Bài tập Hình học Lớp 11 - Bài 3: Phép đối xứng trục

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Bài 3: Phép đối xứng trục

1.  Bài 03 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. Định nghĩa Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M ' sao cho d là đường trung trực của d đoạn thẳng MM ' được gọi là phép đối xứng qua M 0 đường thẳng d hay phép đối xứng trục d. M' Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Ñd . Nếu hình H / là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H / qua d , hay H và H / đối xứng với nhau qua d. Nhận xét · Cho đường thẳng d . Với mỗi điểm M , gọi M là hình chiếu vuông góc của M trên uuuuuur 0 uuuuur đường thẳng d . Khi đó M ' = Ñd (M) Û M 0 M ' = - M 0 M. · M ' = Ñd (M)Û M = Ñd (M '). 2. Biểu thức toạ độ ïì x ' = x · Nếu d º Ox . Gọi M '(x '; y ')= Ñ éM x; y ù thì ï . Ox ëê ( )ûú í îï y ' = - y ïì x ' = - x · Nếu d º Oy . Gọi M '(x '; y ')= Ñ éM x; y ù thì ï . Oy ëê ( )ûú í îï y ' = y 3. Tính chất Tính chất 1 Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2 Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. A a O B C R B' C' R a' O' A' 4. Trục đối xứng của một hình Định nghĩa Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tam giác đều có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 3. D. Vô số. Câu 2. Trong các hình sau đây, hình nào có bốn trục đối xứng? A. Hình bình hành.B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi.D. Hình vuông. Câu 3. Hình nào sau đây có trục đối xứng: A. Tứ giác bất kì.B. Tam giác cân.C. Tam giác bất kì.D. Hình bình hành. Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tam giác có trục đối xứng.B. Tứ giác có trục đối xứng. C. Hình thang có trục đối xứng.D. Hình thang cân có trục đối xứng. Câu 5. Trong các hình dưới đây, hình nào có nhiều trục đối xứng nhất? A. Đoạn thẳng.B. Đường tròn.C. Tam giác đều.D. Hình vuông. Câu 6. Xem các chữ cái in hoa A, B, C, D, X, Y như những hình. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình có một trục đối xứng là: A, Y. Các hình khác không có trục đối xứng. B. Hình có một trục đối xứng: A, B, C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. C. Hình có một trục đối xứng: A, B. Hình có hai trục đối xứng: D, X. D. Hình có một trục đối xứng: C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. Các hình khác không có trục đối xứng. Câu 7. Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 8. Cho ba đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình H . Hỏi H có mấy trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau có trục đối xứng. B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý có trục đối xứng. C. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý có trục đối xứng. D. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có trục đối xứng. Câu 10. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó? A. Không có phép nào.B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có hai phép.D. Có vô số phép. Câu 11. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 12. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau a và b . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành a và biến b thành b ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 13. Hình gồm hai đường thẳng d và d ' vuông góc với nhau có mấy trục đối xứng? A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số. 0 Câu 14. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và góc ở giữa chúng bằng 60 . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành a và biến b thành b ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 15. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng thành chính nó ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 16. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d '? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Câu 17. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 18. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và c thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 19. Đồ thị của hàm số y = cos x có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 20. Phép đối xứng trục ÑD biến hình vuông ABCD thành chính nó khi và chỉ khi A. Một đường chéo của hình vuông nằm trên D. B. Một cạnh của hình vuông nằm trên D. C. D đi qua trung điểm của 2 cạnh đối của hình vuông. D. A và C đều đúng. Câu 21. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Khẳng định nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục? A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục CD. B. Phép đối xứng trục AC biến D thành C. C. Phép đối xứng trục AC biến D thành B. D. Cả A, B, C đều đúng . Câu 22. Phép đối xứng trục ÑD biến một tam giác thành chính nó khi và chỉ khi A. Tam giác đó là tam giác cân. B. Tam giác đó là tam giác đều. C. Tam giác đó là tam giác cân có đường cao ứng với cạnh đáy nằm trên D. D. Tam giác đó là tam giác đều có trọng tâm nằm trên D. Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. B. Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. C. Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. D. Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn bằng đường tròn đã cho. Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox ? / / / / A. M1 (3;2). B. M 2 (2;- 3). C. M 3 (3;- 2). D. M 4 (- 2;3). Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy qua phép đối xứng trục Oy , điểm A(3;5) biến thành điểm nào trong các điểm sau? / / / / A. A1 (3;5). B. A2 (- 3;5). C. A3 (3;- 5). D. A4 (- 3;- 5). Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;5), B(- 1;2), C (6;- 4). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép đối xứng trục ÑOy biến điểm G thành điểm G ' có tọa độ là: A. (- 2;- 1). B. (2;- 4). C. (0;- 3). D. (- 2;1). Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi a là đường thẳng có phương trình x + 2 = 0. Phép đối xứng trục Đa biến điểm M (4;- 3) thành M ' có tọa độ là: A. (- 6;- 3). B. (- 8;- 3). C. (8;3). D. (6;3). Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng đường thẳng d : x - y = 0 ? / / / / A. M1 (3;2). B. M 2 (2;- 3). C. M 3 (3;- 2). D. M 4 (- 2;3). Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D có phương trình 2x - y + 1 = 0 và điểm A(3;2). Trong các điểm dưới đây, điểm nào là điểm đối xứng của A qua đường thẳng D ? / / / / A. A1 (- 1;4). B. A2 (- 2;5). C. A3 (6;- 3). D. A4 (1;6). Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi d là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Phép đối xứng trục Đd biến điểm P (5;- 2) thành điểm P ' có tọa độ là: A. (5;2). B. (- 5;2). C. (2;- 5). D. (- 2;5). Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(0;4), B(- 2;3), C (6;- 4). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Phép đối xứng trục Đa biến G thành G ' có tọa độ là: æ4 ö æ 4 ö æ 4ö æ 4ö A. ç ;1÷. B. ç- ;1÷. C. ç1; ÷. D. ç- 1;- ÷. èç3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép đối xứng trục biến điểm A(2;1) thành A'(2;5) có trục đối xứng là: A. Đường thẳng y = 3. B. Đường thẳng x = 3. C. Đường thẳng y = 6. D. Đường thẳng x + y - 3 = 0. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép đối xứng trục biến điểm M (2;3) thành M '(3;2) thì nó biến điểm C (1;- 6) thành điểm: A. C '(4;16). B. C '(1;6). C. C '(- 6;- 1). D. C '(- 6;1). Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b lần lượt có phương trình x = 2 và x = 5. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa , Đb (theo thứ tự). Điểm M (- 2;6) biến thành điểm N có tọa độ là A. (- 4;6). B. (5;6). C. (4;6). D. (9;6). Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x + y - 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là: A. x - y - 2 = 0. B. x + y + 2 = 0. C. - x + y - 2 = 0. D. x - y + 2 = 0. Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D có phương trình 5x + y - 3 = 0. Đường thẳng đối xứng của D qua trục tung có phương trình là: A. 5x + y + 3 = 0. B. 5x - y + 3 = 0. C. x + 5y + 3 = 0. D. x - 5y + 3 = 0. Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng D : 3x - 4 y + 5 = 0. Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng D thành đường thẳng D ' có phương trình là: A. 4x - 3y - 5 = 0. B. 3x + 4 y - 5 = 0. C. 4x - 3y + 5 = 0. D. 3x + 4 y + 5 = 0. Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + y - 1 = 0 . Xét phép đối xứng trục D : 2x - y + 1 = 0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng d ' có phương trình là: A. 3x - y + 1 = 0. B. x + 3y - 3 = 0. C. x - 3y + 3 = 0. D. x + 3y + 1 = 0. 2 2 Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):(x - 1) + (y + 2) = 4 . Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn (C ) thành đường tròn (C ') có phương trình là: 2 2 2 2 A. (x + 1) + (y - 2) = 4. B. (x - 1) + (y + 2) = 4. 2 2 2 2 C. (x - 1) + (y - 2) = 4. D. (x + 1) + (y + 2) = 4. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 2 2 Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):(x + 1) + (y - 4) = 1 và đường thẳng d có phương trình y - x = 0. Phép đối xứng trục d biến đường tròn (C ) thành đường tròn (C ') có phương trình là: 2 2 2 2 A. (x + 1) + (y - 4) = 1. B. (x - 4) + (y + 1) = 1. 2 2 2 2 C. (x + 4) + (y - 1) = 1. D. (x + 4) + (y + 1) = 1. 2 2 Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C ):(x - 1) + (y - 2) = 4 và 2 (C ¢):(x - 3) + y2 = 4. Viết phương trình trục đối xứng của (C ) và (C ¢). A. y = x + 1. B. y = x - 1. C. y = - x + 1. D. y = - x - 1. Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y2 = x . Hỏi parabol nào trong các parabol sau là ảnh của (P) qua phép đối xứng trục tung? A. y2 = x. B. y2 = - x. C. x 2 = - y. D. x 2 = y. Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 - 2x + 3. Phép đối xứng trục Ox biến parabol (P) thành parabol (P ¢) có phương trình là: A. y = x 2 - 2x - 3. B. y = x 2 + 2x - 3. C. y = - x 2 + 2x - 3. D. y = - x 2 + 4x - 3. Câu 44. Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B thuộc cạnh Ox ( B khác O ). Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất? A. C là hình chiếu của A trên Oy. B. C là hình chiếu của B trên Oy. C. C là hình chiếu trung điểm I của AB trên Oy. D. C là giao điểm của BA'; A' đối xứng với A qua Oy. Câu 45. Cho tam giác ABC có A là góc nhọn và các đường cao là AA¢, BB¢, CC ¢. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và H ¢ là điểm đối xứng của H qua BC. Tứ giác nào sau đây là tứ giác nội tiếp ? A. AC ¢H ¢C. B. ABH ¢C. C. AB¢H ¢B. D. BHCH ¢. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tam giác đều có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Tam giác đều có 3 trục đối xứng (đường thẳng đi qua đỉnh tam giác và trung điểm cạnh đối diện). Chọn C. Câu 2. Trong các hình sau đây, hình nào có bốn trục đối xứng? A. Hình bình hành.B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi.D. Hình vuông. Lời giải. Hình vuông có bốn 4 trục đối xứng. (đường chéo và đường thẳng đi qua trung điểm của cặp cạnh đối diện). Chọn D. Câu 3. Hình nào sau đây có trục đối xứng: A. Tứ giác bất kì.B. Tam giác cân.C. Tam giác bất kì.D. Hình bình hành. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. Lời giải. Tam giác cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh cân và trung điểm cạnh đáy. Chọn B. Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tam giác có trục đối xứng.B. Tứ giác có trục đối xứng. C. Hình thang có trục đối xứng.D. Hình thang cân có trục đối xứng. Lời giải. Hình thang cân có trục đối xứng (đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đáy). Chọn D. Câu 5. Trong các hình dưới đây, hình nào có nhiều trục đối xứng nhất? A. Đoạn thẳng.B. Đường tròn.C. Tam giác đều.D. Hình vuông. Lời giải. Đoạn thẳng có 1 trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng. Đường tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm. Tam giác đều có 3 trục đối xứng là các đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện. Hình vuông có 4 trục đối xứng. Vậy hình tròn có nhiều trục đối xứng nhất. Chọn B. Câu 6. Xem các chữ cái in hoa A, B, C, D, X, Y như những hình. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình có một trục đối xứng là: A, Y. Các hình khác không có trục đối xứng. B. Hình có một trục đối xứng: A, B, C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. C. Hình có một trục đối xứng: A, B. Hình có hai trục đối xứng: D, X. D. Hình có một trục đối xứng: C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. Các hình khác không có trục đối xứng. Lời giải. Chọn B. Câu 7. Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Có duy nhất một trục đối xứng đi qua tâm của hai đường tròn. Chọn B. Câu 8. Cho ba đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình H . Hỏi H có mấy trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Có 3 trục đối xứng như hình vẽ. Chọn D. Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau có trục đối xứng. B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý có trục đối xứng. C. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý có trục đối xứng. D. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có trục đối xứng. Lời giải. Chọn B. Trường hợp trục đối xứng của đoạn thẳng không đi qua tâm của đường tròn như hình vẽ. Câu 10. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó? Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. A. Không có phép nào.B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có hai phép.D. Có vô số phép. Lời giải. Gọi D là đường thẳng vuông góc với đường thẳng d. Khi đó, phép đối xứng trục D biến d thành chính nó. Có vô số đường thẳng D vuông góc với d . Chọn D. Câu 11. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra 4 góc (2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau). Đường phân giác của 2 cặp góc đối đỉnh chính là 2 trục đối xứng biến d thành d '. Chọn C. Câu 12. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau a và b . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành a và biến b thành b ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Qua trục đối xứng là đường thẳng a sẽ biến a thành a và biến b thành b . Qua trục đối xứng là đường thẳng b sẽ biến a thành a và biến b thành b . Chọn C. Câu 13. Hình gồm hai đường thẳng d và d ' vuông góc với nhau có mấy trục đối xứng? A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số. Lời giải. Đây là trường hợp đặc biệt của Câu 11 và Câu 12. Có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của 2 cặp góc tạo bởi d và d ' . Trường hợp này trục đối xứng biến d thành d ' và d ' thành d. Có 2 trục đối xứng chính là d và d ' . Trường hợp này trục đối xứng biến d thành chính nó và d ' thành chính nó. Chọn C. 0 Câu 14. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và góc ở giữa chúng bằng 60 . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành a và biến b thành b ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Để biến a thành a thì trục đối xứng trùng với a hoặc vuông góc với a. TH1: Trục đối xứng trùng với a , mà a tạo với b góc 600 ¾ ¾® a không là trục đối xứng để biến b thành b . TH2: Trục đối xứng vuông góc với a , mà a tạo với b góc 600 ¾ ¾® đường thẳng đó không là trục đối xứng để biến b thành b. Chọn A. Câu 15. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng thành chính nó ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Đường thẳng D vuông góc với d và d ' sẽ biến d và d ' thành chính nó. Có vô số đường thẳng D vuông góc với d và d ' . Chọn D. Câu 16. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d '? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Chọn A. Trục đối xứng là đường thẳng song song và cách đều d và d '. Câu 17. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Để biến đường thẳng c thành chính nó thì trục đối xứng có dạng trùng với c hoặc vuông góc với c. TH1: Trục đối xứng trùng với c ¾ ¾® trục đối xứng vuông góc với a và b Þ trục đối xứng biến a và b thành chính nó. Do đó trường hợp này thỏa mãn. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. TH2: Trục đối xứng vuông góc với c , tức là trục đối xứng song song (hoặc trùng) với a và b . Khi đó, trục đối xứng không thể biến a và b thành chính nó. Vậy có duy nhất một phép đối xứng trục thỏa mãn bài toán. Chọn B. Câu 18. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và c thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Để biến đường thẳng c thành chính nó thì trục đối xứng có dạng trùng với c hoặc vuông góc với c. TH1: Trục đối xứng trùng với c ¾ ¾® trục đối xứng vuông góc với a và b Þ trục đối xứng biến a và b thành chính nó. Do đó trường hợp này không thỏa mãn. TH2: Trục đối xứng vuông góc với c , tức là trục đối xứng song song (hoặc trùng) với a và b . Khi đó, để trục đối xứng biến a thành b thì trục đối xứng phải cách đều a và b . Do đó trường hợp này có 1 trục đối xứng thỏa mãn. Chọn B. Câu 19. Đồ thị của hàm số y = cos x có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị nhận đường thẳng x = 0 (trục tung) làm trục đối xứng. Lại có các đường thẳng cách trục tung một đoạn bằng một số nguyên lần p cũng là trục đối xứng của đồ thị. Chọn D. Câu 20. Phép đối xứng trục ÑD biến hình vuông ABCD thành chính nó khi và chỉ khi A. Một đường chéo của hình vuông nằm trên D. B. Một cạnh của hình vuông nằm trên D. C. D đi qua trung điểm của 2 cạnh đối của hình vuông. D. A và C đều đúng. Lời giải. Chọn D. (xem lại Câu 2) Câu 21. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Khẳng định nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục? A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục CD. B. Phép đối xứng trục AC biến D thành C. C. Phép đối xứng trục AC biến D thành B. D. Cả A, B, C đều đúng . Lời giải. Chọn C. Câu 22. Phép đối xứng trục ÑD biến một tam giác thành chính nó khi và chỉ khi A. Tam giác đó là tam giác cân. B. Tam giác đó là tam giác đều. C. Tam giác đó là tam giác cân có đường cao ứng với cạnh đáy nằm trên D. D. Tam giác đó là tam giác đều có trọng tâm nằm trên D. Lời giải. Chọn C. Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. B. Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. C. Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. D. Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn bằng đường tròn đã cho. Lời giải. Chọn B. Trường hợp đường thẳng không song song hoặc không trùng với trục đối xứng thì ảnh của nó sẽ cắt đường thẳng đã cho (Hình vẽ). d d' Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
9. Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox ? / / / / A. M1 (3;2). B. M 2 (2;- 3). C. M 3 (3;- 2). D. M 4 (- 2;3). Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox : ïì x ' = x ïì x ' = 2 Gọi M '(x '; y ')= Ñ éM x; y ù thì ï Û ï . Chọn B. Ox ëê ( )ûú í í îï y ' = - y îï y ' = - 3 Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy qua phép đối xứng trục Oy , điểm A(3;5) biến thành điểm nào trong các điểm sau? / / / / A. A1 (3;5). B. A2 (- 3;5). C. A3 (3;- 5). D. A4 (- 3;- 5). Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Oy : ïì x ' = - x ïì x ' = - 3 Gọi A'(x '; y ')= Ñ éA x; y ù thì ï Û ï . Chọn B. Oy ëê ( )ûú í í îï y ' = y îï y ' = 5 Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;5), B(- 1;2), C (6;- 4). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép đối xứng trục ÑOy biến điểm G thành điểm G ' có tọa độ là: A. (- 2;- 1). B. (2;- 4). C. (0;- 3). D. (- 2;1). ïì x + x + x ï = A B C ï xG ì ï 3 ï xG = 2 Lời giải. Tọa độ trọng tâm: íï Þ íï Þ G(2;1). ï y + y + y ï y = 1 ï y = A B C îï G îï G 3 ïì x ' = - x ïì x ' = - 2 Gọi G '(x '; y ')= Ñ éG x; y ù thì ï Û ï . Chọn D. Oy ëê ( )ûú í í îï y ' = y îï y ' = 1 Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi a là đường thẳng có phương trình x + 2 = 0. Phép đối xứng trục Đa biến điểm M (4;- 3) thành M ' có tọa độ là: A. (- 6;- 3). B. (- 8;- 3). C. (8;3). D. (6;3). Lời giải. Đường thẳng b qua M và vuông góc với a có phương trình b : y + 3 = 0. ïì x + 2 = 0 Gọi H = a Çb, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ íï Þ H (- 2;- 3). a îï y + 3 = 0 H Theo giả thiết: Đa (M )= M '(x '; y ')® H là trung điểm của MM ' b ïì x ' = 2x - x ïì x ' = - 8 M M' Û íï H M Þ íï ¾ ¾® M '(- 8;- 3). Chọn B. ï ï îï y ' = 2yH - yM îï y ' = - 3 Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng đường thẳng d : x - y = 0 ? / / / / A. M1 (3;2). B. M 2 (2;- 3). C. M 3 (3;- 2). D. M 4 (- 2;3). Lời giải. Nhận xét: đường thẳng d : x - y = 0 Û d : y = x là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng đường phân giác y = x là: ïì x ' = y ïì x ' = 3 Gọi M '(x '; y ')= Ñ éM x; y ù thì ï Û ï . Chọn A. d ëê ( )ûú í í îï y ' = x îï y ' = 2 Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D có phương trình 2x - y + 1 = 0 và điểm A(3;2). Trong các điểm dưới đây, điểm nào là điểm đối xứng của A qua đường thẳng D ? Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
10. / / / / A. A1 (- 1;4). B. A2 (- 2;5). C. A3 (6;- 3). D. A4 (1;6). Lời giải. Đường thẳng d qua A và vuông góc với D có phương trình d : x + 2y - 7 = 0 ïì 2x - y + 1 = 0 ïì x = 1 Gọi H = d ÇD, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ íï Û íï Þ H (1;3). îï x + 2y - 7 = 0 îï y = 3 Theo giả thiết: ĐD (A)= A'(x '; y ')® H là trung điểm của AA' ïì x ' = 2x - x ïì x ' = - 1 Û íï H A Þ íï ¾ ¾® A'(- 1;4). Chọn A. ï ï îï y ' = 2yH - yA îï y ' = 4 / Cách trắc nghiệm. Xét đáp án A chẳng hạn. Ta thấy ngay trung điểm của AA1 là I (1;3)Î D . uuuur / r Tiếp theo cần kiểm tra vectơ AA1 vuông góc với VTCP u = (1;2) của D. Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi d là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Phép đối xứng trục Đd biến điểm P (5;- 2) thành điểm P ' có tọa độ là: A. (5;2). B. (- 5;2). C. (2;- 5). D. (- 2;5). Lời giải. Đường phân giác của góc phần tư thứ hai có phương trình d : y = - x. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng đường phân giác d : y = - x là: ïì x ' = - y ïì x ' = 2 Gọi P '(x '; y ')= Ñ éP x; y ù thì ï Û ï . Chọn C. d ëê ( )ûú í í îï y ' = - x îï y ' = - 5 Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(0;4), B(- 2;3), C (6;- 4). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Phép đối xứng trục Đa biến G thành G ' có tọa độ là: æ4 ö æ 4 ö æ 4ö æ 4ö A. ç ;1÷. B. ç- ;1÷. C. ç1; ÷. D. ç- 1;- ÷. èç3 ø÷ èç 3 ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ æ4 ö Lời giải. Tọa độ trọng tâm Gç ;1÷. èç3 ø÷ Đường phân giác a của góc phần tư thứ nhất có phương trình x - y = 0 hay y = x. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng đường phân giác a : y = x là: ïì x ' = 1 ïì x ' = y ï Gọi G '(x '; y ')= Ñ éG x; y ù thì ï Û ï . Chọn C. d ëê ( )ûú í í 4 îï y ' = x ï y ' = îï 3 Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép đối xứng trục biến điểm A(2;1) thành A'(2;5) có trục đối xứng là: A. Đường thẳng y = 3. B. Đường thẳng x = 3. C. Đường thẳng y = 6. D. Đường thẳng x + y - 3 = 0. Lời giải. Gọi Đa (A)= A' ® a là đường trung trực của đoạn thẳng AA'. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AA' ¾ ¾® H (2;3). uuur Ta có AA' = (0;4)= 4.(0;1). r uuur Đường thẳng a qua điểm H và có một VTPT n = AA' = (0;4) nên có phương trình a : y = 3. Chọn A. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép đối xứng trục biến điểm M (2;3) thành M '(3;2) thì nó biến điểm C (1;- 6) thành điểm: A. C '(4;16). B. C '(1;6). C. C '(- 6;- 1). D. C '(- 6;1). Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
11. Lời giải. Gọi Đa (M )= M ' ® a là đường trung trực của đoạn thẳng MM '. æ5 5ö Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MM ' ¾ ¾® I ç ; ÷. èç2 2ø÷ r uuuuur Đường thẳng a qua điểm I và có một vtpt n = MM ' = (1;- 1) nên có phương trình a : x - y = 0 hay a : y = x (đường phân giác góc phần tư thứ nhất). Suy ra C '(- 6;1). Chọn D. Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b lần lượt có phương trình x = 2 và x = 5. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa , Đb (theo thứ tự). Điểm M (- 2;6) biến thành điểm N có tọa độ là A. (- 4;6). B. (5;6). C. (4;6). D. (9;6). Lời giải. Gọi ảnh của M qua phép đối xứng trục Đa là M '. Đường thẳng d qua M và vuông góc với a có phương trình d : y - 6 = 0. ïì x = 2 ïì x = 2 Gọi H = d Ça, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ íï Û íï Þ H (2;6). îï y - 6 = 0 îï y = 6 Theo giả thiết: Đa (M )= M '(x '; y ')® H là trung điểm của MM ' ïì x ' = 2x - x ïì x ' = 6 Û íï H M Þ íï Þ M '(6;6). ï ï îï y ' = 2yH - yM îï y ' = 6 Gọi ảnh của M ' qua phép đối xứng trục Đb là N. Làm tương tự như trên, ta được kết quả N (4;6). Chọn C. Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x + y - 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là: A. x - y - 2 = 0. B. x + y + 2 = 0. C. - x + y - 2 = 0. D. x - y + 2 = 0. Lời giải. Trục Ox có phương trình y = 0. ïì x + y - 2 = 0 Tọa độ giao điểm A của d và Ox thỏa mãn hệ íï Þ A(2;0). îï y = 0 Vì A Î Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành chính nó, tức A' º A(2;0). Đ Chọn điểm B(1;1)Î d ¾ ¾Ox ® B '(1;- 1). Vậy đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox đi qua hai điểm A'(2;0) và B '(1;- 1) nên có phương trình x - y - 2 = 0. Chọn A. ïì x ' = x ïì x = x ' Cách 2. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là íï Þ íï . Thay vào d , ta îï y ' = - y îï y = - y ' được x '- y '- 2 = 0. Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng D có phương trình 5x + y - 3 = 0. Đường thẳng đối xứng của D qua trục tung có phương trình là: A. 5x + y + 3 = 0. B. 5x - y + 3 = 0. C. x + 5y + 3 = 0. D. x - 5y + 3 = 0. ïì x ' = - x ïì x = - x ' Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung là íï Þ íï . Thay vào D , îï y ' = y îï y = y ' ta được - 5x '+ y '- 3 = 0 hay 5x '- y '+ 3 = 0 . Chọn B. Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng D : 3x - 4 y + 5 = 0. Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng D thành đường thẳng D ' có phương trình là: Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
12. A. 4x - 3y - 5 = 0. B. 3x + 4 y - 5 = 0. C. 4x - 3y + 5 = 0. D. 3x + 4 y + 5 = 0. ïì x ' = y ïì x = y ' Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng Đa là í Þ í . Thay vào D , ta được îï y ' = x îï y = x ' 3y '- 4x '+ 5 = 0. hay 4x '- 3y '- 5 = 0. Chọn A. Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + y - 1 = 0 . Xét phép đối xứng trục D : 2x - y + 1 = 0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng d ' có phương trình là: A. 3x - y + 1 = 0. B. x + 3y - 3 = 0. C. x - 3y + 3 = 0. D. x + 3y + 1 = 0. ïì 3x + y - 1 = 0 Lời giải. Tọa độ giao điểm A của d và D thỏa mãn hệ íï Þ A(0;1). îï 2x - y + 1 = 0 Vì A Î D nên qua phép đối xứng trục D biến thành chính nó, tức A' º A(0;1). Chọn điểm B(1;- 2)Î d . Đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với D có phương trình l : x + 2y + 3 = 0 . ïì 2x - y + 1 = 0 Gọi H = D Çl , suy ra tọa độ điểm H thỏa hệ íï Þ H (- 1;- 1). îï x + 2y + 3 = 0 Gọi B '(x '; y ') là điểm đối xứng của B qua D ® H là trung điểm của BB ' ïì x ' = 2x - x ïì x ' = - 3 Û íï H B Þ íï Þ B '(- 3;0). ï ï îï y ' = 2yH - yB îï y ' = 0 Đường thẳng d ' cần tìm đi qua hai điểm A', B ' nên có phương trình x - 3y + 3 = 0. Chọn C. 2 2 Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):(x - 1) + (y + 2) = 4 . Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn (C ) thành đường tròn (C ') có phương trình là: 2 2 2 2 A. (x + 1) + (y - 2) = 4. B. (x - 1) + (y + 2) = 4. 2 2 2 2 C. (x - 1) + (y - 2) = 4. D. (x + 1) + (y + 2) = 4. Lời giải. Đường tròn (C ) có tâm I (1;- 2) và bán kính R = 2. Đ Đ Ta có I (1;- 2)¾ ¾Ox ® I '(1;2) và R = 2 ¾ ¾Ox ® R ' = R = 2. 2 2 Do đó (C ') có phương trình (x - 1) + (y - 2) = 4. Chọn C. ïì x ' = x ïì x = x ' Cách 2. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là íï Þ íï . Thay vào (C ), îï y ' = - y îï y = - y ' 2 2 2 2 ta được (x '- 1) + (- y '+ 2) = 4 hay (x '- 1) + (y '- 2) = 4. 2 2 Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):(x + 1) + (y - 4) = 1 và đường thẳng d có phương trình y - x = 0. Phép đối xứng trục d biến đường tròn (C ) thành đường tròn (C ') có phương trình là: 2 2 2 2 A. (x + 1) + (y - 4) = 1. B. (x - 4) + (y + 1) = 1. 2 2 2 2 C. (x + 4) + (y - 1) = 1. D. (x + 4) + (y + 1) = 1. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
13. Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục d : y - x = 0 (đường phân giác góc ïì x ' = y 2 2 phần tư thứ nhất) là íï . Thay vào (C ), ta được (y '+ 1) + (x '- 4) = 1 hay îï y ' = x 2 2 (x - 4) + (y + 1) = 1. Chọn B. 2 2 Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C ):(x - 1) + (y - 2) = 4 và 2 (C ¢):(x - 3) + y2 = 4. Viết phương trình trục đối xứng của (C ) và (C ¢). A. y = x + 1. B. y = x - 1. C. y = - x + 1. D. y = - x - 1. Lời giải. Trục đối xứng của hai đường tròn là trung trực của đoạn nối hai tâm đường tròn. Viết ra được phương trình trục đối xứng là x - y - 1 = 0 hay y = x - 1 . Chọn B. Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y2 = x . Hỏi parabol nào trong các parabol sau là ảnh của (P) qua phép đối xứng trục tung? A. y2 = x. B. y2 = - x. C. x 2 = - y. D. x 2 = y. ïì x = - x ' Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung là íï . Thay vào (P), ta được îï y = y ' y '2 = - x '. Chọn B. Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 - 2x + 3. Phép đối xứng trục Ox biến parabol (P) thành parabol (P ¢) có phương trình là: A. y = x 2 - 2x - 3. B. y = x 2 + 2x - 3. C. y = - x 2 + 2x - 3. D. y = - x 2 + 4x - 3. ïì x = x ' Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là íï . Thay vào (P), ta được îï y = - y ' - y ' = x '2 - 2x '+ 3 hay y ' = - x '2 + 2x '- 3. Chọn C. Câu 44. Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B thuộc cạnh Ox ( B khác O ). Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất? A. C là hình chiếu của A trên Oy. B. C là hình chiếu của B trên Oy. C. C là hình chiếu trung điểm I của AB trên Oy. D. C là giao điểm của BA'; A' đối xứng với A qua Oy. Lời giải. Gọi M là điểm đối xứng với A qua Ox. Vì B Î Ox nên suy ra BA = BM. Gọi N là điểm đối xứng với A qua Oy Vì C Î Oy nên suy ra CA = CN. Chu vi tam giác: PDABC = AB + BC + CA = BM + BC + CN. (*) Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có M MB + BC ³ MC và MC + CN ³ MN. x Kết hợp với (*), suy ra A B PDABC = (MB + BC )+ CN ³ MC + CN ³ MN. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi B, C, M , N thẳng hàng hay C là giao điểm của BM với trục Oy . O C y Chọn D. N Câu 45. Cho tam giác ABC có A là góc nhọn và các đường cao là AA¢, BB¢, CC ¢. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và H ¢ là điểm đối xứng của H qua BC. Tứ giác nào sau đây là tứ giác nội tiếp ? Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
14. A. AC ¢H ¢C. B. ABH ¢C. C. AB¢H ¢B. D. BHCH ¢. Lời giải. Vì H ¢ đối xứng với H qua BC suy ra B·HC = B·H ¢C. · · Mặt khác BHC = B¢HC ¢ (hai góc đối đỉnh). A Suy ra B·H 'C = B·¢HC ¢. (1) B' ì ¢ C' H ï BB ^ AC · · 0 Ta có íï Þ AC ¢H = AB¢H = 90 îï CC ¢^ AB B C A' Þ tứ giác AB¢HC ¢ là tứ giác nội tiếp. Suy ra B·¢AC ¢+ B·¢HC ¢= 1800. (2) H' Từ (1) và (2), suy ra B·H ¢C + B·AC = 1800. Vậy tứ giác ABH ¢C là tứ giác nội tiếp. Chọn B. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất