Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 3 - Chủ đề 1: Nguyên hàm

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 3 - Chủ đề 1: Nguyên hàm

1. Chủ đề . NGUYÊN HÀM Thời lượng dự kiến: 5 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số; - Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm 2. Kĩ năng - Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần - Sử dụng được phương pháp đổi biến số(Khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổ biến số quá một lần) để tính nguyên hàm 3.Về tư duy, thái độ - Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Biết phối hợp hoạt động nhóm, bước đầu hiểu được khái niệm nguyên hàm. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động +Nội dung: Trò chơi “Ai nhanh hơn?”: Mỗi nhóm viết lên bảng phụ các hàm số mà đạo hàm của nó bằng hàm số cho +Dự kiến kết quả: Trả lời được phiếu trước: học tập số 1 và bước đầu nắm được +Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp. khái niệm nguyên hàm. +Phiếu học tập số 1: Cho học viết các hàm số mà đạo hàm + Đánh giá kết quả hoạt động: Học bằng hàm số cho trước. sinh tham gia sôi nổi tiếp cận khái +GV đặt vấn đề vào bài mới. niệm nguyên hàm. B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu:- Hiểu và nắm được định nghĩa, điều kiện tồn tại nguyên hàm, các phương pháp tính nguyên hàm. -Làm được các bài tập về nguyên hàm. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh I. Nguyên hàm và các tính chất Sản phẩm: Học sinh đưa ra được định nghĩa 1. Nguyên hàm nguyên hàm và các yếu tố cơ bản về nguyên Định nghĩa: Cho K là một khoảng hoặc đoạn hoặc hàm. nửa khoảng. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F (x) f (x);x K Học sinh có thể đưa ra 3 2 Ví dụ 1: + x C là một nguyên hàm của 3x trên ¡ 1 1) x3 là một nguyên hàm của 3x2 trên ¡ + tan x C là một nguyên hàm của 2 7 1 cos x 2) tan x là một nguyên hàm của 2 trên cos x trên ; 2 2
2. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh ; 2 2 Học sinh dựa vào định nghĩa, phát biểu định lý. Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi C R ; F(x) C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số Kết quả VD2: f (x) trên K mỗi nguyên hàm của f (x) trên K Học sinh đứng tại chỗ trả lời kết quả của ví dụ. đều có dạng F(x) C Tóm lại: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì họ các nguyên hàm của f (x) trên K là F(x) C,C R . Và được kí hiệu là f (x)dx . Như vậy ta có: f (x)dx F(x) C;C R Ví dụ 2: 4x3dx x4 C 1 dx cot x C sin2 x +Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp 2. Các tính chất của nguyên hàm +Nội dung: Tính chất 1: f (x)dx f (x) C Kết quả 3: Học sinh phát biểu được tính chất của nguyên hàm. Tính chất 2: k  f (x)dx k f (x)dx Tính chất 3: ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx Kết quả 4: Học sinh làm được VD3 VD3: Tìm nguyên hàm: x2 a) f (x) x 2cosx a) f (x)dx 2sin x C 2 2 x b) f (x) 3x 5e b) f (x)dx x3 5ex C 1 c) f (x) x2 sinx 1 2 c) f (x)dx x3 cos x C +Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp 6 3. Sự tồn tại nguyên hàm +Nội dung: Định lí 3: Kết quả: Học sinh nắm được nội dung định lí 3 Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. +Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số Kết quả 1: Trả lời được phiếu học tập số 2. +Nội dung: Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản (SGK) Kết quả 2: Học sinh nắm được bảng nguyên +Ví dụ: Tính các nguyên hàm hàm của một số hàm số cơ bản. 1 A = 2x2 dx 3 2 Kết quả 3: Học sinh làm được bài tập. x 2 3 3 x 1 A = x 3 x C B = 3cos x 3 dx 3 1 3x 1 C = dx B = 3sin x C sin2 x cos2 x ln 3
3. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh x 1 C = tan x cot x C D = dx 2 1 x D = ln x C +Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp x Phiếu học tập số 2: Cho bảng đạo hàm và cho HS điền vào chỗ trống, từ đó suy bảng nguyên hàm. II. Các phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến + Nội dung: a)Định lí 1: Nếu f (u)du F(u) C với u u(x) có đạo hàm liên tục thì f (u(x))u (x)dx F(u(x)) C b)Hệ quả: Nếu f (u)du F(u) C thì 1 f (ax b)dx F(ax b) C,(a 0) a Ví dụ 1: Áp dụng hệ quả: Tính 2 1 1 3 1 3 2x 1 dx . 2x 1 C 2x 1 C Kết quả 1: Học sinh nắm được tính nguyên hàm 2 3 6 bằng phương pháp đổi biến số. c)Các bước phương pháp đổi biến: Giả sử tính A f (u(x))u (x)dx . Bước 1: Đặt t u(x) Kết quả 2: Học sinh làm được ví dụ 2. Bước 2: Tính dt u (x)dx a. Đặt t x 1 dx dt . Ta có t11 (x 1)11 Bước 3. Thay các yếu tố trên vào biểu thức A (x 1)10dx t10dt C C A f (u(x))u (x)dx 11 11 1 b. Đặt t ln x dt dx . Ta có ta có: A f (t)dt F(t) C x Bước 4: Thay ngược lại ta có A F(u(x)) C ln x t 2 ln2 x B dx tdt C C Ví dụ 2 . Tính các nguyên hàm sau: x 2 2 ln x a) A (x 1)10dx b) B dx x c. Đặt t x 1 x t 1 dx dt . Ta có: x c)C dx 3 x t 1 1 1 (x 1) C dx dx dt 3 3 4 3 +Phương thức tổ chức: Tập thể - tại lớp (x 1) t t t 1 1 S 3t3 4t 4 Hay: 1 1 C C 3(x 1)3 4(x 1)4 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần +Nội dung: a)Định lí 2: Nếu hai hàm số u(x) ; v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx Chú ý: Vì v (x)dx dv ; u (x)dx d u nên có thể viết lại đẳng thức trên như sau: udv uv vdu Kết quả 1: Học sinh nắm được các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm (Công thức nguyên hàm từng phần) từng phần.
4. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh b) Các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần : Giả sử tính A u(x)v (x)dx u u(x) du u (x)dx Bước 1 : Đặt dv v (x)dx v v(x) Bước 2 : udv uv vdu Bước 3: Tính vdu và thay vào ta có kết quả. Kết quả 2: Học sinh làm được ví dụ 3: Ví dụ 3: Tính a) Đặt u x và dv exdx , ta có du dx và a) xexdx b) x cos xdx c) lnxdx v ex Do đó : exdx xex exdx xex ex C +Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp b) Đặt u x và dv = cosxdx , ta có du dx và v sinx . Do đó x cos xdx xsin x sinxdx xsin x cos x C 1 c) Đặt u lnx và dv dx , ta có du dx và x v x . Do đó lnxdx x ln x dx x ln x x C Củng cố: Cách đặt u ; dv trong một số dạng nguyên hàm thường gặp P(x)exdx P(x)cos xdx P(x)sin xdx P(x)ln xdx u P(x) P(x) P(x) ln x dv exdx cos xdx sin xdx P(x)dx C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu:Trên cơ sở các kiến thức đã học, học sinh vận dụng được các kiến thức đã học về phương pháp đỗi biến số để giải quyết một số bài cụ thể. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh 1. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến Kết quả 1: Học sinh nhắc lại được phương pháp số. đổi biến: 1.1. Tóm tắt kiến thức về phương pháp đổi biến Bước 1: Đặt t u(x) số: Bước 2: Tính dt u (x)dx +Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp Bước 3. Thay các yếu tố trên vào biểu thức A f (u(x))u (x)dx ta có: A f (t)dt F(t) C Bước 4: Thay ngược lại ta có A F(u(x)) C 1.2. Bài tập luyện tập:
5. +Nội dung: Kết quả 2: Giải bài tập số 1. Bài 1. Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp a) (1 x)9dx đổi biến theo hướng dẫn trong bài: Đặt t 1 x dt dx 1 a) (1 x)9dx (Đặt t 1 x ) (1 x)9dx t9dt t10 C 10 3 b) cos x sin xdx (Đặt t cos x ) 1 10 1 x C 3 10 c) x 1 x2 2 dx (Đặt t 1 x2 ) b) cos3 x sin xdx dx d) (Đặt t ex 1) Đặt t cos x dt sin xdx sin xdx dt ex +e-x +2 1 cos3 x sin xdx t3dt t 4 C 4 1 cos4 x C 4 3 c) x 1 x2 2 dx 1 Đặt t 1 x2 dt 2xdx xdx dt 2 3 1 3 1 2 5 x 1 x2 2 dx t 2 dt . t 2 C 2 2 5 1 5 1 x2 2 C 5 dx d) ex +e-x +2 dx exdx Ta có: x -x 2 e +e +2 ex +1 Đặt t ex 1 dt exdx dx exdx dt 1 C x -x 2 2 e +e +2 ex +1 t t 1 C ex 1 Kết quả 3: Giải bài tập số 2. Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau: 1 1 1 a) dx ln 2x 1 C a) dx b) sin(1 3x)dx 2x 1 2 2x 1 1 1 x b) sin(1 3x)dx cos(1 3x) C c) 3 dx d) 2x 3dx 3 31 x c) 31 xdx ln 3 1 d) 2x 3dx (2x 3) 2x 3 C 3 Kết quả 4: Giải bài tập số 3. sin x Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau: a) tanxdx dx 2 cos x x e 1 3x a) tanxdx b) dx Đặt t cos x dt sin xdx . Do đó: 2 1 3x sin x dt tanxdx dx ln | t | C sin( 1 3x) dx cos x t c) dx d) 2 1 3x x 5x 6 tanxdx ln | cos x | C
6. b) Đặt t 1 3x2 t 2 1 3x2 2tdt 6xdx 1 xdx tdt 3 2 +Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp x e 1 3x 1 1 dx etdt et C 2 1 3x 3 3 1 2 e 1 3x C 3 c) Tương tự :Đặt t 1 3x dx A B d) Biến đổi: dx dx x2 5x 6 x 2 x 3 1 A B (A B)x 3A 2B (x 2)(x 3) x 2 x 3 (x 2)(x 3) A B 0 A 1 3A 2B 1 B 1 dx 1 1 dx dx x2 5x 6 x 3 x 2 ln x 3 ln x 2 C x 3 ln C x 2 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên Kết quả 1: Học sinh nhắc lại được nguyên hàm hàm từng phần. từng phần. 2.1. Tóm tắt kiến thức về phương pháp nguyên Giả sử tính A u(x)v (x)dx hàm từng phần. +Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp u u(x) du u (x)dx Bước 1 : Đặt dv v (x)dx v v(x) Bước 2 : udv uv vdu Bước 3: Tính vdu và thay vào ta có kết quả. 2.2. Bài tập luyện tập: Kết quả 4: Giải bài tập số 3. +Nội dung: a) Đặt u ln(1 x) và dv xdx , ta có 1 x2 Bài tập 4. Tính: du dx và v . Do đó a) A x ln(1 x)dx 1 x 2 x2 x2 b) B x2 2x 1 exdx x ln(1 x)dx ln(1 x) dx 2 2(1 x) c) C xsin(2x 1)dx x2 1 1 d) D (1 x)cos xdx ln(1 x) x 1 dx 2 2 1 x +Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp 1 x2 x x2 1 ln(1 x) C 2 4 2 b) Đặt u x2 2x 1 và dv exdx , ta có du 2x 2 dx và v ex .Do đó x2 2x 1 exdx x2 2x 1 ex 2 (x 1)exdx x Lại đặt u1 x 1 và dv1 e dx ,
7. x ta có du1 dx và v1 e . Khi đó (x 1)exdx (x 1)ex exdx xex C Từ đó, ta được x2 2x 1 exdx x2 1 ex C c) Đặt u x và dv sin 2x 1 dx , ta có 1 du dx và v cos 2x 1 .Do đó 2 1 1 xsin(2x 1)dx xcos(2x 1) cos(2x 1)dx 2 2 1 1 x cos 2x 1 sin 2x 1 C 2 4 d) Đặt u 1 x và dv cosxdx , ta có du dx và v sinx . Do đó (1 x)cos xdx (1 x)sin x sinxdx (1 x)sin x cos x C D HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu: Học sinh vận dụng được các kiến thức đã học để giải quyết một số bài cụ thể và tìm được cách giải quyết bài toán thực tế. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh Bài toán 1: Kết quả: Một vật chuyển động với vận tốc v t m/s có 3 3 gia tốc a t m/s2 . Vận tốc ban đầu của v(t) a(t)dt dt 3ln | t 1| C . t 1 t 1 v(0) 3ln1 C 6 C 6 . vật là 6 m/s . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là Vậy v(10) 3ln11 6 . bao nhiêu? +Hình thức tổ chức: Theo nhóm – tại nhà Bài toán 2: Trong một phòng thí nghiệm, người ta Kết quả: quan sát một đám vi trùng ban đầu có 250000 con, tới ngày thứ n thì số lượng vi trùng trong Ta có 4000 4000 đám ấy là f n con, với f n . Gọi x f n f n dn dn 1 0,5n 1 0,5n là số lượng vi trùng trong đám ấy sau 10 ngày, 8000 . tính giá trị của x. d n+2 8000ln n 2 C. 2 n +Hình thức tổ chức: Theo nhóm – tại nhà f 0 8000ln 2 C 250000 C 250000 8000ln 2 f 10 8000ln10 C . 8000ln10 250000 8000ln 2 262876. Vậy x 262876. Bài toán 3: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc v 3 m/s thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số có đồ thị hàm số là đường thảng như hình bên. Sau 15s tăng
8. tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn đê phóng khỏi mặt đất .Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất. Kết quả: Đường thẳng a(t) mt n đi qua gốc tọa độ O 0;0 và điểm A 15;90 nên m.0 n 0 n 0 suy ra a(t) 6t m.15 n 90 m 6 Ta hiểu rằng: Nguyên hàm của gia tốc a t chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có công thức vận tốc v t được tính theo công thức v(t) a(t)dt 6tdt 3t 2 C +Hình thức tổ chức: Theo nhóm – tại nhà Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như t = 0 và GV phân tích bài toán: vận tốc lúc đê là v 3 m/s •Máy bay bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận Suy ra tốc là hàm số a(t) , và đề bài chưa cho công thức v(0) 3 3.02 C 3 C 3 v(t) 3t 2 3 a(t) , nên bước đầu ta cần tìm công thức a(t) Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng •Vì đồ thị hàm số a(t) là đường thẳng nên có khỏi mặt đất là dạng a(t) mt n , đường thẳng này đi qua gốc v(15) 3.152 3 678(m/s) tọa độ 0 0; 0 và điểm A 15;90 từ đó suy ra phương trình a(t) •Nhớ rằng: Nguyên hàm của gia tốc a(t) chính là vận tốc v(t) của vật chuyển động nên ta có • v(t) a(t)dt •Chú ý điều kiện vận tốc của máy bay lúc bắt đầu tăng tốc là v(0) 3(m/s) , từ đây ta suy ra được hàm số v(t) •Đê’ tính vận tốc của máy bay lúc rời khỏi mặt đất ta chỉ cần tính v 15 . GV cho HS xung phong lên bảng làm: IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC. A. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 1 NHẬN BIẾT
9. Câu 1: Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx. g x dx .B. 2 f x dx 2 f x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx .D. f x g x dx f x dx g x dx . Lời giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 2: Mệnh đề nào dưới đây đúng? 32x 9x A. 32x dx C .B. 32x dx C . ln 3 ln 3 32x 32x 1 C. 32x dx C .D. 32x dx C . ln 9 2x 1 Lời giải Chọn C 9x 32x Vì 32x dx 9x dx C C . ln 9 ln 9 Câu 3: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4 C 1 A. x3dx .B. dx ln x C . 4 x C. sin xdx C cos x . D. 2exdx 2 ex C . Lời giải Chọn B 1 Ta có dx ln x C . x Câu 4: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x 1 5 ? 3x 1 6 3x 1 6 A. F x 8 .B. F x 2 . 18 18 3x 1 6 3x 1 6 C. F x . D. F x . 18 6 Lời giải Chọn D 1 1 ax b Áp dụng ax b dx C với 1 và C là hằng số. a 1 Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. 2 THÔNG HIỂU x2 x 1 Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . x 1 1 1 x2 A. x C .B. 1 C .C. ln x 1 C .D. x2 ln x 1 C . x 1 x 1 2 2 Lời giải: Chọn C x2 x 1 1 Ta có f x x x 1 x 1 x2 f x dx ln x 1 C . 2
10. ln x Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f x . x 1 A. f x dx ln2 x C .B. f x dx ln2 x C . 2 C. f x dx ln x C D. f x dx ex C Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có f x dx ln xd ln x ln2 x C . 2 1 Câu 7: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 1. Tính F 3 . x 1 1 7 A. F 3 ln 2 1.B. F 3 ln 2 1.C. F 3 .D. F 3 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F(x) dx ln x 1 C . x 1 Theo đề F 2 1 ln1 C 1 C 1. Vậy F 3 ln 2 1. Câu 8: Cho hàm số f x thỏa mãn f x 3 5cos x và f 0 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 5sin x 2 .B. f x 3x 5sin x 5 . C. f x 3x 5sin x 5 .D. f x 3x 5sin x 5. Lời giải Chọn C Ta có f x 3 5cos x dx 3x 5sin x C . Lại có: f 0 5 3.0 5sin 0 C 5 C 5 . Vậy f x 3x 5sin x 5 . 3 VẬN DỤNG 1 Câu 9: Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x , thỏa mãn F 0 . Tính giá trị biểu thức ln 2 T F 0 F 1 F 2 F 2017 . 22017 1 22017 1 22018 1 A. T 1009. .B. T 22017.2018 . C. T .D. T . ln 2 ln 2 ln 2 Lời giải Chọn D 2x Ta có: F x f x dx 2x dx C . ln 2 1 1 1 2x Mà F 0 C C 0 F x . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó: 20 2 22 22017 1 1 22018 22018 1 T F 0 F 1 F 2 F 2017 . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 2 ln 2 Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln x . 1 3 2 3 A. f x dx x 2 3ln x 2 C .B. f x dx x 2 3ln x 2 C . 9 3
11. 2 3 2 3 C. f x dx x 2 3ln x 1 C .D. f x dx x 2 3ln x 2 C . 9 9 Lời giải Chọn A I f x dx x ln x.dx . 1 Đặt: t x dt dx 2tdt dx . 2 x I 2 t 2 ln t 2.dt 4 t 2 ln t.dt . 1 du dt u ln t t Đặt: . dv t 2dt t3 v 3 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3 I 2 t ln t t dt 2 t ln t t C t 3ln t 1 C 3 3 3 9 9 2 3 x 2 3ln x 1 C 9 1 3 x 2 3ln x 2 C . 9 1  2 Câu 11: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x , f 0 1 và f 1 2 . Giá trị 2 2x 1 của biểu thức f 1 f 3 bằng A. 4 ln15 .B. 2 ln15 .C. 3 ln15.D. ln15 . Lời giải Chọn C 2 1  Ta có: f x f x dx dx ln 2x 1 C , với mọi x ¡ \ . 2x 1 2 1 + Xét trên ; . Ta có f 0 1, suy ra C 1. 2 1 Do đó, f x ln 2x 1 1, với mọi x ; . Suy ra f 1 1 ln 3. 2 1 + Xét trên ; . Ta có f 1 2 , suy ra C 2 . 2 1 Do đó, f x ln 2x 1 2 , với mọi ; . Suy ra f 3 2 ln 5. 2 Vậy f 1 f 3 3 ln 3 ln 5 3 ln15. x 1 Câu 12: Cho a là số thực dương. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số f x e ln ax x 1 2018 thỏa mãn F 0 và F 2018 e . Mệnh đề nào sau đây đúng ? a 1 1 A. a ;1 .B. a 0; . C. a 1;2018 . D. a 2018; . 2018 2018 Lời giải Chọn A x x 1 x e I e ln ax dx e ln ax dx dx (1) x x  Tính ex ln ax dx :
12. 1 u ln ax du dx ex Đặt x ex ln ax dx ex ln ax dx x dv e dx x x v e  Thay vào (1), ta được: F x ex ln ax C . 1 1 F 0 e a .ln1 C 0 C 0 e Với a Û Û Þ a . 2018 2018 ln a.2018 1 2018 2018 e ln a.2018 C e F 2018 e 1  Vậy a ;1 . 2018 4 VẬN DỤNG CAO Câu 13: Cho hàm số f x 0 ; f x 2x 1 . f 2 x và f 1 0,5 . a a Tính tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 ; a ¢ ;b ¥ với tối giản. Chọn khẳng b b định đúng a A. 1.B. a 2017;2017 .C. b a 4035.D. a b 1. b Lời giải Chọn C f x f x Ta có: f x 2x 1 . f 2 x 2x 1 dx 2x 1 dx f 2 x f 2 x 1 1 x2 x C x2 x C . f x f x Lại có: f 1 0,5 2 12 1 C C 0 . 1 1 Vậy x2 x x x 1 hay f x . f x x x 1 1 1 1 1 Ta có: f 1 f 2 f 3 f 2017 1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 1 1 1 1 1 1 1 2017 1 1 . 2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018 2017 Vậy f 1 f 2 f 3 f 2017 hay a 2017 , b 2018 b a 4035. 2018 f x x Câu 14: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên ¡ ; thỏa mãn f 0 1 và . Khi đó hiệu f x x2 1 T f 2 2 2 f 1 thuộc khoảng A. 2;3 .B. 7;9 .C. 0;1 .D. 9;12 . Lời giải Chọn C 2 f x x d f x 1 d x 1 Ta có dx dx . f x x2 1 f x 2 x2 1 1 Vậy ln f x ln x2 1 C , mà f 0 1 C 0 . Do đó f x x2 1 . 2 Nên f 2 2 3; 2 f 1 2 2 f 2 2 2 f 1 3 2 2 0;1 .
13. Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc v t có gia tốc là a t 3t 2 t m/s2 . Vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s . Hỏi vận tốc của vật sau 2s . A. 8m/s . B. 16m/s . C. 10m/s . D. 12m/s . Lời giải Chọn D t 2 Ta có v t a t dt 3t 2 t dt t3 c . 2 Ban đầu vật có vận tốc 2 m/s v 0 2 c 2 . t 2 v t t3 2 v 2 12 . 2 B. PHẦN TỰ LUẬN: 1 NHẬN BIẾT Bài 1: Hàm số F x là nguyên hàm của f x ex 3x2 trên tập số thực. Tìm F x . Lời giải: F x ex x3 1. 2 THÔNG HIỂU x x Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin2 cos2 . 2 2 Lời giải: x x Ta thấy f (x) sin2 cos2 cos x nên f (x)dx cos xdx sin x C 2 2 3 VẬN DỤNG Bài 3: Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 1, f x f x . 3x 1, với mọi x 0 .Tính f 5 . Lời giải: f x 1 f x 1 Ta có f x f x . 3x 1 dx dx f x 3x 1 f x 3x 1 2 d f x 1 2 3x 1 C dx ln f x 3x 1 C f x e 3 f x 3x 1 3 4 4 C 4 Mà f 1 1 nên e 3 1 C . Suy ra f 5 e 3 3,794 . 3 4 VẬN DỤNG CAO Bài 4: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ v(x) 10 2 2x 1 (người/tháng). Tính dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới. Lời giải: -Gọi f (x) là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ. - Tốc độ thay đổi của dân số là v(x) 10 2 2x 1 - Suy ra f (x) (10 2 2x 1)dx 10x 2 2x 1dx 1 1 1 3 - Mà 2x 1dx (2x 1) 2 d(2x 1) (2x 1) 2 C 2 3
14. 2 3 - Do đó f (x) 10x (2x 1) 2 C 3 -Số dân trong 4 tháng tới là: 2 3 2 f (4) f (0) 10.4 (2.4 1) 2 C 0 C 57 người 3 3 V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1: Phiếu bài tập trong tình huống khởi động Cho các hàm số a) f (x) 2x b) f (x) cos x 1 c) f (x) x 1 d) f (x) cos2 x e) f (x) 1 f) f (x) 0 Hãy tìm các hàm số F(x) tương ứng sao cho F (x) f (x) PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2: Hày điền và chỗ trống C 0dx= dx x x dx 1 1 x , ( 1) 1 1 dx x ln x exdx ex a xdx a x cosxdx , (a 0,a 1) ln a sinxdx 1 sin x dx cos2 x cos x 1 dx sin2 x tan x cot x 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 1. Nguyên hàm Biết nguyên hàm của Hiểu nguyên hàm hàm số f(x) của hàm số f(x) 2. Tính chất của Biết các tính chất của Hiểu các tính Tìm nguyên hàm
15. Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao nguyên hàm nguyên hàm chất của nguyên của một số hàm số hàm đơn giản 3. Sự tồn tại của Biết sự tồn tại của Hiểu sự nguyên Tìm nguyên hàm nguyên hàm nguyên hàm hàm của hàm số của một số hàm số f(x) đơn giản 4. Bảng nguyên Biết bảng nguyên hàm Hiểu bảng Tìm nguyên hàm Biết cách tính hàm của một số nguyên hàm của một số hàm số nguyên hàm bằng hàm số thường gặp đơn giản phương pháp đồng nhất 5. Phương pháp Nhận biết phương Hiểu phương Tìm nguyên hàm Tìm nguyên hàm đổi biến số pháp đổi biến số pháp đổi biến số của một số hàm số của một số hàm đơn giản số phức tạp 6. Phương pháp Nhận biết phương Hiểu phương Tìm nguyên hàm Tìm nguyên hàm từng phần pháp từng phần pháp từng phần của một số hàm số của một số hàm đơn giản số phức tạp