Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2019 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (2,0 điểm) x 6 x 9 x 6 x 9 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A với x > 9. 81 18 1 x2 x b) Tìm x thỏa 9x 8 7x 6 5x 4 3x 2 x 0 Bài 2: (2,0 điểm ) a) Cho ba số thực dương phân biệt a, b, c thỏa a b c 3 . Xét ba phương trình bậc hai 4x2 4ax b 0 , 4x2 4bx c 0 , 4x2 4cx a 0 . Chứng minh rằng trong ba phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm. 1 b) Cho hàm số y x2 có đồ thị (P) và điểm A 2;2 . Gọi d là đường thẳng qua A có hệ số góc m. Tìm tất 2 m cả các giá trị của m để dm cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B, đồng thời cắt trục Ox tại điểm C sao cho AB = 3AC. Bài 3: ( 1,5 điểm ) a) Giải phương trình : x2 6 x 3 x 1 14x 3 x 1 13 0 1 8xy 22y 12x 25 3 b) Giải hệ phương trình : x 3 y 3y x 5 x 2 Bài 4 : (1,5 điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA < CB. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD và nửa đường tròn (O), P là giao điểm của AK và BC. r 2 3 r 2 3 Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APB lần lượt là và . Tính diện tích tứ giác ABKC. 12 3 Bài 5:(1,5 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn (BA < BC) nội tiếp trong đường tròn (O).Vẽ đường tròn (O) đi qua A và C sao cho (Q) cắt các tia đối của tia AB và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là D và E. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh QM vuông góc BM. Bài 6: (1 điểm) Ba bạn A, B, C cùng chơi một trò chơi : sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến (có thể giống nhau), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C : B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng biết. C nói : Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa, số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. B nói : A, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi. Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ? Hết
2. ĐÁP ÁN Bài 1: 2 2 x 6 x 9 x 6 x 9 x 9 3 x 9 3 a) A 81 18 2 1 9 2 1 x x x 2 2 x 9 3 x 9 3 9 x 9 1 9 x 1 x 6x 54 Th1: 9 x 18 A 6 12 Dấu = xảy ra khi x = 18. x 9 x 9 2x Th2: x 18 A Ta sẽ chứng minh A > 12. Thật vậy x 9 A 12 2x 12 x 9 4x 144x 144.9 0 4 x 18 2 0, x 18 Từ đó ta có A 12 với mọi x > 9. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 12 khi x = 18 b) 9x 8 7x 6 5x 4 3x 2 x 0 9x 8 7x 6 5x 4 3x 2 x VT 0 nên VP x 0 x 0 9x 8,7x 6,5x 4,3x 2 0 20 Phương trình trở thành: 8 9x 6 7x 4 5x 2 3x x 0 x loại vì x 0 23 Vậy S  Bài 2: ' 2 ' 2 ' 2 a) 1 4 a b ; 2 4 b c ; 3 4 c a ' ' ' 2 2 2 Xét tổng S 1 2 3 4. a b c a b c a b c 2 Ta có a2 b2 c2 3 a b c S 0 3 Dấu = không xảy ra vì a,b,c phân biệt nên S 0 có ít nhất một phương trình có ' 0 Mặc khác giả sử a>b>c 2 ' 3a 3 a b c 3c a 1,c 1 c 1 a 3 0 có ít nhất một phương trình vô nghiệm. b) Đặt dm : y mx n Theo giả thiết ta có AB 3AC và A, B, C thẳng hàng Áp dụng định lí thales ta có: yA yB 3 yA yC 2 yB 6 2 yB 6 hoặc 2 yB 6 Do B thuộc P nên yB 0 nên yB 8 xB 4 Nếu xB 4 thì B 4;8 . Khi đó đường thẳng đi qua 2 điểm B 4;8 và A 2;2 có phương trình là dm : y 3x 4 m 3 Nếu xB 4 thì B 4;8 . Khi đó đường thẳng đi qua 2 điểm B 4;8 và A 2;2 có phương trình là dm : y x 4 m 1 Vậy m = 3 và m = -1 thỏa mãn đề bài.
3. Bài 3: a) Điều kiện: x 1 Phương trình tương đương x2 2x 1 6 x 1 x 1 12 x 1 12 x 1 3 x 1 0 x 1 2 6 x 1 x 1 12 x 1 9 x 1 0 3 2 x 1 x 1 6 x 1 12 x 1 9 0 x 1 0 3 2 x 1 6 x 1 12 x 1 9 0 x 1 3 2 x 1 6 x 1 12 x 1 9 0 2 Đặt a x 1 , thay vào 2 ta được: 2 3 3 2 3 3 a 6a 12a 9 0 a 3 a 3a 3 0 a 3 a 0 a 3 0 a 3 2 4 x 1 3 x 8 Vậy phương trình có tập nghiệm là S 1;2 b) Điều kiện: x 2; x 0 1 8xy 22y 12x 25 3 1 x 3 y 3y x 5 x 2 2 Xét pt (2) ta có: y3 3y x 2 x 2 3 x 2 3 y3 x 2 3 y x 2 0 y x 2 y2 y x 2 x 2 3 0 y x 2 Thay y x 2 y 0 vào (1) ta được: 1 8x x 2 22 x 2 12x 25 x3 1 8 x 2 x 2 12 x 2 6 x 2 1 x3 3 3 1 2 x 2 1 x 1 2 x 2 1 x Từ đó suy ra 0 x 1 ta có phương trình trên tương đương: 2 2 1 2x x 2 1 x 4x2 x 2 1 x x 1 4x 1 0 x 4 1 3 y 2 thỏa đk 4 2 1 3 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất x; y ; 4 2
4. Bài 4: Ta có tứ giác CBMD nội tiếp K· AB K· BM D· CM C· KA . CK / / AB 2 3 2 r KC SPCK 12 1 KC 1 1 Lại có PCK : PAB g g CK AB r BA S 3 4 BA 2 2 PAB r 2 3 Suy ra 3 tam giác COK, CAO, BOK đều và bằng nhau. Mà ACKO và OCKB là các hình bình hành nên P là trọng tâm của tam giác COK. r 2 3 3r 2 3 S 3S 9S 9. ABCK COK PKC 12 4 Bài 5: Gọi H là giao điểm của BM và DE. Ta có tứ giác MBAC và CADE nội tiếp C· MB D· AC C· EH tứ giác MCEH nội tiếp. Mà tứ giác ECAD nội tiếp E· CH E· MH E· DA 1800 ·ACE A,C, H thẳng hàng. Ta có C· MH C· ED C· AB mà D· MB C· ED D· MB C· MH C· AB D· MC 1800 2B· AC 1800 D· QC Tứ giác MDQC nội tiếp. Q· MC Q· DC Q· CD Q· MD B· DM D· MG C· MH C· MQ 900 QM  BM (đpcm)
5. Bài 6: Gọi hai số bạn A chọn là a, b Vì B không biết số A chọn nên a b 4;5; ;16 Theo giả thiết, B biết chắc chắn C cũng không biết nên ta xét bẳng sau: (a,b) a + b a.b Các bộ có tích bằng a.b (9,7) 16 63 (1,63), (3,21), (9,7) (8,7) 15 56 (1,56), (2,28), (4,14), (8,7) (7,7) 14 49 (1,49), (7,7) (6,7) 13 42 (1,42), (2,21), (3,14), (6,7) (5,7) 12 35 (1,35), (5,7) (4,7) 11 28 (1,28), (2,14), (4,7) (3,7) 10 21 (1,21), (3,7) (2,7) 9 14 (1,14), (2,7) (1,7) 8 7 (1,7) (2,5) 7 10 (1,10), (2,5) (1,5) 6 5 (1,5) (1,3) 4 3 (1,3) Ta thấy nếu A nói C một số bất kì trong các số thuộc cột 3, C sẽ biết được hai số A chọn. suy ra nếu A nói B một số bất kì thuộc cột 2, B sẽ không chắc chắn được C không biết hai số A chọn. Suy ra a b 5 a,b 1,4 hoặc a,b 2,3 Mặc khác vì sau câu nói của B, C biết được hai số A chọn và biết được tích hai số đó lớn hơn số của B hay tích của hai số đó lớn hơn 5 Vậy a,b 2,3