Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 7 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 7 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. Câu 1: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của M là 3 10 3 3 A. A10 . B. 3 . C. C10 . D. 10 . Lời giải Chọn C. Số tập con gồm 3 phần tử thỏa yêu cầu bài toán là số cách chọn 3 phần tử bất kì trong 10 3 phần tử của M . Do đó số tập con gồm 3 phần tử của M là C10 . 1 Câu 2. Một cấp số nhân có công bội bằng 4 và số hạng đầu bằng . Số hạng thứ 2019 bằng 2 A. 22018 .B. 24035 .C. 22019 .D. 24036 . Lời giải Chọn B. 1 Ta có: u u .q2018 .42018 24035 . 2019 1 2 Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. ;0 . B. ; 2 . C. 1;0 . D. 0; . Lời giải Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 . Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng x 2 0 2 y 0 0 0 3 3 y 1 A. 2 . B. 3 . C. 1 D. 0 Lời giải Chọn C Câu 5. Hàm số y x4 2mx2 1 đạt cực tiểu tại x 0 khi: A. 1 m 0. B. m 0. C. m 1. D. m 0. Lời giải Chọn D
2. y 0 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì . y 0 0 Ta có y 4x3 4mx và y 12x2 4m . Vậy ta có 4m 0 m 0 . Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng ? x2 3x 2 x3 1 x3 2x2 1 2 A. y .B. y .C. y . D. y . x 1 x 1 x x 3 Lời giải Chọn A. x2 3x 2 Ta có: y x 2 , x 1 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. x 1 Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình sau? y 1 O x A. y x3 3x2 1 B. y x4 2x2 1.C. y x3 3x2 1.D. y x4 2x2 1. Lời giải Chọn A Nhận thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm bậc 3 có hệ số a 0 . Suy ra ta chọn hàm số y x3 3x2 1. Câu 8. Số giao điểm của đồ thị C : y x3 x và đường thẳng d : y 2 là A. 0 . B. 1.C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của C và d : x3 x 2 x3 x 2 0 x 1. Vậy số giao điểm của C và d là 1. Câu 9. Với a là số thực dương tùy ý 3 a2 bằng 3 2 1 A. a6 . B. a 2 .C. a3 . D. a6 . Lời giải Chọn C
3. m Theo tính chất n am a n với a 0 và m ¢ ,n ¥ * . 2 Vậy 3 a2 a 3 . Câu 10. Đạo hàm của hàm số y 5x là: 5x A. 5x ln 5. B. .C. 5x .D. x5x 1. ln 5 Lời giải Chọn A ' Theo công thức đạo hàm a x a x ln a. Vậy y' 5x ln a. 3 Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, log9 4a bằng 2 3 1 A. log 2 log a . B. log 2 log a .C. 6log a . D. log a. 3 3 3 3 2 3 3 6 3 Lời giải Chọn B 3 1 3 3 Ta có log9 4a log3 4 log3 a log3 2 log3 a. 2 2 Câu 12. Nghiệm của phương trình 73x 1 49 là A. x 2. B. x 3.C. x 0.D. x 1. Lời giải Chọn D Ta có 73x 1 49 3x 1 2 x 1. Câu 13. Nghiệm của phương trình log5 (3x) 2 là 25 10 52 A. x .B. x .C. x .D. x 52 . 3 3 3 Lời giải Chọn A Ta có: log 5 (3x) 2 3x 52 25 x 3 Câu 14. Cho hàm số f x 2 4x3 .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
4. A. f x dx 12x2 C .B. f x dx x4 2x C . C. f x dx x4 2x C .D. f x dx x4 2x C . Lời giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản : f x dx 2 4x3 dx 4x3 2 dx x4 2x C 1 Câu 15. Cho hàm số f x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? 2x 1 2 1 1 A. f x dx C . B. f x dx C . 2x 1 x 1 1 1 1 C. f x dx . C .D. f x dx C . 2 2x 1 2 2x 1 Lời giải Chọn D Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản : 1 1 1 1 f x dx dx . C C 2x 1 2 2 2x 1 2 2x 1 3 5 5 Câu 16. Nếu f x dx 6 và f x dx 4 thì f x dx bằng 1 1 3 A. 2 .B. 3 .C. 10.D. 2 . Lời giải Chọn A Áp dụng tính chất tích phân cơ bản : 3 5 5 5 5 f x dx f x dx f x dx 6 f x dx 4 f x dx 4 6 2 1 3 1 3 3 2 Câu 17. Tích phân exdx bằng 1 A. e2 e .B. e e2 . C. e2 e .D. e e2 . Lời giải Chọn C Áp dụng tính chất tích phân cơ bản : 2 2 exdx ex e2 e 1 1 Câu 18. Số phức liên hợp của số phức: z 3 i là A. z 3i 1.B. z 3 i .C. z 3 i .D. z 3 i .
5. Lời giải Chọn D Ta có: a bi a bi nên z 3 i Câu 19. Cho hai số phức z 5 2i và w 5 2i . Số phức z w bằng A. 10 4i .B. 10 .C. 10 2i .D. 4i . Lời giải Chọn B Ta có: z w= 5 2i 5 2i 10 Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, phần ảo của số phức 5 2i là A. 2.B. 2i . C. 5 .D. 2i . Lời giải Chọn A Số phức a bi có phần ảo là b . Vậy phần ảo của số phức 5 2i là 2 Câu 21. Một khối chóp có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 9. Tính thể tích khối chóp đó. A. 36 .B. 12.C. 24 .D. 72 . Lời giải Chọn B 1 1 Thể tích khối chóp : V h.B .9.4 12 3 3 Câu 22. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 6 là A. 216 . B. 54 .C. 108 3 .D. 54 3 . Lời giải Chọn D 62 3 Thể tích khối chóp : V h.B 6. 54 3 4 Câu 23. Công thức tính diện tích xung quanh khối nón có bán kính đáy r và đường sinh l là A. 2 rl .B. r 2l .C. 4 r 2 .D. rl . Lời giải Chọn D Công thức sách giáo khoa. Câu 24. Hình trụ có bán kính đáy r 2 và đường sinh l 4 có thể tích bằng A. 18 . B. 12 .C. 16 .D. 20 . Lời giải Chọn C Thể tích hình trụ : V r 2.h .22.4 h l 4 V 16
6.  Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 1;2 và B 0;1;2 . Vectơ AB có tọa độ là A. 1;2;0 . B. 1; 2;0 . C. 1;2;0 . D. 1; 2;0 . Lời giải Chọn C  Ta có AB 1;2;0 . Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 1 2 z 2 2 9 . Tâm I của mặt cầu S có tọa độ là A. I 0;1; 2 . B. I 0; 1;2 . C. I 0; 1; 2 . D. I 0;1;2 . Lời giải Chọn A Tâm I của mặt cầu S có tọa độ là I 0;1; 2 . Câu 27. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng : 2x 3y 2z 1 0 đi qua điểm nào dưới đây? A. A 2;1;1 . B. B 0;1;1 . C. I 1;1;0 . D. D 1;1;1 . Lời giải Chọn D Câu 28. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng x 1 y 1 z 2 d : ? 2 1 3     A. u1 2;1; 3 . B. u2 1;1; 2 . C. u3 1; 1;2 . D. u4 2;1;3 . Lời giải Chọn A Câu 29. Một nhóm học sinh gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh đi làm nhiệm vụ. Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ bằng 10 5 5 5 A. .B. .C. .D. . 33 33 66 12 Lời giải Chọn B Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong 12 học sinh”. 2 Không gian mẫu của phép thử có số phần tử là n  C12 66 . 2 Gọi A là biến cố: “Chọn được 2 học sinh nữ ” n A C5 10 . n A 5 Xác suất của biến cố A là P A . n  33 Câu 30. Hàm số y x3 6x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 .B. 1;3 . C. 2;1 .D. ¡ . Lời giải Chọn A 2 x 0 Ta có y 3x 6 ; y 0 x 2 Bảng biến thiên
7. Từ bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên 0;1 . 4 Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x trên đoạn 1;3 là x 13 A. 5 .B. 4 .C. . D. 4 . 3 Lời giải Chọn A 4 x 2 Ta có y 1 2 ; y 0 x x 2 Trên 1;3 y 0 có một nghiệm là x 2 . 13 y 1 5; y 2 4; y 3 3 max y 5 . 1;3 Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên thỏa mãn bất phương trình log2 3 x 3 là A. 6 .B. 7 . C. 8 .D. 9 . Lời giải Chọn B Điều kiện 3 x 0 x 3 Ta có log2 3 x 3 3 x 8 x 5 Tập nghiệm của bất phương trình là S 5;3 . Khi đó có 7 giá trị nguyên thuộc 5;3 là nghiệm của bpt. 4 Câu 33. Cho f x , g x là hai hàm liên tục trên 1;4 thỏa: f x 3g x dx 10 , 1 4 4 2 f x g x dx 6 . Tính f x g x dx . 1 1 A. 6 . B. 4 . C. 2 . D. 7 . Lời giải Chọn C 4 f x dx a Đặt 1 4 f x dx b 1
8. 4 4 4 f x 3g x dx 10 f x dx 3 g x dx 10 1 1 1 a 3b 10 a 4 Ta có : 4 4 4 2a b 6 b 2 2 f x g x dx 6 2 f x dx g x dx 6 1 1 1 4 f x dx 4 4 4 4 1 f x g x dx f x dx g x dx 4 2 2. 4 f x dx 2 1 1 1 1 Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn: z 2 i 13i 1. Tính mô đun của số phức z . 34 5 34 A. z 34 .B. z 34 .C. z .D. z . 3 3 Lời giải Chọn B 1 13i Cách 1: Ta có z 2 i 13i 1 z 3 5i z 34 . 2 i 1 13i Cách 2: Dùng máy tính Casio bấm z . 2 i Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD . 1 A. 45.B. arcsin .C. 30 . D. 60 . 4 Lời giải Chọn C S D C O A B
9. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD . Ta có AO  BD AO  SBD nên SO là hình chiếu vuông góc của AS lên mặt phẳng SBD AO  SD suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD là góc ·ASO . a 2 OA 1 Trong tam giác vuông AOS , ta có sin ·ASO 2 ·ASO 30. SA a 2 2 Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết SB 3a , AB 4a , BC 2a . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC . 12 61a 4a 12 29a 3 14a A. . B. . C. . D. . 61 5 29 14 Lời giải Chọn A S E C B D A Từ B kẻ BD vuông góc AC tại D , suy ra AC  SBD SAC  SBD . Mặt khác từ B kẻ BE vuông góc SD tại E thì BE  SAC BE d B, SAC . Trong SBD vuông tại B , ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 61 . BE 2 SB2 BD2 SB2 BA2 BC 2 9a2 16a2 4a2 144a2 12 61a Suy ra BE . 61 Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 0; 2 và mặt phẳng P có phương trình: x 2y 2z 4 0 . Phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P là A. x 1 2 y2 z 2 2 9 . B. x 1 2 y2 z 2 2 3 . C. x 1 2 y2 z 2 2 3 .D. x 1 2 y2 z 2 2 9 . Lời giải Chọn A
10. Mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P nên bán kính mặt cầu là 1 0 2 2 4 R d I, P 3. 1 4 4 Vậy phương trình mặt cầu là x 1 2 y2 z 2 2 9 . Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : x 2y 2z 3 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A 2;1; 5 và vuông góc với là x 2 t x 2 t x 2 t x 1 2t A. y 1 2t. B. y 1 2t. C. y 1 2t . D. y 2 t. z 5 2t z 5 2t z 5 2t z 2 5t Lời giải Chọn C Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng : x 2y 2z 3 0 . Khi đó đường thẳng d qua A có véctơ chỉ phương (1;-2;2) có PTTS x 2 t là y 1 2t . z 5 2t Câu 39. Hàm số y f x có đồ thị y f x như hình vẽ. Xét hàm số 1 3 3 g x f x x3 x2 x 2021. 3 4 2 y 3 1 -1 -3 O 1 x -2 Trong các mệnh đề dưới đây (I) g(0) g(1) . (II) min g(x) g( 1) . x  3;1 (III) Hàm số g(x) nghịch biến trên ( 3; 1) . (IV) max g x max g( 3),g(1). x 3;1 Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn D 3 3 3 3 Ta có g' x f ' x x2 x f ' x (x2 x ) . 2 2 2 2
11. f '( 1) 2 g '( 1) 0 Căn cứ vào đồ thị ta có: f '(1) 1 g '(1) 0 f '( 3) 3 g '( 3) 0 3 3 Vẽ Parabol (P): y x2 x trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số y f x 2 2 3 3 Ta có: Trên ( 3; 1) thì f ' x x2 x nên g' x 0, x ( 3; 1) 2 2 3 3 Trên ( 1;1) thì f ' x x2 x nên g' x 0, x ( 1;1) 2 2 Khi đó BBT của hàm số g x trên đoạn 3;1 : Vậy: min g(x) g( 1) , g(0) g(1) , x  3;1 hàm số g(x) nghịch biến trên ( 3; 1) và max g x max g( 3),g( 1) . x 3;1 2 Câu 40. Tập hợp tất cả các số thực x không thỏa mãn bất phương trình 3x 9 x2 9 5x 1 1 là một khoảng a;b . Tính b a. A. 6. B. 3. C. 4. D. 8. Lời giải Chọn A Điều kiện xác định của bất phương trình: x ¡ . 2 Do đó để giải bài toán ta chỉ cần giải bất phương trình: 3x 9 x2 9 5x 1 1 2 Nếu: x2 9 0 ta có: 3x 9 x2 9 5x 1 30 0 1 không thỏa yêu cầu bài toán. 2 Vậy 3x 9 x2 9 5x 1 1 x2 9 0 3 x 3. 2 Ngược lại nếu 3 x 3 thì ta có: 3x 9 x2 9 5x 1 30 1. (vì 5x 1 0 và x2 9 0 ) 2 Vậy 3x 9 x2 9 5x 1 1 0 3 x 3 x 3;3 . Do đó b a 3 3 6. ĐỀ 7 câu 41-45
12. Câu 41. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 1;3 và f x 0 với 2 2 2 mọi x 1;3, đồng thời f x 1 f x f x x 1 và f 1 1. Biết rằng 3 f x dx a ln 3 b , a , b ¢ . Tính tổng S a b2 . 1 A. S 1. B. S 2 . C. S 0 . D. S 4 . Lời giải Chọn A 2 2 2 2 f x 1 f x 2 Ta có f x 1 f x f x x 1 x 1 . f 4 x 2 f x 1 f x 2 Lấy nguyên hàm 2 vế ta được dx x 1 dx f 4 x 2 1 2 f x f x f x 2 dx x 1 dx f 4 x 3 1 1 1 x 1 2 d f x C 4 3 2 f x f x f x 3 3 3 1 1 1 x 1 1 3 f x 3 f 2 x x 1 C C 3 f 3 x f 2 x f x 3 3 f 3 x 3 1 3 3 1 Mà f 1 1 nên C C . 3 3 3 3 1 3 f x 3 f 2 x x 1 1 1 3 f x 3 f 2 x 1 x 1 Suy ra 3 f 3 x 3 3 3 f 3 x 3 3 3 3 1 f x 3 1 3 1 x 1 1 1 x f x . 3 f x f x x 3 3 3 1 Vậy f x dx dx ln x ln 3. Suy ra a 1; b 0 hay a b 1. x 1 1 1 Câu 42. Cho số phức z a bi ( a , b ¡ ) thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A z 2 2 z 2 . A. 10 2 . B. 7 . C. 10. D. 5 2 . Lời giải Chọn D Ta có: z 2 2 a 2 2 b2 ; z 2 2 a 2 2 b2 . Suy ra: z 2 2 z 2 2 2 a2 b2 8 2 z 2 8 10 . 2 Ta có: A2 z 2 2 z 2 12 22 z 2 2 z 2 2 50 . Vì A 0 nên từ đó suy ra A 50 5 2 . Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2 .
13. Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA  ABC . Mặt phẳng SBC cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ABC góc 300 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 8a3 3a3 4a3 8a3 A. . B. . C. . D. . 9 12 9 3 Lời giải Chọn A S H A C 300 I B Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp SBC và mp ABC là S¶IA 300 . H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra d A, SBC AH a . AH Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra AI 2a . sin 300 3 4a Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra 2a x x . 2 3 2 4a 3 4a2 3 Diện tích tam giác đều ABC là SABC . . 3 4 3 2a Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra SA AI.tan 300 . 3 1 1 4a2 3 2a 8a3 Vậy V .S .SA . . . S.ABC 3 ABC 3 3 3 9 Câu 44. Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và AB mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số bằng CD
14. A B 18m C D 12m 1 4 1 3 A. .B. .C. .D. . 2 5 3 2 1 2 2 Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. y 6 O x1 x2 x B 18m C D 18 Phương trình Parabol có dạng y a.x2 P . 2 1 1 P đi qua điểm có tọa độ 6; 18 suy ra: 18 a. 6 a P : y x2 . 2 2 AB x Từ hình vẽ ta có: 1 . CD x2 1 Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB : y x2 là 2 1 x x1 3 1 1 2 1 2 1 x 1 2 2 3 S1 2 x x1 dx 2 . x1 x x1 . 2 2 2 3 2 3 0 0 1 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y x2 là 2 x x2 3 2 1 2 1 2 1 x 1 2 2 3 S2 2 x x2 dx 2 . x2 x x2 2 2 2 3 2 3 0 0
15. x 1 AB x 1 Từ giả thiết suy ra S 2S x3 2x3 1 . Vậy 1 . 2 1 2 1 3 3 x2 2 CD x2 2 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y z 4 0 và đường thẳng x 1 y z 2 d : . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng thời 2 1 3 cắt và vuông góc với đường thẳng d . x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. .B. . 5 1 3 5 1 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 3 z 1 C. .D. . 5 1 2 5 1 3 Lời giải Chọn A Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n P 1;2;1 . Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud 2;1;3 . x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng d : y t . z 2 3t Xét phương trình: 1 2t 2t 2 3t 4 0 7t 7 0 t 1. Suy ra giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P là A 1;1;1 . Ta có: A . Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u n ,u 5; 1; 3 . P d x 1 y 1 z 1 Phương trình chính tắc của đường thẳng : . 5 1 3 Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g x f x2 4x 5 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 7 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Lời giải
16. Chọn B x a x b + Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢(x), ta có: f x 0 (trong đó a 0 b c d và x c x d x b là nghiệm bội chẵn) 2 2 x 1 Hàm số: g x f x 4x 5 , với điều kiện:x 4x 5 0 x 5 x 2 Ta có: g x . f x2 4x 5 x2 4x 5 x 2 x2 4x 5 a x 2 0 2 + g x 0 2 x 4x 5 b f x 4x 5 2021 0 2 x 4x 5 c 2 x 4x 5 d (do điều kiện nên loại nghiệm x 2 và vì a 0 nên phương trình x2 4x 5 a vô nghiệm) 2 x2 4x 5 b x 2 9 b2 x 2 9 b2 x2 4x 5 c x 2 2 9 c2 x 2 9 c2 . x2 4x 5 d x 2 2 9 d 2 x 2 9 d 2 Trong các nghiệm trên, nghiệm x 2 9 b2 là nghiệm bội chẵn. Do đó hàm số chỉ đạt cực trị tại các điểm có hoành độ là x 45 4 c2 và x 45 4 d 2 . Vậy hàm số g x f x2 4x 5 có 4 cực trị. y 2 Câu 47. Cho hai số thực x, y 1 thỏa mãn log2 2x y xy 2 2 x y 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y có dạng M a b c với a,b,c ¥ ,a 1. Tính S a b c A. S 7 . B. S 19 . C. S 17 . D. S 3.
17. Lời giải y 2 Ta có log2 2x y xy 2 2 x y 2 y 2 log2 x 1 y 2 2 x 1 y 2 y 2 2 log x 1 y 2 x 1 1 2 y 2 2 log x 1 log y 2 x 1 log 2 2 2 y 2 2 2 2 log x 1 x 1 log 1 2 2 y 2 y 2 1 Xét hàm số f t log t t với t 0 , ta có f t 1 0,t 0 2 t ln 2 Hàm số f t log2 t t đồng biến trên khoảng 0; 2 2 Khi đó 1 f x 1 f x 1 y 2 y 2 2 2 P x y x 1 y 2 3 y 2 3 2 . y 2 3 2 2 3 y 2 y 2 2 2 y 2 2 n Đẳng thức xãy ra khi y 2 y 2 2 x 2 1 y 2 y 2 2 l a 2 M 2 2 3 b 2 S a b c 7 c 3 Câu 48. Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần 3 tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f x ax3 bx2 cx và 4 3 g x dx2 ex , a,b,c,d,e ¡ . Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành 4 độ lần lượt bằng 2; 1; 3 và chi phí trồng hoa là 960000 đồng/1m 2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền cần để trồng hoa là A. 5060000 .B. 6500000 .C. 8400000 .D. 10000000. Lời giải Chọn A Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
18. 3 3 3 ax3 bx2 cx dx2 ex ax3 b d x2 c e x 0 . 4 4 2 3 Đặt h x ax3 b d x2 c e x 2 3 Dựa vào đồ thị ta có h x ax3 b d x2 c e x có ba nghiệm là x 2; 2 x 1; x 3. 3 Với x 2 ta có 8a 4 b d 2 c e , 1 . 2 3 Với x 1 ta có a b d c e , 2 . 2 3 Với x 3 ta có 27a 9 b d 3 c e , 3 . 2 3 1 8a 4 b d 2 c e a 2 4 3 1 Từ 1 , 2 và 3 ta có a b d c e b d . 2 2 3 5 27a 9 b d 3 c e c e 2 4 Khi đó diện tích trồng hoa là: 3 1 1 1 5 3 3 1 1 5 3 63 4 253 S f x g x dx x3 x2 x dx x3 x2 x dx . 2 2 4 2 4 2 1 4 2 4 2 16 3 48 Số tiền trồng hoa là T 960000.S 5060000 (đồng). Câu 49. Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1 4i 1 và z2 2 i z2 1 i . Giá trị nhỏ nhất của z2 1 2i z2 z1 bằng 2 145 145 2 135 135 A. 1. B. 1. C. 1. D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A Gọi M z1 , N z2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 và z2 . Từ điều kiện z1 4i 1 Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I 0;4 , bán kính R 1 . Từ điều kiện z2 2 i z2 1 i NA NB , với A 2;1 , B 1; 1 Tập hợp điểm N là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình d : 2x 4y 3 0 . Ta có P z2 1 2i z2 z1 NE MN , với E 1;2 .
19. I E M d N F Dễ thấy điểm E và đường tròn I;R nằm hoàn toàn cùng phía so với đường thẳng d . 2 4 Gọi F là điểm đối xứng của E qua d F ; . 5 5 2 145 Ta có NE MN NF NI R FI R 1 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm F,N, M,I thẳng hàng. 2 145 Vậy min P 1. 5 Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6y 5 0 . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm A 0;0;1 , B 2;0;0 và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C sao cho khối nón đỉnh là tâm của S và đáy là là đường tròn C có thể tích lớn nhất. Biết rằng : ax by z c 0 , khi đó a b c bằng A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 3. Vì : ax by z c 0 đi qua hai điểm A 0;0;1 , B 1;0;0 nên a c 1. Suy ra : x by z 1 0 . Đặt IH x , với 0 x 3 ta có r R2 x2 9 x2 . 1 1 1 Thể tích khối nón là V πr 2 IH π 9 x2 x π 9 x2 . 9 x2 .2x2 2 3π . 3 3 3 2
20. 3 2 V 2 3π khi 9 x2 x2 x . max 2 2b 1 3 2 2 Khi đó, d I; 2 2b 1 9 b2 2 b 4 . b2 2 2 Vậy a b c 2 .