f x 5x2 14x 9. Tập hợp các giá trị của x để f ' x 0 là 7 9 7 7 7 A. ; . B. ; . C. 1; . D. ; . 5 5 5 5 5
  25. Đạo Hàm Nâng Cao Câu 27: Cho hàm số f x x x2 1 . Tập các giá trị của x để 2x. f x f x 0 là: 1 1 1 2 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. x f x f x f x 1 2x. f x f x 0 2x. f x 0 x2 1 x2 1 x2 1 x 0 1 2x x2 1 do f x x x2 x x 0 x 2 3x 1 3 1 Vậy x ; 3 Câu 28: Cho hàm số f x x2 x. Tập nghiệm S của bất phương trình f ' x f x là: 2 2 S ;0  1; A. S ;0  ; . B. . 2 2 2 2 2 2 2 C. S ;  ; . D. S ; 1; 2 2 2 Câu 29: Cho các hàm số f x sin4 x cos4 x, g x sin6 x cos2 x . Tính biểu thức 3 f ' x 2g ' x 2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 Câu 30: Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình vẽ. Tính A f ' 1 f ' 2 f ' 3 A. A 6 B. A 6 C. A 0 D. A 12 mx3 Câu 31: Cho hàm số f x mx2 3m 1 x 1. Tập các giá trị của tham số m để y 0 với 3 x ¡ là: ;2 ;0 ;0 A. ; 2 . B.  . C.  . D. . Lời giải
  26. Đạo Hàm Nâng Cao Chọn C. y mx2 2mx 3m 1 y 0 mx2 2mx 3m 1 0 1 + Với m 0 thì (1) trở thành 1 0 nên đúng với x ¡ . a 0 m 0 + Với m 0 khi đó (1) đúng với x ¡ m 0 0 1 2m 0 Vậy m 0 Câu 32: Cho hàm số y m 1 x3 3 m 2 x2 6 m 2 x 1. Tập giá trị của m để y 0 x ¡ là 3; 1; A.  . B.  . C.  . D. 4 2; . Chọn C. 2 y 3 m 1 x 2 m 2 x 2 m 2 . y 0 m 1 x2 2 m 2 x 2 m 2 0 (1) Với m 1 thì 1 6x 6 0 x 1 m 1 (loại). a 0 m 1 Với m 1 1 đúng x ¡ m vô nghiệm. 0 m 2 3m 0 Câu 33: Cho hàm số f x sin2 x sin 2x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của f x trên ¡ . A. m 2 , M 2 . B. m 1, M 1. C. m 2 , M 2 . D. m 5 , M 5 . Chọn D. f x 2sin x.cos x 2cos 2x sin 2x 2cos 2x Đặt t sin 2x 2cos x . Điều kiện phương trình có nghiệm là: 12 + 22 ≥ 푡2⟺ ― 5 ≤ 푡 ≤ 5. Vậy M 5,m 5 . cos3 x Câu 34: Cho hàm số f x 2 sin3 x 2cos x 3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình 3 lượng giác f x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Chọn B. f x 2sin3 x 3cos3 x
  27. Đạo Hàm Nâng Cao 3 3 f x 0 tan3 x tan x 3 . 2 2 Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 3 n n 1 A. Cn 2Cn 3Cn  nCn n.2 ,n N. 1 2 3 n n B. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 ,n N. 1 2 3 n n 1 C. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 , n N. 1 2 3 n n 1 D. Cn 2Cn 3Cn  nCn n 1 .2 , n N. Chọn A Hướng dẫn giải n 0 1 1 n n 1 n n Cách 1: Xét f x 1 x Cn Cn x  Cn x Cn x  x R n 1 1 2 n 2 n 1 n 1 n f ' x n 1 x Cn 2xCn  n 1 x .Cn n.x .Cn ' 1 1 2 n 1 n n 1 f Cn 2Cn  n 1 .Cn n.Cn n.2 . Cách 2: Sử dụng MTCT 1 0 -Chọn với n 1: C1 2 1 (đúng) 1 2 -Chọn với n 2 :C2 2C2 2.2 4 (đúng) . Từ việc thử đáp án ta được kết quả Câu 36: Tính tổng với n N, n 2 : 2 3 n 1 n S 1.2.Cn 2.3.Cn (n 2).(n 1).Cn (n 1).n.Cn A. (n 1).(n 2).2n 2 . B. n.(n 1).2n 2 . C. n.(n 1).2n 1 . D. (n 1).(n 2).2n . Chọn B Hướng dẫn giải n 0 1 1 2 2 n 1 n 1 n n Cách 1: Xét hàm số f (x) (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Suy ra: n 1 1 2 n 2 n 1 n 1 n f ' x n 1 x Cn 2xCn  n 1 x .Cn n.x .Cn f x n 1 .n. 1 x n 2 2 3 n 3 n 1 n 2 n 1.2.Cn 2.3.x.Cn (n 2).(n 1)x .Cn (n 1).n.x .Cn 2 3 n 1 n n 2 f 1 1.2.Cn 2.3.Cn  n 2 . n 1 .Cn n 1 .n.Cn n n 1 2 .
  28. Đạo Hàm Nâng Cao Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị n 2. 2 1 -Với n 2 S 1.2.C2 2.1.2 2 (đúng) 2 3 -Với n 3 S 1.2.C3 2.3.C3 3.2.2 12 (đúng) So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả. 0 1 2 n Câu 37: Tính tổng S Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn bằng A. n.2n 1 . B. (n 1).2n 1 . C. (n 2).2n 1 . D. (n 1).2n . Chọn C Hướng dẫn giải n 0 1 1 2 2 n 1 n 1 n n Cách 1: Ta có: (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x Cn x  x R n 0 2 1 3 2 n n 1 n 1 n Nhân 2 vế với x ta được: x(1 x) x.Cn x .Cn x .Cn x .Cn x .Cn n n 1 0 1 2 2 n n Lấy đạo hàm 2 vế ta được : (1 x) nx(1 x) Cn 2x.Cn 3x .Cn (n 1)x .Cn 0 1 2 n n n 1 n 1 Thay x 1 ta được: S Cn 2Cn 3Cn (n 1)Cn 2 n.2 (n 2).2 . Cách 2: Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại) 99 100 198 199 0 1 1 1 0 1 100 1 Câu 38: Tính tổng: S 100.C100 101.C100 199.C100 200.C100 2 2 2 2 A. 10. B. 0 . C. 1. D. 100. Chọn B. Hướng dẫn giải 100 Xét f x x2 x x100 1 x 100 100 0 1 2 2 100 100 x C100 C100 x C100 x C100 x 0 100 1 101 2 102 100 200 C100.x C100.x C100 x C100 x 99 f ' x 100 2x 1 . x2 x 99 0 100 1 101 2 199 100 100x .C100 101x .C100 102x .C100 200x C100 1 Lấy x ta được: 2 99 100 199 1 0 1 1 1 100 0 100 C100 101 C100 200 C100 S 0. 2 2 2
  29. Đạo Hàm Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 39: Biết tiếp tuyến d của hàm số y x3 2x 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình d là: 1 18 5 3 1 18 5 3 A. y x , y x . 3 9 3 9 B. y x, y x 4. 1 18 5 3 1 18 5 3 C. y x , y x . 3 9 3 9 D. y x 2, y x 4. Hướng dẫn giải Tập xác định: D ¡ . y 3x2 2. Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình : x y. d có hệ số góc là 1. 1 y x 1 3x2 2 1 x . o o o 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 18 5 3 1 18 5 3 d : y x , y x . 3 9 3 9 Chọn C. x 1 Câu 40: Cho hàm số y (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song x 1 song với nhau: A. .0 B. . 2 C. . 1 D. Vô số. Hướng dẫn giải 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 Đồ thị hàm số y có tâm đối xứng I 1;1 . x 1 Lấy điểm tùy ý A x0 ; y0 C . Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B 2 x0 ;2 y0 C . Ta có:
  30. Đạo Hàm Nâng Cao 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: kA y' x0 2 . x0 1 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: kB y' 2 x0 2 . 1 x0 Ta thấy kA kB nên có vô số cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Chọn D. 1 Câu 41: Cho hàm số y x3 3x2 x 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với đồ thị C , hãy tìm 3 phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y 8x 19 . B. y x 19 . C. y 8x 10 . D. y x 19 . 3 2 Câu 42: Cho hàm số y x 2x 2x có đồ thị (C). Gọi x1 , x2 là hoành độ các điểm M , N trên C , mà tại đó tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y x 2017 . Khi đó x1 x2 bằng: 4 4 1 A. . B. . C. . D. . 1 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: y ' 3x2 4x 2 . Tiếp tuyến tại M , N của C vuông góc với đường thẳng y x 2017 . Hoành độ x1 , x2 của các điểm M , N là nghiệm của phương trình 3x2 4x 1 0 . 4 Suy ra x x . 1 2 3 Chọn A. 1 Câu 43: Cho đồ thị hàm số C : y x4 4x2 2017 và đường thẳng d : y x 1. Có bao nhiêu tiếp 4 tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d? A. 2 tiếp tuyến. B. 1 tiếp tuyến. C. Không có tiếp tuyến nào. D. 3 tiếp tuyến. 1 Câu 44: Trên đồ thị của hàm số y có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: 1 3 4 3 A. 2;1 . B. 4; . C. ; . D. ; 4 . 3 4 7 4 Hướng dẫn giải
  31. Đạo Hàm Nâng Cao 1 Ta có: y ' . Lấy điểm M x0 ; y0 C . x 1 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y . x x . 2 0 x 1 x0 1 0 Giao với trục hoành: Ox=A 2x0 1;0 . 2x 1 Giao với trục tung: Oy=B 0; 0 2 x0 1 2 1 2x0 1 3 3 SOAB OA.OB 4 x0 . Vậy M ; 4 . 2 x0 1 4 4 Chọn D. Câu 45: Tiếp tuyến của paraboly 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải + y 2x y (1) 2 . +PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y 2(x 1) 3 y 2x 5 (d) . 5 + Ta có (d) giao Ox tại A ;0 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d) tạo với hai trục tọa độ 2 tam giác vuông OAB vuông tại O . 1 1 5 25 Diện tích tam giác vuông OAB là: S OA.OB . .5 . 2 2 2 4 Chọn D. 1 Câu 46: Cho đồ thị hàm số C : y ; điểm M có hoành độ x 2 3 thuộc (C). Biết tiếp tuyến của x M (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A ,. B . Tính diện tích tam giácOAB . A. S OAB 1. B. S OAB 4. C. S OAB 2. D. S OAB 2 3 . x2 3x 3 Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y , tiếp tuyến tại M cắt C tại hai điểm x 2 A,B tạo với I 2; 1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là? A. 2 (đvdt ). B. 4 (đvdt ). C. 5(đvdt ). D. 7 (đvdt ). Hướng dẫn giải Chọn A
  32. Đạo Hàm Nâng Cao x2 3x 3 1 1 y x 1 . Ta có: y ' 1 . x 2 x 2 x 2 2 1 Gọi M x0 ; y0 (C) y0 x0 1 x0 2 1 1 Tiếp tuyến với (C) tại M là : y 1 x x x 1 2 0 0 x 2 x0 2 0 x0 x0 Nếu  x 2 tại điểm A , thì yA A 2; x0 2 x0 2 Nếu cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì 1 1 1 x x x 1 x 1 x 2x 2 y x 1 2x 3 2 B 0 0 x 2 B B 0 B B 0 x0 2 0 B 2x0 2;2x0 3 Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I 2; 1 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x 2 suy ra H( 2;2x0 3) 1 1 1 x0 Diện tích tam giác AIB: S AI.BH yA yI . xB xH 1 2x0 2 2 2 2 2 x0 2 1 2 Hay S .2 x0 2 2 ( đvdt ) 2 x0 2 Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . Câu 48: Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là C . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 8 28 8 28 A. M ;0 . B. M ;0 . C. M ;0 . D. M ;0 . 27 7 7 27 Hướng dẫn giải Chọn B Xét điểm M (m;0) Ox . Cách 1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: y k(x m) . x3 3x 2 k(x m) d là tiếp tuyến của C hệ có nghiệm x 2 3x 3 k Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được: 3(x2 1)(x m) (x3 3x 2) 0
  33. Đạo Hàm Nâng Cao (x 1)(3x2 3(1 m)x 3m) (x 1)(x2 x 2) 0 (x 1)[2x2 (3m 2)x 3m 2] 0 1 x 1 hoặc 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 2 Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì 1 phải có nghiệm x , đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau, khi đó 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, đồng thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi: 2 (3m 2)(3m 6) 0 m , m 2 3 3 3m 3 0 m 1 Với điều kiện 3 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của 2 , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là 2 2 k1 3x1 3, k2 3x2 3, k3 0 . Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau k1.k2 1 và k1 k2 2 2 2 2 2 k1.k2 1 9(x1 1)(x2 1) 1 9x1 x2 9(x1 x2 ) 18x1x2 10 0 (i) 3m 2 3m 2 Mặt khác theo Định lí Viet x x ; x x . 1 2 2 1 2 2 28 Do đó (i) 9(3m 2) 10 0 m thỏa điều kiện 3 , kiểm tra lại ta thấy k k 27 1 2 28 Vậy, M ;0 là điểm cần tìm. 27 Cách 2: Gọi N(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của C tại N có phương trình: 2 y 3x0 3 (x x0 ) y0 . 2 đi qua M 0 3x0 3 (m x0 ) y0 2 3(x0 1)(x0 1)(x0 m) (x0 1) (x0 2) 0 x 1 (x 1) 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 0 0 0 0 2 2x0 (3m 2)x0 3m 2 0 (a) Từ M vẽ được đến C ba tiếp tuyến (a) có hai nghiệm phân biệt khác 1, và có hai 2 giá trị k 3x0 3 khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi: m 1 (3m 2)2 8(3m 2) 0 (3m 2)(3m 6) 0 2 (b) . 2 2(3m 2) 0 3m 3 0 m ,m 2 3
  34. Đạo Hàm Nâng Cao Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán ( 3p2 3)( 3q2 3) 1(trong đó p,q là hai nghiệm của phương trình (a) ) 9 p2q2 9( p2 q2 ) 10 0 9 p2q2 9( p q)2 18pq 10 0 9(3m 2)2 9(3m 2)2 28 28 9(3m 2) 10 0 m . Vậy M ;0 . 4 4 27 27 2x 1 Câu 49: Cho hàm số y có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho x 1 tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA 4OB. 1 5 1 5 1 5 1 5 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 1 13 1 13 1 13 1 13 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử tiếp tuyến d của C tại M (x0 ; y0 ) (C) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA 4OB . OB 1 1 Do OAB vuông tại O nên tan A Hệ số góc của d bằng OA 4 4 1 hoặc . 4 1 1 1 Hệ số góc của d là y (x0 ) 2 0 2 (x0 1) (x0 1) 4 3 x0 1 y0 2 5 x0 3 y0 2 1 3 1 5 y (x 1) y x 4 2 4 4 Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: . 1 5 1 13 y (x 3) y x 4 2 4 4 : y x 1 3 2 4 4 4 Câu 50: Cho hàm số y x 2x 3x có đồ thị là A ; . Có bao nhiêu giá trị : y x 3 9 3 3 5 8 : y x 9 81
  35. Đạo Hàm Nâng Cao : y 3x 4 để tiếp tuyến của : y x 1 tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ 3 5 128 : y x 9 81 một tam giác có diện tích bằng 8. A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D : y 3x 4 Ta có : y là giao điểm của (C ) với trục tung 3 m 5 128 : y x 9 81 y ' 3x2 m y '(0) m Phương trình tiếp tuyến với (Cm ) tại điểm m là y mx 1 m Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ 1 m A ;0 và B(0;1 m) m Nếu m 0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này Nếu m 0 ta có 2 1 1 1 m 1 m m 9 4 5 SOAB 8 OA.OB 8 1 m 8 16 2 2 m m m 7 4 3 Vậy có 4 giá trị cần tìm. x 1 Câu 51: Cho hàm số y .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M C 2x 1 mà tiếp tuyến của C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y 2m 1. 1 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 3 Gọi M (x0 ; y0 ) (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M : y 2 (x x0 ) y0 (2x0 1)
  36. Đạo Hàm Nâng Cao Gọi A , B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung 2 2x0 4x0 1 yB 2 . (2x0 1) 1 Từ đó trọng tâm G của OAB có: y 3x- . 3 2 2x0 4x0 1 Vì G d nên 2 2m 1 3(2x0 1) 2 2 2 2 2x0 4x0 1 6x0 (2x0 1) 6x0 Mặt khác: 2 2 2 1 1 (2x0 1) (2x0 1) (2x0 1) 1 1 Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa bài toán thì 2m 1 m . 3 3 1 Vậy GTNN của m là . 3 Câu 52: Cho hàm số y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. , có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm C thuộc C sao cho tiếp tuyến tại của C cắt Oy tại 2 3 2 B sao cho diện tích tam giác x 1 bằng 24 3x0 4x0 1 4 x0 x0 2x0 x0 4 0 1 , x 6 là gốc tọa độ. 4 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B 2x 2 Gọi M x ; y C y 0 y ' 0 0 0 x 1 0 2 0 x0 1 Phương trình tiếp tuyến x0 1 của C tại x0 2 là: y 5x 4 . x2 2x 1 Tiếp tuyến y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. cắt hai trục tọa độ y tại hai x 2 2 điểm phân biệt A x0 ;0 , y 5 sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng y 4 khi đó 2 1 1 1 2x 1 2 .OA.OB OA.OB x2. 0 4x2 x 1 0 2 4 2 0 2 2 0 0 x0 1 2 1 1 2x0 x0 1 0 x0 M ; 2 2 2 . 2x2 x 1 0 0 0 x0 1 M 1;1
  37. Đạo Hàm Nâng Cao x2 2mx 2m2 1 Câu 53: y C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với C x 1 m m tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m . B. m 1. C. m , m 1. D. m 0 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số đã cho xác định trên ¡ \ 1 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: x2 2mx 2m2 1 0 x2 2mx 2m2 1 0, x 1 1 x 1 Để Cm cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình 1 phải có hai nghiệm ' m2 2m2 1 0 1 m 1 m 0 phân biệt khác 1. Tức là ta phải có: hay tức 2 1 2m 2m 1 0 2m m 1 0 1 m 1 2 . m 0 2 Gọi x1; x2 là hai nghiệm của 1 . Theo định lý Vi – ét, ta có: x1 x2 2m, x1.x2 2m 1 Giả sử I x0 ;0 là giao điểm của Cm và trục hoành. Tiếp tuyến của Cm tại điểm I có hệ 2 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 2m 1 2x 2m số góc y ' x 0 0 2 x 1 x0 1 0 2x1 2m 2x2 2m Như vậy, tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là y ' x1 , y ' x2 . x1 1 x2 1 Tiếp tuyến tại A, B vuông góc nhau khi và chỉ khi y ' x1 y ' x2 1 hay 2x1 2m 2x2 2m 2 2 1 5x1.x2 4m 1 x1 x2 4m 1 0 tức 3m m 2 0 x1 1 x2 1 2 2 m 1 hoặc m . Đối chiếu điều kiện chỉ có m thỏa mãn. 3 3 x2 2mx m Câu 54: Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp x m tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3. B. 4 . C. 5. D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn C
  38. Đạo Hàm Nâng Cao x2 2mx m Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C : y và trục hoành: x m x2 2mx m x2 2mx m 0 * 0 . x m x m x2 2mx m Đồ thị hàm số y cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt phương trình * có x m 2 m 0 m 1 m m 0 hai nghiệm phân biệt khác m 1 . 3m2 m 0 m 3 2 Gọi M x0 ; y0 là giao điểm của đồ thị C với trục hoành thì y0 x0 2mx0 m 0 và hệ số góc của tiếp tuyến với C tại M là: 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 m 2x 2m k y x 0 . 0 2 x m x0 m 0 2x1 2m Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với C tại hai giao điểm với trục hoành là k1 , x1 m 2x2 2m k2 . x2 m 2x1 2m 2x2 2m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1.k2 1 1 x1 m x2 m 2 2 . 4 x1x2 m x1 x2 m x1x2 m x1 x2 m x1x2 m 2 m 0 Ta lại có , do đó m 5m 0 . Nhận m 5 . x1 x2 2m m 5 Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của C : y x3 biết nó đi qua điểm M 2; 0 là: A. y 27x 54 . B. y 27x 9; y 27x 2 . C. y 27x 27 . D. y 0; y 27x 54 . Hướng dẫn giải Chọn D + y ' 3x2 . + Gọi A(x0 ; y0 ) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại A(x0 ; y0 ) là: 2 3 y 3x0 x x0 x0 (d) . + Vì tiếp tuyến (d) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình:
  39. Đạo Hàm Nâng Cao 2 3 x0 0 3x0 2 x0 x0 0 . x0 3 + Với x0 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y 0. + Với x0 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y 27x 54 . x2 Câu 56: Cho hàm số f x x 1, có đồ thị C . Từ điểm M 2; 1 kẻ đến C hai tiếp tuyến 4 phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình: A. y x 1 và y x 3 . B. y 2x 5 và y 2x 3 . C. y x 1 và y x 3 . D. y x 1 và y x 3 . Hướng dẫn giải Chọn A x 2 x Gọi N x ; y là tiếp điểm; y 0 x 1; f x 0 1 0 0 0 4 0 0 2 2 x0 x0 Phương trình tiếp tuyến tại N là: y 1 x x0 x0 1 2 4 2 2 x0 x0 x0 Mà tiếp tuyến đi qua M 2; 1 1 1 2 x0 x0 1 x0 0 2 4 4 x0 0; y0 1; f 0 1 x0 4; y0 1; f 4 1 Phương trình tiếp tuyến : y x 1 và y x 3 . Câu 57: Tiếp tuyến của parabol y 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D + y 2x y (1) 2. +PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y 2(x 1) 3 y 2x 5 (d) . 5 + Ta có (d) giao Ox tại A ;0 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d) tạo với hai trục tọa độ 2 tam giác vuông OAB vuông tại O . 1 1 5 25 Diện tích tam giác vuông OAB là: S OA.OB . .5 . 2 2 2 4
  40. Đạo Hàm Nâng Cao 1 x2 Câu 58: Cho hai hàm số f x và g x . x 2 2 Gọi d1,d2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f x , g x đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu A. 60 . B. 45. C. 30 . D. 90 . 2x 2 Câu 59: Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến x 1 tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. A. : y x 7 ; : y x 1. B. : y 2x 7 ; : y x 11. C. : y x 78 ; : y x 11. D. : y x 9 ; : y x 1. Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định với mọi x 1. 4 Ta có: y ' (x 1)2 Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2 ; tâm đối xứng I(1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x0 2 : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. 4 2 1 x0 1, x0 3 (x0 1) * x0 1 y0 0 : y x 1. * x0 3 y0 4 : y x 7 . Câu 60: Cho hàm số y x 1 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x0 . 2 3 A. ; 2 . B. y y ' x0 x x0 y x0 3x0 6x0 9 x x0 x0 3x0 9x0 11 29 ; I ;184 . 3 2 29 3 2 C. 184 3x0 6x0 9 x0 x0 3x0 9x0 11; 3 3 2 2x0 32x0 58x0 260 0 x0 13. D. x0 5 ; x0 2
  41. Đạo Hàm Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số xác định với mọi x 2 . Ta có: y 420x 3876 Gọi M (x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến y 36x 164 của C tại M có phương trình 2 4 2x0 4 2x0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến y 15x 39 với Ox,Oy y 0 2 1 2 1 2 Suy ra A: 4 2x x x A( x0 ;0) x 0 0 0 2 2 2 2 (x0 2) (x0 2) y 0 x 0 2x2 B : 2x2 B 0; 0 y 0 2 2 (x0 2) (x0 2) Vì A, B O x0 0 . 4 1 1 x0 Tam giác AOB vuông tại O nên S AOB OA.OB 2 2 2 (x0 2) 4 1 x0 4 2 Suy ra S AOB 2 9 9x0 (x0 2) 18 (x0 2) 2 x0 1 3x0 x0 2 0 (vn) 2 . 2 3x x 2 0 x0 0 0 3 2 4 4 2 * x 1 y , y '(x ) . Phương trình : y x 0 0 3 0 9 9 9 2 9 9 2 9 1 * x y 1, y '(x ) Phương trình : y (x ) 1 x . 0 3 0 0 4 4 3 4 2 x 1 Câu 61: Cho hàm số y (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song x 1 song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn D
  42. Đạo Hàm Nâng Cao 2 Ta có: y ' . x 1 2 x 1 Đồ thị hàm số y có tâm đối xứng I 1;1 . x 1 Lấy điểm tùy ý A x0 ; y0 C . Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B 2 x0 ;2 y0 C . Ta có: 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: kA y ' x0 2 . x0 1 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: kB y ' 2 x0 2 . 1 x0 Ta thấy kA kB nên có vô số cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. 1 Câu 62: Trên đồ thị của hàm số y có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: 1 3 4 3 A. 2;1 . B. 4; . C. ; . D. ; 4 . 3 4 7 4 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có: y ' . Lấy điểm M x0 ; y0 C . x 1 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y . x x . 2 0 x 1 x0 1 0 Giao với trục hoành:  Ox=A 2x0 1;0 . 2x 1 Giao với trục tung:  Oy=B 0; 0 2 x0 1 2 1 2x0 1 3 3 SOAB OA.OB 4 x0 . Vậy M ; 4 . 2 x0 1 4 4 Câu 63: Định m để đồ thị hàm số y x3 mx2 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y 5? A. m 3 . B. m 3 . C. m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải Chọn A
  43. Đạo Hàm Nâng Cao Đường thẳng y x3 mx2 1 và đồ thị hàm số y 5 tiếp xúc nhau x3 mx2 1 5 (1) có nghiệm. 2 3x 2mx 0 (2) x 0 . (2) x(3x 2m) 0 2m . x 3 + Với x 0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2m + Với x thay vào (1) ta có: m3 27 m 3. 3 Câu 64: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d : y mx m 3 cắt đồ thị (C) : y 2x3 3x2 2 tại ba điểm phân biệt A, B, I 1; 3 mà tiếp tuyến với (C) tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 1. B. 1. C. 2 . D. 5. 3 Câu 65: Cho hàm số y x 2018x có đồ thị là C . M1 là điểm trên C có hoành độ x1 1. Tiếp tuyến của C tại M1 cắt C tại điểm M 2 khác M1 , tiếp tuyến của C tại M 2 cắt C tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của C tại điểm M n 1 cắt C tại điểm M n khác M n 1 n 4; 5; , gọi xn ; yn là tọa độ điểm M n . Tìm n để: 2019 2018xn yn 2 0 . A. n 647 . B. n 675 . C. n 674 . D. n 627 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M k xk ; yk C với k 1; 2; Tiếp tuyến tại M k : y y xk x xk yk 2 3 y 3xk 2018 x xk xk 2018xk Hoành độ của M k 1 nghiệm đúng phương trình: 3 2 3 2 2 x 2018x 3xk 2018 x xk xk 2018xk x xk x x.xk 2xk 0 x xk x 2xk xk 1 2xk ,k (do xk xk 1 ). n 1 Do đó: x1 1; x2 2 ; x3 4 ; .; xn 2 . 2019 3 2019 Theo đề bài: 2018xn yn 2 0 2018xn xn 2018xn 2 0 2 3n 3 2 2019 n 674 .
  44. Đạo Hàm Nâng Cao Câu 66: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn 2 3 f 1 2x x f 1 x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 8 6 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A. * Phân tích: + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoàng độ x0 là: y f x0 . x x0 f x0 . Do đó, muốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 ta phải tính được f (x0 ) và f (x0 ). + Trong giả thiết, chỉ cho duy nhất một điều kiện về hàm f (x) , vì vậy chắc chắn phải căn cứ vào giả thiết này để tính f (x0 ) và f (x0 ). Hướng dẫn giải 2 3 + Xét  f (1 2x) x  f (1 x) x ¡ 1 3 2 f (1) 0 Trong 1 cho x 0 ta được  f (1)  f (1) 0 f (1) 1. + Đạo hàm 2 vế của 1 ta được: 2.(1 2x) . f (1 2x). f (1 2x) 1 3.(1 x) . f (1 x). f (1 x)2 4. f (1 2x). f (1 2x) 1 3. f (1 x). f (1 x)2 2 Trong 2 cho x 0 sẽ được: 4. f (1). f (1) 1 3. f (1). f (1)2 3 . Nếu f (1) 0 thay vào 2 vô lý f (1) 1. 1 Thay f (1) 1 vào 2 sẽ được f (1) . 7 1 1 6 + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 1 1 hay y x . Chọn. A. 7 7 7 Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số y x3 3x 1 C , đường thẳng d : y mx m 3 giao nhau tại A 1;3 , B,C và tiếp tuyến của C tại B và C vuông góc nhau.
  45. Đạo Hàm Nâng Cao 3 2 2 2 2 2 m m 3 3 A. B. 3 2 2 2 2 2 m m 3 3 4 2 2 5 2 2 m m 3 3 C. D. 4 2 2 5 2 2 m m 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: y ' 3x2 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (d): x3 m 3 x m 2 0 x 1 x2 x m 2 0 x 1, y 3 2 x x m 2 0 * Để hàm số (C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1, nên: 9 0 m 4 f 1 0 m 0 Giả sử xB ; xC là nghiệm của (*), hệ số góc của tiếp tuyến: 2 2 kB 3xB 3;kC 3xC 3 Theo giả thiết: 2 2 2 kB .kC 1 3xB 3 3xC 3 1 9m 18m 1 0 3 2 2 m 3 3 2 2 m 3 3 2 2 m 3 Vậy với thỏa ycbt. 3 2 2 m 3 Chọn A. 4 x 2 5 Câu 68: Cho hàm số: y 3x (C) và điểm M (C) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a thì 2 2 tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.
  46. Đạo Hàm Nâng Cao a 3 a 3 a 3 a 7 A. B. C. D. a 1 a 1 a 1 a 2 Hướng dẫn giải 4 a 2 5 Điểm M (C) , xM = a => y 3a ta có Pt tiếp tuyến với (C) có dạng M 2 2 ( ) : y y' (x x ) y với y' 2a3 6a xM M M M a4 5 => ( ) y (2a3 6a)(x a) 3a2 2 2 Hoành độ giao điểm của ( ) và (C) là nghiệm của phương trình x4 5 a4 5 3x2 (2a3 6a)(x a) 3a2 (x a)2 (x2 2ax 3a3 6) 0 2 2 2 2 x a 2 2 g(x) x 2ax 3a 6 0 Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a ' 2 2 2 g (x) a (3a 6) 0 a 3 0 a 3 2 2 g(a) 6a 6 0 a 1 a 1 Chọn A. 1 Câu 69: Cho hàm số y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 có đồ thị là C , m là tham số. Tìm các 3 m giá trị của m để trên Cm có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của Cm tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 0 . m 0 m 1 m 0 1 A. 2 B. C. 0 m D. 5 m m 1 3 m 3 3 Hướng dẫn giải: y/ mx2 2(m 1)x 4 3m . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 Ta tìm m : mx2 2(m 1)x 4 3m 2 * có đúng một nghiệm âm * x 1 mx 3m 2 0 x 1 hoặc mx 2 3m m 0 : không thỏa yêu cầu m 0 2 3m m 0 , yêu cầu bài toán xảy ra khi 0 2 m m 3 Chọn C.
  47. Đạo Hàm Nâng Cao Câu 70: Cho hàm số y x3 12x 12 có đồ thị C và điểm A m; 4 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng 2;5 để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị .C Tổng tất cả các phần tử nguyên của S bằng A. .7 B. . 9 C. . 3 D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn A Đường thẳng đi qua A m; 4 với hệ số góc k có phương trình y k x m 4 tiếp xúc 3 x 12x 12 k x m 4 1 với đồ thị C khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm. 2 3x 12 k 2 Thế 2 vào 1 ta được: x3 12x 12 3x2 12 x m 4 . x3 12x 12 3x3 3mx2 12x 12m 4 . 2x3 3mx2 12m 16 0 . 2 x 2 2x 3m 4 x 6m 8 0 . x 2 2 . 2x 3m 4 x 6m 8 0 * Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị C thì * có hai nghiệm phân biệt khác 2 . m 4 3m 4 3m 12 0 4 4 m hay m ; 4  ;2  2; . 8 6m 8 6m 8 0 3 3 m 2 Do đó S 3;4 . Tổng tất cả các giá trị nguyên của S là 3 4 7 . Câu 71: Cho hàm số f x x3 6x2 9x 1 có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm thuộc đồ thị C có tung độ là nghiệm phương trình 2 f ' x x. f '' x 6 0. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2 f (x) Câu 72: Cho các hàm số y f (x), y f (x2 ), y có đồ thị lần lượt là (C ),(C ),(C ) . Hệ số f (x2 ) 1 2 3 góc các tiếp tuyến của (C1),(C2 ),(C3 ) tại điểm có hoành độ x0 1 lần lượt là k1,k2 ,k3 thỏa mãn k1 2k2 3k3 0 . Tính f (1) . 1 2 3 4 A. f (1) . B. f (1) . C. V D. f (1) . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải
  48. Đạo Hàm Nâng Cao k1 f '(x0 ) f '(1) 2 k2 2x0 f '(x0 ) 2 f '(1) ' 2 2 f (x0 ) f '(x0 ). f (x0 ) f (x0 ).2x0. f '(x0 ) f (1). f '(1) f '(1) k3 f (x 2 ) 2 2 f (1) 2 f (1) 0 f (x0 3 f '(1) 3 Vì vậy: k 2k 3k f '(1) 4 f '(1) f (1) . 1 2 3 f (1) 5 Chọn C. f x Câu 73: Cho các hàm số y f x , y g x , y . Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của các g x đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x 0 bằng nhau và khác 0 thì: 1 1 1 1 A. f 0 . B. f 0 . C. f 0 . D. f 0 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có: 2 f ' 0 g 0 g ' 0 f 0 1 1 1 f ' 0 g ' 0 f 0 g 2 0 g 0 g 0 g 2 0 2 4 4 Chọn B. Câu 74: Cho hàm số y f (x); y g(x) dương có đạo hàm f '(x); g '(x) trên ¡ . Biết rằng tiếp tuyến f (x) 1 tại điểm có hoành độ x 0 của đồ thị hàm số y f (x); y g(x) và y có cùng hệ o g(x) 1 số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 A. f (0) . B. f (0) . C. f (0) . D. f (0) . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f '(0).[g(0) 1] g '(0)[f (0) 1] k f '(0) g '(0) 0 [g(0) 1]2 Do đó k.[g(0) 1] k[f (0) 1] k [g(0) 1]2 g(0) f (0) [g(0) 1]2 1 3 3 f (0) [g(0)]2 g(0) 1 (g(0) )2 . 2 4 4
  49. Đạo Hàm Nâng Cao Câu 75: Cho hàm số y x3 3x2 2x 1 có đồ thị (C) . Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ lần lượt là a và b a b và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. AB 2 . Tính S 2a 3b. A. S 4 . B. S 6 . C. S 7 . D. S 8. Hướng dẫn giải Chọn A Điểm uốn của (C) là điểm I(1; 1) . Vậy A(a;a3 3a2 2a 1), B(2 a;(2 a)3 3(2 a)2 2(2 a) 1) . 2 3 2 2 2 2 a 0 Do AB 4(a 1) 4(a 3a 2a) 2 | a 1| 1 a (a 2) 2 a 2 Do đó a 2,b 0 S 4 . Chọn A. Câu 76: Cho hàm số y 2x3 3x2 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B (B A) thỏa mãn 1 ab trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tổng tất cả các phần tử của 2 S. A. S 4 . B. S 6 . C. S 7 . D. S 8. Hướng dẫn giải Chọn A Điểm uốn của (C) là điểm I(1; 1) . Vậy A(a;a3 3a2 2a 1), B(2 a;(2 a)3 3(2 a)2 2(2 a) 1) . 2 3 2 2 2 2 a 0 Do AB 4(a 1) 4(a 3a 2a) 2 | a 1| 1 a (a 2) 2 a 2 Do đó a 2,b 0 S 4 . Chọn A. Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 2 5 y x3 (m 1)x2 (3m 2)x tồn tại hai điểm M (x ; y ), M (x ; y ) có toạ độ thoả 3 3 1 1 1 2 2 2 mãn x1.x2 0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng x 2y 1 0 . Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S. A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D
  50. Đạo Hàm Nâng Cao Do cả hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng x 2y 1 0 nên x1, x2 là nghiệm của phương trình y ' k 2 2x2 2(m 1)x 3m 0(1) . Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt x1x2 0 , tức là ' (m 1)2 2.3m 0 m 0 m 2 3 . 3m 2 P 0 m 4m 1 0 2 3 m 0 2 Vậy m ; 2 3  2 3;0 . Chọn D. 1 5 Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số y x4 3x2 (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt 2 2 (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC 3AB (với B nằm giữa A và C). Tính độ dài đoạn thẳng OA. 3 14 17 A. OA 2 . B. . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D a4 5 Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A có x a có dạng y (2a3 6a)(x a) 3a2 . A 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của tiêp tuyến và (C): x4 5 a4 5 3x2 (2a3 6a)(x a) 3a2 x2 2ax 3a2 6 0 . 2 2 2 2 Để tiếp tuyến có 3 giao điểm với (C) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác a 3 a 3 a 1 xB xC 2a Khi đó x , x là nghiệm của phương trình (1) (2) B C 2 xB .xC 3a 6   Mặt khác: AC 3AB AC 3AB xC 3xB 2a (3) 3 17 Ta tìm được: a 2 A 2; OA . 2 2 Chọn D. 5 Câu 79: Cho hàm số y 2x3 3x2 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A có hoành độ x thuộc (C). Tiếp 1 1 2 tuyến của (C) tại A1 cắt (C) tại điểm thứ hai A2 A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của (C) tại A2
  51. Đạo Hàm Nâng Cao cắt (C) tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) tại An 1 cắt (C) tại điểm thứ hai An An 1 có hoành độ xn . Tìm x2018 . 1 1 A. x 22018 . B. x 22018 . 2018 2 2018 2 1 1 C. x 3.22017 . D. x 3.22017 . 2018 2 2018 2 Hướng dẫn giải 5 27 45 174 Tiếp tuyến (C) tại điểm A1 ; là y x . 2 2 2 4 Vậy giao điểm thứ hai của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 5 x 3 2 45 175 2 2x 3x x 0 . 2 4 7 x 2 7 243 189 837 Tiếp tuyến (C) tại điểm A1 ; là y x . 2 2 2 4 Vậy giao điểm thứ hai của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 7 x 3 2 189 833 2 2x 3x x 0 . 2 4 17 x 2 Và làm tiếp tục sau đó nhận xét: 5 1 x ( 1)1 1(2)1 1 2 2 7 1 x ( 1)2 1 22 2 2 2 17 1 x ( 1)3 1 23 3 2 2 1 x ( 1)n 1 2n n 2 1 1 Do đó x ( 1)2018 1.22018 22018 . 2018 2 2 Chọn A. 3 2 Câu 80: Cho hàm số y 2x 3x 1 có đồ thị C . Xét điểm A1 có hoành độ x1 1 thuộc C . Tiếp tuyến của C tại A1 cắt C tại điểm thứ hai A2 A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của C tại A2 cắt C tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của C
  52. Đạo Hàm Nâng Cao tại An 1 cắt C tại điểm thứ hai An An 1 có hoành độ xn . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để 100 xn 5 . A. 235 B. 234 C. 118 D. 117 Hướng dẫn giải Ta có: xk a Tiếp tuyến tại Ak có phương trình hoành độ giao điểm: 2x3 3x2 1 2a3 3a 2 1 6a 2 6a x a x a 2 2x 4a 3 0 3 x 2x k 1 k 2 1 x1 1 x1 2  1 n 4 Vậy 3 xn . 2  . Xét 1 x 2x x 4  1 n 1 n 2 2 2  2 1 n 1 1 1 Do đó x . 2 5100 . Chọn n 2k 1 .4k. 2 5100 4k 1 2.5100 n 4 2 4 2 k 100 100 4 2.5 1 k log4 2.5 1 Chọn k 117 n 235 . Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x a 3 x b 3 x c 3 có hệ số góc nhỏ nhất tại tiếp điểm có hoành độ x 1 đồng thời a,b,c là các số thực không âm. Tìm GTLN tung độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung? A. 27 B. 3 C. 9 D. 18 Hướng dẫn giải Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất tại điểm uốn. Mặt khác y ' 3 x a 2 x b 2 x c 2 y '' 6 3x a b c a b c Do đó y '' 0 x 1 a b c 3 . 3 Giao điểm với trục tung có tung độ y a3 b3 c3 Vì a a2 9 b b2 9 c c2 9 0 a3 b3 c3 9 a b c Vậy tung độ giao điểm của đồ thị hàm số và Oy là a 3;b c 0 và các hoán vị. Chọn A.