Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 6 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 6 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2020 - 2021 Đề số 06 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài 90 phút) Họ và tên thí sinh: SBD: Mã đề thi 006 Câu 1: Có bao nhiêu cách trao 4 phần quà khác nhau cho 4 học sinh? A. 8 .B. 256 .C. 16.D. 24 . Câu 2: Cho cấp số nhân un với u2 8 và công bội q 3. Số hạng đầu tiên u1 của cấp số nhân đã cho bằng 8 3 A. 24 .B. .C. 5 .D. . 3 8 Câu 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A. 1;1 .B. 0;1 .C. 4; .D. ;2 . Câu 4: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. x 0. B. y 1. C. x 2. D. y 2. Câu 5: Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm f x như sau Hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. 2x 1 Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là đường thẳng x 2 A. x 2. B. x 1. C. y 2. D. y 1. Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau
2. A. y x4 3x2 .B. y x3 3x2 .C. y x4 3x2 .D. y x3 3x2 . Câu 8: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x2 4 với trục hoành là A. 2 .B. 1.C. 0 .D. 3 . Câu 9: Giá trị của biểu thức A 2log4 9 log2 5 là A. A 15. B. A 405. C. A 86. D. A 8. Câu 10: Đạo hàm của hàm số y = ln x là 1 A. y¢= x ln x .B. y¢= x .C. y¢= .D. y ln x . x Câu 11: Cho a là số thực dương tùy ý, 3 a5 bằng 5 3 A. a3 .B. a 3 . C. a5 .D. a 5 . Câu 12: Nghiệm của phương trình 23x- 1 = 4 là A. x 1.B. x 1. C. x 2 . D. x 3. 2 Câu 13: Tích tất cả các nghiệm của phương 4log4 x 2 3log2 x 2 2 0 là A. 2 .B. 24 .C. 32 .D. 8 . 3 Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số y sin x là 6 2 3 3 2 3 A. cos x C .B. cos x C . 2 6 2 3 6 2 2 3 3 3 C. cos x C . D. cos x C . 3 6 2 2 6 2 Câu 15: Cho hàm số f x x5 2x4 5x3 26 . Khi đó, f x dx bằng A. 5x4 8x3 15x2 C .B. 20x3 24x2 30x C . C. 60x2 48x C .D. 120x C . a Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Tính P f x dx (với a là hằng số cho trước). a A. P 0 .B. P 1.C. P 2a .D. P a . 2021 e ln x 4 Câu 17: Khi tính Q dx , với cách đặt t ln x , ta có e5 x ln x 45 t 45 2t 2 45 t 45 2t 2 A. Q dt .B. Q dt .C. Q dt .D. Q dt . 2 2 3 t 4 3 t 4 3 t 4 3 t 4
3. Câu 18: Cho số phức z a bi a,b ¡ . Mệnh đề nào sau đây sai? A. z a bi .B. z a bi .C. z2 a2 b2 2abi .D. z z . Câu 19: Cho hai số phức z1 3 4i , z2 3i 2 . Số phức z1z2 bằng A. 6 17i .B. 6 17i .C. 6 17i .D. 6 17i . Câu 20: Cho số phức z 5 2i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là A. 5;2 .B. 5; 2 .C. 5; 2 .D. 5;2 . Câu 21: Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng 8cm và diện tích đáy bằng 6cm2 . Thể tích khối lăng trụ đó bằng A. 14cm3 .B. 16cm3 . C. 48cm2 . D. 48cm3 . Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình vuông. Biết SB 4a , SC 2a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 8 3 4 3 A. V 6a3 .B. V a3 .C. V a3 .D. V 3 3a3 . 3 3 Câu 23: Cho hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l . Diện tích xung quanh của hình nón là 1 A. 2 rl .B. r 2l . C. rl . D. r 2l . 3 Câu 24: Cho khối trụ có bán kính đáy r 5 và độ dài đường sinh l 4. Thể tích khối trụ đó bằng A. 100 .B. 20 .C. 80 .D. 10 . Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1;2; 3 , B 2;0,1 , trọng tâm G 0; 1;4 Khi đó đỉnh C có tọa độ 1 1 2 1 1 2 A. C ; ; .B. C 1; 5;14 .C. C ; ; . D. C 1;1;10 . 3 3 3 3 3 3 Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 5 0 . Gọi I là tâm mặt cầu S . Hình chiếu vuông góc của tâm I xuống mặt phẳng Oxy là điểm A. P 0;0;1 .B. N 1;2;0 .C. M 1; 2;0 .D. Q 0;0; 1 . Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 2y z 2 0 . Phương trình mặt phẳng Q vuông góc với mặt phẳng P và chứa trục Ox là A. Q : x 2z 0 .B. Q : x 2y 0 .C. Q : x y 0 . D. Q : y 2z 0 . x 1 z Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 . Phương trình tham số của 2 1 đường thẳng d có dạng x 1 2t x 1 2t x 1 2t x 1 2t A. y 1 t .B. y 1 t .C. y 1 t .D. y 1 t . z t z t z t z t Câu 29: Thầy giáo chọn 3 học sinh trong một nhóm có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ đi dự đại hội đoàn trường. Tính xác suất sao cho nhóm được chọn có ít nhất 2 học sinh nam.
4. 9 5 17 25 A. . B. .C. .D. . 14 14 42 42 Câu 30: Hàm số y x3 x2 2mx . Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. 1 1 1 1 A. m .B. m .C. m .D. m . 6 6 6 6 Câu 31: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  2;1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. M m 2 . B. M 2 m2 8 . C. 2M m 5 . D. M 2m 1. 2x 1 1 Câu 32: Có bao nhiêu số nguyên âm thuộc tập nghiệm của bất phương trình 25? 5 A. 1.B. 2 .C. 3 .D. Vô số. Câu 33: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ và f x sin x dx 10 . Tính 0 I f x dx . 0 A. I 8 .B. I 12 . C. I 4 . D. I 6 . Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 13i 1. Tính môđun của số phức z . 34 5 34 A. z 34 .B. z 34 .C. z .D. z . 3 3 Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Tính góc tạo bởi đường thẳng A B và đường thẳng B C . A. 300 .B. 450 .C. 600 .D. 900 . Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2. Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a. a 5 a 3 2a 5 a 2 A. d . B. d . C. d . D. d . 2 2 3 3 Câu 37: Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I 1;2; 1 và đi qua điểm A 3;0;0 có phương trình là A. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 .B. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . C. x 3 2 y2 z2 9 . D. x 1 2 y 2 2 z 1 2 1.
5. Câu 38: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;2; 3 và điểm B 2; 1;4 có phương trình tham số là x 1 t x 3 t x 3 2t x 2 t A. y 2 3t .B. y 4 3t .C. y 4 6t .D. y 1 3t . z 3 7t z 11 7t z 17 14t z 4 7t Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. 1 1 Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 3x 9x trên đoạn ; là 3 3 1 A. f 1 .B. f 1 2. C. f .D. f 0 . 3 Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 1000 số nguyên x thỏa mãn log2 x 2 log2 x y 0? A. 9 .B. 10.C. 8 .D. 11. ex m khi x 0 Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên R và 2 x 2x khi x 0 4 e4 b b f 3tan x 1 1 tan2 x dx với a,b,c là các số tự nhiên và là phân số tối giản. a c c 4 Tính tổng a b 2c . A. 36 .B. 40 .C. 28 .D. 42 . Câu 42: Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z m và z 4m 3mi m2 . A. 4 .B. 6 .C. 9 .D. 10. Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 45 ; M , N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AB . Tính thể tích V khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. .B. .C. .D. . 6 4 2 12 Câu 44: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là
6. 18 dm3 .Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 27 dm3 .B. 6 dm3 .C. 9 dm3 .D. 24 dm3 . x 1 y 1 z 2 Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau d : , 1 3 2 2 x 4 y 4 z 3 d : . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 2 2 2 1 d1 , d2 là x 4 y 1 z x 2 y 2 z 2 A. d : .B. . 1 2 1 2 6 3 2 x 2 y 2 z 2 x 4 y 1 z C. . D. . 2 1 2 2 1 2 Câu 46: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x2 3x có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ dưới đây: Hàm số y f x4 8 x 3 13x2 12 x có bao nhiêu điểm cực trị A. 7 B. 13 C. 9. D. 11 Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương y sao cho tồn tại duy nhất một giá trị của x thỏa y x2 4 1 mãn log 3 y x2 4 3x 3 . Số phần tử của S là 3 3x 2 A. 0 .B. 2 .C. 3 .D. vô số.
7. 4 2 Câu 48: Cho hàm số y x 3x m có đồ thị Cm , với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ a a Gọi S , S , S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giả sử m ( là 1 2 3 b b phân số tối giản, a 0 ) để S1 S3 S2 . Giá trị của biểu thức T 3a 2b là A. 4 B. 22 C. 3 D. 23 Câu 49: Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn z1 3 2i z2 3 2i 2 và z1 z2 2 3 . Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 3 5i . Giá trị của biểu thức T m 2n bằng A. T 3 10 2 .B. T 6 10 .C. 6 34 .D. 3 34 2 . Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho A 1; 3; 2 , B 5;1;0 . Gọi S là mặt cầu đường kính AB . Trong các hình chóp đều có đỉnh A nội tiếp trong mặt cầu S , gọi A.MNPQ là hình chóp có thể tích lớn nhất. Phương trình mặt cầu tâm B và tiếp xúc với mặt phẳng MNPQ là 2 2 2 2 A. x 5 y 1 z2 4 .B. x 5 y 1 z2 16 . 2 2 2 2 C. x 5 y 1 z2 2 .D. x 5 y 1 z2 8 . HẾT
8. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D B B B B A B A A C B B C B A A A C B C D B C A B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C D A C B C A A B C D A B D A B D A B C D B B A A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Có bao nhiêu cách trao 4 phần quà khác nhau cho 4 học sinh? A. 8 .B. 256 .C. 16.D. 24 . Lời giải Chọn D. Mỗi cách trao 4 phần quà khác nhau cho 4 học sinh là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy có 4! 24 cách. Câu 2: Cho cấp số nhân un với u2 8 và công bội q 3. Số hạng đầu tiên u1 của cấp số nhân đã cho bằng 8 3 A. 24 .B. .C. 5 .D. . 3 8 Lời giải Chọn B. u 8 Ta có: u u .q u 2 . 2 1 1 q 3 Câu 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A. 1;1 .B. 0;1 .C. 4; .D. ;2 . Lời giải Chọn B. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;1 . Câu 4: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. x 0. B. y 1. C. x 2. D. y 2. Lời giải
9. Chọn B. Hàm số có y đổi dấu từ sang nên hàm số đạt cực đại tại x 0 và giá trị cực đại là y 1. Câu 5: Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm f x như sau Hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B. Hàm số có f x đổi dấu 1 lần khi qua x 1 nên hàm số có 1 cực trị. 2x 1 Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là đường thẳng x 2 A. x 2. B. x 1. C. y 2. D. y 1. Lời giải Chọn A. 2x 1 2x 1 Ta có lim , lim nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị x 2 x 2 x 2 x 2 hàm số. Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau A. y x4 3x2 .B. y x3 3x2 .C. y x4 3x2 .D. y x3 3x2 . Lời giải Chọn B. Đồ thị hàm số trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số bậc ba có hệ số a 0. Câu 8: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x2 4 với trục hoành là A. 2 .B. 1.C. 0 .D. 3 . Lời giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của y x3 3x2 4 và trục hoành là 3 2 x 2 x 3x 4 0 . x 1
10. Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là 2 . Câu 9: Giá trị của biểu thức A 2log4 9 log2 5 là A. A 15. B. A 405. C. A 86. D. A 8. Lời giải Chọn A. Ta có: A 2log4 9 log2 5 2log2 3.2log2 5 3.5 15 . Câu 10: Đạo hàm của hàm số y = ln x là 1 A. y¢= x ln x .B. y¢= x .C. y¢= .D. y ln x . x Lời giải Chọn C. 1 Ta có: y¢= (ln x)¢= . x Câu 11: Cho a là số thực dương tùy ý, 3 a5 bằng 5 3 A. a3 .B. a 3 . C. a5 .D. a 5 . Lời giải Chọn B. m 5 Áp dụng công thức n am = a n , với a > 0 . Ta có: 3 a5 = a 3 . Câu 12: Nghiệm của phương trình 23x- 1 = 4 là A. x 1.B. x 1. C. x 2 . D. x 3. Lời giải Chọn B. Ta có: 23x- 1 = 4 Û 3x- 1= 2 Û 3x = 3 Û x = 1. 2 Câu 13: Tích tất cả các nghiệm của phương 4log4 x 2 3log2 x 2 2 0 là A. 2 .B. 24 .C. 32 .D. 8 . Lời giải Chọn C. ĐK: x 2 2 2 Phương trình 4log4 x 2 3log2 x 2 2 0 log2 x 2 3log2 x 2 2 0 log2 x 2 1 x 2 2 x 4 (thỏa mãn điều kiện). x 2 4 x 6 log2 x 2 2 Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình trên là: 24 . 3 Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số y sin x là 6 2 3 3 2 3 A. cos x C .B. cos x C . 2 6 2 3 6 2 2 3 3 3 C. cos x C . D. cos x C . 3 6 2 2 6 2 Lời giải Chọn B.
11. 1 3 2 3 Ta có: sin ax b dx cos ax b C nên I sin x dx cos x C . a 6 2 3 6 2 Câu 15: Cho hàm số f x x5 2x4 5x3 26 . Khi đó, f x dx bằng A. 5x4 8x3 15x2 C .B. 20x3 24x2 30x C . C. 60x2 48x C .D. 120x C . Lời giải Chọn A. Ta có: f x x5 2x4 5x3 26 f x 5x4 8x3 15x2 . Vì f x f x nên J f x dx f x C 5x4 8x3 15x2 C . a Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Tính P f x dx (với a là hằng số cho trước). a A. P 0 .B. P 1.C. P 2a .D. P a . Lời giải Chọn A. 2021 e ln x 4 Câu 17: Khi tính Q dx , với cách đặt t ln x , ta có e5 x ln x 45 t 45 2t 2 45 t 45 2t 2 A. Q dt .B. Q dt .C. Q dt .D. Q dt . 2 2 3 t 4 3 t 4 3 t 4 3 t 4 Lời giải Chọn A. 1 Đặt t ln x 4 t 2 ln x 4 2tdt dx và ta có x e5 t 3 ; x e2021 t 45 . x 45 2t 2 Vậy Q dt . 2 3 t 4 Câu 18: Cho số phức z a bi a,b ¡ . Mệnh đề nào sau đây sai? A. z a bi .B. z a bi .C. z2 a2 b2 2abi .D. z z . Lời giải Chọn C. Ta có z2 a bi 2 a2 2abi b2i2 a2 b2 2abi . Câu 19: Cho hai số phức z1 3 4i , z2 3i 2 . Số phức z1z2 bằng A. 6 17i .B. 6 17i .C. 6 17i .D. 6 17i . Lời giải Chọn B. Ta có: z1z2 3 4i 3i 2 6 17i . Câu 20: Cho số phức z 5 2i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là A. 5;2 .B. 5; 2 .C. 5; 2 .D. 5;2 . Lời giải Chọn C. Ta có: z 5 2i điểm biểu diễn z có tọa độ 5; 2 .
12. Câu 21: Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng 8cm và diện tích đáy bằng 6cm2 . Thể tích khối lăng trụ đó bằng A. 14cm3 .B. 16cm3 . C. 48cm2 . D. 48cm3 . Lời giải Chọn D. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V B.h 6.8 48 cm3 . Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình vuông. Biết SB 4a , SC 2a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 8 3 4 3 A. V 6a3 .B. V a3 .C. V a3 .D. V 3 3a3 . 3 3 Lời giải Chọn B. Ta có : BC  AB và BC  SA nên BC  SAB BC  SB . 2 SBC vuông tại B có BC SC 2 SB2 2a 5 4a 2 2a . 2 2 SAB vuông tại A có SA SB2 AB2 4a 2a 2a 3 . 1 1 2 8 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V SA.S .2a 3. 2a a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 23: Cho hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l . Diện tích xung quanh của hình nón là 1 A. 2 rl .B. r 2l . C. rl . D. r 2l . 3 Lời giải Chọn C. Câu 24: Cho khối trụ có bán kính đáy r 5 và độ dài đường sinh l 4. Thể tích khối trụ đó bằng A. 100 .B. 20 .C. 80 .D. 10 . Lời giải Chọn A. Thể tích khối trụ là: V r 2h 52.4 100 . Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1;2; 3 , B 2;0,1 , trọng tâm G 0; 1;4 Khi đó đỉnh C có tọa độ
13. 1 1 2 1 1 2 A. C ; ; .B. C 1; 5;14 .C. C ; ; . D. C 1;1;10 . 3 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn B. x x x x A B C G 3 xC 3xG xA xB xC 1 yA yB yC Ta có yG yC 3yG yA yB yC 5 C 1; 5;14 . 3 zC 3zG zA zB zC 14 zA zB zC zG 3 Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 5 0 . Gọi I là tâm mặt cầu S . Hình chiếu vuông góc của tâm I xuống mặt phẳng Oxy là điểm A. P 0;0;1 .B. N 1;2;0 .C. M 1; 2;0 .D. Q 0;0; 1 . Lời giải Chọn C. Ta có I 1; 2;1 . Hình chiếu vuông góc của I 1; 2;1 xuống mặt phẳng Oxy là điểm M 1; 2;0 . Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 2y z 2 0 . Phương trình mặt phẳng Q vuông góc với mặt phẳng P và chứa trục Ox là A. Q : x 2z 0 .B. Q : x 2y 0 .C. Q : x y 0 . D. Q : y 2z 0 . Lời giải Chọn D. Mặt phẳng Q vuông góc với mặt phẳng P và chứa trục Ox có một vecto pháp tuyến n Q n P ,i 0;1;2 . Mặt phẳng Q chứa Ox suy ra O Q . Phương trình mặt phẳng Q : y 2z 0 . x 1 z Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 . Phương trình tham số của 2 1 đường thẳng d có dạng x 1 2t x 1 2t x 1 2t x 1 2t A. y 1 t .B. y 1 t .C. y 1 t .D. y 1 t . z t z t z t z t Lời giải Chọn A. Câu 29: Thầy giáo chọn 3 học sinh trong một nhóm có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ đi dự đại hội đoàn trường. Tính xác suất sao cho nhóm được chọn có ít nhất 2 học sinh nam. 9 5 17 25 A. . B. .C. .D. . 14 14 42 42
14. Lời giải Chọn D. 3 Ta có n  C9 . Gọi A là biến cố ‘nhóm được chọn có ít nhất 2 học sinh nam’. 2 1 TH1: Chọn được 2 nam, 1 nữ: C4 .C5 (cách chọn) 3 TH2: Chọn được 3 nam: C4 . 2 1 3 Suy ra n A C4 .C5 C4 . 2 1 3 C4 .C5 C4 17 P A 3 . C9 42 Câu 30: Hàm số y x3 x2 2mx . Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. 1 1 1 1 A. m .B. m .C. m .D. m . 6 6 6 6 Lời giải Chọn B. y 3x2 2x 2m suy ra hàm số y x3 x2 2mx đồng biến trên ¡ 2 0 1 y 0 x ¡ 3x 2x 2m 0 x ¡ 1 6m 0 m . a 0 6 Câu 31: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  2;1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. M m 2 . B. M 2 m2 8 . C. 2M m 5 . D. M 2m 1. Lời giải Chọn C. Ta có M 3;m 1 suy ra 2M m 5 . 2x 1 1 Câu 32: Có bao nhiêu số nguyên âm thuộc tập nghiệm của bất phương trình 25? 5 A. 1.B. 2 .C. 3 .D. Vô số. Lời giải Chọn A. 2x 1 1 3 25 2x 1 2 x . 5 2 Tập nghiệm của bất phương trình trên có duy nhất một số nguyên âm là 1.
15. Câu 33: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ và f x sin x dx 10 . Tính 0 I f x dx . 0 A. I 8 .B. I 12 . C. I 4 . D. I 6 . Lời giải Chọn A. Ta có f x sin x dx 10 f x dx 10 sin xdx 10 cos x 8. 0 0 0 0 Vậy I 8 . Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 13i 1. Tính môđun của số phức z . 34 5 34 A. z 34 .B. z 34 .C. z .D. z . 3 3 Lời giải Chọn B. 1 13i 1 13i Cách 1: Ta có z 2 i 13i 1 z z 34 . 2 i 2 i 1 13i Cách 2: Dùng máy tính Casio bấm z 34 . 2 i Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Tính góc tạo bởi đường thẳng A B và đường thẳng B C . A. 300 .B. 450 .C. 600 .D. 900 . Lời giải Chọn C. D C A B D' C' A' B' Do B C//A' B nên ·A B; B C ·A B; A D . Xét A' BD , ta có: A' B BD DA' a 2 A' BD đều. Khi đó B· A' D 60 hay ·A B; B C ·A B; A D 60 . Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2. Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a. a 5 a 3 2a 5 a 2 A. d . B. d . C. d . D. d . 2 2 3 3
16. Lời giải Chọn D. S K A D O H B C Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH  BC . Kẻ OK  SH tại K , K SH . OH  BC OK  BC Ta có BC  SOH OK  SBC d O; SBC OK . SO  BC OK  SH a Ta có OH ;SO a 2 . 2 Xét SOH vuông tại O , đường cao OK , ta có: 1 1 1 2a2 a 2 OK 2 OK . OK 2 SO2 OH 2 9 3 Câu 37: Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I 1;2; 1 và đi qua điểm A 3;0;0 có phương trình là A. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 .B. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . C. x 3 2 y2 z2 9 . D. x 1 2 y 2 2 z 1 2 1. Lời giải Chọn A. Mặt cầu có bán kính R IA 4 4 1 3 . Phương trình mặt cầu là x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . Câu 38: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;2; 3 và điểm B 2; 1;4 có phương trình tham số là x 1 t x 3 t x 3 2t x 2 t A. y 2 3t .B. y 4 3t .C. y 4 6t .D. y 1 3t . z 3 7t z 11 7t z 17 14t z 4 7t Lời giải Chọn B.  Đường thẳng có vectơ chỉ phương là AB 1; 3;7 loại phương án D. x 1 t Viết được phương trình đường thẳng AB là y 2 3t d . z 3 7t Kiểm tra được điểm 1;2;3 d loại phương án A. Kiểm tra được điểm 3; 4;11 d chọn phương án B.
17. Tương tự loại phương án C. Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. 1 1 Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 3x 9x trên đoạn ; là 3 3 1 A. f 1 .B. f 1 2. C. f .D. f 0 . 3 Lời giải Chọn D. Ta có: g ' x 3 f ' 3x 9 , 1 x 3 3x 1 x 0 3x 0 g ' x 0 f ' 3x 3 1 3x 1 x 3 3x 2 2 x 3 1 1 Bảng biến thiên của hàm số g x trên đoạn ; 3 3
18. 1 1 Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm số g x trên đoạn ; là g 0 f 0 . 3 3 Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 1000 số nguyên x thỏa mãn log2 x 2 log2 x y 0? A. 9 .B. 10.C. 8 .D. 11. Lời giải Chọn A. - Trường hợp 1: y 2 ¢ . - Trường hợp 2: y 2 . 2 y Khi đó log2 x 2 log2 x y 0 2 x 2 . Tập nghiệm của BPT chứa tối đa 1000 số nguyên 3;4; ;1002 y 2 1003 y log2 1003 9,97 y 2; ;9 . - Trường hợp 3: y 2 y 1 (vì y nguyên dương) 2 Khi y 1, ta có: log2 x 2 log2 x 1 0 1 log2 x 2 2 x 2 (không có giá trị x nguyên). Vậy có 9 số nguyên dương y thỏa mãn yêu cầu. ex m khi x 0 Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên R và 2 x 2x khi x 0 4 e4 b b f 3tan x 1 1 tan2 x dx với a,b,c là các số tự nhiên và là phân số tối giản. a c c 4 Tính tổng a b 2c . A. 36 .B. 40 .C. 28 .D. 42 . Lời giải Chọn C. Ta có lim f x lim ex m m 1, lim f x lim x2 2x 0 và f 0 m 1. x 0 x 0 x 0 x 0 Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x 0 . Suy ra lim f x lim f x f 0 hay m 1 0 m 1. x 0 x 0 4 Xét I f 3tan x 1 1 tan2 x dx . 0 3 2 2 dt Đặt 3tan x 1 t dt 2 dx 3 1 tan x dx 1 tan x dx . cos x 3 Với x t 2 , x t 4 4 4 4 1 1 4 1 0 1 4 Khi đó I f t dt f t dt t 2 2t dt et 1 dt 2 3 3 2 3 2 3 0
19. 0 3 4 4 1 t 2 1 t e 19 t e t . 3 3 3 0 3 9 2 Suy ra a 3, b 19 , c 9 . Vậy tổng a b 2c 40 . Câu 42: Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z m và z 4m 3mi m2 . A. 4 .B. 6 .C. 9 .D. 10. Lời giải Chọn D. Đặt z x yi x, y ¡ . Ta có điểm biểu diễn z là M x; y . Với m 0 , ta có z 0 , thoả mãn yêu cầu bài toán. Với m 0 , ta có: z m M thuộc đường tròn C1 tâm O 0;0 , bán kính R m . z 4m 3mi m2 x 4m 2 y 3m 2 m4 2 M thuộc đường tròn C2 tâm I 4m; 3m , bán kính R m . Có duy nhất một số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi C1 và C2 tiếp xúc 5m m2 m OI R R m 4 nhau 2 . 5m m m OI R R m 6 m 0 Kết hợp với m 0 , suy ra m 0;4;6 . Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10. Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 45 ; M , N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AB . Tính thể tích V khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. .B. .C. .D. . 6 4 2 12 Lời giải Chọn A. Gọi điểm O là tâm của đáy, theo giả thiết suy ra: SO  ABCD tại O . Ta có AB  SPO và góc giữa mặt phẳng SAB và ABCD bằng 45 nên suy ra góc S· PO 45 . Do OP a suy ra SO OP tan 45 a .
20. 1 1 1 1 1 Cách 1: Ta có VDMDP d D, MNP .SMNP .2.d O, MNP . SSAB VO.SAB VS.OAB 3 3 4 2 2 3 1 1 1 1 2 a V . .SO.S a. 2a . 8 S.ABCD 8 3 ABCD 24 6 1 1 1 a2 2 Cách 2: SP a 2 , S S . .AB.SP . MNP 4 SAB 4 2 4 Tứ diện DMNP có chiều cao h d D,(MNP) 2d(O,(SAB)) Trong mặt phẳng SPO kẻ OH vuông góc với SP tại H thì OH  SAB , suy ra OH d(O,(SAB)) . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SPO ta có 1 1 1 2 a OH h a 2 . OH 2 OP2 SO2 a2 2 1 a2 2 a3 Thể tích khối chóp D.MNP là V . .a 2 . 3 4 6 Câu 44: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18 dm3 .Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 27 dm3 .B. 6 dm3 .C. 9 dm3 .D. 24 dm3 . Lời giải Chọn B. Vì đúng một nửa khối cầu chìm trong nước nên thể tích khối cầu gấp 2 lần thể tích nước tràn ra ngoài.
21. 4 Gọi bán kính khối cầu là R , lúc đó: R3 =36 R3 27 . 3 Xét tam giác ABC có AC là chiều cao bình nước nên AC 2R ( Vì khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước) 1 1 1 1 1 1 4R2 Trong tam giác ABC có: CB2 . CH 2 CA2 CB2 R2 4R2 CB2 3 1 1 4R2 8 Thể tích khối nón: V .CB2.AC . .2R .R3 24 dm3 . n 3 3 3 9 Vậy thể tích nước còn lại trong bình: 24 18 6 dm3 x 1 y 1 z 2 Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau d : , 1 3 2 2 x 4 y 4 z 3 d : . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 2 2 2 1 d1 , d2 là x 4 y 1 z x 2 y 2 z 2 A. d : .B. . 1 2 1 2 6 3 2 x 2 y 2 z 2 x 4 y 1 z C. . D. . 2 1 2 2 1 2 Lời giải Chọn C.   Hai đường thẳng d1 , d2 có VTCP là u1 3;2; 2 và u2 2;2; 1 . Lấy điểm A 1 3t ; 1 2t ;2 2t d1 và B 4 2u;4 2u; 3 u d2 .  Suy ra AB 2u 3t 3;2u 2t 5; u 2t 5 . AB là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d2 khi   A 4;1;0 AB.u1 0 12u 17t 29 u 1   B 2;2; 2 . 9u 12t 21 t 1 AB.u2 0  AB 2;1; 2 Vậy phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d2 là: x 2 y 2 z 2 . 2 1 2 Câu 46: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x2 3x có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ dưới đây:
22. Hàm số y f x4 8 x 3 13x2 12 x có bao nhiêu điểm cực trị A. 7 B. 13 C. 9. D. 11 Lời giải Chọn D. x 3 2 2 2 y f x 3x y 2x 3 f x 3x ; 2x 3 f x 3x 0 x 0 . x 5 3 Đặt g x f x4 8x3 13x2 12x g x f x4 8 x 13x2 12 x 2 g x f x2 4x 3 x2 4x f x2 4x x 2 x2 4x 3 g x 2x 4 f x2 4x ; g x 0 x 2;1;3;0;4; 1;5 . x2 4x 0 2 x 4x 5 Các nghiệm của g x đều là các nghiệm đơn nên hàm số g x có 7 điểm cực trị trong đó có 5 điểm cực trị dương. Do đó, hàm số g x có 11 điểm cực trị. Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương y sao cho tồn tại duy nhất một giá trị của x thỏa y x2 4 1 mãn log 3 y x2 4 3x 3 . Số phần tử của S là 3 3x 2 A. 0 .B. 2 .C. 3 .D. vô số. Lời giải Chọn B. 3 Điều kiện: x 2 y x2 4 1 log 3 y x2 4 3x 3 3 3x 2 log y x2 4 1 log 3x 2 3 y x2 4 3x 3 3 3 log y x2 4 1 3 y x2 4 1 log 3x 2 3 3x 2 (1) 3 3 Xét hàm số f t log3 t 3t trên 0;
23. 1 f t 3 0, x 0. Suy ra hàm số f t log t 3t đồng biến trên khoảng 0; . 3ln t 3 3x 2 (1) có dạng f y x2 4 f 3x 2 y x2 4 3x 2 y (1) x2 4 3x 2 12 2x Xét hàm số g x , g x ; g x 0 x 6 . 2 3 x 4 4 x2 Bảng biến thiên 1 y 3 Tồn tại đúng 1 giá trị của x khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệm . y 10 Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 2 Câu 48: Cho hàm số y x 3x m có đồ thị Cm , với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ a a Gọi S , S , S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giả sử m ( là 1 2 3 b b phân số tối giản, a 0 ) để S1 S3 S2 . Giá trị của biểu thức T 3a 2b là A. 4 B. 22 C. 3 D. 23 Lời giải Chọn B. 4 2 4 2 Gọi x1 là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 3x m 0 , ta có m x1 3x1 1 . x1 Vì S S S và S S nên S 2S hay f x dx 0 . 1 3 2 1 3 2 3 0 x1 x1 x1 5 5 4 4 2 x 3 x1 3 x1 2 Mà f x dx x 3x m dx x mx x1 mx1 x1 x1 m . 5 5 5 0 0 0 4 4 x1 2 x1 2 Do đó, x1 x1 m 0 x1 m 0 2 . 5 5
24. x4 5 Từ 1 và 2 , ta có phương trình 1 x2 x4 3x2 0 4x4 10x2 0 x2 . 5 1 1 1 1 1 1 2 5 Vậy m x4 3x2 . 1 1 4 Câu 49: Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn z1 3 2i z2 3 2i 2 và z1 z2 2 3 . Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 3 5i . Giá trị của biểu thức T m 2n bằng A. T 3 10 2 .B. T 6 10 .C. 6 34 .D. 3 34 2 . Lời giải Chọn A. z1 3 2i 2 z1 3 2i 2 z2 3 2i 2 z2 3 2i 2 z1 z2 2 3 z1 z2 2 3 Gọi A, B, I lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z1, z2 , z 3 2i IA 2 Ta có IB 2 A, B thuộc đường tròn tâm I , bán kính bằng 2 và ·AIB 1200 . AB 2 3 Gọi H là trung điểm của AB , ta có IH  AB IH IA.sin 300 1 H thuộc đường tròn tâm I , bán kính bằng 1.   2 Gọi M là điểm biểu diễn cho z1 z2 . Ta có OM 2OH VO H M Mà H thuộc đường tròn C tâm I , bán kính bằng 1 nên M C là ảnh của C qua phép vị tự tâm O , tỉ số 2 . Suy ra C có tâm J 6;2 và bán kính R 2. z1 z2 6 4i 2 . P z1 z2 3 5i z1 z2 6 4i 3 i z1 z2 6 4i 3 i P z1 z2 6 4i 3 i 10 2 P 10 2
25. z1 z2 6 4i k 3 i P 10 2 z1 z2 6 4i 2 Vậy m 10 2;n 10 2 . Suy ra 2n m 3 10 2 Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho A 1; 3; 2 , B 5;1;0 . Gọi S là mặt cầu đường kính AB . Trong các hình chóp đều có đỉnh A nội tiếp trong mặt cầu S , gọi A.MNPQ là hình chóp có thể tích lớn nhất. Phương trình mặt cầu tâm B và tiếp xúc với mặt phẳng MNPQ là 2 2 2 2 A. x 5 y 1 z2 4 .B. x 5 y 1 z2 16 . 2 2 2 2 C. x 5 y 1 z2 2 .D. x 5 y 1 z2 8 . Lời giải Chọn A. Mặt cầu S có tâm I 3; 1; 1 , bán kính R 3. Gọi hình chóp đều nội tiếp trong mặt cầu S có cạnh đáy là x và đường cao là h . x2 h2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là R 2 2h x2 h2 R 3 2 3 x2 2h2 12h x2 12h 2h2 2h Thể tích khối chóp đều nội tiếp trong mặt cầu là 3 1 2 1 2 1 1 h h 12 2h 64 V x h 12h 2h h h.h. 12 2h . 3 3 3 3 3 3 Dấu bằng xảy ra khi 12h 2h h h 4 x 4 . Vậy thể tích khối chóp đều nội tiếp trong khối cầu có thể tích lớn nhất khi đường cao bằng cạnh đáy và bằng 4 . Do AB  MNPQ , AB 6, d A, MNPQ 4 nên d B, MNPQ 2 . 2 2 Do đó mặt cầu tâm B , tiếp xúc với (MNPQ) có phương trình là x 5 y 1 z2 4 . HẾT