Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Cà Mau (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Cà Mau (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH CÀ MAU MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1. (3 điểm) Giải các phương trình sau: a) cos2x 5sin x 3sin 2x 5 3 cos x 8 0 b) x 3 1 x x 4 x 2x2 6x 3 Câu 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu của f x như sau: x 3 1 1 8 f x 0 0 0 0 Tìm các điểm cực trị của hàm số g x f x2 2x . x2 3x b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y đồng biến trên 1; . x m Câu 3. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A 1;2 , đường trung tuyến và đường phân giác trong hạ từ đỉnh B lần lượt có phương trình d : 2x 3y 2 , d1 :9x 3y 16 . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a . Biết SA SB SC a . Đặt SD x 0 x a 3 . a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD khi x a . b) Tính x theo a sao cho tích AC.SD lớn nhất. Câu 5: ( 3,0 điểm) a. Cho đa giác đều có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của H . Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông. 13 b. Cho P x 1 4x 3x2 . Xác định hệ số của x3 trong khai triển P x theo lũy thừa của x . Câu 6: (3 điểm) 2 Cho dãy số un được xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 , n ¥ . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un . 2 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u2020 . Câu 7. (2,0 điểm: Cho hai số thực thay đổi x, y với x 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của xy2 biểu thức P (x2 3y2 )(x x2 12y2 ) HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 2. Giải các phương trình sau: a) cos2x 5sin x 3sin 2x 5 3 cos x 8 0 b) x 3 1 x x 4 x 2x2 6x 3 Lời giải a) cos2x 5sin x 3sin 2x 5 3 cos x 8 0 5 sin x 3 cos x 3sin 2x cos2x 8 0 1 3 3 1 5 sin x cos x sin 2x cos2x 4 0 2 2 2 2 5sin x sin 2x 4 0 3 6 Đặt t x 2x 2t . 3 6 2 Phương trình trở thành 5sint sin 2t 4 0 2 5sint cos2t 4 0 2sin2 t 5sint 3 0 sint 1 3 t k2 x k2 k ¢ sint 2 6 2 b) x 3 1 x x 4 x 2x2 6x 3 Điều kiện: 1 x 4 . PT x 3 1 x 1 x 1 4 x 2x2 6x x x 3 x x 3 2x x 3 1 x 1 1 4 x x x 3 0 1 1 1 2 2 1 x 1 1 4 x x 0 1 x 3 1 x 1 1 1 1 Xét phương trình (2): Ta có 2 . 1 4 x 1 1 x 1 1 4 x x 1 Dấu bằng xảy ra khi (vô lí). Vậy phương trình (2) vô nghiệm. x 4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 0 và x 3 . Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu của f x như sau:
3. x 3 1 1 8 f x 0 0 0 0 Tìm các điểm cực trị của hàm số g x f x2 2x . Lời giải x 1 x 1 2 x 2x 3 x 1 BC Ta có g x 2x 2 f x2 2x 0 x2 2x 1 . x 1 2 BC x2 2x 1 2 x 2; x 4 x 2x 8 Vậy các điểm cực trị của hàm số g x lần lượt là x 2; x 1; x 4 . x2 3x b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y đồng biến trên 1; . x m Lời giải ĐK: x m . x2 2mx 3m Ta có: y . x m 2 y 0, x 1; x2 2mx 3m 0, x 1; * Hàm số đồng biến trên 1; . m 1; m 1 * min f x 0 với f x x2 2mx 3m . 1; Đồ thị của hàm số f x là parabol có toạ độ đỉnh I m; m2 3m . BBT: x m 1 f x 1 m Dựa vào BBT, suy ra min f x 0 1 m 0 m 1 1; Vậy 1 m 1 thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 3. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A 1;2 , đường trung tuyến và đường phân giác trong hạ từ đỉnh B lần lượt có phương trình d : 2x 3y 2 , d1 :9x 3y 16 . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC Lời giải
4. x 2 2x 3y 2 Ta có d  d1 B nên toạ độ điểm B thoả hệ phương trình 2 . 9 x 3y 16 y 3 2 Do đó B 2; . 3 Gọi A a;b là điểm đối xứng với A qua d1 A BC . 1 a 2 b   Khi đó trung điểm của AA là I ; d1 và AA  ud nên ta có hệ: 2 2 1 18 1 a 2 b a 9 3 16 5 18 17 2 2 A ; . 17 5 5 a 1 3 b 2 0 b 5 2  8 41 Đường thẳng BC đi qua điểm B 2; nhận vectơ A B ; làm vectơ pháp tuyến nên 3 5 15 có phương trình: 72x 123y 226 0 . Gọi M là trung điểm của đoạn AC 226 72t t 1 472 72t Do C BC C t; M ; 123 2 123 t 1 472 72t 513 513 278 M d 2. 3. 2 t suy ra C ; . 2 123 113 113 339 Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a . Biết SA SB SC a . Đặt SD x 0 x a 3 . a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD khi x a . b) Tính x theo a sao cho tích AC.SD lớn nhất. Lời giải Cách 1:
5. S x A A D O B D G B C C a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD khi x a . Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD . Ta có: SA SB SC SD a OA OB OC OD ABCD là hình vuông Xét tam giác vuông a 2 BO 2 cos S· BC 2 S· BC 450 . SB a 2 b. Tính x theo a sao cho tích AC.SD lớn nhất. Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do SA SB SC SG  ABCD . AC  BD Ta có: AC  SBD AC  SO . AC  SG SOC BOC (do SC BC a , OC chung) SO OB OD BSD vuông tại S . a2 x2 BD2 a2 x2 OD . 2 a2 x2 3a2 x2 OA2 AD2 OD2 a2 4 4 3a2 x2 OA AC 3a2 x2 . 2 x2 3a2 x2 3a2 Xét AC.SD x. 3a2 x2 . 2 2 3a2 a 3 a 6 Dấu " " xảy ra khi x 3a2 x2 2x2 3a2 x2 x . 2 2 2 Cách 2: a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD khi x a .
6. Do SA SB SC SD a SO  ABCD . Gọi H là trung điểm của CD suy ra CD  SOH CD  OH ABCD là hình vuông. Từ đó SBD vuông cân tại S , nên ·SB, ABCD S· BD 45 . b) Tính x theo a sao cho tích AC.SD đạt giá trị lớn nhất. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD , do SA SB SC a nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dễ thấy I thuộc đường thẳng BO . Đặt ·ABC . Ta có AC 2Rsin . Suy ra BO a2 R2 sin2 . 1 1 Theo công thức tính diện tích tam giác ABC ta có: .a2.sin . a2 R2.sin2 .2Rsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 4R a a 4R a R .sin sin 2 2R Mặt khác xét tam giác vuông SBI và tam giác vuông SID ta có 2 SI 2 a2 R2 x2 2 a2 R2 sin2 R . a 4R2 a2 a2 Thay sin 2 vào rút gọn ta được R . 2R a2 x2 Nên AC 2Rsin 3a2 x2 . Từ đó AC.SD x 3a2 x2 x4 3a2 x2 . Xét hàm số f x x4 3a2 x2 với 0 x a 3
7. x 0 3 2 6 Có f x 4x 6a x 0 6a do x 0; 3a nên ta nhận x a . x 2 2 6 6 Lập bảng biến thiên ta được max f x f a . Vậy khi x a thì AC.SD đạt giá trị lớn 0; 3a 2 2 nhất. Câu 4: ( 3,0 điểm) a. Cho đa giác đều có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của H . Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông. 13 b. Cho P x 1 4x 3x2 . Xác định hệ số của x3 trong khai triển P x theo lũy thừa của x . Lời giải 4 a. Số phần tử của không gian mẫu là : C24 Đa giác đều có 24 đỉnh thì có 12 đường chéo đi qua tâm nên số hình chữ nhật , kể cả hình 2 vuông là : C12 hình. Ứng với 1 đường chéo thì có một đường chéo duy nhất để tạo thành hình vuông, nên số hình vuông là 6 . 2 Nên số hình chữ nhật cần tìm là C12 6 . 2 C12 6 10 Vậy xác suất cần tìm là : 4 . C24 1771 13 13 2 2 0 13 1 12 2 b. P x 1 4x 3x 1 4x 3x C13 1 4x C13 1 4x .3x 1 4x 13 13 1 4x 12 .3x2 1 4x 13 39 1 4x 12 .x2 * Tìm hệ số của x3 trong khai triển 1 4x 13 : 13 13 13 k 13 k k k k k 1 4x C13.1 4x C13.4 .x k 0 k 0 3 3 3 Ta có k 3 nên hệ số của x là : C13.4 12 * Tìm hệ số của x3 trong khai triển 1 4x .x2 tức là tìm hệ số của x trong khai triển 1 4x 12 12 12 12 m 12 m m m m m Ta có 1 4x C12.1 4x C12.4 .x k 0 k 0 3 1 Từ đó m 1 nên hệ số của x là : C12.4. 3 3 3 1 Vậy hệ số của x trong khai triển P x là : C13.4 39.C12.4 20176. Câu 7: (3 điểm) 2 Cho dãy số un được xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 , n ¥ . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un . 2 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u2020 . Lời giải
8. a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un . 2 2 2 Ta có: un 1 3un 2 un 1 1 3 un 1 ,n ¥ . 2 v1 2 Đặt vn un 1 . vn 1 3vn ,n ¥ Suy ra vn là cấp số nhân với số hạng đầu v1 2 , công bội q 3 n 1 vn 2.3 ,n ¥ n 1 un 2.3 1,n ¥ là số hạng tổng quát của dãy số un . 2 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u2020 . 2 2 2 2 2019 Ta có: S u1 u2 u2020 2 1 3 3 3 2020 1 32020 2. 2020 32020 2021. 1 3 Vậy S 32020 2021. Câu 7. (2,0 điểm): Cho hai số thực thay đổi x, y với x 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của xy2 biểu thức P (x2 3y2 )(x x2 12y2 ) Lời giải y2 xy2 2 P = x (Do x 0 ) (x2 3y2 )(x x2 12y2 ) y2 y2 (1 3 )(1 1 12 ) x2 x2 y Đặt t x t 2 t 2 (1 1 12t 2 ) 1 1 12t 2 1 1 1 12t 2 1 Khi đó: P 2 2 . 2 . 2 (1 3t 2 )(1 1 12t 2 ) (1 3t )( 12t ) 12 1 3t 3 12t 4 Đặt m 1 12t 2 1 1 m 1 m 1 Khi đó P . 3P f (m) 3 m2 3 m2 3 m2 3 2m(m 1) m2 2m 3 f '(m) 0 (m2 3)2 (m2 3)2 m 1 m 3
9. 1 1 0 3P 0 P 6 18 + P 0, dấu " " m 1 y 0 1 + P , dấu " " m 3 2x2 3y2 18 1 Vậy MinP 0 y 0 ; MaxP 2x2 3y2 18