Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 9 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 9 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

1. BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYấN TOÁN ĐỀ SỐ 9 Văn Phỳ Quốc, GV. Trường THPT chuyờn Nguyễn Bỉnh Khiờm Cõu 1 (2,0 điểm) 2 a + b 2- ab a) Cho biểu thức P = - (với a,b ³ 0 và a ạ 1). ab + 2 a - b - 2 ab + 2 a + b + 2 Tỡm giỏ trị lớn nhất của P khi a ạ 1 là số tự nhiờn. b) Cho m,n là hai số nguyờn dương lẻ sao cho n2 - 1 chia hết cho m2 - n2 + 1 . Chứng minh rằng m2 - n2 + 1 là số chớnh phương. Cõu 2 (2,0 điểm) x 1 1 1 a) Giải phương trỡnh: 2x 1 3 x . x x x ỡ 2 2 ù (x + 1) y + y + 2 + (y - 1) x + x + 1 = x + y b) Giải hệ phương trỡnh:ớù . ù x2 + x x - y + 3 = 2x2 + x + y + 1 ợù ( ) 2 Cõu 3 (0,5 điểm). Cho parabol (P) : y = x2 . Lấy hai điểm thay đổi A và B trờn (P) sao cho 3 OA ^ OB . Chứng minh rằng hỡnh chiếu H của O trờn AB thuộc một đường trũn cố định đồng thời xỏc định vị trớ của A và B để OH lớn nhất. Cõu 4 (2,0 điểm). Cho tứ giỏc lồi ABCD cú BãAC = CãAD và ÃBC = ãACD . Hai tia AD và BC cắt nhau tại E , hai tia AB và DC cắt nhau tại F . Chứng minh rằng 1 a) AB.DE = BC.CE . b) AC 2 < (AD.AF + AB.AE) . 2 Cõu 5 (2,0 điểm). Cho tam giỏc ABC khụng là tam giỏc cõn, biết tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn (I) . Gọi D,E,F lần lượt là cỏc tiếp điểm của BC,CA, AB với đường trũn (I) . Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC , biết AD cắt đường trũn (I) tại điểm N ( N khụng trựng với D ), gọi K là giao điểm của AI và EF . a) Chứng minh rằng cỏc điểm I,D, N,K cựng thuộc một đường trũn. b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường trũn (I) . 1 Cõu 6 (1,0 điểm). Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện a b c . 4 2 2 2 1 4a 1 4b 1 4c 1 b c 1 c a 1 a b Chứng minh rằng: 6 . 1 4a 1 4b 1 4c a b c b c a c a b Cõu 7 (0,5 điểm). Một nước cú 80 sõn bay, mà khoảng cỏch giữa hai sõn bay nào cũng khỏc nhau. Mỗi mỏy bay cất cỏnh từ một sõn bay và bay đến sõn bay nào gần nhất. Chứng minh rằng trờn bất kỳ sõn bay nào cũng khụng thể cú quỏ 5 mỏy bay đến. ===Hết===