Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 19 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 19 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

1. BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ 19 Văn Phú Quốc, GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho các số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn (y z) 3 1 x3 (z x) 3 1 y3 (x y) 3 1 z3 0 . Chứng minh rằng (1 x3 )(1 y3 )(1 z3 ) (1 xyz)3 . x2 y y b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình . 8x y2 x Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x2 4x 1 3 x . 2 2x 2 x y 1 34 2xy x b) Giải hệ phương trình: . 2 2y 2 x y 1 34 xy 2y Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) . Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4. Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) có đường cao AH sao cho AH HC . Trên AH lấy một điểm I sao cho HI BH . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BI và AC . Gọi N và M lần lượt là hình chiếu của H trên AB và IC ; K là giao điểm của đường thẳng CI với AB ; D là giao điểm của đường thẳng BI với AC . a) Chứng minh I là trực tâm của tam giác ABC . b) Chứng minh tứ giác HNKM là hình vuông và bốn điểm N,P,M ,Q thẳng hàng. Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB 2AC , điểm C thuộc đường tròn C A,C B . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân. b) Khi MB MQ , tính BC theo R. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a2 b2 c2 2. 8max a2b2 ;b2c2 ;c2a2 Chứng minh bất đẳng thức a3 b3 c3 3abc . a b c 2 Câu 7 (0,5 điểm). Cho ba đống sỏi khác nhau. Sisyphus thực hiện di chuyển 1 viên sỏi từ 1 trong ba đống sỏi sang 1 trong 2 đống sỏi còn lại. Mỗi lần chuyển sỏi, Sisyphus nhận được từ Zeus một số tiền bằng hiệu số giữa số sỏi của đống sỏi lấy đi và đống sỏi nhận thêm trước khi di chuyển. Nếu số chênh lệch này âm thì Sisyphus cũng phải trả cho Zeus số tiền chênh lệch đó. Sau một số bước thực hiện thì số sỏi mỗi đống sẽ trở về như ban đầu. Hỏi khi đó số tiền tối đa mà Sisyphus nhận được là bao nhiêu ? ===Hết===