Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Vi phân của hàm số (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5 - Vi phân của hàm số (Có đáp án)

1. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Tích f '(x0 ). x được gọi là vi phân của hàm số y f (x) tại điểm x0 (ứng với số gia x ) được kí hiệu là df (x0 ) f '(x0 ) x . Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '(x) x được gọi là vi phân hàm số y f (x) , kí hiệu là: df (x) f '(x) x . Đặc biệt: dx x ' x x nên ta viết df (x) f '(x)dx . B – BÀI TẬP Câu 1. Cho hàm số y f x x 1 2 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x ? A. dy 2 x 1 dx .B. dy x 1 2 dx . C. dy 2 x 1 .D. dy 2 x 1 dx . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có dy f x dx 2 x 1 dx . Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y x3 2x2 A. dy (3x2 4x)dx B. dy (3x2 x)dx C. dy (3x2 2x)dx D. dy (3x2 4x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D. dy (3x2 4x)dx Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y 3x 2 3 1 A. dy dx B. dy dx 3x 2 2 3x 2 1 3 C. dy dx D. dy dx 3x 2 2 3x 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 dy dx 2 3x 2 Câu 4. Cho hàm số y x3 9x2 12x 5 . Vi phân của hàm số là: A. dy 3x2 18x 12 dx . B. dy 3x2 18x 12 dx . C. dy 3x2 18x 12 dx . D. dy 3x2 18x 12 dx . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có dy x3 9x2 12x 5 dx 3x2 18x 12 dx . Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y (3x 1)10
2. A. dy 10(3x 1)9 dx B. dy 30(3x 1)10 dx C. dy 9(3x 1)10 dx D. dy 30(3x 1)9 dx Hướng dẫn giải: Chọn D. dy 30(3x 1)9 dx . Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số y sin 2x sin3 x A. dy cos 2x 3sin2 x cos x dx B. dy 2cos 2x 3sin2 x cos x dx C. dy 2cos 2x sin2 x cos x dx D. dy cos 2x sin2 x cos x dx Hướng dẫn giải: Chọn B. dy 2cos 2x 3sin2 x cos x dx Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y tan 2x A. dy (1 tan2 2x)dx B. dy (1 tan2 2x)dx C. dy 2(1 tan2 2x)dx D. dy 2(1 tan2 2x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D. dy 2(1 tan2 2x)dx Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số y 3 x 1 1 3 A. dy dx B. dy dx 3 (x 1)2 3 (x 1)2 2 1 C. dy dx D. dy dx 3 (x 1)2 33 (x 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 dy dx 33 (x 1)2 Câu 9. Xét hàm số y f x 1 cos2 2x . Chọn câu đúng: sin 4x sin 4x A. df (x) dx .B. df (x) dx . 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x cos 2x sin 2x C. df (x) dx .D. df (x) dx . 1 cos2 2x 2 1 cos2 2x Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 1 cos 2x 4cos 2x.sin 2x sin 4x Ta có : dy f x dx dx dx dx . 2 1 cos2 2x 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x Câu 10. Cho hàm số y x3 5x 6 . Vi phân của hàm số là: A. dy 3x2 5 dx .B. dy 3x2 5 dx .
3. C. dy 3x2 5 dx . D. dy 3x2 5 dx . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có dy x3 5x 6 dx 3x2 5 dx . 1 Câu 11. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là: 3x3 1 1 1 A. dy dx .B. dy dx .C. dy dx .D. dy x4dx . 4 x4 x4 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 3x2 1 Ta có dy 3 dx . 2 4 dx . 3x 3 x3 x x 2 Câu 12. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là: x 1 dx 3dx A. dy .B. dy . x 1 2 x 1 2 3dx dx C. dy .D. dy . x 1 2 x 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 2 3 Ta có dy dx 2 dx . x 1 x 1 x2 x 1 Câu 13. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là: x 1 x2 2x 2 2x 1 A. dy dx .B. dy dx . (x 1)2 (x 1)2 2x 1 x2 2x 2 C. dy dx . D. dy dx . (x 1)2 (x 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x2 x 1 2x 1 x 1 x x 1 x2 2x 2 Ta có dy dx 2 dx 2 dx . x 1 x 1 x 1 Câu 14. Cho hàm số y sin x 3cos x . Vi phân của hàm số là: A. dy cos x 3sin x dx . B. dy cos x 3sin x dx . C. dy cos x 3sin x dx . D. dy cos x 3sin x dx . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có dy sin x 3cos x dx cos x 3sin x dx .
4. Câu 15. Cho hàm số y sin2 x . Vi phân của hàm số là: A. dy – sin 2x dx . B. dy sin 2x dx . C. dy sin x dx . D. dy 2cosx dx . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có dy d sin2 x sin2 x dx cos x.2sin xdx sin 2xdx . tan x Câu 16. Vi phân của hàm số y là: x 2 x sin(2 x) A. dy dx .B. dy dx . 4x x cos2 x 4x x cos2 x 2 x sin(2 x) 2 x sin(2 x) C. dy dx . D. dy dx . 4x x cos2 x 4x x cos2 x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 . . x tan x. tan x 2 x cos2 x 2 x Ta có dy dx = dx x x 1 1 sin x 1 1 x sin x cos x = . . dx = .dx 2 2 2 cos x cos x 2 x x 2x x.cos x 2 x sin 2 x = .dx 4x x.cos2 x Câu 17. Hàm số y xsin x cos x có vi phân là: A. dy x cos x – sin x dx .B. dy x cos x dx . C. dy cos x – sin x dx D. dy xsin x dx . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có dy xsin x cos x dx sin x x cos x sin x dx x cos x dx . x Câu 18. Hàm số y . Có vi phân là: x2 1 1 x2 2x A. dy dx B. dy dx (x2 1)2 (x2 1) 1 x2 1 C. dy dx D. dy dx (x2 1) (x2 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn A. x x2 1 2x2 1 x2 Ta có dy 2 dx 2 2 2 2 dx . x 1 (x 1) (x 1) 2 Câu 19. Cho hàm số y f x x 1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho? A. .d y 2 x 1 dx B. . dy 2 x 1
5. 2 C. .d y x 1 dx D. . dy x 1 dx Hướng dẫn giải: Chọn A y f x x 1 2 y 2 x 1 dy 2 x 1 dx Câu 20. Vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x 2 , ứng với x 0,1 là: A. . 0,07 B. . 10 C. . 1,1 D. . 0,4 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f x 6x 1 f 2 11 df 2 f 2 x 11.0,1 1,1 Câu 21. Vi phân của y cot 2017x là: 2017 A. dy 2017sin 2017x dx. B. dy dx. sin2 2017x 2017 2017 C. dy dx. D. dy dx. cos2 2017x sin2 2017x Hướng dẫn giải: Chọn D. 2017 2017 y cot 2017x y dy dx sin2 2017x sin2 2017x x2 x 1 Câu 22. Cho hàm số y = . Vi phân của hàm số là: x 1 x2 2x 2 2x 1 A. dy dx B. dy dx (x 1)2 (x 1)2 2x 1 x2 2x 2 C. dy dx D. dy dx (x 1)2 (x 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 x 1 x2 2x 2 dy dx 2 dx x 1 (x 1) x 3 Câu 23. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số tại x 3 là: 1 2x 1 1 A. dy dx. B. dy 7dx. C. dy dx. D. dy 7dx. 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A 7 1 Ta có y y 3 1 2x 2 7 1 Do đó dy dx 7
6. Câu 24. Vi phân của y tan 5x là : 5x 5 A. dy dx. B. dy dx. cos2 5x sin2 5x 5 5 C. dy dx. D. dy dx. cos2 5x cos2 5x Hướng dẫn giải: Chọn C 5 y tan 5x y cos2 5x 5 Do đó dy dx cos2 5x ( x 1)2 Câu 25. Hàm số y f (x) . Biểu thức 0,01. f '(0,01) là số nào? x A. 9. B. -9. C. 90. D. -90. Hướng dẫn giải: Chọn D. ( x 1)2 1 1 y f (x) y y 0,01 9000 x x x x2 Do đó 0,01. f '(0,01) 90 Câu 26. Cho hàm số y sin(sin x) .Vi phân của hàm số là: A. .d y cos(sin x).sin xdx B. . dy sin(cos x)dx C. .d y cos(sin x).cos xdx D. . dy cos(sin x)dx Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: y ' (sin x)'.cos(sin x) cos x.cos(sin x) nên dy cos x.cos(sin x)dx x2 x khi x 0 Câu 27. Cho hàm số f (x) . Kết quả nào dưới đây đúng? 2x khi x 0 x2 x A. .d f (0) dx B. . f 0 lim lim(x 1) 1 x 0 x x 0 C. . f 0 lim x2 x 0D. . f 0 lim 2x 0 x 0 x 0 Hướng dẫn giải: Chọn B. x2 x Ta có: f 0 lim lim(x 1) 1 ; x 0 x x 0 2x f 0 lim 2 và hàm số không có vi phân tại x 0 x 0 x Câu 28. Cho hàm số y cos2 2x . Vi phân của hàm số là: A. .d y 4cos 2xsin 2xdx B. . dy 2cos 2xsin 2xdx C. .d y 2cos 2xsin 2xdx D. . dy 2sin 4xdx Hướng dẫn giải:
7. Chọn D. Ta có : dy d cos2 2x 2cos 2x.(cos 2x)'dx 4cos 2x.sin 2xdx 2sin 4xdx x2 x khi x 0 Câu 29. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào dưới đây là sai? x khi x 0 A. . f 0 1 B. . f 0 1 C. .d f (0) dx D. Hàm số không có vi phân tại . x 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 x x Ta có: f 0 lim lim(x 1) 1 và f 0 lim 1 và df (0) dx x 0 x x 0 x 0 x Câu 30. Cho hàm số y f (x) 1 cos2 2x . Chọn kết quả đúng: sin 4x sin 4x A. .d f (x) dxB. . df (x) dx 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x cos 2x sin 2x C. .d f (x) dx D. . df (x) dx 1 cos2 2x 1 cos2 2x Hướng dẫn giải: Chọn B. (1 cos2 2x)' 2.2cos 2x.sin 2x sin 4x Ta có : dy df (x) d 1 cos2 2x dx dx dx 2 2 2 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x 1 cos 2x Câu 31. Cho hàm số y tan x . Vi phân của hàm số là: 1 1 A. .d y dx B. . dy dx 2 x cos2 x x cos2 x 1 1 C. .d y dx D. . dy dx 2 x cos x 2 x cos2 x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 dy d tan x .( x)'dx dx Ta có : 2 2 cos x 2 x.cos x 2x 3 Câu 32. Vi phân của hàm số y là : 2x 1 8 4 A. .d y dx B. . dy dx 2x 1 2 2x 1 2 4 7 C. .d y dx D. . dy dx 2x 1 2 2x 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2x 3 8 Ta có : dy d 2 dx 2x 1 (2x 1)
8. 1 x2 Câu 33. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là: 1 x2 4x 4 4 dx A. .d y B. . 2 dC.x . dD.y . 2 dx dy 2 dx dy 2 1 x2 1 x2 1 x 1 x2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 x2 4x Ta có : dy d 2 2 2 dx 1 x (1 x ) Câu 34. Cho hàm số f (x) cos 2x . Khi đó sin 2x sin 2x A. .d f x dx B. . d f x dx 2 cos 2x cos 2x sin 2x sin 2x C. .d f x dx D. . d f x dx 2 cos 2x cos 2x Hướng dẫn giải: Chọn D. (cos 2x)' sin 2x Ta có : df (x) d cos 2x dx dx 2 cos 2x cos 2x
9. ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f '. Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' ( f ')' . Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với n ¥ ,n 2 ) là f (n 1) . Nếu f (n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f (n) , tức là: f (n) ( f (n 1) )'. Để tính đạo hàm cấp n: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. B – BÀI TẬP x Câu 1. Hàm số y có đạo hàm cấp hai là: x 2 1 4 4 A. y 0 .B. y . C. y . D. y . x 2 2 x 2 2 x 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. x 2 2 2 x 2 4 Ta có y ; y 2. 2 2 4 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3 Câu 2. Hàm số y x2 1 có đạo hàm cấp ba là: A. y 12 x2 1 .B. y 24 x2 1 . C. y 24 5x2 3 .D. y –12 x2 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có y x6 3x4 3x2 1 ; y 6x5 12x3 6x y 30x4 36x2 6 ; y 120x3 72x 24 5x2 3 . Câu 3. Hàm số y 2x 5 có đạo hàm cấp hai bằng: 1 1 A. y .B. y . (2x 5) 2x 5 2x 5 1 1 C. y .D. y . (2x 5) 2x 5 2x 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 1 Ta có y 2x 5 2 2x 5 2x 5
10. 2 2x 5 1 y 2 2x 5 . 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5 x2 x 1 Câu 4. Hàm số y có đạo hàm cấp 5 bằng: x 1 120 120 A. y(5) .B. y(5) . (x 1)6 (x 1)6 1 1 C. y(5) .D. y(5) . (x 1)6 (x 1)6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 Ta có y x y 1 . x 1 x 1 2 2 6 24 120 y y 3 y 4 y(5) . x 1 3 x 1 4 x 1 5 (x 1)6 x2 x 1 Câu 5. Hàm số y có đạo hàm cấp 5 bằng : x 1 120 120 A. y 5 . B. y 5 . x 1 6 x 1 5 1 1 C. y 5 . D. y 5 . x 1 5 x 1 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 x 1 1 Ta có: y x . x 1 x 1 1 2 6 24 120 y 1 ; y ; y ; y 4 ; y 5 . x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 6 Câu 6. Hàm số y x x2 1 có đạo hàm cấp 2 bằng : 2x3 3x 2x2 1 A. y . B. y . 1 x2 1 x2 1 x2 2x3 3x 2x2 1 C. y . D. y . 1 x2 1 x2 1 x2 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 4x x2 1 2x2 1 x 2x2 1 2 2x3 3x 2 x 1 Ta có: y x 1 x ; y 2 x2 1 x2 1 x 1 1 x2 1 x2 Câu 7. Hàm số y 2x 5 5 có đạo hàm cấp 3 bằng :
11. A. y 80 2x 5 3 . B. y 480 2x 5 2 . C. y 480 2x 5 2 . D. y 80 2x 5 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y 5 2x 5 4 2 10 2x 5 4 ; y 80 2x 5 3 ; y 480 2x 5 2 . Câu 8. Hàm số y tan x có đạo hàm cấp 2 bằng : 2sin x 1 1 2sin x A. y . B. y . C. y . D. y . cos3 x cos2 x cos2 x cos3 x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2cosx sinx 2sinx Ta có: y . y cos2 x cos4 x cos3 x Câu 9. Cho hàm số y sinx . Chọn câu sai. A. y sin x . B. y sin x . 2 3 4 C. y sin x . D. y sin 2 x . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y cosx sin x ; y cos x sin x . 2 2 3 4 3 y cos x sin x ; y cos x sin 2 x . 2 2 2x2 3x Câu 10. Hàm số y có đạo hàm cấp 2 bằng : 1 x 1 2 2 2 A. y 2 . B. y . C. y . D. y . 1 x 2 1 x 3 1 x 3 1 x 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 2 Ta có: y 2x 1 y 2 ; y . 1 x 1 x 2 (1 x)3 4 Câu 11. Hàm số y f x cos 2x . Phương trình f x 8 có nghiệm x 0; là: 3 2 A. x . B. x 0 và x . 2 6 C. x 0 và x . D. x 0 và x . 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 Ta có: y 2sin 2x . y 4cos 2x . y 8sin 2x . y 16cos 2x 3 3 3 3
12. 4 1 Khi đó : f x 8 16cos 2x 8 cos 2x 3 3 2 2 2x k2 x k 3 3 2 x 0;  2  x . 2 2 2x k2 x k 3 3 6 Câu 12. Cho hàm số y sin2x . Chọn khẳng định đúng A. 4y y 0 . B. 4y y 0. C. y y tan 2x . D. y2 y 2 4 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y 2cos2x ; y 4sin2x . 4y y 0 . 1 Câu 13. Cho hàm số y f x . Xét hai mệnh đề : x 2 6 I : y f x . II : y f x . x3 x4 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.C. Cả hai đều đúng.D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2 6 Ta có: y ; y ; y . x2 x3 x4 2sin x Câu 14. Nếu f x thì f x bằng cos3 x 1 1 A. . B. . C. cot x . D. tan x . cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2cosx  sinx 2sinx Vì: tan x 2 4 3 . cos x cos x cos x x2 x 2 Câu 15. Cho hàm số y f x . Xét hai mệnh đề : x 1 2 4 I : y f x 1 0,x 1. II : y f x 0,x 1. (x 1)2 (x 1)2 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.C. Cả hai đều đúng.D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 x 2 2 2 4 Ta có: y f x x y 1 ; y . x 1 x 1 x 1 2 x 1 3 Câu 16. Cho hàm số f x x 1 3 . Giá trị f 0 bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 24 . Hướng dẫn giải:
13. Chọn B. Vì: f x 3 x 1 2 ; f x 6 x 1 f 0 6 . 3 2 Câu 17. Cho hàm số f x sin x x . Giá trị f bằng 2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 5 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2 3 Vì: f x 3sin xcosx 2x ; f x 6sinxcos x 3sin x 2 f 1. 2 Câu 18. Cho hàm số f x 5 x 1 3 4 x 1 . Tập nghiệm của phương trình f x 0 là A.  1;2. B. ;0 . C. 1 . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. Vì: f x 15 x 1 2 4 ; f x 30 x 1 f x 0 x 1. 1 Câu 19. Cho hàm số y . Khi đó : x 3 3 1 3 1 A. y 1 . B. y 1 . C. y 1 . D. y 1 . 8 8 8 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 6 3 Vì: y ; y ; y y 1 . x 3 2 x 3 3 x 3 4 8 Câu 20. Cho hàm số y ax b 5 với a , b là tham số. Khi đó : A. y 10 1 0 . B. y 10 1 10a b . C. y 10 1 5a . D. y 10 1 10a . Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì: y 5a ax b 4 ; y 20a2 ax b 3 ; y 60a3 ax b 2 ; y 4 120a4 ax b ; y 5 120a5 ; y 6 0 y 10 0 . Do đó y 10 1 0 2 4 Câu 21. Cho hàm số y sin 2x . Tính y bằng: 6 A. 64 . B. 64 . C. 64 3 . D. 64 3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Vì: y 2sin2x 2cos2x 2sin4x ; y 8cos4x ; y 32sin4x ; 4 4 y 128cos4x y 64 3 . 6 Câu 22. Cho hàm số y sin2x. Tính y '' A. y '' sin 2x B. y '' 4sin x C. y '' sin 2x D. y '' 4sin 2x
14. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có y ' 2cos 2x y '' 4sin 2x Câu 23. Cho hàm số y sin2x. Tính y '''( ) , y(4) ( ) 3 4 A. 4 và 16 B. 5 và 17 C. 6 và 18 D. 7 và 19 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y ''' 8cos 2x, y(4) 16sin 2x 2 Suy ra y '''( ) 8cos 4; y(4) ( ) 16sin 16 . 3 3 4 2 Câu 24. Cho hàm số y sin2x. Tính y(n) A. y(n) 2n sin(2x n ) B. y(n) 2n sin(2x ) 3 2 C. y(n) 2n sin(x ) D. y(n) 2n sin(2x n ) 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có y ' 2sin(2x ), y '' 22 sin(2x 2 ) , y ''' 23 sin(2x 3 ) 2 2 2 Bằng quy nạp ta chứng minh y(n) 2n sin(2x n ) 2 Với n 1 y ' 21 sin(2x ) đúng 2 Giả sử y(k ) 2k sin(2x k ) , 2 (k 1) (k ) k 1 k 1 suy ra y y ' 2 cos(2x k ) 2 sin 2x (k 1) 2 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 2x 1 Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y x 2 (1)n 1.3.n! ( 1)n 1.n! A. y(n) B. y(n) (x 2)n 1 (x 2)n 1 ( 1)n 1.3.n! ( 1)n 1.3.n! C. y(n) D. y(n) (x 2)n 1 (x 2)n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 ' 3 3 (x 2) 3.2 Ta có y ' , y '' (x 2)2 (x 2)4 (x 2)3
15. 3.2.3 ( 1)n 1.3.n! y ''' . Ta chứng minh y(n) (x 2)4 (x 2)n 1 ( 1)0.3 3 Với n 1 y ' đúng (x 2)2 (x 2)2 ( 1)k 1.3.k! Giả sử y(k ) (x 2)k 1 ( 1)k 1.3.k!. (x 2)k 1 ' k (k 1) (k ) ( 1) .3.(k 1)! y y ' 2k 2 k 2 (x 2) (x 2) Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 1 Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y ,a 0 ax b (2)n .an .n! ( 1)n .an .n! A. y(n) B. y(n) (ax b)n 1 (x 1)n 1 ( 1)n .n! ( 1)n .an .n! C. y(n) D. y(n) (ax b)n 1 (ax b)n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. a a2.2 a3.2.3 Ta có y ' , y '' , y ''' (ax b)2 (ax b)3 (ax b)4 ( 1)n .an .n! Ta chứng minh: y(n) (ax b)n 1 ( 1)1.a1.1! a Với n 1 y ' đúng (ax b)2 (ax b)2 ( 1)k .ak .k! Giả sử y(k ) (ax b)k 1 ( 1)k .ak .k!. (ax b)k 1 ' k 1 k 1 (k 1) (k ) ( 1) .a .(k 1)! y y ' 2k 2 k 2 (ax b) (x 2) Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 2x 1 Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y x2 5x 6 (2)n .7.n! (1)n .5.n! ( 1)n 1.7.n! ( 1)n 1.5.n! A. y(n) B. y(n) (x 2)n 1 (x 3)n 1 (x 2)n 1 (x 3)n 1 ( 1)n .7.n! ( 1)n .5.n! ( 1)n .7.n! ( 1)n .5.n! C. y(n) D. y(n) (x 2)n (x 3)n (x 2)n 1 (x 3)n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2x 1 7(x 2) 5(x 3) ; x2 5x 6 (x 2)(x 3) 7 5 Suy ra y . x 3 x 2
16. (n) (n) 1 ( 1)n .1n.n! ( 1)n .n! 1 ( 1)n .n! Mà n 1 n 1 , n 1 x 2 (x 2) (x 2) x 2 (x 3) ( 1)n .7.n! ( 1)n .5.n! Nên y(n) . (x 2)n 1 (x 3)n 1 Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos 2x (n) n (n) n A. y 1 cos 2x n B. y 2 cos 2x 2 2 (n) n 1 (n) n C. y 2 cos 2x n D. y 2 cos 2x n 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Ta có y ' 2cos 2x , y '' 2 cos 2x 2 , 2 2 3 y ''' 2 cos 2x 3 . 2 (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos 2x n . 2 Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 2x 1 ( 1)n 1.3.5 (3n 1) ( 1)n 1.3.5 (2n 1) A. y(n) B. y(n) (2x 1)2n 1 (2x 1)2n 1 ( 1)n 1.3.5 (2n 1) ( 1)n 1.3.5 (2n 1) C. y(n) D. y(n) (2x 1)2n 1 (2x 1)2n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 3 Ta có y ' , y '' , y ''' 2x 1 (2x 1)3 (2x 1)5 ( 1)n 1.3.5 (2n 1) Bằng quy nạp ta chứng minh được: y(n) (2x 1)2n 1 2x 1 Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y x2 3x 2 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! A. y(n) B. y(n) (x 2)n 1 (x 1)n 1 (x 2)n 1 (x 1)n 1 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! C. y(n) : D. y(n) (x 2)n 1 (x 1)n 1 (x 2)n 1 (x 1)n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 5 3 Ta có: y x 2 x 1
17. 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! Bằng quy nạp ta chứng minh được: y(n) . (x 2)n 1 (x 1)n 1 x Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y x2 5x 6 ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! A. y(n) B. y(n) (x 3)n 1 (x 2)n 1 (x 3)n (x 2)n ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! C. y(n) D. y(n) (x 3)n 1 (x 2)n 1 (x 3)n 1 (x 2)n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: x 3(x 2) 2(x 3) ; x2 5x 6 (x 2)(x 3) 3 2 Suy ra y . x 3 x 2 (n) (n) 1 ( 1)n .1n.n! ( 1)n .n! 1 ( 1)n .n! Mà n 1 n 1 , n 1 x 2 (x 2) (x 2) x 3 (x ) ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! Nên ta có: y(n) . (x 3)n 1 (x 2)n 1 Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos 2x (n) n 1 (n) n 1 A. y 2 cos 2x n B. y 2 cos 2x n 2 2 (n) n (n) n C. y 2 cos 2x D. y 2 cos 2x n 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : 2 3 y ' 2cos 2x , y '' 2 cos 2x 2 , y ''' 2 cos 2x 3 . 2 2 2 (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos 2x n . 2
18. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s s t tại thời điểm t0 là v t0 s ' t0 . Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t tại thời điểm t0 là : I t0 Q ' t0 . Câu 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t 2 5t 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là: A. 24m / s2 . B. 17m / s2 . C. 14m / s2 . D. 12m / s2 . Hướng dẫn giải: Đáp án D Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t . s t3 3t 2 5t 2 3t 2 6t 5 s 6t 6 s 3 12 Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t 2 9t 2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0 hoặc t 2. B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t 2 là v 18 m / s . C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 3 là a 12 m / s2 . D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0 . Hướng dẫn giải: Đáp án C. Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t . s t3 3t 2 5t 2 3t 2 6t 5 s 6t 6 s 3 12 Câu 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t 2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Gia tốc của chuyển động khi t 4s là a 18m / s2 . B. Gia tốc của chuyển động khi t 4s là a 9m / s2 . C. Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 12m / s . D. Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 24m / s . Hướng dẫn giải: Đáp án A s 3t 2 6t s 6t 6 s 4 18