Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hà Nam (Có đáp án)

1. STT 23. ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình: x2 4x 3 0. 2x 3y 8 b) Giải hệ phương trình . x 3y 1 x2 Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y và đường thẳng 2 d : y x m. a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol P biết điểm M có tung độ bằng 8. b) Tìm m để đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B với 33 A x ; y , B x ; y sao cho x y x y . 1 1 2 2 1 1 2 2 4 Câu 3: 1. Rút gọn biểu thức A 12 75 3 7 4 3. 1 1 x 1 2. Cho biểu thức B với 0 x 1. x 1 x 1 x 1 Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để B . 2 Câu 4: Cho đường tròn O , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn O . Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn O . Đường thẳng AF cắt MO tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB. 1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh AE//MO. 3. Chứng minh MN 2 NF.NA. 4. Chứng minh MN NH. Câu 5: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca 3 và c a. 1 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a 1 2 b 1 2 c 1 2
2. STT 23. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình: x2 4x 3 0. 2x 3y 8 b) Giải hệ phương trình . x 3y 1 Lời giải a) Ta có x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 0 x 1 . x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;3. b) Ta có x 7 2x 3y 8 1 x 1 7 . x 3y 1 y 2 3 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 7; 2 . x2 Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y và đường thẳng 2 d : y x m. a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol P biết điểm M có tung độ bằng 8. b) Tìm m để đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B với 33 A x ; y , B x ; y sao cho x y x y . 1 1 2 2 1 1 2 2 4 Lời giải x2 a) Với y 8 8 x2 16 x 4. 2 Vậy tìm được hai điểm M 4; 8 . b) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2 x m x2 2x 2m 0. 2 1 2m . Để đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt
3. 1 1 2m 0 m . 2 x1 x2 2 Theo định lý Viet ta có . x1.x2 2m y1 x1 m Lại có . y2 x2 m 33 Từ x y x y 1 1 2 2 4 33 x x m x x m 1 1 2 2 4 33 2x m 2x m 1 2 4 33 4x x 2m x x m2 1 2 1 2 4 33 8m 4m m2 4 33 m2 4m 0 4 3 m L 2 . 11 m TM 2 11 Vậy m . 2 Câu 3: 1. Rút gọn biểu thức A 12 75 3 7 4 3. 1 1 x 1 2. Cho biểu thức B với 0 x 1. x 1 x 1 x 1 Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để B . 2 Lời giải 2 1. Ta có A 12 75 3 7 4 3 2 3 5 3 3 2 3 3 3 3 2 3 6. Vậy A 6. 2. Ta có 1 1 x 1 B x 1 x 1 x
4. x 1 x 1 x 1 B . x 1 x 1 x 2 x x 1 B . x 1 x 1 x 2 B . x 1 1 2 1 B x 1 4 x 3 x 9. 2 x 1 2 Vì x Î ¥ , x 1 x Î 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Câu 4: Cho đường tròn O , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn O . Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn O . Đường thẳng AF cắt MO tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB. 1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh AE//MO. 3. Chứng minh MN 2 NF.NA. 4. Chứng minh MN NH. Lời giải A E 1 1 2 2 F 1 1 1 M O N H B 1. Ta có M· AO M· BO 90 M· AO M· BO 180. Mà hai góc đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp. 2. Ta có tam giác AOE cân tại O nên ·AEO O· AE . 1
5. 1 Ta lại có ·AEO M· AB sd »AB ·AOM. 2 2 Từ 1 và 2 suy ra ·AEO ·AOM AE//OM. 3. Xét hao tam giác MNF và ANM có: M· NF ·ANM và F· MN ·AEF M· AN (góc so le trong, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây dung) NA MN MNF ∽ ANM (g.g) NM 2 NF.NA. MN NF 4. Ta có MA MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA OB R MO là đường trung trực của AB AH  MO và HA HB. MAF và MEA có: ·AME chung µ µ A1 E1 MAF ∽ MEA (g.g) MA MF MA2 MF.ME . ME MA Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO , ta có MA2 HO.MH . ME MO Do đó ME.MF MH.MO MH MF MFH ∽ MOE (c.g.c) ¶ ¶ H1 E2. Vì B· AE là góc vuông nội tiếp O nên E, O, B thẳng hàng ¶ ¶ 1 » E2 A2 sd EB 2 ¶ ¶ H1 A2 ¶ ¶ ¶ ¶ N1 H1 N1 A2 90 HF  NA.
6. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA ta có NH 2 NF.NA NM 2 NH 2 MN NH. Câu 5: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca 3 và c a. 1 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a 1 2 b 1 2 c 1 2 Lời giải Cách 1: Theo đề bài ab bc ca 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab bc ac 33 a2b2c2 abc 1, 1 a b c 2 3 ab bc ac 9 a b c 3, 2 Từ 1 và 2 a b c 3abc. 1 1 1 Đặt x ; y ; z x, y, z 0; z x a 1 b 1 c 1 P x2 2y2 3z2 x2 z2 2y2 2z2 2 x2 y2 z2 P 2 x2 y2 z2 2 xy yz xz . * Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz xz . 1 1 1 xy yz xz a 1 b 1 c 1 b 1 a 1 c 1 a b c 3 a b c 3 xy yz xz a 1 b 1 c 1 abc a b c 4 a b c 3 3 a b c 3 xy yz xz abc a b c 4 3abc 3 a b c 12 3 a b c 3 3 a b c 3 3 xy yz xz 3abc 3 a b c 12 a b c 3 a b c 12 4 3 3 P 2. . 4 2 Dấu bằng xảy ra khi x y z a b c 1.
7. 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P . 2 1 2 3 1 2 2 1 Cách 2: Vì a c P a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 2 2 2 P . a 1 2 b 1 2 c 1 2 Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm. 1 1 1 x 1 2 y 1 2 1 xy 1 xy x2 y2 2x 2y 2 xy x y 1 2 0 1 xy x2 y2 2xy 2xy 2x 2y 2 xy x y 1 2 0 1 xy x y 2 2 1 xy xy x y 1 xy x y 1 2 0 1 xy x y 2 xy x y 1 xy x y 1 0 xy x y 2 x y 2 xy 1 2 x y 2 0 xy x y 2 xy 1 2 0. Luôn đúng, dấu " " xảy ra khi x y 1. 1 2 3 1 2 2 1 P a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P . a 1 2 b 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 1 ab 1 bc 1 ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có 1 1 1 1 1 1 9 x y z 9 x y z x y z x y z 1 1 1 9 9 3 P . 1 ab 1 bc 1 ac 3 ab bc ac 6 2
8. 3 Vậy GTNN của P khi a b c 1. 2