Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán chung - Năm học 2021-2022 - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán chung - Năm học 2021-2022 - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

1. Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ TRƯỜNG SƯ PHẠM NỘI NĂM HỌC 2021 – 2022. MÔN THI: TOÁN (Toán chung) Ngày thi: 17/06/2021. (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1. (2,5 điểm) 1 5 Cho a 2 a) Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) b) Cho đa thức: P(x) x5 x4 x 1. Tính giá trị của P( ) Bài 2. (3,0 điểm) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn O tại D và E ( D nằm giữa C, E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm O, B,M , E tạo thành tứ giác OBME . Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CD.CE CO2 R2 . c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. Bài 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở dạng x2 y 1 với x, y là hai số nguyên dương. xy 1 Bài 4. (2,5 điểm) Cho a , b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau. NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 1
2. Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Bài 1. (2,5 điểm) 1 5 Cho a 2 a) Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) b) Cho đa thức: P(x) x5 x4 x 1. Tính giá trị của P( ) Lời giải a).Tìm một đa thức bậc hai Q(x) với hệ số nguyên sao cho là nghiệm của Q(x) Cách 1: 1 5 Có 2 1 5 4 2 4 4 0 2 1 0 . 2 1 5 1 5 Phương trình x2 x 1 0 có hệ số nguyên và có 2 nghiệm ,  . 2 2 Vậy Q x x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. Cách 2: 1 5 1 5 Có , đặt  2 2  1 Ta có . 1 Phương trình có hệ số nguyên nhận ,  làm nghiệm là x2 x 1 0 Vậy Q x x2 x 1 thỏa yêu cầu bài. b) P(x) x5 x4 x 1 x5 x4 x3 x3 x 1 P(x) x3 x2 x 1 x3 x2 x x2 1 P(x) (x2 x 1)(x3 x) x2 1 P( ) ( 2 1)( 3 ) 2 1. P( ) 0 2 1 (Do là nghiệm của phương trình: x2 x 1). Mà 2 1 2 nên 1 5 5 5 P( ) 2 1 2 2 . 2 2 5 5 Vậy P( ) . 2 NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 2
3. Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Bài 2. (3,0 điểm) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn O tại D và E ( D nằm giữa C, E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm O, B,M , E tạo thành tứ giác OBME . Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp. b) CD.CE CO2 R2 . c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. Lời giải E T M D O C B A F a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp. E· OB 2B· AE 2B· DC 2B· MC 2 E· MC E· MB 2 180 E· AB E· MB 360 E· OB 2E· MB suy ra E· OB E· MB 180 hay tứ giác OBME nội tiếp. NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 3
4. Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” b) Chứng minh CD.CE CO2 R2 . Cách 1. Kẻ CF là tiếp tuyến của O , suy ra CF  OF CF 2 CO2 OF 2 CO2 R2 (1) Mặt khác: CDF ∽ CFE (g.g) CD CF CF 2 CD.CE (2) CF CE Từ (1) và (2) ta có CD.CE CO2 R2 . Cách 2. Gọi T là trung điểm DE . Có CD.CE CT TD CT TE , TD TE CT 2 TD2 CO2 OT 2 TD2 CO2 OD2 CO2 R2 c) Chứng minh M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. O· MC O· MB B· MC O· EB E· AB 90 hay M luôn di chuyển trên đường tròn đường kính OC cố định. Bài 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở dạng x2 y 1 với x, y là hai số nguyên dương. xy 1 Lời giải x2 y N x2 Nxy N y 0 x Ny x y N 1 xy 1 Với N 1 dễ thấy có vô số cách biểu diễn N theo x, y là các bộ số dạng x, y a,a 1 a ¥ * Với N 2 Nếu y N x N 2 Nếu y N thì 1 y Nx y N x suy ra trong hai số y; N có ít nhất một số lớn hơn x Ny x 0 y N 0 y N y x NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 4
5. Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Từ 1 y NNy x y N Ny x 2y x y y x y N 0 ( loại) x2 y Vậy với N 2 thì ta có một biểu diễn duy nhất ở dạng xy 1 Cách khác. x2 y +) N 1 có vô số bộ x; y có dạng k;k 1 k N thỏa mãn N . xy 1 Suy ra N 1 loại +) N 1 x2 y  xy 1 y x2 y x xy 1  xy 1 y2 xxy 1 +) x y x2 y xy y 2xy 2 x2 y x2 y xy xy 2xy 2xy 2 2 N 2 vô lý. xy 1 +) x y xy 1 x y2 x y2 xy 1 y2 x 0 x y2 y4 y N y y2 1 x N 2 Với mọi N 1 thì cặp N 2 ; N là duy nhất Bài 4. (2,5 điểm) Cho a , b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau. Lời giải Cách 1: Đặt a 2k ;b 2n ;c 2m k,m,n ¥ NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 5
6. Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” 2 Gọi x1; x2 là nghiệm nguyên của phương trình ax bx c 0 2 m m Ta có ax1 bx1 c 0 c x1 b ax1 0 cx1 2 x1 tương tự 2 x2 1 n k x1 x2 2 x1 0 Theo hệ thức Vi-et: 2 m k x 0 x1.x2 2 2 Từ 1 ; 2 x1; x2 là các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2. p q Đặt x1 2 , x2 2 p,q ¥ không mất tính tổng quát giả sử p q . n k q p q n k p q n k q Khi đó x1 x2 2 2 2 1 2 2 1 2 Vì 2 p q 1 2 2n k q 2 2n k q là số chẵn 2 p q 1 là số chẵn p q 2 1 p q 0 p q x1 x2 (đpcm). Cách 2: Đặt a 2n ; b 2m ; c 2 p m;n; p ¥ . Xét phương trình ax2 bx c 0 1 có b2 4ac 22m 2n p 2 . Để phương trình 1 có nghiệm nguyên thì là số chính phương. 22m 2n p 2 k 2 k ¥ 2n p 2 2m k 2m k 2m k 2u 2u 2v u v 2m 2u 1 1 2v u . m v 2 k 2 2 Nếu u v thì 1 2v u là số lẻ và khác 1 (vô lý). Suy ra u v k 0 0 . Do đó, phương trình 1 có hai nghiệm bằng nhau. NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 6