Chuyên đề Toán Lớp 9 - Ôn tập: Tiếp tuyến với đường tròn - Trường THCS Tương Giang

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 9 - Ôn tập: Tiếp tuyến với đường tròn - Trường THCS Tương Giang

1. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ TỪ SƠN TRƯỜNG THCS TƯƠNG GIANG CHUYÊN ĐỀ TOÁN: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN A.Kiến thức cơ bản 1.Khái niệm tiếp tuyến của đường tròn a) Khái niệm: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. Đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng a là tiếp tuyến của (O), điểm C gọi là tiếp điểm. O C a b) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn * Khái niệm: Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. d1 d3 d1 O O' O O' d2 d2 d d 3 d1 O O' O O' d2 d4 1
2. 2.Tính chất của tiếp tuyến a) Tính chất của một tiếp tuyến Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi O qua tiếp điểm. a là tiếp tuyến của (O) tại A = > a OA tại A A a b) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau *Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm + Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. Đường tròn (O) GT MA; MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A M (A, B là các tiếp điểm) O M KL a) MA=MB b) MO là tia phân giác của B c) OM là tía phân giác của 3. Một số cách nhận biết hai tiếp tuyến của đường tròn a) Cách 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn b) Cách 2: Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Đường tròn (O;R) có OA  a và OA=R a là tiếp tuyến của (O;R) tại A 2
3. O R A a c) Cách 3: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. Đường tròn (O) có a OA tại A (O) a là tiếp tuyến (O) tại A O A a d) Cách 4:(Dựa vào định lí đảo của định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 1 Đường tròn (O) có tia Ax tạo với dây AB một góc = sđ nằm trong 2 푛 ( 푛 ) => Ax là tia tiếp tuyến của (O) tại A. O B n A x 3
4. B. BÀI TẬP I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng trong các câu sau: Câu 1: Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn(O;9cm). Khoảng cách từ O đến đường thẳng a là d. Khi đó: A. ≥ 9 B. ≤ 9 C. d = 9cm D. d= 4,5cm Câu 2: Cho ∆ 퐹 có DE=5, DF=12, EF=13. Khi đó: A. DF là tiếp tuyến của đường tròn (E;5) B. DE là tiếp tuyến của đường tròn (E;12) C. DE là tiếp tuyến của đường tròn (F;5) D. DF là tiếp tuyến của đường tròn (F;12) Câu 3 : Cho (O) và MA, MB là 2 tiếp tuyến (A,B là các tiếp điểm) biết = 350. Vậy số đo cung nhỏ AB là: A.2150 B. 700 C. 1450 D. 3150 Câu 4: Cho 2 điểm A, B thuộc đường tròn (O;R), tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (O)cắt nhau tại M. Biết = 600, số đo là: A. 1500 B. 1200 C. 900 D. 600 Câu 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O;R), vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MCD qua tâm O. Cho MT=20; MD=40. Khi đó R bằng: A. 15 B.25 C.20 D.30 Câu 6: Cho (O;11cm) và (O’;5cm) biết OO’=9cm. Số tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 7: Cho (O;R) đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) khi: A. d OA B. d  OA tại A C. d  OA tại A và A ∈ (O) D. A ∈ (O) Câu 8: Đường tròn (O) đường kính AB, điểm C ∈ (O). Tiếp tuyến của đường tròn tại B của đường tròn cắt AC tại M. Kết quả đúng là: A. . = 2 B. . = 2 C. . = 2 D. . = 2 Câu 9: Từ 1 điểm M nằm ngoài (O), vẽ 2 cát tuyến MAB và MCD (như hình vẽ). Cho biết số đo cung nhỏ »AC là 300 và số đo cung nhỏ B»D là 800 4
5. Số đo bằng: A. 500 B. B. 400 C. C. 150 D. D. 250 Câu 10: Trong đường tròn, số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng: A. Số đo cung bị chắn B. Hai lần số đo cung bị chắn C. Nửa số đo cung bị chắn D. 1,5 lần số đo cung bị chắn Câu 11: Đường tròn(O;R) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Độ dài đoạn OM là: 3푅 A. B. R C. D. 푅 3 푅 2 2 Câu 12: Cho (O;6cm). Từ điểm M nằm ngoài (O) dựng tiếp tuyến MA với (O), A là tiếp điểm biết MA=10cm. Khi đó khoảng cách từ M đến O là: A. 8cm B. 2 34 C. 34 D. Một kết quả khác Câu 13: Cho (O;2cm) từ A ở ngoài đường tròn (O) sao cho OA=4cm, vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC đến (O) (B,C là tiếp điểm). Chu vi ∆ bằng: A. 6 3 cm B. 5 3 cm C. 4 3 cm D. 2 3 cm Câu 14: Cho (O;8cm) và (O;6cm) cắt nhau tại A,B sao cho OA là tiếp tuyến của (O). Độ dài dây AB là: A. AB=8,6cm B. AB=6,9cm C. AB=4,8cm D. AB=9,6cm Câu 15: Cho (O;R) và P nằm ngoài đường tròn sao cho OP=2R. Kẻ 2 tiếp tuyến PM,PN (M,N là các tiếp điểm với đường tròn). Cho các khẳng định: 1) = 1200 2) ∆푃 đều 3) = 푅 5
6. Số khẳng định đúng là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 II. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ tiếp tuyến MA( A là tiếp điểm) và cát tuyến MKC (K nằm giữa M và C) tới (O). Qua A kẻ dây AB vuông góc MO tại H. a) Chứng minh MA2=MH.MO . b) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh M· OK = M· CH d) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng MO với (O;R). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp ∆MAB. GIẢI a) Ta có MA là tiếp tuyến của (O;R) tại A => MAOA (t/c) => O· AM = 900 hay ∆OAM vuông tại A Xét ∆OAM vuông tại A có đường cao AH (do AH OM tại H) 6
7. => MA2 = MH.MO (hệ thức lượng trong ∆ vuông) b) ∆OAB cân tại O (do OA=OB=R) Có OH là đường cao (vì OHAB tại H giả thuyết)nên OH đồng thời là đường phân giác của ∆OAB (t/c) => ·AOH = B· OH Xét ∆MAO và ∆MBO có: OM là cạnh chung M· OA = M· OB (cmt) OA=OB(=R) Suy ra: ∆MAO = ∆MBO (c.g.c) => M· AO = M· BO (2 góc tương ứng) Mà M· AO = 900(cmt) nên M· BO =900 Tứ giác MAOB có M· AO + M· BO =900+900=1800 Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp( định lí) c) Xét (O) có OBBM ( M· BO =900) mà B (O) =>MB là tiếp tuyến của (O) (dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Xét (O) có M· BK là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MB và dây BK; M· CB là góc nội tiếp chắn cung BK nên => M· BK = M· CB (hệ quả) Xét ∆MBK và ∆MCB có: C· MB chung M· BK = M· CB (cmt) Suy ra ∆MBK∽ ∆MCB (g.g) MB MK => = (2 cặp cạnh tương ứng tỷ lệ). MC MB => MB 2 = MC.MK 7
8. mà MA=MB (do ∆MAO = ∆MBO (cmt)) nên MA 2 = MC.MK ta lại có MA 2 = MO.MH (chứng minh câu 1) Suy ra: MO.MH = MC.MK. MO MK => = MC MH Xét ∆MOK và ∆MCH có: O· MC chung MO MK = (cmt) MC MH Suy ra: ∆MOK ∽ ∆MCH (c.g.c) => M· OK = M· CH (2 góc tương ứng) d) Vì ∆OAM=∆OBM (cmt) => ·AMO = B· MO (2 góc tương ứng) => MI là tia phân giác ·AMB của ∆AMB Xét (O) có OI AB tại H (gt) => I là điểm chính giữa A»B => IºA = IºB (định lý) (1). 1 Xét (O) có: ·ABI là góc nội tiếp chắn cung AºI => ·ABI = sđ AºI (2). 2 1 I·BM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BM và dây BI chắn BºI => I·BM = sđ BºI (3). 2 Từ (1), (2), (3) => ·ABI = I·BM hay BI là tia phân giác ·ABM của ∆ABM Xét ∆ABM có MI là tia phân giác ·AMB BI là tia phân giác ·ABM Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆AMB Mà IH  AB tại H (giả thiết) => IH là bán kính của đường tròn (I) ) => AB là tiếp tuyến của (I) (dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp ∆AMB. 8
9. LỜI BÀN: Để giải được bài toán trên , học sinh cần nắm chắc các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất của tiếp tuyến với đường tròn, cách chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, cách xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, điểm chính giữa, Cụ thể ở câu a) Đẳng thức cần chứng minh cho ta nghĩ đến hệ thức lượng trong tam giác vuông. Từ đó nảy sinh việc áp dụng tính chất của tiếp tuyến MA với (O). · 0 · 0 Ở câu b) ta thấy MAO = 90 nên ta định hướng chứng minh MBO =90 thì tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn theo định lí đảo. Chính vì vậy dẫn đến chứng minh hai tam giác bằng nhau để đạt mục đích trên. Ở câu c) phải chứng minh hai góc bằng nhau, mà một góc là góc ở tâm của đường tròn, một góc là góc nội tiếp chưa rõ cung bị chắn, nên ta chưa thấy được mối liên hệ. Do đó ta nghĩ đến chứng minh hai góc bằng nhau thông qua hai tam giác chứa hai góc đó đồng dạng. hai tam giác MOK và MCH đã có một góc chung, cần chứng minh thêm một góc bằng nhau nữa hoặc hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Chứng minh cặp góc có vẻ khó hơn, vì hai góc đó là hai góc tù. Khi đó ta nên dựa vào câu a và chứng minh thêm MB 2 = MK.MC dựa vào hai tam giác đồng dạng. Câu d) trước hết ta cần xác định tâm của đường tròn nội tiếp ∆AMB là điểm I. Thấy MI là tia phân giác ·AMB rồi, nên ta chứng minh thêm BI là tia phân giác của ·ABM nữa. Vận dụng dấu hiệu hai ta chứng minh khoảng cách từ đường thẳng đến đường tròn bằng bán kính ta chứng minh được AB là tiếp tuyến của đường trọn nội tiếp ∆AMB. Bài 2. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (O). Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn (O) sao cho = 60°. Qua C kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại E, F. a, Chứng minh EF = AE + BF b, Chứng minh 퐹 = 90° và AE. BF = R2 c, Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ( I ). d, Kẻ CH AB (H AB), BE cắt CH tại K. So sánh CK và KH 9
10. Bài giải: a, Xét nửa (O) có EA và EC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E AE = EC (tính chất) (1) Có FC và FB là hai tiếp tuyến của cắt nhau tại F FC = BF (tính chất) (2) Từ (1) và (2) EC + FC = AE + BF hay EF = AE + BF b, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có OE là tia phân giác của OF là tia phân giác của Mà và là hai góc kề bù Suy ra OE OF tại O 퐹 = 90° Xét ∆ 퐹 vuông tại O ( 퐹 = 90°) có đường cao OC Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: EC.CF = OC2 Mà EC = AE ; CF = BF (cmt), OC = R Suy ra AE . BF = R2 C, Xét EOF vuông tại O có OI là trung tuyến (I là trung điểm của EF) 1 OI = EF O (I) 2 10
11. Xét tứ giác AEFB có AE // BF (vì cùng AB) tứ giác AEFB là hình thang Xét hình thang AEFB có I là trung điểm của EF (gt) O là trung điểm của AB (gt) OI là đường trung bình của hình thang AEFB (đ/n) ⇒ OI // AE (t/c) Mà AE AB ( AE là tiếp tuyến) OI AB tại O Xét (I) có AB IO tại O Mà O (I) =>AB là tiếp tuyến của đường tròn (I) d, Kéo dài BC cắt Ax tại D. Xét nửa (O) có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ = 90° AC BD tại C Ta có: EA = EC (cmt) EAC cân tại E = Lại có + = = 90 (AC BD tại C) + = 90 (∆ ACD vuông tại C) = hay = ECD cân tại E EC = ED, mà EA = EC EA = ED Ta có CH AB (gt), DA AB (gt) CH // DA (định lí về quan hệ từ vuông góc đến song song) Mà K CH, E DA CK // ED, KH // AE 퐾 퐾 Xét BAE có KH // AE (hệ quả định lí Talet) (3) = 퐾 퐾 Xét BED có CK // ED (hệ quả định lí Talet) (4) = 퐾 퐾 Từ (3) và (4) suy ra = Mà AE = ED (cmt) 11
12. Suy ra KH = CK Vậy KH = CK Bài 3: cho ∆ nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm (O). Vẽ hai đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Qua A vẽ tia Ax song song với DE. a, Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp trong một đường tròn. b, Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O) c, Chứng minh đường thẳng AO ⊥ DE. d, Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của ∆ . Lời giải a, Xét tứ giác BEDC có = 90o ( EC ⊥ AB) = 90o ( BD ⊥ AC) Do đó đỉnh E, D cùng nhìn đoạn BC dưới góc 90o không đổi Nên tứ giác BEDC nội tiếp trong một đường tròn. b, Vì tứ giác BEDC nội tiếp trong một đường tròn ⟹ + = 180o (tính chất) Mà + = 180o ( hai góc kề bù) ⟹ = 12
13. Lại có Ax// DE (gt) ⟹ = Suy ra = Xét (O) có là góc nội tiếp chắn »AB 1 1 = sđ »AB do đó = sđ »AB ⟹ 2 2 ⟹ Ax là tia tiếp tuyến của (O) (theo định lí đảo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Vậy Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) c, Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⟹Ax ⊥ OA (tính chất) Mà Ax // DE (giả thiết) Suy ra đường thẳng OA ⊥ DE ( từ vuông góc đến song song) d, Kẻ đường kính AK Xét (O) có 퐾 = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⟹ AB ⊥ BK tại B CH ⊥ AB (vì CE ⊥ AB) Suy ra BK // CH 퐾 = 90o( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⟹ CK ⊥ AC tại C Mà BH ⊥ AC (vì BD ⊥ AC) Suy ra CK // BH Xét tứ giác BHCK có BK // CH CK // BH Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành ⟹ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HK Xét ∆AHK có HO là đường trung tuyến( O là trung điểm của AK) 13
14. AM là đường trung tuyến( M là trung điểm của HK) G là giao điểm của AM và HO 2 Suy ra G là trọng tâm của tam giác AHK = ⟹ 3 Xét ∆ABC có: AM là trung tuyến 2 AG = AM 3 Suy ra G là trọng tâm ∆ABC. Phân tích bài toán * Với câu a, đây là các câu hỏi thường gặp ở các bài thi học sinh dễ dàng chứng minh được tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn. * Với câu b để chứng minh tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn với bài này có hai cách: Cách 1: Học sinh hay chứng minh Ax ⊥ AO, để chứng minh cách này học sinh phải biết kẻ đường kính AK rồi cộng góc bằng 90 O. Do vậy trình bày dài dòng và khó đối với học sinh. Cách 2: Dùng định lí đảo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì chỉ cần chứng 1 minh = sđ »AB thì dễ trình bày hơn, nhưng đây là cách mà học sinh ít dùng nên 2 cần lưu ý để học sinh nắm chắc định lí đảo này thì sẽ dễ vận dụng. * Với câu d, học sinh phải có tư duy là cần kẻ đường kính AK để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. III. Một số những lỗi sai thường gặp Học sinh thường mắc nhiều sai lầm khi không đọc kĩ đề bài, không hiểu đúng đề bài, không vẽ đúng hình kể cả trường hợp hình vẽ đơn giản, Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) với dây AB không đi qua tâm. Lấy S là điểm bất kỳ trên tia đối của tia AB( S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB( C, D là các tiếp điểm) khá nhiều học sinh vẽ sai hình ở bài tập này, phổ biến ở hai trường hợp sau: 14
15. a) b) Hình vẽ a sai vị trí S Hình vẽ b sai vị trí C và D III. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho nửa (O; R) đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trong. Điểm M nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn lần lượt cắt Ax, By tại C và D. Nối OC cắt AM tại E, nối OD cắt MB tại F a, Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật b, Chứng minh AC.BD = R2 c, Cho = 30 , R = 5 cm. Tính AC và BD d, Tìm vị trí của M để SOEMF đạt giá trị lớn nhất Bài 2. Từ điểm M ở ngoài (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Vẽ đường kính AC, MC cắt (O) tại D. Gọi H là giao điểm của OM và AB a, Chứng minh OM AB và BC// OM b, Vẽ OI CD (I CD), OI cắt AB tại N. Chứng minh OI.ON = OH.OM và = C, Chứng minh NC là tiếp tuyến của (O) Bài 3. Từ điểm A nằm ngoài (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O), B,C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của AO và BC a, Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b, Kẻ đường kính CD của (O), DA cắt (O) tại E (E D). Chứng minh OA ⊥ BC và AE.AD = AH.AO c, Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O) 15
16. Bài 4. Từ điểm M nằm ngoài (O) dựng các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với đường tròn sao cho tia MD nằm giữa hai tia MA và MO ( A, B là các tiếp điểm; MC < MD). Gọi I là trung điểm của CD a, Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc 1 đường tròn b, Chứng minh MA2 = MC.MD c, Chứng minh IM là tia phân giác của 1 1 2 d, Gọi K là giao điểm của AB và CD. Chứng minh + = 퐾 Bài 5. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D a, Chứng minh OD // BC b, Chứng minh hệ thức BD.BE = BC. BF c, Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp d, Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD theo R 16