Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 1 - Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 1 - Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Thời lượng dự kiến : 04 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số trên một tập hợp số. Nắm được qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn 2. Kĩ năng Biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Phân biệt việc tìm GTLN, GTNN với tìm cực trị của hàm số. Dựa vào đồ thị chỉ ra được GTLN,GTNN của hàm số. Biết vận dụng GTLN và GTNN vào giải các bài toán có chứa tham số Biết vận dụng GTLN và GTNN vào giải các bài toán thực tế. 3.Về tư duy, thái độ Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. Tích cực, chủ động, tự giác trong chiếm lĩnh kiến thức, trả lời các câu hỏi. Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển : Năng lực tự học : Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót. – Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập. – Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao. – Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp. – Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề. – Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học . – Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Biết phối hợp hoạt động nhóm và sử dụng tốt kỹ năng tìm GTLN và GTNN Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động
2. Câu 1. Cho hàm số y x2 2x 2 có đồ thị hình bên. Nhìn vào đồ thị tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên ¡ . y + Dự kiến sản phẩm : Học sinh nắm được tình huống dựa vào 2 BBT, đồ thị để tìm GTLN và 1 GTNN. x + Đánh giá hoạt động : Học sinh O 1 tham gia hoạt động nhóm sôi nổi để tìm ra lời giải Nhìn vào đồ thị tìm giá trị lớn Câu 2. Một vị trí trên bờ biển cách một hòn đảo một nhất, giá trị nhỏ nhất. khoảng ngắn nhất là 1km, đồng thời vị trí đó cách nhà GTLN của hàm số không có máy phát điện 4km. Người ta muốn làm đường dây điện GTNN của hàm số bằng 1 nối từ nhà máy tới đảo. Biết rằng chi phí làm đường điện trên mặt đất là 3000USD mỗi ki-lô-mét và dưới đường bờ biển là 5000USD mỗi ki-lô-mét. Hỏi để có thể truyền điện tới đảo, chi phí làm dường dây ít tốn kém nhất bằng bao nhiêu ? A. 16.0000USD B. 20.0000USD C. 12.0000USD D. 18.0000USD B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: - Nắm được định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số. - Nắm được kí hiệu GTLN, GTNN của hàm số. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 1. Định nghĩa + Nắm được định nghĩa giá trị lớn Cho hàm số y f x xác định trên tập D . nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x x D, f x M trên D nếu + Học sinh nắm được định nghĩa x D, f x M 0 0 Như vậy để có được M (hoặc m ) Kí hiệu : M max f x là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) D của hàm số f trên D ta phải chỉ b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x ra được : f x M f x m x D x D, f x m a) trên D nếu b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 D, f x0 m x0 D sao cho f x0 M (hoặc Kí hiệu: M min f x D f x0 m ) x2 1 Ví dụ 1. Hàm số y có bảng biến thiên: x + Học sinh quan sát bảng biến x – ∞ – 1 0 1 + ∞ thiên và đồ thị để hiểu và tìm được y' + 0 – – 0 + giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) f – 2 – ∞ + ∞ của hàm số y – ∞ – ∞ 2 + Kết quả 1. Học sinh tiếp thu được định nghĩa và áp dụng làm a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng được ví dụ, thảo luận nhóm và đại ;0 diện các nhóm nêu kết quả tìm b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng được. 0; + Giáo viên nhận xét bài giải của các nhóm, chỉnh sửa. Lời giải : . a) Trên khoảng ;0 hàm số không có GTNN; GTLN của hàm số là max y 2. ;0 b) Trên khoảng 0; hàm số không có GTLN; GTNN của hàm số là min y 2 0; + Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân - tại lớp Ví dụ 2. Cho hàm số y = f (x) và có bảng biến thiên trên é ë- 5;7)như sau : + Kết quả 2. Học sinh tiếp thu được định nghĩa và áp dụng làm
4. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động được ví dụ, thảo luận nhóm và đại x – ∞ –5 1 7 + ∞ diện các nhóm lên bảng thực hiện được ví dụ 2. y' – 0 + + Giáo viên nhận xét bài giải của 9 y 6 các nhóm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhóm hoàn thiện bài giải, từ đó lấy 2 làm cơ sở để đánh giá và cho điểm các nhóm. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f (x) trên nửa é khoảng ë- 5;7) Lời giải : Nhìn vào BBT ta thấy é giá trị lớn nhất của hàm số trên ë- 5;7) không có Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên é- 5;7)là min y 2 ë  5;7 + Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân - tại lớp II. CÁCH TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Dựa vào bảng biến thiên để xác định GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một khoảng. VD1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 Học sinh hiểu và lập được BBT rồi y x 5 trên khoảng 0; . x kết luận. 1 + Kết quả 1. Học sinh tiếp thu và Lời giải : Với x 0; , ta có y' 1 ; x2 vận dụng phương pháp, thảo luận 1 x 1 và nêu kết quả y' 1 0 2 + Giáo viên nhận xét các kết quả và x x 1 đưa ra lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có : Trên khoảng 0; hàm số không có GTLN; GTNN của hàm số là min y 2 0; III. CÁCH TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 1. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn đó. 2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn Quy tắc: Học sinh hiểu và nắm được quy + Tìm các điểm x1, x2 , , xn trên khoảng a;b , tại đó tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị
5. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động f ' x bằng 0 hoặc không xác định. nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] + Tính f a , f x1 , f x2 , , f xn , f b . + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M maxf x , m minf x . a;b a;b Khi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f mà không nói rõ trên tập D nào thì ta hiểu đó là GTLN và GTNN của hàm số f trên tập xác định của nó. Mỗi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó. Hơn nữa : a) Nếu hàm số f luôn đồng biến trên đoạn [a; b] thì max f (x) f b và min f (x) f a a; b a; b b) Nếu hàm số f luôn nghịch biến trên đoạn [a; b] thì max f (x) f a và min f (x) f b a; b a; b Ví dụ 1. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 y 2x 3x 12x 1 trên đoạn 1;2 Lời giải : + Kết quả 1. Học sinh theo dõi và y 6x2 6x 12; tiếp thu, vận dụng phương pháp giải ví dụ 1. x 1 1;2 y 0 x2 x 2 0 Giáo viên hoàn thiện bài giải mẫu x 2 1;2 cho học sinh. y 1 14 Ta có y 1 6 y 2 5 Kết luận : GTLN của hàm số trên 1; 2 là max f (x) 14 y 1 1; 2 GTNN của hàm số trên 1; 2 là min f (x) 6 y 1 1; 2 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm + Kết quả 2. Học sinh tiếp thu và 4 vận dụng phương pháp, thảo luận số f x x trên đoạn 1; 3 x Nhóm và đại diện các nhóm lên 4 x2 4 bảng thực hiện được ví dụ 2. Ta có f x 1 ; x2 x2 + Giáo viên nhận xét bài giải của x 2 1;3 các nhóm, chỉnh sửa, yêu cầu các f x 0 . nhóm hoàn thiện bài giải. x 2 1;3 f 1 5 13 Khi đó f 3 3 f 2 4
6. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động Vậy M max f x 5 f 1 ;m min f x 4 f 2 . 1;3 1;3 Ví dụ 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại thành một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất. a Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt 0 x . 2 2 a Thể tích của khối hộp là: V (x) x(a 2x) 0 x . 2 V (x) (a 2x)2 x.2(a 2x).( 2) (a 2x)(a 6x) ; a a V (x) 0 x 0 x . 6 2 + Kết quả 3. Học sinh tiếp thu và Bảng biến thiên vận dụng phương pháp, thảo luận Nhóm và đại diện các nhóm lên bảng thực hiện được ví dụ 3. + Giáo viên nhận xét bài giải của các nhóm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhóm hoàn thiện bài giải. a Vậy trong khoảng 0; hàm số đạt GTLN tại điểm có 2 a 2a3 hoành độ x tại đó V (x) . 6 27 C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu : Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm x2 x 1 số 1) y trên khoảng 1; . x 1 1 ù Học sinh tiếp thu và vận dụng 2) y = x- trên (0;3û. x phương pháp, thảo luận giải lên
7. bảng thực hiện được câu 1. + Giáo viên nhận xét bài giải của các nhóm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhóm hoàn thiện bài giải. Kết quả : 1) Giá trị nhỏ nhất là min y 3. 1; Hàm số không có giá trị lớn nhất. 2) + Phương thức tổ chức : Cá nhân – tại lớp (học sinh lên Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. bảng trình bày lời giải bài toán). Giá trị lớn nhất là : 8 max y = y(3)= . æ ù ç ú 3 ç0;3ú èç û Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các Học sinh tiếp thu và vận dụng hàm số sau : phương pháp, thảo luận giải lên 3 2 1) y x 3x trên đoạn 1;1 bảng thực hiện được câu 2. Giáo viên nhận xét bài giải của các 4 2 2) y x 8x 1 trên đoạn 1;3 nhóm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhóm hoàn thiện bài giải. x2 3 3) y trên đoạn 2;4 . Kết quả : x 1 1) GTLN max y 0 y 0 ; 1;1 4) y x 2 cos x trên đoạn 0; 2 GTNN min y 4 y 1 1;1 5) y x 4 x2 Chú ý : 2) max y 10 y 3 1;3 1) Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn nào có nghĩa là min y 15 y 2 . 1;3 ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số đó. 3) min y 6.; m ax y 7. 2;4 2;4 2) Hàm số = ( )liên tục trên đoạn [ ; ] thì hàm số f(x) luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả 4) min y 2; m ax y 1 4 các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị 0; 0; 2 2 lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó. 5) max y 2 2; min y 2 2;2 2;2 Câu 3. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 16 cm thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng A. 36cm2 . B. 12cm2 . C. 16cm2 . D. 30cm2 . Lời giải : Gọi a, b > 0 lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình + Kết quả . Học sinh theo dõi và chữ nhật. tiếp thu, vận dụng phương pháp Theo giả thiết, ta có 2(a+ b)= 16 Û a+ b = 8 . giải câu 3. Định hướng HS phương pháp giải. Diện tích hình chữ nhật : S = ab = a(8- a)= - a2 + 8a. HS thảo luận tìm đáp án. f (a) 0;8 Khảo sát hàm trên khoảng ( ), ta được Giáo viên hoàn thiện bài giải mẫu
8. max f (a)= 16 khi a = 4 . Chọn C. cho học sinh + Kết quả . Học sinh theo dõi và Câu 4. Người ta muốn rào quanh một khu đất với một tiếp thu, vận dụng phương pháp số vật liệu cho trước là 180 mét thẳng hàng rào. Ở đó giải câu 4. người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh Gọi x là chiều dài cạnh song song với của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? góc với bờ giậu, theo bài ra ta có 2 2 x+ 2y = 180 . Diện tích của miếng đất A.Smax = 3600m B.Smax = 4000m là S = y(180- 2y). C.S = 8100m2 D.S = 4050m2 max max Ta có : 1 S = y(180- 2y)= .2y(180- 2y) 2 2 1 (2y + 180- 2y) £ = 4050 2 4 Dấu " = " xảy ra Û 2y = 180- 2y Û y = 45m 2 Vậy Smax = 4050m . khi x = 90m, y = 45m . D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu : Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài toán thực tế, Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả sinh hoạt động + Tìm hiểu bài toán 1. Một người nông dân có 15000000đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình Kết quả : vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng Phân tích ta đặt các kích thước của rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi hàng rào như hình vẽ phí nguyên vật liệu là 60000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được. Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau: Do bác nông dân có 15000000đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có 2 2 A. 6250 6250m . B. 1250m . mối quan hệ : 2 2 C. 3125m . D. 50m . 3x.50000 2y.60000 15000000 15x 12y 1500 150 15x 500 5x y 12 4 Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:
9. 500 5x 1 f x 2.x.y 2x. 5x2 500x 4 2 Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích: Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN: 1 Xét hàm số f x 5x2 500x trên 2 0;100 1 f ' x 10x 500 , f ' x 0 x 50 2 Ta có BBT Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng A g 2 x A với mọi x, nên ta có thể nhẩm nhanh được: 5 f x x2 100x 2 5 x2 2.50.x 2500 2500 2 5 2 . 2500 x 5 6250 2 + Tìm hiểu bài toán 2. Kết quả 2. Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018 vừa kết thúc, bạn Nam Diện tích đất bán ra càng lớn thì số đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí tiền bán được càng cao Minh. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn Gọi chiều rộng và chiều dài của nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá mảnh đất hình chữ nhật ban đầu tiền 1m2 đất khi bán là 1500000 VN đồng. lần lượt là x, y m , x, y 0 A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. C. 115687500 VN đồng. D. 117187500 VN đồng. Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m 2 x y 50 y 25 x Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là
10. S x y x x 25 x x 25x 2x2 2 25 625 625 x 2 78,125 2 2 8 8 25 Dấu "=" xảy ra x 2 0 2 2 25 25 175 x y 25 8 8 8 Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125m2 . Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất là 78,125.1500000 117187500 IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x)= x3 - 2x2 - 4x+ 1 trên đoạn [1;3]. 67 A. max f (x)= . B. max f (x)= - 2. [1;3] 27 [1;3] C. max f (x)= - 7. max f (x)= - 7. D. max f (x)= - 4. [1;3] [1;3] [1;3] Lời giải. Đáp án B. é é ù êx = 2Î ë1;3û 2 ê Đạo hàm f '(x)= 3x - 4x- 4 ¾ ¾® f '(x)= 0 Û ê 2 . êx = - Ï é1;3ù ëê 3 ë û ì ï f (1)= - 4 ï íï f 2 = - 7 ¾ ¾® max f (x)= - 2. Ta có ( ) é ù ï ê ú ï ê1;3ú ï f 3 = - 2 ë û îï ( ) Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm f (X )= X 3 - 2X 2 - 4X + 1 với thiết lập Start 1, End 3, Step 0,2 . Quan sát bảng giá trị F (X ) ta thấy giá trị lớn nhất F (X ) bằng - 2 khi X = 3. Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốf (x)= 2x 3 + 3x 2 - 1 trên đoạn é 1ù ê- 2;- ú. Tính P = M - m . ëê 2ûú A. P = - 5 . B. P = 1. C. P = 4 . D. P = 5 . Lời giải. Đáp án D. é é 1ù êx = 0 Ï ê- 2;- ú ê ê ú 2 ë 2û = + ¾ ¾® = Û ê Đạo hàm f '(x) 6x 6x f '(x) 0 ê . ê é 1ù êx = - 1Î ê- 2;- ú ë ëê 2ûú
11. ì ï ï ïì m = min f (x)= - 5 ï f (- 2)= - 5 ï é 1ù ï ï ê- 2;- ú ï ï ëê 2ûú Ta có íï f (- 1)= 0 ¾ ¾® íï ¾ ¾® P = M - m = 5. ï ï M = max f (x)= 0 ï ï é 1ù ï æ 1ö 1 ï ê- 2;- ú ï ç- ÷= - ï ëê 2ûú ï f ç ÷ î îï è 2ø 2 4 Câu 3. Xét hàm số f (x)= - x3 - 2x2 - x- 3 trên [- 1;1]. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = - 1 và giá trị lớn nhất tại x = 1. B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1. C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = - 1 nhưng không có giá trị lớn nhất. D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x = 1. Lời giải. Đáp án B. 2 Đạo hàm f '(x)= - 4x 2 - 4x - 1 = - (2x + 1) £ 0, " x Î ¡ . Suy ra hàm số f (x) nghịch biến trên đoạn [- 1;1] nên có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1. Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x)= x 4 - 2x 2 + 5 trên đoạn [- 2;2]. A. max f (x)= - 4. B. max f (x)= 13. [- 2;2] [- 2;2] C. max f (x)= 14. D. max f (x)= 23. [- 2;2] [- 2;2] é = 0 Î - 2;2 êx [ ] 3 ê Lời giải. Đạo hàm f '(x)= 4x - 4x ¾ ¾® f '(x)= 0 Û êx = 1Î [- 2;2] . ê ëêx = - 1Î [- 2;2] ì ï f (- 2)= f (2)= 13 ï Ta có í f (- 1)= f (1)= 4 ¾ ¾® max f (x)= 13. Đáp án B. ï [- 2;2] ï îï f (0)= 5 Câu 5. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau: x - ¥ 0 + ¥ y' + - 2 y 1 - 1 Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 1. C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 1 và 1. Lời giải. Đáp án A. Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy: ● f (x)£ 2, " x Î ¡ và f (0)= 2 nên GTLN của hàm số bằng 2. ● f (x)³ - 1, " x Î ¡ và vì lim f (x)= - 1 nên không tồn tại x0 Î ¡ sao cho f (x0 )= 1, do đó hàm số x® - ¥ không có GTNN. Câu 6. Cho hàm số y = f (x)có bảng xét dấu đạo hàm như sau : x – ∞ –1 0 1 + ∞ y' – – 0 + 0 – Mệnh đề nào sau đây là đúng
12. A. max f (x)= f (0) B. max f (x)= f (1) (- 1;1] (0;+ ¥ ) C. min f (x)= f (- 1) D. min f (x)= f (0) (- ¥ ;- 1) (- 1;+ ¥ ) Lời giải. Đáp án B. Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy: Trên khoảng (0;+ ¥ ) thì f (x)£ f (1) nên GTLN của hàm số bằng f (1) Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. y 4 2 -2 2 x -3 O 3 -2 Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [–2; 3] bằng: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải. Đáp án C. é ù Nhận thấy trên đoạn ë- 2;3û đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (3;4) 4 é ù ¾ ¾® giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn ë- 2;3û bằng 4. Câu 8. Cho hàm số y = f (x)xác định và liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ bên. y x -2 -1 1 2 O -1 -3 -5 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f (x) trên đoạn [–2; 2]. A. m = - 5;M = 0. B. m = - 5;M = - 1. C. m = - 1;M = 0. D. m = - 2;M = 2. é ù Lời giải. Đáp án B. Nhận thấy trên đoạn ë- 2;2û ● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ (- 2;- 5) và (1;- 5) é ù ¾ ¾® giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn ë- 2;2û bằng - 5. ● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (- 1;- 1) và (2;- 1) é ù ¾ ¾® giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn ë- 2;2û bằng - 1. Câu 9. Trong những hàm số sau đây, đâu là hàm số tồn tại giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó ? 2x 3 x2 4x A. y x3 3x2 9x 2. B. y x4 3x2 4. C. y . D. y . x 1 x 1 Lời giải. Đáp án B. Cách 1: ( Dùng phương pháp “ loại trừ”) Hàm số y x3 3x2 9x 2 có TXĐ: D ¡ và lim x3 3x2 9x 2 . x
13. 2x 3 2x 3 Hàm số y có TXĐ: D ¡ \ 1 và lim . x 1 x 1 x 1 x2 4x 2x 3 Hàm số y có TXĐ: D ¡ \ 1 và lim .  x 1 x 1 x 1 Suy ra các hàm số ở phương án A,C,D không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 2 4 2 2 3 7 7 7 Cách 2: Do y x 3x 4 x , suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng . 2 4 4 4 x 3 Câu 10. Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0;1 lần lượt x 1 là a,b. Khi đó giá trị của a b bằng: A. 1. B. 2. C. 3. D. 2. Lời giải. Đáp án B. 4 f x 0,x 0;1 , f x 0;1 Ta có 2 suy ra đồng biến trên x 1 a min f x f 0 3 0;1 a b 2 . b max f x f 1 1 0;1 2 THÔNG HIỂU Câu 1. Cho hàm số y = f (x)có đồ thị trên đoạn [–2; 4] như hình vẽ. Giá trị lớn nhất M của hàm số y = f (x) trên đoạn [–2; 4] là : y 2 1 –2 –1 x O 1 2 4 –1 –3 A. M = 2B. M = f(0) C. M = 3D. M = 1 Lời giải. Đáp án C.Từ đồ thị hàm số y = f (x) trên y é ù é ù 3 đoạn ë- 2;4û ta suy ra đồ thị hàm số f (x) trên ë- 2;4û như hình vẽ. 1 x Do đó max f (x) = 3 tại x = - 1. [- 2;4] -2 -1 O 2 4 2 Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= x 2 + trên khoảng (0;+ ¥ ). x A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 4. 3 2 2(x - 1) Lời giải. Đáp án C. Đạo hàm f ¢(x)= 2x - = ¾ ¾® f ¢(x)= 0 Û x = 1Î (0;+ ¥ ). x 2 x 2 Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f (x)= f (1)= 3. (0;+ ¥ )
14. 1 Câu 3. Biết rằng hàm số f (x)= - x + 2018- đạt giá trị lớn nhất trên đoạn (0;4) tại x . Tính x 0 P = x0 + 2018. A. P = 4032. B. P = 2019. C. P = 2020. D. P = 2018. 1 éx = 1Î (0;4) ' = - 1+ ¾ ¾® ' = 0 Û ê . Lời giải. Đáp án B. Đạo hàm f (x) 2 f (x) ê x ëêx = - 1Ï (0;4) Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên (0;4) tại x = x0 = 1 ¾ ¾® P = 2019. Câu 4. Một chất điểm chuyển động theo quy luật S = 6t2 – t3 , vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng bao nhiêu ? A. 2 (s)B. 12 (s)C. 6 (s)D. 4 (s) Lời giải. Đáp án A. Vận tốc của chuyển động là v s tức là v(t) 12t 3t 2 , t 0 v (t) 12 6t, v (t) 0 t 2 Bảng biến thiên: t 0 2 v t 0 12 v t Hàm số v(t) đồng biến trên khoảng (0;2) và nghịch biến trên khoảng (2; ) Max v(t) 12 khi t 2. Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi 2 é ù Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= - x - 4x+ 5 trên đoạn ë- 6;6û. A. M = 0 . B. M = 9 . C. M = 55. D. M = 110 . Lời giải. Đáp án C. Xét hàm số g(x)= - x 2 - 4x + 5 liên tục trên đoạn [- 6;6]. Đạo hàm g '(x)= - 2x - 4 ¾ ¾® g '(x)= 0 Û x = - 2 Î [- 6;6]. éx = 1Î [- 6;6] 2 ê Lại có g(x)= 0 Û - x - 4x + 5 = 0 Û ê . ëêx = - 5 Î [- 6;6] Ta có ì ï g(- 6)= - 7 ï ï g(- 2)= 9 í ¾ ¾® max f (x)= max{ g(- 6); g(- 2); g(6); g(1); g(- 5)} = 55. ï g(6)= - 55 [- 6;6] [- 6;6] ï ï îï g(1)= g(- 5)= 0 Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm. Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= x - 2 + 4 - x. A. M = 1. B. M = 2. C. M = 3. D. M = 4. Lời giải. Đáp án B. TXĐ: D = [2;4]. 1 1 Đạo hàm f (x)= - ¾ ¾® f '(x)= 0 Û x = 3 Î [2;4]. 2 x - 2 2 4 - x ì ï f (2)= 2 ï Ta có íï f (3)= 2 ¾ ¾® M = 2. ï ï îï f (4)= 2 Câu 7. Cho hàm số y 2x 3 9 x 2 .Giá trị lớn nhất của hàm số bằng: 21 15 A. 6 . B. 3 13 . C. . D. 4 5 . 5
15. Lời giải. Đáp án B. Tập xác định D 3;3 x 0 3x 6 y 2 y 0 2 9 x2 3x x Ta có ; 2 36 9 x2 x 13 13 6 Khi đó y 3 6; y 3 13; y 3 6 max y 3 13 . 13 9 1 Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= 2 cos3 x - cos2 x + 3cos x + . 2 2 A. m = - 24. B. m = - 12. C. m = - 9. D. m = 1. Lời giải. Đáp án C. Đặt t = cos x (- 1£ t £ 1). 9 1 Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(t)= 2t 3 - t 2 + 3t + trên đoạn [- 1;1]'' 2 2 . é = 1Î - 1;1 êt [ ] 2 Đạo hàm g '(t)= 6t - 9t + 3 ¾ ¾® g '(t)= 0 Û ê 1 . êt = Î [- 1;1] ëê 2 ì ï g(- 1)= - 9 ï ï æ1ö 9 Ta có í gç ÷= ¾ ¾® min g(t)= g(- 1)= - 9 ¾ ¾® min f (x)= - 9. ç ÷ - 1;1 xÎ ¡ ï è2ø 8 [ ] ï îï g(1)= 1 Câu 9. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x)= - x 2 + 4x - m có giá trị lớn nhất trên đoạn [- 1;3] bằng 10. A. m = 3. B. m = - 6 . C. m = - 7 . D. m = - 8 . Lời giải. Đáp án B. Đạo hàm f '(x)= - 2x + 4 ¾ ¾® f '(x)= 0 Û x = 2 Î [- 1;3]. ì ï f (- 1)= - 5- m ï Ta có í f (2)= 4 - m ¾ ¾® max f (x)= f (2)= 4 - m . ï [- 1;3] ï îï f (3)= 3- m Theo bài ra: max f (x)= 10 Û 4 - m = 10 Û m = - 6 . [- 1;3] x - m2 Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x)= trên đoạn [0;1] bằng: x + 1 1+ m2 1- m2 A. . B. - m2 . C. . D. m2 . 2 2 1+ m2 Lời giải. Đáp án C. Đạo hàm f '(x)= 2 > 0," x Î [0;1]. (x + 1) 1- m2 Suy ra hàm số f (x) đồng biến trên [0;1]¾ ¾® max f (x)= f (1)= . [0;1] 2 3 VẬN DỤNG x + m 16 Câu 1. Cho hàm số y = (với m là tham số thực) thỏa mãn min y + max y = . Mệnh đề nào x + 1 [1;2] [1;2] 3 dưới đây là đúng ? A. 0 4 . 1- m ¢ Lời giải. Đáp án D. Đạo hàm f (x)= 2 . (x + 1) Suy ra hàm số f (x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2] với mọi m ¹ 1. m + 1 m + 2 16 5m 25 Khi đó min y + max y = f (1)+ f (2)= + = Û = Û m = 5 . [1;2] [1;2] 2 3 3 6 6 Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4 .
16. 2 x + m Câu 2. Cho hàm số f (x)= với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m > 1 để hàm x + 1 số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;4] nhỏ hơn 3. A. m Î (1;3). B. m Î (1;3 5 - 4). C. m Î (1; 5). D. m Î (1;3]. 2- m x 2 4 Lời giải. Đáp án C. Đạo hàm f '(x)= ¾ ¾® f '(x)= 0 ® x = Û x = 2 Î [0;4]," m > 1. 2(x + 1) x (x + 1) m m æ4 ö 2 Lập bảng biến thiên, ta kết luận được max f (x)= f ç ÷= m + 4. xÎ [0;4] èçm2 ø÷ Vậy ta cần có m2 + 4 1¾® m Î (1; 5). x m2 m Câu 3. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 0;1 bằng 2 , với m là x 1 tham số thực dương. Trong các giá trị sau, đâu là giá trị gần m nhất ? 1 7 A. . B. 3 . C. . D. 5 . 2 2 m2 m 1 f x 0,x 0;1 0;1 Lời giải. Đáp án B. Ta có 2 suy ra hàm số đồng biến trên . x 1 min f x f 0 m2 m x 0;1 2 2 m 1 m 0 Khi đó m m 2 m m 2 0  m 2 và dựa vào các đáp án thấy 2 gần 3 m 2 nhất . Câu 4. Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x2 2x m trên đoạn  1;2 bằng 5 ? A. 6; 3  0;2 . B. 4;3 . C. 0; . D. 5; 2  0;3 . Lời giải. Đáp án D. Xét hàm số f x x2 2x m là hàm số liên tục trên đoạn  1;2. Ta có f x 2x 2 f x 0 x 1 1;2 Suy ra GTLN và GTNN của f x thuộc f 1 ; f 1 ; f 2  m 3;m 1;m . Xét hàm số y x2 2x m trên đoạn  1;2ta được giá trị lớn nhất của y là : max m 3 ; m 1 ; m  5 . m 2 TH1: m 3 5 m 8 + Với m = 2, ta có max 5;1;2 5 (n). m = 2 ( nhận) (1) + Với m = –8, ta có max 5;9;8 9 (loại). m 6 TH2: m 1 5 m 4 + Với m = - 4 . Ta có max 1;5;4 5 (nhận) m = – 4 (nhận) (2)
17. + Với m = 6. Ta có max 9;5;6 9 (loại). m 5 TH3: m 5 m 5 + Với m = 5 . Ta có max 8;4;5 8 (loại) + Với m = - 5 . Ta có max 2;6;5 6 (loại). Do đó m Î {- 4;2} 5; 2  0;3 D Chú ý : Ta có thể giải nhanh như sau : Sau khi tìm được GTLN và GTNN của f x x2 2x m thuộc f 0 ; f 1 ; f 2  m;m 1;m 3. + Trường hợp 1: m ³ 0 thì max f (x) = m + 3 = 5 Û m = 2 . (thỏa m 0) [0;2] + Trường hợp 2: m < 0 thì max f (x) = m- 1 = 1- m = 5 Û m = - 4 (thỏa m < 0) D [0;2] Câu 5. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm 1 số y x4 14x2 48x m 30 trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng tất cả các giá trị của S là 4 A. 108. B. 136. C. 120. D. 210 . 1 Lời giải. Đáp án B. Xét hàm số g x x4 14x2 48x m 30 g x x3 28x 48 4 x 6 L g x 0 x 4 L ; max f x max g 0 ; g 2  max m 30 ; m 14  30 0;2 0;2 0;2 x 2 TM m 30 30 16 0 m 16 . Suy ra S  x 136 . m 14 30 x 1 4 VẬN DỤNG CAO 2 Câu 26102. Ông A dự định sử dụng hết 6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 1,57 m3 B. 1,11 m3 C. 1,23 m3 D. 2,48 m3 Lời giải. Đáp án A. Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x. 6,7 2x2 Do diện tích đáy và các mặt bên là 6,7m2 nên có chiều cao h 6x 6,7 ta có h 0 nên x 2
18. 6,7x 2x3 6,7 6x2 6,7 Thể tích bể cá là V x và V ' x 0 x 3 3 6 Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 1,57m3 . Câu 2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 0, y 1; x y 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 2y2 3x2 4xy 5x lần lượt bằng: A. 20 và 18.B. 20 và 15. C. 18 và 15.D. 15 và 13. Lời giải. Đáp án B. Ta có y 3 x 1 x 2 x 0;2 2 Khi đó P x3 2 3 x 3x2 4x 3 x 5x x3 x2 5x 18 Xét hàm số f x x3 x2 5x 18 trên đoạn 0;2 ta có: 2 f ' x 0 f ' x 3x 2x 5 x 1 x 0;2 f 0 18, f 1 15, f 2 20 Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 2y2 3x2 4xy 5x lần lượt bằng 20 và 15. Câu 3. Cho các số thực x , y thõa mãn x 0, y 0 và x y 1. Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của biểu thức S (4x2 3y)(4y2 3x) 25xy là: 25 191 191 25 25 A. M ; m . B. M 12; m . C. M ; m 12 . D. M ;m 0 . 2 16 16 2 2 Lời giải. Đáp án A Do x y 1 nên S 16x2 y2 12(x y)(x2 xy y2 ) 34xy 16x2 y2 12[(x y)2 3xy] 34xy, do x y 1 16x2 y2 2xy 12 (x y)2 1 1 Đặt t xy . Do x 0; y 0 nên 0 xy t [0; ] 4 4 4 1 1 Xét hàm số f (t) 16t 2 2t 12 trên [0; ]. Ta có f (t) 32t 2 ; f (t) 0 t . 4 16 Bảng biến thiên
19. 1 1 x 0 16 4 f t 0 + 12 25 f t 191 2 16 1 191 1 25 Từ bảng biến thiên ta có: min f (t) f ; max f (t) f . 1 1 0; 16 16 0; 4 2 4 4 1 x y 1 x 25 2 Vậy giá trị lớn nhất của S là đạt được khi 1 2 xy 1 4 y 2 2 3 2 3 x y 1 (x; y) ; 191 4 4 Giá trị nhỏ nhất của S là đạt được khi 1 16 xy 2 3 2 3 16 (x; y) ; 4 4 Câu 4. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) cv3t, trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất bằng A. 6 km/h.B. 8 km/h.C. 7 km/h.D. 9 km/h. Lời giải. Đáp án D. Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v 6 (km/h) 300 Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km là t (v 6) v 6 300 v3 Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là: E(v) cv3 300c v 6 v 6 v 9 E (v) 600cv2 ; E (v) 0 v 9 do (v > 6) (v 6)2 Bảng biến thiên: v 6 9 E v 0 + E v E 9 Cá phải bơi với vận tốc 9 (km/h) thì ít tiêu hao năng lượng nhất. Câu 5. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB 5km .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km . Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km / h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km / h . Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?
20. 14 5 5 A. 0km B. 7 km C. 2 5 km D. km 12 Lời giải. Đáp án C. Đặt BM = x(km) Þ MC = 7 - x(km) ,(0 < x < 7) . x2 25 Ta có Thời gian chèo đò từ đếnA M là: t (h ). AM 4 7 x Thời gian đi bộ đi bộ đến C là: t (h) MC 6 x2 25 7 x Thời gian từ A đến kho t 4 6 x 1 Khi đó: t , cho t 0 x 2 5 4 x2 25 6 Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi x = 2 5(km). 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao