Bài tập Đại số Lớp 11 - Bài 3: Nhị thức Niutơn

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Bài 3: Nhị thức Niutơn

1.  BÀI 03 NHỊ THỊC NIU TƠN 1. Nhị thức Niu-tơn n 0 n 1 n- 1 n- 1 n- 1 n n (a + b) = Cn a + Cna b + + Cn ab + Cn b n k n- k k = å Cn a b . k= 0 2. Hệ quả n 0 1 n- 1 n Với a = b = 1 , ta có 2 = Cn + Cn + + Cn + Cn . n 0 1 k k n n Với a = 1; b = - 1 , ta có 0 = Cn - Cn + L + (- 1) Cn + L + (- 1) Cn . 3. Chú ý Trong biểu thức ở vế phải của khai triển (a + b)n · Số các hạng tử là n + 1; · Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 ; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 = b0 = 1 ); · Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 10 Câu 1. Tìm hệ số của x12 trong khai triển (2x - x 2 ) . 8 2 8 2 2 8 A. C10 . B. C10 2 . C. C10 . D. - C10 2 . 2007 Câu 2. Khai triển đa thức P (x)= (5x - 1) ta được 2007 2006 P (x)= a2007 x + a2006 x + + a1x + a0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 7 7 7 7 A. a2000 = - C2007 .5 . B. a2000 = C2007 .5 . 2000 2000 7 7 C. a2000 = - C2007 .5 . D. a2000 = C2007 .5 . Câu 3. Đa thức P (x)= 32x 5 - 80x 4 + 80x 3 - 40x 2 + 10x - 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? 5 5 5 5 A. (1- 2x) . B. (1+ 2x) . C. (2x - 1) . D. (x - 1) . 13 7 æ 1ö Câu 4. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx - ÷ . èç x ø÷ 4 7 3 3 7 3 7 A. - C13 x . B. - C13. C. - C13 x . D. C13 x . 9 3 æ 1 ö Câu 5. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç 2x ø÷ 1 1 A. - C 3 x 3. B. C 3 x 3. C. - C 3 x 3. D. C 3 x 3. 8 9 8 9 9 9 40 31 æ 1 ö Câu 6. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç x 2 ø÷ 37 31 37 31 2 31 4 31 A. - C40 x . B. C40 x . C. C40 x . D. C40 x . 6 æ 2 2ö Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç x ø÷
2. 4 2 2 2 4 4 2 4 A. 2 C6 . B. 2 C6 . C. - 2 C6 . D. - 2 C6 . 8 æ 1 ö Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çxy2 - ÷ . èç xyø÷ A. 70y 4 . B. 60y 4 . C. 50y 4 . D. 40y 4 . 5 æ 1ö Câu 9. Tìm số hạng chứa x 3 y trong khai triển çxy + ÷ . èç yø÷ A. 3x 3 y. B. 5x 3 y. C. 10x 3 y. D. 4x 3 y. 3n+ 1 6 æ1 3 ö Câu 10. Tìm hệ số của x trong khai triển ç + x ÷ với x ¹ 0 , biết n là số nguyên dương èçx ø÷ 2 2 thỏa mãn 3Cn+ 1 + nP2 = 4An . A. 210x 6 . B. 120x 6 . C. 120. D. 210. 2n Câu 11. Tìm hệ số của x 9 trong khai triển (1- 3x) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 14 1 2 + 3 = . Cn 3Cn n 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 A. - C18 ( 3) . B. - C18 ( 3) x . C. C18 ( 3) x . D. C18 ( 3) . æ ö2n ç 3 ÷ Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ç2x - ÷ với x ¹ 0 , biết n là số èç 3 x ø÷ 3 2 nguyên dương thỏa mãn Cn + 2n = An+ 1 . 12 4 12 0 16 12 4 12 16 0 A. - C16 .2 .3 . B. C16 .2 . C. C16 .2 .3 . D. C16 .2 . n 7 æ 2 2ö Câu 13. Tìm hệ số của x trong khai triển ç3x - ÷ với x ¹ 0 , biết hệ số của số hạng thứ èç x ø÷ ba trong khai triển bằng 1080. A. 1080. B. - 810. C. 810. D. 1080. Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong æ 1ön khai triển çx - ÷ bằng 4. èç 3ø÷ A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. 21 Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x 3 + xy) . 10 40 10 10 43 10 A. C21 x y . B. C21 x y . 11 41 11 10 43 10 11 41 11 C. C21 x y . D. C21 x y ; C21 x y . 17 Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển (3x - 4) . A. S = 1. B. S = - 1. C. S = 0. D. S = 8192. 1000 Câu 17. Khai triển đa thức P (x)= (2x - 1) ta được 1000 999 P (x)= a1000 x + a999 x + + a1x + a0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n n A. a1000 + a999 + + a1 = 2 . B. a1000 + a999 + + a1 = 2 - 1 . C. a1000 + a999 + + a1 = 1 . D. a1000 + a999 + + a1 = 0 . 5 10 Câu 18. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P (x)= x (1- 2x) + x 2 (1+ 3x) . A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200.
3. 2 10 æ1 2 ö 3n Câu 19. Tìm hệ số chứa x trong khai triển f (x)= ç x + x + 1÷ (x + 2) với n là số tự èç4 ø÷ 3 n- 2 nhiên thỏa mãn hệ thức An + Cn = 14n . 5 10 5 10 10 9 10 9 10 10 A. 2 C19 . B. 2 C19 x . C. 2 C19 . D. 2 C19 x . n Câu 20. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển P (x)= (1- x - 3x 3 ) với n là số tự nhiên thỏa n- 2 2 mãn hệ thức Cn + 6n + 5 = An+ 1 . A. 210. B. 840. C. 480. D. 270. 5 Câu 21. Tìm hệ số của x10 trong khai triển (1+ x + x 2 + x 3 ) . A. 5. B. 50. C. 101. D. 105. 2 8 Câu 22. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P (x)= (1+ x)+ 2(1+ x) + + 8(1+ x) . A. 630. B. 635. C. 636. D. 637. Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 1 n n+ 1 n+ 2 2n A. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n- 1 n+ 1 n+ 2 2n B. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n- 2 n+ 1 n+ 2 2n C. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n+ 1 n+ 1 n+ 2 2n D. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 2 n Câu 24. Tính tổng S = Cn + Cn + Cn + + Cn . A. S = 2n - 1. B. S = 2n. C. S = 2n- 1. D. S = 2n + 1. 0 1 2 2n Câu 25. Tính tổng S = C2n + C2n + C2n + + C2n . A. S = 22n. B. S = 22n - 1. C. S = 2n. D. S = 22n + 1. 1 2 n 20 Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 2 - 1 . A. n = 8. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 11. 1 3 2n+ 1 Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 1024 . A. n = 5. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 4. 0 1 2 3 n n Câu 28. Tính tổng S = Cn + 3Cn + 3 Cn + + 3 Cn . A. S = 3n. B. S = 2n. C. S = 3.2n. D. S = 4n. 12 12 Câu 29. Khai triển đa thức P (x)= (1+ 2x) = a0 + a1x + + a12 x . Tìm hệ số ak (0 £ k £ 12) lớn nhất trong khai triển trên. 8 8 9 9 10 10 8 8 A. C12 2 . B. C12 2 . C. C12 2 . D. 1+ C12 2 . æ ö10 ç1 2 ÷ 9 10 Câu 30. Khai triển đa thức P (x)= ç + x÷ = a0 + a1x + + a9 x + a10 x . Tìm hệ số ak èç3 3 ø÷ (0 £ k £ 10) lớn nhất trong khai triển trên. 27 27 26 28 A. 1+ C 7 . B. C 7 . C. C 6 . D. C 8 . 310 10 310 10 310 10 310 10 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
4. 10 Câu 1. Tìm hệ số của x12 trong khai triển (2x - x 2 ) . 8 2 8 2 2 8 A. C10 . B. C10 2 . C. C10 . D. - C10 2 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 10 10 10 2 10 k 10- k 2 k k 10- k 10- k+ 2k k 10- k 10+ k (2x - x ) = å C10 .(2x) .(- x ) = å C10 .(2) .x = å C10 .(2) .x . k= 0 k= 0 k= 0 12 2 8 Hệ số của x ứng với 10 + k = 12 Û k = 2 ¾ ¾® hệ số cần tìm C10 2 . Chọn B. 2007 Câu 2. Khai triển đa thức P (x)= (5x - 1) ta được 2007 2006 P (x)= a2007 x + a2006 x + + a1x + a0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 7 7 7 7 A. a2000 = - C2007 .5 . B. a2000 = C2007 .5 . 2000 2000 7 7 C. a2000 = - C2007 .5 . D. a2000 = C2007 .5 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 2017 2017 2007 k 2017- k k k 2017- k k 2017- k (5x - 1) = å C2017 .(5x) .(- 1) = å C2017 .(5) .(- 1) .x . k= 0 k= 0 Hệ số của x 2000 ứng với 2017- k = 2000 Û k = 7 7 2000 2000 2000 ¾ ¾® hệ số cần tìm - C2017 .(5) = - C2007 .5 . Chọn C. Câu 3. Đa thức P (x)= 32x 5 - 80x 4 + 80x 3 - 40x 2 + 10x - 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? 5 5 5 5 A. (1- 2x) . B. (1+ 2x) . C. (2x - 1) . D. (x - 1) . Lời giải. Nhận thấy P (x) có dấu đan xen nên loại đáp án B. Hệ số của x 5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x 5. ) Chọn C. 13 7 æ 1ö Câu 4. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx - ÷ . èç x ø÷ 4 7 3 3 7 3 7 A. - C13 x . B. - C13. C. - C13 x . D. C13 x . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 13 13 k 13 æ 1ö æ 1ö k çx - ÷ = C k .x13- k .ç- ÷ = C k . - 1 .x13- 2k . ç ÷ å 13 ç ÷ å 13 ( ) è x ø k= 0 è x ø k= 0 7 3 7 Hệ số của x ứng với 13- 2k = 7 Û k = 3 ¾ ¾® số hạng cần tìm - C13 x . Chọn C. 9 3 æ 1 ö Câu 5. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç 2x ø÷ 1 1 A. - C 3 x 3. B. C 3 x 3. C. - C 3 x 3. D. C 3 x 3. 8 9 8 9 9 9 Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có æ 1 ö9 9 æ1 ök 9 æ1ök çx + ÷ = C k .x 9- k .ç ÷ = C k .ç ÷ .x 9- 2k . ç ÷ å 9 ç ÷ å 9 ç ÷ è 2x ø k= 0 è2x ø k= 0 è2ø 1 Hệ số của x 3 ứng với 9- 2k = 3 Û k = 3 ¾ ¾® số hạng cần tìm C 3 x 3. Chọn B. 8 9 40 31 æ 1 ö Câu 6. Tìm số hạng chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç x 2 ø÷ 37 31 37 31 2 31 4 31 A. - C40 x . B. C40 x . C. C40 x . D. C40 x . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
5. æ 1 ö40 40 æ1 ök 40 çx + ÷ = C k .x 40- k .ç ÷ = C k .x 40- 3k . ç 2 ÷ å 40 ç 2 ÷ å 40 è x ø k= 0 èx ø k= 0 31 37 31 Hệ số của x ứng với 40- 3k = 31 Û k = 3 ¾ ¾® số hạng cần tìm C40 x . Chọn B. 6 æ 2 2ö Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çx + ÷ . èç x ø÷ 4 2 2 2 4 4 2 4 A. 2 C6 . B. 2 C6 . C. - 2 C6 . D. - 2 C6 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 6 6 k 6 æ 2ö 6- k æ2ö k çx 2 + ÷ = C k . x 2 .ç ÷ = C k . 2 .x12- 3k . ç ÷ å 6 ( ) ç ÷ å 6 ( ) è x ø k= 0 èx ø k= 0 Số hạng không chứa x ứng với 12- 3k = 0 Û k = 4 4 4 4 2 ¾ ¾® số hạng cần tìm C6 .2 = 2 C6 . Chọn A. 8 æ 1 ö Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çxy2 - ÷ . èç xyø÷ A. 70y 4 . B. 60y 4 . C. 50y 4 . D. 40y 4 . Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 8 8 k 8 æ 1 ö 8- k æ 1 ö k çxy2 - ÷ = C k . xy2 .ç- ÷ = C k .(- 1) .x 8- 2k .y16- 3k . ç ÷ å 8 ( ) ç ÷ å 8 è xyø k= 0 è xyø k= 0 Số hạng không chứa x ứng với 8- 2k = 0 Û k = 4 4 4 4 ¾ ¾® số hạng cần tìm C8 y = 70y . Chọn A. 5 æ 1ö Câu 9. Tìm số hạng chứa x 3 y trong khai triển çxy + ÷ . èç yø÷ A. 3x 3 y. B. 5x 3 y. C. 10x 3 y. D. 4x 3 y. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 5 5 k 5 æ 1ö 5- k æ1ö çxy + ÷ = C k .(xy) .ç ÷ = C k .x 5- k .y5- 2k . ç ÷ å 5 ç ÷ å 5 è yø k= 0 èyø k= 0 ì 3 ï 5- k = 3 2 3 3 Hệ số của x y ứng với í Û k = 2 ¾ ¾® số hạng cần tìm C5 x y = 10x y. îï 5- 2k = 1 Chọn C. 3n+ 1 6 æ1 3 ö Câu 10. Tìm hệ số của x trong khai triển ç + x ÷ với x ¹ 0 , biết n là số nguyên dương èçx ø÷ 2 2 thỏa mãn 3Cn+ 1 + nP2 = 4An . A. 210x 6 . B. 120x 6 . C. 120. D. 210. 2 2 Lời giải. Từ phương trình 3Cn+ 1 + nP2 = 4An ¾ ¾® n = 3. 3n+ 1 10 10 10- k 10 æ1 ö æ1 ö æ1ö k Với n = 3 , ta có ç + x 3 ÷ = ç + x 3 ÷ = C k .ç ÷ . x 3 = C k .x 4k- 10 . ç ÷ ç ÷ å 10 ç ÷ ( ) å 10 èx ø èx ø k= 0 èx ø k= 0 6 4 Hệ số của x ứng với 4k - 10 = 6 Û k = 4 ¾ ¾® hệ số cần tìm C10 = 210. Chọn D. 2n Câu 11. Tìm hệ số của x 9 trong khai triển (1- 3x) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 14 1 2 + 3 = . Cn 3Cn n 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 A. - C18 ( 3) . B. - C18 ( 3) x . C. C18 ( 3) x . D. C18 ( 3) .
6. 2 14 1 Lời giải. Từ phương trình 2 + 3 = ¾ ¾® n = 9. Cn 3Cn n 2n 18 18 k 18 k k k k Với n = 9 , ta có (1- 3x) = (1- 3x) = å C18.(- 3x) = å C18.(- 3) .x . k= 0 k= 0 9 9 9 Hệ số của x ứng với k = 9 ¾ ¾® hệ số cần tìm - C18 ( 3) . Chọn A. æ ö2n ç 3 ÷ Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ç2x - ÷ với x ¹ 0 , biết n là số èç 3 x ø÷ 3 2 nguyên dương thỏa mãn Cn + 2n = An+ 1 . 12 4 12 0 16 12 4 12 16 0 A. - C16 .2 .3 . B. C16 .2 . C. C16 .2 .3 . D. C16 .2 . 3 2 Lời giải. Từ phương trình Cn + 2n = An+ 1 ¾ ¾® n = 8. Với n = 8 , ta có 2n 16 16 k 16 4k æ 3 ö æ 3 ö 16- k æ 3 ö k 16- ç2x - ÷ = ç2x - ÷ = C k .(2x) .ç- ÷ = C k .216- k.(- 3) .x 3 . ç 3 ÷ ç 3 ÷ å 16 ç 3 ÷ å 16 è x ø è x ø k= 0 è x ø k= 0 4k Số hạng không chứa x ứng với 16- = 0 Û k = 12 3 12 4 12 ¾ ¾® số hạng cần tìm C16 .2 .3 . Chọn C. n 7 æ 2 2ö Câu 13. Tìm hệ số của x trong khai triển ç3x - ÷ với x ¹ 0 , biết hệ số của số hạng thứ èç x ø÷ ba trong khai triển bằng 1080. A. 1080. B. - 810. C. 810. D. 1080. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có n n k n æ 2ö n- k æ 2ö k ç3x 2 - ÷ = C k . 3x 2 .ç- ÷ = C k .3n- k - 2 .x 2n- 3k . ç ÷ å n ( ) ç ÷ å n ( ) è x ø k= 0 è x ø k= 0 Số hạng thứ 3 ứng với k = 2 , kết hợp với giả thiết ta có 2 n- 2 n 5 Cn .3 .4 = 1080 Û n(n - 1).3 = 4.5.3 Û n = 5. Hệ số của x 7 ứng với 2n - 3k = 7 Û 10- 3k = 7 Û k = 1 1 4 ¾ ¾® hệ số cần tìm C5 3 (- 2)= - 810. Chọn B. Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong æ 1ön khai triển çx - ÷ bằng 4. èç 3ø÷ A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có æ ön æ ö æ ö2 æ ön ç 1÷ 0 n 1 ç 1÷ n- 1 2 ç 1÷ n- 2 n ç 1÷ çx - ÷ = Cn x + Cn ç- ÷x + Cn ç- ÷ x + + Cn ç- ÷ . èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ æ ö2 2 ç 1÷ n- 2 ¾ ¾® số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là Cn ç- ÷ x . èç 3ø÷ æ ö2 2 ç 1÷ n! 1 Yêu cầu bài toán Û Cn ç- ÷ = 4 Û . = 4 ¾ ¾® n = 9. èç 3ø÷ 2!(n - 2)! 9 Do n Î ¥ nên ta chọn n = 9 thỏa mãn. Chọn C. 21 Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x 3 + xy) . 10 40 10 10 43 10 A. C21 x y . B. C21 x y . 11 41 11 10 43 10 11 41 11 C. C21 x y . D. C21 x y ; C21 x y .
7. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 21 21 - 3 21 k 3 21 k k k 63- 2k k (x + xy) = å C21.(x ) .(xy) = å C21.x .y . k= 0 k= 0 21 Suy ra khai triển (x 3 + xy) có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k = 10 ) và số hạng thứ 12 (ứng với k = 11 ). 10 43 10 11 41 11 Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là C21 x y ; C21 x y . Chọn D. 17 Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển (3x - 4) . A. S = 1. B. S = - 1. C. S = 0. D. S = 8192. Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển ¾ ¾® cho x = 1. 17 Khi đó S = (3.1- 4) = - 1. Chọn B. 1000 Câu 17. Khai triển đa thức P (x)= (2x - 1) ta được 1000 999 P (x)= a1000 x + a999 x + + a1x + a0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n n A. a1000 + a999 + + a1 = 2 . B. a1000 + a999 + + a1 = 2 - 1 . C. a1000 + a999 + + a1 = 1 . D. a1000 + a999 + + a1 = 0 . 1000 999 Lời giải. Ta có P (x)= a1000 x + a999 x + + a1x + a0 . Cho x = 1 ta được P (1)= a1000 + a999 + + a1 + a0 . 1000 1000 Mặt khác P (x)= (2x - 1) ¾ ¾® P (1)= (2.1- 1) = 1. Từ đó suy ra a1000 + a999 + + a1 + a0 = 1 ¾ ¾® a1000 + a999 + + a1 = 1- a0 . 1000 Mà là số hạng không chứa x trong khai triển P (x)= (2x - 1) nên 1000 0 1000 1000 a0 = C1000 (2x) (- 1) = C1000 = 1. Vậy a1000 + a999 + + a1 = 0. Chọn D. 5 10 Câu 18. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P (x)= x (1- 2x) + x 2 (1+ 3x) . A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 5 5 5 k 5- k k 5- k 6- k x (1- 2x) = x.å C5 .(- 2x) = å C5 .(- 2) .x . k= 0 k= 0 ¾ ¾® số hạng chứa x 5 tương ứng với 6- k = 5 Û k = 1 . 10 10 2 10 2 l 10- l l 10- l 12- l Tương tự, ta có x (1+ 3x) = x .å C10 .(3x) = å C10 .3 .x . l= 0 l= 0 ¾ ¾® số hạng chứa x 5 tương ứng với 12- l = 5 Û l = 7 . 5 1 4 7 3 Vậy hệ số của x cần tìm P (x) là C5 .(2) + C10 .3 = 3320 . Chọn C. 2 10 æ1 2 ö 3n Câu 19. Tìm hệ số chứa x trong khai triển f (x)= ç x + x + 1÷ (x + 2) với n là số tự èç4 ø÷ 3 n- 2 nhiên thỏa mãn hệ thức An + Cn = 14n . 5 10 5 10 10 9 10 9 10 10 A. 2 C19 . B. 2 C19 x . C. 2 C19 . D. 2 C19 x . 3 n- 2 Lời giải. Từ phương trình An + Cn = 14n ¾ ¾® n = 5. 2 æ1 2 ö 3n 1 4 15 1 19 Với n = 5 , ta có f (x)= ç x + x + 1÷ (x + 2) = (x + 2) (x + 2) = (x + 2) . èç4 ø÷ 16 16 19 1 19 1 k k 19- k Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có f (x)= (x + 2) = å C19 .2 .x . 16 16 k= 0
8. Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19- k = 10 Û k = 9 . 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là C 10 29 = 25C 10 . Chọn A. 16 19 19 n Câu 20. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển P (x)= (1- x - 3x 3 ) với n là số tự nhiên thỏa n- 2 2 mãn hệ thức Cn + 6n + 5 = An+ 1 . A. 210. B. 840. C. 480. D. 270. n- 2 2 Lời giải. Từ phương trình Cn + 6n + 5 = An+ 1 ¾ ¾® n = 10. n 10 Với n = 10 , khi đó P (x)= (1- x - 3x 3 ) = (1- x - 3x 3 ) . Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 10 10 10 k P x = 1- x - 3x 3 = é1- x + 3x 3 ù = C k - 1 k x + 3x 3 ( ) ( ) ëê ( )ûú å 10 ( ) ( ) k= 0 10 10 k k k k 2 k k l k l k+ 2l = å C10 (- 1) x (1+ 3x ) = å C10 å Ck (- 1) 3 x . k= 0 k= 0 l= 0 ïì k + 2l = 4 ï Số hạng chứa x 4 trong khai triển tương ứng với íï 0 £ k £ 10 Û (k;l)= {(4;0),(2;1)} . ï îï 0 £ l £ k 4 4 0 2 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C10C4 + C10C2 3 = 480 . Chọn C. 5 Câu 21. Tìm hệ số của x10 trong khai triển (1+ x + x 2 + x 3 ) . A. 5. B. 50. C. 101. D. 105. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 5 5 5 5 2 3 5 5 2 5 k k l 2 l k l k+ 2l (1+ x + x + x ) = (1+ x) (1+ x ) = å C5 x .å C5 (x ) = å C5 .å C5 .x . k= 0 l= 0 k= 0 l= 0 Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với k + 2l = 10 Û k = 10- 2l . ïì k + 2l = 10 ï Kết hợp với điều kiện ta có hệ íï 0 £ k £ 5, 0 £ l £ 5 Û (k;l)= {(0;5),(2;4),(4;3)} . ï îï k,l Î ¥ 0 5 2 4 4 3 Vậy hệ số cần tìm là C5 .C5 + C5 .C5 + C5 .C5 = 101. Chọn C. 2 8 Câu 22. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P (x)= (1+ x)+ 2(1+ x) + + 8(1+ x) . A. 630. B. 635. C. 636. D. 637. 2 4 Lời giải. Các biểu thức (1+ x), (1+ x) ,L ,(1+ x) không chứa số hạng chứa x 5. 5 5 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5(1+ x) là 5C5 . 5 6 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 6(1+ x) là 6C6 . 5 7 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 7(1+ x) là 7C7 . 5 8 5 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8(1+ x) là 8C8 . 5 5 5 5 5 Vậy hệ số của x trong khai triển P (x) là 5C5 + 6C6 + 7C7 + 8C8 = 636 . Chọn C. Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 1 n n+ 1 n+ 2 2n A. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n- 1 n+ 1 n+ 2 2n B. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n- 2 n+ 1 n+ 2 2n C. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 0 1 n+ 1 n+ 1 n+ 2 2n D. C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n .
9. ïì C 0 = C 2n ï 2n 2n ï C 1 = C 2n- 1 Lời giải. Áp dụng công thức C k = C n- k , ta có íï 2n 2n . n n ï L ï ï n- 1 n+ 1 îï C2n = C2n 0 1 n- 1 n+ 1 n+ 2 2n Cộng vế theo vế, ta được C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . Chọn B. 0 1 2 n Câu 24. Tính tổng S = Cn + Cn + Cn + + Cn . A. S = 2n - 1. B. S = 2n. C. S = 2n- 1. D. S = 2n + 1. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x)n , ta có n 0 1 2 2 n n (1+ x) = Cn + Cn x + Cn x + L + Cn x . 0 1 2 n n n Cho x = 1, ta được Cn + Cn + Cn + L + Cn = (1+ 1) = 2 . Chọn B. 0 1 2 2n Câu 25. Tính tổng S = C2n + C2n + C2n + + C2n . A. S = 22n. B. S = 22n - 1. C. S = 2n. D. S = 22n + 1. 2 Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x) n , ta có 2n 0 1 2 2 2n 2n (1+ x) = C2n + C2n x + C2n x + L + C2n x . 0 1 2 2n 2n 2n Cho x = 1, ta được C2n + C2n + C2n + L + C2n = (1+ 1) = 2 . Chọn A. 1 2 n 20 Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 2 - 1 . A. n = 8. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 11. 2n+ 1 0 1 2n+ 1 Lời giải. Ta có (1+ 1) = C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 . (1) 0 2n+ 1 1 2n 2 2n- 1 n n+ 1 Lại có C2n+ 1 = C2n+ 1 ; C2n+ 1 = C2n+ 1 ; C2n+ 1 = C2n+ 1 ; ; C2n+ 1 = C2n+ 1 . (2) 22n+ 1 Từ (1) và (2), suy ra C 0 + C 1 + + C n = 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2 1 n 2n 20 2n Û C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 2 - 1 Û 2 - 1 = 2 - 1 Û n = 10 . Vậy n = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 1 3 2n+ 1 Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 = 1024 . A. n = 5. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 4. 2n+ 1 0 2n+ 1 1 2n 2n+ 1 Lời giải. Xét khai triển (x + 1) = C2n+ 1x + C2n+ 1x + + C2n+ 1 . 2n+ 1 0 1 2n+ 1 Cho x = 1, ta được 2 = C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 . (1) 0 1 2n+ 1 Cho x = - 1, ta được 0 = - C2n+ 1 + C2n+ 1 - + C2n+ 1 . (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được 2n+ 1 1 3 2n+ 1 2n+ 1 2 = 2(C2n+ 1 + C2n+ 1 + + C2n+ 1 )Û 2 = 2.1024 Û n = 5 . Chọn A. 0 1 2 3 n n Câu 28. Tính tổng S = Cn + 3Cn + 3 Cn + + 3 Cn . A. S = 3n. B. S = 2n. C. S = 3.2n. D. S = 4n. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ x)n , ta có n 0 1 2 2 n n (1+ x) = Cn + Cn x + Cn x + L + Cn x . 0 1 2 3 n n n n Cho x = 3 , ta được Cn + 3Cn + 3 Cn + + 3 Cn = (1+ 3) = 4 . Chọn D. 12 12 Câu 29. Khai triển đa thức P (x)= (1+ 2x) = a0 + a1x + + a12 x . Tìm hệ số ak (0 £ k £ 12) lớn nhất trong khai triển trên. 8 8 9 9 10 10 8 8 A. C12 2 . B. C12 2 . C. C12 2 . D. 1+ C12 2 .
10. 12 Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của (1+ 2x) , ta có 12 12 12 k k k k k (1+ 2x) = å C12 (2x) = å C12 2 x . k= 0 k= 0 k k Suy ra ak = C12 2 . ïì 1 2 ï ³ ì ³ ïì k k k+ 1 k+ 1 ï ï ak ak+ 1 ï 2 C12 ³ 2 C12 ï 12- k k + 1 23 26 Hệ số ak lớn nhất khi í Û í Û í Û £ k £ . ï a ³ a ï 2k C k ³ 2k- 1C k- 1 ï 2 1 3 3 îï k k- 1 ïî 12 12 ï ³ îï k 12- k + 1 0£ k£ 12 8 8 ¾ ¾kÎ ¥¾® k = 8 . Vậy hệ số lớn nhất là a8 = C12 2 . Chọn A. æ ö10 ç1 2 ÷ 9 10 Câu 30. Khai triển đa thức P (x)= ç + x÷ = a0 + a1x + + a9 x + a10 x . Tìm hệ số ak èç3 3 ø÷ (0 £ k £ 10) lớn nhất trong khai triển trên. 27 27 26 28 A. 1+ C 7 . B. C 7 . C. C 6 . D. C 8 . 310 10 310 10 310 10 310 10 æ1 2 ö10 Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ç + x÷ , ta có èç3 3 ø÷ æ1 2 ö10 10 æ1ö10- k æ2 ök 10 æ1ö10- k æ2ök ç + x÷ = C k ç ÷ ç x÷ = C k ç ÷ ç ÷ x k . ç ÷ å 10 ç ÷ ç ÷ å 10 ç ÷ ç ÷ è3 3 ø k= 0 è3ø è3 ø k= 0 è3ø è3ø æ ö10- k æ ök k ç1÷ ç2÷ Suy ra ak = C10 ç ÷ ç ÷ . èç3ø÷ èç3ø÷ ïì a ³ a + 1 Giả sử a là hệ số lớn nhất, khi đó íï k k k ï îï ak ³ ak- 1 ïì 10- k k 10- (k+ 1) k+ 1 ï k æ1ö æ2ö k+ 1 æ1ö æ2ö ì ï C ç ÷ ç ÷ ³ C ç ÷ ç ÷ ï 19 ï 10 ç ÷ ç ÷ 10 ç ÷ ç ÷ ï k ³ ï è3ø è3ø è3ø è3ø ï 3 19 22 0£ k£ 10 Û íï Û íï Û £ k £ ¾ ¾ ¾® k = 7. 10- k k 10- (k- 1) k- 1 kÎ ¥ ï æ1ö æ2ö æ1ö æ2ö ï 22 3 3 ï C k ç ÷ ç ÷ ³ C k- 1 ç ÷ ç ÷ ï k £ ï 10 ç ÷ ç ÷ 10 ç ÷ ç ÷ ï 3 îï è3ø è3ø è3ø è3ø î 27 Vậy hệ số lớn nhất là a = C 7 . Chọn B. 7 310 10