›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 251-280 (Có lời giải)

doc 51 trang nhungbui22 11/08/2022 2290
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 251-280 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_251_280_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 251-280 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing §2. Giá trị lượng giác của một cung. Công thức lượng giác A. Lý thuyết và các dạng toán điển hình I. Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác 1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung ¼AM có sđ ¼AM (còn viết ¼AM ). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x; y x OH; y OK . Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α: sin sin y OK + Hoành độ x của M là cosin của góc α: cos cos x OH sin sin + Với cos 0 , tỉ số gọi là tang của góc α: tan tan cos cos cos cos + Với sin 0 , tỉ số gọi là cotang của góc α: cot cot sin sin - sin ,cos , tan ,cot gọi là các giá trị lượng giác của góc α. - Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin. 2. Hệ quả a. sin ,cos xác định với  ¡ , ta có: sin k2 sin k ¢ cos k2 cos k ¢ b. Vì 1 OK 1; 1 OH 1 nên ta có: 1 sin 1 1 cos 1 c. Với m ¡ mà 1 m 1 đều tồn tại và  sao cho sin m và cos  m LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book d. tan xác định với  k k ¢ 2 cot xác định với  k k ¢ e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng ¼AM trên đường tròn lượng giác Góc phần tư I II III IV Giá trị 3 3 0; ; ; ;2 lượng giác 2 2 2 2 cos + sin + + tan + + cot + + 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 2 3 5 0 6 4 3 2 3 4 6 1 2 3 3 2 1 sin 0 1 0 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos 1 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 tan 0 1 3 | | 3 1 0 3 3 1 1 cot | | 3 1 0 1 3 | | 3 3 4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang a. Ý nghĩa hình học của tang Kẻ tiếp tuyến t ' At với đường tròn lượng giác tại A. Gọi T OM t ' At . Khi đó tan AT . Trục t ' At gọi là trục tang. LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing b. Ý nghĩa hình học của cotang Kẻ tiếp tuyến s ' Bs của đường tròn lượng giác tại B. Gọi S OM  s ' Bs . Khi đó cot BS . Chú ý: tan k tan k ¢ cot k cot k ¢ Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức P sin x với x 420 . 3 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải 7 Ta có 420 2 3 3 3 P sin 420 sin 2 sin 3 3 2 Đáp án A. 81 Ví dụ 2: Giá trị của cot là: 4 2 2 A. B. 1 C. D. 1 2 2 Lời giải 81 Ta có: cot cot 20 cot 1. 4 4 4 Đáp án D. Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức P sin x x với x 390 là: 13 1 13 1 A. 390,5 B. 389,5C. D. 6 2 6 2 LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải 13 Ta có: 390 (rad) 6 13 13 13 13 1 13 P sin x x sin sin 2 sin . 6 6 6 6 6 6 2 6 Đáp án C. Ví dụ 4: Cho 0 . Tìm số khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 (1) sin .cos 0 3 (2) tan .sin 0 2 (3) tan 3 .cot 3 1 (4) cos3 0 (5) sin 2 0 A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Vì 0 điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất 2 sin 0;cos 0 sin .cos 0 (1) đúng. 3 3 0 (góc phần tư thứ ba) 2 2 2 3 3 tan 0 tan .sin 0 (2) sai. 2 2 sin tan 3 tan cos cos cot 3 cot sin LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing tan 3 .cot 3 1 (3) đúng. 3 0 0 3 (góc phần tư thứ I, II và III) 2 2 Ở góc phần tư thứ I, cos3 0 (4) sai. 0 2 (góc phần tư thứ I, II) sin 2 0 (5) đúng. Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng. Đáp án C. II. Hệ thức lượng giác cơ bản sin 1. tan k ,k ¢ cos 2 cos 2. cot k ,k ¢ sin 3. sin2 cos2 1 2 1 4. 1 tan 2 k ,k ¢ cos 2 1 5. 1 cot2 k ,k ¢ sin2 6. tan .cot 1 k 2 1 k 7. cot tan 2 4 3 Ví dụ 1: Cho sin và . Giá trị của cos là: 5 2 3 3 3 9 A. B. C. D. 5 5 5 25 Lời giải LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 2 2 2 2 4 Ta có sin cos 1 cos 1 sin 1 5 3 cos 2 9 5 3 3 cos . Vì cos . 25 3 2 5 cos 5 Đáp án B. Ví dụ 2: Cho tan 2 . Khi đó giá trị sin .cos gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải 1 tan 2 1 tan2 1 4 5 cos 1 4 4 cos2 sin2 1 cos2 1 5 5 5 sin Mặt khác ta thấy tan 2 nên sin ,cos trái dấu cos 4 2 sin .cos . 25 5 Đáp án B. Ví dụ 3: Giá trị sin6 x cos6 x bằng giá trị nào sau đây? A. 1 2sin2 x.cos2 x B. sin4 x cos4 x sin2 x.cos2 x 1 1 C. D. 1 3sin2 x.cos2 x tan6 x 1 cot6 x 1 Lời giải LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 3 sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x 3sin2 x.cos2 x sin2 x cos2 x 1 3sin2 x.cos2 x STUDY TIP Hay sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin4 x sin2 x.cos2 x cos4 x +) sin6 x cos6 x sin4 x cos4 x sin2 x.cos2 x 1 3sin2 x cos2 x 2 sin2 x cos2 x 2sin2 x.cos2 x sin2 x.cos2 x 1 3sin2 x.cos2 x . +) sin4 x cos4 x 1 2sin2 x cos2 x Đáp án D. 1 sin2 a.cos2 a Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cos2 a . cos2 a A. 0B. 2C. 1D. 1 Lời giải 1 sin2 a.cos2 a Ta có: P cos2 a (ĐK: cos a 0 ) cos2 a sin2 a cos2 a sin2 a.cos2 a cos2 a cos2 a sin2 a 1 sin2 a cos2 a tan2 a 0 a thỏa mãn cos a 0 cos2 a Dấu “=” xảy ra sin a 0 cos a 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Đáp án A. Ví dụ 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x? A. sin2 x 2cos2 x B. 2 sin6 x cos6 x 3 sin4 x cos4 x C. tan2 x cot2 x 1 1 D. 2 sin2 x Lời giải LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP 2 2 2 2 2 2 Có thể thử các đáp án + sin x 2cos x sin x cos x cos x 1 cos x (loại) bằng MTCT. + 2 sin6 x cos6 x 3 sin4 x cos4 x 2 1 3sin2 x.cos2 x 3 1 2sin2 x.cos2 x 1 (thỏa mãn). Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing III. Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt 1. Cung đối nhau ( và ) STUDY TIP sin sin tan tan Cos - đối Sin - bù cos cos cot cot Phụ chéo 2. Cung bù nhau ( và ) sin a sin tan tan cos cos cot cot 3. Cung phụ nhau ( và ) 2 sin cos tan cot 2 2 cos sin cot tan 2 2 4. Cung hơn kém ( và ) 2 2 sin cos tan cot 2 2 cos sin cot tan 2 2 5. Cung hơn kém ( và ) sin sin tan tan cos cos cot cot LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 29 Ví dụ 1: Giá trị cos là: 3 3 1 3 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải 29 30 1 cos cos cos 10 cos cos 3 3 3 3 3 3 2 Đáp án B. 3 Ví dụ 2: Cho tan 2 . Giá trị của cot là: 2 1 1 A. B. 2C. D. 2 2 2 Lời giải Ta có: tan 2 tan 2 3 cot cot tan 2 2 2 Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn , ta được góc 1 , sau đó tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình ta được 3 tan Ans 2 kết quả như trên (để chế độ Radian). Đáp án D. Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức: B tan10.tan 20.tan 30 tan80 là: A. 1B. 1 C. 8 D. 8 Lời giải B tan10.tan 20.tan 30 tan80 cot80.cot 70.cot 60 cot10 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing B2 tan10.cot10 tan 20.cot 20 tan80.cot80 1.1 1. 1 Mặt khác B 0 do tan10, tan 20, tan 30, , tan80 đều lớn hơn 0 B 1 Đáp án B. Ví dụ 4: Cho ABC . Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai? A. sin B sin A C B. cos B C cos A 2C 3A B C A B 2C 3C C. cos sin 2A D. tan cot 2 2 2 Lời giải Vì A B C nên sin B sin A C Vì A B C nên A 2C B C cos B C cos A 2C 3A B C 3A B C Vì sin (phụ chéo) 2 2 2 A B C 3A B C sin sin 2A 2 Vậy C sai. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book IV. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng tan a tan b cos a b cos a cosb sin asin b tan a b 1 tan a tan b tan a tan b cos a b cos a cosb sin asin b tan a b 1 tan a tan b cot a cot b 1 sin a b sin a cosb cos asin b cot a b cot b cot a cot a cot b 1 sin a b sin a cosb cos asin b cot a b cot b cot a Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức A sin là: 3 4 6 2 6 2 6 2 6 2 A. B. C. D. 4 4 4 4 Lời giải 3 2 1 2 6 2 sin sin cos cos sin . . 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4 Đáp án A. 1 Ví dụ 2: Cho cos . Khi đó giá trị biểu thức B sin cos 3 4 4 là: 2 2 2 2 1 2 2 1 A. B. C. D. 3 3 3 3 3 3 Lời giải LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing STUDY TIP Có thể dùng máy tính tìm sin sin cos cos sin 4 4 4 ra giá trị góc α thỏa mãn yêu cầu đề bài và tìm giá trị của biểu thức đã cho. cos cos cos sin sin 4 4 4 1 2 Khi đó B sin cos sin cos sin cos 0 . 2 . 4 4 4 4 3 3 Đáp án B. Ví dụ 3: Biểu thức A sin 3 cos không thể nhận giá trị nào sau đây? STUDY TIP A. 1B. 3 C. 2 3 D. 2 Công thức biến đổi: asin bcos Lời giải a a2 b2 sin 2 2 1 3 a b A sin 3 cos 2 sin . cos . 2 2 b cos 2 2 a b 2 sin .cos cos .sin 2sin a2 b2 cos  sin 3 3 3 2 A 2 ( ) sin  cos Đáp án C. a (với cos  ; 2 2 a b Ví dụ 4: Cho ABC , trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng? b sin  ) A B C B C a2 b2 A. sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 a b .sin  tan2 A tan2 B B. tan A B tan C 1 tan2 Atan2 B C. cot Acot B cot B cot C cot C cot A 1 A B C A B C D. sin2 sin2 sin2 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Lời giải LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP A A B C B C B c Ta có thể thử A, B, C là + sin cos cos cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 bộ ba số bất kì thỏa mãn A B C và A, B,C tan2 A tan2 B không là các góc có giá + tan A B tan A B 1 tan2 Atan2 B trị đặc biệt vào từng đẳng thức và rút ra kết luận. tan A B tan A B tan A B tan C + cot Acot B cot B cot C cot C cot A 1 cot Acot B Có cot C cot A B cot A B cot A cot B cot Acot B cot C cot A cot B cot Acot B 1 cot Acot B Vậy D sai. Đáp án D. 2. Công thức nhân đôi sin 2a 2sin a cos a cos 2a cos2 a sin2 a 2cos2 a 1 1 2sin2 a 2 tan a tan 2a 1 tan2 a cot2 a 1 cot 2a 2cot a Hệ quả: LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing * Công thức hạ bậc: * Công thức nhân ba: 1 cos 2a sin2 a 2 1 cos 2a 3 cos2 a sin 3x 3sin x 4sin x 2 3 cos3x 4cos x 3cos x 2 1 cos 2a tan a 3tan x tan3 x 1 cos 2a tan 3x 2 1 cos 2a 1 3tan x cot2 a 1 cos 2a a * Công thức chia đôi (tính theo tan ): 2 a 2t 1 cos a 1 t 2 2t Đặt tan t tan a ;t 2 cos a ;sin a 2 1 t 2 1 cos a 1 t 2 1 t 2 5 3 Ví dụ 1: Cho sin ; . Khi đó giá trị biểu thức 13 2 sin 2 cos 2 tan 2 gần nhất với giá trị nào? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải STUDY TIP 5 Có thể dùng máy tính dò Vì sin ; thuộc góc phần tư thứ III nên cos 0 . 13 kết quả góc α và dùng quan hệ giữa các cung 52 12 5 lượng giác đặc biệt để Vậy cos 1 2 tan thỏa mãn yêu cầu đề bài 13 13 12 và tính ra kết quả. 2 2 tan Có: sin 2 cos 2 tan 2 2sin cos 1 2sin 2 1,508 . 1 tan Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A cos x.cos 2x.cos 4x cos 2n x ta được kết quả là: sin nx sin 2n 1 x sin n 2 x A. B. C. D. cos 2n 1 x nsin x 2n 1 sin x n 2 sin x Lời giải 1 Có A.sin x sin x.cos x.cos 2x cos 2n x sin 2x.cos 2x cos 2n x 2 1 1 sin 22 x cos 22 x cos 2n x sin 2n x cos 2n x 22 2n sin 2n 1 x A 2n 1 sin x Đáp án B. 2 4 6 Ví dụ 3: Cho cot a . Khi đó giá trị biểu thức K sin sin sin 14 7 7 7 là: a A. a B. 2 3 4a a2 1 3a2 1 a2 1 C. D. 3 2 2 a2 1 4a a 1 3a 1 Lời giải Ta có: 2 1 1 2 1 2a 6 2 a 1 tan sin a sin ;cos a 1 2 1 2 14 a 7 1 a 1 7 7 1 a 1 a2 a2 2 2 4a a 1 sin 2sin cos 2 7 7 7 a2 1 LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 4 3 sin sin 3sin 4sin3 7 7 7 7 4 6 3 2 sin sin 4sin 4sin 4sin 1 sin 7 7 7 7 7 7 2 4sin .cos2 2sin cos 7 7 7 7 Khi đó: 2 2 2 2 4a a 1 2a2 2 a2 1 4a a 1 3a 1 K sin 2cos 1 2 . 2 3 7 7 a2 1 a 1 a2 1 Đáp án C. 3. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b sin a b cos a cosb 2cos cos tan a tan b 2 2 cos a cosb a b a b sin a b cos a cos a 2sin sin tan a tan b 2 2 cos a cosb a b a b sin a b sin a sin b 2sin cos cot a cot b 2 2 sin asin b a b a b sin b a sin a sin b 2cos sin cot a cot b 2 2 sin asin b 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 sin a cosb sin a b sin a b 2 1 sin asin b cos a b cos a b 2 1 cos a cosb cos a b cos a b 2 LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book sin a sin 3a sin 5a Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức A là: cos a cos3a cos5a A. sin 3a B. cos3a C. tan 3a D. 1 tan 3a Lời giải sin a sin 3a sin 5a sin a sin 5a sin 3a A cos a cos3a cos5a cos a cos5a cos3a 2sin 3a cos 2a sin 3a sin 3a 2cos 2a 1 tan 3a . 2cos3a cos 2a cos3a cos3a 2cos 2a 1 Đáp án C. Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x? 2 4 A. cos x cos x cos x 3 3 2 4 B. sin x sin x sin x 3 3 2 2 2 2 4 C. cos x cos x cos x 3 3 2 2 2 2 4 D. sin x sin x sin x 3 3 Lời giải 2 4 +) sin x sin x sin x 3 3 4 2 sin x sin x sin x 3 3 2 2 2 2sin x cos sin x 3 3 3 2 2 sin x 2cos 1 0 3 3 LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 2 2 2 2 4 +) cos x cos x cos x 3 3 4 8 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 3 3 2 2 2 3 1 8 4 cos 2x cos 2x cos 2x 2 2 3 3 3 1 4 4 4 3 2cos 2x cos cos 2x 2 2 3 3 3 2 2 4 +) cos x cos x cos x 3 3 2 2 2 2cos x cos cos x 0 3 3 3 Đáp án D. Ví dụ 3: Giá trị của tổng 1 1 1 S khi a là: cos a cos 2a cos 2a cos3a cos na cos n 1 a n 1 1 1 A. B. C. 1 cos D. 1 cos cos cos n 1 n n 1 n Lời giải Ta có: sin 2a a sin 3a 2a sin n 1 a na S.sin a cos a.cos 2a cos 2a.cos3a cos na cos n 1 a tan 2a tan a tan 3a tan 2a tan a n 1 tan na tan n 1 a tan a tan tan a tan a LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book tan a 1 1 S sin a cos a cos n 1 Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 5: Cho 5sin 12cos 13. Khi đó giá trị B. Bài tập rèn luyện kĩ năng tan là: Xem đáp án chi tiết tại trang 268 5 5 12 13 Câu 1: Cho phương trình: A. B. C. D. 12 13 13 12 5 cos 2 x 4cos x . Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn 3 6 2 cos x asin x 1 A có giá trị lớn nhất là 1? cos x 2 Nếu đặt t cos x phương trình đã cho trở thành 6 A. 0B. 1C. 2D. 3 phương trình nào dưới đây? Câu 7: Cho  . Tính giá trị: A. 4t 2 8t 3 0 B. 4t 2 8t 3 0 6 C. 4t 2 8t 5 0 D. 4t 2 8t 5 0 cos cos  2 sin sin  2 P . sin cos  2 sin  cos 2 2 Câu 2: Với tan , giá trị biểu thức: 2 A. P 2 3 B. P 2 3 3 sin2 2 cos2 A là: C. P 3 2 D. P 3 2 3 cos2 2 sin2 Câu 8: Rút gọn biểu thức: 3 2 2 3 2 2 A. B. A 4sin xsin x sin x ta được kết quả 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 bằng: C. D. 2 3 2 2 3 2 A. sin x B. sin 3x C. sin x D. sin 3x Câu 3: Cho tan 3 , giá trị biểu thức: Câu 9: Tính sin2 2x biết: sin cos2 cos3 A là cos3 sin3 1 1 1 1 7 tan2 x cot2 x sin2 x cos2 x 3 1 3 1 A. 0B. C. D. 1 4 8 2 16 1 3 3 1 3 3 A. B. C. D. 9 9 9 9 cot tan 3 1 Câu 4: Tính A với cos . Câu 10: Tổng: cot tan 2 1 1 1 1 S là: 2 2 sin a sin 2a sin 4a sin 22018 a A. 1 3 B. 1 3 C. D. 1 3 1 3 LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book a 2018 a 2018 3 3 A. tan tan 2 a B. cot cot 2 a A. 1B. C. 2D. 2 2 2 2 a a tan B sin2 B C. tan tan 2018a D. cot cot 2018a Câu 17: Cho ABC có . Khi đó xác 2 2 tan C sin2 C Câu 11: Thu gọn biểu thức: định dạng của ABC . Chọn câu trả lời đúng nhất. S cos cos3 cos5 cos 2n 1 với A. ABC vuôngB. ABC cân k C. ABC đềuD. A và B đều đúng sin 2n sin n b c a A. B. Câu 18: Cho ABC có . Khi đó 2sin sin cos B cosC sin C ABC là: cos 2n cos n C. D. 2cos cos A. tam giác vuôngB. tam giác cân Câu 12: Cho sin 2a b 5sin b . C. tam giác nhọnD. tam giác tù Câu 19: Cho ABC có: 2 tan a b Khi đó giá trị là: tan a sin A sin B 1 tan A tan B . cos A cos B 2 3 A. 1B. C. 3 D. 3 3 Khi đó ABC là: Câu 13: Giả sử sin6 x cos6 x a bcos 4x với A. tam giác vuôngB. tam giác cân a,b ¡ . Khi đó tổng a b bằng: C. tam giác nhọnD. tam giác tù 3 5 3 Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A. B. C. 1 D. 8 8 4 biểu thức A sin x 5 lần lượt là a, b. Khi đó tích a.b Câu 14: Nếu tan và tan  là 2 nghiệm của phương là: trình x2 px q 0 và cot và cot  là 2 nghiệm A. 24B. 24 C. 0D. 25 2 của phương trình x rx s 0 thì r.s bằng: Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 p q A tan x cot x 1 là: A. pq B. C. D. pq q2 p2 A. 2B. 4C. 3D. 1 Câu 15: Cho ABC . Tìm GTLN của biểu thức: Câu 22: Biểu thức y 3sin x 4cos x đạt giá trị nhỏ A cos A cos B cosC nhất khi sin x a,cos x b . Khi đó a, b là nghiệm của phương trình: LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 7t 12 7t 12 5 A. t 2 0 B. t 2 0 Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 5 25 5 25 sin x C. t 2 t 0 D. t 2 t 0 gần với giá trị nào sau đây? Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị A. 3B. 4C. 5D. 6 1 nhỏ nhất của A cos 2x 3 sin 2x 1 . Khi đó giá trị Câu 30: Tập giá trị của hàm số y cos x là: 2cos x M m là: 1 A. 4B. 3C. 4D. 2 A. 0; B. 0; 2 Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 A sin2 x sin x 3 là: C. ; D. 0; 2 1 2 11 A. B. 3C. 4D. 2 Câu 31: Có bao nhiêu giá trị m để biểu thức 4 f x sin2 x msin x m có giá trị nhỏ nhất là 5? Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A. 0B. 1C. 2D. Vô số A cos2 x 4cos x 3 là: 3 Câu 32: Biểu thức A sin bằng: A. 1 B. 3C. 0D. 8 10 Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 4 A. cos B. cos của biểu thức A sin2 x 3sin x 2 . Khi đó tổng 5 5 M m là: C. 1 cos D. cos A. 1B. 2C. 3D. 4 5 5 Câu 33: Biểu thức A cos15 bằng: x2 y2 Câu 27: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 1. 9 4 6 2 6 2 A. B. Khi đó min P x 2y 1 bằng: 4 4 A. 3 1 B. 1 3 C. 4 D. 3 3 2 3 2 C. D. 2 2 Câu 28: Nếu tan và tan  là hai nghiệm của 2 Câu 34: Cho cos15 t . Khi đó biểu thức phương trình x px q 0 ( q 1) thì tan  5 7 bằng sin .sin là: 12 12 p p 2 p 2 p A. B. C. D. 2 2 q 1 q 1 1 q 1 q A. t 1 t B. t LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book C. t 4 1 D. t 1 t 2 A. 0B. 1C. 1 D. cos x 1 Câu 35: Biểu thức A sin 5 a bằng: Câu 40: Nếu sin và thì tan bằng: 3 2 A. sin a B. cos a 1 8 2 2 A. B. C. D. C. sin a D. cos a 2 9 4 4 1 Câu 36: Cho tan 3 và . Khi đó ta có: Câu 41: Nếu sin và 0 thì cos bằng: 2 3 2 3 10 3 8 2 2 1 A. cos A. B. C. D. 10 2 9 3 3 10 cot 3tan B. cos Câu 42: Giá trị biểu thức G khi 10 2cot tan 2 3 10 cos là: C. sin 3 10 4 4 19 19 D. Không xác định góc A. B. C. D. 3 3 13 13 Câu 37: Cho cot x 2. Khi đó giá trị biểu thức: 8cos3 a 2sin3 a cos a 4 4 Câu 43: Giá trị biểu thức A sin x cos x 2cos a sin3 a A 4 4 là: sin x cos x khi tan a 2 là: 11 7 17 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 5 5 15 7 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 38: Rút gọn biểu thức: Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m để: 3 6 6 4 4 2 2 A cos 7 x 3sin x cos x sin x P m sin cos sin cos 12sin cos 2 2 không phụ thuộc vào ? ta được kết quả là: A. 0B. 1C. 2D. 3 A. 5cos x B. 3sin x 16 1 16 1 Câu 45: Cho 33 ( C. 2cos x D. 2sin x 4cos x sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x Câu 39: Rút gọn biểu thức: 0 x ). Khi đó giá trị tan 5x là: 2 4 3cos2 x A sin6 x cos6 x ta được kết quả là: 2 79 79 cot x 1 A. B. C. 13 D. 13 3 3 LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing sin4 x cos4 x cos2 x Câu 52: Thu gọn biểu thức Câu 46: Biểu thức A được 2 sin a sin 3a sin 5a 2 1 cos x A ta được: cos a cos3a cos5a rút gọn thành A cos2 . Khi đó góc bằng: A. sin 3a B. cos3a A. 2 B. C. D. 3 4 6 C. tan 3a D. 1 tan 3a 1 Câu 53: Giá trị của biểu thức: Câu 47: Cho sin a cos a với a . Giá trị 2 2 A cos2 10 cos2 20 cos2 30 cos2 180 là: của tan 2a là: A. 9B. 8C. 1D. 0 3 3 3 3 A. B. C. D. Câu 54: Giá trị của biểu thức: 4 7 7 4 A cos 20 cos 40 cos160 cos180 là: Câu 48: Tính giá trị biểu thức P sin4 a cos4 a biết 2 A. 0B. 1 C. 9D. 8 sin 2a . 3 Câu 55: Giá trị biểu thức: 1 9 7 2 n A. B. 1C. D. A. A cos .cos cos với n 2018 3 7 9 2n 1 2n 1 2n 1 Câu 49: Giá trị của biểu thức cos15.cos 45.cos75 là: là: 1 1 1 1 A. B. C. D. 4036 22018 2 2018 2 2 2 2 A. B. C. D. 10 4 2 8 2 Câu 56: ABC có B C và 3 Câu 50: Giá trị A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60 1 3 là: sin B cosC . Khi đó giá trị B C là: 4 4sin10 8cos 20 A. B. 3 3 A. B. C. D. 6 3 3 6 4 3 C. D. 4 sin B 2cos A cosC 3 Câu 57: ABC có . Khi đó sin C 2cos B cosC Câu 51: cos10 là nghiệm của phương trình nào sau ABC là tam giác nào sau đây? đây? A. tam giác cânB. tam giác vuông A. x3 3x2 2 0 B. x3 x 1 0 C. tam giác đềuD. tam giác tù C. 4x3 3x 3 0 D. 8x3 6x 3 0 LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 5 BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III Câu 6: Đổi số đo sang đo độ ta được: 3 Xem đáp án chi tiết tại trang 274 A. 300°B. 600°C. 150°D. 120° Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các Câu 7: Số đo radian của góc 15° là: cung có số đo: 15 27 20 A. B. C. D. (I) (II) (III) (IV) 6 12 15 18 7 7 7 7 Các cung nào có điểm cuối trùng nhau? Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo Ox;Oz 25 thì hai tia Ox và Oz: A. Chỉ I, IIB. Chỉ I, II, III A. vuông góc với nhauB. trùng nhau C. Chỉ I, II, IVD. Cả I, II, III, IV Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm. Độ dài C. đối nhauD. tạo với nhau góc 4 cung tròn có góc ở tâm bằng 150° là: Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có 25 50 A. B. 3 3 bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ¼AM k ? 6 5 70 C. D. Đáp án khác A. 10B. 12C. 6D. 5 3 Câu 10: Trong khoảng thời gian là 5 giờ thì kim giây Câu 3: Một cung thuộc đường tròn, cung đó có số đo của đồng hồ quay được một góc có số đo là: 3 và dài 3 . Khi đó đường kính đường tròn đó là: 7 A. 6480000°B. 3240000° A. 7B. 14C. 7 D. 14 C. 108000°B. 54000° Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam 20cm. Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là giác vuông ABC (vuông tại A). Cho sđ ¼AM k2 không đổi và bằng 18km/h. Trong một thời gian bao 6 nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần ( k ¢ ). Khi đó số đo cung AC có thể nhận giá trị nào? nhất. 5 7 5 11 A. B. C. D. A. 0,01 (s)B. 0,02 (s)C. 0,1 (s)D. 0,2 (s) 6 6 6 6 Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm. Khi đó số đo Câu 12: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) có bao của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp k nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ¼AM ( k ¢ )? đường tròn đó là: 4 3 3 A. 2B. 4C. 8D. Vô số A. 2πB. 3 3 C. D. 2 3 LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 13: Góc lượng giác Ou;Ov có số đo góc là A. 0B. 1 25 C. 2D. Chưa đủ dữ kiện thì số đo góc hình học u· Ov là: 7 Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng 11 3 3 4 ¼ A. B. C. D. giác gốc A cho sđ AM k2 ;k ¢ . Xác định vị 7 7 7 7 trí của M biết sin 1 cos2 và Câu 14: Góc lượng giác Ou;Ov có số đo góc là cos 1 sin2 . 3230° thì số đo góc hình học uOv là: A. M thuộc góc phần tư thứ I A. 10°B. 170°C. 190°D. 120° B. M thuộc góc phần tư thứ II Câu 15: Xét góc lượng giác OA;OM trong đó C. M thuộc góc phần tư thứ I và II M Ox;Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để D. M thuộc góc phần tư thứ III tan ,cot cùng dấu? Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm A. I và IIIB. I và IV Ð 3 M sao cho AM k2 k Z ; . C. II và IVD. Cả I, II, III và IV 2 Câu 16: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào Xét các mệnh đề sau: sai? I. cos 0 II. sin 0 A. Với 3 tia Ou, Ov, Ow ta có sđ Ou;Ov + sđ 2 2 Ov;Ow = sđ Ou;Ow k2 ( k ¢ ) III. cot 0 2 B. Với 3 tia Ou, Ov, Ox ta có: sđ Ou;Ov = sđ A. 0B. 1 C. 2 D. 3 Ox;Ov - sđ Ox,Ou k2 k ¢ Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc C. Với M là điểm trên đường tròn lượng giác Ð A với hệ trục tọa độ Oxy. Nếu sđ AM k thì M Ox,Oy thì với ¼AM ta có sin ,cos cùng 3 hoành độ của điểm M là: dấu M thuộc góc phần tư thứ I và III. 1 3 1 D. Với mọi góc α làm cho tan xác định thì nó cũng A. B. C. D. 1 2 2 2 làm cho cot xác định Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức tan x 5cot x Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với là: ¼AM . Khi đó có bao nhiêu điểm N với »AN  thỏa mãn cos cos  . (N không trùng với M) A. 2 5 B. 6C. 5D. 3 LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 22: Nếu tan và tan  là hai nghiệm của A. 1B. 2C. 3D.4 phương trình x2 px q 0 q 0 thì giá trị Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P cos  psin  .cos  qsin  A sin4 x 2sin2 x 3 là: bằng: A. 2B. 3C. 5D. 6 p A. pB. qC. 1D. Câu 28: Tính q M cos cos 120 cos 120 . 1 Câu 23: Giá trị của biểu thức f x là: tan x A. 0B. 2 C. 2 D. 1 A. ¡ B. ¡ \ 0 Câu 29: Đơn giản sin x y cos y cos x y sin y ta C. 0; D. ;0 được: A. cos x B. sin x Câu 24: Có bao nhiêu cặp giá trị sin x,cos x thỏa C. sin x cos 2y D. cos x cos 2y mãn sin2018 x cos2017 x 1. Câu 30: Cho cos18 cos78 cos  . Giá trị dương A. 1B. 2C. 3D. 4 nhỏ nhất của là: sin x 3 cos x 2 Câu 25: Giá trị của biểu thức A A. 62B. 28C. 32D. 42 sin x cos x 2 4 5 là a;b . Khi đó tổng a b là: Câu 31: ABC có cos A ;cos B . Khi đó 5 13 A. 5 3 B. 5 3 C. 2 D. 2 cosC bằng: 16 56 16 36 Câu 26: Có bao nhiêu đẳng thức cho dưới đây là đồng A. B. C. D. nhất thức? 65 65 65 65 Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị tan x;cot x thỏa 1. cos x sin x 2 sin x 4 mãn tan x cot x 10 . A. 0B. 1C. 2D. 4 2. cos x sin x 2 cos x 4 5 Câu 33: Cho sin x cos x . Khi đó sin x cos x có 4 3. cos x sin x 2 sin x 4 giá trị là: 9 3 5 A. 1B. C. D. 4. cos x sin x 2 sin x 32 16 4 4 LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 rs r 2 s2 Câu 34: cos x sin x và 0 x thì C. D. 2 r 2 s2 r 2 s2 p q tan x với cặp số nguyên p q là: Câu 46: Giá trị tan x cot x bằng: 3 2 1 1 2 A. B. C. D. A. 4;7 B. 4;7 C. 8;14 D. 8;7 sin 2x sin 2x cos 2x cos 2x Câu 35: Cho tan cot m . Khi đó giá trị Câu 47: Rút gọn: cot3 tan3 là: 1 1 1 1 1 1 3 3 A cos x 0 x ta được: A. m 3m B. m 3m 2 2 2 2 2 2 2 3 3 C. 3m m D. 3m m x x x x A. cos B. cos C. cos D. cos 16 8 4 2 sin tan 2 Câu 36: Kết quả rút gọn A 1 là: cot 1 Câu 48: Trong các hình quạt cùng diện tích S, hình có chu vi nhỏ nhất là: A. 2B. 1 tan S S 1 1 A. B. S C. 4 S D. C. D. 2 8 cos2 sin2 Câu 50: Một dây cuaroa nối 2 bánh xe tâm I và J (như Câu 37: Cho cot 3 . Khi đó hình vẽ), bán kính lần lượt là R và R . Biết 3sin 2cos 1 2 A 3 3 bằng: 12sin 4cos IJ 8 cm ; R1 1 cm ; R2 5 cm . Khi đó chiều dài 1 5 3 1 dây là: (làm tròn đến 2 chữ số thập phân) A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 38: Cho tan cot m với m 2 . Khi đó tan cot bằng: A. m2 4 B. m2 4 C. m2 4 D. m2 4 2rs Câu 39: Nếu tan với là góc nhọn và r 2 s2 A. 39,86 B. 36,89 C. 40,12 D. 38,99 r s 0 thì cos bằng: r r 2 s2 A. B. s 2r LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 7 13 I. Cung và góc lượng giác 15 12 12 Câu 1: Đáp án A 7 3  ·AOM 2 108 2 5 5 Ð 5 2 S . R (đvdt). Khi đó AM ' 2  k360 AOM 2 5 Câu 2: Đáp án D 30 108 k360 138 k360 Vì M ' đối xứng với M qua Ox Câu 5: Đáp án D nên M x; y x2 y2 1 Ð Ð 3 AM' AM k2 k2 , 5 Thử các trường hợp ta thấy D hay không thỏa mãn. Ð 3 7 Câu 6: Đáp án A AM' 2 k2 k2 5 5 7 Ta có: Ð . Gọi AM k2 . 5 1945 145 5 .360 M '' đối xứng với M qua Oy nên 3 Vì số đo hình học u· Ov luôn Khi đó x cos ; Ð Ð 3 2 AM'' BM k2 k2 5 dương và 0 u· Ov 180 nên 1 2 9 · y sin   . uOv 145 (giá trị âm hay dương 2 5 5 của góc lượng giá cho ta biết M thuộc góc phần tư thứ IV Câu 4: Đáp án D chiều quay từ Ou đến Ov ; còn về độ lớn hình học thì bằng 0 2 (với 180 u·O 180 và là Ð độ lớn của góc nhỏ nhất khi quay AM k2 6 6 từ Ou đến Ov, nếu 0 thì độ Cách khác: Bấm máy tính thử lớn là ). từng trường hợp với sin, cos các Ta đưa về các góc thỏa mãn điều Câu 7: Đáp án A góc. kiện trong công thức tính nhanh. 2550 360.7 30 u· Ov 30 Câu 3: Đáp án C Theo công thức, ta có: ·AON ' Có thể dùng máy tính để tìm ra ( NN ' là đường kính đường tròn) góc cần tìm. Ví dụ như ở trên, ta LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing nhập vào màn hình biểu thức Câu 12: Đáp án C Cách làm chung: Nhân hoặc chia 2550  R360 , ấn phím " " ta cả tử và mẫu với một giá trị phù 68 68 rad .180 2448. được kết quả là 7, R 30, nghĩa 5 5 hợp để xuất hiện tan ,sin , là số dư khi chia 2550 cho 360 là cos ,cot . 30, chịn đáp án A. Nếu góc đã II. Giá trị lượng giác của một Thay số rồi tính. cho âm thì lấy số đối của góc đó cung . Công thức lượng giác Câu 3: Đáp án B và làm bình thường. Câu 1: Đáp án A Trường hợp ra số dư R 180 ta sin cos2 cos3 5 A cos 2 x 4cos x cos3 sin3 lấy 360 R được kết quả là góc 3 6 2 sin cos2 cos3 cần tìm. 3 cos 2 x 4cos x cos 3 6 3 3 Câu 8: Đáp án C cos sin 5 3 0 cos Câu 9: Đáp án A 2 tan 1 3 1 Chu vi đường tròn là: 2 3 1 2cos x 1 tan 1 3 3 6 2 R 4 m 5 Câu 4: Đáp án A 4cos x 0 6 2 cot tan Độ dài cung A cot tan 30 l 4 . m . Đặt t cos x thì phương cot tan sin cos 260 3 6 cot tan sin cos trình trở thành: Câu 10: Đáp án C cos2 sin2 2cos2 1 3 2 2 Ð 2t 2 4t 0 4t 2 8t 3 0 sin cos Ð sin AM tan AM không xác 2 4 2 3 Ð 2. 1 1 3 cos AM Câu 2: Đáp án A 4 định Vì cos 0 nên chia cả tử và Câu 5: Đáp án A Ð 2 cos AM 0 hay hình chiếu mẫu cho cos ta được: 5sin 12cos 13 của M là Ox là O. Vậy hình 2 và 2 2 3 tan2 2 sin cos 1 Ð A hình 4 có tan AM không xác 3 2 tan2 5sin 13 12cos 2 2 định. 3 5sin 5cos 25 2 3 2 2 Câu 11: Đáp án A 2 2 2 3 2 5sin 13 12cos 3 2 120 2 2 2 120 . rad rad . 13 12sin 25cos 25 180 3 LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 5sin 13 12cos 2 2cos  x (công thức tính theo tan ) 12 2 2sin  2 cos 13 Khi đó: 2 2cos 5 P 6 2 3 1 1 1 sin S 13 5 sin a sin 2a sin 4a tan 2 2sin 12 12 6 cos 1 2018 13 Câu 8: Đáp án B sin 2 a a Cách làm chung: Cho sin a,cos a cot cot a cot a cot 2a 1 2 2 A 4sin x. cos 2x cos thỏa mãn một đẳng thức nhất 2 3 cot 22017 a cot 22018 a định, khi đó ta kết hợp với 2sin x cos 2x sin x a 2018 2 2 3 cot cot 2 a sin a cos a 1 ta được hệ 3sin x 4sin x sin 3x 2 Câu 11: Đáp án A phương trình 2 ẩn sin a,cos a . Từ Câu 9: Đáp án B đó tính được sin a,cos a . 2S sin 2sin cos 2sin cos3 Ta có: + +2sin cos 2n 1 Câu 6: Đáp án C 1 1 cot2 x tan2 x 7 sin 2 sin 2 sin 4 Acos x 2A cos x asin x 1 cos2 x sin2 x 2 2 sin 4 sin 6 asin x cos x 1 A 2A 1 tan x 1 cot x 1 sin 2 2n sin 2n 2 2 2 1 1 a 1 A 2A 1 + 9 cos2 x sin2 x sin 2n 2 2 3A 2A a 0 1 2 2 sin 2n 9 S sin2 x cos2 x 2sin Để giá trị lớn nhất của A là 1 thì 2 Câu 12: Đáp án D (1) có một nghiệm bằng 1 2 2 9 sin x cos x Ta có: 2 2 3 2 a 0 a 1 thay sin2 x cos2 x 2 9 tan a b ain a b cos a vào 1 ta được: 3A 2A 1 0 8 tan a cos a b sin a sin2 2x 4sin2 x cos2 x 1 9 A 1 (thỏa mãn) Câu 10: Đáp án B 1 3 sin 2a b sin b 2 Vậy a 1 Sử dụng công thức: 1 sin 2a b sin b 1 x 2 Câu 7: Đáp án B cot cot x sin x 2 1 2 2 cos cos  sin sin  x x .6sin b 2 tan a b P 1 tan2 1 tan2 2 3 1 3 sin cos  sin  cos 2 2 1 2 tan a x x x .4sin b 2 tan tan 2 tan 2 2 2 2 LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Câu 13: Đáp án C Mà 0 B C tan A tan B tan C 3 3 min Ta có: 2 B C ABC đều 3 3 sin6 x cos6 x 1 3 A B C cos A.cos B.cosC sin2 x cos2 x 3 max 8 2 2 2 2 3sin x cos x sin x cos x Câu 16: Đáp án B ABC đều 3 1 3sin2 x cos2 x 1 sin2 2x cos A cos B cosC Câu 17: Đáp án D 4 cos A cos B .1 tan B sin B cosC 3 1 cos 4x 5 3 . 1 cos 4 x cos Acos B sin Asin B tan C sin C cos B 4 2 8 8 sin B cosC sin2 B 5 3 . a ;b cos A cos B .1 sin Asin B 2 8 8 sin C cos B sin C cos Acos B cosC sin B Câu 14: Đáp án C 1 2 cos A cos B 12 cos B sin C Theo hệ thức Vi – et ta có: 2 1 2 2 (vì sin B,sin C 0 ) sin A sin B cos Acos B tan tan  p;tan .tan  q; 2 cot cot  r;cot .cot  s 3 cosC.sin C cos B.sin B (bất đẳng thức AM GM ) r.s cot .cot  cot cot  2 sin 2B sin 2C B C 1 1 1 Dấu " " xảy ra 2B 2C tan .tan  tan tan  2B 2C B C cos A cos B 1 2 1 tan tan  . sin A sin B B C tan .tan  tan .tan  tan tan  p A 2 2 A B t / m 2 tan .tan  q 3 Câu 15: Đáp án B Suy ra, ABC cân tại A hoặc Chú ý: Thông thường biểu thức ABC vuông tại A. Ta có: trong tam giác đạt một giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) với 3 góc A, Câu 18: Đáp án A 1 sin Bsin C 2 B, C có vai trò như nhau khi 3 góc Hệ thức lượng trong tam giác 1 1 đo bằng nhau. cos B C cos B C vuông: 2 2 Ví dụ: 1 1 1 a b c cos B C 2R 2 4 2 3 3 sin A sin B sin C sin A sin B sin C 1 max 2 a 2Rsin A 2Rsin B C ; cos B C 2 b 2Rsin B;c 2Rsin C ABC đều LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Khi đó thay vào đẳng thức đã cho 1 cos Acos B sin Asin B tan x cot x 1 3 ta được: =2cos Acos B tan x cot x 1 1 cos Acos B sin Asin B 1 2Rsin B 2Rsin C 2Rsin B C tan x cot x 1 1 cos A B A B cos B cosC sin Bsin C Dấu " " xảy ra sin B sin C sin B C ABC cân tại C cos B cosC sin Bsin C tan x cot x 1 sin B cosC sin C cos B Chú ý: Một số hệ thức trong tam Câu 22: Đáp án A cos B cosC giác cân: Gọi góc thỏa mãn sin B C A B a tan A b tan B a b tan sin Bsin C 2 3 4 cos ;sin . sin B C sin B C 2 2 tan B tan C tan B tan C 5 5 cos B cosC sin Bsin C C 2sin Asin B cos B cosC sin Bsin C cot Khi đó 2 sin C cos B cosC sin Bsin C 0 sin B f x 5 sin x cos cos xsin 2cos A cos B C 0 sin C =5sin x 5 y 5 Câu 20: Đáp án A 3sin x 4cos x 5 B C A f x 2 2 2 2 Ta có: min sin x cos x 1 ABC vuông tại A. 1 sin x 1 6 sin x 5 4 5 4cos x Câu 19: Đáp án B sin x 1 4 sin x 5 6 3 2 2 tan A tan B a 4;b 6 ab 24 sin x cos x 1 2 sin Acos B sin B cos A Thế (1) vào (2), giải hệ ta có Câu 21: Đáp án D cos Acos B nghiệm: sin A sin B Ta có: =2 3 4 cos A cos B tan x cot x tan x cot x sin x ;cos x 5 5 sin A B C 7 12 Giả thiết 2cot (vì tan x,cot x cùng dấu) a b ;ab cos Acos B 2 5 25 2 tan x.cot x 2 C C C a, b là nghiệm của phương 2sin cos 2cos 2 2 2 (Bđt AM-GM) 2 7t 12 C trình t 0 cos Acos B sin 5 25 2 Dấu " " xảy ra Cách khác: Áp dụng bđt C tan x cot x sin2 cos Acos B tan x cot x 1 Buniacopxki ta có: 2 tan x.cot x 1 1 cosC 2cos Acos B tan x cot x 2 Khi đó 1 cos A B 2cos Acos B tan x cot x 2 LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 2 3sin x 4cos x 2 2 cos 2x 3 sin 2x 2 cos x 4cos x 3 2 32 42 sin2 x cos2 x 25 3 cos 2x 3 sin 2x 1 1 cos x 2 1 1 0 cos 2x 3 sin 2x 1 3 5 3sin x 4cos x . Dấu " " xảy ra cos x 2 Dấu " " xảy ra M 3;m 0 M n 3 (sai) sin x cos x Nhận xét: Với biểu thức trong dấu Cách giải: 3 4 giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là 2 2 sin x cos x 1 Đặt cos x t . hai số thực khác nhau: Khi đó A t 2 4t 3 3 - Nếu a A b;ab 0 thì sin x 5 (với 1 t 1) f x max 0 A a nếu a b hoặc 4 cos x 2 5 b A a nếu a b . Ta có A t 2 1 mặt khác, 3 2 sin x 1 t 1 nên t 2 1. 5 - Nếu a A b;ab 0 thì nếu f x min 4 a b hoặc 0 A b nếu cos x Do đó A 0 5 a b . Vậy Amin 0 3 4 a ;b - Nếu 1 trong 2 số bằng 0, giả sử 5 5 * Cách tính giá trị max, min của a 0, khi đó 0 A b các hàm số bậc 2 ẩn sin x (hoặc Tổng quát: Hàm số cos x ) dạng at 2 bt c Câu 24: Đáp án A y asin x bcos x a,b ¡ ( a 0;t sin x hoặc Ta có: luôn có y2 a2 b2 t cos x t 1) : sin2 x sin x 3 sin x cos x Dấu " " xảy ra 2 b a b 1 11 11 - Nếu 1 1: sin x 2 4 4 2a Câu 23: Đáp án B  1 sin x 1 + a 0 min của hàm số đạt tại Ta có: b Dấu " " xảy ra t , max của hàm số đạt tại 2 2a 2 1 cos 2x 3 sin 2x 1 3 2 sin x t / m 1 trong 2 đầu mút, đầu mút nào 2 Dấu " " xảy ra b gần với hơn thì hàm số đạt sin 2x Câu 25: Đáp án C 2a cos 2x 3 Cách làm sai: max tại đó. LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book + a 0 max của hàm số đạt tại 4 y 2 0 y 4 5 sin2 x 5 f x sin x b sin x sin x t , min của hàm số đạt tại 1 2a M 4;m 0 M m 4 sin2 x 1 4 trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần Câu 27: Đáp án C sin x b với hơn thì hàm số đạt min 2 2 2a x y 2 sin x 4 Ta có: 1 nên tồn b®t AM-GM tại đó. 3 2 sin x x b tại a sao cho: sin a và 4 -Nếu 1 2 giá trị lớn nhất 3 =2 6 (vì 0 sin x 1) 2a sin x y và nhỏ nhất nằm ở 2 đầu mút, đầu cos a 2 Dấu '' '' xảy ra mứt nào làm cho hàm số lớn hơn Khi đó P 3sin a 4cos a 1 thì đạt max, còn lại là min. Ví dụ sin x 1 t / m ở câu 15, min của hàm số đạt tại 5 1 P 5 1 4 P 6 a 1 Tổng quát: f x sin x sin x , khi đó 1 cách giá trị Vậy min P 4 sin x 2 đạt GTNN: 1 Dấu " " xảy ra xa hơn max của hàm số đạt 2 sin a cos a + a 1 hoặc a 1 thì tại 1, khi đó max A 5 . Còn ở 3 4 f x sin x 1 min 4 3sin a 4cos a 5 câu 16. 2 1, khi đó max, 2 3 4 + 0 a 1 thì sin a ;cos a t / m min của A đạt được khi 5 5 f x 2 a sin2 x a min cos x 1; Amin 0 cos x 1 Câu 28: Đáp án A + 1 a 0 thì Câu 26: Đáp án D Vì tan , tan  là hai nghiệm của 2 2 f x 0 sin x a Xét hàm số y sin2 x 3sin x 2 phương trình x px q 0 nên min theo định lí Viet, ta có b Câu 30: Đáp án B có 1,5 1. 2a tan tan  p Ta có min y 0 tan .tan  q Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất, 2 1 tan tan  p cos x t / m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tan  2 khi sin x 1;sin x 1. 1 tan tan  q 1 1 Câu 29: Đáp án D cos 0 thì Với sin x 1 y 4 2cos x ĐKXĐ: sin x 0 1 Với sin x 1 y 2 Hoặc 2cos x LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 1 cos15 cos 45 2cos30.cos15 Câu 35: Đáp án D cos x 2cos x 2 cos15 3 cos15 sin 5 a sin 2.2 a 2 Câu 31: Đáp án A =sin a sin a 2 6 2 cos15 +) Áp dụng câu 25, ta có: 2 3 1 4 Câu 36: Đáp án D m Ấn máy tính ta cũng có kết quả 1 1 2 m 2 Với tan 0 . 2 tương tự. 2 m2 m2 m2 f x m m Câu 34: Đáp án B min 4 2 4 Vậy không xác định góc thỏa m2 5 7 mãn yêu cầu bài toán. f x 5 m 5 min t cos15 cos .sin sin 4 12 12 12 Câu 37: Đáp án C 2 4m m 20 0 5 7 2 sin .sin t 4 m2 4m 20 0 (vô nghiệm) 12 12 Chia cả tử và mẫu cho sin x ta Hoặc ta cũng có thể bấm máy được: m +) 2 f x tính bằng cách tính giá trị của t và 2 min 1 cot4 x 17 17 gán vào một biến A trong máy, A 1 cot4 x 15 15 sin x 1 hoặc sin x 1 sau đó tính biểu thức cần tính ở đề bài và thử 4 đáp án, đáp án nào có Có thể bấm máy tính tìm ra góc -Với sin x 1 f x 2m 1. kết quả trùng với biểu thức cần bằng cách bấm: Cho 2m 1 5 m 2 (không tính thì chọn. t/m). Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập Ta được góc , gán nó vào giá trị - sin x 1 f x 1 5 (không A rồi nhập biểu thức t/m) sin4 A cos4 A Rồi ấn sin4 A cos4 A Vậy không có giá trị m thỏa mãn Khi đó đã gán cos15 A (để chế yêu cầu bài toán. độ tính độ), lần lượt nhập vào được kết quả cần tìm. Câu 32: Đáp án B màn hình: Chú ý: sin4 A viết trong máy tính 4 3 3 5 7 2 là sin A , tương tự với sin cos sin .sin A 1 A 10 5 2 10 5 12 12 cos4 A, tan4 A . 5 7 2 Câu 33: Đáp án A sin .sin A 12 12 Câu 38: Đáp án D Khi nào ta được kết quả là 0 thì đó là đáp án cần tìm. LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 3 2 2 1 8 Để P không phụ thuộc vào thì A cos 7 x 3sin x cos 1 sin 1 2 9 9 10 3m 10 0 m 0 cos 0 3 cos x sin x 2 2 Vậy có duy nhất 1 giá trị của m để 8 2 2 cos x 3cos x sin x sin x cos P là hằng số  . 9 3 cos x 3cos x 2sin x Câu 45: Đáp án A 2sin x 4cos x Câu 42: Đáp án C Câu 39: Đáp án B 16 1 16 1 Nhân cả tử và mẫu của G với 2 2 2 2 33 2 sin x cos x tan x cot x 6 6 3cos x sin .cos ta có: A sin x cos x 16 1 cot2 x 1 16cot2 x 2 2 2 2 2 cos 3sin sin x cos x 2 2 3cos x 2 1 3sin x cos x G 2 2 1 2cos sin tan x 33 2 sin x 4 2 4 15 16 1 2 3 1 cos 2 2 16cot x 2 2 2 2 19 1 3sin x cos x 3sin x cos x 1 = 9 9 9 sin x cos x 8 8 5 2 Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên 1 cos2 13 + 16 tan x 1 50 9 9 9 vào máy với x là một góc bất kì, 32 2 Câu 43: Đáp án A 2 2 50 nếu nhiều goác ra cùng một kết sin x cos x quả thì đó là kết quả cần tìm. Ta có tan a 2 cos a 0 16 1 2 2 25 3 sin x cos x Câu 40: Đáp án C Chia cả tử và mẫu cho cos a ta Áp dụng bất đẳng thức có: Đối chiếu với thì Bunhiacopxki ta có: 2 3 1 8 2 tan a 2 16 1 cos a 2 2 sin 0 A 2 2 sin x cos x 2 sin x cos x tan3 a có góc thỏa mãn 2 2 cos a 4 1 25 8 2 tan3 a 1 tan2 a 2 1 = 16 1 25 1 cot 9 2 3 2 2 2 tan a tan a 2 2 2 2 sin sin x cos x sin x cos x 8 16 1 4 3 cot2 8 cot 2 2 = 25 2 8 8 2 Dấu " " xảy ra mà cot 0 Câu 44: Đáp án B 2 4 1 2 2 2 2 sin x 4cos x P m sin6 cos6 sin4 sin x cos x cot 2 2 Mà cos4 12sin2 cos2 sin2 x cos2 x 1 5cos2 x 1 1 1 2 tan m 1 3sin2 cos2 1 cot 2 2 4 5 2sin2 cos2 12sin2 cos2 cos x (vì 0 x ) 5 2 Câu 41: Đáp án C m 1 sin2 cos2 3m 10 LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 2 5 Câu 49: Đáp án D sin x (vì 0 x ) 5 2 cos15.cos 45.cos75 Dùng máy tính ta tìm được góc x. 2 .cos15.cos75 2 79 Khi đó ta có: tan 5x 2 2 1 2 4 3 cos60 cos90 . 4 4 2 8 Câu 46: Đáp án C Câu 50: Đáp án B sin2 x cos2 x cos2 x 1 A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60 A Ta có: 2 1 cos2 x 2 cot 30 cot 60 cot 40 cot 50 2 3 sin 90 sin 90 1 2 2cos a cos a 0 cos2 cos 4 sin 30.sin 60 sin 40.sin 50 2 2 1 7 1 1 cos a kh«ng t/m Thử 4 đáp án chỉ có đáp án C là 4 cos30 cos90 cos10 cos90 thỏa mãn 1 7 2 2 cos a t/m 4 cos30 cos10 Câu 47: Đáp án C 2cos10.cos 20 8 1 7 1 7 2. cos 20 sin a tan a cos30.cos10 3 1 4 1 7 sin a cos a Câu 51: Đáp án D 2 2 tan a 2 2 tan 2a sin a cos a 1 1 tan2 a Ta có: 1 2 1 7 sin a cos a cos30 cos 3.10 2 3 2 2 8 2 7 4cos 10 3cos10 sin a cos a 1 1 7 1 8 2 7 2 3 3 1 2 4cos 10 3cos10 cos a cos a 1 2 1 7 2 2 2 3 4 7 cos10 là 11 nghiệm của 2cos a cos a 0 1 7 . 2 4 1 7 phương trình 8x3 6x 3 0 Vì a 2 1 7 1 7 12 3 Câu 52: Đáp án C 2 4 7 4 7 7 sin a sin 5a sin 3a Nên 1 cos x 0 sin x 1 Câu 48: Đáp án D A cos a cos5a cos3a 4 4 P sin a cos a 2sin 3a cos 2a sin 3a = sin2 2a 2cos3a cos 2a cos3a =1-2sin2a cos2 a 1 2 sin 3a 2cos 2a 1 = tan 3a 2 7 =1 cos3a 2cos 2a 1 9 9 LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 53: Đáp án A 1 1 sin B 2cos A cosC n 1 A ; 1 1 2 21 sin C 2cos B cosC cos2 10 cos2 20 cos2 30 1 1 cos A cos B µA Bµ Cµ 2 n 2 A ; + +cos 180 4 22 2 2 ABC đều. cos 10 cos 100 1 1 n 3 A ; 8 23 cos2 20 cos2 110 + Tại B µA Cµ 1 1 n 4 A cos2 90 cos2 180 16 24 sin B 3cosC 1 2 2 sin C 2cos B cosC sin 100 cos 100 1 CTTQ là: A n sin2 110 cos2 110 2 Giả sử µA Cµ 50 Bµ 80. sin2 180 cos2 180 1 Thử máy tính thấy không thỏa Vậy với n 2018 thì A 2018 2 mãn. 1 1 .  1 9 9 sè h¹ng Câu 56: Đáp án A µ µ µ Cách bấm máy: Nhập vào màn Nếu A B C 60 thì thỏa 18 1 3 mãn hình biểu thức: cos2 10X sin Bsin C  4 x 1 ABC đều. 1 sin B C sin B C Câu 54: Đáp án B 2 + Tại C µA Bµ VP 1 A cos 20 cos 40 1 3 sin B C sin B 2 2 1 Bµ Cµ cos160 cos180 sin C 1 cos 20 cos160 sin B C B C ABC đều. 2 6 cos 40 cos140 Vậy ABC đều. 5 cos80 cos160 cos180 (loại TH B C vì 6 III. Đề kiểm tra chủ đề 7 cos180 1 B C B C mà C 0 nên Câu 55: Đáp án B Câu 1: Đáp án không thỏa mãn) Ta sử dụng cách thử bằng máy 15 27 Câu 57: Đáp án C 2 ; 2.2 ; tính. Thông thường những biểu 7 7 7 7 thức này thường có công thức 20 Dễ thấy nếu µA Bµ Cµ 60 thì 3 7 7 tổng quát. Khi đó công thức đúng đẳng thức đã cho đúng loại B n . Vì vậy có thể thử với và D. (vì 3 không có dạng n 1;2;3;4 Xét ABC cân: k2 k ¢ nên không thỏa mãn) + Tại A Bµ Cµ Câu 2: Đáp án B LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 150 50 l 2.20 . l R 3.3 3R 3 số đo 360 3 cung trong là 3 3rad . Câu 3: Đáp án B Câu 6: Đáp án A 3 3 5 5 3 l 2 R. 7 R. .180 300 2 7 3 3 3 R 7 2R 14 Câu 7: Đáp án B 3 Vì ABC vuông tại A 15 7 15 . 180 12 B· AC 90 Câu 4: Đáp án C Câu 8: Đáp án C BC là đường kính O 18km / h 5m / s 500cm / s . Ð Chu vi bánh xe là 20 cm , suy ra AC k2 6 thời gian quay hết 1 vong bánh xe 7 là: = k2 k ¢ 6 20 0,12569 s Ð 5 500 Với k 1 AC 25 2.12 s® Ox;Oz 6 Câu 5: Đáp án B 2 tia đối nhau. Câu 12: Đáp án D Câu 9: Đáp án A 2 Có 8 nên có thể xác định 8 Số điểm M thỏa mãn là: 4 2 : 10 (điểm) điểm M bằng cách trên. 5 Nhận xét: Số k cứ tăng lên (hoặc Câu 10: Đáp án C giảm đi) 8 đơn vị thì điểm M Gọi AH là đường cao AH đi Cứ 1 giờ kim giây quay được 60 trùng với A (bắt đầu từ k 0 , sau qua O vòng, vậy 5 giờ quay được đó đến k 8;k 16; ; 60.5 300 vòng. Sau 5 giờ kim Ð k 8i i ). Vậy sau 8 số k đó, · · ¢ BOC 2BAC s® BC giây quay được góc: O có: M lại bắt đầu một chu kì mới 360.300 108000 120 B· OH 60 giống như cũ. Câu 11: Đáp án C BC 2BH 2.BO.sin B· OH 3 2.BO. BO 3 R 3 2 LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book + Nếu M  A M  A' thì không Câu 21: Đáp án A có điểm nào thỏa mãn yêu cầu tan x 5cot x tan x 5cot x Câu 18: Đáp án B 2 5 tan x . 5cot x 2 5 Theo đề bài sin 0;cos 0 (bất đẳng thức AM-GM) M thuộc góc phần tư thứ II. Câu 22: Đáp án C Câu 19: Đáp án C Vậy có 8 điểm M thỏa mãn. Vì tan , tan  là hai nghiệm của 3 Câu 13: Đáp án B. phương trình x2 px q 0 nên 2 2 2 theo định lí Viet, ta có 25 3 · 3 4 uOv 7 7 7 cos 0 I đúng tan tan  p 2 Câu 14: Đáp án A tan .tan  q 3 3 · 2 tan tan  p 3230 350 8.360 uOv 2 2 tan  360 350 10 1 tan .tan  1 q sin 0 II đúng Câu 15: Đáp án D 2 P cos2  tan .cot 1 0 tan ,cot 1 p.tan  q.tan2  cos 0 cot 0 cùng dấu trên từng khoảng xác 2 2 1 p.tan  q.tan2  định. III sai 1 tan2  Câu 16: Đáp án D Câu 20: Đáp án C 2 p p 1 p. q. Giả sử với 0 sin 0; x cos k 1 q 1 q 2 cos 1 tan 0 cot 3 p 1 không xác định 1 1 q cos n2 víi k ch½n 3 2 2 2 2 Câu 17: Đáp án D 1 q p .q q.p 1 4 1 2 2 + Nếu M không trùng với A và A' cos n2 víi k lÎ 1 q p 3 2 có duy nhất 1 điểm N thỏa Câu 23: Đáp án B mãn yêu cầu bài toán (hình vẽ). 1 f x cot x tan x tan x 0 x k 2 LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing k 1 Với x k Z thì cot x 0. Asin x Acos x 2A sin x 3 cos x 2 cos a cos a sin asin120 2 2 A 1 sin x A 3 cos x 2A 2 1 Mà tập giá trị của cot x là ¡ . 2 cos a sin asin120 0 2A A 2 A 1 2 A 3 2 (với cos x 0 ) 4A2 8A 4 Câu 29: Đáp án B 1 2 2 Vậy tập giá trị của f x A 2A 1 y 2A 3 3 sin x y cos y cos x y sin y tan x 2A2 A 10 2 3 0 sin x y y sin x là ¡ \ 0 A 2A 10 2 3 0 Câu 30: Đáp án D Câu 24: Đáp án C 0 A 5 3. cos a cos18 cos78 0 sin2 x 1 0 sin2016 x 1 Vậy a b 5 3 2sin 30 sin 48 0 sin2018 x sin2 x Câu 26: Đáp án B sin 48 cos 42 1 cos2015 x 1 a 42 k360 k ¢ 2 2017 2 cos x cos x cos x 2 sin x sin x cos x; a 42 k360 k ¢ sin2018 x cos2017 x sin2 x cos2 x 1 4 Dấu " " xảy ra khi 2 cos x cos x sin x Vậy giá trị dương nhỏ nhất của 4 sin2 x 0 sin x 0 là 42 2017 cos x 1 0 cos x 1 2 sin x sin x cos x; 4 Câu 31: Đáp án A 2 sin x 1 cos x 0 cosC cos A B 2 sin x cos x sin x 2018 cos x 0 sin x 1 4 cos Acos B sin Asin B Câu 27: Đáp án B 2 2 Vậy có 3 cặp sin x,cos x thỏa 20 4 5 1 2 1 2 65 5 13 mãn. sin4 x 0x;sin2 x 0x 4 2 20 3 12 20 36 16 A sin x 2sin x 3 3x . Câu 25: Đáp án A 65 5 13 65 65 Dấu " " xảy ra Điều kiện xác định: D ¡ Câu 32: Đáp án C (Vì sin x cos x 2 sin4 x 0 sin x 0 t/m tan x cot x 10 2 sin x 0 tan x,cot x 12 12 2 2 2 0 ) tan x.cot x 1 Câu 28: Đáp án A là nghiệm của phương trình: Ta có: M cos a cos a 120 t 5 2 6 t 2 10t 1 0 cos a 120 t 5 2 6 Vậy có 2 cặp giá trị thỏa mãn là LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 35: Đáp án B 2 2 5 2 6;5 2 6 và 1 2 4r s 1 tan 1 2 2 2 3 3 cos cot tan r s h2 5 2 6;5 2 6 2 cot tan 3 r 4 s4 2r 2s2 4r 2s2 r 2 s2 2 2 2 2 2 Câu 33: Đáp án B 3tan cot tan cot r s r s m3 3m 2 2 2 sin x cos x 2 r s cos 2 2 1 2 r s sin x cos x sin2 x cos2 x Câu 36: Đáp án C 2 r 2 s2 2 cos sin 2 2 1 25 9 sin r s 1 cos 2 16 32 A 1 (vì cos 0 do nhọn và cos 1 Câu 34: Đáp án B r s 0 ) 1 2 cos x sin x sin cos 1 Câu 40: Đáp án A 2 1 cos cos 1 1 1 2 3sin4 x cos4 x cos xsin x cos x sin x 2 1 2 2 tan 1 2 2 2 cos2 x sin2 x cos cos x 1 sin x Câu 37: Đáp án A 4 2 3 2sin x sin x 0 1 2 3 cos x sin x Chia cả tử và mẫu cho sin có: 2 2 2 cos x 1 sin x 3 3 cot 1 cos xsin x 2 sin2 x 2 2 8 sin sin 2 4 4 A sin x 3cos x 1 12 4cot 1 cos x,sin x là nghiệm của cos2 x 3 1 cot2 2cot 1 cot2 2 phương trình: 12 4cot3 Câu 41: Đáp án B t 3 1 7 30 60 1 3 3 t 2 0 t Q sin x cos x cos xsin x 2 8 4 12 4.27 4 2 2 Câu 38: Đáp án D sin x cos x cos x sin x Mà sin x 0 1 1 tan cot 2 sin 2x cos 2x sin 4x 2 4 1 7 1 7 sin x ;cos x tan cot 2 4 tan .cot 4 4 Câu 42: Đáp án A 2 1 7 8 2 7 m 4 tan x Với a,b 0 áp dụng bất đẳng 1 7 6 tan cot m2 4 thức Bunhiacopxki ta có: 4 7 4 7 Câu 39: Đáp án D 3 3 p 4;q 7 LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing 4 4 sin x cos x Asin x sin x 2sin x cos 2x 1 1 1 1 a b A cos x a a 2sin x cos 4x 2sin x cos6x 2 2 2 2 2 sin x sin 3x sin sin 5x sin2 x cos2 x 1 1 1 x x cos cos sin 3x sin 7x sin 5x 2 2 4 8 sin4 x cos4 x 1 sin 7x sin 7x A Câu 48: Đáp án B a b a b sin x Dấu " " xảy ra Câu 45: Đáp án C sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x Xét biểu thức: a a a b tan2 x.tan 2x tan 2x 1 1 tan2 x Khi đó: tan 2x tan 2x 1 tan2 x sin8 x cos8 x a3 b3 2 tan x 2 Ta có: 2R 2 R. p tan 2x 2 1 tan x 2 2 2 1 tan x sin4 x sin2 x cos4 x cos2 x tan 2x 2 tan x 1 2 a a b b 2R R p p 2 2R Áp dụng 1 ta có: 4 4 1 sin x cos x 2 2 p 2 (bđt AM – GM) R a b a b a a a 16 Sn tan a 2 tan 2 tan 4 tan 2 1 sin4 x cos4 x 2 2 2 R2 p2 2 n 1 a n a S .R2. . a b a b 2 tan n 1 2 tan n quat 2 2 2 2 16 1 1 1 n a 2 . 3 tan a 2 tan Dấu " " xảy ra a b a b a b 2n Câu 43: Đáp án A Câu 46: Đáp án A 2R R 2 sin2 x cos2 x Câu 49: Đáp án C Thử với n 2 sin 1 tan x cot x 2 sin x.cos x 2 2 2 n 3 sin sin 3 2sin x cos x sin 2x 3 3 2 3 Câu 47: Đáp án B n 4 sin sin sin 4 4 4 2 x 2 R 2cos2 S R . 1 2 1 1 1 cos x 2 2 cos x 2 C 2R R Thử các giá trị n ở trên vào 4 đáp 2 2 2 2 quat x án, ta có đáp án A thỏa mãn. cos2 2 2R2 2 4S 4 S 2 Câu 44: Đáp án A Dấu " " xảy ra 2 Câu 50: Đáp án B LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn là AB, A' B ' A, A' I; R1 ; B ', B J; R2 Từ I kẻ IH  BJ BH R1 1 JH BJ BH R2 R1 4 JH 4 1 Có cos B· IJ IJ 8 2 B· JI 60 B· JB ' 2B· JI 120 Dễ thấy ·AIA' B· IB ' 120 AB ' AB IH IJ sin B· JH 8 3 4 3 2 Chiều dài dây là: AB A' B ' l l ·ANA' B· MB' 120 240 8 3 .2 .10 360 360 22 8 3 36,89 cm . 3 LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing Chủ đề 8 VECTƠ Vấn đề cần nắm: Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu là quen kiến thức vectơ và tọa độ. Đây là mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc 1. Định nghĩa và các đại số quan trọng được dùng trong nhiều ngành toán học. Học chủ đề vectơ là phép toán vectơ việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu một số vấn đề trong hình học 2. Các quy tắc và kết phẳng như hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, quả ứng dụng vectơ đường tròn elip. Qua chủ đề này các em sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ 3. Trục và hệ trục tọa học trong chương trình THPT, đồng thời là cơ sở lý thuyết để mở rộng phương độ trong mặt phẳng pháp tọa độ từ mặt phẳng sang không gian. §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ A. Lý thuyết 1. Các định nghĩa • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm  cuối B là AB . + Ta còn sử dụng kí hiệu a,b, để biểu diễn vectơ. • Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ,   STUDY TIP độ dài vủa vectơ AB kí hiệu là AB . - Độ dài vectơ là một số không âm. • Hai vectơ a và b được gọi là cùng phương nếu giá của chúungsong song hoặc trùng nhau. - Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ + Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. quy ước để so sánh. • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . - Khi nhắc đến vectơ là ta nói tới điểm đặt, giá, + Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. phương, chiều, độ lớn vectơ đó. + Mọi vectơ 0 đều bằng nhau và 0 0 . LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book + Giá của vectơ-không là mọi đường thẳng đi qua nó. • Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a b . + Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy  nhất sao cho OA a . 2. Các phép toán trên vectơ a. Tổng của hai vectơ    • Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: AB BC AC . + Quy tắc mở rộng cho n điểm A1, A2 , A3 , , An ta có:     A1 An A1 A2 A2 A3 An 1 An + Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:    AB AD AC . • Tính chất: với ba vectơ a,b,c tùy ý + a b a b (tính chất giao hoán); STUDY TIP + a b c a b c (tính chất kết hợp); - Có thể phân tich một vectơ bằng tổng của nhiều + a 0 0 a a (tính chất vectơ – không). vectơ bằng cách chèn điểm theo quy tắc phép b. Hiệu của hai vectơ cộng.    • Vectơ đối: vectơ b là vectơ đối của a nếu b a và a,b là hai vectơ OB OA AB chung điểm đầu thì dồn ra phía ngược hướng. Kí hiệu b a . trước.    + Vectơ đối của 0 là 0 . AO BO AB chung điểm cuối thì dồn ra phía + a b a b . sau. + a a a a 0 .    • Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: OB OA AB . LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing c) Tích của một vectơ với một số • Cho vectơ a và số k ¡ . ka là một vectơ được xác định như sau: + ka cùng hướng với vectơ a nếu k 0 , ka ngược hướng với vectơ a nếu k 0 . + ka k . a . • Tính chất: Với các vectơ a,b tùy ý và h,k ¡ .  + k a b ka kb; + h k a ha ka; + h ka hk a; + 1.a a; 1 a a;0.a 0;k.0 0; + ka 0 k 0 hoặc a 0 . • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ a,b với a 0 cùng phương khi và chỉ khi k ¡ :b ka • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng   k 0 : AB k AC • Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ a,b không cùng phương và x tùy ý. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số h,k ¡ : x ha kb . * Chú ý: • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:   ✓ IA IB 0;    ✓ MA MB 2MI (M tùy ý). • Hệ thức trọng tâm tam giác: Với G là trọng tâm ABC ta có: LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book    STUDY TIP ✓ GA GB GC 0;     - Trung điểm đoạn thẳng ✓ MA MB MC 3MG (M tùy ý). và trọng tâm tam giác với • Tâm tỉ cự: Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A , A , , A gắn với các hệ thức là các trường 1 2 n hợp riêng của tâm tỉ cự hệ số 1, 2 , , n mà 1 2 n 0 khi    1 IA1 2 IA2 n IAn 0 B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Các bài toán về khái niệm vectơ Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau - Xác định sự cùng phương, cùng hướng của các vectơ. - Áp dụng tính chất hình học của các hình trong hình học phẳng để giải toán. STUDY TIP Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ- không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? -Với hình n giác ta lập được n n 1 vectơ khác A. 4B. 6 C. 9 D. 12 vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh Lời giải của n giác.       Ta có các vectơ: AB, BA, BC,CB,CA, AC. Đáp án B. Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 D. Cả A, B, C đều sai LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 8: Vectơ The Best or Nothing STUDY TIP Lời giải - Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng chiều và cùng Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả độ dài. hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 . - Hai vectơ cùng chiều thì Đáp án C. cùng phương nhưng hai vectơ cùng phương thì Ví dụ 3: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, chưa chắc đã cùng chiều.  cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4B. 6 C. 8 D. 10 Lời giải  Các vectơ cùng phương với vectơ OB là:       BE, EB, DC,CD, FA, AF. Đáp án B. Ví dụ 4: Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai?         A. MN QP B. QP MN C. MQ NP D. MN AC Lời giải MN //PQ 1 Ta có (do cùng song song và bằng AC ). MN PQ 2 Do đó MNPQ là hình bình hành. Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 51