Đề thi chính thức tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Lào Cai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chính thức tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Lào Cai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Mụn: Toỏn (Chuyờn) ĐỀ CHÍNH THỨC Khúa ngày: 03/06/2021 (Đề thi gồm cú 01 trang) Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể giao đề) ĐỀ BÀI: Cõu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị a a a a a 2 nguyờn dương của a đề P nhận giỏ trị nguyờn. b) Cho x 1 2021 . Tớnh giỏ trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Cõu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đú đó dừng lại nghỉ 20 phỳt. Do đú để đến B đỳng thời gian dự định người đú phải tăng vận tốc thờm 3km/h. Tớnh vận tốc dự định của người đú. 2) Cho phương trỡnh x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đú m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1; x2 thỏa món điều kiện: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Cõu 3. (3,5 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn (AB < AC) cú đường trũn ngoại tiếp (O; R) và đường trũn nội tiếp (I; r). Đường trũn (I; r) tiếp xỳc với cỏc cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kộo dài AI cắt BC tại M và cắt đường trũn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khỏc A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường trũn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khỏc D). Kộo dài DQ cắt đường trũn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khỏc D). Chứng minh rằng: a) AF 2 AP.AD b) Tứ giỏc PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phõn giỏc của ãPQT d) ãADF ãQDE Cõu 4. (2,0 điểm)
2. 2 1 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa món: x y . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A 53x 53y . 3 x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa món: x2 y2 z2 3 . Chứng minh rằng: x4 y4 z4 x3 y3 z3 3 x y z . Cõu 5. (1,0 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc bộ số nguyờn x ; y thỏa món phương trỡnh: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyờn tố sao cho tồn tại cỏc số nguyờn dương x ; y thỏa món x3 y3 p 6xy 8. Tỡm giỏ trị lớn nhất của p . Hết
3. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN – LÀO CAI (2021-2022) Cõu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị a a a a a 2 nguyờn dương của a đề P nhận giỏ trị nguyờn. b) Cho x 1 2021 . Tớnh giỏ trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Lời giải: a 0 a) Với: a 1,2 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 2 Ta cú: A : : a a a a a 2 a a 1 a a 1 a 2 a a 1 a a 1 a 2 a 2 2a 4 8 A : 2 2 a a a 2 a 2 a 2 a 2 8 Để A  2  a 2 U 8 1; 2; 4; 8 a 2 a  Do: a 2 5 a 2 8 a 6 TM a 1;2 Vậy a 6 A  b) Đặt: M x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021 x5 2x4 2020x3 x3 2x2 2020x x2 2x 2020 1. M x3 x2 2x 2020 x x2 2x 2020 x2 2x 2020 1 x2 2x 2020 x3 x 1 1 Mà: x 1 2021 x 1 2021 x 1 2 2021 x2 2x 2020 0. M 1 Cõu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đú đó dừng lại nghỉ 20 phỳt. Do đú để đến B đỳng thời gian dự định người đú phải tăng vận tốc thờm 3km/h. Tớnh vận tốc dự định của người đú. 2) Cho phương trỡnh x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đú m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1; x2 thỏa món điều kiện:
4. 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Lời giải: 1) Gọi vận tốc dự định của xe đạp là: x km / h ; x 0. Vận tốc sau khi tăng tốc là: x 3 km / h . 40 Thời gian dự định là: h . x Quóng đường từ lỳc tăng tốc là: 40 20 20 km . 20 Thời gian lỳc chưa tăng tốc là: h . x 20 Thời gian từ lỳc tăng tốc là: h . x 3 20 1 20 40 x 12 TM Theo đề bài ta cú: x 3 x 3 x x 15 KTM Vậy vận tốc dự định của xe đạp là: 12 (km/h) 2 2 2 2) a) Ta cú: ' m 1 2m 5 m 4m 6 m 2 2 0 m => Phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m. x1 x2 2 m 1 b) Theo Vi-et ta cú: x1 x2 2m 5 Do: x1 ; x2 là nghiệm của phương trỡnh nờn ta cú: x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2x 2m 1 4 0 x2 2mx 2m 1 4 2x 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2x 2m 1 4 0 x2 2mx 2m 1 4 2x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Mà: x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0 4 2x1 4 2x2 0 16 8 x1 x2 4x1x2 0 3 16 8.2 m 1 4 2m 5 0 12 8m 0 m 2 Cõu 3. (1,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn (AB < AC) cú đường trũn ngoại tiếp (O; R) và đường trũn nội tiếp (I; r). Đường trũn (I; r) tiếp xỳc với cỏc cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kộo dài AI cắt BC tại M và cắt đường trũn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khỏc A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường trũn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khỏc D). Kộo dài DQ cắt đường trũn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khỏc D). Chứng minh rằng:
5. a) AF 2 AP.AD b) Tứ giỏc PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phõn giỏc của ãPQT d) ãADF ãQDE Lời giải: A 1 2 T P E Q F I O 2 B C 1 D M N 1 a) Xột AFP và ADF cú: ãAFP ãADF FằP ; ảA Chung 2 AF AP AFP ∽ ADF g .g AF 2 AP.AD (đpcm) AD AF b) Vỡ: AF và AE là 2 tiếp tuyến của I AI là trung trực của FE AI  FE tại Q. AP AI A F 2 AQ.AI (hệ thức lượng) AQ.AI AP.AD A F 2 AQ AD AP AI Xột APQ và AID cú: cmt ; ảA Chung AQ AD APQ ∽ AID c.g .c ãAQP ãADI PQID nội tiếp (vỡ: ãAQP là gúc ngoài tại đỉnh Q) ả ả ằ ằ ả ả Ta cú: A1 A2 (vỡ: AI là tia phõn giỏc) NB NC B1 A2
6. ả ả ã Xột ABN và BMN cú: B1 A2 cmt ; N Chung AN BN ABN ∽ BMN g .g NB2 NA.NM (đpcm) BN MN ãIPD ãIDP IP ID r c) Ta cú: ãIDP ãIQD ã ã 1 º IPD IQD ID 2 ã ã IDP AQP cmt Mà: ãAQP ãAQT đpcm ã ã AQT IQD doi dinh d) Gọi K là giao điểm của AI với I FằK EằK Mà: ãAQP ãAQT cmt KằP KằT FằP EằT ãFDP ãEDT đpcm Cõu 4. (2,0 điểm) 2 1 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa món: x y . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A 53x 53y . 3 x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa món: x2 y2 z2 3 . Chứng minh rằng: x4 y4 z4 x3 y3 z3 3 x y z . Lời giải: 1 1 Co Si 1 1 a) Dự đoỏn điểm rơi: x y ax ax 3.3 ax ax 3.3 a2 ax a 27 3 x2 x2 x2 1 1 1 1 Ta cú: A 53x 53y 2 2 27x 27x 2 27y 27y 2 x y x y x y Co Si 1 1 2 160 A 3.3 27x 27x  3.3 27y 27y  x y 27 27 x y 54 x2 y2 3 3 1 Dấu “=” xảy ra khi x y 3 160 1 Vậy Min A x y 3 3 b) Ta cú: x4 1 2. x4 .1 2x2 ; y4 1 2. y4 .1 2y2 ; z4 1 2. z4 .1 2z2 x4 y4 z4 2 x2 y2 z2 3 VT 2 x2 y2 z2 3 x3 y3 z3 Tương tự: x3 x 2. x3 .x 2x2 ; y3 y 2. y3 . y 2y2 ; z3 z 2. z3 .z 2z2
7. x3 y3 z3 2 x2 y2 z2 x y z VT 2 x2 y2 z2 x y z 2 x2 y2 z2 3 VT x2 y2 z2 x y z 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 x y z 3.3 3 VT x2 y2 z2 x y z 6 Mà: x2 1 2. x2 .1 2x ; y2 1 2. y2 .1 2y ; z2 1 2. z2 .1 2z x2 y2 z2 2 x y z 3 VT 2 x y z 3 x y z 6 x y z 3 (đpcm) Cõu 5. (1,0 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc bộ số nguyờn x ; y thỏa món phương trỡnh: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyờn tố sao cho tồn tại cỏc số nguyờn dương x ; y thỏa món x3 y3 p 6xy 8. Tỡm giỏ trị lớn nhất của p . Lời giải: a) Ta cú: x2 2x 2y2 2 xy 1 x2 2x 2y2 2xy 2 x2 2xy y2 y2 2x 2 x y 2 2x y2 2y 1 2y 3 x y 2 2 x y y 1 2 3 x y 2 2 x y 1 y 1 2 4 x y 1 2 y 1 2 4 02 22 x y 1 0 x y 1 0 y 1 0 y 1 0    y 1 2 y 1 2 x y 1 2 x y 1 2 x 4 x 0 y 1 y 1    y 3 y 1 x 0 x 4 Vậy x ; y 4 ; 3 ; 0; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 1 . b) Ta cú: x3 y3 p 6xy 8 p x3 y3 6xy 8 p x y 3 3xy x y 6xy 8 p x y 3 8 3xy x y 2 p x y 2 x y 2 2 x y 4 3xy x y 2 1 2 Do p là số nguyờn tố nờn: 2 x y 2 x y 4 3xy 1 x y 2 x y 4 3xy 1 (Vỡ: x; y  x y 2 4 ) x y 2 2 x y 4 3xy 1 x2 2xy y2 2x 2y 3xy 3 x2 xy y2 2x 2y 3 4x2 4xy 4y2 8x 8y 12 2x y 2 3y2 4 2x y 4 12y 12 4
8. 2x y 2 2 3 y 2 2 4 12 3.12 2x y 2 1 2x y 2 1 2x y 2 1 2x y 2 1    y 2 1 y 2 1 y 2 1 y 2 1 x 3 x 2 x 2 x 1    y 3 y 1 y 3 y 1 x 3 TH1: p 8 KTM y 3 x 2 TH2: p 5 TM y 1 x 2 TH3: p 7 TM y 3 x 1 TH4: p 4 KTM y 1 Vỡ: p là số nguyờn tố lớn nhất p 7 Vậy p 7 thỏa món yờu cầu bài toỏn. Hết