Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

1. Chủ đề 3 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 1. Kiến thức cần nhớ a. Nội dung phương pháp Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A B . Tư tưởng của phương pháp là ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng. Các bước suy luận phản chứng Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh). Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết. Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì cần tạo ra mệnh đề phủ định điều cần chứng minh thực sự chính xác. b. Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức + Dùng mệnh đề đảo. + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết. + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng. + Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau. + Phủ định rồi suy ra kết luận. c. Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ. 2 2 2 a b b c c a + a2 b2 c2 ab bc ca 0 2 2 2 2 + a 1 b 1 c 1 0 2 2 2 + a b b c c a 0 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là đúng: a2 b2 2bc b2 c2 2ca c2 a2 2ab Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được. Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức trên cùng sai, tức là ta có ba bất đẳng thức sau a2 b2 2bc b2 c2 2ca c2 a2 2ab Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
2. a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 0 2 2 2 Hay a b b c c a 0 . 2 2 2 Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức a b b c c a 0 . Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho các số thực a, b, c (0, 2) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là sai: a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý ở đây ta có giả thiết a, b, c (0, 2) nên có thể sử dụng đến các hiệu 2 a, 2 b, 2 c là các số dương. Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế với vế ta có a 2 b .b 2 c .c 2 a 1 a 2 a .b 2 b .c 2 c 1 Mặt khác do a (0, 2) nên ta có 2 a 0. Do đó ta được 2 0 a 2 a 2a a2 1 1 2a a2 1 a 1 1 Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có 0 b 2 b 1; 0 c 2 c 1 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được a 2 a .b 2 c .c 2 c 1 Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức a 2 a .b 2 b .c 2 c 1. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn thỏa mãn các điều kiện sau a b c 0; ab bc ac 0; abc 0 Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương. Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba số a, b, c đều là số dương, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp một số nào đó không dương. Như vậy ta chỉ cần chứng minh một số bất kì không dương không thể xẩy ra là được. Lời giải Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất đi tính tổng quát ta chọn số đó là a, tức là ta có a 0. Vì abc 0 nên a 0, do đó suy ra a 0. Lại có a b c 0 nên b c 0, từ đây suy ra a b c 0
3. Theo giả thiết thứ hai ab bc ca 0 hay a b c bc 0 dẫn đến bc 0 Như vậy ta được a 0; bc 0 vì thế ta có abc 0. Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết thứ ba của bài toán. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng thức: 1 1 1 a 2 b 2 c 2 b c a Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh không tồn tại ba số dương a, b, c để cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. 1 Chú ý các bất đẳng thức trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng x 2. x Lời giải Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức: 1 1 1 a 2; b 2; c 2 b c a Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 1 1 1 a b c 6 a b c 6 (1) b c a a b c Vì a, b, c là các số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta được 1 1 1 a 2; b 2; c 2 a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 a b c 6 2 a b c Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 5: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các số 9ab , 2 9bc , 9ac nhỏ hơn a b c . Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh tồn tại ít nhất một trong ba số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn 2 a b c , điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn 2 2 a b c . Như vậy ta chỉ cần chứng minh ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn a b c không xẩy 2 ra là được. Chú ý các đại lượng 9ab, 9bc, 9ca, a b c làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức a2 b2 c2 ab bc ca.
4. Lời giải Giả sử điều cần chứng minh là sai, tức là ta có các bất đẳng thức sau 2 2 2 9ab a b c ; 9bc a b c ; 9ca a b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được 2 2 3 a b c 9 ab bc ca a b c 3 ab bc ca 2 2 2 a2 b2 c2 ab bc ca a b b c c a 0 1 Theo bài ra a, b, c đôi một khác nhau nên ta lại có 2 2 2 a b b c c a 0 2 Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là bốn số thực dương bất kì. Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể cùng xảy ra: a b c d 1 a b c d ab cd 2 a b cd c d ab 3 Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba bất đẳng thức trên không cùng xẩy ra tức là có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Lời giải Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả ba bất đẳng thức. Từ bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức (2) ta có 2 a b a b c d ab cd 2 2 cd a b ab a b 3ab 3ab cd 3ab 4 Mặt khác ta lại có a b cd c d ab 2 a b cd c d a b ab ab cd ab 2 ab ab cd a b cd 4ab.cd ab ab cd 4ab.cd ab 3cd 5 Ta thấy hai bất đẳng thức (4) và (5) mâu thuẫn với nhau. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 b2 ab bc ca 0. Chứng minh rằng: a2 b2 c2
5. Phân tích: Đại lượng a2 b2 ab bc ca làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức 2 a b c a2 b2 c2 2 ab bc ca . Như vậy từ giả thiết của bài toán đã cho ta suy ra được giả thiết mới 2 a2 b2 ab bc ca 0. Vậy nếu a2 b2 c2 , thì ta được bất đẳng thức mới 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a b c 0. Rõ ràng bất đẳng thức thu được là sai, do đó ta nghĩ đến sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh bài toán. 2 Ngoài ra, để ý bất đẳng thức 2 a2 b2 ab bc ca 0 và a b c 0 ta được bất 2 đẳng thức a b c 2 a2 b2 ab bc ca . Khai triển và thu gọn ta cũng được a2 b2 c2 . Lời giải Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức a2 b2 c2 , khi đó ta được a2 b2 a2 b2 2 ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 2 a2 b2 ab bc ca a b c Kết hợp với giả thiết ta có 2 2 0 2 a2 b2 ab bc ca a b c a b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng là sai. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây: Giả thiết của bài toán tương đương với 2 a2 b2 ab bc ca 0 2 Mà ta luôn có a b c 0, do đó ta được bất đẳng thức 2 a b c 2 a2 b2 ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a2 b2 2 ab bc ca . c2 a2 b2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 8. Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a3 b3 a b . Chứng minh rằng: a2 b2 1 Phân tích: Quan sát giả thiết ta nhận thấy a b 0 và hai đại lượng a3 b3; a b không đồng bậc. Do đó ta có thể đồng bậc hai vế bằng cách nhân thêm a2 b2 . Vì yêu cầu chứng minh a2 b2 1 nên kết hợp với giả thiết ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức a3 b3 a b a2 b2 . Đến đây ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng hoặc biến đổi tương đương để chứng minh bài toán. Lời giải
6. Từ giả thiết ta có a b 0. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức a2 b2 1. Khi đó kết hợp với giả thiết ta được a3 b3 a b a2 b2 a3 b3 a3 ab2 a2b b3 ab2 a2b 2b3 0 b ab a2 2b2 0 Vì a b 0 nên ta có a b a 0 a b a 2b3 0. Do đó bất đẳng thức trên không thể xẩy ra. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây: Từ giả thiết ta có a b 0. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a3 b3 a b a2 b2 a3 b3 a3 ab2 a2b b3 a2b ab2 2b3 0 a2 ab 2b2 0 Mà ta có a b 0 nên a2 ab 0 nên ta được a2 ab 2b2 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 4, b 5, c 6 và a2 b2 c2 90 Chứng minh rằng: a b c 16 Phân tích: Từ điều kiện của biến a 4, b 5, c 6, để quy về một điều kiện ta có thể sử dụng cách đặt biến phụ a x 4; b y 5; z c 6, khi đó điều kiện của biến mới là x, y, z 0. Giả thiết lúc này được viết lại là x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z 1. Từ những kết quả thu được ở trên ta nếu ta giả sử x y z 1 thì ta thu được điều kiện 0 x, y, z 1. Khi đó ta có x2 y2 z2 x y z suy ra x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13. Đến đây xem như bài toán được giả quyết xong. Lời giải Đặt a x 4; b y 5; z c 6, khi đó ta có x, y, z 0. Giả thiết lúc này được viết lại là 2 2 2 x 4 y 5 z 6 90 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z 1 Giả sử tồn tại x, y, z 0, thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 Nhưng bất đẳng thức x y z 1 không đúng. Tức là ta có x y z 1. Khi đó hiển nhiên có 0 x, y, z 1 nên x2 x; y2 y; z2 z. Suy ra x2 y2 z2 x y z. Từ đó ta có
7. 13 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 x y z 4x 2z 13 x y z 13 Hay 13 13, đây là một mâu thuẫn. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 10. Cho a, b, c là ba số thực bất kì thỏa mãn các điều kiện sau: abc 20153 và ab bc ca 2015 a b c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015. Phân tích: Từ bài toán ta nhận thấy không thể có trường hợp cả ba số a, b, c cùng lớn hơn 2015. Bài toán yêu cầu chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015. Điều này có nghĩa là không thể có hai số lớn hơn 2015 cũng không thể có cả ba số cùng không lớn hơn 2015. Như vậy để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh hai trường hợp này không xẩy ra là được. Để ý là khi so sánh các số a, b, c với 2015 ta thường so sánh a 2015; b 2015; c 2015 với 0. Lại thấy từ giả thiết ta được 2015 a b c ab bc ca 0 nên ta được P a 2015 b 2015 c 2015 2015 2015 a b c ab bc ca 0. Lời giải Xét biểu thức P a 2015 b 2015 c 2015 abc 2015 ab bc ca 20152 a b c 20153 2015 2015 a b c ab bc ca 0 Giả sử khẳng định của bài toán là sai, khi đó sẽ có hai trường hợp + Trường hợp thứ nhất cả ba số a, b,c đều không lớn hơn 2015, khi đó ta có a 2015 0; b 2015 0; c 2015 0 Suy ra P 0, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trên. + Trường hợp thứ hai là có ít nhất hai số lớn hơn 2015, chẳng hạn là a, b. Khi đó ta được a 2015; b 2015 suy ra a 2015 0; b 2015 0. P Do đó ta có a 2015 b 2015 0 c 2015 0 a 2015 b 2015 Suy ra c 2015, dẫn đến abc 20153 , điều này mâu thuẫn với giả thiết abc 20153 . Vậy điều giả sử không thể xẩy ra. Do đó bài toán được chứng minh. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 2b2 2a2c2 b2c2 3a2b2c2 9 Chứng minh rằng: abc 1 Phân tích: Trước hết ta nhận thấy, nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh. Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Để ý từ giả thiết ta thu được
8. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c 2 2 2 a 2b 2a c b c 3a b c a 2 2 b 2 3a b c a b a2b2c2 a2b2c2 Mà ta lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 2 b 2 3a b c 2 abc 4 abc 3a b c a b Đến đây ta có thể sử dụng phép phản chứng hoặc phân tích thành nhân tử để chứng minh bài toán. Lời giải Nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh. Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Từ giả thiết ta thu được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c 2 2 2 a 2b 2a c b c 3a b c a 2 2 b 2 3a b c a b Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức abc 1 Đặt x abc 1 x2 1. Khi theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 9 a 2b 2a c b c 3a b c a 2 2 b 2 3x a b 2 1 2 1 a 2 2 b 2 3 9 a b Hay 9 9, điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ngoài ra ta cũng có thể trình bày như sau: Biến đổi tương tự như trên ta được 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c 2 2 2 2 2 2 9 a 2 2 b 2 3a b c 2 abc 4 abc 3a b c a b Đặt x abc 0 khi đó ta được 9 6x 3x2 x2 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 1. Ví dụ 12. Cho a, b là các số thức dương thỏa mãn a b 2. Chứng minh rằng: 3 a 3 b 2 Phân tích: Để bài toán đơn giản hơn ta có thể thực hiện làm mất căn bậc ba bằng cách đặt x 3 a; y 3 b , khi đó giả thiết của bài toán trở thành x 3 y3 2 và ta cần chứng minh x y 2. 3 Để ý ta thấy x y 2 tương đương với x y 8, khai triển ta và sử dụng giả thiết ta được được xy x y x 3 y3 . Như vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có được bất đẳng thức cần chứng minh. Tuy nhiên nếu x y 2, với cách biến đổi như trên ta thu được xy x y x 3 y3 là một bất đẳng thức sai. Do đó ta có thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc phép phản chứng để giải quyết bài toán. Lời giải
9. Đặt x 3 a; y 3 b , khi đó giả thiết của bài toán trở thành x 3 y3 2 và ta cần chứng minh x y 2. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức x y 2. Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 3 x y 8 x 3 y3 3 x y 8 2 3xy x y 8 xy x y 2 xy x y x 3 y3 Chia 2 vế cho số dương x y khi đó ta được bất đẳng thức 2 xy x2 xy y2 0 x y Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 13. Cho 25 số tự nhiên a1, a2,..., a25 khác 0 thoả mãn điều kiện: 1 1 1    9 a1 a2 a25 Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau. Phân tích: Để chứng minh trong hai 25 số tự nhiên trên luôn tồn tại hai số bằng nhau ta có thể giả sử 25 số đó khác nhau từng đôi một, để dễ biến đổi ta nên sắp thứ tự cho 25 số đó, chẳng hạn a1 a2 ... a25 . Với cách sắp thứ tự như vậy ta sẽ nhận được kết quả là a1 1, a2 2, ..., a25 25. Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1       a1 a2 a25 1 2 25 1 1 1 Đến đây ta chỉ cần chỉ ra    9 là bài toán được giải quyết 1 2 25 Lời giải Giả sử trong 25 số tự nhiên a1, a2,..., a25 không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta có thể chọn a1 a2 ... a25 . Khi đó ta có a1 1, a2 2, ..., a25 25 1 1 1 1 1 1 Suy ra ta được       a1 a2 a25 1 2 25 Mặt khác ta chứng minh được
10. 1 1 1 2 2 2    1 ... 1 2 25 2 2 2 3 2 25 1 1 1 1 2 ... 2 1 3 2 25 24 1 2 2 1 3 2 ...... 25 24 1 2 25 1 9 1 1 1 Điều này dẫn tới    9 a1 a2 a25 Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 14. Cho 25 số tự nhiên a1, a2,..., a2015 khác 0 thoả mãn điều kiện: 1 1 1 1 ... 89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau. Lời giải Giả sử trong 2015 số tự nhiên a1, a2,..., a2015 không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta có thể chọn a1 a2 ... a2015 . Khi đó ta có a1 1, a2 2, a3 3, ... , a2015 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra ta được ... ... a1 a2 a3 a2015 1 2 3 2015 Mặt khác ta chứng minh được 1 1 1 2 2 2    1 ... 1 2 2015 2 2 2 3 2 2015 1 1 1 1 2 ... 2 1 3 2 2015 2014 1 2 2 1 3 2 ... 2015 2014 1 2 2015 1 89 1 1 1 Điều này dẫn tới    89 a1 a2 a2015 Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 15. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a4 b4 a3 b3 . Chứng minh rằng: a b 2
11. Lời giải Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, khi đó ta có bất đẳng thức a b 2. Đặt a x 1; b y 1 khi đó ta được x y 0 Xét hiệu hai vế của giả thiết ta được 4 4 3 3 a4 b4 a3 b3 1 x 1 y 1 x 1 y x y 3 x2 y2 3 x 3 y3 x y 3 x2 y2 3 x y x2 xy y2 0 Hay a4 b4 a3 b3 0 Mà ta lại có a b 2 do đó suy ra a4 b4 a3 b3 . Bất đẳng thức thu được trái với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b2 c2 1 ab . Chứng minh rằng: a c và b c Phân tích: Quan sát bài toán ta nhận thấy vai trò của a, b là như nhau, do đó ta chỉ cần chứng minh a c, trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự. Để tìm mối liên hệ của a và c ta viết lại giả thiết là a2 c2 b ac2 b . Do đó nếu như a c thì ta được bất đẳng thức a2 c2 b ac2 b 0 b ac2 . Mặt khác ta lại thấy b b ac2 b ac2 . Như vậy ta được c2 a2 ac2 0, nhưng do a, c là các số nguyên dương nên ta lại thu được c2 a2 ac2 c2 1 a a2 0, hai bất đẳng thức này mâu thuẫn với nhau, bài toán được giải quyết xong. Lời giải + Trước hết ta chứng minh a c. T viết lại giả thiết là a2 c2 b ac2 b . Giả sử a c khi đó ta được a2 c2 b ac2 b 0 b ac2 . Mà ta lại thấy b b ac2 b ac2 . Như vậy ta được c2 a2 ac2 0. Mà do a, c là các số nguyên dương nên ta được c2 a2 ac2 c2 1 a a2 0. Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn với nhau. Do đó không thể xẩy ra a c, tức là ta có bất đẳng thức a c. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được b c. Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc . Chứng minh rằng 2 trong 3 bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng
12. 2 3 6 2 3 6 2 3 6 6; 6; 6 a b c b c a c a b Phân tích: Từ cách phát biểu bài toán ta ưu tiên lựa chọn phương pháp phản chứng để chứng minh. Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức là đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp có ít nhất hai bất đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp có ít nhất hai bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được. Chú ý giả thiết và các bất đẳng 1 1 1 thức ta có thể đặt x ; y ; z . Khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 và các bất đẳng a b c thức là 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6; 2z 3x 6y 6. Lời giải 1 1 1 Đặt x ; y ; z . Khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 và các bất đẳng thức là a b c 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6; 2z 3x 6y 6. Ta cần chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên là đúng. Giả sử điều cần phải chứng minh là sai. tức là có ít nhất hai bất đẳng thức trên không đúng. Không mất tính tổng quát ta chọn 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6 là hai bất đẳng thức bị sai, khi đó ta được 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 8x 5y 9z 12 1 yz Từ xy yz zx 1 ta được x , khi đó ta có bất đẳng thức y z 8 1 yz 5y 9z 12 8 1 yz y z 5y 9z 12 y z y z 5y2 9z2 6yz 12y 12z 8 0 2 2 y 3z 2 4 y 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 18. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 8a 1 8b 1 8c 1 1 x2 Phân tích: Để ý ta thấy và vì a là số thực dương nên ta có điều kiện x a 2 1 8a 8x 0 x 1. Như vậy để đơn giản hóa bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đổ biến 1 1 1 x ; y ; z , khi đó ta được 0 x; y; z 1. 1 8a 1 8b 1 8c
13. Giả thiết được viết lại là 83 x2.y2.z2 1 x2 1 y2 1 z2 và bất đẳng thức cần chứng minh là x y z 1. Nhìn giả thiết ta liên tưởng đến một bất đẳng thức quen thuộc 8xyz x y y z z x , như vậy ta cần cách tìm biến đổi làm xuất hiện các đại lượng x y, y z, z x . Nhận thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 x y z x2 y z x y x z 2 y z x y x z 2 Như vậy nếu x y z 1 thì 1 x2 x y z x2 , lúc này ta được các bất đẳng thức ngược chiều nhau. Đến đây một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép phản chứng. Lời giải 1 1 1 Đặt x ; y ; z . 1 8a 1 8b 1 8c 1 x2 1 y2 1 z2 Suy ra a ; b ; c , khi đó ta được 0 x; y; z 1. 8x2 8y2 8z2 Vì abc 1 nên giả thiết được viết lại là 83 x2.y2.z2 1 x2 1 y2 1 z2 và bất đẳng thức cần chứng minh là x y z 1. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức x y z 1. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 1 x2 x y z x2 y z x y x z 2 y z x y x z 0 Áp dụng tương tự ta có 1 y2 2 x z x y y z 0; 1 z2 2 x y x z y z 0 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 83 x2.y2.z2 1 x2 1 y2 1 z2 x y y z z z Hay 8xyz x y y z z x , rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Một số ví dụ khác 1 1 1 Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3. Chưng minh rằng: a b c a b b c c a 3 2 Lời giải Đặt x a b; y b c; z c a , khi đó ta được 2a x2 z2 y2; 2b x2 y2 z2; 2c z2 y2 x2
14. 1 1 1 3 Giả thiết được viết lại thành x2 z2 y2 x2 y2 z2 z2 y2 x2 2 Bất đẳng thức cần chứng minh là x y z 3 2 Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có x y z 3 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 1 1 1 2 x2 z2 y2 x2 y2 z2 z2 y2 x2 3 3 x2 z2 y2 x2 y2 z2 z2 y2 x2 Mặt khác theo một bất đẳng thức quen thuộc ta lại có 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x z y x y z z y x x y z 8 3 3 3 3 Do đó ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 x z y x y z z y x 8 3 3 Hay ta được , bất đẳng thức thu được là một bất đẳng thức sai. 2 2 Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 20. Cho a, b là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: 1 a b 1; 1 a b ab 1 Chứng minh rằng: 2 a, b 2 Lời giải Vì vai trò của a, b như nhau nên ta chỉ cần chứng minh 2 a 2. Việc chứng minh 2 b 2 hoàn toàn tương tự. Giả sử bất đẳng thức 2 a 2 là sai, khi đó ta có a 2 hoặc a 2. + Xét trường hợp a 2, khi đó từ 1 a b 1 suy ra b 1 a 1 2 1, do đó ta được ab 2 mà a b 1 nên a b ab 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này không xẩy ra. + Xét tường hợp a 2, khi đó từ 1 a b 1 suy ra b 1 a 1 2 1, do đó ta được ab 2 mà a b 1 nên a b ab 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này cũng không xẩy ra. Các kết quả trên chứng tỏ điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thức không âm thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc Lời giải Nếu abc 0, thì bất đẳng thức được chứng minh. Xét abc 0, khi đó ta được a, b, c 0. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là a2 b2 c2 abc. Khi đó ta có abc a2 b2 c2 a2 nên bc a .
15. Chứng minh tương tự ta được b ac, c ab Từ đó suy ra a b c ab bc ca . Mặt khác ta lại có abc a2 b2 c2 ab bc ca abc ab bc ca Kết hợp hai bất đẳng thức ta được abc a b c, bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. 1 1 1 Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c . a b c Chứng minh rằng: a b c b c a c a b 1 Lời giải Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả sử a b c , Khi đó a b c 0 và a c b 0. + Nếu b c a 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. + Nếu b c a 0. Khi này ta đặt x b c a; y c a b; z a b c . 2 2 2 Khi đó ta viết lại giả thiết là x; y;z 0 và x y z . x y y z z x Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xyz 1. Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử xyz 1. Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 2 1 1 1 x y z x y y z z x xy yz zx Hay x y z xyz x y z , vì xyz 1 nên x y z x y z x 1 Tuy nhiên cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được x , thiết lập các đánh giá tương tự ta có 2 x y z 3 x y z x y z x y z 3 2 2 2 2 9 Mặt khác x y z x y z 3 x y y z z x x y z Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử trên là sai, do vậy xyz 1. Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh, dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1. Nhận xét: Ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng theo hướng như sau Giả sử xyz 1, khi đó từ giả thiết của bài toán suy ra 2 x y z xy yz zx 2 x y z 2 xy yz zx xyz x y z Theo bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả sử ta lại có
16. xy yz zx 33 x2y2z2 3; x y z 3 Do đó 2 2 x y z xy yz zx 2 2 x y z 3 2 2 x y z xy yz zx 2 xy yz zx 9 2 2 x y z xy yz zx xyz x y z 9 Cộng theo vế a bất đẳng thức trên ta được 2 x y z xy yz zx 2 x y z 2 xy yz zx xyz x y z Điều này mâu thuẫn với đẳng thức trên, do đó điều giả sử là sai. Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a b c; a b c 6; ab bc ca 9 Chứng minh rằng: 0 a 1; 1 b 3; 3 c 4 Lời giải Từ giả thiết của bài toán, ta suy ra 2 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 18 Mặt khác, vì a, b, c là các số dương cho nên 2 2 b c 6 a 9 ab bc ca a b c a 6 a 4 2 3a3 Hay 3a 0, từ đó suy ra 0 a 4 , do vậy 0 a b c 4 Khi đó 18 a2 b2 c2 ac bc c2 c a b c 6c . Suy ra c 3. Bây giờ ta chứng minh c 4. Thật vậy, giả sử c 4 khi đó ta được c2 4c, từ đây ta suy ra 2 2 a b 6 c 18 a2 b2 c2 c2 4c 2 2 c2 Hay 2c 0 0 c 4. Mâu thuẫn với c 4, do vậy c 4 2 Từ đó ta có 3 c 4 Cũng từ đây ta suy ra a b c 4. Ta chứng minh a 1. Thật vậy, giả sử a 1 Khi đó ta được 1 a b c 4, suy ra a 1 a 4 0; b 1 b 4 0; c 1 c 4 0 Hay a2 5a 4; b2 5b 4; c2 5c 4 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 b2 c2 5 a b c 12 18 Điều này mâu thuẫn với điều kiện a2 b2 c2 18 . Do đó a 1. Vậy 0 a 1. Cuối cùng ta chứng minh 1 b 3 Thật vậy, vì a 1 và c 4, do đó b 6 a c 6 1 4 1 hay b 1 Ta cần chứng minh b 3.
17. Giả sử b 3, khi đó ta có b 3 c 3 0 Hay bc 3 b c 9 3 6 a 9 9 3a Từ đó suy ra 9 ab bc ca a b c bc a b c 9 3a Hay a b c 3 0 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai do 3 c 4 . Vì vậy giả sử b 3 là sai. Do đó b 3. Vậy ta được 1 b 3. Như vậy bài toán được chứng minh xong.