Bài tập Hình học Lớp 11 - Phép vị tự

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Phép vị tự

1. PHÉP VỊ TỰ A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Cho điểm I và một số thực k 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao   cho IM' k.IM được gọi là phép vị tự tâm I , tỉ số k . Kí hiệu V I;k   Vậy V I;k M M' IM' k.IM . 2. Biểu thức tọa độ. Trong mặt phẳng tọa độ, cho I x0 ; y0 , M x; y , gọi M' x'; y' V I;k M thì x' kx 1 k x0 . y' ky 1 k y0 3. Tính chất:   • Nếu V I;k M M',V I;k N N' thì M'N' kMN và M'N' k MN • Phép vị tự tỉ số k - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó. - Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. - Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó. - Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R 4. Tâm vị tự của hai đường tròn. Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. Cho hai đường tròn I;R và I';R'
2.  • Nếu I I' thì các phép vị tự V R' biến I;R thành I';R' . I; R • Nếu I I' và R R' thì các phép vị tự V R' và V R' biến I;R thành I';R' . Ta gọi O; O1 ; R R O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn. M' M' M R' M R' R R O I' I O1 I M'' • Nếu Nếu I I' và R R' thì có V O ; 1 1 M M' biến I;R thành I';R' . I O1 I' M'' B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ. Phương pháp: Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 5x 2y 7 0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k 2 . Lời giải:
3. Cách 1: Lấy M x; y d 5x 2y 7 0 * . Gọi M' x'; y' V O; 2 M . Theo biểu thức tọa độ ta có 1 x x' x' 2x [1 2 ].0 2 . y' 2y [1 2 ].0 1 y y' 2 5 Thay vào * ta được x' y' 7 0 5x' 2y' 14 0 2 Vậy d' : 5x 2y 14 0 . Cách 2: Do d' song song hoặc trùng với d nên phương trình có dạng : 5x 2y c 0 .   x' 2 Lấy M 1;1 thuộc d . Gọi M' x'; y' V O; 2 M ta có OM' 2OM . Thay vào * ta y' 2 được c 14 . Vậy d' : 5x 2y 14 0 . 2 2 Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x 1 y 1 4 . Tìm ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm I 1; 2 tỉ số k 3 Lời giải: Đường tròn C có tâm J 1;1 , bán kính R 2 .   x' 1 3 1 1 x' 7 Gọi J' x'; y' V I;3 J IJ' 3IJ y' 1 3 1 2 y' 2 J' 7; 2 . Gọi C' là ảnh của C qua phép vị tự V I;3 thì C' có tâm J' 7; 2 , bán kính R' 3R 6 . 2 2 Vậy C' : x 7 y 2 36 . Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN. Phương pháp:
4. Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai đường tròn O;R và O'; 2R đựng nhau, với O O' . Tìm tâm vị tự của hai đương tròn O và O' . Lời giải: M' Do O O' và R 2R nên có hai phép vị tự M 2R V I;2 và V I'; 2 biến O;R thành O'; 2R . R I' I O O' M''
5. 2 2 2 2 Ví dụ 2. Cho hai đường tròn C : x 2 y 1 4 và C' : x 8 y 4 16 . Tìm tâm vị tự của hai đường tròn. Lời giải: Đường tròn C có tâm I 1; 2 ,bán kính R 2 ; đường tròn C' có tâm I' 8; 4 , bán kính R' 4 . Do I I' và R R' nên có hai phép vị tự V J;2 và V J'; 2 biến C thành C' . Gọi J x; y   8 x 2 2 x x 4 Với k 2 khi đó JI' 2JI . 4 y 2 1 y y 2 J 4; 2 . Tương tự với k 2 , tính được J' 4; 2 . Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Để dựng một hình H nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình H ) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai điểm B,C cố định và hai đường thẳng d1 ,d2 . Dựng tam giác ABC có đỉnh A thuộc d1 và trọng tâm G thuộc d2 . Lời giải: Phân tích: d1 Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa A mãn yêu cầu bài toán. d'2 Gọi I là trung điểm của BC , theo tính chất G d2 C B I
6.   trọng tâm ta có IA 3IG V I;3 G A mà G d2 A d2 ' Với d2 ' là ảnh của d2 qua V I;3 . Lại có A d1 A d1  d2 ' . Cách dựng: - Dựng đường thẳng d2 ' ảnh của d2 qua V I;3 . - Dựng giao điểm A d1  d2 ' . - Dựng giao điểm G IA  d2 . Hai điểm A;G là hai điểm cần dựng. Chứng minh: Rõ ràng từ cách dựng ta có A d1 ,G d2 ; I là trung điểm của BC và   V I;3 G A IA 3IG G là trọng tâm tam giác ABC . Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của d1 và d2 ' . Ví dụ 2. Cho hai đường tròn đồng tâm C1 và C2 . Từ một điểm A trên đường tròn lớn C1 hãy dựng đường thẳng d cắt C2 tại B,C và cắt C1 tại D sao cho AB BC CD . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d cắt C1 tại D và C2 tại B,C sao cho AB BC CD , khi đó O A O' B I C D
7.  1  AB AC V 1 C B . 2 A; 2 Mà C C2 nên B C2 ' với đường tròn C2 ' là ảnh của C2 qua V 1 . A; 2 Lại có B C2 nên B C2  C2 ' . Cách dựng - Dựng đường tròn C2 ' ảnh của đường tròn C2 qua phép vị tự V 1 . A; 2 - Dựng giao điểm B của C2 và C2 ' . d - Dựng đường thẳng đi qua A,B cắt các đường tròn C2 , C1 tại C,D tương ứng. Đường thẳng d chính là đường thẳng cần dựng. Chứng minh: Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC . Vì V 1 C B nên AB BC , mặt khác AD và BC có chung trung điểm I nên A; 2 IA ID,IC IC, ID CD IC;IA IB AB suy ra CD AB . Vậy AB BC CD . Biện luận: Gọi R1 ;R2 lần lượt là bán kính các đường tròn C1 và C2 ta có: • Nếu R1 2R2 thì có một nghiệm hình. • Nếu R1 2R2 thì có hai nghiệm hình. Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM. Phương pháp: Để tìm tập hợp điểm M ta có thể quy về tìm tập hợp điểm N và tìm một phép vị tự V I;k nào đó sao cho V I;k N M suy ra quỹ tích điểm M là ảnh của quỹ tích N qua V I;k .
8. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn O;R và một điểm I nằm ngoài đường tròn sao cho OI 3R , A là một điểm thay đổi trên đường tròn O;R . Phân giác trong góc I·OA cắt IA tại điểm M . Tìm tập hợp điểm M khi A di động trên O;R . Lời giải: Theo tính chất đường phân giác ta có MI OI 3R 3 MA OA R A M 3 IM IA 4  3  IM IA O O' I 4 3 V 3 A M , mà A thuộc đường tròn O;R nên M thuộc O'; R ảnh của O;R I; 4 4 3 qua V 3 . Vậy tập hợp điểm M là O'; R ảnh của O;R qua V 3 . I; 4 I; 4 4 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Qua điểm M trên cạnh AB vẽ các đường song song với các đường trung tuyến AE và BF , tương ứng cắt BC và CA tai P,Q . Tìm tập hợp điểm R sao cho MPRQ là hình bình hành.
9. Lời giải: Gọi I MQ  AE , K MP  BF và G là trọng A tâm của tam giác ABC . I Q Ta có M MI AM AQ IQ MI BG  2  2 MI MQ . BG AB AF GF IQ GF 3 F G  2  K Tương tự ta có MK MP 3 R B P E C    2  2  2   1  Từ đó ta có MG MI MK MQ MP MR Do đó GR GM V 1 M R , mà M 3 3 3 2 G; 2 thuộc cạnh AB nên R thuộc ảnh của cạnh AB qua V 1 đoạn chính là đoạn EF . G; 2 Vậy tập hợp điểm R là đoạn EF . Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN. Các ví dụ Ví dụ 1. Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M,N sao cho AM MN NB , các điểm E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh CB,CA , gọi P là giao điểm của BF và CN , Q là giao điểm của AE với CM . Chứng minh PQ / /AB . Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . B Ta có MF là đường trung bình của tam giác ACN nên MF P CN , mặt khác N là N trung điểm của MB nên P là trung điểm P E của BF . M Q G A F C
10. Ta có    1  2  GP BP BG BF BF 2 3 . 1  1  BF GB 6 4  1  Tương tự GQ GA . 4 Vậy V 1 B P và V 1 A Q suy ra PQ / /AB . G; G; 4 4 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Gọi I,J,M lần lượt là trung điểm của AB,AC,IJ . Đường tròn O ngoại tiếp tam giác AIJ cắt AO tại D . Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC . Chứng minh A,M,E thẳng hàng. Lời giải: Xét phép vị tự V A;2 ta có     AB 2AI; AC 2AJ nên A V A;2 I B,V A;2 J C do đó V A;2 biến tam giác AIJ thành tam giác ABC , do đó phép O vị tự này biến đường tròn O thành I J đường tròn O' ngoại tiếp tam giác ABC . M D   Do AD 2AO V A;2 O D C O'  D , hay D là tâm của đường tròn B E ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử V A;2 M M' khi đó OM  IJ DM'  BC M'  E . Vậy V A;2 M E nên A,M,E thẳng hàng.