Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab 1, a +b 0 . Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 3 1 1 6 1 1 P ( ) ( ) ( ) (a b)3 a3 b3 (a b)4 a2 b2 (a b)5 a b Câu 2. (2,5 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 x 3 3x x 3 b) Chứng minh rằng: abc(a3 b3 )(b3 c3 )(c3 a3 )7 a,b,c R Câu 3. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD . Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F . Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của AC tại E . Hai đường thẳng BC và EF cắt KE nhau tại K . Tính tỉ số KF Câu 4. (1 điểm) Cho hai số dương a , b thỏa mãn điều kiện: a+b 1. 3 a 9 Chứng minh rằng: a2 4a b 4 Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng: a) Chứng minh BA.BC =2.BD. BE b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC . Câu 6. (1 điểm) Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, , người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x10 y1 y2 y10 HẾT
2. Hướng dẫn giải Câu 1. Với ab 1 , a + b 0, ta có: a3 b3 3(a2 b2 ) 6(a b) P (a b)3 (ab)3 (a b)4 (ab)2 (a b)5 (ab) a3 b3 3(a2 b2 ) 6(a b) (a b)3 (a b)4 (a b)5 a2 b2 1 3(a2 b2 ) 6 (a b)2 (a b)4 (a b)4 (a2 b2 1)(a b)2 3(a2 b2 ) 6 (a b)4 (a2 b2 1)(a2 b2 2) 3(a2 b2 ) 6 (a b)4 (a2 b2 )2 4(a2 b2 ) 4 (a b)4 (a2 b2 2)2 (a b)4 (a2 b2 2ab)2 (a b)4 2 (a b)2 (a b)4 1 Vậy P 1, với ab 1 , a+b 0. Câu 2a. Điều kiện: x 3 Với điều kiện trên, phương trình trở thành:
3. 2x2 3x x 3 ( x 3)2 0 2x2 2x x 3 ( x 3)2 x x 3 0 2x(x x 3) x 3(x x 3) 0 (x x 3)(2x x 3) 0 x 3 x(1) x 3 2x(2) x 0 1 13 x 0 x 1 13 (1) : x 3 x x 2 2 x 3 x 2 1 13 x 2 x 0 x 0 x 1 (2) : x 3 2x x 1 x 3 4x2 3 x 4 1 13  So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 1;  2  Câu 5.
4. a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE Ta có: DBA+ ABC 900 , EBM +ABC 900 DBA =EBM (1) Ta có: ONA OME (c-g-c) EAN= MEO Ta lại có: DAB +BAE+ EAN 900, và BEM +BAE +MEO 900 DAB= BEM (2) Từ (1) và (2) suy ra BDA đồng dạng BME (g-g) BD BA BA.BC DB.BE BA.BM BM BE 2 2BD.BE BA.BC b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của ABC Gọi F là giao của BD và CA. Ta có BD.BE= BA.BM (cmt) BD BM BDM ~ BAE(c g c) BA BE BMD BEA Mà BCF=BEA(cùng chắn AB) =>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF Gọi T là giao điểm của CD và AH . TH CT BCD có TH //BD (HQ định lí Te-let) (3) BD CD TA CT FCD có TA //FD (HQ định lí Te-let) (4) FD CD Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH T là trung điểm AH .