Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG PTNK Năm học 2021 – 2022 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút x 2 y 1 2 Bài 1. (1.5 điểm) Cho hệ phương trình: x y m a) Giải hệ với m 7 b) Tìm m sao cho hệ có nghiệm (x, y) 1 1 1 1 1 1 a b c Bài 2. (1.5 điểm) Cho M , N , K a b c b c c a a b b c c a a b a2 b2 c2 a) Chứng minh nếu MK thì N 0 abc b) Cho M K 4, N 1. Tính tích abc Bài 3. 1.5 điểm) Cho dãy n số thực x1; x2 ;; xn (n 5) thỏa: x1 x2  xn và x1 x2 xn 1 1 a) Chứng minh nếu x thì x x x n 3 1 2 n 2 b) Chứng minh nếu x thì tìm được số nguyên dương k n sao cho n 3 1 2 x x  x 3 1 2 k 3 Bài 4. (1.5 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho (2n 1)3 1 chia hết cho 22021 2n 2 4n2 2n 1 b) Tìm tất cả số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho và là các số p p nguyên. Chứng minh với n và p tìm được, các số nguyên trên không thể đồng thời là số chính phương.
2. Bài 5. ( 3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A . Các điểm E, F lần lượt thay đổi trên các canh AB, AC sao cho EF / /BC . Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn (I) đường kính EF cắt BF, CE tại M, N ( M khác F, N khác E ) a) Chứng minh AD và đường tròn ngoại tiếp HMN cùng đi qua tâm I của đường tròn tâm I . b) Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P, Q tương ứng là giao BP  BL điểm của EM, FN với BC. Chứng minh tứ giác AEPL, AFQK nội tiếp và không CQ CK đổi khi E, F thay đổi c) Chứng minh nếu EL và FK cắt nhau trên đường tròn (I) thì EM và FN cắt nhau trên đường thẳng BC. Bài 6. ( 1 điểm) Cho N tập hợp (N 6) , mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ 26 chữ cái a,b,c,, x, y, z a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả N tập hợp này. Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho b) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 2 chữ cái, và không có hai chữ cái nào cùng xuất hiện trong N tập hợp này. Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập hợp có chung đúng 2 chữ cái?
3. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM THAM KHẢO x 2 y 1 2 Bài 1. (1.5 điểm) Cho hệ phương trình: x y m a) Giải hệ với m 7 b) Tìm m sao cho hệ có nghiệm (x, y) Lời giải x 2 y 1 2 a) (0.75 điểm ) x y m ĐKXĐ: x 2, y 1 x 2 y 1 2 (x 2)(y 1) 4 (1) x y 7 2 (x 2)(y 1) 0 x y 7 x 2 0 x y 7 x 2 (n) y 1 0 y 5 x y 7 y 1 (n) x 6 Vậy (x, y) {(2;5),(6;1)} b) (0.75 điểm) Đặt u x 2,v y 1(u,v 0) u v 2 u v 2 Hệ phương trình trở thành: 2 2 2 (2) u v m 3 2u 4u 7 m 0 Để hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) phải có 2 nghiệm không âm, nhỏ hơn hoặc bằng 2, khi và chỉ khi:
4. 0 S 0 m 5 m 7 x1 2 x2 2 0 S 4 Vậ 5 m 7 thì hệ đã cho có nghiệm (x, y) Bình luận. Đây là bài dễ nhất trong đề thi, nhưng chỉ dễ ở câu a, câu b là câu tìm điều kiện có nghiệm của hệ phương trình, thường các em cấp 2 không quen làm, dễ thiếu điều kiện cần, làm đúng trọn vẹn phải cấn thận và chỉnh chu. 1 1 1 1 1 1 a b c Bài 2. (1.5 điểm) Cho M , N , K a b c b c c a a b b c c a a b a2 b2 c2 a) Chứng minh nếu MK thì N 0 abc b) Cho M K 4, N 1. Tính tích abc Lời giải a2 b2 c2 a) (0,75 điểm) MK N 0 abc 1 1 1 a b c MK a b c b c c a a b 1 b c a 1 c a b 1 b c a c a a a b b b c c a b a b c b c c c a a b b 1 1 c 1 1 a 1 1 N c a a c a b a b b c b c b c a N ac ab bc a2 b2 c2 N abc a2 b2 c2 Mà MK abc a2 b2 c2 a2 b2 c2 N abc abc N 0 b) (0,75 điểm) ta có M = K = 4; N = 1
5. Theo câu a) ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 MK N 16 1 abc abc a2 b2 c2 2(ab bc ca) 15abc * Ta có: a b c K 3 1 1 1 (a b c)N 7 a b c b c c a a b M 4 ab bc ca 4abc 49 Thay vào (*) 72 2.4abc 15abc abc 23 Bình luận. Bài này cũng là bài đại số, thuộc phần biến đổi đồng nhất, các dạng toán kiểu này các em cũng được rèn luyện nhiều, tay to biến đổi sẽ làm được, nhưng với điều kiện phải kiến trì và tính toán đúng Bài 3. 1.5 điểm) Cho dãy n số thực x1; x2 ;; xn (n 5) thỏa: x1 x2  xn và x1 x2 xn 1 1 a) Chứng minh nếu x thì x x x n 3 1 2 n 2 b) Chứng minh nếu x thì tìm được số nguyên dương k n sao cho n 3 1 2 x x  x 3 1 2 k 3 Lời giải 1 a) (0.75 điểm) Giả sử rằng x x x 0 , khi đó x 0 với mọi 2 i n . 1 2 n 3 i 2 1 Do n 5 nên x x x x x x 2 x x x (Vô lý) 1 n 1 1 2 3 4 1 2 3 n 3 b) (0,75 điểm) 1 2 1 • Nếu x , khi đó x Từ x x x 1 n 3 3 n 3 1 2 n 1 2 x x  x 1 x 3 1 2 n 1 n 3 1 1 • Nếu x . Suy ra x với mọi i . n 3 i 3
6. Giả sử không tồn tại k thỏa đề bài, tức là không có k để 1 2 x x  x (*) 3 1 2 k 3 1 2 Ta chứng minh tồn tại l n 2 sao cho x x và x x ( ) 1 l 3 1 l 1 3 1 1 Thật vậy nếu không tồn tại l thì x , suy ra x x , vì ngược lại thì 1 3 1 2 3 1 2 do ( ) nên x x (mâu thuẫn do (*) 3 1 2 3 1 Lý luận tương tự thì x x x ( Mâu thuẫn ) 1 2 n 1 3 1 Do đó nếu tồn tại l thỏa ( ) thì suy ra x x (vô lý). l 1 3 n Vậy điều giả sử sai. Do đó tồn tại k thỏa đề bài. Bình luận. Đây là bài bất đẳng thức khá lạ và hay, tư tưởng chủ đạo là phản chứng và phản chứng liên tục. Việc sắp thứ tự các biến là một giả thiết vô cùng quan trọng, giúp giải bài toán. Câu a không quá khó, nhưng câu b là ở một mức khác hẳn. Việc chứng minh bất đẳng thức đã khó, ở đây còn thêm n biến, thì bài toán trở nên quá phức tạp cho học sinh cấp 2. Bạn nào giải được câu 3 b , là rất giỏi. Bài 4. (1.5 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho (2n 1)3 1 chia hết cho 22021 2n 2 4n2 2n 1 b) Tìm tất cả số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho và là các số p p nguyên. Chứng minh với n và p tìm được, các số nguyên trên không thể đồng thời là số chính phương. Lời giải a) 0.5 điểm) (2n 1)3 122021 (2n 2) 4n2 2n 1 22021 2(n 1) 4n2 2n 1 22021
7. (n 1) 4n2 2n 1 : 22020 n 122020 do 4n2 2n 1 1( mod 2) n 22020 k 1 k ¢ b) (1 điểm) Từ p∣ 2n 2 và p∣ 4n2 2n 1 thì p phải là số lẻ, dẫn đến p∣ n 1. Do 4n 2 2n 1 4(n 1)(n 1) 2(n 1) 3 nên p∣ 3, từ đó p 3 . Kết hợp với điều kiện 2n 2 4n 2 2n 1 p∣ n 1 thì n 3k 1 với k ¢ . (0.5 điểm) Ta chứng minh rằng và 3 3 không cùng là số chính phương. Thật vậy, giả sử rằng ta có điều ngược lại, vì chúng đều là số nguyên dương nên: 2n 2 4n2 2n 1  s2 s ¢ 3 3 Viết lại thành (2n 1)3 (3s 1)(3s 1). Do s là số chẵn nên (3s 1,3s 1) 1, dẫn dến việc tồn tại các số nguyên a, b đế ab 2n 1,(a,b) 1 và: 3s 1 a3 3 3s 1 b Từ đây 2 (b a) b2 ba a2 . Do b a nên b a {1,2}. Xét từng trường hợp và giải ra cụ thể, ta được (a,b) ( 1,1) . Tuy nhiên điều này dẫn đến s 0 , trái với việc s 0 từ điều đã giả sử Vậy giả sử ban đầu là sai hay hai số đã cho không thể cùng là số chính phương. (0.5 điềm) Bình luận. Bài 4 thuộc phần số học, có ý để kiếm điểm,như câu a, không quá khó để suy ra được 2n 2 chia hết cho 22021 Câu b thì khó, việc tìm ra p 3 không khó, nhưng ý cuối thực sự khó, nếu không có câu a như định hướng thì khó làm được. Kĩ thuật ab m3 và (a,b) là nguyên tố cùng nhau. suy ra a, b là lập phương của số nguyên cũng là kĩ thuật khó mà các em THCS cần phải học chắc mới làm được. Bài 5. ( 3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A . Các điểm E, F lần lượt thay đổi trên các canh AB, AC sao cho EF / /BC . Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn (I) đường kính EF cắt BF, CE tại M, N ( M khác F, N khác E )
8. a) Chứng minh AD và đường tròn ngoại tiếp HMN cùng đi qua tâm I của đường tròn tâm I . b) Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P, Q tương ứng là giao BP  BL điểm của EM, FN với BC. Chứng minh tứ giác AEPL, AFQK nội tiếp và không CQ CK đổi khi E, F thay đổi c) Chứng minh nếu EL và FK cắt nhau trên đường tròn (I) thì EM và FN cắt nhau trên đường thẳng BC. Lời giải a) (1 điểm ) Qua D vẽ đường thẳng song song BC cắt AB, AC tại X, Y DY DF DE DX Ta có BC BF EC BC Suy ra DX DY . Suy ra D là trung điểm của XY. Do đó AD qua trung điểm I của EF. Ta có DHFN, DHEM nội tiếp. Suy ra D· HN D· FN M· AN và D· HM N· EM N· AM Suy ra M· HN 2M· AN M· IN Suy ra tứ giác MIHN nội tiếp. Ta có điều cần chứng minh. b) (1 điểm ) Ta có BMP# BEM Suy ra BM  BF BP  BL . Mặt khác BAF# BEM , suy ra BE  BA BM  BE
9. Do đó BA BE BP  BL Từ đó ta có tứ giác AEPL nội tiếp Chứng minh tương tự thì tứ giác AFQK nội tiếp BP  BL BE  BA AB2 Và CQ CK CF CA AC 2 c) (1 điểm ) Giả sử EL, FK cắt nhau tại S thuộc (I) . Khi đó E· SF 90 và EFLK là hình vuông Vẽ PU  AB,QV  AC BP BU BK CQ CV CL Ta có và BC BA BL BC CA CK Đặt x EF KL BK CL Ta cần chứng minh 1. BL CK BK CK BL CL BL CK BK(CL x) (BK x)CL (BK x)(CL x) x2 BK CL Đúng vì tam giác BEK và CFL đồng dạng. Bình luận. Bài hình về mặt hình vẽ khá phức tạp, nhưng có chỗ để các em có thể làm đươc. Câu a, b tương đối quen thuộc và cách làm cũng quen thuộc. Việc chứng minh tứ giác nội tiếp bằng góc hoặc phương tích các em làm nhiều Tuy vậy câu c thực sự khó, mình phải phân vân giữa tính toán độ dài và góc, cuối cùng chọn độ dài, nhưng tính độ dài cũng có nhiều hướng để thực hiện, nói chung đây là câu hình khó trong nhiều năm trở lại đây. Bài 6. ( 1 điểm) Cho N tập hợp (N 6) , mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ 26 chữ cái a,b,c,, x, y, z a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả N tập hợp này. Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho b) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 2 chữ cái, và không có hai chữ cái nào cùng xuất hiện trong N tập hợp này. Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập hợp có chung đúng 2 chữ cái? Lời giải
10. a) (0,5 điểm ) Giả sử có chữ cái S sao cho S có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho, chẳng hạn 6 tập A1, A2 ,, A6 Vì hai tập hợp bất kỳ có chung đúng một chữ cái nên hai tập hợp bất kỳ trong 6 tập trên bao giờ cũng chỉ có chữ cái chung duy nhất là S . Do đó, tổng số chữ cái có mặt trong 6 tập trên là: 1 6(5 1) 25 . • Nếu N 6 thì vô lý do S không xuất hiện trong tất cả N tập hợp. Do đó N 7 • Với N 7 , lấy tập A7 , có 2 khả năng: - A7 chứa S: Vì A7 và những tập A1, A2 ,, A6 có chung đúng một chữ cái  nên A7 còn chứa 4 phần tử không nằm trong bất kỳ tập nào thuộc A1, A2 , . A6 Suy ra tổng số chữ cái trong 7 tập trên là: 1 7(5 1) 29 26 (vô lý) - A7 không chứa S Khi đó A7 sẽ có chung đúng 1 phần tử với mỗi tập A1, A2 ,, A6 và 6 phần tử này phải khác nhau. (vì 6 tập A1, A2 ,, A6 đã có chung S ) Do đó A7 có ít nhất 6 phần tử. (vô lý) Vậy không có chữ cái nào nằm trong 6 tập hợp từ N tập hợp đã cho. b) (0,5 điểm ) Giả sử có nhiều nhất k tập hợp có chung đúng 2 chữ cái, chẳng hạn S và Khi đó dễ thấy k N 1 nên tồn tại một tập hợp khác chưa được kể tên trong k tập hợp trên, đặt là tập hợp X, X không chứa {S,T}. • Nếu X không chứa cả S lẫn T . X giao mỗi tập trong k tập kia ở 2 phần tử khác nhau nên 2k 5 k 2 • Nếu X chỉ chứa S , không chứa T . Khi đó 4 phần tử còn lại giao với k tập kia ở các phần tử khác nhau, mà X có 5 phần tử nên k 4 Vậy có nhiều nhất 4 tập hợp có chung đúng 2 chữ cái Để chỉ ra một ví dụ về khả năng có 4 tập hợp, xét N 6. Để thuận tiện, thay các chữ cái bằng các con số từ 1 đến 26 . Khi đó chọn bộ N tập hợp như sau:
11. A1 {1,2,3,4,5} A {1,2,6,7,8} 2 A3 {1,2,9,10,11} A4 {1,2,12,13,14} A {1,3,6,10,13} 5 A6 {2,3,6,9,12} Bộ 6 tập hợp này thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán Bình luận. Như thường lệ, câu tổ hợp luôn là dấu ấn của đề thi vào PTNK, câu tổ năm nay cũng thế, rất khó khăn, nhưng nếu được rèn luyện với các bài toàn tập hợp, giao hợp các phần tử thì đây cũng có câu có thể kiếm được điểm, ít nhất là câu a. Câu b là câu cực trị tổ hợp, khó, về mặt suy luận cũng không khác ý a là mấy, nhưng do phải có đánh giá bất đẳng thức và tìm ví dụ nên khó học sinh nào làm được Bình luận chung. • Đề bài nhìn chung vừa dài và khó, có nhiều ý, đầy đủ các phần đại số, số học, hình học và tổ hợp. Có 3 bài đại số, 1 bài số học, 1 bài hình và 1 bài tổ hợp. Đại số chiếm 50% tống số bài • Các bài học sinh chuyên toán có thể lấy điểm được ở bài 1,2 và bài 5 a. Các câu mức phân loại là 3a,4a,5 b . Nếu làm chắc các câu trên nhiều khả năng sẽ đậu. • Những câu khó là 3 b,4 b5c,6 b , các kĩ thuật khó đối với học sinh cấp 2, đặc biệt là 3 b và 4 b . • Đề năm nay nhìn chung khó, các bạn làm được từ 5 điểm trở lên có hy vọng đậu vào chuyên toán, còn điểm cao tầm 9,10 tôi nghĩ là rất khó đạt, phải thực sự có năng khiếu và làm bài chắc tay mới đạt được