Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 13 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 13 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

1. BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ 13 Văn Phú Quốc, GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho các số thực x, y thỏa mãn x 3 y y2 1 3 y y2 1 . Tính giá trị của biểu thức P x4 x3 y 3x2 xy 2y2 2019. a2 b2 b) Cho các số nguyên a,b và số nguyên tố p thỏa mãn ¢ . Cho biết p là tổng của hai p a2 b2 số chính phương. Chứng minh rằng cũng là tổng của hai số chính phương. p Câu 2 (2,0 điểm) 2 37 a) Giải phương trình: 4x 1 9x2 26x 0 . 3 3 1 1 2 1 2x2 1 2y2 1 2xy b) Giải hệ phương trình: . 2 x 1 2x y 1 2y 9 Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d đi qua điểm I(0; 1) có hệ số góc k . Chứng minh rằng với mọi k , d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho x1 x2 2 và VOAB vuông. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM . a) Chứng minh rằng VOEM vuông cân và ME // BN. b) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . có AD,BE,CF là ba đường cao. Đường thẳng EF cắt BC tại G , đường thẳng AG cắt lại đường tròn (O) tại điểm M . a) Chứng minh rằng bốn điểm A,M ,E,F cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi N là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng GH  AN . Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z 2 (x y z)2 4 . xy 1 yz 1 zx 1 Chứng minh rằng 3 . (x y)2 (y z)2 (z x)2 Câu 7 (0,5 điểm). Cho A là tập con gồm 6 phần tử của tập S {0;1;2; ;14}. Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B và C của A ( B,C khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng các phần tử của B bằng tổng các phần tử của C . ===Hết===