Bài tập trắc nghiệm Giải tích Khối 12 - Chương 3 - Chủ đề 3: Ứng dụng tích phân (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Khối 12 - Chương 3 - Chủ đề 3: Ứng dụng tích phân (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ a;b] , trục hoành và b hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =ò f (x) dx a y y f (x) y f (x) b y 0 S f (x) dx (H) x a a c O a 1 c c3 b x 2 x b b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn [ a;b] và b hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =ò f (x) - g(x) dx a y (C1 ) : y f1(x) (C1 ) (C ) : y f (x) (H) 2 2 x a (C ) 2 x b b a c x S f1 (x) f2 (x) dx O 1 c2 b a Chú ý: b b - Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: ò f (x) dx =ò f (x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) , x = h(y) và hai đường thẳng y = c , d y = d được xác định: S =ò g(y) - h(y) dy c 2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a £ x £ b) . Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x S(x)dx a V O b x a S(x) b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V =òS(x)dx a b) Thể tích khối tròn xoay: Trang 1/34
2. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y f (x) (C) : y f (x) b (Ox) : y 0 2 V f (x) dx a b x x   O x a a x b Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y d (C) : x g(y) d (Oy) : x 0 2 V g( y) dy y   y c c c y d O x - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b V =pò f 2 (x) - g 2 (x) dx a Trang 2/34
3. B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: Những điểm cần lưu ý: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các b đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b là S =ò f (x) - g(x) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f (x) = g(x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S =ò( f (x) - g(x)) dx . a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[ a;b] . giả sử a thì a b S =ò( f (x) - g(x)) dx +ò( f (x) - g(x)) dx a a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f (x) - g(x) trên đoạn [a; b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các b đường y = f (x), y = g(x) là S =ò f (x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của a phương trình f (x) = g(x) (a £ a < b £ b) . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f (x) = g(x) tìm các giá trị a, b . b Bước 2. Tính S =ò f (x) - g(x) dx như trường hợp 1. a Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x = a , x = b (a <b) là: b b A. S =p f (x) - g(x).dx . B. S = ( f (x) - g(x))dx . òa òa b b C. S = ( f (x) - g(x))2.dx . D. S = f (x) - g(x).dx . òa òa Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , liên tục trên [a ; b] trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a <b) cho bởi công thức: b b b b A. S =ò f ( x) dx. B. S =ò f ( x)dx. C. S =pò f ( x) dx. D. S =pò f 2 ( x)dx. a a a a Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 +11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2 . (Đơn vị diện tích) 4 5 8 18 A. B. C. D. 3 2 3 23 Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 , y = 4x là: A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a;b] . Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức Trang 3/34
4. b b b b A. S =ò f (x)dx. B. S = -ò f (x)dx. C. S = -ò f 2 (x)dx. D. S =ò f 2 (x)dx. a a a a Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b b b A. S =ò f (x) dx. B. S =ò f (x)dx. C. S =ò f (x) 2 dx. D. S =pò f (x)dx. a a a a Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b A. S =ò f (x) - g(x) 2 dx. B. S =ò[f (x) - g(x)]dx. a a b b C. S =ò f (x) - g(x) dx. D. S =pò f (x) - g(x) 2 dx. a a Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f (x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là 0 1 1 A. S =ò f (x)dx +ò f (x)dx B. S =ò f (x)dx - 2 0 - 2 - 2 1 0 1 C. S =ò f (x)dx +ò f (x)dx D. S =ò f (x)dx -ò f (x)dx 0 0 - 2 0 Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 3 là A. 19 B. 18 C. 20 D. 21 Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 4 là 14 13 14 A. 4 B. C. D. 5 3 3 Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 x , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x =8 là 45 45 45 45 A. B. C. D. 2 4 7 8 Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng 3p x =p , x = là 2 1 3 A. 1 B. C. 2 D. 2 2 Trang 4/34
5. Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành và hai đường p p thẳng x = , x = là 6 4 3 6 3 6 A. ln B. ln C. - ln D. - ln 3 3 3 3 Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là e6 1 e6 1 e6 1 e6 1 A. + B. - C. + D. - 2 2 2 2 3 3 3 3 [DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG] VẬN DỤNG THẤP Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 4 là 53 51 49 25 A. B. C. D. 4 4 4 2 Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là 142 143 144 141 A. B. C. D. 5 5 5 5 x +1 Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục hoành và đường thẳng x +2 x = 2 là A. 3+2ln 2 B. 3- ln 2 C. 3- 2ln 2 D. 3+ln 2 Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2x , trục hoành và hai đường p thẳng x = 0, x = là 2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là 71 73 72 A. B. C. D. 14 5 5 5 x +1 Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục hoành và đường thẳng x +2 x = 2 là A. 3+2ln 2 B. 3- ln 2 C. 3- 2ln 2 D. 3+ln 2 Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x là 9 9 7 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2x , trục hoành và hai đường p thẳng x = 0, x = là 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Trang 5/34
6. Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x và y = 3 x là 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 13 14 15 Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 +1 và y = x3 - 4x2 +2x +1 là 37 37 A. B. C. 3 D. 4 13 12 Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 +4 , đường thẳng x = 3 , trục tung và trục hoành là 22 32 25 23 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x3 4 ,x trục hoành và hai đường thẳng x 3, x 4 là 202 203 201 201 A. B. C. D. 3 4 5 4 Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e là e2 - 1 e2 +1 e2 - 1 e2 +1 A. B. C. D. 2 2 4 4 Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 +x - 2, y = x +2 và hai đường thẳng x = - 2; x = 3. Diện tích của (H) bằng 87 87 87 87 A. B. C. D. 5 4 3 5 Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =(1+ex ) x, y =(1+e) x . Diện tích của (H) bằng e - 1 e - 2 e - 2 e +1 A. B. C. D. 2 2 2 2 VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 1 , y = x +5 . Diện tích của (H) bằng 71 73 70 74 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 4x +3 , y = x +3 . Diện tích của (H) bằng 108 109 109 119 A. B. C. D. 5 5 6 6 Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y = x2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng 8 4 7 A. B. C. 2 D. 3 3 3 Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 - 2y +x = 0, x + y = 0 là 9 9 7 11 A. B. C. D. 4 2 2 2 Trang 6/34
7. 1 27 Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 ; y = x2 ; y = bằng 27 x A. 27ln 2 B. 27ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3 Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là 8 11 7 10 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng a y =8x, y = x và đồ thị hàm số y = x3 là . Khi đó a +b bằng b A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 x2 Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =1, y = x và đồ thị hàm số y = trong 4 a miền x ³ 0, y £ 1là . Khi đó b - a bằng b A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 ïì - x, nÕu x £ 1 10 Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = í và y = x - x2 là îï x - 2, nÕu x>1 3 a . Khi đó a +2b bằng b A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 - x2 +4x - 4 Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) : y = , tiệm cận xiêm của (C) và hai x - 1 đường thẳng x = 0, x = a (a < 0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 1- e5 B. 1+e5 C. 1+2e5 D. 1- 2e5 II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường: Những điểm cần lưu ý: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , y = 0, x = a b và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2(x)dx . a Trang 7/34
8. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2(x) - g2(x) dx . a NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y , y 0 , x 1, x 4 quanh trục ox là: x A. 6 B. 6 C. 12 D. 6 Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos4x, Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục 8 Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 2 2 1 A. B. C. D. . 2 16 4 16 Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), Ox, x a, x b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b b b A. V 2 f (x)dx. B. V f 2 (x)dx. C. V 2. f 2 (x)dx. D. V f 2 (x)dx. a a a a Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 ; trục Ox và đường thẳng x 3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 A. B. 3 C. 2 D. 2 Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 1, y 0, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 79 23 5 A. B. C. D. 9 63 14 4 Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 x, x a, x b (0 a b) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b b b A. V 2 xdx. B. V xdx. C. V xdx. D. V 2 xdx. a a a a Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 496 4 64 16 A. B. C. D. 15 3 15 15 Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 2 4 A. B. C. D. 2 3 2 3 Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0; x và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm (x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là: A. V 2. B. V . C. V 4 . D. V 2 . Trang 8/34
9. Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x quay xung quanh trục 3 Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V 3 B. V 3 C. V 3 D. V 3 3 3 3 3 Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 28 68 28 68 A. 2 B. . C. D. 2. 3 3 3 3 VẬN DỤNG Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x2 y2 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là: 4 4 4 4 A. 4 16 x2 dx B. 4x2dx C. 4 x2dx D. 4 16 x2 dx 4 4 4 4 Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y2 4x và đường thẳng x 4 . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: A. 32 B. 64 C. 16 D. 4 Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2ln2 2 4ln 2 2 B. 2ln2 2 4ln 2 2 C. 2ln2 2 4ln 2 2 D. 2ln 2 1 Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y a.x2 , y bx (a,b 0) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b3 1 1 b5 b5 b5 1 1 V . V . V . V . A. B. 3 C. 3 D. a3 3 5 5a 3a a3 3 5 1 Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4 x2 , y x2 quay xung quanh trục Ox. Thể 3 tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 24 3 28 3 28 2 24 2 A. V B. V C. V D. V 5 5 5 5 Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x, y x, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: Trang 9/34
10. 8 4 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Câu 58. Gọi H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong C1 : y f x , C2 : y g x , hai đường thẳng x a , x b , a b . Giả sử rằng C1 và C2 không có điểm chung trên a,b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay H quanh Ox là b 2 2 V f x g x dx . Khi đó a 1 : f x g x ,x a,b 2 : f x g x 0,x a,b 3 : 0 f x g x ,x a,b Số nhận định đúng trong các nhận định trên là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x. ln x, y 0, x e quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 4e3 1 4e3 1 2e3 1 2e3 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 6x2 9x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 729 27 256608 7776 A. B. C. D. 35 4 35 5 Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x2 y2 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: Trang 10/34
11. y O x 256 3 256 32 3 32 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x2 , y2 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 88 9 4 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 5 70 3 5 BÀI TẬP TỔNG HỢP ( Chỉ có phần đáp số) Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong ax y2 ;ay x2 (a > 0 cho trước) là: a3 a3 2a3 4a3 A. S B. S C. S D. S 3 2 3 3 Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: y x2 2x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0, x = 2 là: 2 4 1 A. B. C. D. 0 3 3 3 Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y x2 và đường thẳng y = -x - 2 11 5 9 1 A. B. C. D. - 2 2 2 2 2 Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0 A. 2 2 B. 2 2 1 C. 2 D. 2 2 1 1 1 Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: y = x2 và y = 3x - x2 là: 4 2 A 7 B. 8 C. 9 D. 6. 2 2 Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1) : y f1(x) x 1;(C2 ) : y f2 (x) x 2x và đường thẳng x = -1 và x = 2. 11 13 11 A. 7 B. C. D. - 2 2 2 Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y x2 2x 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung A. 7 B. 6 C. 5 D. 9 Trang 11/34
12. Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0 1 1 1 A 1. B. C. D. 2 4 3 Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D 1 1 1 A. 1 B. C. D. 4 2 8 p Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0, x = 2 3 1 A B. 1 C. 2 D. 2 2 Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi: y 2x x2 ; y 0 quay quanh Ox. 14p 16p 17p 48p A. B. C. D. 15 15 15 15 Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y x2 ;8x y2 quay quanh trục Oy là: 21p 23p 24p 48p A. B. C. D. 15 15 15 5 Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol (C) y ax x2 (a 0) là: pa5 pa5 pa4 pa5 A. B. C. D. 30 20 5 10 Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y x.ex , x 1, y 0(0 x 1) là: 2 (e2 1) (e2 1) (e2 1) p e - 1 A. B. C. D. ( ) 4 4 2 12 Trang 12/34
13. C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 A D A B A D B C B D C D C A D B II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x = a , x = b (a <b) là: b b A. S =p f (x) - g(x).dx . B. S = ( f (x) - g(x))dx . òa òa b b C. S = ( f (x) - g(x))2.dx .D. S = f (x) - g(x).dx . òa òa Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , liên tục trên [a ; b] trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a <b) cho bởi công thức: b b b b A. S =ò f ( x) dx. B. S =ò f ( x)dx. C. S =pò f ( x) dx. D. S =pò f 2 ( x)dx. a a a a Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 +11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2 . (Đơn vị diện tích) 4 5 8 18 A. B. C. D. 3 2 3 23 Hướng dẫn giải: Đặt h(x) = (x3 +11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 +11x - 6 h(x) = 0Û x =1Ú x = 2Ú x = 3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) - 0 + 0 1 2 S = -ò( x3 - 6x2 +11x - 6) dx +ò( x3 - 6x2 +11x - 6) dx 0 1 1 2 æx4 11x2 ö æx4 11x2 ö 5 = - ç - 2x3 + - 6x÷ +ç - 2x3 + - 6x÷ = . ç 4 2 ÷ ç 4 2 ÷ 2 è ø0 è ø1 Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 , y = 4x là: A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 Hướng dẫn giải: Ta có x3 = 4xÛ x = - 2Ú x = 0Ú x = 2 Trang 13/34
14. 0 2 0 2 æ 4 ö æ 4 ö 3 3 ç x 2 ÷ ç x 2 ÷ Þ S =ò( x - 4x) dx +ò( x - 4x) dx = ç - 2x ÷ + ç - 2x ÷ =8. - 2 0 ç 4 ÷ ç 4 ÷ è ø- 2 è ø0 Vậy S =8 (đvdt). Chú ý:Nếu trong đoạn [a; b] phương trình f (x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có b b thể dùng công thức ò f (x) - g(x) dx =ò[ f (x) - g(x)] dx . a a Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a;b] . Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b b b A. S =ò f (x)dx. B. S = -ò f (x)dx. C. S = -ò f 2 (x)dx. D. S =ò f 2 (x)dx. a a a a Hướng dẫn giải b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =ò f (x)dx. a Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b b b A. S =ò f (x) dx. B. S =ò f (x)dx. C. S =ò f (x) 2 dx. D. S =pò f (x)dx. a a a a Hướng dẫn giải b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =ò f (x) dx. a Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b A. S =ò f (x) - g(x) 2 dx. B. S =ò[f (x) - g(x)]dx. a a b b C. S =ò f (x) - g(x) dx. D. S =pò f (x) - g(x) 2 dx. a a Hướng dẫn giải b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =ò f (x) - g(x) dx. a Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f (x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là 0 1 1 A. S =ò f (x)dx +ò f (x)dx B. S =ò f (x)dx - 2 0 - 2 Trang 14/34
15. - 2 1 0 1 C. S =ò f (x)dx +ò f (x)dx D. S =ò f (x)dx -ò f (x)dx 0 0 - 2 0 Hướng dẫn giải 0 1 Theo định nghĩa ta có S =ò f (x)dx -ò f (x)dx - 2 0 Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 3 là A. 19 B. 18 C. 20 D. 21 Hướng dẫn giải 3 3 3 x4 Ta có x3 ³ 0trên đoạn [1;3] nên S =ò x3 dx =òx3dx = = 20 1 1 4 1 Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 4 là 14 13 14 A. 4 B. C. D. 5 3 3 Hướng dẫn giải 4 4 4 2 3 14 Ta có x ³ 0 trên đoạn [1;4] nên S = x dx = xdx = x 2 = ò ò 3 3 1 1 1 Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 x , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x =8 là 45 45 45 45 A. B. C. D. 2 4 7 8 Hướng dẫn giải 8 8 8 3 4 45 Ta có 3 x ³ 0 trên đoạn [1;8] nên S = 3 x dx = 3 xdx = x 3 = ò ò 4 4 1 1 1 Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng 3p x =p , x = là 2 1 3 A. 1 B. C. 2 D. 2 2 Hướng dẫn giải 3p 3p é 3p ù 2 2 3p Ta có sin x £ 0 trên đoạn p; nên S = sin x dx =- sin xdx =cos x 2 =1 ê ú ò ò p ëê 2 ûú p p Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành và hai đường p p thẳng x = , x = là 6 4 3 6 3 6 A. ln B. ln C. - ln D. - ln 3 3 3 3 Hướng dẫn giải p p é ù 4 4 p p p 4 6 Ta có tan x ³ 0 trên đoạn ê ; ú nên S =ò tan x dx =òtan xdx =- ln(cos x) p = - ln ëê6 4 ûú p p 6 3 6 6 Trang 15/34
16. Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là e6 1 e6 1 e6 1 e6 1 A. + B. - C. + D. - 2 2 2 2 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 3 3 1 3 e6 1 Ta có e2x ³ 0 trên đoạn [0;3] nên S =ò e2x dx =òe2xdx = e2x = - 0 0 2 0 2 2 [DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG] VẬN DỤNG THẤP Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 4 là 53 51 49 25 A. B. C. D. 4 4 4 2 Hướng dẫn giải Ta có x3 - 3x2 = 0Û x = 3Î [1;4] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 4 4 3 4 æx4 ö æx4 ö 27 51 S = x3 - 3x2 dx = (x3 - 3x2 )dx + (x3 - 3x2 )dx = ç - x3 ÷ + ç - x3 ÷ = 6 + = ò ò ò ç 4 ÷ ç 4 ÷ 4 4 1 1 3 è ø1 è ø3 Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là 142 143 144 141 A. B. C. D. 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Ta có x4 - 3x2 - 4 = 0Û x = 2Î [0;3] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 S =ò x4 - 3x2 - 4dx =ò(x4 - 3x2 - 4)dx +ò(x4 - 3x2 - 4)dx 0 0 2 2 3 æx5 ö æx5 ö 48 96 144 = ç - x3 - 4x÷ + ç - x3 - 4x÷ = + = ç 5 ÷ ç 5 ÷ 5 5 5 è ø0 è ø2 x +1 Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục hoành và đường thẳng x +2 x = 2 là A. 3+2ln 2 B. 3- ln 2 C. 3- 2ln 2 D. 3+ln 2 Hướng dẫn giải 2 2 x +1 æ 1 ö 2 Ta có x +1 = 0Û x = - 1 nên S = dx = ç1- ÷dx = x - ln x +2 = 3- 2ln 2 ò òç ÷ ( ) - 1 - 1 x +2 - 1è x +2 ø Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Hướng dẫn giải éx = - 1 Ta có 2 - x2 = - xÛ ê và 2 - x2 ³ - x," x Î [ - 1;2] ëêx = 2 Trang 16/34
17. 2 2 æ x2 x3 ö 9 Nên S = (2 +x - x2 )dx = ç2x + - ÷ = ò ç 2 3 ÷ 2 - 1 è ø- 1 Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2x , trục hoành và hai đường p thẳng x = 0, x = là 2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải p é p ù Ta có cos 2x = 0Û x = Î ê0; ú 4 ëê 2 ûú p p p p p 2 4 2 æ1 ö 4 æ1 ö 2 Nên S =ò cos 2x dx =òcos 2xdx +òcos 2xdx = ç sin 2x÷ + ç sin 2x÷ =1 p 0 0 p è2 ø0 è2 ø 4 4 Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là 71 73 72 A. B. C. D. 14 5 5 5 Hướng dẫn giải Ta có x4 - 3x2 - 4 = 0Û x = 2Î [0;3] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 S =ò x4 - 3x2 - 4dx =ò(x4 - 3x2 - 4)dx +ò(x4 - 3x2 - 4)dx 0 0 2 2 3 æx5 ö æx5 ö 48 96 144 = ç - x3 - 4x÷ + ç - x3 - 4x÷ = + = ç 5 ÷ ç 5 ÷ 5 5 5 è ø0 è ø2 x +1 Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục hoành và đường thẳng x +2 x = 2 là A. 3+2ln 2 B. 3- ln 2 C. 3- 2ln 2 D. 3+ln 2 Hướng dẫn giải Ta có x +1 = 0Û x = - 1 nên 2 2 x +1 æ 1 ö 2 S = dx = ç1- ÷dx = x - ln x +2 = 3- 2ln 2 ò òç ÷ ( ) - 1 - 1 x +2 - 1è x +2 ø Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x là 9 9 7 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Hướng dẫn giải éx = - 1 Ta có 2 - x2 = - xÛ ê và 2 - x2 ³ - x," x Î [ - 1;2] ëêx = 2 2 2 æ x2 x3 ö 9 Nên S = (2 +x - x2 )dx = ç2x + - ÷ = ò ç 2 3 ÷ 2 - 1 è ø- 1 Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2x , trục hoành và hai đường p thẳng x = 0, x = là 2 Trang 17/34
18. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải p p Ta có cos 2x = 0Û x = Î [0; ] 4 2 Nên p p p p p 2 4 2 æ1 ö 4 æ1 ö 2 S =ò cos 2x dx =òcos 2xdx +òcos 2xdx = ç sin 2x÷ + ç sin 2x÷ =1 p 0 0 p è2 ø0 è2 ø 4 4 Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x và y = 3 x là 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 13 14 15 Hướng dẫn giải éx = 0 Ta có x = 3 x Û ê ëêx =1 1 1 1 3 3 æ2 3 3 3 4 ö 1 Nên S =ò x - x dx =ò( x - x)dx = ç x - x ÷ = 0 0 è3 4 ø0 12 Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 +1 và y = x3 - 4x2 +2x +1 là 37 37 A. B. C. 3 D. 4 13 12 Hướng dẫn giải éx = - 2 ê Ta có 2x3 - 3x2 +1 = x3 - 4x2 +2x +1Û êx = 0 ê ëêx =1 1 0 1 Nên S =ò x3 +x2 - 2x dx =ò(x3 +x2 - 2x)dx +ò(x3 +x2 - 2x)dx - 2 - 2 0 0 1 æx4 x3 ö æx4 x3 ö 37 = ç + - x2 ÷ + ç + - x2 ÷ = ç 4 3 ÷ ç 4 3 ÷ 12 è ø- 2 è ø0 Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 +4 , đường thẳng x = 3 , trục tung và trục hoành là 22 32 25 23 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt - x2 +4 = 0 trên đoạn [0;3] có nghiệm x = 2 2 3 23 Suy ra S =ò - x2 +4 dx +ò - x2 +4 dx = 0 2 3 Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x3 4 ,x trục hoành và hai đường thẳng x 3, x 4 là 202 203 201 201 A. B. C. D. 3 4 5 4 Hướng dẫn giải Xét pt x3 - 4x = 0 trên đoạn [ - 3;4] có nghiệm x = - 2; x = 0; x = 2 Trang 18/34
19. - 2 0 2 4 201 Suy ra S =ò x3 - 4x dx +ò x3 - 4x dx +ò x3 - 4x dx +ò x3 - 4x dx = - 3 - 2 0 2 4 Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e là e2 - 1 e2 +1 e2 - 1 e2 +1 A. B. C. D. 2 2 4 4 Hướng dẫn giải Xét pt x ln x = 0 trên nữa khoảng (0;e] có nghiệm x =1 e e2 +1 Suy ra S =òx ln xdx = 1 4 Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 +x - 2, y = x +2 và hai đường thẳng x = - 2; x = 3. Diện tích của (H) bằng 87 87 87 87 A. B. C. D. 5 4 3 5 Hướng dẫn giải Xét phương trình (x2 +x - 2) - (x +2) = 0Û x2 - 4 = 0Û x =±2 2 3 87 Suy ra S =ò x2 - 4 dx +ò x2 - 4 dx = - 2 2 3 Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =(1+ex ) x, y =(1+e) x . Diện tích của (H) bằng e - 1 e - 2 e - 2 e +1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Xét pt (1+ex ) x - (1+e) x = 0 có nghiệm x = 0, x =1 1 1 e - 2 Suy ra S =ò x(e - ex ) dx =òx(e - ex ) dx = 0 0 2 VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 1 , y = x +5 . Diện tích của (H) bằng 71 73 70 74 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt x2 - 1 = x +5 có nghiệm x = - 3, x = 3 3 3 Suy ra S =ò ( x2 -1 -( x +5)) dx = 2ò x2 -1 -( x +5) dx -3 0 Bảng xét dấu x2 - 1 trên đoạn [0;3] x 0 1 3 x2 - 1 - 0 + 1 3 73 Vậy S = 2ò(- x2 - x - 4)dx +ò( x2 - x - 6) dx = 0 1 3 Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 4x +3 , y = x +3 . Diện tích của (H) bằng Trang 19/34
20. 108 109 109 119 A. B. C. D. 5 5 6 6 Hướng dẫn giải Xét pt x2 - 4x +3 = x +3 có nghiệm x = 0, x = 5 1 3 5 109 Suy ra S =ò(- x2 +5x) dx +ò( x2 - 3x +6) dx +ò(- x2 +5x) dx = 0 1 3 6 Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y = x2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng 8 4 7 A. B. C. 2 D. 3 3 3 Hướng dẫn giải PTTT của (P) tại x = 2 là y = 4x +3 éx = 0 Xét pt x2 +3 - (4x +3) = 0Û x2 - 4x = 0Û ê ( ) ëêx = 2 2 2 2 æx3 ö 8 Suy ra S = x2 - 4x +4 dx = x2 - 4x +4 dx = ç - 2x2 +4x÷ = ò ( ) ò( ) ç 3 ÷ 3 0 0 è ø0 Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 - 2y +x = 0, x + y = 0 là 9 9 7 11 A. B. C. D. 4 2 2 2 Hướng dẫn giải Biến đổi về hàm số theo biến số y là x = - y2 +2y, x = - y Xét pt tung độ giao điểm (- y2 +2y) - (- y) = 0 có nghiệm y = 0, y = 3 3 3 9 Vậy S =ò - y2 +3y dy =ò(- y2 +3y) dy = 0 0 2 1 27 Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 ; y = x2 ; y = bằng 27 x A. 27ln 2 B. 27ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3 Hướng dẫn giải x2 27 x2 27 Xét các pthđgđ x2 - = 0 Þ x = 0; x2 - = 0 Þ x = 3; - = 0 Þ x = 9 27 x 27 x Suy ra Trang 20/34
21. 3 æ x2 ö 9 æ27 x2 ö ç 2 ÷ ç ÷ S =òçx - ÷dx +òç - ÷dx = 27ln 3 0 è 27 ø 3 è x 27 ø Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là 8 11 7 10 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải éy = - 1 2 10 Ta có y2 = y +2Û ê , Nên S =ò(y +2 - y2 )dy = ëêy = 2 0 3 Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng a y =8x, y = x và đồ thị hàm số y = x3 là . Khi đó a +b bằng b A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 Hướng dẫn giải Ta có éx = 0 éx = 0 8x - x = 0 Þ x = 0;8x - x3 = 0 Þ ê ; x - x3 = 0 Þ ê ê ëx = 2 2 ëêx =1 Trang 21/34
22. 1 2 2 63 Nên S =ò(8x - x)dx +ò (8x - x3) dx = 0 1 4 x2 Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =1, y = x và đồ thị hàm số y = trong 4 a miền x ³ 0, y £ 1là . Khi đó b - a bằng b A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Ta có x2 x2 x - 1 = 0 Þ x =1; x - = 0 Þ x = 0;1- = 0 Þ x = 2 4 4 Trang 22/34
23. 1 æ 2 ö 2 æ 2 ö ç x ÷ ç x ÷ 5 Nên S =òçx - ÷dx +òç1- ÷dx = 0 è 4 ø 1 è 4 ø 6 ïì - x, nÕu x £ 1 10 Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = í và y = x - x2 là îï x - 2, nÕu x>1 3 a . Khi đó a +2b bằng b A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 10 x - x2 = - x Þ x = 0 3 10 x - x2 = x - 2 Þ x = 3 3 1 3 æ10 2 ö æ10 2 ö 13 Nên S =òç x - x +x÷dx +òç x - x - x +2÷dx = 0 è 3 ø 1 è 3 ø 2 - x2 +4x - 4 Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) : y = , tiệm cận xiêm của (C) và hai x - 1 đường thẳng x = 0, x = a (a < 0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 1- e5 B. 1+e5 C. 1+2e5 D. 1- 2e5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có TCX : y = - x +3 0 a æ 1 ö æ 1 ö a Nên S(a) = ç- ÷dx = ç ÷dx = ln x - 1 = ln(1- a) òç ÷ òç ÷ 0 a è x - 1ø 0 èx - 1ø Suy ra ln(1- a) = 5Û a =1- e5 Trang 23/34
24. II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường: Những điểm cần lưu ý: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , y = 0, x = a b và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2(x)dx . a Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2(x) - g2(x) dx . a NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y , y 0 , x 1, x 4 quanh trục ox là: x A. 6 B. 6 C. 12 D. 6 Hướng dẫn giải 4 4 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V .( )2dx 12 . 1 x Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos4x, Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục 8 Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 2 2 1 A. B. C. D. . 2 16 4 16 Hướng dẫn giải 8 2 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V .cos2 4xdx . 0 16 Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), Ox, x a, x b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b b b A. V 2 f (x)dx. B. V f 2 (x)dx. C. V 2. f 2 (x)dx. D. V f 2 (x)dx. a a a a Hướng dẫn giải b Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V f 2 (x)dx. a Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 ; trục Ox và đường thẳng x 3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 A. B. 3 C. 2 D. 2 Giao điểm của hai đường y x 1 và y 0 là A(1;0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần 3 tính là: V (x 1)dx 2 . 1 Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 1, y 0, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: Trang 24/34
25. 79 23 5 A. B. C. D. 9 63 14 4 Hướng dẫn giải 1 23 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V (x3 1)2 dx . 0 14 Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 x, x a, x b (0 a b) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b b b A. V 2 xdx. B. V xdx. C. V xdx. D. V 2 xdx. a a a a Hướng dẫn giải Với x a;b thì y2 x y x . b Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V xdx. a Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 496 4 64 16 A. B. C. D. 15 3 15 15 Hướng dẫn giải Giao điểm của hai đường y2 x 2 2x và y 0 là O(0;0) và A(2;0) . Theo công thức ta có 2 16 thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V ( x2 2x)2 dx . 0 15 Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 2 4 A. B. C. D. 2 3 2 3 Hướng dẫn giải Giao điểm của hai đường y 1 x 2 và y 0 là B( 1;0) và A(1;0) . Theo công thức ta có thể 1 4 tích của khối tròn xoay cần tính là: V (1 x2 )dx . 1 3 Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0; x và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm (x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là: A. V 2. B. V . C. V 4 . D. V 2 . Hướng dẫn giải Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường x 0; x ; y sin x; Ox quay trục Ox. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V sin xdx 2 . 0 Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x quay xung quanh trục 3 Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V 3 B. V 3 C. V 3 D. V 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Trang 25/34
26. 3 2 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V tan xdx 3 . 0 3 Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 28 68 28 68 A. 2 B. . C. D. 2. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 4 68 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V .(1 x)2dx . 0 3 VẬN DỤNG Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x2 y2 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là: 4 4 4 4 A. 4 16 x2 dx B. 4x2dx C. 4 x2dx D. 4 16 x2 dx 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng 2. 16 x 2 . 4 4 Vậy thể tích của vật thể bằng V S(x)dx 4 16 x2 dx. 4 4 Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y2 4x và đường thẳng x 4 . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: A. 32 B. 64 C. 16 D. 4 Hướng dẫn giải Trang 26/34
27. Giao điểm của hai đường y2 4x và x 4 là D(4; 4) và E(4;4) . Phần phía trên Ox của đường y2 4x có phương trình y 2 x . Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần 4 tính là: V .(2 x)2dx 32 . 0 Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2ln2 2 4ln 2 2 B. 2ln2 2 4ln 2 2 C. 2ln2 2 4ln 2 2 D. 2ln 2 1 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của hai đường y ln x và y 0 là điểm C(1;0) . Vậy thể tích của khối tròn 2 xoay cần tính là: V .ln2 xdx 2ln2 2 4ln 2 2 . 1 Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y a.x2 , y bx (a,b 0) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b3 1 1 b5 b5 b5 1 1 V . V . V . V . A. B. 3 C. 3 D. a3 3 5 5a 3a a3 3 5 Hướng dẫn giải b b2 Tọa độ giao điểm của hai đường y ax 2 và y bx là các điểm O(0;0) và A( ; ) . Vậy thể a a b b a a b5 1 1 tích của khối tròn xoay cần tính là: V .b2x 2dx .a2x 4dx . ( ). 3 0 0 a 3 5 Trang 27/34
28. 1 Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4 x2 , y x2 quay xung quanh trục Ox. Thể 3 tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 24 3 28 3 28 2 24 2 A. V B. V C. V D. V 5 5 5 5 Hướng dẫn giải 1 Tọa độ giao điểm của hai đường y 4 x 2 và y x 2 là các điểm A( 3;1) và B( 3;1) . 3 3 3 1 28 3 Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V .(4 x 2)dx . x 4dx . . 9 5 3 3 Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x, y x, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 8 4 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của đường x 1 với y x và y 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1) . Tọa độ giao điểm của đường y 3x với y x là O(0;0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 1 1 8 V .9x 2dx .x 2dx . . 0 0 3 Câu 58. Gọi H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong C1 : y f x , C2 : y g x , hai đường thẳng x a , x b , a b . Giả sử rằng C1 và C2 không có điểm chung trên a,b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay H quanh Ox là b 2 2 V f x g x dx . Khi đó a 1 : f x g x ,x a,b Trang 28/34
29. 2 : f x g x 0,x a,b 3 : 0 f x g x ,x a,b Số nhận định đúng trong các nhận định trên là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy ra có thể xảy ra một trong hai trường hợp: 2 : f x g x 0,x a,b hoặc 3 : 0 f x g x ,x a,b. Do đó số nhận định đúng là không. Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x. ln x, y 0, x e quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 4e3 1 4e3 1 2e3 1 2e3 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của đường x e với y x ln x là điểm C(3;3) . Tọa độ giao điểm của đường y x ln x với y 0 là A(1;0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: e 2e3 1 V .x 2 ln xdx . . 1 9 Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 6x2 9x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 729 27 256608 7776 A. B. C. D. 35 4 35 5 Hướng dẫn giải Trang 29/34
30. Tọa độ giao điểm của đường y x3 6x2 9x với y 0 là các điểm C(e;e) và A(3;0) . Vậy 3 2 729 thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V . x 3 6x 2 9x dx . . 0 35 Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x2 y2 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: y O x 256 3 256 32 3 32 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt OH x suy ra cạnh của thiết diện là 2 16 x 2 . 3 Diện tích thiết diện tại H là S(x) 4(16 x 2) . 4 4 256 3 Vậy thể tích của vật thể là V 3(16 x 2)dx . 4 3 Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x2 , y2 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 88 9 4 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 5 70 3 5 Hướng dẫn giải 2 Với x 0;2 thì y 4x y 4x Trang 30/34
31. Tọa độ giao điểm của đường y 2x2 với y2 4x là các điểm O(0;0) và A(1;2) . Vậy thể tích 1 1 6 của khối tròn xoay cần tính là: V .4xdx .4x 4dx . . 0 0 5 BÀI TẬP TỔNG HỢP ( Chỉ có phần đáp số) Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong ax y2 ;ay x2 (a > 0 cho trước) là: a3 a3 2a3 4a3 A. S B. S C. S D. S 3 2 3 3 Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: y x2 2x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0, x = 2 là: 2 4 1 A. B. C. D. 0 3 3 3 Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y x2 và đường thẳng y = -x - 2 11 5 9 1 A. B. C. D. - 2 2 2 2 2 Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0 A. 2 2 B. 2 2 1 C. 2 D. 2 2 1 1 1 Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: y = x2 và y = 3x - x2 là: 4 2 A 7B. 8 C. 9 D. 6. 2 2 Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1) : y f1(x) x 1;(C2 ) : y f2 (x) x 2x và đường thẳng x = -1 và x = 2. 11 13 11 A. 7 B. C. D. - 2 2 2 Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y x2 2x 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung A. 7B. 6 C. 5 D. 9 Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0 1 1 1 A 1. B. C. D. 2 4 3 Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D 1 1 1 A. 1 B. C. D. 4 2 8 p Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0, x = 2 3 1 A B. 1 C. 2D. 2 2 Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi: y 2x x2 ; y 0 quay quanh Ox. Trang 31/34
32. 14p 16p 17p 48p A. B. C. D. 15 15 15 15 Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y x2 ;8x y2 quay quanh trục Oy là: 21p 23p 24p 48p A. B. C. D. 15 15 15 5 Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol (C) y ax x2 (a 0) là: pa5 pa5 pa4 pa5 A. B. C. D. 30 20 5 10 Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y x.ex , x 1, y 0(0 x 1) là: 2 (e2 1) (e2 1) (e2 1) p e - 1 A. B. C. D. ( ) . 4 4 2 12 Trang 32/34