Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

36 trang nhungbui22 11/08/2022 2060

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_thi_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_mon_toan_lop_12_nam_hoc_2020_2.docx

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ ĐỀ HỌC SINH GIỎI PHÚ THỌ NĂM HỌC 2019 - 2020 THỜI GIAN : 180 PHÚT – ĐỀ SỐ 1 ĐỀ BÀI I. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Bài 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x x 16 x2 . 1 b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để y mx3 2 m 1 x2 m 1 x m đồng biến trên 3 khoảng 0; . Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và A A A B A C. Biết khoảng cách a 3 giữa hai đường thẳng AA và BC bằng . 4 a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh A G vuông góc với mặt phẳng ABC . b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . x 3 y 2 z 1 Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 2 1 1 P : x y z 2 0 a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và P . b) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d và khoảng cách từ M đến bằng 42 . Bài 4. 10 a) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 3x3 3x2 x 1 thành đa thức . b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8. II. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm) Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f (x)= 52x là 52x 52x A. 52x ln 5+ C . B. + C . C. 2.52x ln 5+ C . D. + C . 2ln 5 ln 5 Câu 2. Một hộp có 4 viên bi trắng, 5 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi trong hộp, số cách lấy ra được đúng một viên bi vàng bằng Trang 1 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ A. 100. B. 50 . C. 210 . D. 110. Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA SB SC a . Gọi M là trung điểm của AB . Góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng: A. 300 . B. 600 . C. 900 . D. 450 . 2 2 Câu 4. Tập xác định của hàm số y x2 3x 2 là: A. R . B. R \ 1,2 . C. ;12; . D. ;1  2; . Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1; 2;3 và P : x 2y 2z 2 0 . Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với P có phương trình: 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 3 3 . B. x 1 y 2 z 3 3. 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 3 9 . D. x 1 y 2 z 3 9. Câu 6. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng thứ nhất bằng 2; số hạng cuối bằng 28 và tổng tất cả các số hạng bằng 450. Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng? A. 15 .B. 30. C. 35. D. 45 . x 1 y z 1 Câu 7. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) :x y 3 0 và đường thẳng (d) : . 2 1 3 Đường thẳng ( ) nằm trong mp(P) và vuông góc với (d) có một véctơ chỉ phương u (1;b;c) . Giá trị củab 2c bằng A.3 .B. 1. C. 1.D. 3. u1 u3 u5 13 Câu 8. Cho cấp số nhân (un ) tăng thỏa mãn . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng u1 u7 65 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 2. Câu 9. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x3 3x2 12x 1 trên đoạn  1;3 . Khi đó tổng M m thuộc khoảng nào dưới đây? A. 0;2 . B. 3;5 . C. 59;61 .D. 39;42 . Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x4 mx2 đồng biến trên khoảng 3; ? A.9 . \B. 18. C. 19. D. 17 . x 2 Câu 11. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 4x 3 A. 2 . B. 1. C. 3. D. 4 . Trang 2 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ 3 7 2 5 0 7 Câu 12. Cho f x dx 12, f 2t dt . Tích phân f x dx f x dx bằng 4 0 2 4 3 19 A. 7 . B. . C. 17 . D. 7 . 2 Câu 13. Đặt a log2 3 và b log5 3 . Khi đó log6 45 bằng a 2ab 2a2 2ab a 2ab 2a2 2ab A. . B. . C. . D. . ab ab ab b ab b Câu 14. Cắt hình nón N bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền a 6 . Thể tích khối nón N bằng a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 2 Câu 15. Cho hình phẳng H giới hạn bởi trục tung, đồ thị C của hàm số y ex và tiếp tuyến của C tại điểm M 1;e . Diện tích của H bằng e 3e e e A. 1 . B. 1. C. 1. D. e2 . 2 2 2 2 Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a; A B tạo với đáy ABC góc 60. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: a3 3 a3 a3 A. . B. . C. . D. a3 6. 2 2 6 sin x Câu 17. Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng? x A. 2y ' 2y '' xy . B. y ' 2xy '' xy . C. 2y ' xy '' xy . D. xy ' 2y '' xy . Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ B đến SCD bằng a 10 a 42 A. . B. a 2 . C. a . D. . 5 7 1 Câu 19. Tổng C 0 C1 C 2  C1009 C1010 bằng 2020 2020 2020 2020 2 2020 2020! A. 22020 . B. 22018 . C. . D. 22019 . 2 2 3 25 Câu 20. Chọn ngẫu nhiên hai số phân biệt a và b từ tập hợp A 2,2 ,2 , ,2 . Xác suất để loga b là số nguyên bằng Trang 3 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ 2 31 13 7 A. . B. . C. . D. . 200 300 100 50 a3 3 Câu 21. Cho hình chóp có tam giác đều S.ABC có thể tích bằng mặt bên tạo với đáy một góc 24 600 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 3 3a a 3 4a A. . B. . C. . D. . 2 4 4 3 Câu 22. Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 40 triệu đồng, mức lãi suất 0,8% /1 tháng với hợp đồng là trả 1,5 triệu đồng/tháng (cả gốc và lãi). Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,0% /1 tháng và hợp đồng thay đổi là trả 2 triệu đồng/1 tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ? (tháng cuối có thể trả không quá 2 triệu đồng). A. 25 . B. 27 . C. 26 . D. 28 . Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng abcde và thỏa mãn a b c d e ? 5 5 5 5 A. A9 . B. A15 . C. C9 . D. C11 . 5 6 8 Câu 24. Cho log32 a log8 b log2 c 11 và a b c. Giá trị của log2 abc bằng A. 19. B. 11. C. 211. D. 219. x 1 t x 2 y 2 z 3 Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : , d2 : y 1 2t và 2 1 1 z 1 t điểm A 1;2;3 . Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có một vectơ chỉ phương là u 1;a;b . Tổng a b bằng A. 8. B. 8. C. 2. D. 2. Câu 26. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 1 (mét). Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng 3 3 3 3 A. 3 3 m2 . B. m2 . C. m2 . D. 1 m2 . 2 4 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và AB 2a, BC a, ·ABC 120o , cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Sin của góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 7 2 x2 1 3 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x2 1 m 2 2; ? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Trang 4 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông tại S . Điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA . Độ dài đoạn thẳng AM bằng a 7 a 5 3a 2a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Câu 30. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x 2; y x 2; x 1. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục hoành bằng 29 9 55 A. . B. . C. 9 . D. . 6 2 6 Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 0; 1;1 , B 3;1;4 ,C 1; 2;0 , D 2;1; 1 . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm trên ? A. 5 mặt phẳng B. 1 mặt phẳng. C. 4 mặt phẳng. D. 7 mặt phẳng. Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AD 3a, AB 2a, BC 4a, BD a 13 và D· AC 90o. Biết khoảng 3a 10 cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 A. 6a3 . B. 2a3 6 . C. a3 6 . D. 2a3 3 . Câu 33. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. 2 Bất phương trình f x ex 2x m đúng với x 0;2 khi và chỉ khi: 1 1 A. m f 0 1. B. m f 1 .C. m f 0 1 D. m f 1 . e e Câu 34. Cho cấp số cộng un có số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba mươi lần lượt bằng 6 và 35 . 1 1 1 Tổng bằng u1 u2 u2 u3 u2019 u2020 2019 673 2020 2020 A. . B. . C. . D. . 45 6 13 45 6 39 Câu 35. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x x(x y) log2 (6 y) 6x . Giá trị nhỏ nhất của 6 8 biểu thức P 3x 2y bằng x y 59 53 A. . B. . C. 8 6 2 . D. 19. 3 3 Trang 5 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Câu 36. Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f ' x 2 1 như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 2;1 . C. ; 2 . D. 1; . ex khi x 0 Câu 37. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) và f (4) e. Đặt x e khi x 0 S f ( ln 3) f (ln 3) f ( ln 2) f (ln 2) 200. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 0 S 1. B. 3 S 2. C. 2 S 1. D. 4 S 3. Câu 38. Cho hình lăng trụ ABC.A B C , khoảng cách từ A đến BB và CC lần lượt bằng 3 và 2, góc giữa hai mặt phẳng BCC B và ACC A bằng 60o. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C ) là trung điểm M của B C và A M 13. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng 39 A. 13. B. 39. C. 26. D. . 3 Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABC có SC AB 3 2 , S 1;3;2 , đường thẳng x 1 y z 1 AB có phương trình và góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Khi ba 1 4 1 điểm A, B,C cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp S.ABC nằm trên một mặt cầu thì mặt phẳng ABC có phương trình là A. y z 1 0. B. x y 4z 14 0 . C. x 2y 7z 8 0 .D. x y 4z 14 0 . Câu 40. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Trang 6 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ x1, x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x3 x1 2 3. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox là S , diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) 1, y f (x) 1, x x1 và x x3 bằng A. S 2 3. B. S 4 3. C. 8 3. D. 4 3. HƯỚNG DẪN GIẢI I. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Bài 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x x 16 x2 . 1 b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để y mx3 2 m 1 x2 m 1 x m đồng biến trên 3 khoảng 0; . Lời giải Tác giả: Trần Quang; Fb:Quang Trần a) Cách 1 : Xét hàm số f x x 16 x2 , x  4;4 . + Vận dụng bất đẳng thức cơ bản a b 2 a2 b2 vào bài toán ta có ngay: x 16 x2 2 x2 16 x2 , hay f x 4 2 . Dấu đẳng thức xảy ra tại x 2 2 . Như vậy giá trị lớn nhất của f x là 4 2 . + Vì x 4 và 16 x2 0 với mọi x  4;4 nên f x x 16 x2 4 . Dấu bằng xảy ra tại x 4 , Do đó giá trị nhỏ nhất của f x là 4 . Kết luận: GTNN của f x là 4 và GTLN của f x là 4 2 . Cách 2 : Điều kiện xác định 16 x2 0 4 x 4. x 16 x2 x Ta có f x 1 ,  4;4 . 16 x2 16 x2 x 0 x 0 f x 0 16 x2 x x 2 2. 2 2 2 16 x x x 8 Trang 7 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Trên khoảng 4;4 thì f x 0 có nghiệm duy nhất x 2 2. Ta có f 4 4, f 2 2 4 2, f 4 4 . Suy ra: max f x 4 2; min f x 4.  4;4  4;4 b) Từ giả thiết ta có y ' mx2 4 m 1 x m 1. Như vậy ta cần tìm tất cả các giá trị của m để mx2 4 m 1 x m 1 0 ,x 0; . Đầu tiên ta thấy m 0 không thỏa mãn. Do đó chúng ta giải bài toán trong trường hợp m 0 . 2 Ta có 4 m 1 m m 1 3m2 7m 4. Khi đó mx2 4 m 1 x m 1 0 ,x 0; khi và chỉ khi 3m2 7m 4 0 3m2 7m 4 0 4 1 m 1 hoặc 0 2 . m 0 m m 1 0 m m 0 4 Giải 1 ta được 1 m . 3 4 Giải 2 ta được m . 3 Như vậy tập tất cả các giá trị m cần tìm là 1; . Cách 2: Từ giả thiết ta có y ' mx2 4 m 1 x m 1 Ta cần tìm các giá trị của m để mx2 4 m 1 x m 1 0,x 0; m x2 4x 1 4x 1,x 0; 4x 1 m ,x 0; x2 4x 1 x 0 4x 1 2x 2x 1 Đặt g x 2 , x 0; g ' x 2 g ' x 0 1 x 4x 1 x2 4x 1 x 2 Bảng biến thiên. x 2 3 1 2 3 0 2 g ' x 0 0 1 g x 0 Vậy tập các giá trị của m thỏa mãn là 1; Trang 8 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và A A A B A C. Biết khoảng cách a 3 giữa hai đường thẳng AA và BC bằng . 4 a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh A G vuông góc với mặt phẳng ABC . b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . Lời giải Tác giả: Trần Quang; Fb: Quang Trần a) Gọi M là giao điểm của BG và AC . Ta có tam giác ABC đều nên BM  AC . Mặt khác ta cũng có tam giác A AC cân tại A nên A M  AC . Từ đó suy ra AC  mp BMA . Do đó AC  A G . Tương tự ta cũng chứng minh được AB  A G . Nên ta có thể kết luận được A G  mp ABC . b) Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M đến BA . Ta đã chứng minh được AC  mp BMA , từ đây suy ra AC  MK . Như vậy MK chính là đường vuông góc chung của AC và A B . Tức MK bằng khoảng cách giữa BC và AA . a 3 Theo giả thiết ta có MK . 4 Ta nhận thấy tam giác BGA và tam giác BKM đồng dạng với nhau. MK BK BG.MK Do đó , hay A G . A G BG BK Từ đó dễ dàng tính A G như sau: a 3 a 3 . BG.MK BG.MK a A G 3 4 . BK 2 2 2 2 3 BM MK a 3 a 3 2 4 Như vậy thể tích của hình lăng trụ ABC.A B C là: a2 3 a a3 3 V S .A G . . ABC 4 3 12 Trang 9 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ x 3 y 2 z 1 Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 2 1 1 P : x y z 2 0 a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và P . b) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d và khoảng cách từ M đến bằng 42 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb:Uyen Nguyen M d a) Ta có M d  P . M P x 3 2t x 3 y 2 z 1 d : d : y 2 t . Có M d M 3 2t; 2 t; 1 t . 2 1 1 z 1 t M P 3 2t 2 t 1 t 2 0 2t 2 0 t 1. Vậy M 1; 3;0 . b) P có vectơ pháp tuyến nP (1;1;1) ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud (2;1; 1) . Do đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d nên có véc tơ chỉ phương u ud ,nP  (2; 3;1) .  Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó: MN x 1; y 3; z .   MN  u 2x 3y z 11 0 N (P) x y z 2 0 2 2 2 MN 42 (x 1) (y 3) z 42 Giải hệ ta tìm được N(5; 2; 5) và N( 3; 4;5) . x 5 y 2 z 5 Với N(5; 2; 5) , ta có : . 2 3 1 x 3 y 4 z 5 Với N( 3; 4;5) , ta có : . 2 3 1 Bài 4. 10 a) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 3x3 3x2 x 1 thành đa thức . b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8. Lời giải Trang 10 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb: Uyen Nguyen 10 10 10 10 10 10 a) Ta có 3x3 3x2 x 1 1 3x2 1 x 1 3x2 1 x 3k C k x2k . Ci xi .  10  10 k 0 i 0 i 1,k 2 5 Để tìm hệ số của x ta tìm k,i sao cho 2k i 5 i 3,k 1 . i 5,k 0 5 2 2 1 1 1 3 0 0 5 Vậy hệ số của x là: 3 C10.C10 3 C10.C10 3 C10.C10 7902 . b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. 3 Vậy n  C60 34220 . Gọi A là biến cố: “Tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8”. Từ 1 đến 60 có: + 7 số chia hết cho 8; + 8 số chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8; +15 số chẵn nhưng không chia hết cho 4. + 30 số chẵn và 30 số lẻ. Để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 có các trường hợp xảy ra là: TH1. Chọn 3 số chẵn từ 30 số chẵn. Khi đó tích của 3 số đó là một số chia hết cho 8 ta có số 3 cách chọn là C30 . TH2. Chọn 2 số chẵn và 1 số lẻ. Ta xét hai khả năng sau: 2 1 + Chọn được 2 số chia hết cho 4 và 1 số lẻ. Khi đó số cách chọn là C15.C30 . + Chọn được 1 số chia hết cho 4 , 1 số chẵn không chia hết cho 4 và 1 số lẻ. Khi đó số cách 1 1 1 chọn là C15.C15.C30 TH3. Chọn được 1 số chẵn và 2 số lẻ. Chọn 1 số chia hết cho 8 và 2 số lẻ. Khi đó số cách 1 2 chọn là C7 .C30 3 2 1 1 1 1 1 2 Suy ra n A C30 C15.C30 C15.C15.C30 C7C30 17005 . n(A) 17005 3401 Vậy P(A) . n  34220 6844 II. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm) Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f (x)= 52 x là 52x 52x A. 52 x ln 5 + C . B. + C . C. 2.52 x ln 5 + C . D. + C . 2ln5 ln 5 Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Thành ; Fb: Nguyễn Minh Thành Chọn B 1 1 52x Ta có f (x)dx = 52x dx = 52x d(2x)= . + C. ò ò 2 ò 2 ln 5 Trang 11 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Câu 2. Một hộp có 4 viên bi trắng, 5 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi trong hộp, số cách lấy ra được đúng một viên bi vàng bằng A. 100. B. 50. C. 210 . D. 110. Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Thành ; Fb: Nguyễn Minh Thành Chọn A 1 1 Số cách để trong 2 viên lấy ra được đúng một viên bi vàng là C5.C10.2 = 100. Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA SB SC a . Gọi M là trung điểm của AB . Góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng: A. 300 . B. 600 . C. 900 . D. 450 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh Chọn B A M N S B C Gọi N là trung điểm của AC . Ta có BC / /MN . Nên góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng góc giữa hai đường thẳng MN và SM . a 2 Theo giả thiết, trong tam giác SMN có: SN SM MN . Suy ra tam giác SMN đều. 2 Vậy N· MS 600 suy ragóc giữa hai đường thẳng MN và SM bằng 600 . Hay góc giữa hai đường thẳng BC và SM bằng 600 . 2 2 Câu 4. Tập xác định của hàm số y x2 3x 2 là: A. R . B. R \ 1,2 . C. ;12; . D. ;1  2; . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh Chọn D Điều kiện để hàm số xác định là: x 2 3x 2 0 x ;1  2; . Trang 12 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Vậy: Hàm số có tập xác định là D ;1  2; . Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1; 2;3 và P : x 2 y 2z 2 0 . Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với P có phương trình: 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 3 3 . B. x 1 y 2 z 3 3. 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 3 9 . D. x 1 y 2 z 3 9. Lời giải Tác giả:Fb: giaonguyen Chọn C Bán kính của mặt cầu cần tìm là: r d I; P 3 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y 2 z 3 9 . Câu 6. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng thứ nhất bằng 2; số hạng cuối bằng 28 và tổng tất cả các số hạng bằng 450. Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng? A. 15 .B. 30. C. 35. D. 45. Lời giải Chọn B Giả sử cấp số cộng đó có n số hạngvới n là số nguyên dương . u1 2 u1 2 Theo bài ra ta có: un 28 un 28 n 30 . Sn 450 n u1 un 450 2 x 1 y z 1 Câu 7. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) : x y 3 0 và đường thẳng (d) : . 2 1 3 Đường thẳng ( ) nằm trong mp(P) và vuông góc với (d ) có một véctơ chỉ phương u (1;b;c) . Giá trị củab 2c bằng A.3.B. 1 .C. 1.D. 3. Lời giải Tác giả:Trần Mạnh Trung; Fb: Trung Tran Phản biện:Trần Đức Biên Chọn C x 1 y z 1  Ta có (d) : u (2;1;3) . 2 1 3 d  Ta có (P) : x y 3 0 nP (1; 1;0) .  Do đường thẳng ( ) nằm trong mp(P) nP có giá vuông góc với đường thằng ( ) .  Do ( ) vuông góc với (d ) nên ud có giá vuông góc với đường thằng ( ) . Trang 13 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ    Vậy ta cóu =[nP ;ud ] ( 3; 3;3) 1  Vậy ( ) có một véc tơ chỉ phương làu u (1;1; 1) . 3 Mà theo bài toán ta có ( ) có một véc tơ chỉ phương làu (1;b;c) . Suy ra b 1;c 1 b 2c 1 . u1 u3 u5 13 Câu 8. Cho cấp số nhân (un ) tăng thỏa mãn . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng u1 u7 65 A. 3. B. 1 . C. 2 . D. 2. Lời giải Tác giả:Trần Mạnh Trung ; Fb: Trung Tran Phản biện:Trần Đức Biên Chọn C Gọi (un ) là cấp số nhân tăng có số hạng dầu làu1 và công bội q 0 2 4 u1 u3 u5 13 u1(1 q q ) 13(1) Ta có 6 u1 u7 65 u1(1 q ) 65 (2) 1 q2 q4 13 1 q2 q4 1 Chia (1) và (2) cho nhau ta có (3) 1 q6 65 1 q6 5 Hướng 1: Đặtt q2 0 2 1 t t 1 3 2 2 t 4 ta có 3 t 5t 5t 4 0 (t 4)(t t 1) 0 2 . 1 t 5 t t 1 0(VN) 2 q 2 (TM) Suy ra t 4 q 4 . q 2 (KTM) 1 q2 q4 1 1 q2 q4 1 1 q2 q4 1 Hướng 2: 6 3 2 2 4 1 q 5 1 q2 5 1 q 1 q q 5 1 1 2 2 q 2 (KTM) 2 1 q 5 q 4 1 q 5 q 2 (TM) Câu 9. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x3 3x2 12x 1 trên đoạn  1;3 . Khi đó tổng M m thuộc khoảng nào dưới đây? A. 0; 2 . B. 3;5 . C. 59; 61 .D. 39; 42 . Lời giải Tác giả: Cao Tùng; Fb: Cao Tung Chọn D Trang 14 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ y 6x2 6x 12 x 1  1;3 y 0 6x2 6x 12 0 . x 2  1;3 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có M 46; m 6 suy ra M m 40 39; 42 . Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x4 mx2 đồng biến trên khoảng 3; ? A.9. B. 18 . C. 19 . D. 17 . Lời giải Tác giả: Cao Tùng; Fb: Cao Tung Chọn B y 4x3 2mx 2x 2x2 m Để thỏa mãn bài toán ta có y 0 2x 2x2 m 0 2x2 m 0 2x2 m,x 3; do 2x 0 ,x 3; . Xét hàm số f x 2x 2 , f x 4x 0 ,x 3; nên hàm số đồng biến trên 3; từ đó f x f 3 18 . Từ đó ta có 18 m, do mnguyên dương nên m 1; 2; ;18. Có 18 giá trị m. x 2 Câu 11. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 4x 3 A. 2 . B. 1 . C. 3. D. 4 . Lời giải Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb:Cao Thế Phạm Chọn A + TXĐ: D 2; \ 3 . x 2 + lim 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x2 4x 3 x 2 lim 2 x 3 x 4x 3 + x 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 lim 2 x 3 x 4x 3 Trang 15 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang và đứng. 3 7 2 5 0 7 Câu 12. Cho f x dx 12, f 2t dt . Tích phân f x dx f x dx bằng 4 0 2 4 3 19 A. 7 . B. . C. 17 . D. 7. 2 Lời giải Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb:Cao Thế Phạm Chọn A 3 2 5 Xét tích phân I f 2t dt . 0 2 1 Đặt u 2t du 2dt dt du . 2 3 Đổi cận: t 0 u 0,t u 3 . 2 3 1 1 3 5 3 3 Khi đó I f u du f u du f u du 5 f x dx 5 . 0 2 2 0 2 0 0 0 7 7 3 Do đó f x dx f x dx f x dx f x dx 12 5 7 . 4 3 4 0 Câu 13. Đặt a log2 3 và b log5 3 . Khi đó log6 45 bằng a 2ab 2 a 2ab 2 A. . B. 2a 2ab . C. . D. 2a 2ab . ab ab ab b ab b Lời giải Tác giả: Ngọc Thị Phi Nga FB: Ngọc Thị Phi Nga Chọn C 2 log5 3 .5 log5 45 Ta có log6 45 log5 6 log5 2.3 1 2 log 3 1 2log 3 5 5 log5 2 log5 3 log5 3.log3 2 log5 3 1 2b a 2ab 1 ab b b. b a Câu 14. Cắt hình nón N bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền a 6 . Thể tích khối nón N bằng Trang 16 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 2 Lời giải Tác giả: Ngọc Thị Phi Nga FB: Ngọc Thị Phi Nga Chọn A Giả sử hình nón N có chiều cao h , bán kính r. Cắt hình nón N bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân a 6 có cạnh huyền a 6 nên ta có h r . 2 2 3 1 2 1 a 6 a 6 a 6 Vậy thể tích khối nón N bằng V r h . . . 3 3 2 2 4 Câu 15. Cho hình phẳng H giới hạn bởi trục tung, đồ thị C của hàm số y ex và tiếp tuyến của C tại điểm M 1;e .Diện tích của H bằng e 3e e e A. 1 . B. 1. C. 1. D. e 2 . 2 2 2 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Huệ ; Fb:Nguyễn Huệ Chọn C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ex tại điểm M 1; e là y e x 1 e ex . x Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y ex và y e là ex e x e x ex 0 x 1 Diện tích hình H giới hạn bởi trục tung, đố thị hàm số và phương trình tiếp tuyến là: 1 1 2 x x x e S e exdx e e. 1 2 2 0 0 Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a; A B tạo với đáy ABC góc 60. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: a3 3 a3 a3 A. . B. . C. . D. a3 6. 2 2 6 Lời giải Tác giả: Hà Quang Trung; Fb: Ha Quang Trung Chọn A Trang 17 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Ta có ·A' B; ABC ·A' BA 600 . Trong tam giác vuông A' AB: AA' tan 600 AA' AB.tan 600 a. 3 AB 1 a3 3 Suy ra V AA'.S a 3. .a2 . ABC.A'B'C ' ABC 2 2 sin x Câu 17. Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng? x A. 2y ' 2y '' xy . B. y ' 2xy '' xy . C. 2y ' xy '' xy . D. xy ' 2y '' xy . Lời giải Tác giả: Hà Quang Trung; Fb: Ha Quang Trung Chọn C x.cos x sin x x2.sin x 2x.cos x 2sin x Ta có y ' ; y '' . x2 x3 Kiểm tra từng đáp án: 2x.cos x 2sin x x2.sin x 2x.cos x 2sin x x2.sin x 2y ' xy '' sin x xy . x2 x2 x2 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ B đến SCD bằng a 10 a 42 A. . B. a 2 . C. a . D. . 5 7 Lời giải Tác giả: Lê Thanh Hùng; Fb: Thanh Hung Le Chọn D Trang 18 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ SA  ABCD nên góc giữa SC và mặt đáy là S· CA 600. Từ đó: SA AC.tan 600 a 2. 3 a 6 . Do BA//CD nên BA// SCD , ta được : d B, SCD d A, SCD . Mặt khác: CD  SAD (Do CD  AD,CD  SA ) nên SAD  SCD . Ta dựng AH  SD , thì: AH  SCD nên AS.AD a 6.a a 42 d A, SCD AH . AS 2 AD2 6a2 a2 7 a 42 Vậy: d B, SCD . 7 1 Câu 19. Tổng C 0 C1 C 2  C1009 C1010 bằng 2020 2020 2020 2020 2 2020 2020! A. 22020 . B. 22018 . C. . D. 22019 . 2 Lời giải Tác giả: Lê Thanh Hùng; Fb: Thanh Hung Le Chọn D Xét khai triển 2020 0 1 2 1009 1010 1011 2018 2019 2020 1 1 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 (*). k n k Mặt khác, từ tính chất: Cn Cn , với k,n ¥ ,0 k n , ta có: 0 2020 1 2019 2 2018 1009 1011 C2020 C2020 ,C2020 C2020 ,C2020 C2020 , ,C2020 C2020. 1 1 Do vậy: C 0 C1 C 2  C1009 C1010 C 2020 C 2019 C 2018  C1011 C1010 2020 2020 2020 2020 2 2020 2020 2020 2020 2020 2 2020 2020 0 1 2 1009 1 1010 Từ (*), ta được: 2 2 C2020 C2020 C2020 C2020 C2020 2 1 Vậy: C 0 C1 C 2 C1009 C1010 22019. 2020 2020 2020 2020 2 2020 2 3 25 Câu 20. Chọn ngẫu nhiên hai số phân biệt a và b từ tập hợp A 2,2 ,2 , ,2 . Xác suất để loga b là số nguyên bằng Trang 19 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ 2 31 13 7 A. . B. . C. . D. . 200 300 100 50 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb: Nguyễn Loan Chọn B 2 Ta có: n  A25 600. n n a 2m ,b 2n ,1 n,m 25, n ¥ ,m ¥ . log b . Do đó Z nm 1 m 12 . a m m Nếu m 1 n 2,3 25 có 2 4 cách chọn n . Nếu m 2 n2 2 4,6,8 24 có 11 cách chọn n . Nếu m 3 n3 n 6,9, 24 có 7 cách chọn n . Nếu m 4 n4 n 8,12,16,20,24 có 5 cách chọn n . Nếu m 5 n5 n 10,15,20,25 có 4 cách chọn n . Nếu m 6 n6 n 12,18,24 có 3 cách chọn n . Nếu m 7 n7 n 14,21 có 2 cách chọn n. Nếu m 8 n8 n 16,24 có 2 cách chọn n. Nếu m 9 n9 n 18 có 1 cách chọn n . Nếu m 10 n10 n 20 có 1 cách chọn n . Nếu m 11 n11 n 22 có 1 cách chọn n . Nếu m 12 n12 n 24 có 1 cách chọn n . Vậy có: 24 11 7 5 4 3 2 2 1 1 1 1 62 cách chọn m,n hay có 62 cách chọn a,b 62 31 p . 600 300 a3 3 Câu 21. Cho hình chóp có tam giác đều S.ABC có thể tích bằng mặt bên tạo với đáy một góc 24 600 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 3 3a a 3 4a A. . B. . C. . D. . 2 4 4 3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb: Nguyễn Loan Chọn B Trang 20 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ S A C H M B Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Khi đó, theo giả thiết ta có: H là trọng tâm tam giác đều ABC . Gọi M là giao của BC và AH M là trung điểm của BC góc giữa mặt phẳng SBC và đáy ABC là 1 3 m S·MH 600 SH HM.tag600 .m. . 3 , giả sử độ dài cạnh tam giác đều ABC là m 3 2 2 1 3 m m3 3 a3 3 Do đó thể tích của tứ diện S.ABC là: V . .m2. m a . 3 4 2 24 24 SH a 1 a2 a2 3 Mặt khác: SM S . . sin 600 3 SBC 2 3 6 3.V 3a d A, SBC S.ABC . S SBC 4 Cách khác để tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC ngoài cách dùng thể tích Ta thấy: d A, SBC 3d H, SBC h 1 1 1 1 1 16 a 2 2 2 2 2 2 h h SH HM a a 3 a 4 2 6 3a d A, SBC . 4 Câu 22. Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 40 triệu đồng, mức lãi suất 0,8% /1 tháng với hợp đồng là trả 1,5 triệu đồng/tháng (cả gốc và lãi). Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,0% /1 tháng và hợp đồng thay đổi là trả 2 triệu đồng/1 tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ? (tháng cuối có thể trả không quá 2 triệu đồng). A. 25 . B. 27 . C. 26 . D. 28 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb: Chuc Nguyen Chọn C Trang 21 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Đặt 0,8% 0,008 r1;1% 0,01 r2 . Sau tháng thứ nhất, người đó còn nợ lại 40. 1 r1 1,5. Sau tháng thứ hai, người đó còn nợ lại 2 2 2 1 r1 1 40 1 r1 1,5 . 1 r1 1,5 40 1 r1 1,5 1 r1 1 40 1 r1 1,5. . r1 Sau tháng thứ ba, người đó còn nợ lại 2 3 2 1 r 1 3 1 r 1 40 1 r 1,5. 1 1 r 1,5 40 1 r 1,5. 1 1 r 1 1 r 1 1 n n 1 r1 1 Tương tự ta có: sau tháng thứ n , người đó còn lại 40 1 r1 1,5. . r1 12 12 1 r1 1 Vậy sau năm đầu tiên, người đó còn nợ lại A 40 1 r1 1,5. . r1 Từ tháng đầu tiên của năm thứ hai, ta coi đó là tháng thứ nhất. n n 1 r2 1 Làm tương tự như trên ta có, sau n tháng, người đó còn nợ lại A 1 r2 2. . r2 n n 1 r2 1 Ta có A 1 r2 2. 0 n 14. r2 Do đó, sau 12 14 26 tháng, người đó sẽ trả hết nợ. Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng abcde và thỏa mãn a b c d e ? 5 5 5 5 A. A9 . B. A15 . C. C9 . D. C11 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb: Chuc Nguyen Chọn D Đặt B b 1; C c 1; D d 1; E e 2 . Mà ta có a b c d e nên a B C D E . Vậy ta có 1 a B C D E 11. 5 Chọn 5 số trong 11 số từ 1 đến 11 ta có C11 cách chọn. Từ 5 số vừa chọn, ta có duy nhất 1 cách xếp theo thứ tự tăng dần. Suy ra ta có duy nhất 1 cách chọn cho bộ a, B,C, D, E . Hay ta có duy nhất 1 cách chọn cho bộ a,b,c,d,e . 5 Vậy có C11 số cần lập. 5 6 8 Câu 24. Cho log32 a log8 b log2 c 11 và a b c. Giá trị của log2 abc bằng A. 19. B. 11. C. 211. D. 219. Trang 22 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hưng; Fb: Nguyễn Hưng Chọn A 5 a c8 Từ giả thiết 5 a 6 b 8 c. . 3 b c 4 1 1 1 1 5 5 3 3 Khi đó log a log b log c 11 log a 5 .b3 .c 11 log c8 . c 4 .c 11 32 8 2 2 2 11 log c 11 log c 8 8 2 2 5 3 19 19 Ta có log abc log c8 c 4 c log c 8 log c 19 . Vậy chọn A 2 2 2 2 8 x 1 t x 2 y 2 z 3 Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : , d2 : y 1 2t và 2 1 1 z 1 t điểm A 1;2;3 . Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có một vectơ chỉ phương là u 1;a;b . Tổng a b bằng A. 8. B. 8. C. 2. D. 2. Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hưng; Fb: Nguyễn Hưng Chọn B Gọi giao điểm của và d2 là B 1 t;1 2t; 1 t    Ta có: AB t;2t 1;t 4 . Do vuông góc với d nên ta có AB.u 0  1 1 2t 2t 1 t 4 0 t 1 AB 1; 3; 5 . Suy ra a 3;b 5 a b 8 . Câu 26. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 1 (mét). Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng 3 3 3 3 A. 3 3 m2 . B. m2 . C. m2 . D. 1 m2 . 2 4 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hưng; Fb: Nguyễn Hưng Chọn C + Gọi hình thang cân đã cho là ABCD như hình vẽ, Đặt x AH;0 x 1 Ta có: BH 1 x2 CD 1 2 1 x2 . Trang 23 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ 1 Vậy S 1 1 2 1 x2 x x x 1 x2 f (x) ABCD 2 x2 1 x2 1 2x2 + f '(x) 1 1 x2 , 1 x2 1 x2 1 x2 1 2x2 3 3 f '(x) 0 0 1 x2 2x2 1 x2 x 1 x2 4 2 Từ bảng biến thiên, chọn đáp án C Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và AB 2a, BC a, ·ABC 120o , cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Sin của góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 7 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hào Kiệt; FB: Nguyễn Hào Kiệt Chọn A Theo định lý cô sin ta có: BD2 AD2 AB2 2AD.AB.cosD· AB 4a2 a2 2.2a.a cos600 . BD a 3 . Ta có BD2 AD2 AB2 suy ra AD  BD . Gọi h d D; SAC d B;(SAC d D; SAC h Ta có: sin SB, SAC . SB SB SB Trang 24 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Theo Pytago ta có BD a 3 SB a 6 . Kẻ 1 1 1 1 4 a 21 DH  AC DH . DH 2 AD2 DO2 a2 3a2 7 1 1 1 a 6 1 h sin SB, SAC . h2 SD2 DH 2 4 4 2 x2 1 3 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x2 1 m 2 2; ? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Hào Kiệt; FB: Nguyễn Hào Kiệt Chọn C 2t 3 Đặt t x2 1 . Ta có với x 2 2 ; t 3; . Khi đó ta có y . t m x Ta có t ' 0,x 2 2; . Suy ra hàm số t x2 1 đồng biến trên khoảng x2 1 2 2; . Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2 2 ; khi và chỉ khi 2m 3 2m 3 0 y 2 ,t 3; t m m 3; 3 m 3 2 m 3 . Mà m ¢ nên m 1;0;1;2;3 . 2 m 3 Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn. Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông tại S . Điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA . Độ dài đoạn thẳng AM bằng a 7 a 5 3a 2a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn B Trang 25 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Gọi I là trung điểm của đoạn AB và K là hình chiếu vuông góc của S lên CD . Ta có CD  SI CD / / AB, SI  AB CD  SIK CD  IK IK / /BC CD  SK K là trung điểm của đoạn CD Tam giác SCD vuông cân tại S . a 2 SC SD . 2 Suy ra   SD2 SA2 AD2 1   SC 2 SA2 AC 2 1   1 SD.SA a2 ; SC.SA a2 ; SA.SB a2 ;   2 4 2 4 2 SC.SD 0 .      Mặt khác M CD k ¡ :CM kCD SM kSD 1 k SC .          SM.SA SB.SA Mà BM  SA BM.SA 0 SM SB SA 0       kSD.SA 1 k SC.SA SB.SA 0   1 SM.SA a2 2 3 k 2  3  1  9 1 3   5 Ta có SM SD SC SM 2 SD2 SC 2 SD.SC a2 . 2 2 4 4 2 4   2   5 AM 2 SM SA SM 2 SA2 2SM.SA a2 . 4 a 5 Vậy AM . 2 Câu 30. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x 2; y x 2; x 1. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục hoành bằng 29 9 55 A. . B. . C. 9 . D. . 6 2 6 Lời giải Trang 26 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x 2 và y x 2 : x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 Dựa trên đồ thị của các hàm số, ta có thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục hoành 1 1 1 1 2 2 V x 2 dx x 2 dx x 2 dx x 2 dx 2 2 1 1 1 3 3 2 1 1 3 3 2 1 29 x x 2x x x 2x . 3 2 2 3 2 1 6 Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 0; 1;1 , B 3;1;4 ,C 1; 2;0 , D 2;1; 1 . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm trên ? A. 5 mặt phẳng B. 1 mặt phẳng. C. 4 mặt phẳng. D. 7 mặt phẳng. Lời giải Tác giả:Lê Phong; FB: Lê Phong Chọn D     Ta có: AB 3;2;3 , AC 1; 1; 1 AB; AC 1;6; 5 . Phương trình mặt phẳng ABC là: x 6y 5z 11 0. Thay tọa độ điểm D vào phương trình ABC thấy không thỏa mãn, suy ra: D ABC . Vậy 4 điểm A, B,C , D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. Trang 27 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ A M S P B D R N Q C Gọi M , N , P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC ,C A,CD, DA, BD . Ta dễ chứng minh được các mặt phẳng MNR , NPQ , QRS , MPS , MPQR , MNQS , PNRS là các mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho. Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AD 3a, AB 2a, BC 4a, BD a 13 và D· AC 90o. Biết khoảng 3a 10 cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 A. 6a3 . B. 2a3 6 . C. a3 6 . D. 2a3 3 . Lời giải Tác giả:Lê Phong; FB: Lê Phong Chọn C D H A B E K C Ta có: AB2 AD2 13a2 AB2 AD2 BD2 B· AD 90o . DA  AB 1 Suy ra: DA  ABC VABCD DA.SABC . DA  AC 3 Dựng hình bình hành ABCE , ta có: AB / /CE AB / / DCE d AB,CD d AB, DCE d A, DCE . Dựng AK vuông góc với AE tại K và dựng AH vuông góc với DK tại H , Ta có: Trang 28 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ CE  AK CE  AKD CE  AH 1 . Lại có: AH  DK 2 . CE  DA 3a 10 Từ 1 và 2 suy ra: AH  DCE d AB,CD d A, DCE AH . 5 1 1 1 5 1 1 Trong DAK vuông tại A ta có: AK a 6 . AH 2 AK 2 AD2 18a2 AK 2 9a2 1 1 Diện tích tam giác ABC là S S AK.CE a 6.2a a2 6 . ABC ACE 2 2 1 Vậy thể tích tứ diện ABCD là: V 3a.a2 6 a3 6 . ABCD 3 Câu 33. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. 2 Bất phương trình f x ex 2x m đúng với x 0;2 khi và chỉ khi: 1 1 A. m f 0 1. B. m f 1 .C. m f 0 1 D. m f 1 . e e Lời giải Tác giả:Hoàng Thị Thúy; FB: Hoangthuy Chọn B. 2 2 Ta có: f x ex 2x m f x ex 2x m 1 . 2 Xét hàm số y f x ex 2x trên khoảng 0;2 . 2 2 y ' f ' x 2 x 1 ex 2x x 1 x 3 x 3 2 x 1 ex 2x . 2 y ' x 1 x2 9 2.ex 2x . 2 Vì x2 9 2.ex 2x 0 , x 0;2 nên y ' 0 x 1. BBT: Trang 29 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ x 0 1 2 y 0 1 y f 1 e 1 Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình 1 , đúng với x 0;2 khi : f 1 m. e Câu 34. Cho cấp số cộng un có số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba mươi lần lượt bằng 6 và 35 . 1 1 1 Tổng bằng u1 u2 u2 u3 u2019 u2020 2019 673 2020 2020 A. . B. . C. . D. . 45 6 13 45 6 39 Lời giải Tác giả:Hoàng Thị Thúy FB: Hoangthuy Chọn A 35 6 Ta có : u 6;u 35 d 1 .u 2025 1 30 29 2020 1 1 1 Đặt S . u1 u2 u2 u3 u2019 u2020 u u u u u u S 2 1 3 2 2020 2019 . u2 u1 u3 u2 u2020 u2019 S u2 u1 u3 u2 u2020 u2019 . u2020 u1 2019 S u2020 u1 u2020 u1 45 6 Câu 35. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x x(x y) log2 (6 y) 6x . Giá trị nhỏ nhất của 6 8 biểu thức P 3x 2y bằng x y 59 53 A. . B. . C. 8 6 2 . D. 19. 3 3 Lời giải Tác giả: Phạm Thị Thu Hà; Fb: Phạm Thị Thu Hà Chọn D x 0 Điều kiện 0 y 6 Ta có log2 x x(x y) log2 (6 y) 6x Trang 30 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ 2 log2 x x log2 (6 y) x(6 y) 2 2log2 x x log2 (6 y) log2 x x(6 y) 2 2 log2 x x log2 x(6 y) x(6 y) Xét hàm số f (t) log2 t t trên khoảng 0; 1 Ta có f (t) 1 0,t 0 t.ln 2 f (t) đồng biến trên khoảng 0; . Do đó ta có x2 x(6 y) x y 6 1 6 8 x 2 y 8 3 Ta có P 3x 2y 3( ) ( ) (x y) x y 2 x 2 y 2 x 2 2 2 x Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (2) y 8 4 2 y Từ 1 và 2 ta có P 6 4 9 P 19 x 2 Dấu xảy ra khi và chỉ khi y 4 Câu 36. Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f ' x 2 1 như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 2;1 . C. ; 2 . D. 1; . Lời giải Tác giả: Phạm Thị Thu Hà ; Fb: Phạm Thị Thu Hà Chọn A Cách 1 Ta tịnh tiến đồ thị y f ' x 2 1 lên trên một đơn vị ta được đồ thị hàm số y f ' x 2 . Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x 2 sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y f ' x . Từ đó ta có đồ thị hàm số y f ' x như sau: Trang 31 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Vậy hàm số y f x đồng biến trên 0; hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1; Cách 2 Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị của hàm số y g x ax3 bx2 cx d (a 0) (C) Từ đồ thị hàm số ta có C có điểm cực đại, điểm cực tiểu lần lượt là 1;3 và 1; 1 g '( 1) 0 3a 2b c 0 a 1 g '(1) 0 3a 2b c 0 b 0 Khi đó g(1) 1 a b c d 1 c 3 g( 1) 3 a b c d 3 d 1 Do đó y g x x3 3x 1 (C) f ' x 2 1 x3 3x 1 f ' x 2 x3 3x 2 Đặt t x 2 x t 2 Khi đó f ' x 2 x3 3x 2 trở thành f ' t (t 2)3 3(t 2) 2 t(t 2 6t 9) t(t 3)2 Từ đó ta có f ' x x(x 3)2 0 x 0 Do đó hàm số y f x đồng biến trên 0; hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1; ex khi x 0 Câu 37. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) và f (4) e. Đặt x e khi x 0 S f ( ln 3) f (ln 3) f ( ln 2) f (ln 2) 200. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 0 S 1. B. 3 S 2. C. 2 S 1. D. 4 S 3. Lời giải Tác giả: Đào Thị Hương; FB: Hương Đào Chọn D Trang 32 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ x x e khi x 0 e +C1 khi x 0 Ta có: f (x) Þ f (x) x x e khi x 0 e +C2 khi x 0 4 4 Do f (4)= e Þ e + C1 = e Û C1 = e - e . ex +e e4 khi x 0 Þ f (x) x e +C2 khi x 0 Hàm số có: f (0) 1 nên hàm số liên tục tại x = 0 . 4 4 Þ lim f (x) lim f x Û 1+ e - e = - 1+ C2 Û C2 = 2 + e - e x 0 x 0 ex +e e4 khi x 0 Do đó f (x) . x 4 e +2+e e khi x 0 Suy ra S f ( ln 3) f (ln 3) f ( ln 2) f (ln 2) 200 4 4 4 4 3 2 e e 3 e e 2 2 e e 2 e e 200 4 4e 4e 204 3,519 . Câu 38. Cho hình lăng trụ ABC.A B C , khoảng cách từ A đến BB và CC lần lượt bằng 3 và 2, góc giữa hai mặt phẳng BCC B và ACC A bằng 60o. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C ) là trung điểm M của B C và A M 13. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng 39 A. 13. B. 39. C. 26. D. . 3 Lời giải Tác giả: Đào Thị Hương; FB: Hương Đào Chọn A ì ïì AH ^ BB¢ ï AH = 3 Kẻ íï Þ í ï ï îï AK ¢^ CC ¢ îï AK ¢= 2 Do AK > AH Þ A·HK > A·KH Þ ((BCC ¢B¢);(ACC ¢A¢)) = A·KH = 600 . Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:32 = 4 + HK 2 - 2.HK.2.cos A·KH Û HK 2 - 2.HK + 1= 0 Û HK = 1 Khi đó ta có: AK 2 = AH 2 + HK 2 . Suy ra tam giác AHK vuông tại H Gọi N là trung điểm BC và I là giao điểm của MN và HK . Suy ra AN A M 13 Trang 33 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Do hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A B C ) là trung điểm M của B C nên. AM  ABC AM  AN Lại có: CC  AHK MN  AHK AI  MN . 1 13 Do đó tam giác AMN vuông tại A và AI là đường cao. Suy ra AI 2 AH 2 HI 2 3 4 4 1 1 1 1 1 1 4 1 3 13 AM AI 2 AM 2 AN 2 AM 2 AI 2 AN 2 13 13 13 3 13 4.13 13 AA 2 A M 2 AM 2 13 AA 2 3 3 3 13 1 V AM.S 2. . . 3.1 13 ABC.A B C AHK 3 2 Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABC có SC AB 3 2 , S 1;3;2 , đường thẳng x 1 y z 1 AB có phương trình và góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Khi ba 1 4 1 điểm A, B,C cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp S.ABC nằm trên một mặt cầu thì mặt phẳng ABC có phương trình là A. y z 1 0.B. x y 4z 14 0 . C. x 2y 7z 8 0 .D. x y 4z 14 0 . Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Minh Thư ; Fb:nguyenminhthu Chọn C Do 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu nên các tứ giác ABB’A’, BCC’B’C, CAA’C’ là các hình thang nội tiếp, vì vậy chúng là các hình thang cân Suy ra SA SB SC AB 3 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì SI vuông góc với (ABC) a 6 Suy ra (·SC,(ABC)) S· CI 600 SI 2 a 6 Gọi D là trung điểm của AB thì SD SI D  I 2 Trang 34 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Ta có D AB D(1 t;4t; 1 t)  1 3 3 Mặt khác SD AB SD.u 0 t 4(4t 3) 3 t 0 t . Suy ra D( ;2; ) AB 2 2 2 3 3  1 7 Mặt phẳng (ABC) đi qua D( ;2; ) và nhận SD ( ; 1; ) làm vtpt nên có phương trình 2 2 2 2 3 3 (x ) 2(y 2) 7(z ) 0 x 2y 7z 8 0. 2 2 Lời bàn: Nếu bỏ giả thiết AB a 2 thì ta vẫn viết được phương trình (ABC) bằng các giả thiết đi qua a 6 D, chứa đường thẳng AB và d(S,(ABC) SI . 2 Câu 40. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ x1, x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x3 x1 2 3. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox là S , diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) 1, y f (x) 1, x x1 và x x3 bằng A. S 2 3. B. S 4 3. C. 8 3. D. 4 3. Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Minh Thư ; Fb:nguyenminhthu Chọn D x x x x Ta có s 3 f (x) 1 ( f (x) 1 dx 2 3 f (x) 1 dx 2 3 f (x)dx 2 3 dx 1 x x x x 1 1 1 1 Vì x ; x ; x theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên điểm (x ;0) là tâm đối xứng của đồ thị. 1 2 3 2 x x x x x Do đó 3 f (x)dx 2 f (x)dx 3 f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (x)dx 0. x x x x x 1 1 2 1 1 x3 Suy ra S1 2.0 2 x 2(x3 x1) 4 3. x1 Trang 35 Mã đề X
ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – THÀNH PHỐ Trang 36 Mã đề X