Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hà Nội (Có đáp án)

1. STT 24. ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1: (2,0 điểm) x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0; x #25 x 5 x 5 x 25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9. 1 2) Chứng minh rằng B . x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B. x 4 . Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 3: (2,0 điểm) x 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trình . 4 x y 1 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx 5. a) Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của m . b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P : y x 2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1,x2 (với x1 x2 ) sao cho x1 x2 . Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K . 1) Chứng minh bốn điểm C,N,K ,I cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh NB 2 NK .NM . 3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 4) Gọi P,Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh ba điểm D,E,K thẳng hàng. Bài 5: (0,5 điểm) Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a 1,b 1,c 1 và ab bc ca 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 .
2. STT 24. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1: ( 2,0 điểm) x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0; x #25 x 5 x 5 x 25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9. 1 2) Chứng minh rằng B . x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B. x 4 . Lời giải 5 1) Thay x 9 (tmđk) vào A A 2 Với x 0; x #25 3 20 2 x B x 5 ( x 5)( x 5) 3( x 5) 20 2 x x 5 ( x 5)( x 5) ( x 5)( x 5) 1 x 5 1 Vậy : Với x 0,x 25 thì B x 5 2) Với x 0,x 25 A B. x 4 x 2 x 4 T.H 1 x 2 x 4 x x 6 0 x 3(t / m) x 2(loai) x 9 T.H 2 x 2 4 x x x 2 0 x 1(t / m) x 2(loai) x 1 Vậy: x 1và x 9 thì A B. x 4
3. Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Lời giải Gọi vận tốc của xe máy là x ( Đơn vị km / h , x 0 ) 3 Đổi 36 phút giờ 5 Vận tốc của ô tô là x 10 km / h 120 Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là ( giờ ) x 120 Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là ( giờ ) x 10 Lập luận để có PT: 120 120 3 x x 10 5 x2 10x 2000 0 x 50(loai) x 40(t / m) Vậy: Vận tốc của xe máy là 40 km / h và vậ tốc của ô tô là50 km / h Bài 3: (2,0 điểm) x 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trình . 4 x y 1 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx 5. a) Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của m . b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P : y x 2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1,x2 (với x1 x2 ) sao cho x1 x2 . Lời giải 1) ĐKXĐ: x 0 và y 1 Ta có hệ: x 5 2 y 1 4(5 2 y 1) y 1 y 1 2 y 5 Giải được: ( t / m) x 1 x 1 x 1 Vậy hpt có nghiệm là: y 5
4. 2) a) Thay tọa độ A (0;5) vào y mx 5 ta có: 5 m.0 5 ( luôn đúng với mọi m ) Vậy (d) luôn đi qua A (0;5) với mọi m b) PT hoành độ giao điểm: x2 mx 5 0 (1) Lập luận PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Lập luận có: x1 0 x2 nên x1 x2 x1 x2 0 Áp dụng định lí viet, thay x1 x2 m Ta có: x1 x2 m 0 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K . a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh NB2 NK.NM . c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. d) Gọi P , Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh ba điểm D , E , K thẳng hàng. Lời giải: a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn. Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của O (giả thiết) sd ¼AM sd M»B ·ANM B· CM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Xét tứ giác CNKI ta có: I·NK I·CK (vì ·ANM B· CM ) CNKI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)
5. C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh NB2 NK.NM . Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của O (giả thiết) sd B»N sd N»C B· MN N· BC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau). Xét VBMN và VKBN ta có: - B· NM là góc chung. - B· MN N· BK (vì B· MN N· BC ) VBMN : VKBN g-g NB NM NB2 NK.NM . NK NB c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. + Chứng minh BHIK là hình bình hành. Gọi J là giao điểm của AN và BC . Ta có: sd ¼AM sd M»B (cmt)
6. ·ACM B· CM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) CM là phân giác của ·ACB CI là phân giác trong của VCAJ IA CA (1) IJ CJ Ta có: sd ¼AM sd M»B (cmt) ·ANM B· NM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) NM là phân giác của ·ANB . NH là phân giác trong của VNAB HA NA (2) HB NB Ta có: sd B»N sd N»C B· AN C· AN (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau). Xét VCAJ và VNAB ta có: - ·ACJ ·ANB (hai góc nội tiếp cùng chắn »AB ) - B· AN C· AJ (cmt) VCAJ : VNAB g-g CA CJ CA NA (3) NA NB CJ NB IA HA Từ (1), (2), (3) suy ra IJ HB HI P BJ (định lí Thales đảo) hay HI P BK (4) Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI P BH (5) Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành. + Chứng minh BH BK . BK BN BM.BN Ta có : VKBN : VBMN (cmt) BK (6) BM MN MN Chứng minh tương tự câu b) ta có: VHMB : VBMN g-g BH BM BM.BN BH (7) BN MN MN Từ (6) và (7) suy ra BH BK Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi.
7. d) Gọi P , Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh ba điểm D , E , K thẳng hàng. Ta có: N· BK B· MK (cmt) BN là tiếp tuyến tại B của P BN  BP Mà BN  BD (vì D· BN 90o : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) nên B , P , D thằng hàng. Ta có: VPBK cân tại P ( PB PK ) B· PK 180o 2  P· BK (8) NB NC sd N»B sd N»C Ta có: ON là đường trung trực của đoạn BC OB OC DB DC ( D thuộc đường thẳng ON ) VDBC cân tại D B· DC 180o 2  D· BC (9) Từ (8) và (9) suy ra B· PK B· DC Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên PK P DC PK P DQ (10) Chứng minh tương tự ta có: C , Q , D thẳng hàng và QK P DP (11) Từ (10) và (11) suy ra DPKQ là hình bình hành Mà E là trung điểm của đường chéo PQ nên E cũng là trung điểm của đường chéo DK D , E , K thẳng hàng.
8. Bài 5: (0,5 điểm) Cho các số thực a , b , c thay đổi luôn thỏa mãn: a 1, b 1, c 1 và ab bc ca 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 Lời giải: + Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: a2 b2 2ab 2 2 2 2 2 b c 2bc 2 a b c 2 ab bc ca 2 2 c a 2ca P a2 b2 c2 ab bc ca 9 a b c 1 Dấu ‘=’ xảy ra a b c 3 . ab bc ca 9 + Tìm giá trị lớn nhất. a 1 a 1 b 1 0 ab a b 1 0 Vì b 1 b 1 c 1 0 bc b c 1 0 c 1 c 1 a 1 0 ca c a 1 0 ab bc ca 2 a b c 3 0 ab bc ca 3 3 a b c 6 2 a b c 2 36 a2 b2 c2 2 ab bc ca 36 P 36 2 ab bc ca 18 a 4,b c 1 Dấu ‘=’ xảy ra b 4,c a 1. c 4,a b 1 Vậy GTNN của P là 9 , xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 . a 4,b c 1 GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi b 4,c a 1. c 4,a b 1