Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Kon Tum (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Kon Tum (Có đáp án)

1. UBND TỈNH KON TUM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT chuyờn Nguyễn Tất Thành, THPT Kon Tum Năm học 2019 – 2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN (Mụn chuyờn) Ngày thi: 11/6/2019 Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1 : (2,0 điểm) 3- 5 .(3+ 5) 1. Khụng dựng mỏy tớnh cầm tay, hóy tớnh giỏ trị biểu thức P = 10 + 2 2x- 3 x - 2 2. Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của biểu thức Q = tại x = 2020- 2 2019 x - 2 Cõu 2 : (2,5 điểm) 1.Cho parapol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m2 + 1, m là tham số. Tỡm m để yA yB - 38 đường thẳng (d) cắt parapol (P) tại hai điểm A(xA ; yA ),B(xB ; yB )sao cho + = . xB xA 5 ùỡ x2 - y2 - 6 = 0 ù 2. Giải hệ phương trỡnh ù ổ ử2 ớ 2 ỗ 2 ữ (I) ù (x + y- 1) - ỗ ữ - 3 = 0 ù ỗ ữ ợù ốx- yứ Cõu 3 : (2,5 điểm) Cho đường trũn (O; R) cú đường kớnh AB cố định và đường kớnh CD thay đổi sao cho CD khụng vuụng gúc cũng khụng trựng với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của (O; R). Cỏc đường thẳng BC và BD cắt d tương ứng tại E và F 1. Chứng minh rằng CDFE là tứ giỏc nội tiếp. 2. Gọi M là trung điểm của EF và K là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc CDEF. Chứng minh rằng tứ giỏc KMBO là hỡnh bỡnh hành. 3. Gọi H là trực tõm tam giỏc DEF, chứng minh H luụn chạy trờn một đường trũn cố định. Cõu 4 : (2,0 điểm) 1. Cho số thực x thỏa món - 1Ê x Ê 1 . Chứng minh rằng 1+ x + 1- x ³ 2- x2 . 2. Cho tập hợp A gồm 41 phần tử là cỏc số nghuờn khỏc nhau thỏa món tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử cũn lại. Biết cỏc số 401 và 402 thuộc tập A. Tỡm tất cả cỏc phần tử của tập hợp A. Cõu 5 : (1,0 điểm) Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2a,BC = a 2 . Lấy đoạn AB làm đường kớnh, dựng về phớa ngoài hỡnh chữ nhật nửa đường trũn. Điểm M thuộc nữa đường trũn đú. Cỏc đường thẳng MD, MC AL2 + BN 2 cắt AB lần lượt tại N, L. Chứng minh = 1 . AB2 .Hết . - Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu. - Giỏm thị khụng được giải thớch gỡ thờm. 1
2. UBND TỈNH KON TUM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT chuyờn Nguyễn Tất Thành, THPT Kon Tum Năm học 2019 – 2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN (Mụn chuyờn) HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn gồm 03 trang) I. HƯỚNG DẪN CHUNG : 1) Chấm theo đỳng đỏp ỏn và thang điểm 2) Học sinh làm cỏch khỏc đỳng thi cho điểm tối đa. Nếu chỉ đỳng một phần trờn nào đúcủa bài thi thỡ căn cứ vào thang điểm tương ứng để cho điểm 3) Điểm chi tiết từng ý nhỏ của mỗi bài là 0,25. Tổng điểm toàn bài tớnh đến 0,25 điểm II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM : Cõu í Nội dung Điểm 1. 1.0đ 3- 5 .(3+ 5) Khụng dựng mỏy tớnh cầm tay, hóy tớnh giỏ trị biểu thức P = 10 + 2 Cõu 1 0,25 (2,0đ) 3- 5 .(3+ 5). 2 ( 5 - 1) P = 8 2 0,25 6- 2 5 .(3 5 + 5- 3- 5) ( 5 - 1) .(2 5 + 2) = = 8 8 0,25 ( 5 - 1).2.( 5 + 1) = 8 2.(5- 1) 0,25 = = 1 8 2. 2x- 3 x - 2 1,0đ Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của biểu thức Q = tại x = 2020- 2 2019 x - 2 2 0,25 Ta cú x = 2020- 2 2019 = 2019- 2 2019 + 1= ( 2019 - 1) ị x = 2019 - 1 0,25 2x- 3 x - 2 (2 x + 1)( x - 2) Q = = x - 2 x - 2 Q = 2 x + 1 0,25 ị Q = 2( 2019 - 1)+ 1= 2 2019 - 1 0,25 1. Cho parapol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m2 + 1, m là tham số. Tỡm 1,25đ m để đường thẳng (d) cắt parapol (P) tại hai điểm A(xA ; yA ),B(xB ; yB )sao cho y y - 38 A + B = . xB xA 5 Phương trỡnh hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là 0,5 x2 = 2x + m2 + 1 Û x2 - 2x- m2 - 1= 0 0,5 Phương trỡnh bậc hai cú ac = - m2 - 1< 0 với mọi m nờn luụn cú hai nghiệm 2
3. phõn biệt khỏc 0 với mọi m. Do đú (d) luụn cắt parapol (P) tại hai điểm phõn biệt A(xA ; yA ),B(xB ; yB )với mọi m Cõu 2 (2,5đ) 2 2 0,25 xA ; xB là cỏc nghiệm khac 0 của phương trỡnh x - 2x- m - 1= 0 . ùỡ x + x = 2 Áp dụng hệ thức Vi et ta cú : ớù A B ù = - 2 - ợù xA .xB m 1 0,25 yA yB - 38 Do + = Û 5(yA .xA + yB .xB )= - 38.xA .xB xB xA 5 ộ 3 ự Û 5(x3 + x3 )= - 38.x .x Û 5 ờ(x + x ) - 3x .x (x + x )ỳ= - 38.x .x A B A B ở A B A B A B ỷ A B Û 5 ộ8- 6 - m2 - 1 ự= - 38. - m2 - 1 ởờ ( )ỷỳ ( ) Û 8m2 = 32 Û m = ± 2 0,25 Vậy m = 2 và m = -2 thỏa món điều kiện đề bài. 2. ùỡ x2 - y2 - 6 = 0 1,25đ ù Giải hệ phương trỡnh ù ổ ử2 ớ 2 ỗ 2 ữ (I) ù (x + y- 1) - ỗ ữ - 3 = 0 ù ỗ ữ ợù ốx- yứ ùỡ (x- y)(x + y)= 6 0,25 ù ù Ta cú (1) Û ớ 2 4 ù x + y- 1 - - 3 = 0 ù ( ) 2 ù - ợù (x y) ùỡ a = x + y Đặt Û ớù (b ạ 0) ợù b = x- y ùỡ 1 a ùỡ ab = 6 ù = (1) ù ù khi đú (I) Û ù Û ù b 6 ớ 2 4 ớ 2 ù (a- 1) - - 3 = 0 ù 2 4a ợù b2 ù (a- 1) - = 3 (2) ợù 36 ộa = 3 0,25 2 2 2 ờ Từ (2) ta cú phương trỡnh Û 9(a- 1) - a = 27 Û 8a - 18a- 18 = 0 Û ờ - 3 ờa = ởờ 4 ùỡ 5 0,25 ù x = ùỡ x + y = 3 ù Với a = 3 ta cú b = 2 suy ra ớù Û ớù 2 ù x- y = 2 ù 1 ợù ù y = ợù 2 ỡ 0,25 ỡ ù - 35 ù - 3 ù x = - 3 ù x + y = ù 8 Với a = ta cú b = - 8 suy ra ớ 4 Û ớ 4 ù ù 29 ợù x- y = - 8 ù y = ợù 8 0,25 ổ- 35 29ử ổ5 1ử Vậy hệ đó cho cú hai nghiệm (x; y)= ỗ ; ữ;(x; y)= ỗ ; ữ ốỗ 8 8 ứữ ốỗ2 2ứữ 3
4. Hỡnh vẽ O' Cõu 3 H (2,5đ) B C Q O D M F E A T K 1. Vỡ CD là đường kớnh nờn Cã BD 900 0,25 Do đú Bã EF ãABF (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc cựng nhọn) 0,25 Mà ãABF Oã DB (OB OD R) 0,25 Nờn Bã EF Oã DB . Do đú tứ giỏc CDFE nội tiếp đường trũn 0,25 2. Gọi Q là giao điểm của BM và CD 0,25 Tam giỏc BEF vuụng tại B nờn BM = ME Mã BE Mã EB (1) Tam giỏc BCD vuụng tại B nờn Bã CD Bã DC 900 mà Bã DC Bã EF 0,25 (chứng minh cõu 1) nờn Bã CD Bã EF 900 (2) Từ (1) và (2) : Bã CD Mã BE 900 Bã QC 900 hay BM  CD K là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc CDFE, O là trung điểm CD, nờn 0,25 KO  CD KO / /MB (cựng vuụng gúc với CD) (3) Ta cú M là trung điểm EF, nờn KM  EF và BA  EF KM / / AB hay KM / BO (4) Từ (3) và (4) suy ra KMBO là hỡnh bỡnh hành 3. H là trực tõm tam giỏc DEF, do đú HD  EF , suy ra HD / / AB 0,25 Tương tự BH / / AD (cựng vuụng gúc BF) Do đú BHDA là hỡnh bỡnh hành nờn BH = AD Mặt khỏc BDAC là hỡnh chữ nhật nờn AD = BC BH BC (5) 0,25 Lấy O’ đối xứng với O qua B ta cú BO’ = BO (6) với O’ cố định vỡ O, B cố định Từ (5) và (6) suy ra HO’CO là hỡnh bỡnh hành nờn O’H = OC = R 0,25 Vậy H chạy trờn đường trũn cố định (O'; R) 1. Cho số thực x thỏa món - 1Ê x Ê 1 . Chứng minh rằng 1+ x + 1- x ³ 2- x2 . 1,0đ Cõu 4 Với - 1Ê x Ê 1 ta cú 0 ³ - x2 Û 2 + 2 1- x2 ³ 2- x2 + 2 1- x2 0,25 4
5. (2,0đ) 2 2 0,25 Û ( 1+ x + 1- x) ³ (1+ 1- x2 ) Û 1+ x + 1- x ³ 1+ 1- x2 2 ộ ự 2 2 2 2 0,25 Lại cú : 0 Ê 1- x Ê 1," x ẻ ở- 1;1ỷị 1- x ³ 1- x Û 1+ 1- x ³ 2- x 2 2 ộ ự 0,25 Vậy 1+ x + 1- x ³ 1- x ³ 2- x ," x ẻ ở- 1;1ỷ. ỡ 2 ù - x = 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ớù Û x = 0 ù 2 2 ợù 1- x = 1- x 2. Cho tập hợp A gồm 41 phần tử là cỏc số nghuờn khỏc nhau thỏa món tổng của 21 1,0đ phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử cũn lại. Biết cỏc số 401 và 402 thuộc tập A. Tỡm tất cả cỏc phần tử của tập hợp A. 0,25 Giả sử A = {a1 ; a2 ; a3 ; ; a41} với a1 ; a2 ; a3 ; ; a41 ẻ Â và a1 a22 + a23 + + a41 Û a1 > a22 - a2 + a23 - a3 + + a41 - a21 (1) Mặt khỏc với x; y ẻ Â và nếu y > x thỡ y ³ x + 1 0,25 ị a22 - a2 ³ 20,a23 - a3 ³ 20, ,a41 - a21 ³ 20 (2) Nờn từ (1) suy ra a1 > 20 + 20 + 20 + + 20 = 400 Mà a1 nhỏ nhất và 401 ẻ A ị a1 = 401 Ta cú 401> a22 - a2 + a23 - a3 + + a41 - a21 ³ 400 ị a22 - a2 + a23 - a3 + + a41 - a21 = 400 Kết hợp với (2) 0,25 ị a22 - a2 = a23 - a3 = = a41 - a21 = 20 (3) ị 20 = a22 - a2 = (a22 - a21 )+ (a21 - a20 )+ + (a3 - a2 )³ 20 ị a22 - a21 = a21 - a20 = = a3 - a2 = 1 (4) Ta cú a1 = 401 mà 402 ẻ A ị a2 = 402 Kết hợp (3) và (4) suy ra A = {401; 402; 403; ; 441} 0,25 Cõu 5 Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2a,BC = a 2 . Lấy đoạn AB làm đường kớnh, 1,0đ (1,0đ) dựng về phớa ngoài hỡnh chữ nhật nửa đường trũn. Điểm M thuộc nữa đường trũn đú. Cỏc đường thẳng MD, MC cắt AB lần lượt tại N, L. Chứng minh AL2 + BN 2 = 1 . AB2 0,25 M A L B N O P D C Q Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CD với MA và MB. Đặt PD = x ; CQ = y 5
6. Ta cú : ãAPD Qã BC (gúc cú cặp cạnh tương ứng vuụng gúc) PD BC x a 2 APD : QBC xy 2a2 AD QC a 2 y PC 2 QD2 x 2a 2 y 2a 2 x2 y2 4a x y 8a2 0,25 x y 2 4a x y 8a2 2xy x y 2 4a x y 4a2 x y 2a 2 PQ2 1 MN ML MA MB AL BN AB 0,25 Áp dụng định lý Tales, ta cú : MD MC MP MQ PC QD PQ AL2 BN 2 AB2 AL2 BN 2 AL2 BN 2 (do 1 ) PC 2 QD2 PQ2 PQ2 QD2 PQ2 AL2 BN 2 0,25 AB2 AL2 BN 2 1. AB2 6