Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Điện Biên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Điện Biên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CẤP THPT TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 05/6/2018 (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu 1. (2.0 điểm): 1. Giải các phương trình sau: a. 5(x 1) 3x 7 b. x4 x2 12 0 3x y 2m 1 2. Cho hệ phương trình: x 2y 3m 2 a. Giải hệ phương trình khi m 1 b. Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 y2 10 1 1 x 1 Câu 2. (1.5 điểm): Cho biểu thức: A : (với x 0; x 1) 2 x x x 1 ( x 1) a. Rút gọn biểu thức A b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A 9 x Câu 3. (1.0 điểm): Từ bến sông A một chiếc bè trôi về bến B với vận tốc dòng nước là 4 km/h, cùng lúc đó một chiếc thuyền chạy từ A đến B rồi quay lại thì gặp chiếc bè tại điểm cách bến A 8 km. Tính vận tốc thực của thuyền biết khoảng cách từ bến A đến B là 24 km. Câu 4. (1.5 điểm): Trong hệ tọa độ Oxy cho Parabol y x2 (P) và đường thẳng (d) có phương trình: y (m 1)x m2 2m 3 (d) . a. Chứng minh với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b. Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm m để tam giác OAB cân tại O . Khi đó tính diện tích tam giác OAB . Câu 5. (3.0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn ( M khác A, B ). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của đường tròn (O) lần lượt tại C và D . a. Chứng minh: C· OD 900 . b. Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh: KMO : AMD . c. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM . Câu 6. (1.0 điểm): a. Cho hàm số: y f (x) với f (x) là một biểu thức đại số xác định với x ¡ * . 1 Biết rằng: f (x) 3 f ( ) x2 (x 0) . Tính f (2). x b. Ba số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn: a là ước của b c bc (1), b là ước của c a ca (2) và c là ước của a b ab (3) . Chứng minh rằng a,b,c không đồng thời là các số nguyên tố. Hết
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TỈNH ĐIỆN BIÊN LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán Câu ý Hướng dẫn 1.a Giải phương trình: 5 x 1 3x 7 2x 2 x 1 (0.5đ) Vậy phương trình có 1 nghiệm x 1 1.b Giải phương trình: x4 x2 12 0 (0.5đ) 2 2 Đặt t x (t 0) t t 12 0 t1 3 0; t2 4 0 Với t2 4 x 2 . Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 2; x2 2 2.a 3x y 2m 1 Hệ phương trình: (0.5đ) x 2y 3m 2 3x y 1 6x 2y 2 x 1 Với m 1 x 2y 5 x 2y 5 y 2 1 (2.0đ) Vậy hệ có nghiệm (1;2) 2.b Giải hệ đã cho theo m ta được: (0.5đ) 3x y 2m 1 6x 2y 4m 2 x m x 2y 3m 2 x 2y 3m 2 y m 1 Vậy với m hệ luôn có nghiệm duy nhất (m;m 1) Để hệ có nghiệm thỏa mãn: x2 y2 10 m2 (m 1)2 10 1 19 2m2 2m 9 0 m 2 1 19 Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn bài toán: m . 2 a 1 1 x 1 1 1 ( x 1)2 A : . (0.5đ) 2 x x x 1 ( x 1) x( x 1) x 1 x 1 x 1 ( x 1)2 x 1 A . x( x 1) x 1 x b 9x x 1 P A 9 x (1.0đ) x 2 Đặt x t 0 9t 2 (P 1)t 1 0 . (1.5đ) 0 Do a.c 0 nên phương trình có nghiệm t 0 khi: t1 t2 0 (P 1)2 36 0 P 5 1 P P 7 P 5 0 9 P 1 1 Vậy giá trị lớn nhất của P 5 khi x 9
3. Gọi vận tốc thực của chiếc thuyền là x (km / h), (x 4) . Khi đó vận tốc của thuyền khi xuôi dòng từ A đến B là: x 4 (km / h) ; ngược lại từ B về A thì thuyền đi với vận tốc là: x 4 (km / h) . 24 Thời gian thuyền đi từ A đến B là (h) x 4 Gọi C là vị trí thuyền và bè gặp nhau. 16 3 Vì AC 8 BC 16 nên thời gian thuyền từ B quay lại C là: (h) (1.0đ) x 4 8 Thời gian bè trôi với vận tốc dòng nước từ A đến C là 2(h) . 4 Vì thuyền và bè gặp nhau tại C nên ta có phương trình: 24 16 2 x2 20x 0 x 0 (loai); x 20 (t / m) x 4 x 4 1 2 Vậy vận tốc thực của chiếc thuyền là: 20 (km / h) a Xét PT hoành độ giao điểm: (0.5đ) x2 (m 1)x m2 2m 3 x2 (m 1)x (m2 2m 3) 0 (*) Ta có m2 2m 3 (m 1)2 2 0 (m) PT (*) luôn có 2 nghiệm trái dấu m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b Để tam giác AOB cân tại O thì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AB 4 (1.0đ) hay đường thẳng d song song Ox khi đó: m 1 0 m 1 (1.5đ) Với m 1 đường thẳng d có phương trình: y 2 , tọa độ 2 giao điểm A, B là ( 2;2) . Khi đó khoảng cách từ O đến AB là h 2 . Độ dài đoạn thẳng AB 2 x1 2 2 1 1 diện tích tam giác AOB là: S AB.h .2 2.2 2 2 AOB 2 2 Vậy để tam giác AOB cân tại O thì m 1. Khi đó S AOB 2 2 (đvdt) y a (Vẽ hình đúng được 0.25 điểm) x (1.0đ) Vì CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D C; DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D. K Nên theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OC, M OD lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề C bù AOM và BOM nên: C· OD 900 A H B 5 O (3.0đ) b AM  MB Ta có AM / /OD C· MA M· DO (đồng vị) (1.0đ) OD  MB MA MD Mà C· MA K· AM K· AM M· DO AKM : DOM (1) MK MO Mặt khác K· MO ·AMD 900 ·AMO (2) Từ (1) và (2), suy ra KMO : AMD (c.g.c)
4. c Gọi S SABDC ;S1 S MAB ;S2 S MAC ;S3 S MBD S2 S3 S S1 (1.0đ) R là bán kính đường tròn (O) Ta có: S AC BD .R R. MC MD OMC : DMO CM.DM OM 2 R2 Lại có: MC MD 2 0 MC MD 2 4MC.MD MC MD 2R Suy ra S 2R2 (1), dấu “=” xảy ra khi MC MD hay M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O). 2 Từ M kẻ MH  AB S1 R.MH R (2), dấu “ = “ xảy ra khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O). 2 2 2 2 S2 S3 S S1 2R R R . Vậy min(S2 S3 ) R khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O). 1 a Vì f (x) 3 f ( ) x2 (x 0) . (0.5đ) x 1 1 f (2) 3f ( ) 4 f (2) 3f ( ) 4 2 2 Nên ta có: 1 1 1 3 f ( ) 3f (2) 3f ( ) 9 f (2) 2 4 2 4 13 13 8 f (2) f (2) 4 32 b Giả sử tồn tại các số nguyên tố a,b,c thoả mãn yêu cầu bài toán. 6 (0.5đ) (1.0đ) Theo bài toán ta có a,b,c đều là ước của a b c ab bc ca abc là ước của a b c ab bc ca Giả sử a b c ab bc ca kabc; (k ¢ ) 1 1 1 1 1 1 k ab bc ca a b c Dễ thấy a,b,c đều là số lẻ. Không giảm tính tổng quát giả sử a b c 1 1 1 1 1 1 a 3;b 5;c 7 k 1 Vô lí. 3 5 7 15 21 35 Do đó, a, b, c không đồng thời là số nguyên tố.