Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm (Phần 1)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm (Phần 1)

1. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM TẬP 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 2 Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 8 Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức 8 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 11 Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn 24 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 25 Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân 27 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 29 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP 33 CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm tại một điểm 1
2. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Hàm số y f (x) liên tục trên (a;b) , được gọi là có đạo hàm tại x0 (a;b) nếu giới hạn f (x) f (x ) sau tồn tại (hữu hạn): lim 0 và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm x x0 x x0 của hàm số tại điểm x0 .Ta kí hiệu f '(x0 ) . f (x) f (x0 ) Vậy f '(x0 ) lim x x0 x x0 2. Đạo hàm bên trái, bên phải f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) f '(x0 ) lim . f '(x0 ) lim . x x x x 0 x x0 0 x x0 Hệ quả : Hàm f (x) có đạo hàm tại x0  f (x0 ) và f '(x0 ) đồng thời f '(x0 ) f '(x0 ) . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) . Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b ) và đạo hàm phải f '(a ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0 . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn: Xét hàm f (x) x liên tục tại x 0 nhưng không liên tục tại điểm đó. f (x) f (0) f (x) f (0) Vì lim 1 , còn lim 1 . x 0 x x 0 x Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp: f (x) f (x0 ) f '(x0 ) lim x x0 x x0 f (x) f (x0 ) f '(x0 ) lim x x 0 x x0 f (x) f (x0 ) f '(x0 ) lim x x 0 x x0 Hàm số y f (x) có đạo hàm tại điểm x x0 f '(x0 ) f '(x0 ) 2
3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Hàm số y f (x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: x3 x2 1 1 3 khi x 0 1. f (x) 2x 1 tại x 2 3. f (x) x tại x 0 0 khi x 0 2. f (x) x2 1 tại x 1 Lời giải: f (x) f (2) 2x3 16 1. Ta có lim lim lim 2(x2 2x 4) 24 f '(2) 24 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f (x) f (1) x2 1 2 2. Ta có : f '(1) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) 1 lim . x 1 (x 1)( x2 1 2) 2 f (x) f (0) x3 x2 1 1 x 1 1 3. Ta có f (0) 0 , do đó: lim lim 2 lim x 0 x x 0 x x 0 x3 x2 1 1 2 1 Vậy f '(0) . 2 2x2 x 1 Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f (x) liên tục tại x 1 nhưng không có x 1 đạo hàm tại điểm đó. Lời giải: Vì hàm f (x) xác định tại x 1 nên nó liên tục tại đó. f (x) f ( 1) 2x Ta có: f '( 1 ) lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x) f ( 1) f '( 1 ) lim lim 2 2 x 1 x 1 x 1 f '( 1 ) f '( 1 ) f (x) không có đạo hàm tại x 1. x2 1 khi x 1 Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại x 1 a khi x 1 3
4. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết f (x) phải liên tục tại x 1 x2 1 Hay lim f (x) lim 2 f (1) a . x 1 x 1 x 1 x2 1 f (x) f (1) 2 Khi đó, ta có: lim lim x 1 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy a 2 là giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra Câu 1. f (x) 2x 1 tại x0 1 A.2 B.3C.4D.5 Lời giải: Ta có: f '(x0 ) 2 x 1 Câu 2. f (x) tại x 2 x 1 0 A. 2 B.2C.3D.4 Lời giải: f '(x0 ) 2 2 Câu 3. f (x) x x 1 tại điểm x0 2 5 8 A. 2 B. C. D. 41 2 7 3 Lời giải: x2 x 1 7 (x 2)(x 3) 5 f '(2) lim lim x 2 x 2 x 2 (x 2)( x2 x 1 7) 2 7 Câu 4. f (x) sin2 x tại x 2 A. 0 B.1 C.2 D.3 Lời giải: f '( ) 0 2 4
5. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x3 2x2 x 1 1 khi x 1 Câu 5. f (x) x 1 tại điểm x0 1 . 0 khi x 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 5 2 4 Lời giải: f (x) f (1) x3 2x2 x 1 1 x 1 . lim lim 2 lim x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 x3 2x2 x 1 1 2 1 Vậy f '(1) . 2 Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra Câu 1. f (x) sin 2x tại x 0 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Ta có: f (x) f ( ) sin 2x sin 2cos x sin x 2 2 2 f (x) f ( ) cos x .sin x 2 2 lim 2 2lim 2 x x 2 x 2 x 2 2 Vậy f ' 1. 2 Câu 2. f (x) tan x tại x 4 A. 2 B. 4 C. 5 D. 31 Lời giải: Ta có f (x) f tan x tan 1 tan x .tan x 4 4 4 5
6. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. f (x) f ( ) (1 tan x)tan x 4 Suy ra lim 4 lim 2 x x 4 x 4 x 4 4 Vậy f ' 2 . 4 1 x2 sin khi x 0 Câu 3. f (x) x tại x 0 . 0 khi x 0 1 2 A. 0 B. C. D.7 2 3 Lời giải: f (x) f (0) 1 Ta có: lim lim xsin 0 x 0 x x 0 x Vậy f '(0) 0 . Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra 3 Câu 1. f (x) x tại x0 1 A. 4 B. 3 C. 5 D.6 Lời giải: Ta có: f (x) f (1) x3 1 (x 1)(x2 x 1) f (x) f (1) Suy ra: lim lim x2 x 1 3 x 1 x 1 x 1 Vậy f '(1) 3 . 2x 3 khi x 1 3 2 Câu 2. f (x) x 2x 7x 4 tại x0 1 . khi x 1 x 1 A. 0 B. 4 C. 5 D. Đáp án khác Lời giải: Ta có lim f (x) lim 2x 3 5 x 1 x 1 x3 2x2 7x 4 lim f (x) lim lim(x2 3x 4) 0 x 1 x 1 x 1 x 1 6
7. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Dẫn tới lim f (x) lim f (x) hàm số không liên tục tại x 1 nên hàm số không có đạo x 1 x 1 hàm tại x0 1 . sin2 x khi x 0 Câu 3. f (x) x tại x0 0 2 x x khi x 0 A.1 B.2 C.3 D.5 Lời giải: sin2 x sin x Ta có lim f (x) lim lim .sin x 0 x 0 x 0 x x 0 x lim f (x) lim x x2 0 nên hàm số liên tục tại x 0 x 0 x 0 f (x) f (0) sin2 x lim lim 1 và 2 x 0 x x 0 x f (x) f (0) x x2 lim lim 1 x 0 x x 0 x Vậy f '(0) 1. x2 x 1 Câu 4. f (x) tại x 1. x 0 A.2 B.0 C.3 D.đáp án khác Lời giải: Ta có hàm số liên tục tại x0 1 và 2 f (x) f ( 1) x x x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) x2 2x 1 Nên lim lim 0 x 1 x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) x2 1 lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) f (x) f ( 1) Do đó lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1. Nhận xét: Hàm số y f (x) có đạo hàm tại x x0 thì phải liên tục tại điểm đó. Bài 4 7
8. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x2 x khi x 1 Câu 1. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm tại x 1. ax b khi x 1 a 23 a 3 a 33 a 3 A. B. C. D. b 1 b 11 b 31 b 1 Lời giải: Ta có: lim f (x) lim(x2 x) 2 ; lim f (x) lim(ax b) a b x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm có đạo hàm tại x 1 thì hàm liên tục tại x 1 a b 2 (1) f (x) f (1) x2 x 2 lim lim lim(x 2) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x) f (1) ax b 2 ax a lim lim lim a (Do b 2 a ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a 3 Hàm có đạo hàm tại x 1 . b 1 x2 1 khi x 0 Câu 2. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm trên ¡ . 2 2x ax b khi x 0 A. a 10,b 11 B. a 0,b 1 C. a 0,b 1 D. a 20,b 1 Lời giải: Ta thấy với x 0 thì f (x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡ khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x 0 . Ta có: lim f (x) 1; lim f (x) b f (x) liên tục tại x 0 b 1 . x 0 x 0 f (x) f (0) f (x) f (0) Khi đó: f '(0 ) lim 0; f '(0 ) lim a x 0 x x 0 x f '(0 ) f '(0 ) a 0 . Vậy a 0,b 1 là những giá trị cần tìm. x2 1 khi x 0 Câu 3. Tìm a,b để hàm số f (x) x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 A. a 11,b 11 B. a 10,b 10 C. a 12,b 12 D. a 1,b 1 Lời giải: Ta có lim f (x) 1 f (0); lim f (x) b x 0 x 0 Hàm số liên tục tại x 0 b 1 8
9. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. f (x) f (0) x 1 f (x) f (0) lim lim 1, lim lim a a x 0 x x 0 x 1 x 0 x x 0 Hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 a 1 Vậy a 1,b 1 là giá trị cần tìm. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Quy tắc tính đạo hàm 1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số ' ' ' (u1 u2 un )' u1 u2 un (k.u(x))' k.u'(x) (uvw)' u'vw uv'w uvw' (un (x))' nun 1(x).u'(x) ' u(x) u'(x)v(x) v'(x)u(x) c c.u'(x) ' . v(x) v2 (x) u(x) u2 (x) 1.2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f (u(x)) f (u) vớiu u(x) . Khi đó y'x y'u .u'x . 2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Đạo hàm Hàm hợp (c)' 0 (x)' 1 (x )' x 1 u ' u 1.u' 1 u' x ' u ' 2 x 2 u n 1 x ' n u' n n 1 u ' n x nn un 1 (sin x)' cos x (sinu)' u'.cosu (cos x)' sin x (cosu)' u'sinu 1 (tan x)' u' 2 tanu ' cos x cos2 u 1 (cot x)' u' 2 cotu ' sin x sin2 u Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức 9
10. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y x3 3x2 2x 1 2. y x3 3x 1 x4 3 3. y x2 1 4. y 2x4 x2 1 4 2 2x 1 x2 2x 2 5. y 6. y x 3 x 1 Lời giải: ' 1. Ta có: y' x3 3x 1 3x2 6x 2 ' 2. Ta có: y' x3 3x 1 3x2 3 ' x4 3. Ta có: y' x2 1 x3 2x 4 ' 4 3 2 3 4. Ta có: y' 2x x 1 8x 3x 2 (2x 1)'(x 3) (x 3)'(2x 1) 7 5. Ta có: y' (x 3)2 (x 3)2 (x2 2x 2)'(x 1) (x2 2x 2)(x 1)' 6. Ta có: y' (x 1)2 (2x 2)(x 1) (x2 2x 2) x2 2x 4 2 2 . (x 1) x 1 ax b ad bc Nhận xét: Với hàm số y ta có: y' . cx d (cx d)2 Ví dụ 2. Giải bất phương trình f '(x) 0 biết: 1. f (x) x 4 x2 2. f (x) x 2 x2 12 3. f (x) x2 x 1 x2 x 1 4. f (x) 4 x2 1 x Lời giải: 1. TXĐ: D 2; 2 x2 4 2x2 Ta có: f '(x) 4 x2 4 x2 4 x2 10
11. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Do đó: f '(x) 0 4 2x2 0 2 x 2 . 2. TXĐ: D ¡ 2x x2 12 2x Ta có: f '(x) 1 x2 12 x2 12 Suy ra: f '(x) 0 x2 12 2x (1) Với x 0 thì (1) luôn đúng x 0 Với x 0 thì (1) 2 2 0 x 2 x 12 4x Vậy bất phương trình f '(x) 0 có nghiệm x 2 . 3. TXĐ: D ¡ 2x 1 2x 1 Ta có: f '(x) 2 x2 x 1 2 x2 x 1 Suy ra f '(x) 0 1 2x x2 x 1 1 2x x2 x 1 (1 2x)(1 2x) 0 2 2 2 1 3 2 1 3 (1 2x) x 1 2x x 2 4 2 4 1 1 x 2 2 x 0 . 2 2 (1 2x) (1 2x) 4. TXĐ: D 0; x 1 Ta có: f '(x) . 2 4 (x2 1)3 2 x f '(x) 0 x x 4 (x2 1)3 x6 (x2 1)3 x2 x2 1 bất phương trình này vô nghiệm Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y 2x2 3x 1 2. y 5 2x2 1 3x 2 3. y 2sin2 (2x 1) cos x 4. y tan(sin2 3x) cot2 (1 2x3 ) 3 5. y 3 sin(tan x) cos(cot x) 11
12. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: (2x2 3x 1)' 4x 3 1. Ta có: y' . 2 2x2 3x 1 2 2x2 3x 1 1 2. Ta có y' ( 2x2 1 3x 2)' 5.5 ( 2x2 1 3x 2)4 1 2x ( 3) . 2 5.5 ( 2x2 1 3x 2)4 2x 1 1 2sin(4x 2) sin x (2sin2 (2x 1) cos x)' 3. Ta có: y' 2 x 2 2sin2 (2x 1) cos x 2 2sin2 (2x 1) cos x 4 x sin(4x 2) sin x . 4 2xsin2 (2x 1) xcos x [cot2 (1 2x3 ) 3]' 4. Ta có: y' [1 tan2 (sin2 3x)](sin2 3x)' 2 cot2 (1 2x3 ) 3 6x2[1 cot2 (1 2x3 )]cot(1 2x3 ) 3[1 tan2 (sin2 3x)]sin 6x . cot2 (1 2x3 ) 3 [sin(tan x) cos(cot x)]' 5. Ta có: y' 3 [sin(tan x) cos(cot x)]2 (1 tan2 x)cos(tan x) (1 cot2 x)sin(cot x) . 3 [sin(tan x) cos(cot x)]2 Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau : x2 3x 1 khi x 1 1. f (x) 2. 2x 2 khi x 1 1 x2 cos khi x 0 f (x) 2x 0 khi x 0 Lời giải: 1. Với x 1 f (x) x2 3x 1 f '(x) 2x 3 Với x 1 f (x) 2x 2 f '(x) 2 12
13. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Với x 1 ta có: lim f (x) lim x2 3x 1 1 f (1) hàm số không liên tục tại x 1, x 1 x 1 suy ra hàm số không có đạo hàm tại x 1 2x 3 khi x 1 Vậy f '(x) . 2 khi x 1 1 1 1 1 2. Với x 0 f (x) x2 cos f '(x) 2xcos cos 2x 2x 2 2x f (x) f (0) 1 Với x 0 ta có: lim lim xcos 0 f '(0) 0 x 0 x x 0 2x 1 1 2x cos khi x 0 Vậy f '(x) 2 2x . 0 khi x 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y x4 3x2 2x 1 A. y' 4x3 6x 3 B. y' 4x4 6x 2 C. y' 4x3 3x 2 D. y' 4x3 6x 2 Lời giải: Ta có: y' 4x3 6x 2 x3 Câu 2. y 2x2 x 1 3 1 A. y' 2x2 4x 1 B. y' 3x2 4x 1 C. y' x2 4x 1 D. y' x2 4x 1 3 Lời giải: Ta có y' x2 4x 1 2x 1 Câu 3. y x 2 3 3 3 2 A. 2 B. C. 2 D. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Lời giải: 13
14. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. (2x 1)'(x 2) (x 2)'(2x 1) 3 Ta có y' (x 2)2 (x 2)2 x2 x 1 Câu 4. y x 1 x2 2x x2 2x x2 2x 2x 2 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải: (2x 1)(x 1) (x2 x 1) x2 2x Ta có y' (x 1)2 (x 1)2 ax b Câu 5. y , ac 0 cx d a ad bc ad bc ad bc A. B. 2 C. 2 D. c cx d cx d cx d Lời giải: a b ad cb c d Ta có y' (cx d)2 (cx d)2 ax2 bx c Câu 6. y , aa' 0 . a' x b' aa' x2 2ab' x bb' a'c aa' x2 2ab' x bb' a'c A. B. (a' x b') (a' x b')2 aa' x2 2ab' x bb' a'c aa' x2 2ab' x bb' a'c C. D. (a' x b')2 (a' x b')2 Lời giải: (2ax b)(a' x b') a'(ax2 bx c) Ta có: y' (a' x b')2 aa' x2 2ab' x bb' a'c . (a' x b')2 Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau 14
15. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 1. y x x2 1 2x2 1 x2 1 4x2 1 2x2 1 A. B. C. D. 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 Lời giải: (x2 1)' Ta có: y' x' x2 1 x2 1 ' x x2 1 .x 2 2 x 1 x2 2x2 1 x2 1 . x2 1 x2 1 3 Câu 2. y (2x 5)2 12 12 6 12 A. 4 B. 3 C. 3 D. 3 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5 Lời giải: ' 2 3 (2x 5) 12(2x 5) 12 Ta có: y' (2x 5)4 (2x 5)4 (2x 5)3 2 2x x2 Câu 3. y x2 1 2x2 6x 2 2x2 6x 2 2x2 6x 2 2x2 6x 2 A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 Lời giải: (2x 2)(x2 1) 2x(x2 2x 2) 2x2 6x 2 Ta có y' (x2 1)2 (x2 1)2 Câu 4. y 3x 2 tan x 5 2 tan2 x 5 2 tan2 x 5 2 tan2 x 5 2 tan2 x A. B. C. D. 2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x Lời giải: (3x 2 tan x)' 3 2(1 tan2 x) 5 2 tan2 x Ta có: y' 2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x 15
16. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 5. y sin2 (3x 1) A. 3sin(6x 2) B. sin(6x 2) C. 3sin(6x 2) D. 3cos(6x 2) Lời giải: ' Ta có: y' 2sin(3x 1). sin(3x 1) 2sin(3x 1).3cos(3x 1) 3sin(6x 2) . Câu 6. y (x 1) x2 x 1 . 4x2 5x 3 4x2 5x 3 4x2 5x 3 4x2 5x 3 A. B. C. D. 2 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 Lời giải: 2x 1 4x2 5x 3 Ta có y' x2 x 1 (x 1) 2 x2 x 1 2 x2 x 1 Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 Câu 1. y x7 x A. y' (x7 x)(7x6 1) B. y' 2(x7 x) C. y' 2(7x6 1) D. y' 2(x7 x)(7x6 1) Lời giải: .Đáp án D Câu 2. y x2 1 5 3x2 A. y' x3 4x B. y' x3 4x C. y' 12x3 4x D. y' 12x3 4x Lời giải: . Ta có: Đáp án D 2x Câu 3. y x2 1 2x2 2 2x2 343 2x2 2 2x2 2 A. B. C. D. (x2 1)2 (x2 1)2 (x2 1)2 (x2 1)2 Lời giải: 2(x2 1) 2x.2x 2x2 2 y' (x2 1)2 (x2 1)2 16
17. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 4. y x2 2x 1 5x 3 A. y' 40x2 3x2 6x B. y' 40x3 3x2 6x C. y' 40x3 3x2 6x D. y' 40x3 3x2 x Lời giải: y 10x4 x3 3x2 y' 40x3 3x2 6x 3 5 Câu 5. y 4x x2 2 2 10 5 10 5 A. y' 3 4 4x B. y' 3 4 4x x3 x2 x3 x2 2 2 5 10 5 C. y' 4x D. y' 3 4 4x x2 x3 x2 Lời giải: 2 10 5 y' 3 4 4x x3 x2 Câu 6. y (x 2)3 (x 3)2 A. y' 3(x2 5x 6)3 2(x 3)(x 2)3 B. y' 2(x2 5x 6)2 3(x 3)(x 2)3 C. y' 3(x2 5x 6) 2(x 3)(x 2) D. y' 3(x2 5x 6)2 2(x 3)(x 2)3 Lời giải: y' 3(x2 5x 6)2 2(x 3)(x 2)3 Câu 7. y x3 3x2 2 3x2 6x 3x2 6x 3x2 6x A. y' B. y' C. y' D. x3 3x2 2 2 x3 3x2 2 2 x3 3x2 2 3x2 6x y' 2 x3 3x2 2 Lời giải: 3x2 6x y' 2 x3 3x2 2 17
18. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 8. y x2 x x 1 x x A. y' 2x x 1 B. y' 2x x 1 2 x 1 2 x 1 x x C. y' D. y' 2x x 1 2 x 1 2 x 1 Lời giải: x y' 2x x 1 2 x 1 x Câu 9. y a2 x2 a2 a2 2a2 a2 A. y' B. y' C. y' D. y' (a2 x2 )3 (a2 x2 )3 (a2 x2 )3 (a2 x2 )3 Lời giải: x2 a2 x2 2 2 a2 a x y' 2 2 (a x ) (a2 x2 )3 1 Câu 10. y x x 3 1 1 1 3 1 A. y' B. y' C. y' D. y' 2 x2 x x2 x x2 x 2 x2 x Lời giải: (x x)' 3 1 y' x3 2 x2 x 1 x Câu 11. y 1 x 1 3x 1 3x 1 1 3x A. y' B. y' C. y' D. (1 x)3 3 (1 x)3 3 2 (1 x)3 1 3x y' 2 (1 x)3 Lời giải: 18
19. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 x 1 x 1 3x y' 2 1 x 1 x 2 (1 x)3 Câu 12. y sin2 3x A. y' sin 6x B. y' 3sin 3x C. y' 2sin 6x D. y' 3sin 6x Lời giải: y' 3sin 6x Câu 13. y 3tan2 x cot 2x 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) A. y' B. y' 3 3tan2 x cot 2x 2 3tan2 x cot 2x 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) C. y' D. y' 3tan2 x cot 2x 3tan2 x cot 2x Lời giải: 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) y' 3tan2 x cot 2x Câu 14. y 3 x3 cos4 (2x ) 3 3x2 8cos3 (2x )sin(2x ) 3x2 8cos3 (2x )sin(2x ) A. y' 4 4 B. y' 4 4 3 3 3 4 3 4 3 3 x cos (2x ) 4 3 x cos (2x ) 3 3 6x2 8cos3 (2x )sin(2x ) 3x2 8cos3 (2x )sin(2x ) C. y' 4 4 D. y' 4 4 3 3 3 4 3 4 3 3 x cos (2x ) 3 3 x cos (2x ) 3 3 Lời giải: 3x2 8cos3 (2x )sin(2x ) y' 4 4 3 3 4 3 3 x cos (2x ) 3 19
20. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 15. y 2sin x2 2 A. y' xcos(x2 2) B. y' 4cos(x2 2) C. y' 2xcos(x2 2) D. y' 4xcos(x2 2) Lời giải: y' 4xcos(x2 2) Câu 16. y cos2 sin3 x A. y' sin(2sin3 x)sin2 xcos x B. y' 6sin(2sin3 x)sin2 xcos x C. y' 7 sin(2sin3 x)sin2 xcos x D. y' 3sin(2sin3 x)sin2 xcos x Lời giải: y' 3sin(2sin3 x)sin2 xcos x x Câu 17. y sin x sin x cos x sin x xcos x sin x cos x A. y' B. y' C. y' D. sin2 x sin x sin x sin x xcos x y' sin2 x Lời giải: sin x xcos x y' sin2 x cos x 4 Câu 18. y cot x 3sin3 x 3 A. y' cot3 x 1 B. y' 3cot4 x 1 C. y' cot4 x 1 D. y' cot4 x Lời giải: 1 4 1 y cot x(1 cot2 x) cot x cot3 x cot x 3 3 3 2 2 2 4 Suy ra y' cot x(1 cot x) 1 cot x cot x 1 1 x3 sin khi x 0 Câu 19. f (x) x 0 khi x 0 20
21. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 1 1 1 x2 sin xcos khi x 0 3x2 sin xcos khi x 0 A. f '(x) x x B. f '(x) x x 0 khi x 0 0 khi x 0 1 1 1 1 3x2 sin xcos khi x 0 3x2 sin cos khi x 0 C. f '(x) x x D. f '(x) x x 0 khi x 0 0 khi x 0 Lời giải: 1 1 x 0 f '(x) 3x2 sin xcos x x f (x) f (0) x 0 f '(0) lim 0 Với x 0 x 1 1 3x2 sin xcos khi x 0 Vậy f '(x) x x . 0 khi x 0 f ' 1 x Bài 4. Tính . Biết rằng : f (x) x2 và (x) 4x sin . ' 0 2 f '(1) 4 f '(1) 2 f '(1) 4 f '(1) 4 A. B. C. D. '(0) 8 '(0) 8 '(0) '(0) 8 Lời giải: x . f '(x) 2x f '(1) 2; '(x) 4 cos '(0) 4 2 2 2 f '(1) 4 Suy ra '(0) 8 . Bài 6. Tìm m để các hàm số Câu 1. y (m 1)x3 3(m 2)x2 6(m 2)x 1 có y' 0, x ¡ A. m 3 B. m 1 C. m 4 D. m 4 2 Lời giải: 2 . Ta có: y' 3 (m 1)x 2(m 2)x 2(m 2) Do đó y' 0 (m 1)x2 2(m 2)x 2(m 2) 0 (1) m 1 thì (1) 6x 6 0 x 1 nên m 1 (loại) a m 1 0 m 1 thì (1) đúng với x ¡ ' 0 21
22. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. m 1 m 4 (m 1)(4 m) 0 Vậy m 4 là những giá trị cần tìm. mx3 Câu 2. y mx2 (3m 1)x 1 có y' 0, x ¡ . 3 A. m 2 B. m 2 C. m 0 D. m 0 Lời giải: Ta có: y' mx2 2mx 3m 1 Nên y' 0 mx2 2mx 3m 1 0 (2) m 0 thì (1) trở thành: 1 0 đúng với x ¡ a m 0 m 0 , khi đó (1) đúng với x ¡ ' 0 m 0 m 0 m 0 m(1 2m) 0 1 2m 0 Vậy m 0 là những giá trị cần tìm. Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1 x2 sin khi x 0 Câu 1. f (x) x 0 khi x 0 1 1 1 1 xsin cos khi x 0 xsin xcos khi x 0 A. f '(x) x x B. f '(x) x x 0 khi x 0 0 khi x 0 1 1 1 1 2xsin xcos khi x 0 2xsin cos khi x 0 C. f '(x) x x D. f '(x) x x 0 khi x 0 0 khi x 0 Lời giải: 1 1 Với x 0 ta có: f '(x) 2xsin cos x x f (x) f (0) 1 Tại x 0 ta có: lim lim xsin 0 x 0 x x 0 x 22
23. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 1 2xsin cos khi x 0 Vậy f '(x) x x . 0 khi x 0 x2 x 1 khi x 1 Câu 2. f (x) x 1 3 khi x 1 2x khi x 1 2x 1 khi x 1 A. f '(x) 1 B. f '(x) 1 khi x 1 khi x 1 2 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1 C. f '(x) 1 D. f '(x) 1 khi x 1 khi x 1 x 1 2 x 1 Lời giải: Với x 1 ta có: f '(x) 2x 1 1 Với x 1 ta có: f '(x) 2 x 1 Tại x 1 ta có: f (x) f (1) x2 x 2 lim lim 3 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x) f (1) x 1 lim lim suy ra hàm số không có đạo x 1 x 1 x 1 x 1 hàm tại x 1 2x 1 khi x 1 Vậy f '(x) 1 . khi x 1 2 x 1 Bài 8. Tìm a,b để các hàm số sau có đạo hàm trên ¡ x2 x 1 khi x 1 Câu 1. . f (x) 2 x ax b khi x 1 a 13 a 3 a 23 a 3 A. B. C. D. b 1 b 11 b 21 b 1 Lời giải: 23
24. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Với x 1 thì hàm số luôn có đạo hàm Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡ hàm số có đạo hàm tại x 1. Ta có lim f (x) 1; lim f (x) a b 1 x 1 x 1 Hàm số liên tục trên ¡ a b 1 1 a b 2 f (x) f (1) Khi đó: lim 1; x 1 x 1 f (x) f (1) x2 ax 1 a lim lim a 2 x 1 x 1 x 1 x 1 a b 2 a 3 Nên hàm số có đạo hàm trên ¡ thì . a 2 1 b 1 x2 x 1 khi x 0 Câu 2. f (x) x 1 . 2 x ax b khi x 0 A. a 0,b 11 B. a 10,b 11 C. a 20,b 21 D. a 0,b 1 Lời giải: . Tương tự như ý 1. ĐS: a 0,b 1. Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y (x3 2x)3 A. y' (x3 2x)2 (3x2 2) B. y' 2(x3 2x)2 (3x2 2) C. y' 3(x3 2x)2 (3x2 2) D. y' 3(x3 2x)2 (3x2 2) Lời giải: ' Ta có: y' 3(x3 2x)2 x3 2x 3(x3 2x)2 (3x2 2) Câu 2. y (x2 1)(3x3 2x) A. y' x4 3x2 2 B. y' 5x4 3x2 2 C. y' 15x4 3x2 D. y' 15x4 3x2 2 Lời giải: Ta có: y' 2x(3x3 2x) (x2 1)(9x2 2) 15x4 3x2 2 2 2 Câu 3. y x 3x2 24
25. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2 4 2 4 A. y' x 1 B. y' 2 x 1 3x2 3x3 3x2 3x3 2 4 2 4 C. y' x 1 D. y' 2 x 1 3x2 3x3 3x2 3x3 Lời giải: 2 4 Ta có: y' 2 x 1 3x2 3x3 Câu 4. y 2sin3 2x tan2 3x xcos 4x A. y' 12sin2 2xcos 2x 6 tan 3x 1 2 tan2 3x cos 4x 4xsin 4x B. y' 12sin2 2xcos 2x 6 tan 3x 1 tan2 3x cos 4x xsin 4x C. y' 12sin2 2xcos 2x tan 3x 1 tan2 3x cos 4x 4xsin 4x D. y' 12sin2 2xcos 2x 6 tan 3x 1 tan2 3x cos 4x 4xsin 4x Lời giải: Ta có: y' 12sin2 2xcos 2x 6 tan 3x 1 tan2 3x cos 4x 4xsin 4x sin 2x x Câu 5. y x cos 3x 2xcos 2x sin 2x cos 3x 3xsin 3x A. y' B. x2 cos2 3x 2xcos 2x sin 2x cos 3x 3xsin 3x y' C. x2 cos2 3x 2xcos 2x sin 2x cos 3x 3xsin 3x y' D. x2 cos2 3x 2xcos 2x sin 2x cos 3x 3xsin 3x y' x2 cos2 3x Lời giải: ' ' sin 2x 2xcos 2x sin 2x x cos 3x 3xsin 3x Ta có: , x x2 cos 3x cos2 3x 2xcos 2x sin 2x cos 3x 3xsin 3x Nên y' . x2 cos2 3x 25
26. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 6. y xsin 2x x3 x2 1 3x2 2x 3x2 2x A. y' sin 2x 2xcos 2x B. y' sin 2x 2xcos 2x 2 x3 x2 1 x3 x2 1 3x2 2x 3x2 2x C. y' sin 2x 2xcos 2x D. y' sin 2x 2xcos 2x 2 x3 x2 1 2 x3 x2 1 Lời giải: 3x2 2x Ta có: y' sin 2x 2xcos 2x 2 x3 x2 1 Câu 7. y 2sin2 x x3 1 2sin 2x 3x2 A. y' B. 2sin2 x x3 1 2sin 2x 3x2 y' 2 2sin2 x x3 1 sin 2x 3x2 C. y' D. 2sin2 x x3 1 2sin 2x 3x2 y' 2 2sin2 x x3 1 Lời giải: 2sin 2x 3x2 Ta có: y' 2 2sin2 x x3 1 Câu 8. y x2 1 2x 1 x 2 x2 1 x x2 1 A. y' B. y' (x2 1) x2 1 2x 1 (x2 1) x2 1 2x 1 x x2 1 x 2 x2 1 C. y' D. y' 2 (x2 1) x2 1 2x 1 2 (x2 1) x2 1 2x 1 Lời giải: 26
27. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x 2 2 x 2 x2 1 Ta có: y' x 1 . 2 x2 1 2x 1 2 (x2 1) x2 1 2x 1 x 1 Câu 9. y x tan 2x cot x A. y' tan 2x 2x 1 tan2 2x tan x (x 1)(tan2 1) B. y' tan 2x x 1 tan2 2x tan x (x 1)(tan2 1) C. y' tan 2x 2x 1 tan2 2x tan x 2(x 1)(tan2 1) D. y' tan 2x 2x 1 tan2 2x tan x (x 1)(tan2 1) Lời giải: ' Ta có: x tan 2x tan 2x 2x 1 tan2 2x ' x 1 ' 2 (x 1)tan x tan x (x 1)(tan 1) cot x Nên y' tan 2x 2x 1 tan2 2x tan x (x 1)(tan2 1) 3 Câu 10. y sin 2x 1 3 2 2 3sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 3 3 3 3 A. y' B. y' 3 3 2 sin 2x 1 2 sin 2x 1 3 3 2 2 sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x 3 3 3 3 C. y' D. y' 3 3 sin 2x 1 sin 2x 1 3 3 Lời giải: 27
28. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2 3sin 2x cos 2x 3 3 Ta có: y' . 3 sin 2x 1 3 Bài 10. Giải bất phương trình : Câu 1. f '(x) 0 với f (x) 2x3 3x2 1 x 0 A. B. x 1 C. x 0 D. 0 x 1 x 1 Lời giải: TXĐ: D ¡ 2 x 0 Ta có: f '(x) 6x 6x , suy ra f '(x) 0 x 1 Câu 2. f '(x) 0 với f (x) 2x4 4x2 1 1 x 0 A. B. 1 x 0 x 1 C. x 1 D. x 0 Lời giải: TXĐ: D ¡ 3 1 x 0 Ta có: f '(x) 8x 8x , suy ra f '(x) 0 x 1 Câu 3. 2xf '(x) f (x) 0 với f (x) x x2 1 1 1 1 2 A. x B. x C. x D. x 3 3 3 3 Lời giải: TXĐ: D ¡ x f (x) Ta có: f '(x) 1 x2 1 x2 1 Mặt khác: f (x) x x2 x x 0, x ¡ 2xf (x) Nên 2xf '(x) f (x) 0 f (x) 0 x2 1 28
29. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x 0 1 2 2x x 1 2 x . 3x 1 3 Câu 4. f '(x) 0 với f (x) x 4 x2 . A. 2 x 2 B. x 2 C. 2 x D. x 0 Lời giải: TXĐ: D 2; 2 x Ta có: f '(x) 1 f '(x) 0 4 x2 x 4 x2 2 x 0 2 x 0 x 0 2 x 2 . 2 2 0 x 2 4 x x Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn f (x) f (x0 ) Từ định nghĩa đạo hàm f '(x0 ) lim ,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm x x0 x x0 giới hạn của hàm số. Cụ thể g(x) Để tính A lim , biết g(x0 ) 0 . x x0 x x0 Ta viết g(x) f (x) f (x0 ) . Khi đó nếu f (x) có đạo hàm tại x0 thì : f (x) f (x0 ) A lim f '(x0 ). x x0 x x0 F(x) Để tính: B lim , biết F(x ) G(x ) 0 . x x 0 0 0 G(x) Ta viết F(x) f (x) f (x0 ) vàG(x) g(x) g(x0 ) . Nếu hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm tại x x0 và g'(x0 ) 0 thì: f (x) f (x0 ) x x f '(x ) B lim 0 0 . x x0 g(x) g(x0 ) g'(x0 ) x x0 Các ví dụ Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau : 29
30. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3 1 x 1 3 2x 1 3x 2 1. A lim 2. B lim x 0 x x 1 x2 1 n 1 3x 1 3 1 x2 4 1 2x 3. C lim 4. D lim x 0 x x 0 x x2 Lời giải: 1 1. Đặt f (x) 3 1 x f '(x) và f (0) 1 3 3 (1 x)2 f (x) f (0) 1 A lim f '(0) . x 0 x 0 3 2. Đặt f (x) 3 2x 1 3x 2 2 3 f '(x) và f (1) 0 . 3.3 (2x 1)2 2 3x 2 1 f (x) f (0) 1 f (x) f (0) 1 2 3 5 B lim . lim .lim . f '(1) . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 2 9 f (x) f (0) 3 3. Đặt f (x) n 1 3x C lim f '(0) . x 0 x n 2x 1 4. Đặt f (x) 3 1 x2 4 1 2x f '(x) 3.3 (1 x2 )2 2.4 (1 2x)3 1 f (x) f (0) 1 D lim .lim f '(0) . x 0 x 1 x 0 x 2 1 2x2 3 1 3x2 Ví dụ 2. Tính giới hạn sau : A lim x 0 1 cos x Lời giải: 1 2x2 3 1 3x2 2 f (x) Ta có: A lim x lim . x 0 x x 0 x 2sin2 2sin2 2 2 x2 x2 2 x x 2sin2 sin 1 1 Mà lim 2 lim 2 . x 0 x2 2 x 0 x 2 2 1 2t 3 1 3t Đặt t x2 lim f (x) lim 0 . x 0 t 0 t 30
31. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Vậy A 0 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm các giới hạn sau (1 3x)3 (1 4x)4 Câu 1. A lim x 0 x A.25 B.26 C.27 D.28 Lời giải: Xét hàm số f (x) (1 3x)3 (1 4x)4 A f '(0) 25 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 Câu 2. B lim x 0 x A.6 B.4 C.3 D.2 Lời giải: Xét hàm số f (x) (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 B f '(0) 6 n 1 ax 1 Câu 3.C lim (m,n ¥ ; a.b 0) x 0 m 1 bx 1 a m m a ma A.C B.C C.C D.C b n n b nb Lời giải: Xét hai hàm số f (x) n 1 ax 1, g(x) m 1 bx 1 f '(0) ma Suy ra C . g'(0) nb 2x 1 x Câu 4. D lim x 1 x2 1 A.0 B.1 C.2 D.3 Lời giải: 1 Xét hàm số f (x) 2x 1 x D lim . f '(1) 0 x 1 x 1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau 31
32. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3 2x 1 1 Câu 1. A lim x 1 1 2 x2 2 3 A. B.1 C.2 D. 3 2 Lời giải: 2 2 Đặt f (x) 3 2x 1 1 f '(x) f '(1) 3.3 (2x 1)2 3 x và g(x) 1 2 x2 g'(x) g'(1) 1. 2 x2 f (x) f (1) f (x) f (x) f (1) f '(1) 2 Khi đó: A lim lim lim x 1 . x 1 g(x) x 1 g(x) g(1) x 1 g(x) g(1) g'(1) 3 x 1 2x 1 3 x2 1 Câu 2. B lim x 0 sin x A.1 B.2 C.3 D.4 Lời giải: 1 2x Đặt f (x) 2x 1 3 x2 1 f '(x) . 2x 1 3.3 (x2 1)2 f '(0) 1. Và g(x) sin x g'(x) cos x g'(0) 1 . f (x) f (0) f (x) f '(0) Khi đó: B lim lim x 1. x 0 g(x) x 0 g(x) g(0) g'(0) x 3 26x3 1 4 80x4 1 Câu 3. C lim x 1 x 1 4 4 A. B.1 C.2 D. 27 27 Lời giải: 1 1 Đặt g(x) x 1 g'(x) g'(1) và 2 x 2 32
33. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 26 80x3 f (x) 3 26x3 1 4 80x4 1 f '(x) 3 (26x3 1)2 4 (80x4 1)3 2 f '(1) . 27 f (x) f (1) f (x) f '(1) 4 Khi đó:C lim lim x 1 . x 1 g(x) x 0 g(x) g(1) g'(1) 27 x 1 3 4 2x x2 3 4 2x x2 Câu 4. E lim x 0 2 x 2 x 3 4. 2 3 4. 2 3 4 A. B. C. D.1 3 3 3 Lời giải: Xét hai hàm số f (x) 3 4 2x x2 3 4 2x x2 g(x) 2 x 2 x f '(0) 3 4. 2 Ta có: E . g'(0) 3 Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân Phương pháp: Vi phân của hàm số Tích f '(x0 ). x được gọi là vi phân của hàm số y f (x) tại điểm x0 (ứng với số gia x ) được kí hiệu là df (x0 ) f '(x0 ) x . Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '(x) x được gọi là vi phân hàm số y f (x), kí hiệu là: df (x) f '(x) x . Đặc biệt: dx x' x x nên ta viết df (x) f '(x)dx . Đạo hàm cấp n Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' ( f ')' . Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với n ¥ ,n 2 ) là f (n 1) . Nếu f (n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f (n) , tức là: 33
34. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. f (n) ( f (n 1) )' . Các ví dụ 3x 1 Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau: y x 2 Lời giải: 7 7.2 7.2.3 Ta có: y' , y'' , y''' (x 2)2 (x 2)3 (x 2)4 ( 1)n .7.n! Bằng quy nạp ta chứng minh: y(n) (2) (x 2)n 1 Với n 1 ta thấy (2) đúng ( 1)k .7.k! Giả sử (2) đúng với n k , tức là: y(k) (x 2)k 1 ' ( 1)k .7.k! ( 1)k .7.k!.(k 1) (k 1) Ta có: y k 1 k 2 (x 2) (x 2) ( 1)k 1.7.(k 1)! (x 2)k 2 Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n . Ví dụ 2. Cho đa thức f (x) x3 5x2 1. Viết f (x) dưới dạng lũy thừa của x 2 Lời giải: f (3) (2) f '' (2) f '(2) Ta có: f (x) (x 2)3 (x 2)2 (x 2) f (2) 3! 2! 1! Mà f '(x) 3x2 10x, f ''(x) 6x 10, f '''(x) 6 Nên f (x) (x 2)3 (x 2)2 8(x 2) 11 . Ví dụ 3. Tìm vi phân của của hàm số: 1. y x4 2x 1 2. y (x3 2)(x 1) 2x2 6x 5 3. y 4. y sin 3xcos 5x 2x 4 5. y 4x2 tan x Lời giải: 1. Ta có dy (x4 2x 1)'dx (4x3 2)dx 2. Ta có y x4 x3 2x 1 dy (4x3 3x2 2)dx 34
35. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. (4x 6)(2x 4) 2(2x2 6x 5) 4x2 16x 34 3. Ta có y' (2x 4)2 (2x 4)2 4x2 16x 34 Suy ra dy dx . (2x 4)2 1 1 4. Ta có y sin 8x sin 2x dy 4cos8x cos 2x dx 2 2 8x 1 tan2 x 8x 1 tan2 x 5. Ta có: y' dy dx 2 4x2 tan x 2 4x2 tan x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y sin 2x Câu 1. Tính y'' A. y'' sin 2x B. y'' 4sin x C. y'' sin 2x D. y'' 4sin 2x Lời giải: Ta có y' 2cos 2x y'' 4sin 2x Câu 2. Tính y'''( ) , y(4) ( ) 3 4 A. 4 và 16 B. 5 và 17C. 6 và 18 D. 7 và 19 Lời giải: Ta có y''' 8cos 2x, y(4) 16sin 2x 2 Suy ra y'''( ) 8cos 4; y(4) ( ) 16sin 16 . 3 3 4 2 Câu 3. Tính y(n) A. y(n) 2n sin(2x n ) B. y(n) 2n sin(2x ) 3 2 C. y(n) 2n sin(x ) D. y(n) 2n sin(2x n ) 2 2 Lời giải: Ta có y' 2sin(2x ), y'' 22 sin(2x 2 ), y''' 23 sin(2x 3 ) 2 2 2 Bằng quy nạp ta chứng minh y(n) 2n sin(2x n ) 2 35
36. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Với n 1 y' 21 sin(2x ) đúng 2 Giả sử y(k) 2k sin(2x k ) , 2 (k 1) (k) k 1 k 1 suy ra y y ' 2 cos(2x k ) 2 sin 2x (k 1) 2 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Bài 2. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau 2x 1 Câu 1. y x 2 (1)n 1.3.n! ( 1)n 1.n! A. y(n) B. y(n) (x 2)n 1 (x 2)n 1 ( 1)n 1.3.n! ( 1)n 1.3.n! C. y(n) D. y(n) (x 2)n 1 (x 2)n 1 Lời giải: ' 2 3 3 (x 2) 3.2 Ta có y' , y'' (x 2)2 (x 2)4 (x 2)3 3.2.3 ( 1)n 1.3.n! y''' . Ta chứng minh y(n) (x 2)4 (x 2)n 1 ( 1)0 .3 3 Với n 1 y' đúng (x 2)2 (x 2)2 ( 1)k 1.3.k! Giả sử y(k) (x 2)k 1 ( 1)k 1.3.k!. (x 2)k 1 ' k (k 1) (k) ( 1) .3.(k 1)! y y ' (x 2)2k 2 (x 2)k 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 1 Câu 2. y ,a 0 ax b (2)n .an .n! ( 1)n .an .n! ( 1)n .n! ( 1)n .an .n! A. y(n) B. y(n) C. y(n) D. y(n) (ax b)n 1 (x 1)n 1 (ax b)n 1 (ax b)n 1 Lời giải: 36
37. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. a a2 .2 a3 .2.3 Ta có y' , y'' , y''' (ax b)2 (ax b)3 (ax b)4 ( 1)n .an .n! Ta chứng minh: y(n) (ax b)n 1 ( 1)1.a1.1! a Với n 1 y' đúng (ax b)2 (ax b)2 ( 1)k .ak .k! Giả sử y(k) (ax b)k 1 ( 1)k .ak .k!. (ax b)k 1 ' k 1 k 1 (k 1) (k) ( 1) .a .(k 1)! y y ' (ax b)2k 2 (x 2)k 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 2x 1 Câu 3. y x2 5x 6 (2)n .7.n! (1)n .5.n! ( 1)n 1.7.n! ( 1)n 1.5.n! A. y(n) B. y(n) (x 2)n 1 (x 3)n 1 (x 2)n 1 (x 3)n 1 ( 1)n .7.n! ( 1)n .5.n! ( 1)n .7.n! ( 1)n .5.n! C. y(n) D. y(n) (x 2)n (x 3)n (x 2)n 1 (x 3)n 1 Lời giải: Ta có: 2x 1 7(x 2) 5(x 3) ; x2 5x 6 (x 2)(x 3) 7 5 Suy ra y . x 3 x 2 (n) (n) 1 ( 1)n .1n.n! ( 1)n .n! 1 ( 1)n .n! Mà , x 2 (x 2)n 1 (x 2)n 1 x 2 (x 3)n 1 ( 1)n .7.n! ( 1)n .5.n! Nên y(n) . (x 2)n 1 (x 3)n 1 Câu 4. y cos 2x (n) n (n) n A. y 1 cos 2x n B. y 2 cos 2x 2 2 (n) n 1 (n) n C. y 2 cos 2x n D. y 2 cos 2x n 2 2 Lời giải: 37
38. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2 Ta có y' 2cos 2x , y'' 2 cos 2x 2 , 2 2 3 y''' 2 cos 2x 3 . 2 (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos 2x n . 2 Câu 5. y 2x 1 ( 1)n 1.3.5 (3n 1) ( 1)n 1.3.5 (2n 1) A. y(n) B. y(n) (2x 1)2n 1 (2x 1)2n 1 ( 1)n 1.3.5 (2n 1) ( 1)n 1.3.5 (2n 1) C. y(n) D. y(n) (2x 1)2n 1 (2x 1)2n 1 Lời giải: 1 1 3 Ta có y' , y'' , y''' 2x 1 (2x 1)3 (2x 1)5 ( 1)n 1.3.5 (2n 1) Bằng quy nạp ta chứng minh được: y(n) (2x 1)2n 1 2x 1 Câu 6. y x2 3x 2 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! A. y(n) B. y(n) (x 2)n 1 (x 1)n 1 (x 2)n 1 (x 1)n 1 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! C. y(n) : D. y(n) (x 2)n 1 (x 1)n 1 (x 2)n 1 (x 1)n 1 Lời giải: 5 3 Ta có: y x 2 x 1 5.( 1)n .n! 3.( 1)n .n! Bằng quy nạp ta chứng minh được: y(n) . (x 2)n 1 (x 1)n 1 Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau Câu 1. y x3 2x2 A. dy (3x2 4x)dx B. dy (3x2 x)dx C. dy (3x2 2x)dx D. dy (3x2 4x)dx 38
39. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: dy (3x2 4x)dx Câu 2. y 3x 2 3 1 1 3 A. dy dx B. dy dx C. dy dx D. dy dx 3x 2 2 3x 2 3x 2 2 3x 2 Lời giải: 3 dy dx 2 3x 2 Câu 3. y sin 2x sin3 x A. dy cos 2x 3sin2 xcos x dx B. dy 2cos 2x 3sin2 xcos x dx C. dy 2cos 2x sin2 xcos x dx D. dy cos 2x sin2 xcos x dx Lời giải: dy 2cos 2x 3sin2 xcos x dx Câu 4. y tan 2x A. dy (1 tan2 2x)dx B. dy (1 tan2 2x)dx C. dy 2(1 tan2 2x)dx D. dy 2(1 tan2 2x)dx Lời giải: dy 2(1 tan2 2x)dx Câu 5. y 3 x 1 1 3 2 A. dy dx B. dy dx C. dy dx D. 3 (x 1)2 3 (x 1)2 3 (x 1)2 1 dy dx 3 3 (x 1)2 Lời giải: 1 dy dx 3 3 (x 1)2 Câu 6. y (3x 1)10 A. dy 10(3x 1)9 dx B. dy 30(3x 1)10 dx C. dy 9(3x 1)10 dx D. dy 30(3x 1)9 dx 39
40. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: dy 30(3x 1)9 dx . Bài 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau x Câu 1. y x2 5x 6 ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! A. y(n) B. y(n) (x 3)n 1 (x 2)n 1 (x 3)n (x 2)n ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! C. y(n) D. y(n) (x 3)n 1 (x 2)n 1 (x 3)n 1 (x 2)n 1 Lời giải: Ta có: x 3(x 2) 2(x 3) ; x2 5x 6 (x 2)(x 3) 3 2 Suy ra y . x 3 x 2 (n) (n) 1 ( 1)n .1n.n! ( 1)n .n! 1 ( 1)n .n! Mà , x 2 (x 2)n 1 (x 2)n 1 x 3 (x )n 1 ( 1)n .3.n! ( 1)n .2.n! Nên ta có: y(n) . (x 3)n 1 (x 2)n 1 Câu 2. y cos 2x (n) n 1 (n) n 1 A. y 2 cos 2x n B. y 2 cos 2x n 2 2 (n) n C. y 2 cos 2x D. 2 (n) n y 2 cos 2x n 2 Lời giải: Ta có : 2 3 y' 2cos 2x , y'' 2 cos 2x 2 , y''' 2 cos 2x 3 . 2 2 2 (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos 2x n . 2 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 40
41. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 5 2 4 3 3 2 Câu 1: y x x x x 4x 5 2 3 2 1 8 5 2 A. y' x4 x3 3x2 3x 4. B. y' x4 x3 3x2 3x 4. 2 3 2 3 5 8 5 8 C. y' x4 x3 x2 3x 4. D. y' x4 x3 3x2 3x 4. 2 3 2 3 Lời giải: / / / / / 1 5 2 4 3 3 2 1 5 2 4 3 3 2 / / y' x x x x 4x 5 y' x x x x 4x 5 2 3 2 2 3 2 5 8 y' x4 x3 3x2 3x 4. 2 3 1 1 Câu 2: y x x2 0,5x4 4 3 1 1 1 A. y' x 2x3 . B. y' 2x x3 . C. y' x 2x3 . D. 3 3 3 1 y' 2x 2x3 . 3 Lời giải: / / 1 1 2 4 y x x 0,5x 4 3 / / / / / 1 1 2 4 y x x 0,5x 4 3 1 y' 2x 2x3 . 3 1 Câu 3: y 2x4 x3 2 x 5 3 1 1 1 A. y' 8x3 x2 . B. y' 8x3 x2 . C. y' 2x3 x2 . D. x x x 1 y' 8x3 x2 . x Lời giải: 41
42. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / / / / 4 1 3 4 1 3 / 3 2 1 y' 2x x 2 x 5 y' 2x x 2 x 5 y' 8x x . 3 3 x x4 x3 1 Câu 4: y x2 x a (a là hằng số) 4 3 2 1 1 A. y' x3 x2 x 1 B. y' 4x3 x2 x 1 C. y' x3 x2 x 1 D. 3 4 y' x3 x2 x 1 Lời giải: / x4 x3 1 y' x2 x a y' x3 x2 x 1 . 4 3 2 3 2 Câu 5: y x x x x2 3 6 1 6 1 6 1 6 1 A. x. B. x. C. x. D. x. x3 2 x x3 x x3 x x3 2 x Lời giải: / 3 2 / / 2 / y' x x x y' 3.x 2 x x x 2 x 3 3 1 2 / 6 1 2 1 y' 3. 2 .x 3 x/ . x x .x y' x .x 3 2 x 3 x 2 x 3 2 x 6 1 2 x 6 1 y' x x. 3 3 x 2 x 3 2 x 2 x 1 Câu 6: y 2x4 x3 2 x 5 3 1 1 1 A. y' 2x3 x2 . B. y' x3 x2 . C. y' 8x3 3x2 . D. x x x 1 y' 8x3 x2 . x Lời giải: / / / / 4 1 3 4 1 3 / 3 2 1 y' 2x x 2 x 5 y' 2x x 2 x 5 y' 8x x . 3 3 x Câu 7: y x5 4x3 2x 3 x 42
43. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3 3 A. y' 4x4 12x 2 . B. y' 5x4 12x 2 . 2 x 2 x 3 C. y' 5x4 4x 2 . D. 2 x 3 y' 5x4 12x2 2 . 2 x Lời giải: / / / / y' x5 4x3 2x 3 x y' x5 4 x3 2.x/ 3 x 3 y' 5x4 12x 2 . 2 x Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau; Câu a). y x2 3x 2 x . A. 3x2 x 6. B. 3x2 2x 6. C. 3x2 2x. D. 3x2 2x 6. Lời giải: / / / y' x2 3x 2 x x2 3x . 2 x x2 3x . 2 x 2x 3 2 x x2 3x 1 3x2 2x 6. Câu b). y 2x 3 x5 2x A.12x5 15x4 8x 6. B.12x5 5x4 8x 6. C. 12x5 15x4 x 6. D.12x5 x4 x 6. Lời giải: / / / 5 5 5 y' 2x 3 x 2x 2x 3 x 2x x 2x 2x 3 2 x5 2x 5x4 2 2x 3 12x5 15x4 8x 6. Câu c). y x2 1 5 3x2 A. 12x3 4x. B.12x3 4x. C. 6x3 4x. D. 12x3 x. Lời giải: / / / 2 2 2 2 2 2 y' x 1 5 3x x 1 5 3x 5 3x x 1 2x 5 3x2 6x x2 1 10x 6x3 6x3 6x 12x3 4x. 43
44. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu d). y x 2x 1 3x 2 2x2 x 3x 2 A.18x2 2x B.18x2 x 2. C. 8x2 2x 2. D.18x2 2x 2. Lời giải: / / / 2 2 2 y' 2x x 3x 2 2x x 3x 2 3x 2 . 2x x 4x 1 3x 2 3 2x2 x 18x2 2x 2. Câu e). y x2 2x 3 2x2 3 A.12x3 4x2 4x 6. B. 2x3 4x2 24x 6. C.12x3 x2 24x 6. D. 12x3 4x2 24x 6. Lời giải: / / / 2 2 2 2 2 2 y' x 2x 3 2x 3 x 2x 3 2x 3 2x 3 x 2x 3 4x 2 2x2 3 4x x2 2x 3 12x3 4x2 24x 6. Câu f) y x2 x x x 5 x 5x x 5x x A. . B. . C. . D. . 2 2 3 2 Lời giải: / / / 1 1 5x x y' x2 x x2 . x x .x2 2x. x .x2 2x x x x . 2 x 2 2 2x 1 Câu g) y 4x 3 2 2 2 2 A. 2 . B. 2 . C. . D. 2 . 4x 3 x 3 4x 3 4x 3 Lời giải: / / / 2x 1 2x 1 4x 3 4x 3 2x 1 2 4x 3 4 2x 1 2 y' 2 2 2 . 4x 3 4x 3 4x 3 4x 3 2x 10 Câu h) y 4x 3 44
45. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 46 4 46 46 A. 2 B. 2 C. D. 2 4x 3 4x 3 4x 3 4x 3 Lời giải: / 2x 10 y' 4x 3 / / 2x 10 . 4x 3 4x 3 . 2x 10 2 4x 3 4 2x 10 46 2 2 2 4x 3 4x 3 4x 3 3 Câu k). y 2x 1 6 16 26 36 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 Lời giải: / / 1 2x 1 6 y' 3. 3. 2 2 . 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 Câu l). y 1 3x 15 5 25 5 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x Lời giải: / 2x 1 y' 1 3x / / 2x 1 1 3x 1 3x 2x 1 2 1 3x 3 2x 1 5 y' 2 2 2 . 1 3x 1 3x 1 3x 1 x x2 Câu m). y 1 x x2 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 A. 2 B. 2 1 x x2 1 x x2 45
46. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 2x 1 x x2 2x 1 x x2 C. 2 D. 1 x x2 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 2 1 x x2 Lời giải: / / / 2 2 2 2 1 x x2 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x y' 2 2 1 x x 1 x x2 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 2 1 x x2 x2 3x 3 Câu n). y x 1 x2 x x2 2x x2 2 x2 2x A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải: / 2 / 2 2 x 3x 3 x 1 x 1 x 3x 3 2x 3 x 1 x 3x 3 x2 2x y' 2 2 2 . x 1 x 1 x 1 2x2 4x 1 Câu o). y x 3 2x2 2x 11 2x2 x 11 x2 12x 11 2x2 12x 11 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . x 3 x 3 x 3 x 3 Lời giải: / / 2x2 4x 1 x 3 x 3 2x2 4x 1 y' 2 x 3 2 4x 4 x 3 2x 4x 1 2x2 12x 11 2 2 . x 3 x 3 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 46
47. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2 Câu a). y x7 x . A. x7 x 7x6 1 B. 2 7x6 1 C. 2 x7 x x6 1 D. 2 x7 x 7x6 1 Lời giải: / Sử dụng công thức u .u 1.u' (với u x7 x ) / y' 2 x7 x . x7 x 2 x7 x 7x6 1 2 Câu b). y 2x3 3x2 6x 1 . A. 2 2x3 x2 6x 1 6x2 6x 6 . B. 2 2x3 3x2 x 1 x2 6x 6 . C. 2 2x3 3x2 6x 1 x2 6x 6 . D. 2 2x3 3x2 6x 1 6x2 6x 6 . Lời giải: / Sử dụng công thức u với u 2x3 3x2 6x 1 / y' 2 2x3 3x2 6x 1 2x3 3x2 6x 1 2 2x3 3x2 6x 1 6x2 6x 6 . 3 Câu c). y 1 2x2 . 2 2 2 2 A.12x 1 2x2 . B. 12x 1 2x2 . C. 24x 1 2x2 . D. 24x 1 2x2 . Lời giải: / Sử dụng công thức u với u 1 2x2 2 / 2 2 y' 3 1 2x2 1 2x2 3 1 2x2 4x 12x 1 2x2 . 32 Câu d). y x x2 . 31 31 31 A. x x2 . 1 2x B. 32 x x2 C. 32 1 x2 D. 31 32 x x2 . 1 2x Lời giải: / Sử dụng công thức u với u x x2 47
48. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 31 / 31 y' 32 x x2 . x x2 32 x x2 . 1 2x 4 Câu e). y x2 x 1 . 3 3 3 A. 4 x2 x 1 . B. x2 x 1 . 2x 1 C. x2 x 1 . 3 D. 4 x2 x 1 . 2x 1 Lời giải: / Sử dụng công thức u với u x2 x 1 3 / 3 y' 4 x2 x 1 . x2 x 1 4 x2 x 1 . 2x 1 3 2 Câu f). y x2 x 1 . x2 x 1 2 2 2 2 A. y' x x 1 3 2x 1 x x 1 2 2x 1 x x 1 2 2 2 2 2 B. y' x x 1 x x 1 3 2x 1 x x 1 x x 1 2 2 2 2 2 C. y' x x 1 x x 1 3 2x 1 x x 1 2 2x 1 x x 1 2 2 2 2 2 D. y' x x 1 x x 1 3 2x 1 x x 1 2 2x 1 x x 1 Lời giải: Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân. / / 3 2 2 3 y' x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 . / Sau đó sử dụng công thức u 2 / / 3 y' 3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 2 3 y' 3 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 2 2 2 2 2 y' x x 1 x x 1 3 2x 1 x x 1 2 2x 1 x x 1 . 3 2x 1 Câu g) y x 1 2 2 2 2 3 2x 1 2x 1 2x 1 3 2x 1 A. 4 . B. 4 . C. 4 . D. 4 . x 1 x 1 x 1 x 1 48
49. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: / 2x 1 Bước đầu tiên sử dụng u , với u x 1 2 / 2 2 2x 1 2x 1 2x 1 1 3 2x 1 y' 3. . 3. . 2 4 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Câu h). y 5 x2 x 1 5 2x 1 5 2x 1 2x 1 2x 1 A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 Lời giải: / 5 1 2 Đầu tiên sử dụng công thức với u x x 1 u / 5 2 4 / x x 1 5 x2 x 1 . x2 x 1 5 2x 1 y' 2 10 6 5 2 2 x2 x 1 x x 1 x x 1 2 x2 3 x3 Câu k). y 1 x x2 5x4 6x2 x 1 x x2 1 2x 2 x2 3 x3 A. y' 2 1 x x2 5x4 6x2 x 1 x x2 1 2x 2 x2 3 x3 B. y' 2 1 x x2 5x4 x2 x 1 x x2 1 x 2 x2 3 x3 C. y' 2 1 x x2 5x4 6x2 6x 1 x x2 1 2x 2 x2 3 x3 D. y' 2 1 x x2 Lời giải: 49
50. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / u Đầu tiên sử dụng v / / 2 x2 3 x3 . 1 x x2 1 x x2 2 x2 3 x3 y' 2 1 x x2 / / / 2 3 2 3 3 2 Tính 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 2x 3 x3 3x2 2 x2 5x4 6x2 6x. 5x4 6x2 6x 1 x x2 1 2x 2 x2 3 x3 Vậy y' 2 1 x x2 Câu l). y 1 2x 2 3x2 3 4x3 A. y' 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 B. y' 4 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 C. y' 2 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 D. y' 2 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 Lời giải: / / / y' 1 2x 2 3x2 3 4x3 1 2x 2 3x2 3 4x3 1 2x 2 3x2 3 4x3 y' 2 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 . Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau Câu a). y x2 x x 1 3 x x x 3 x A. x . B. 2x . C. x . D. 2x . 2 2 2 2 Lời giải: / /. / 1 3 x y' x2 x x 1/ 2x x'. x x .x 2x x .x 2x . 2 x 2 Câu b). y 1 2x x2 . x 1 1 x 1 x A. B. C. D. 1 2x x2 1 2x x2 1 x x2 1 2x x2 50
51. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: / Sử dụng công thức u với u 1 2x x2 / 2 1 2x x 1 x y' . 1 2x x2 1 2x x2 Câu c). y x2 1 1 x2 1 x x 1 1 1 A. . B. . C. . D. x2 1 1 x2 x2 1 1 x2 x2 1 1 x2 x x . x2 1 1 x2 Lời giải: / / 2 2 / / x 1 1 x x x y' x2 1 1 x2 . 2 2 2 2 2 x 1 2 1 x x 1 1 x x2 1 Câu d). y . x 1 1 1 3 1 A. 1 2 B. C. 1 2 D. x2 1 x x2 1 x2 1 x 2 2 x x x 1 1 1 2 x2 1 x 2 x Lời giải: / x2 1 Sử dụng công thức u với u x / 1 x2 1 1 1 y' . 1 2 x2 1 x x2 1 x 2 2 x x 1 x Câu e). y . 1 x 51
52. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 x 1 1 x 1 A. y' 2 . B. y' 2 . 2 2 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 C. y' . D. y' 2 . 2 2 1 x x 1 x 1 x x 1 x Lời giải: / 1 x Đầu tiên sử dụng công thức u với u 1 x / 1 x 1 x y' 2 . 1 x 1 x / / / 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Tính 2 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 1 x x 1 x 1 x 1 Vậy y' 2 . . 2 1 x x 1 x 1 Câu f). y x 1 x 1 1 1 A. . B. x 1 2 x 1 x 1 1 1 . 2 x 1 2 x 1 1 1 C. . D. x 1 x 1 x 1 1 1 . 2 x 1 2 x 1 x 1 Lời giải: 52
53. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / / / 1 1 x 1 1 1 y' x 1 . 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 5 1 Câu g). y x . x 4 4 1 1 1 1 1 1 A. 5 x B. 5 x x 2 x 2 x.x x x x.x 4 4 1 1 1 1 1 1 C. x D. 5 x x 2 x 2 x.x x 2 x 2 x.x Lời giải: / 1 Bước đầu tiên sử dụng u với u x x / 4 / 4 1 1 1 1 x y' 5 x . x 5 x . 2 x x x 2 x x 4 1 1 1 5 x x 2 x 2 x.x 1 x Câu h). y . 1 x x 3 x 3 3 x A. . B. . C. . D. . 2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x Lời giải: / / / u 1 x 1 x 1 x 1 x Sử dụng được: y' 2 v 1 x / 1 x 1 x . 1 x 2 1 x 1 x 3 x 2 1 x . 1 x 2 1 x. 1 x 2 1 x 1 x Câu i) y x x x . 53
54. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 1 1 A. . 1 . 1 . B. 2 x x x 2 x x 2 x 1 1 1 . 1 . 1 . x x x x x x 1 1 1 C. . 1 . 1 . D. x x x 2 x x 2 x 1 1 1 . 1 . 1 . 2 x x x 2 x x 2 x Lời giải: Đầu tiên áp dụng u với u x x x / 1 1 1 / y' x x x 1 . x x 2 x x x 2 x x x 2 x x 1 1 1 . 1 . 1 . 2 x x x 2 x x 2 x 4x 1 Câu k). y (áp dụng u chia v đạo hàm) x2 2 x x 8 x 8 x 8 A. B. C. D. x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 3 x2 2 x2 2 x2 2 Lời giải: / 2 / x 2 / 2 4x 1 x2 2 x2 2 . 4x 1 4. x 2 . 4x 1 2 y' 2 x 2 2 2 2 x 2 x 2 2 x 4 x 2 4x 1 2 2 4 x 2 x 4x 1 x 8 x 2 2 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 x3 Câu l). y (Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm). x 1 54
55. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 x3 3x2 A. y' . 2 . B. x3 x 1 2 x 1 1 2x3 x2 y' . 2 . x3 x 1 2 x 1 1 2x3 3x2 C. y' . 2 . D. x3 x 1 x 1 1 2x3 3x2 y' . 2 . x3 x 1 2 x 1 Lời giải: / 1 x3 y' . x3 x 1 2 x 1 / / / 3 3 2 3 x3 x x 1 x 1 .x 3x x 1 x 2x3 3x2 Ta có: 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2x3 3x2 Vậy y' . 2 . x3 x 1 2 x 1 3 Câu m). y x 2 . x 2 x 2 3 x 2 3 x 2 A. . B. . C. . D. . 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 Lời giải: / 3 Đầu tiên áp dụng u với u x 2 / 1 3 1 2 3 x 2 y' . x 2 .3. x 2 . 3 3 2 x 2 2 x 2 2 x 2 55
56. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3 Câu n) y 1 1 2x . 2 2 2 6 1 1 2x 1 1 2x 1 1 2x A. . B. . C. . D. 1 2x 2 1 2x 1 2x 2 6 1 1 2x . 2 1 2x Lời giải: / Bước đầu tiên áp dụng u với u 1 1 2x 2 / 2 / 2 1 2x 6 1 1 2x y' 3 1 1 2x . 1 1 2x 3 1 1 2x . . 2 1 2x 2 1 2x Bài 5. Tính đạo hàm các hàm số sau: Câu a). y xcos x . A. cos x sin x. B. xsin x. C. xsin x. D. cos x xsin x.  Lời giải: Ta áp dụng đạo hàm tích. / y' x'cos x x. cos x cos x xsin x. 3 sin x Câu b) y . 1 cos x sin2 x 3sin2 x 2sin2 x 3sin2 x A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x Lời giải: / sin x Bước đầu tiên ta áp dụng công thức u với u 1 cos x 2 / sin x sin y' 3 . 1 cos x 1 cos x / / / 2 sin x sin x 1 cos x 1 cos x .sin x cos x 1 cos x sin x Tính : 2 2 1 cos x 1 cos x 1 cos x 56
57. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. cos x cos2 x sin2 x 1 2 . 1 cos x 1 cos x 2 sin x 1 3sin2 x Vậy y' 3 . 3 . 1 cos x 1 cos x 1 cos x Câu c). y sin3 2x 1 . A. sin2 2x 1 cos 2x 1 . B.12sin2 2x 1 cos 2x 1 . C. 3sin2 2x 1 cos 2x 1 . D. 6sin2 2x 1 cos 2x 1 . Lời giải: / Bước đầu tiên áp dung công thức u với u sin 2x 1 / / Vậy y' sin3 2x 1 3sin2 2x 1 . sin 2x 1 . / / Tính sin 2x 1 : Áp dụng sinu , với u 2x 1 / / Ta được: sin 2x 1 cos 2x 1 . 2x 1 2cos 2x 1 . y' 3.sin2 2x 1 .2cos 2x 1 6sin2 2x 1 cos 2x 1 . Câu d). y sin 2 x2 . 1 1 A. cos 2 x2 . B. .cos 2 x2 . C. .cos 2 x2 . 2 x2 2 x D. .cos 2 x2 . 2 x2 Lời giải: / Áp dụng công thức sinu với u 2 x2 / 2 / 2 x x y' cos 2 x2 . 2 x2 cos 2 x2 . .cos 2 x2 . 2 2 2 2 x 2 x Câu e). y sin x 2x . cos x 2 cos x 2 2 cos x A. . B. . C. . D. . 2 sin x 2x sin x 2x 2 sin x 2x 2 sin x 2x 57
58. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: / Áp dụng u , với u sin x 2x / sin x 2x cos x 2 y' . 2 sin x 2x 2 sin x 2x Câu f). y 2sin2 4x 3cos3 5x . 45 5 A. y' sin 8x cos 5x.sin10x B. y' 8sin 8x cos 5x.sin10x 2 2 45 45 C. y' 8sin x cos 5x.sin10x D. y' 8sin 8x cos 5x.sin10x 2 2 Lời giải: / Bước đầu tiên áp dụng u v / / y' 2sin2 4x 3 cos3 5x / / Tính sin2 4x : Áp dụng u , với u sin 4x, ta được: / / / sin2 4x 2sin 4x. sin 4x 2sin 4x.cos 4x 4x 4sin 8x. / / / Tương tự: cos3 5x 3cos2 5x. cos 5x 3cos2 5x. sin 5x . 5x 15 15cos2 5x.sin 5x cos 5x.sin10x. 2 45 Kết luận: y' 8sin 8x cos 5x.sin10x 2 3 Câu h). y 2 sin2 2x . 3 2 A. y' 6sin 4x 2 sin2 2x . B. y' 3sin 4x 2 sin2 2x . 2 2 C. y' sin 4x 2 sin2 2x . D. y' 6sin 4x 2 sin2 2x . Lời giải: / Áp dụng u , với u 2 sin2 2x. 58
59. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2 / 2 / y' 3 2 sin2 2x 2 sin2 2x 3 2 sin2 2x sin2 2x . / / Tính sin2 2x , áp dụng u , với u sin 2x. / / / sin2 2x 2.sin 2x sin 2x 2.sin 2x.cos 2x 2x 2sin 4x. 2 y' 6sin 4x 2 sin2 2x . Câu i). y sin cos2 x.tan2 x . A. y' cos cos2 x.tan2 x sin 2x tan2 x 2 tan x B. y' cos cos2 x.tan2 x sin 2x tan2 x tan x C. y' cos cos2 x.tan2 x sin 2x tan2 x tan x D. y' cos cos2 x.tan2 x sin 2x tan2 x 2 tan x Lời giải: / Áp dụng sinu , với u cos2 x tan2 x / y' cos cos2 x.tan2 x . cos2 x.tan2 x . / / / Tính cos2 x.tan2 x , bước đầu sử dụng u.v , sau đó sử dụng u . / / / cos2 x.tan2 x cos2 x .tan2 x tan2 x .cos2 x / / 2cos x cos x tan2 x 2 tan x tan x cos2 x 1 2sin xcos x tan2 x 2 tan x cos2 x sin 2x tan2 x 2 tan x. cos2 x Vậy y' cos cos2 x.tan2 x sin 2x tan2 x 2 tan x x 1 2 Câu j). y cos . x 1 1 x 1 1 x 1 A. y' .sin . B. y' .cos 2. . 2 2 x x 1 x 1 x x 1 x 1 59
60. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 x 1 1 x 1 C. y' .sin 2. . D. y' .sin 2. . 2 2 x x 1 x 1 x x 1 x 1 Lời giải: / x 1 Áp dụng u , với u cos x 1 / / x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y' 2.cos . cos 2.cos .sin . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 / x 1 x 1 y' sin 2 . . x 1 x 1 / / / x 1 x 1 . x 1 x 1 . x 1 1 Tính . 2 2 x 1 x 1 x x 1 1 x 1 Vậy y' .sin 2. . 2 x x 1 x 1 sin 2x cos 2x Câu k). y . 2sin 2x cos 2x 6 6 6 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 2sin 2x cos x 6 2 2sin 2x cos 2x Lời giải: / / sin 2x cos 2x . 2sin 2x cos 2x 2sin 2x cos 2x . sin 2x cos 2x y' 2 2sin 2x cos 2x 2cos 2x 2sin 2x 2sin 2x cos 2x 4cos 2x 2sin 2x sin 2x cos 2x y' 2 2sin 2x cos 2x 6cos2 2x 6sin2 2x 6 y' 2 2 . 2sin 2x cos 2x 2sin 2x cos 2x 60
61. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 1 Câu l). y . cos2 x sin2 x cos 2x sin 2x sin x 2cos 2x 2sin 2x A. . B. . C. . D. . cos2 2x cos2 2x sin2 2x cos2 2x Lời giải: / 1 Áp dụng . u / / cos 2x sin 2x. 2x 2sin 2x y' 2 2 2 . cos 2x cos 2x cos 2x Câu m). y sin x.cos 2x . 5 4 5 5 A. cos 2x . B. cos 2x . C. 4 cos 2x . D. 2 cos 2x . Lời giải: / : Áp dụng u.v / / / y' sin x .cos 2x cos 2x .sin x cos x.cos 2x sin 2x. 2x .sin x y' cos x.cos 2x 2sin 2x.sin x. 5 Câu n). y cos4 x sin4 x A. 10cos4 2x. B. cos4 2x.sin 2x. C. 10cos4 2x.sin x. D. 10cos4 2x.sin 2x. Lời giải: 5 5 / 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x cos 2x .Áp dụng u , với u cos 2x / / y' 5.cos4 2x. cos 2x 5.cos4 2x. sin 2x . 2x 10cos4 2x.sin 2x. Câu o). y sin2 cos tan4 3x A. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4 tan3 3x. 1 tan3 3x .3 B. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .tan3 3x. 1 tan3 3x . C. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4 tan3 3x. 1 tan3 3x D. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4 tan3 3x. 1 tan3 3x .3 61
62. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Lời giải: / Đầu tiên áp dụng u , với u sin cos tan4 3x / y' 2sin cos tan4 3x . sin cos tan4 3x / Sau đó áp dụng sinu , với u cos tan4 3x / y' 2sin cos tan4 3x .cos cos tan4 3x . cos tan4 3x / Áp dụng cosu , với u tan4 3x. / y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x . tan4 3x . / Áp dụng u , với u tan 3x / y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4 tan3 3x. tan 3x . / y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4 tan3 3x. 1 tan2 3x . 3x . y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4 tan3 3x. 1 tan3 3x .3 . Câu p) y sin3 2x.cos3 2x 3 3 A. sin2 4x.cos 4x. B. sin2 x.cos x. C. sin2 x.cos 4x. D. sin2 4x.cos 4x. 2 2 Lời giải: 3 / 3 3 3 1 1 3 y sin 2x.cos 2x sin 2x.cos 2x sin 4x .sin 4x . Áp dụng u ,u sin 4x. 2 8 1 / 1 / 3 y' .3sin2 4x sin 4x .3sin2 4x.cos 4x. 4x sin2 4x.cos 4x. 8 8 2 3 Câu q) y sin x cos x . 2 2 A. 3 sin x cos x cos x sin x . B. 3 sin x c os x cos x sin x . 2 2 C. sin x cos x cos x sin x . D. 3 sin x cos x cos x sin x . Lời giải: / Áp dụng u , với u sin x cos x 2 / 2 y' 3 sin x cos x . sin x cos x 3 sin x cos x cos x sin x . 62
63. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu r). y 5sin x 3cos x A. 5cos x 3sin x. B. cos x 3sin x. C. cos x sin x. D. 5cos x 3sin x. Lời giải: / / : y' 5sin x 3cos x 5cos x 3sin x. Câu s). y sin x2 3x 2 A. cos x2 3x 2 B. 2x 3 .sin x2 3x 2 C. x 3 .cos x2 3x 2 D. 2x 3 .cos x2 3x 2 Lời giải: / Áp dụng sinu , với u x2 3x 2 / y' cos x2 3x 2 . x2 3x 2 2x 3 .cos x2 3x 2 Bài 6. Tính đạo hàm các hàm số sau: Câu a). y sin x . 1 1 1 1 A. .cos x. B. .cos x. C. .sin x. D. .cos x. x x x 2 x Lời giải: / Áp dụng sinu , với u x / / 1 y' sin x cos x. x .cos x. 2 x Câu b). y cos2 x . A. sin 2x. B. sin 2x. C. cos 2x. D. 2sin 2x. Lời giải: / Áp dụng công thức u , với u cos x / / y' cos2 x 2.cos cos x 2cos x. sin x sin 2x. Câu c). y cos 2x 1 . 63
64. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 1 A. .sin 2x 1. B. .sin 2x 1. C. 2x 1 2x 1 1 sin 2x 1. D. .cos 2x 1. 2x 1 Lời giải: / Áp dụng cosu , với u 2x 1 / / / 2x 1 Câu y' cos 2x 1 sin 2x 1 2x 1 sin 2x 1. 2 2x 1 2 1 sin 2x 1. .sin 2x 1. 2 2x 1 2x 1 1 1 Câu d). y sin 3x.cos 5x sin 2x sin 8x sin 2x sin 8x 2 2 A. 4cos8x cos 2x B. cos8x cos 2x C. 4cos8x cos 2x D. 4cos8x cos 2x Lời giải: 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / y' sin 8x sin 2x sin 8x sin 2x cos8x 8x cos 2x. 2x 2 2 2 2 2 4cos8x cos 2x sin x cos x Câu e). y . sin x cos x sin 2x 3sin 2x sin 2x 2sin 2x A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x Lời giải: / u Áp dụng v / / sin x cos x sin x cos x sin x cos x . sin x cos x y' 2 sin x cos x cosx sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x y' 2 sin x cos x 64
65. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2 2 sin x cos x sin x cos x 2sin 2x y' 2 2 . sin x cos x sin x cos x Câu f). y cos 2x . sin 2x sin x sin 2x sin 2x A. . B. . C. . D. . cos 2x cos 2x 2 cos 2x cos 2x Lời giải: / Áp dụng u , với u cos 2x / / cos 2x sin 2x. 2x sin 2x y' . 2 cos 2x 2 cos 2x cos 2x sin x x Câu g) y x sin x cos x sin x sin x xcos x xcos x sin x sin x xcos x A. . B. . x2 sin2 x x2 sin2 x xcos x sin x sin x cos x xcos x sin x sin x xcos x C. . D. . x2 sin2 x x2 sin2 x Lời giải: / / sin x x y' x sin x / / / / sin x .x x .sin x x .sin x sin x .x xcos x sin x sin x xcos x . h) Câu Câu h). x2 sin2 x x2 sin2 x y sin cos x cos sin x A. sin x cos x B. sin x cos x C. sin cos x D. sin x Lời giải: / / Bước đầu tiên sử dụng đạo hàm tổng, sau đó sử dụng sinu , cosu . / / / / y' sin cos x cos sin x cos cos x . cos x sin sin x . sin x sin x.cos cos x cos x.sin sin x sin x.cos cos x cos x.sin sin x sin x cos x 65
66. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x sin x Câu i). y . x sin x 2sin x 2xcos x 2sin x xcos x sin x xcos x A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. x sin x x sin x x sin x 2sin x 2xcos x 2 . x sin x Lời giải: / u Sử dụng v / / x sin x . x sin x x sin x . x sin x y' 2 x sin x 1 cos x x sin x 1 cos x x sin x 2sin x 2xcos x 2 2 . x sin x x sin x 2 1 cos 2x Câu k). y . 1 cos 2x 1 cos 2x 4sin 2x 1 cos 2x 4sin 2x A. 2 . B. . 1 cos 2x 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x sin 2x 1 cos 2x 4sin 2x C. 2 . D. 2 . 1 cos 2x 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x 1 cos 2x Lời giải: / 1 cos 2x Sử dụng u với u 1 cos 2x / 1 cos 2x 1 cos 2x y' 2 . 1 cos 2x 1 cos 2x / / 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 2 . 1 cos 2x 2 1 cos 2x 66
67. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 cos 2x 2sin 2x 1 cos 2x 2sin 2x 1 cos 2x 2 . 1 cos 2x 2 1 cos 2x 1 cos 2x 4sin 2x 2 . . 1 cos 2x 2 1 cos 2x Câu l). y sin4 x cos4 x A. sin 4x. B. 2 sin 4x. C. cos 4x sin 4x. D. sin 4x. Lời giải: 1 3 1 1 sin2 2x cos 4x. 2 4 4 / 3 1 1 / 1 / y' cos 4x cos 4x sin 4x . 4x sin 4x. 4 4 4 4 2 Câu m). y cos 2x . 4 2 2 A. 4 x .sin 2x . B. 2x .sin 2x . 4 4 4 4 2 2 C. 4 2x .sin x . D. 4 2x .sin 2x . 4 4 4 4 Lời giải: 2 / Áp dụng cosu với u 2x 4 / 2 2 2 / y' sin 2x . 2x sin 2x .2 2x . 2x 4 4 4 4 4 2 4 2x .sin 2x . 4 4 sin x xcos x Câu n). y cos x xsin x 67
68. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x2 x2 2x2 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. cos x sin x cos x sin x cos x xsin x x2 2 . cos x xsin x Lời giải: / / sin x xcos x cos x xsin x cos x xsin x sin x xcos x y' 2 cos x xsin x / / / Tính sin x xcos x cos x xcos x cos x x'.cos x x. cos x cos x cos x xsin x xsin x / / Tính cos x xsin x sin x x'.sin x x. sin x sin x sin x xcos x xcos x xsin x cos x xsin x xcos x sin x xcos x x2 y' 2 2 . cos x xsin x cos x xsin x 1 2 3 Bài 7. Cho f x . Tính f ' 1 . x x2 x3 A.-14 B.12 C.13 D.10 Lời giải: / 1 Bước đầu tiên tính đạo hàm sử dụng công thức x x 1 / 1 2 3 1 4 9 f ' x f ' 1 1 4 9 14 x x2 x3 x2 x3 x4 1 1 Bài 8. Cho f x x2 . Tính f ' 1 x x 1 A. B.1 C.2 D.3 2 Lời giải: 68
69. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / / 1 1 1 x 1 1 2 Ta có f ' x x 2 2x 2 2x x x x x x 2x x 1 1 Vậy f ' 1 1 2 2 2 Bài 9. Cho f x x5 x3 2x 3 . Tính f ' 1 f ' 1 4 f 0 A.4 B.5 C.6 D.7 Lời giải: / Ta có f ' x x5 x3 2x 3 5x4 3x2 2 f ' 1 f ' 1 4 f 0 (5 3 2) (5 3 2) 4.( 2) 4 x Bài 10. Cho f x . Tính f ' 0 4 x2 1 A. B.1 C.2 D.3 4 Lời giải: 2 / 2 x / x' 4 x2 x 4 x2 4 x x 4 x2 4 f ' x 2 2 2 2 2 2 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 1 Vậy f ' 0 . 4 69