Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác (Có đáp án)

1. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều kiện asin2x bsin x c 0 t = sinx 1 t 1 a cos2 x b cos x c 0 t = cosx 1 t 1 a tan2 x b tan x c 0 t = tanx x k (k Z) 2 2 Nếu đặt: t sin xahcoat2ëcxt bsciontxx thcì đi0ều kiện : t0 = cott x1. x k (k Z) B– BÀI TẬP Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác A. 2sin2 x sin 2x 1 0. B. 2sin2 2x sin 2x 0. C. cos2 x cos2x 7 0. D. tan2 x cot x 5 0. Câu 2: Nghiệm của phương trình sin2 x – sin x 0 thỏa điều kiện: 0 x . A. x . B. x . C. x 0 . D. x . 2 2 Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin2 x 3sin x 1 0 thỏa điều kiện 0 x là: 2 5 A. x B. x C. x D. x 3 2 6 6 Câu 4: Phương trình sin2 x 3sin x 4 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 ,k Z B. x k2 ,k Z 2 C. x k ,k Z D. x k ,k Z 2 Câu 5: Nghiệm của phương trình sin2 x sin x 0 thỏa điều kiện: x . 2 2 A. x 0 . B. x . C. x . D. x . 3 2 Câu 6: Trong 0;2 , phương trình sin x 1 cos2 x cĩ tập nghiệm là    A. ; ;2 . B. 0;  . C. 0; ;  . D. 0; ; ;2 . 2  2  2  Câu 7: Phương trình: 2sin2 x 3 sin 2x 2 cĩ nghiệm là:
2. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k 6 6 A. ,k ¢ B. ,k ¢ x k2 x k 2 2 C. x k ,k ¢ D. x k2 ,k ¢ 2 2 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin2 x 4sin x 3 0 là : A. x k2 ,k ¢ B. x k2 ,k ¢ 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k2 ,k ¢ 2 Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2 x 0 là A. k ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 6 3 Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin2 x 2sin x 0 . 4 5 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 5 C. x k2 ; x k2 (k ¢ ) . D. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 6 Câu 11: Phương trình 2sin2 x sin x 3 0 cĩ nghiệm là: A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ 2 2 6 . Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2x sin x 0 là 2 2 A. k ; k2 ;k ¢ . B. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 2 2 C. k ; k2 ;k ¢ . D. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 3sin x 1 0 thỏa điều kiện: 0 x . 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 2 2 Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 5sin x – 3 0 là: 7 5 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 6 6 3 6 5 C. x k ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 2 4 4 Câu 15: Nghiêm của pt sin2 x –sinx 2là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2 2 3 Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin2 x 2sin x 0 . 4 5 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6
3. Lượng giác – ĐS và GT 11 5 C. x k2 ; x k2 (k ¢ ) . D. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 6 Câu 17: Nghiệm của phương trình cos2 x sin x 1 0 là A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 2 2 C. x k2 ,k ¢ . D. x m k2 ,k ¢ . 2 2 Câu 18: Nghiêm của phương trình sin2 x sin x 2 là A. x k ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . 2 C. x k2 ,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 2 2 Câu 19: Phương trình 2sin2 x 3sin x 2 0 cĩ nghiệm là A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 2 5 C. k2 ,k ¢ . D. k2 ; k2 ,k ¢ . 2 6 6 Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos2 x 3sin x 3 0 thõa điều kiện 0 x là: 2 5 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 6 6 Câu 21: Nghiệm của phương trình 1 5sin x 2cos2 x 0 là x k2 x k2 6 6 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 x k2 x k2 6 6 x k2 x k2 3 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2 x 0 là: A. k ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 6 Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin2 2x 2sin2x 1 0 là : A. k . B. k . C. k2 . D. k2 . 4 4 4 4 Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos2 2x sin 2x 1 0 là A. k . B. k . C. k . D. k . 2 3 2 2 2 Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x 3sin x 1 0 là 1 1 A. arcsin k2 . B. arcsin k2 . 4 4 1 1 1 C. arcsin k . D. arcsin k . 2 2 4 2 4 Câu 26: Nghiệm của phương trình sin2 2x 2sin 2x 1 0 trong khoảng ; là :
4. Lượng giác – ĐS và GT 11 3  3  3  3  A. ;  . B. ;  . C. ; . D. ;  . 4 4  4 4  4 4  4 4  Câu 27: Giải phương trình:sin2 x 2sin x 3 0. A. k . B. k . C. k2 . D. k2 . 2 2 2 Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin4 x 12cos2 x 7 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 2 4 4 5 Câu 29: Phương trình cos 2 x 4cos x cĩ nghiệm là: 3 6 2 x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 2 2 6 4 2 Câu 30: Tìm m để phương trình 2sin x 2m 1 sinx m 0 cĩ nghiệm x ;0 . 2 A. 1 m 0. B. 1 m 2. C. 1 m 0. D. 0 m 1. Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos2 x 4cos x 3 0 . A. x k2 (k ¢ ) . B. x k2 (k ¢ ) . 2 C. x k2 (k ¢ ) . D. x k (k ¢ ) . Câu 32: Giải phương trình 2cos2 x 3cos x 1 0  A. x k2 , k ¢ . B. k2 , k2 , k ¢ . 3 3  C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 Câu 33: Phương trình cos2x 2cos x 11 0 cĩ tập nghiệm là: A. x arccos 3 k2 , k ¢ , x arccos 2 k2 , k ¢ . B.  . C. x arccos 2 k2 , k ¢ . D. x arccos 3 k2 , k ¢ . Câu 34: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x 3 0 . B. 2cos2 x cos x 1 0 . C. tan x 3 0 . D. 3sin x 2 0 . x x Câu 35: Phương trình: sin2 2cos 2 0 cĩ nghiệm là: 3 3 A. x k ,k ¢ B. x k3 ,k ¢ C. x k2 ,k ¢ D. x k6 ,k ¢ 3 Câu 36: Phương trình : cos2 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm là 4 2 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 3 3 C. x k ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 6 6 Câu 37: Nghiệm của phương trình cos2 x – cosx 0 thỏa điều kiện 0 x :
5. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 2 4 2 3 Câu 38: Nghiệm của phương trình cos2 x cos x 0 thỏa điều kiện: x . 2 2 3 3 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 2 Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos2 x – 8cos x – 5 là: A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 2 Câu 40: Nghiệm của pt 2cos2x 2cos x – 2 0 A. x k2 B. x k C. x k2 D. x k 4 4 3 3 Câu 41: Phương trình 2cos2 x 3cos x 2 0 cĩ nghiệm là A. k2 ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . 6 3 2 C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 3 3 Câu 42: Phương trình lượng giác: sin2 x 3cos x 4 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ B. x k2 ,k ¢ C. x k ,k ¢ D. Vơ nghiệm 2 6 Câu 43: Phương trình lượng giác: cos2 x 2cos x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ B. x 0 C. x k2 ,k ¢ D. Vơ nghiệm 2 3 Câu 44: Phương trình sin2 2x 2cos2 x 0 cĩ nghiệm là 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 6 4 2 C. x k ,,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 3 3 Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos2 2x cos 2x 2 0 là k A. k . B. . C. k2 . D. k2 . 2 2 2 2 2 Câu 46: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x 2cos 2x 5 0 là A. k2 . B. k2 . C. k . D. k2 . 3 3 Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin2 2x 3cos 2x 3 0 là A. k ; k . B. k ; k . C. k ; k . D. k ; k . 4 2 4 2 4 4 3 3 ; 2 2 2 Câu 48: Nghiệm của phương trình 2cos 2x 3cos 2x 5 0 trong khoảng 3 3 là: 7 5  7 5  7 5  7 5  A. ; ;  . B. ; ;  . C. ; ;  . D. ; ;  6 6 6  6 6 6  6 6 6  6 6 6  .
6. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 Câu 49: Giải phương trình 3cos x 2cos x 5 0 . A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Câu 50: Phương trình sin2 x sin2 2x 1 cĩ nghiệm là: x k x k 2 3 2 A. (k ¢ ) . B. . x k x k 6 4 x k 12 3 C. . D. Vơ nghiệm. x k 3 Câu 51: Phương trình tan2 x 5tan x 6 0 cĩ nghiệm là: A. x k ;xx arctan( 6) k = k ¢ x = 4 C. x k2 ;xx arctan( 6) k2 = k ¢ x = 4 B. x k ;xx arctan( 6) k2 = k ¢ 4 D. x k ;xx arctan( 6) k = k ¢ . Câu 52: Giải phương trình 3 tan2 x 1 3 tan x 1 0 A. x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 6 3 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 4 6 3 6 Câu 53: Phương trình tan x 3cot x 4 (với. k ¢ .) cĩ nghiệm là: A. k2 ,arctan 3 k2 . B. k . 4 4 C. arctan 4 k . D. k ,arctan 3 k . 4 Câu 54: Phương trình tan x 3cot x 4 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là A. k2 ,arctan 3 k2 . B. k . 4 4 C. arctan 4 k . D. k ,arctan 3 k . 4 Câu 55: Phương trình 3 tan2 x 3 3 tan x 3 0 cĩ nghiệm là x k x k x k x k 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 3 3 3 3 Câu 56: Phương trình 2 tan2 x 3tan x 1 0 cĩ nghiệm là 1 A. k (k ¢ ) . B. k ; arctan( ) (k ¢ ) . 4 2
7. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 1 C. k2 , arctan( ) (k ¢ ) . D. k ; arctan( ) k (k ¢ ) . 2 2 4 2 Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan2 2x 3tan 2x 2 0 là A. k . B. k . C. k . D. k . 8 8 8 2 8 2 Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x 2cot 2x 5 0 là 1 2 1 2 A. k . B. k . C. arctan k . D. arctan k . 4 2 4 2 2 3 2 2 3 2 Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan2 x 5tan x 3 0 là : 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 6 Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2 tan x 2cot x 3 0 trong khoảng ; là : 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 2 Câu 61: Giải phương trình : tan x 2 tan x 1 0. A. k . B. k . C. k2 . D. k . 4 2 4 2 Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x cot x 2 là A. x k2 ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . 4 4 C. x k ,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 4 4 tan x 1 Câu 63: Phương trình 2 cot x cĩ nghiệm là: 1 tan x 2 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 3 6 2 8 4 12 3 Câu 64: Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x cĩ nghiệm là: A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 6 6 C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 3 sin 3x cos3x Câu 65: Giải phương trình 5 sin x cos 2x 3 . 1 2sin 2x A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 3 6 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 3 6 1 4 tan x Câu 66: Cho phương trình cos4x m . Để phương trình vơ nghiệm, các giá trị của tham sốm 2 1 tan2 x phải thỏa mãn điều kiện: 5 A. m 0 . B. 0 m 1. 2 3 5 3 C. 1 m . D. m hay m . 2 2 2
8. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 2 Câu 67: Phương trình: 48 1 cot 2x.cot x 0 cĩ các nghiệm là cos4 x sin2 x A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 16 4 12 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 8 4 4 4 Câu 68: Phương trình cos 2x sin2 x 2cos x 1 0 cĩ nghiệm là x k2 A. , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . x k2 3 x k 3 C. x k2 , k ¢ . D. , k ¢ . 3 x k 3 4 4 3 Câu 69: Phương trình: cos x sin x cos x .sin 3x 0 cĩ nghiệm là: 4 4 2 A. x k2 k ¢ . B. x k3 k ¢ . C. x k4 k ¢ . D. x k k ¢ . 4 Câu 70: Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. . B. . C. 1 . D. 1 . sin x 1 sin x 1 sin x sin x 2 2 Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x cos 2x 2sin 3xsin 2x 0 trên 0;2  là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . cos4x Câu 72: Số nghiệm của phương trình tan 2x trong khoảng 0; là : cos2x 2 A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 Câu 73: Nghiệm phương trình 1 sin 2x 1 A. x k2 . k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 3 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 4 Câu 74: Cho phương trình cos5x cos x cos4x cos2x 3cos2 x 1. Các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là: 2 2 A. , . B. , . C. , . D. , . 3 3 3 3 2 4 2 2 4 4 4 5 Câu 75: Phương trình: sin x sin x sin x cĩ nghiệm là: 4 4 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 8 4 4 2 2
9. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 76: Phương trình: cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x cĩ nghiệm là: 4 4 x k2 x k2 x k2 x k2 12 6 3 4 A. . B. . C. . D. . 11 5 2 3 x k2 x k2 x k2 x k2 12 6 3 4 sin 3x cos3x 3 cos2x Câu 77: Cho phương trình: sin x . Các nghiệm của phương trình thuộc 1 2sin 2x 5 khoảng 0;2 là: 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2 x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos2 x m cĩ nghiệm? A. 0 m 1. B. m 1. C. 0 m 1. D. m 0 . Câu 79: Để phương trình: sin2 x 2 m 1 sin x 3m m 2 0 cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: 1 1 1 1 2 m 1 1 m 1 m m A. 2 2 . B. 3 3 . C. . D. . 0 m 1 3 m 4 1 m 2 1 m 3 Câu 80: Để phương trình sin6 x cos6 x a | sin 2x | cĩ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0 a . B. a . C. a . D. a . 8 8 8 4 4 Câu 81: Cho phương trình: 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m trong đĩ m là tham số. Để phương trình là vơ nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 A. 1 m 0. B. m 1. 2 3 C. 2 m . D. m 2 hay m 0 . 2 sin6 x cos6 x Câu 82: Cho phương trình: 2m.tan 2x , trong đĩ m là tham số. Để phương trình cĩ cos2 x sin2 x nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 1 A. m hay m . B. m hay m . 8 8 4 4 1 1 1 1 C. m hay m . D. m hay m . 8 8 4 4
10. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP + Là phương trình cĩ dạng f(sinx,cosx) 0 trong đĩ luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn (1) hay khơng? Lưu ý: cosx = 0 x k sin2 x 1 sin x 1. 2 Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được: a.tan2 x b.tan x c d(1 tan2 x) Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a d)t2 b.t c d 0 Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc 1 cos2x sin 2x 1 cos2x (1) a. b. c. d 2 2 2 b.sin 2x (c a).cos2x 2d a c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình 6sin2 x 7 3 sin 2x 8cos2 x 6 cĩ các nghiệm là: x k x k 2 4 A. , k ¢ . B. , k ¢ . x k x k 6 3 3 x k x k 8 4 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 2 x k x k 12 3 Câu 2: Phương trình 3 1 sin2 x 2 3 sin x cos x 3 1 cos2 x 0 cĩ các nghiệm là: x k x k A. 4 với tan 2 3 , k ¢ . B. 4 với tan 2 3 , k ¢ . x k x k x k x k C. 8 với tan 1 3 , k ¢ . D. 8 với tan 1 3 , k ¢ . x k x k Câu 3: Giải phương trình 3sin2 2x 2sin 2x cos 2x 4cos2 2x 2. 1 k 1 k A. x arctan 3 , x arctan( 2) ,k ¢ . 2 2 2 2
11. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 73 k 1 73 k B. x arctan , x arctan ,k ¢ . 12 2 12 2 1 1 73 k 1 1 73 k C. x arctan , x arctan ,k ¢ . 2 6 2 2 6 2 3 k k D. x arctan , x arctan( 1) ,k ¢ . 2 2 2 Câu 4: Phương trình 2sin2 x sin x cos x cos2 x 0 cĩ nghiệm là: 1 A. k , k ¢ . B. k ,arctan k , k ¢ . 4 4 2 1 1 C. k ,arctan k , k ¢ . D. k2 ,arctan k2 , k ¢ . 4 2 4 2 Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình 2sin2 x 5sin x cos x cos2 x 2 là A. k , k ¢ . B. k , k ¢ . C. k , k ¢ . D. k , k ¢ 6 4 4 6 . Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos2 x 6sin x cos x 3 3 là 3 A. k2 , v k ¢ . B. k , k ¢ . C. k , k ¢ . D. k2 , 4 4 4 4 k ¢ . Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x cos x sin2 x 2 là 1 A. arctan 2 k , k ¢ . B. arctan 2 k , k ¢ . 2 2 1 C. arctan 2 k , k ¢ . D. arctan 2 k , k ¢ . 2 2 Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin2 x sin x cos x 3cos2 x 0 là 3 3 A. arctan k , k ¢ . B. arctan k , k ¢ . 2 2 3 3 C. arctan k , k ¢ . D. arctan k , k ¢ . 2 2 Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin2 x 4sin x cos x 5cos2 x 2 là 3 A. k2 , k ¢ . B. k , k ¢ . C. k , k ¢ . D. k2 , 4 4 4 4 k ¢ . Câu 10: Phương trình :sin 2 x ( 3 1)sin x cos x 3 cos2 x 0 cĩ họ nghiệm là 3 A. k , k ¢ . B. k , k ¢ . 4 4 C. k , k ¢ . D. k , k , k ¢ . 3 4 3 Câu 11: Phương trình 3cos2 4x 5sin2 4x 2 2 3 sin 4x cos 4x cĩ nghiệm là: A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 6 12 2 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 18 3 24 4
12. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 2 Câu 12: Trong khoảng 0 ; , phương trình sin 4x 3.sin 4x.cos4x 4.cos 4x 0 cĩ: 2 A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. Câu 13: Phương trình 2cos2 x 3 3 sin 2x 4sin2 x 4 cĩ họ nghiệm là x k 2 A. , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 2 x k 6 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 2 2 2 Câu 14: Phương trình 2sin x sin x cos x cos x 0 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là: 1 A. k2 ,arctan( ) k2 . B. k . 4 2 4 1 1 C. k ,arctan( ) k . D. k ,arctan( ) k . 4 2 4 2 Câu 15: Giải phương trình cos3 x sin3 x 2 cos5 x sin5 x 1 1 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 4 4 2 4 3 4 Câu 16: Giải phương trình sin2 x 3tan x cos x 4sin x cos x 1 1 A. x k2 , x arctan 1 2 k2 B. x k , x arctan 1 2 k 4 4 2 2 2 2 C. x k , x arctan 1 2 k D. x k , x arctan 1 2 k 4 3 3 4 Câu 17: Giải phương trình sin2 x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 1 2 x k2 x k x k x k 4 4 2 4 3 4 A. B. C. D. 1 2 x k2 x k x k x k 3 3 2 3 3 3 Câu 18: Giải phương trình 4sin3 x 3cos3 x 3sin x sin2 x cos x 0 1 1 A. x k2 , x k2 B. x k , x k 4 3 4 2 3 2 1 1 C. x k , x k D. x k , x k 4 3 3 3 4 3 Câu 19: Giải phương trình 2cos3 x sin 3x 1 x arctan( 2) k2 x arctan( 2) k 2 A. B. x k2 1 4 x k 4 2 2 x arctan( 2) k x arctan( 2) k 3 C. D. 2 x k x k 4 4 3
13. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 20: Giải phương trình cos2 x 3 sin 2x 1 sin2 x 1 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. B. C. D. x k2 1 2 x k 3 x k x k 3 3 2 3 3 Câu 21: Giải phương trình 2cos2 x 6sin x cos x 6sin2 x 1 1 2 1 2 A. x k2 ; x arctan k2 B. x k ; x arctan k 4 5 4 3 5 3 1 1 1 1 C. x k ; x arctan k D. x k ; x arctan k 4 4 5 4 4 5
14. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Là phương trình cĩ dạng: a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Đặt: t cos x sin x 2.cos x ; t 2. 4 1 t2 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t2 1). 2 Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng cĩ dạng a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3’) t 2; 2 Để giải phương trình này ta cũng đặt t sin x cos x 2 sin x 1 t2 4 sin xcos x 2 Thay vào (3’) ta cĩ được phương trình bậc hai theo t. Lưu ý: cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 Đặt: t cos x sin x 2. cos x m ; Đk : 0 t 2. 4 1 sin x.cos x (t2 1). 2 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. B– BÀI TẬP 1 Câu 1: Phương trình sin x cos x 1 sin 2x cĩ nghiệm là: 2 x k x k 6 2 8 A. , k ¢ . B. , k ¢ . x k x k 4 2 x k x k2 C. 4 , k ¢ . D. 2 , k ¢ . x k x k2 1 Câu 2: Phương trình sin3 x cos3 x 1 sin 2x cĩ nghiệm là: 2 x k x k2 A. 4 , k ¢ . B. 2 , k ¢ . x k x k2
15. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 x k 3 4 x k C. , k ¢ . D. 2 , k ¢ . x k x 2k 1 2 Câu 3: Giải phương trình 2sin 2x sin x cos x 1 0 1 A. x k , x k hoặc x arccos k 2 4 2 2 1 1 1 1 B. x k , x k hoặc x arccos k 3 2 3 4 2 2 3 2 2 1 2 C. x k , x k hoặc x arccos k 3 2 3 4 2 2 3 1 D. x k2 , x k2 hoặc x arccos k2 2 4 2 2 Câu 4: Giải phương trình sin 2x 12 sin x cos x 12 0 2 A. x k , x k2 B. x k2 , x k 2 2 3 1 2 C. x k , x k D. x k2 , x k2 2 3 3 2 Câu 5: Giải phương trình sin 2x 2 sin x 1 4 1 1 1 A. x k , x k , x k2 B. x k , x k , x k 4 2 4 2 2 2 2 2 2 C. x k , x k , x k2 D. x k , x k2 , x k2 4 3 2 3 4 2 Câu 6: Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x 11 5 A. x k , x k , x k 4 12 12 2 11 2 5 2 B. x k , x k , x k 4 3 12 3 12 3 11 1 5 C. x k2 , x k , x k2 4 12 4 12 11 5 D. x k2 , x k2 x , x k2 4 12 12 Câu 7: Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x 1 k3 k5 k7 k A. x B. x C. x D. x 2 2 2 2 Câu 8: Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x 2 A. x k2 , x k , x k B. x k , x k , x k 4 2 4 3 2 1 2 C. x k , x k , x k2 D. x k , x k2 , x k2 4 3 2 3 4 2 Câu 9: Giải phương trình cos3 x sin3 x 2sin 2x sin x cos x
16. Lượng giác – ĐS và GT 11 k3 k5 k A. x B. x C. x k D. x 2 2 2 1 1 10 Câu 10: Giải phương trình cosx sinx cos x sin x 3 2 19 2 19 A. x arccos k2 B. x arccos k2 4 3 2 4 2 2 19 2 19 C. x arccos k D. x arccos k2 4 2 4 3 2 Câu 11: Cho phương trình sin x cos x sin x cos x m 0 , trong đĩ m là tham số thực. Để phương trình cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 1 A. 2 m 2 . B. 2 m 1. C. 1 m 2 . D. 2 m 2 . 2 2 2 2 Câu 12: Phương trình 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 cĩ nghiệm là x k 3 x k A. , k ¢ . B. 4 , k ¢ . 5 x k x 5 k 3 x k x k 6 12 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 5 5 x k x k 4 12
17. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều kiện asin2x bsin x c 0 t = sinx 1 t 1 a cos2 x b cos x c 0 t = cosx 1 t 1 a tan2 x b tan x c 0 t = tanx x k (k Z) 2 2 Nếu đặt: t sin xahcoat2ëcxt bsciontxx thcì đi0ều kiện : t0 = cott x1. x k (k Z) B– BÀI TẬP Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác A. 2sin2 x sin 2x 1 0. B. 2sin2 2x sin 2x 0. C. cos2 x cos2x 7 0. D. tan2 x cot x 5 0. Hướng dẫn giải:. Chọn B. Câu 2: Nghiệm của phương trình sin2 x – sin x 0 thỏa điều kiện: 0 x . A. x . B. x . C. x 0 . D. x . 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A. x k sin x 0 2 sin x – sin x 0 k ¢ sin x 1 x k2 2 Vì 0 x nên nghiệm của phương trình là x . 2 Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin2 x 3sin x 1 0 thỏa điều kiện 0 x là: 2 5 A. x B. x C. x D. x 3 2 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. t 1 2 Đặt t sin x 1 t 1 , phương trình trở thành: 2t 3t 1 0 1 t 2
18. Lượng giác – ĐS và GT 11 Với t 1, ta cĩ: sin x 1 x k2 k ¢ . 2 1 Do 0 x nên 0 k2 k 0. Vì k ¢ nên khơng tồn tại k. 2 2 2 4 x k2 1 1 6 Với t , ta cĩ: sin x sin . 2 2 6 5 x k2 6 Do 0 x nên x . 2 6 Vậy phương trình cĩ nghiệm x thỏa điều kiện 0 x . 6 2 Câu 4: Phương trình sin2 x 3sin x 4 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 ,k Z B. x k2 ,k Z 2 C. x k ,k Z D. x k ,k Z 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 t 1 Đặt t sin x 1 t 1 , phương trình trở thành: t 3t 4 0 . t 4 (l) Với t 1, ta cĩ: sin x 1 x k2 k ¢ . 2 Câu 5: Nghiệm của phương trình sin2 x sin x 0 thỏa điều kiện: x . 2 2 A. x 0 . B. x . C. x . D. x . 3 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A. x k sin x 0 2 sin x sin x 0 k ¢ sin x 1 x k2 2 Vì x nên nghiệm của phương trình là x 0 . 2 2 Câu 6: Trong 0;2 , phương trình sin x 1 cos2 x cĩ tập nghiệm là    A. ; ;2 . B. 0;  . C. 0; ;  . D. 0; ; ;2 . 2  2  2  Hướng dẫn giải:: Chọn C. x k sin x 0 2 2 sin x 1 cos x sin x sin x k ¢ . sin x 1 x k2 2  Mà x 0;2 x 0; ;  . 2  Câu 7: Phương trình: 2sin2 x 3 sin 2x 2 cĩ nghiệm là:
19. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 x k 6 6 A. ,k ¢ B. ,k ¢ x k2 x k 2 2 C. x k ,k ¢ D. x k2 ,k ¢ 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ : 2 1 cos 2x 2sin x 3 sin 2x 2 2. 3 sin 2x 2 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin 2 6 6 2x k2 x k 6 6 2x k2 6 3 k ¢ . 5 2x k2 2x k2 x k 6 6 2 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin2 x 4sin x 3 0 là : A. x k2 ,k ¢ B. x k2 ,k ¢ 2 2 C. x k2 ,k ¢ D. x k2 ,k ¢ 2 Hướng dẫn giải:: Chọn C 2 sin x 1 sin x 4sin x 3 0 sin x 3 Với sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 Phương trình sin x 3 1 vơ nghiêm. Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2 x 0 là B. k ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 6 Hướng dẫn giải:: Chọn C. sin x 1 2 2 2 5 5sin x 2cos x 0 5 5sin x 2 1 sin x 0 2sin x 5sin x 7 0 7 sin x 2 Với sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 7 Phương trình sin x 1 vơ nghiêm. 2 3 Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin2 x 2sin x 0 . 4 5 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 5 C. x k2 ; x k2 (k ¢ ) . D. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải::
20. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn C. 1 sin x 2 3 2 sin x 2sin x 0 4 3 sin x 2 x k2 1 6 Với sin x k ¢ 2 5 x k2 6 3 Phương trình sin x 1 vơ nghiêm. 2 Câu 11: Phương trình 2sin2 x sin x 3 0 cĩ nghiệm là: A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ 2 2 6 . Hướng dẫn giải:: Chọn C. sin x 1 2 2sin x sin x 3 0 3 sin x 2 Với sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 3 Phương trình sin x 1 vơ nghiêm. 2 Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2x sin x 0 là 2 2 A. k ; k2 ;k ¢ . B. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 2 2 C. k ; k2 ;k ¢ . D. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. x k2 2 sin x 1 2 Ta cĩ cos 2x sin x 0 1 2sin x sin x 1 x k2 k ¢ . sin x 6 2 5 x k2 6 Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 3sin x 1 0 thỏa điều kiện: 0 x . 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 6 4 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A.
21. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 2 sin x 1 2 2sin x – 3sin x 1 0 1 x k2 k ¢ sin x 6 2 5 x k2 6 Vì 0 x nên nghiệm của phương trình là x . 2 6 Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 5sin x – 3 0 là: 7 5 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 6 6 3 6 5 C. x k ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 2 4 4 Hướng dẫn giải:: Chọn A. sin x 3 1 x k2 2 6 2sin x – 5sin x – 3 0 1 k ¢ . sin x 7 2 x k2 6 Câu 15: Nghiêm của pt sin2 x –sinx 2là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2 2 Hướng dẫn giải:: ChọnA. Đặt t sin x . Điều kiện t 1 2 2 t 1 ( TM) Phương trình trở thành: t t 2 t t 2 0 t 2 (L) Với t 1 sin x 1 x k2 (k Z). 2 3 Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin2 x 2sin x 0 . 4 5 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 5 C. x k2 ; x k2 (k ¢ ) . D. x k ; x k (k ¢ ) . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải:: Chọn C. 3 sin x 2 3 2 sin x 2sin x 0 . 4 1 sin x 2 3 3 + sin x vơ nghiệm vì 1. 2 2
22. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 1 6 + sin x sin x sin , k ¢ . 2 6 5 x k2 6 Câu 17: Nghiệm của phương trình cos2 x sin x 1 0 là A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 2 2 C. x k2 ,k ¢ . D. x m k2 ,k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C cos2 x sin x 1 0 1 sin2 x sin x 1 0 sin2 x sin x 2 0 sin x 1 x k2 ,k ¢ sin x 2(vn) 2 Câu 18: Nghiêm của phương trình sin2 x sin x 2 là A. x k ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . 2 C. x k2 ,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 2 sin x 1 sin x sin x 2 sin x sin x 2 0 x k2 ,k ¢ sin x 2(vn) 2 Câu 19: Phương trình 2sin2 x 3sin x 2 0 cĩ nghiệm là A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 2 5 C. k2 ,k ¢ . D. k2 ; k2 ,k ¢ . 2 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 x k2 2 sin x 6 2sin x 3sin x 2 0 2 ,k ¢ 5 sin x 2(vn) x k2 6 Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos2 x 3sin x 3 0 thõa điều kiện 0 x là: 2 5 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 6 6 Hướng dẫn giải:: Chọn C . 2cos2 x 3sin x 3 0 2 1 sin2 x 3sin x 3 0
23. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k sin x 1 2 2sin x 3sin x 1 0 1 x k2 ,k ¢ . sin x 6 2 5 x k2 6 Do 0 x nên ta chọn x . 2 6 Câu 21: Nghiệm của phương trình 1 5sin x 2cos2 x 0 là x k2 x k2 6 6 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ . 5 x k2 x k2 6 6 x k2 x k2 3 3 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 Hướng dẫn giải:: Chọn B . 1 5sin x 2cos2 x 0 1 5sin x 2 1 sin2 x 0 2sin2 x 5sin x 3 0 1 x k2 sin x 6 2 sin x sin , k ¢ . 6 5 sin x 3 VN x k2 6 Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2 x 0 là: A. k ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 2 6 Hướng dẫn giải:: Chọn C . 5 5sin x 2cos2 x 0 5 5sin x 2 1 sin2 x 0 2sin2 x 5sin x 3 0 . sin x 1 3 x k2 ,k ¢ . sin x VN 2 2 Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin2 2x 2sin2x 1 0 là : A. k . B. k . C. k2 . D. k2 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải:: Chọn B. sin2 2x 2sin 2x 1 0 sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 4 Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos2 2x sin 2x 1 0 là A. k . B. k . C. k . D. k . 2 3 2 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D.
24. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 2 sin 2x 1 cos 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 0 . sin 2x 0 +) sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 4 k +) sin 2x 0 2x k x k ¢ . 2 Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x 3sin x 1 0 là 1 1 A. arcsin k2 . B. arcsin k2 . 4 4 1 1 1 C. arcsin k . D. arcsin k . 2 2 4 2 4 Hướng dẫn giải:: Chọn B. sin x 1 2 2 2cos 2x 3sin x 1 0 2 1 2sin x 3sin x 1 0 4sin x 3sin x 1 1 . sin x 4 +) sin x 1 x k2 k ¢ . 2 1 x arcsin k2 1 4 +) sin x k ¢ . 4 1 x arcsin k2 4 Câu 26: Nghiệm của phương trình sin2 2x 2sin 2x 1 0 trong khoảng ; là : 3  3  3  3  A. ;  . B. ;  . C. ; . D. ;  . 4 4  4 4  4 4  4 4  Hướng dẫn giải:: Chọn B. sin2 2x sin 2x 1 0 sin 2x 1 . 2x k2 x k k ¢ 2 4 x 3 5 k 0 4 Theo đề ra x k k . 4 4 4 k 1 3 x 4 Câu 27: Giải phương trình:sin2 x 2sin x 3 0. A. k . B. k . C. k2 . D. k2 . 2 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn C. Phương trình: 2 sin x 1 sin x 2sin x 3 0. . sin x 3 + sin x 1 x k2 k ¢ . 2
25. Lượng giác – ĐS và GT 11 + sin x 3 phương trình vơ nghiệm. Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin4 x 12cos2 x 7 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k . 4 4 2 4 4 Hướng dẫn giải:: Chọn B. Ta cĩ: 4sin4 x 12cos2 x 7 0 4sin4 x 12sin2 x 5 0. x k2 4 1 2 5 3 sin x L sin x x k2 2 2 4 k x , k ¢ . 2 1 1 4 2 sin x sin x x k2 2 2 4 5 x k2 4 5 Câu 29: Phương trình cos 2 x 4cos x cĩ nghiệm là: 3 6 2 x k2 x k2 x k2 x k2 6 6 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 2 2 6 4 Hướng dẫn giải:: Chọn A. 5 2 5 cos 2 x 4cos x 1 2sin x 4cos x . 3 6 2 3 2 3 2 2 5 2 3 1 2sin x 4sin x 2sin x 4sin x 0 . 3 3 2 3 3 2 3 sin x x k2 x k2 3 2 3 6 6 sin x sin , k ¢ . 1 3 6 5 sin x x k2 x k2 3 2 3 6 2 2 Câu 30: Tìm m để phương trình 2sin x 2m 1 sinx m 0 cĩ nghiệm x ;0 . 2 A. 1 m 0. B. 1 m 2. C. 1 m 0. D. 0 m 1. Hướng dẫn giải:: Chọn C. Với x ;0 1 sin x 0 2 1 sin x 2sin2 x 2m 1 sinx m 0 2 sin x m Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos2 x 4cos x 3 0 .
26. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k2 (k ¢ ) . B. x k2 (k ¢ ) . 2 C. x k2 (k ¢ ) . D. x k (k ¢ ) . Hướng dẫn giải:: Chọn C. cos x 1 2 cos x 4cos x 3 0 x k2 k ¢ . cos x 3 VN Câu 32: Giải phương trình 2cos2 x 3cos x 1 0  A. x k2 , k ¢ . B. k2 , k2 , k ¢ . 3 3  C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 3 Hướng dẫn giải:: Chọn B. cos x 1 2 2cos x 3cos x 1 0 1 cos x 2 Với cos x 1 x k2 ,k ¢ . 1 Với cos x x k2 ,k ¢ 2 3 Câu 33: Phương trình cos2x 2cos x 11 0 cĩ tập nghiệm là: A. x arccos 3 k2 , k ¢ , x arccos 2 k2 , k ¢ . B.  . C. x arccos 2 k2 , k ¢ . D. x arccos 3 k2 , k ¢ . Hướng dẫn giải:: Chọn B. 2 cos x 3 cos2x 2cos x 11 0 2cos x 2cos x 12 0 vơ nghiệm. cos x 2 Câu 34: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A. sin x 3 0 . B. 2cos2 x cos x 1 0 . C. tan x 3 0 . D. 3sin x 2 0 . Hướng dẫn giải:: Chọn A . sin x 3 0 sin x 3 1 PT vơ nghiệm. x x Câu 35: Phương trình: sin2 2cos 2 0 cĩ nghiệm là: 3 3 A. x k ,k ¢ B. x k3 ,k ¢ C. x k2 ,k ¢ D. x k6 ,k ¢ Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x x 2 x x 2 x x Ta cĩ: sin 2cos 2 0 1 cos 2cos 2 0 cos 2cos 3 0 . 3 3 3 3 3 3
27. Lượng giác – ĐS và GT 11 x cos 1 3 x k2 x k6 k ¢ . x 3 cos 3 (vn) 3 3 Câu 36: Phương trình : cos2 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm là 4 2 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 3 3 C. x k ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 6 6 Hướng dẫn giải:: Chọn B . 1 cos 2x 2 3 2 cos 2x cos 2x 0 4 3 cos 2x (VN) 2 cos 2x cos 2x k2 x k 3 3 6 Câu 37: Nghiệm của phương trình cos2 x – cosx 0 thỏa điều kiện 0 x : A. x . B. x . C. x . D. x . 6 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ cos2 x – cosx 0 cos x cosx 1 0 cos x 0 x k 2 k ¢ cosx 1 0 x k2 1 1 k 0 k 2 2 k 0 Với 0 x 2 k ¢ k ¢ x 1 VN 2 0 k2 0 k 2 3 Câu 38: Nghiệm của phương trình cos2 x cos x 0 thỏa điều kiện: x . 2 2 3 3 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A. cos x 0 x k 2 cos x cos x 0 2 k ¢ cos x 1 x k2 3 Vì x nên nghiệm của phương trình là x . 2 2 Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos2 x – 8cos x – 5 là:
28. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 2 Hướng dẫn giải:: Chọn B. cos x 1 3cos2 x – 8cos x – 5 3cos2 x 8cos x 5 0 5 x k2 k ¢ . cos x 1 3 Câu 40: Nghiệm của pt 2cos2x 2cos x – 2 0 A. x k2 B. x k C. x k2 D. x k 4 4 3 3 Hướng dẫn giải:: Chọn A 2cos 2x 2cos x – 2 0 2 2cos2 x 1 2cos x – 2 0 4cos2 x 2cos x 2 2 0 2 cos x 2 1 2 cos x loai 2 Câu 41: Phương trình 2cos2 x 3cos x 2 0 cĩ nghiệm là A. k2 ,k ¢ . B. k2 ,k ¢ . 6 3 2 C. k2 ,k ¢ . D. k2 ,k ¢ . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B 1 cos x 2cos2 x 3cos x 2 0 2 x k2 ,k ¢ . 3 cos x 2(vn) Câu 42: Phương trình lượng giác: sin2 x 3cos x 4 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ B. x k2 ,k ¢ C. x k ,k ¢ D. Vơ nghiệm 2 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: sin2 x 3cos x 4 0 (1 cos2 x) 3cos x 4 0 cos2 x 3cos x 3 0 Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành: t 2 3t 3 0 (pt vơ nghiệm) Vậy phương trình đã cho vơ nghiêm. Câu 43: Phương trình lượng giác: cos2 x 2cos x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ B. x 0 C. x k2 ,k ¢ D. Vơ nghiệm 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.
29. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 t 1 Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành: t 2t 3 0 t 3 (l) Với t 1 cos x 1 x k2 (k ¢ ). 3 Câu 44: Phương trình sin2 2x 2cos2 x 0 cĩ nghiệm là 4 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 6 4 2 C. x k ,,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A 3 3 sin2 2x 2cos2 x 0 1 cos2 2x 1 cos2x+ 0 4 4 3 cos2x = (vn) 2 3 2 cos 2x cos2x 0 2x k2 x k ,k ¢ 4 1 3 6 cos2x = 2 Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos2 2x cos 2x 2 0 là k A. k . B. . C. k2 . D. k2 . 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A. 2 cos 2x 1 cos 2x cos 2x 2 0 . cos 2x 2 (VN) cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 2 Câu 46: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x 2cos 2x 5 0 là A. k2 . B. k2 . C. k . D. k2 . 3 3 Hướng dẫn giải:: Chọn C. 3cos 4x 2cos 2x 5 0 . cos 2x 1 3 2cos2 2x 1 2cos 2x 5 0 6cos2 2x 2cos 2x 8 0 4 . cos 2x (VN) 3 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin2 2x 3cos 2x 3 0 là A. k ; k . B. k ; k . C. k ; k . D. k ; k . 4 2 4 2 4 4 Hướng dẫn giải:: Chọn A. 3sin2 2x 3cos 2x 3 0 . 2 2 cos 2x 1 3 1 cos 2x 3cos 2x 3 0 3cos 2x 3cos 2x 0 . cos 2x 0 +) cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ .
30. Lượng giác – ĐS và GT 11 k +) cos 2x 0 2x k x k ¢ . 2 4 2 3 3 ; 2 2 2 Câu 48: Nghiệm của phương trình 2cos 2x 3cos 2x 5 0 trong khoảng 3 3 là: 7 5  7 5  7 5  7 5  A. ; ;  . B. ; ;  . C. ; ;  . D. ; ;  6 6 6  6 6 6  6 6 6  6 6 6  . Hướng dẫn giải:: Chọn D. cos 2x 1 2 3 2cos 2x 3cos 2x 5 0 3 3 5 cos 2x Loai . 3 2 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ 3 3 6 7 x 6 k 1 3 3 4 5 Theo đề ra x k k k 0 x . 2 6 2 3 3 6 k 1 5 x 6 2 Câu 49: Giải phương trình 3cos x 2cos x 5 0 . A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D. 5 Ta cĩ:3cos2 x 2cos x 5 0 cos x 1 hoặc cos x (loại vì 1 cos x 1). 3 Khi đĩ, cos x 1 x k2 k ¢ . Câu 50: Phương trình sin2 x sin2 2x 1 cĩ nghiệm là: x k x k 2 3 2 A. (k ¢ ) . B. . x k x k 6 4 x k 12 3 C. . D. Vơ nghiệm. x k 3 Hướng dẫn giải:: Chọn A. Ta cĩ sin2 x sin2 2x 1 1 cos 2x 2(1 cos2 2x) 2 2cos2 2x cos 2x 1 0 .
31. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos 2x 1 2x k2 x k 2 1 (k ¢ ) . cos 2x 2x k2 2 3 x k 6 Câu 51: Phương trình tan2 x 5tan x 6 0 cĩ nghiệm là: A. x k ;xx arctan( 6) k = k ¢ x = 4 C. x k2 ;xx arctan( 6) k2 = k ¢ x = 4 B. x k ;xx arctan( 6) k2 = k ¢ 4 D. x k ;xx arctan( 6) k = k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 t 1 Đặt t tan x , phương trình trở thành: t 5t 6 0 . t 6 Với t 1 ta cĩ tan x 1 x k k ¢ . 4 Với t 6 ta cĩ tan x 6 x arctan 6 k k ¢ . Câu 52: Giải phương trình 3 tan2 x 1 3 tan x 1 0 A. x k , x k , k ¢ . B. x k2 , x k2 , k ¢ . 4 6 3 4 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k , x k , k ¢ . 4 6 3 6 Hướng dẫn giải:: Chọn A. tan x 1 2 3 tan x 1 3 tan x 1 0 3 tan x 3 Với tan x 1 x k ,k ¢ 4 3 Với tan x x k ,k ¢ 3 6 Câu 53: Phương trình tan x 3cot x 4 (với. k ¢ .) cĩ nghiệm là: A. k2 ,arctan 3 k2 . B. k . 4 4 C. arctan 4 k . D. k ,arctan 3 k . 4 Hướng dẫn giải:: Chọn D. Điều kiện x k . tan x 1 x k tan x 3cot x 4 tan2 x 4 tan x 3 0 4 k ¢ . tan x 3 x arctan 3 k
32. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 54: Phương trình tan x 3cot x 4 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là A. k2 ,arctan 3 k2 . B. k . 4 4 C. arctan 4 k . D. k ,arctan 3 k . 4 Hướng dẫn giải:: Chọn D. Đk: sin 2x 0 x k x k . 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với. tan x 1 2 x k tan x 4 tan x 3 0 4 k ¢ . tan x 3 x arctan 3 k Câu 55: Phương trình 3 tan2 x 3 3 tan x 3 0 cĩ nghiệm là x k x k x k x k 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . x k x k x k x k 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:: Chọn A. tan x 1 2 3 tan x 3 3 tan x 3 0 . tan x 3 +) tan x 1 x k k ¢ . 4 +) tan x 3 x k k ¢ . 3 Câu 56: Phương trình 2 tan2 x 3tan x 1 0 cĩ nghiệm là 1 A. k (k ¢ ) . B. k ; arctan( ) (k ¢ ) . 4 2 1 1 C. k2 , arctan( ) (k ¢ ) . D. k ; arctan( ) k (k ¢ ) . 2 2 4 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D. 1 1 x arctan k 2 tan x 2 Ta cĩ 2 tan x 3tan x 1 0 2 (k ¢ ) . tan x 1 x k 4 Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan2 2x 3tan 2x 2 0 là A. k . B. k . C. k . D. k . 8 8 8 2 8 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D. 2 tan 2x 1 tan 2x 3tan 2x 2 0 . tan 2x 2
33. Lượng giác – ĐS và GT 11 k +) tan 2x 1 2x k x k ¢ . 4 8 2 arctan 2 k +) tan 2x 2 2x arctan 2 k x k ¢ . 2 2 Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x 2cot 2x 5 0 là 1 2 1 2 A. k . B. k . C. arctan k . D. arctan k . 4 2 4 2 2 3 2 2 3 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D. ĐK 2x k x k . 2 4 3tan 2x 2cot 2x 5 0 3tan2 2x 5tan 2x 2 0 tan 2x 1 2x k x k 4 8 2 2 k ¢ . tan 2x 2 1 2 3 2x arctan k x arctan k 3 2 3 2 Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan2 x 5tan x 3 0 là : 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 6 Hướng dẫn giải:: Chọn B. Dùng chức năng CALC của máy tính để kiểm tra. Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2 tan x 2cot x 3 0 trong khoảng ; là : 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải:: Chọn D. Điều kiện: sin 2x 0 . Phương trình: 2 tan x 2cot x 3 0 . tan x 2 2 2 tan x 3tan x 2 0 1 tan x 2 Dùng đường trịn lượng giác ta thấy trên khoảng ; phương trình cĩ 3 nghiệm. 2 2 Câu 61: Giải phương trình : tan x 2 tan x 1 0. A. k . B. k . C. k2 . D. k . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải:: Chọn B. Ta cĩ: tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ . 4 Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x cot x 2 là A. x k2 ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . 4 4
34. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x k ,k ¢ . D. x k ,k ¢ . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D tan x cot x 2 Điều kiện: x k 2 1 tan x cot x 2 tan x 2 tan x tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k ,k ¢ 4 tan x 1 Câu 63: Phương trình 2 cot x cĩ nghiệm là: 1 tan x 2 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 3 6 2 8 4 12 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện: x k ; x k ,k ¢ 2 4 2 1 tan x.tan tan x 1 2 tan x cot x 4 2 2 1 tan x 2 4 1 tan x tan x tan 4 2 tan x 1 tan x 2 2 tan x 1 tan x 1 tan2 x 1 tan x 5 x k 2 tan x 2 3 12 tan x 4 tan x 1 0 k ¢ tan x 2 3 x k 12 Câu 64: Phương trình 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x cĩ nghiệm là: A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 6 6 C. x k2 , k ¢ . D. Vơ nghiệm. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: 2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x 2 2 sin xcos x 2 2 cos2 x 3cos2 x 3sin2 x cos2 x sin2 x sin2 x 2sin xcos x 2 2 cos2 x 0 tan2 x 2 tan x 2 2 0 (vì cos x 0 khơng là nghiệm của phương trình) Phương trình vơ nghiệm. sin 3x cos3x Câu 65: Giải phương trình 5 sin x cos 2x 3 . 1 2sin 2x
35. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k2 , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 3 6 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn A 3sin x 4sin3 x 4cos3 x 3cos x pt 5 sin x cos 2x 3 1 2sin 2x 3 sin x cos x 4 sin3 x cos3 x 5 sinx cos 2x 3 1 2sin 2x 1 cos x 5 sin x sin x cos x 2cos2 x 1 3 2cos2 x 5cos x 2 0 2 x k2 3 cos x 2 1 4 tan x Câu 66: Cho phương trình cos4x m . Để phương trình vơ nghiệm, các giá trị của tham sốm 2 1 tan2 x phải thỏa mãn điều kiện: 5 A. m 0 . B. 0 m 1. 2 3 5 3 C. 1 m . D. m hay m . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiện x k , k ¢ . 2 1 4 tan x 1 cos4x m cos4x 4 tan x.cos2 x m cos4x 8sin x.cos x 2m . 2 1 tan2 x 2 1 2sin2 2x 4sin 2x 2m 2sin2 2x 4sin 2x 2m 1 0 1 Đặt t sin 2x t 1;1 \ 0. 1 trở thành 2t2 4t 2m 1 0 2 , 4 4m 2 6 4m . Ta xét 1 cĩ nghiệm, tức là 2 cĩ nghiệm to  1;1 . 3 Nếu 0 m . 2 cĩ nghiệm kép là t 1 , loại do t 1  1;1 \ 0. 2 3 Nếu 0 m . 2 1 Nếu 2 cĩ nghiệm t 0 m nghiệm cịn lại là t 2  1;1 \ 0. 2 2 6 4m 1 1 a 1 1 t1 1 2 Khi m thì 2 phải cĩ hai nghiệm thoả 2 1 t2 1 2 6 4m 1 1 b 2
36. Lượng giác – ĐS và GT 11 5 m 2 6 4m 2 6 4m 4 2 5 3 Giải a , a m . 3 2 2 2 6 4m 2 6 4m 0 m 2 2 6 4m 2 6 4m 4 Giải b , b m  . 2 6 4m 2 6 4m 0 5 3 Khi đĩ, 1 cĩ nghiệm khi m . 2 2 5 3 Vậy 1 vơ nghiệm khi m hoặc m . 2 2 1 2 Câu 67: Phương trình: 48 1 cot 2x.cot x 0 cĩ các nghiệm là cos4 x sin2 x A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 16 4 12 4 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 8 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện: sin 2x 0 x k . 2 cos 2x.cos x sin 2x.sin x cos 2x x 1 Ta cĩ: 1 cot 2x.cot x sin 2x.sin x 2sin2 x.cos x 2sin2 x Do đĩ, phương trình tương đương: 1 1 sin4 x cos4 x 1 48 0 48 1 sin2 2x 3sin4 2x cos4 x sin4 x sin x.cos x 4 2 Đặt t sin2 2x , 0 t 1 ( Do điều kiện sin 2x 0 ). Phương trình trở thành: 1 t n 1 2 2 1 t 3t 2 2 t l 3 1 k Suy ra: sin2 2x cos 4x 0 x , k ¢ 2 8 4 Câu 68: Phương trình cos 2x sin2 x 2cos x 1 0 cĩ nghiệm là x k2 A. , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . x k2 3 x k 3 C. x k2 , k ¢ . D. , k ¢ . 3 x k 3 Hướng dẫn giải: Chọn B cos 2x sin2 x 2cos x 1 0 2cos2 x 1 1 cos2 x 2cos x 1 0 cos2 x 2cos x 1 0 cos x 1 x k2 k ¢
37. Lượng giác – ĐS và GT 11 4 4 3 Câu 69: Phương trình: cos x sin x cos x .sin 3x 0 cĩ nghiệm là: 4 4 2 A. x k2 k ¢ . B. x k3 k ¢ . C. x k4 k ¢ . D. x k k ¢ . 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4 4 3 1 2 1 3 cos x sin x cos x .sin 3x 0 1 sin 2x sin 4x sin 2x 0 4 4 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 sin2 2x cos 4x sin 2x 0 1 sin2 2x 1 2sin2 2x sin 2x 0 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 2x 1 sin 2x sin 2x 1 0 . 2x 2k x k , k ¢ . 2 2 sin 2x 2 (VN) 2 4 Câu 70: Phương trình sin 3x cos 2x 1 2sin x cos 2x tương đương với phương trình: sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 A. . B. . C. 1 . D. 1 . sin x 1 sin x 1 sin x sin x 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình sin 3x cos 2x 1 sin 3x sin x sin x 0 2sin2 x sin x 0 1 . sin x 2 Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x cos 2x 2sin 3xsin 2x 0 trên 0;2  là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải: Chọn A cos x 1 x k2 2 pt cos5x cos2x cos5x cosx 0 2cos x cos x 1 0 1 cos x x k2 2 3 5  Vì x 0;2  x , , . Vậy tổng các nghiệm là 3 . 3 3  cos4x Câu 72: Số nghiệm của phương trình tan 2x trong khoảng 0; là : cos2x 2 A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 1 cos4x Ta cĩ : tan 2x cos4x sin 2x 1 2sin2 2x sin 2x 2sin2 2x sin 2x 1 0 cos2x sin 2x 1 l x k 6 1 k ¢ sin 2x n x k 2 3
38. Lượng giác – ĐS và GT 11 Vì x 0; x ; x 2 6 3 cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 Câu 73: Nghiệm phương trình 1 sin 2x 1 A. x k2 . k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 4 3 C. x k2 , x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ . 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D x k2 4 Điều kiện sin 2x 1 0 x k 4 3 x k2 4 pt cos2 x 2 cos x.sin x 3sin 2 x 3 2 sin x sin 2x 1 2sin2 x 3 2 sin x 1 0 2 x k2 sin x 4 2 x k2 5 4 sin x 2 x k2 l 4 Câu 74: Cho phương trình cos5x cos x cos4x cos2x 3cos2 x 1. Các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là: 2 2 A. , . B. , . C. , . D. , . 3 3 3 3 2 4 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D Phương trình cos5x cos x cos4x cos2x 3cos2 x 1 1 1 cos6x cos4x cos6x cos2x 3cos2 x 1 cos4x cos2x 6cos2 x 2 2 2 2cos2 2x 1 cos2x 3 3cos2x 2 2 cos2x 1 2cos 2x 4cos2x 6 0 x k ,k ¢ . cos2x 3(PTVN ) 2 Vậy các nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình là x , x . 2 2 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (casio 570 VN Plus, ), kiểm tra giá trị x , x 2 2 của đáp án D thỏa. 4 4 4 5 Câu 75: Phương trình: sin x sin x sin x cĩ nghiệm là: 4 4 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 8 4 4 2 2 Hướng dẫn giải:: Chọn B
39. Lượng giác – ĐS và GT 11 4 4 4 5 sin x sin x sin x 4 4 4 2 2 1 2 1 1 5 1 cos2x 1 cos 2x 1 cos 2x 4 4 2 4 2 4 1 cos2x 2 1 sin 2x 2 1 sin 2x 2 5 1 2cos2x cos2 2x 1 2sin 2x sin2 2x 1 2sin 2x sin2 2 5 2 2 cos 2x 0 2cos 2x sin 2x 1 0 cos 2x 2cos 2x 0 x k ,k ¢ . cos 2x 2(PTVN) 4 2 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). Câu 76: Phương trình: cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x cĩ nghiệm là: 4 4 x k2 x k2 x k2 x k2 12 6 3 4 A. . B. . C. . D. . 11 5 2 3 x k2 x k2 x k2 x k2 12 6 3 4 Hướng dẫn giải:: Chọn B cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x 4 4 1 1 cos2x sin 2x sin 2x cos2x 4sin x 2 2 1 sin x 2 2 2 cos2x 4sin x 2 2 1 sin x 2 1 2sin2 x 4sin x 2 2 1 sin x 0 2 2 sin2 x 4 2 sin x 2 0 sin x 2 PTVN x k2 6 1 k ¢ sin x 5 x k2 2 6 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ). Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án D đều khơng thỏa 12 3 4 phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 6 Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án D đều khơng thỏa 8 2 phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra khơng thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 4
40. Lượng giác – ĐS và GT 11 sin 3x cos3x 3 cos2x Câu 77: Cho phương trình: sin x . Các nghiệm của phương trình thuộc 1 2sin 2x 5 khoảng 0;2 là: 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Hướng dẫn giải:: Chọn D 1 Điều kiện: sin 2x . Phương trình đã cho tương đương: 2 3sin x 4sin3 x 4cos3 x 3cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 3 3 3 sin x cos x 4 sin x cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 3 sin x cos x 4 sin x cos x 1 sin x.cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 sin x cos x 1 4sin x.cos x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 sin x cos x 1 2sin 2x 3 cos2x sin x 1 2sin 2x 5 3 cos2x sin x sin x cos x 5cos x 3 cos2x 5 1 cos x 2cos2 x 5cos x 2 0 2 x k2 ,k ¢ . 3 cos x 2 PTVN 5 Vì các nghiệm của phương trình thuộc khoảng 0;2 nên nghiệm của phương trình là x , x . 3 3 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ), kiểm tra các giá trị 5 x , x của đáp án D đều thỏa phương trình. 3 3 Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2 x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos2 x m cĩ nghiệm? A. 0 m 1. B. m 1. C. 0 m 1. D. m 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 cos 2x 1 cos 2x pt m 1 sin 2x m 1 m 2 m 1 sin 2x mcos 2x 2 3m 2 2 Phương trình cĩ nghiệm 4 m 1 2 m2 2 3m 2 4m2 4m 0 0 m 1 Câu 79: Để phương trình: sin2 x 2 m 1 sin x 3m m 2 0 cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: 1 1 1 1 2 m 1 1 m 1 m m A. 2 2 . B. 3 3 . C. . D. . 0 m 1 3 m 4 1 m 2 1 m 3 Hướng dẫn giải::
41. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn B Đặt t sin x . Điều kiện t  1;1 . Phương trình trở thành: t2 2 m 1 t 3m m 2 0 (1). Đặt f t t2 2 m 1 t 3m m 2 . Phương trình cĩ nghiệm thuộc đoạn  1;1 (1) cĩ một nghiệm thuộc  1;1 hoặc cĩ hai nghiệm thuộc  1;1 0 f 1 0 f 1 . f 1 0 hoặc f 1 0 S 1 1 2 4m2 4m 1 0 2 2 2 3m 8m 3 0 3m 8m 3 3m 4m 1 0 hoặc 2 3m 4m 1 0 1 m 1 1 m ¡ 1 1 1 m 1 1 1 m 3 m 3 3 hoặc 3 3 hoặc m  1 1 m 3 m 3 1 m 3 3 2 m 0 1 1 Vậy m hoặc 1 m 3. 3 3 CÁCH KHÁC: Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ), kiểm tra giá trị trong khoảng như 4 3;4 ở đáp án D khơng thoả, 3 1;3 ở đáp án B thì phương trình cĩ nghiệm. Vậy chọn đáp án B. Câu 80: Để phương trình sin6 x cos6 x a | sin 2x | cĩ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0 a . B. a . C. a . D. a . 8 8 8 4 4 Hướng dẫn giải:: Chọn D 3 sin6 x cos6 x a | sin 2x | sin2 x cos2 x 3sin2 x.cos2 x. sin2 x cos2 x a sin2x 3 1 3sin2 x.cos2 x a sin 2x . 1 sin2 2x a sin 2x . 4 2 3 sin 2x 4a sin 2x 4 0 1 . Đặt t sin 2x 0 t 1 1 trở thành 3t2 4at 4 0 2 . Để phương trình 1 cĩ nghiệm thì phương trình 2 phải cĩ nghiệm trong đoạn 0;1. 2 4a 12 0a ¡ Xét phương trình 2 , ta cĩ: , nên 2 luơn cĩ hai nghiệm phân biệt trái dấu. 3. 4 0
42. Lượng giác – ĐS và GT 11 2a 4a2 12 t 0 1 3 Do đĩ các nghiệm t1,t2 t1 t2 thoả 2a 4a2 12 t 0 1 2 3 2a 4a2 12 0 2a 4a2 12 0 a 2 2 2a 4a 12 0 4a 12 2a b . 2a 4a2 12 3 4a2 12 3 2a c Xét a , 2a 4a2 12 2a 4a2 2a 2a 2a 2a 0 2a 4a2 12 0 a ¡ . 4a2 12 0 2a 0 Xét b , b 4a2 12 0 a ¡ . 2a 0 2 2 4a 12 4a 2 3 4a 12 0 a 2 1 Xét c , c 3 2a 0 a 1 4 4a2 12 9 12a 4a2 a 4 Câu 81: Cho phương trình: 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m trong đĩ m là tham số. Để phương trình là vơ nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 A. 1 m 0. B. m 1. 2 3 25 C. 2 m . D. m hay m 0. 2 4 Hướng dẫn giải:: Chọn D 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m 1 2 3 2 2 4 1 sin 2x 8 1 sin 2x 4 1 cos 4x m 2 4 4cos2 4x 4sin2 2x 8 m 0 4cos2 4x 2cos4x 6 m 0 1 Đặt t cos4x t  1;1 . 1 trở thành 4t2 2t 6 m 0 2 , 25 4m . Để tìm m sao cho 1 vơ nghiệm, ta sẽ tìm m sao cho 1 cĩ nghiệm rồi sau đĩ phủ định lại. 1 cĩ nghiệm thì 2 phải cĩ nghiệm thoả to  1;1 . 25 1 25 Nếu 0 m , 2 cĩ nghiệm kép t  1;1 , nên m thoả 1 cĩ nghiệm. 4 4 4 25 1 t1 1 Nếu 0 m , khi đĩ 2 phải cĩ hai nghiệm phân biệt thoả 4 1 t2 1
43. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 25 4m 1 1 a 4 . 1 25 4m 1 1 b 4 m 0 1 25 4m 4 25 4m 5 25 Giải a , a 25 m 0 1 25 4m 4 25 4m 3 m 4 4 1 25 4m 4 25 4m 5 25 4m 0 25 Giải b , b m 4 1 25 4m 4 25 4m 3 25 4m 9 4 25 Kết hợp lại, 1 cĩ nghiệm khi m 0 . 4 25 Do đĩ 1 vơ nghiệm khi m hoặc m 0. 4 CÁCH KHÁC: Bài tĩan đã cho trở thành tìm m sao cho phương trình 4t2 2t 6 m (*) khơng cĩ nghiệm t  1;1 . 2 P : y 4t 2t 6 Đặt d : y m Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của P và d . Phương trình (*) khơng cĩ nghiệm t  1;1 khi chỉ khi P và d khơng giao nhau trong  1;1 . 25 Dựa vào đồ thị ta cĩ m hoặc m 0. 4 sin6 x cos6 x Câu 82: Cho phương trình: 2m.tan 2x , trong đĩ m là tham cos2 x sin2 x số. Để phương trình cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 A. m hay m . B. m hay 8 8 4 1 m . 4 1 1 1 1 C. m hay m . D. m hay m . 8 8 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện: cos 2x 0 3 1 sin2 2x sin 2x pt 4 2m 3sin2 2x 8msin2 2x 4 0 1 cos 2x cos 2x Đặt t sin 2x, 1 t 1 . Phương trình trở thành: 4m 16m2 12 t1 2 3 3t 8mt 4 0 . 4m 16m2 12 t 2 3
44. Lượng giác – ĐS và GT 11 Vì a.c 0 Phương trình 2 luơn cĩ hai nghiệm trái dấu t2 0 t1 . 4m 16m2 12 1 1 2 m 3 16m 12 3 4m 8 Do đĩ 1 cĩ nghiệm 2 2 1 4m 16m 12 16m 12 3 4m m 1 3 8
45. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP + Là phương trình cĩ dạng f(sinx,cosx) 0 trong đĩ luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn (1) hay khơng? Lưu ý: cosx = 0 x k sin2 x 1 sin x 1. 2 Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được: a.tan2 x b.tan x c d(1 tan2 x) Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a d)t2 b.t c d 0 Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc 1 cos2x sin 2x 1 cos2x (1) a. b. c. d 2 2 2 b.sin 2x (c a).cos2x 2d a c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình 6sin2 x 7 3 sin 2x 8cos2 x 6 cĩ các nghiệm là: x k x k 2 4 A. , k ¢ . B. , k ¢ . x k x k 6 3 3 x k x k 8 4 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 2 x k x k 12 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. TH1: cos x 0 sin2 x 1 thỏa phương trình phương trình cĩ nghiệm x k 2 TH2: cos x 0, chia cả hai vế cho cos2 x ta được 2 6 2 2 6 tan x 14 3 tan x 8 2 6 tan x 14 3 tan x 8 6 1 tan x cos x 1 14 3 tan x 14 tan x x k 3 6 Vậy, phương trình cĩ nghiệm x k , x k . 2 6
46. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 2: Phương trình 3 1 sin2 x 2 3 sin x cos x 3 1 cos2 x 0 cĩ các nghiệm là: x k x k A. 4 với tan 2 3 , k ¢ . B. 4 với tan 2 3 , k ¢ . x k x k x k x k C. 8 với tan 1 3 , k ¢ . D. 8 với tan 1 3 , k ¢ . x k x k Hướng dẫn giải: Chọn B. TH1: cos x 0 sin2 x 1 khơng thỏa phương trình. TH2: cos x 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được: tan x 1 x k 2 4 3 1 tan x 2 3 tan x 3 1 0 tan x 2 3 x arctan 2 3 k Câu 3: Giải phương trình 3sin2 2x 2sin 2x cos 2x 4cos2 2x 2. 1 k 1 k A. x arctan 3 , x arctan( 2) ,k ¢ . 2 2 2 2 1 73 k 1 73 k B. x arctan , x arctan ,k ¢ . 12 2 12 2 1 1 73 k 1 1 73 k C. x arctan , x arctan ,k ¢ . 2 6 2 2 6 2 3 k k D. x arctan , x arctan( 1) ,k ¢ . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. TH1: cos 2x 0 sin2 2x 1 khơng thỏa phương trình. TH2: cos 2x 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2 2x ta được: 2 2 2 2 3tan 2x 2 tan 2x 4 2 3tan 2x 2 tan 2x 4 2 1 tan 2x cos 2x 1 k x arctan 3 2 tan 2x 3 2 2 tan 2x tan 2x 6 0 tan 2x 2 1 k x arctan( 2) 2 2 Câu 4: Phương trình 2sin2 x sin x cos x cos2 x 0 cĩ nghiệm là: 1 A. k , k ¢ . B. k ,arctan k , k ¢ . 4 4 2 1 1 C. k ,arctan k , k ¢ . D. k2 ,arctan k2 , k ¢ . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. TH1: cos x 0 sin2 x 1 khơng thỏa phương trình. TH2: cos x 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:
47. Lượng giác – ĐS và GT 11 tan x 1 x k 2 4 2 tan x tan x 1 0 1 tan x 1 2 x arctan k 2 Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình 2sin2 x 5sin x cos x cos2 x 2 là A. k , k ¢ . B. k , k ¢ . C. k , k ¢ . D. k , k ¢ 6 4 4 6 . Hướng dẫn giải: Chọn C. x k khơng là nghiệm của phương trình 2 Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được 2 tan2 x 5tan x 1 2 1 tan2 x 4 tan2 x 5tan x 1 0 tan x 1 x k 4 1 tan x 1 4 x arctan k 4 Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos2 x 6sin x cos x 3 3 là 3 A. k2 , v k ¢ . B. k , k ¢ . C. k , k ¢ . D. k2 , 4 4 4 4 k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 3 cos2 x 6sin x cos x 3 3 3 1 cos 2x 3sin 2x 3 3 1 3 3 3 cos 2x 3sin 2x 3 cos 2x sin 2x 2 2 2 2x k2 x k 3 3 6 4 cos 2x 3 2 2x k2 x k 3 6 12 Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x cos x sin2 x 2 là 1 A. arctan 2 k , k ¢ . B. arctan 2 k , k ¢ . 2 2 1 C. arctan 2 k , k ¢ . D. arctan 2 k , k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. x k khơng là nghiệm của phương trình 2 Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được 3tan x tan2 x 2 1 tan2 x x k 2 tan x 1 tan x 3tan x 2 0 4 tan x 2 x arctan 2 k
48. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin2 x sin x cos x 3cos2 x 0 là 3 3 A. arctan k , k ¢ . B. arctan k , k ¢ . 2 2 3 3 C. arctan k , k ¢ . D. arctan k , k ¢ . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. x k khơng là nghiệm của phương trình 2 Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được tan x 1 x k 2 4 2 tan x tan x 3 0 3 tan x 3 2 x arctan k 2 Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin2 x 4sin x cos x 5cos2 x 2 là 3 A. k2 , k ¢ . B. k , k ¢ . C. k , k ¢ . D. k2 , 4 4 4 4 k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn B. x k khơng là nghiệm của phương trình 2 Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được tan x 1 x k 2 2 2 3tan x 4 tan x 5 2 1 tan x tan x 4 tan x 3 0 4 tan x 3 x arctan 3 k Câu 10: Phương trình :sin 2 x ( 3 1)sin x cos x 3 cos2 x 0 cĩ họ nghiệm là 3 A. k , k ¢ . B. k , k ¢ . 4 4 C. k , k ¢ . D. k , k , k ¢ . 3 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. x k khơng là nghiệm của phương trình 2 Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được tan x 1 x k 2 4 tan x 3 1 tan x 3 0 tan x 3 x k 3 Câu 11: Phương trình 3cos2 4x 5sin2 4x 2 2 3 sin 4x cos 4x cĩ nghiệm là: A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 6 12 2 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 18 3 24 4
49. Lượng giác – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. TH1: cos 4x 0 sin2 4x 1 khơng thỏa phương trình. TH2: cos 4x 0, chia cả hai vế cho cos2 4x ta được 2 2 2 2 3 5tan 4x 2 2 3 tan 4x 3 5tan 4x 2 1 tan 4x 2 3 tan 4x cos 4x 3 k 3tan2 4x 2 3 tan 4x 1 0 tan 4x 4x k x 3 6 24 4 2 2 Câu 12: Trong khoảng 0 ; , phương trình sin 4x 3.sin 4x.cos4x 4.cos 4x 0 cĩ: 2 A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. Hướng dẫn giải: Chọn B Nhận thấy cos4x 0 khơng là nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos4x , ta được phương t: k x 2 tan 4x 1 16 4 tan 4x 3.tan 4x 4 0 ,k ¢ . tan 4x 4 1 k x arctan 4 4 4 5 1 1  Do x 0 ; x ; ; arctan 4 ; arctan 4  2 16 16 4 4 4 2  Câu 13: Phương trình 2cos2 x 3 3 sin 2x 4sin2 x 4 cĩ họ nghiệm là x k 2 A. , k ¢ . B. x k2 , k ¢ . 2 x k 6 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. cos x 0 x k : là nghiệm của phương trình 2 cos x 0 : Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được 1 2 6 3 tan x 4 tan2 x 4 1 tan2 x tan x x k 3 6 2 2 Câu 14: Phương trình 2sin x sin x cos x cos x 0 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là: 1 A. k2 ,arctan( ) k2 . B. k . 4 2 4 1 1 C. k ,arctan( ) k . D. k ,arctan( ) k . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Khi cos x 0 x k : VT 2 VP 0 x k l 2 2
50. Lượng giác – ĐS và GT 11 Khi cos x 0 x k : 2sin2 x sin x cos x cos2 x 0 2 tan2 x tan x 1 0 2 tan x 1 x k 4 1 k ¢ tan x 1 x acr tan k 2 2 Câu 15: Giải phương trình cos3 x sin3 x 2 cos5 x sin5 x 1 1 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 4 4 2 4 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. vì cos x 0 khơng là nghiệm của phương trình nên ta cĩ 1 tan2 x tan3 x(1 tan2 x) 2 1 tan5 x tan5 x tan3 x tan2 x 1 0 (tan2 x 1)(tan3 x 1) 0 tan x 1 x k . 4 cos3 x sin3 x 2 cos5 x sin5 x 2cos5 x cos3 x 2sin5 x sin3 x Cách khác: cos3 x 2cos2 x 1 sin3 x 2sin2 x 1 cos 2x cos3 x sin3 x x k x k 4 2 4 2 ; k ¢ tan x 1 x k 4 Câu 16: Giải phương trình sin2 x 3tan x cos x 4sin x cos x 1 1 A. x k2 , x arctan 1 2 k2 B. x k , x arctan 1 2 k 4 4 2 2 2 2 C. x k , x arctan 1 2 k D. x k , x arctan 1 2 k 4 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình tan2 x tan x(1 tan2 x) 4 tan x 1 tan3 x tan2 x 3tan x 1 0 (tan x 1)(tan2 x 2 tan x 1) 0 x k , x arctan 1 2 k . 4 Câu 17: Giải phương trình sin2 x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 1 2 x k2 x k x k x k 4 4 2 4 3 4 A. B. C. D. 1 2 x k2 x k x k x k 3 3 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình đã cho tương đương với
51. Lượng giác – ĐS và GT 11 tan2 x(tan x 1) 3tan x(1 tan x) 3(1 tan2 x) x k 3 2 4 tan x tan x 3tan x 3 0 x k 3 Câu 18: Giải phương trình 4sin3 x 3cos3 x 3sin x sin2 x cos x 0 1 1 A. x k2 , x k2 B. x k , x k 4 3 4 2 3 2 1 1 C. x k , x k D. x k , x k 4 3 3 3 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta thấy cos x 0 khơng là nghiệm của phương trình Nên phương trình 4 tan3 x 3 3tan x(1 tan2 x) tan2 x 0 tan x 1 3 2 tan x tan x 3tan x 3 0 x k , x k . tan x 3 4 3 Câu 19: Giải phương trình 2cos3 x sin 3x 1 x arctan( 2) k2 x arctan( 2) k 2 A. B. x k2 1 4 x k 4 2 2 x arctan( 2) k x arctan( 2) k 3 C. D. 2 x k x k 4 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình 2cos3 x 3sin x 4sin3 x 2 3tan x 1 tan2 x 4 tan3 x tan3 x 3tan x 2 0 x arctan( 2) k tan x 2 tan x 1 x k 4 Câu 20: Giải phương trình cos2 x 3 sin 2x 1 sin2 x 1 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. B. C. D. x k2 1 2 x k 3 x k x k 3 3 2 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. sin x 0 x k 2 Phương trình 2sin x 2 3 sin x cos x 0 . tan x 3 x k 3 Câu 21: Giải phương trình 2cos2 x 6sin x cos x 6sin2 x 1
52. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 2 1 2 A. x k2 ; x arctan k2 B. x k ; x arctan k 4 5 4 3 5 3 1 1 1 1 C. x k ; x arctan k D. x k ; x arctan k 4 4 5 4 4 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình 5sin2 x 6sin x cos x cos2 x 0 1 Giải ra ta được x k ; x arctan k . 4 5
53. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Là phương trình cĩ dạng: a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Đặt: t cos x sin x 2.cos x ; t 2. 4 1 t2 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t2 1). 2 Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng cĩ dạng a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3’) t 2; 2 Để giải phương trình này ta cũng đặt t sin x cos x 2 sin x 1 t2 4 sin xcos x 2 Thay vào (3’) ta cĩ được phương trình bậc hai theo t. Lưu ý: cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4 Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 Đặt: t cos x sin x 2. cos x m ; Đk : 0 t 2. 4 1 sin x.cos x (t2 1). 2 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. B– BÀI TẬP 1 Câu 1: Phương trình sin x cos x 1 sin 2x cĩ nghiệm là: 2 x k x k 6 2 8 A. , k ¢ . B. , k ¢ . x k x k 4 2 x k x k2 C. 4 , k ¢ . D. 2 , k ¢ . x k x k2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Đặt sin x cos x t, t 2 1 sin 2x t 2 sin 2x t 2 1 1 t 1 TM Ta cĩ phương trình t 1 t 2 1 t 2 2t 3 0 2 t 3 KTM
54. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 t 1 sin x cos x 1 sin x sin x sin 4 2 4 4 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 2 4 4 1 Câu 2: Phương trình sin3 x cos3 x 1 sin 2x cĩ nghiệm là: 2 x k x k2 A. 4 , k ¢ . B. 2 , k ¢ . x k x k2 3 x k 3 4 x k C. , k ¢ . D. 2 , k ¢ . x k x 2k 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 3 sin3 x cos3 x 1 sin 2x sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x 2 2 2 t 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x , t 2 1 sin 2x t sin x cos x 4 2 t 2 1 1 t 1 TM Ta cĩ phương trình t3 3t 1 t 2 1 t3 t 2 3t 3 0 2 2 2 t 3 KTM 1 t 1 sin x cos x 1 sin x sin x sin 4 2 4 4 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 2 4 4 Câu 3: Giải phương trình 2sin 2x sin x cos x 1 0 1 A. x k , x k hoặc x arccos k 2 4 2 2 1 1 1 1 B. x k , x k hoặc x arccos k 3 2 3 4 2 2 3 2 2 1 2 C. x k , x k hoặc x arccos k 3 2 3 4 2 2 3 1 D. x k2 , x k2 hoặc x arccos k2 2 4 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1
55. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 Ta cĩ : 2(t 2 1) t 1 0 2t 2 t 1 0 t 1,t 2 1 t 1 cos x x k2 , x k2 4 2 2 1 1 1 t cos x x arccos k2 2 4 2 2 4 2 2 Câu 4: Giải phương trình sin 2x 12 sin x cos x 12 0 2 A. x k , x k2 B. x k2 , x k 2 2 3 1 2 C. x k , x k D. x k2 , x k2 2 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn D t 2 Đặt t cos x sin x 2 cos x 2 4 sin 2x 1 t 2 1 Ta cĩ: 1 t 12t 12 0 t 1 cos x 4 2 x k2 , x k2 . 2 Câu 5: Giải phương trình sin 2x 2 sin x 1 4 1 1 1 A. x k , x k , x k2 B. x k , x k , x k 4 2 4 2 2 2 2 2 2 C. x k , x k , x k2 D. x k , x k2 , x k2 4 3 2 3 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D t 2 Đặt t 2 sin x sin x cos x 2 4 sin 2x 1 t Ta cĩ: 1 t 2 t 1 t 0,t 1 Từ đĩ ta tìm được: x k , x k2 , x k2 4 2 Câu 6: Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x 11 5 A. x k , x k , x k 4 12 12 2 11 2 5 2 B. x k , x k , x k 4 3 12 3 12 3 11 1 5 C. x k2 , x k , x k2 4 12 4 12 11 5 D. x k2 , x k2 x , x k2 4 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiên: cos x 0
56. Lượng giác – ĐS và GT 11 Phương trình sin x cos x 2 sin 2x t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 1 Ta cĩ: t 2 t 2 1 2t 2 t 2 0 t 2,t 2 11 5 Từ đĩ tìm được: x k2 , x k2 x , x k2 4 12 12 Câu 7: Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x 1 k3 k5 k7 k A. x B. x C. x D. x 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 sin 2x 1 t Đặt t sin x cos x 2 cos x 4 0 t 2 k Ta cĩ: t 2(1 t 2 ) 1 2t 2 t 1 0 t 1 sin 2x 0 x 2 Câu 8: Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x 2 A. x k2 , x k , x k B. x k , x k , x k 4 2 4 3 2 1 2 C. x k , x k , x k2 D. x k , x k2 , x k2 4 3 2 3 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình (sin x cos x)(1 sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x) sin x cos x 1 sin x cos x cos x sin x 0 Từ đĩ ta tìm được: x k , x k2 , x k2 4 2 Câu 9: Giải phương trình cos3 x sin3 x 2sin 2x sin x cos x k3 k5 k A. x B. x C. x k D. x 2 2 2 Hướng dẫn giải: Phương trình cos x sin x 1 sin x cos x 2sin 2x sin x cos x t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 2 t 1 2 2 k Ta cĩ: t 1 2(t 1) t t 1 sin 2x 0 x 2 2 1 1 10 Câu 10: Giải phương trình cosx sinx cos x sin x 3 2 19 2 19 A. x arccos k2 B. x arccos k2 4 3 2 4 2 2 19 2 19 C. x arccos k D. x arccos k2 4 2 4 3 2
57. Lượng giác – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: sin x cos x 10 Phương trình sin x cos x sin x cos x 3 t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 2t 10 Ta cĩ: t 3t(t 2 1) 6t 10(t 2 1) (t 1) t 2 1 3 2 19 3t3 10t 2 3t 10 0 (t 2)(3t 2 4t 5) 0 t 3 2 19 2 19 cos x x arccos k2 4 3 2 4 3 2 Câu 11: Cho phương trình sin x cos x sin x cos x m 0 , trong đĩ m là tham số thực. Để phương trình cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 1 A. 2 m 2 . B. 2 m 1. C. 1 m 2 . D. 2 m 2 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 t 1 Đặt t sin x cos x 2 sin x , t 2 1 sin 2x t sin x cos x 4 2 2 t 1 1 2 1 Ta cĩ phương trình t m 0 m t t 1 . 2 2 2 Phương trình cĩ nghiệm khi phương trình 1 cĩ nghiệm t 2; 2 1 1 Xét hàm số y t 2 t trên 2; 2 2 2 x 2 1 2 1 y 1 1 2 2 2 2 1 Từ BBT suy ra 2 m 1 2 Câu 12: Phương trình 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 cĩ nghiệm là x k 3 x k A. , k ¢ . B. 4 , k ¢ . 5 x k x 5 k 3 x k x k 6 12 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 5 5 x k x k 4 12 Hướng dẫn giải: Chọn D.
58. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x , 0 t 2 1 sin 2x t sin 2x t 1 4 t 6 KTM 2 2 Ta cĩ 2 t 1 3 6t 8 0 2t 3 6t 6 0 6 . t TM 2 sin x sin 6 3 4 3 t sin x 2 4 2 sin x sin 4 3 x k2 x k2 4 3 12 2 5 x k2 x k2 x k 4 3 12 12 . 7 5 x k2 x k2 x k 4 3 12 12 4 13 x k2 x k2 4 3 12