Bài tập Đại số Lớp 11 - Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

1. §2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định lí và chứng minh định lí. · Trong toán học định lý là một mệnh đề đúng . Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng " " x Î X, P(x)Þ Q(x)", P(x),Q(x) là các mệnh đề chứa biến · Có hia cách để chứng minh định lí dưới dạng trên Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm các bước sau: - Lấy x Î X bất kỳ mà P(x) đúng - Chứng minh Q(x) đúng(bằng suy luận và kiến thức toán học đã biết) Cách 2: Chứng minh bằng phản định lí gồm các bước sau: - Giả sử tồn tại x0 Î X sao cho P(x0 ) đúng và Q(x0 ) sai - Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn. 2. Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. · Cho định lí dưới dạng " " x Î X, P(x)Þ Q(x)" (1). Khi đó P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần để có P(x) · Mệnh đề " x Î X, Q(x)Þ P(x) đúng thì được gọi định lí đảo của định lí dạng (1) Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại thành một định lí " x Î X, Q(x)Û P(x), ta gọi là " P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)" Ngoài ra còn nói " P(x) nếu và chỉ nếu Q(x)", " P(x) khi và chỉ khi Q(x)", B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
2. ➢DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG . 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và n3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3. Lời giải: Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 , k Î Z 3 Với n = 3k + 1 ta có n3 = (3k + 1) = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 không chia hết cho ba (mâu thuẫn) 3 Với n = 3k + 2 ta có n3 = (3k + 2) = 27k3 + 54k2 + 36k + 4 không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho 3. Ví dụ 2: Cho tam thức f (x)= ax2 + bx + c,a ¹ 0 . Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực sao cho a. f ( )£ 0 thì phương trình f (x)= 0 luôn có nghiệm. Lời giải: 2 æ b ö D Ta có f (x)= açx + ÷ - , D = b2 - 4ac . èç 2aø÷ 4a Giả sử phương trình đã cho vô nghiệm, nghĩa là 0, " x Î ¡ èç 2a÷ø 4 Suy ra không tồn tại để af ( )£ 0 , trái với giả thiết. Vậy điều ta giả sử ở trên là sai, hay phương trình đã cho luôn có nghiệm. Ví dụ 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng nếu 1 1 1 a + b + c > + + thì có một và chỉ một trong ba số a, b, c lớn hơn một. a b c Lời giải:
3. Giả sử ngược lại, khi đó ta có các trường hợp sau: · TH1: Với ba số đều lớn hơn 1 hoặc ba số đều nhỏ hơn 1 thì mâu thuẫn với giả thiết abc = 1 · TH2: Với hai trong ba số lớn hơn 1, không mất tính tổng quát giả sử a > 1, b > 1 Vì abc = 1 nên c AB . = D Trên AC lấy D sao cho AB AD . L Gọi L là giao điểm của BD và AH . B H C · · Khi đó AB = AD, BAL = LAD và AL chung nên DABL = DADL Do đó AL = LD hay L là trung điểm của BD Suy ra LH là đường trung bình của tam giác CBD Þ LH / /DC điều này mâu thuẫn vì LH,DC cắt nhau tại A Vậy tam giác ABC cân tại A. 2. Bài tập luyện tập. Bài 1.14: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu.
4. Bài 1.15: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó phải chia hết cho 3. Bài 1.16: Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác. Bài 1.17: Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng 1 1 1 thức sau sai a(1- b)> , b(1- c)> , c(1- a)> 4 4 4 Bài 1.18: Nếu a1a2 ³ 2(b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình 2 2 x + a1x + b1 = 0, x + a2x + b2 = 0 có nghiệm. Bài 1.19: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ. ïì a + b + c > 0 (1) ï Bài 1.20: Cho các số a, b, c thỏa các điều kiện :íï ab + bc + ca > 0 (2) ï îï abc > 0 (3) Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương. Bài 1.21: Chứng minh bằng phản chứng định lí sau : “Nếu tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau, thì tam giác ABC cân”. Bài 1.22: Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác. Lời giải: Bài 1.14: Giả sử phương trình vô nghiệm và a,c trái dấu. Với điều kiện a,c trái dấu có a.c 0 Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều này mâu thuẫn với giả thiết phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm thì a,c phải cùng dấu. Bài 1.15: Giả sử trong hai số nguyên dương a và b có ít nhất một số không chia hết cho 3 , chẳng hạn a không chia hết cho 3 . Thế thì a có dạng: a = 3k+1 hoặc a = 3k+2. Lúc đó a2 =3m+1 , nen nếu b chia hết cho 3 hoặc b không chia hết cho 3 thì a2 + b2 cũng có dạng:
5. 3n+1 hoặc 3n+2, tức là a2 + b2 không chia hết cho 3, trái giả thiết. Vậy nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì cả a và b đều a2 + b2 chia hết cho 3. Bài 1.16: Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác. Không mất tínhư tổng quát, giả sử a £ c Þ a2 £ c2 (1) 2 Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có b ç ÷ hay a(1– a).b(1- b).c(1– c)> (*) èç4ø÷ 64 2 1 æ 1ö 1 Mặt khác a(1– a)= - a2 + a = - ça- ÷ £ 4 èç 2ø÷ 4 1 Do 0 < a < 1Þ 0 < a(1– a)£ 4 1 1 Tương tự thì 0 < b(1– b)£ , 0 < c(1– c)£ 4 4 1 Nhân theo vế ta được a(1– a).b(1- b).c(1– c)£ ( ) 64 Bất đẳng thức ( ) mâu thuẫn (*), Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai. (đpcm) Bài 1.18: Giả sử cả hai phương trình trên vô nghiệm
6. 2 2 Khi đó D1 = a1 – 4b1 - bc a(b + c) > 0 b + c < 0 a + b + c < 0 mâu thuẫn (1). Vậy cả ba số a, b, c đều dương.
7. µ µ Bài 1.21: • Nếu B > C thì ta dựng hình bình A D hành BEDF như hình vẽ . Ta có : 1 2 E µ µ ¶ ¶ ¶ ¶ F B > C Þ B2 > C2 Þ D1 > C2 (1) 3 2 2 1 1 Ngoài ra, BE = CF Þ DF = CE B C ¶ ¶ ¶ ¶ Þ D1 + D2 = C2 + C3 (2) . Từ (1) và (2) suy ra ¶ ¶ D2 CE nên C1 > B1 Þ C > B . Mâu thuẫn. µ µ • Trường hợp C > B , chứng minh hoàn toàn tương tự như trên. µ µ Do đó B = C . Vậy tam giác ABC cân tại A. Bài 1.22: Trước hết sắp xếp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài a1 , a2 , ,a7 và chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác là tổng của 2 đoạn lớn hơn đoạn thứ ba). Giả sử điều cần chứng minh là không xảy ra, nghĩa là đồng thời xảy ra các bất đẳng thức sau: a1 + a2 £ a3 ; a2 + a3 £ a4 ; ; a5 + a6 £ a7 Từ giả thiết a1 , a2 có giá trị lớn hơn 10, ta nhận được a3 > 20 . Từ a2 > 10 và a3 > 20 ta nhận được a3 > 30, a5 > 50, a6 > 80 và a7 > 130 . Điều a7 > 130 là mâu thuẩn với giả thiết các độ dài nhỏ hơn 100. Có mâu thuẩn này là do giả sử điểu cần chứng minh không xảy ra. Vậy, luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối. Hay nói cách khác là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác. ➢DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ .
8. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho định lí : “Cho số tự nhiên n. Nếu n 5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết dưới dạng P Þ Q . a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q. A. P : “n chia hết cho 5”.Q : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5” B. P : “n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”. C. P : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”. D. P : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”. b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”. c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”. d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo. Lời giải: a) P : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”. b) Với n là số tự nhiên, n chia hết cho 5 là điều kiện cần để n 5 chia hết cho 5 ; hoặc phát biểu cách khác : Với n là số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5. c) Với n là số tự nhiên, n5 chia hết cho 5 là điều kiện đủ để n chia hết cho 5. d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì n 5 chia hết cho 5”. Thật vậy, nếu n = 5k thì n5 = 55.k5 : Số này chia hết cho 5. Điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 5 là n5 chia hết cho 5. Ví dụ 2: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ" a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau b) Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3 c) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân
9. d) Nếu tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao thì AB2 = BC.BH Lời giải: a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau b) Số nguyên dương chia hết cho 6 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 3 Số nguyên dương chia hết cho 3 là điều kiện cần để nó chia hết cho 6 c) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện đủ để nó là hình thang cân Hình thang cân là điều kiện cần để nó có hai đường chéo bằng nhau d) Tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao là điều kiện đủ để AB2 = BC.BH Tam giác ABC có AB2 = BC.BH là điều kiện cần để nó vuông tại A và AH là đường cao Ví dụ 3: Dùng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu định lí sau a) Tam giác ABC vuông khi và chỉ khi AB2 + AC2 = BC2 . b) Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn. Lời giải: a) Tam giác ABC vuông là điều kiện cần và đủ để AB2 + AC2 = BC2 . b) Tứ giác là hình chữ nhật là điều kiện cần và đủ để nó có ba góc vuông. c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn là điều kiện cần và đủ để nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 2 là điều kiện cần và đủ để nó có chữ số tận cùng là số chẵn. 2. Bài tập luyện tập
10. Bài 1.23: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ " a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau b) Nếu số nguyên dương có chữ tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5 c) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau d) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6 Lời giải: Bài 1.23: a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng đó song song với nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3. b) Số nguyên dương có chữ số tận cùng bằng 5 là điều kiện đủ để chia hết cho 5. Số nguyên dương chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó có chữ số tận cùng bằng 5. c) Tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó có 2 đường chéo vuông góc với nhau Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để nó là hình thoi d) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có các góc tương ứng bằng nhau Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 4 và 6 Số nguyên dương a chia hết cho 4 và 6 là điều kiện cần để nó chia hết cho 24. Bài 1.24. Dùng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu định lí sau a) Một tam giác là tam giác cân, nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau
11. b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường c) x ³ y Û 3 x ³ 3 y uuur uur d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi MN = QP . Lời giải: Bài 1.24: a) Một tam giác là tam giác cân là điều kiện cần và đủ để nó có hai góc bằng nhau b) Tứ giác là hình bình hành là điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường c) x ³ y là điều kiện cần và đủ để 3 x ³ 3 y uuur uur d) Điều kiện cần và đủ để tứ giác MNPQ là hình bình hành là MN = QP . Bài 1.25: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) “Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau”. Có định lí đảo của định lí trên không , vì sao? b) “Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc”. Có định lí đảo của định lí trên không , vì sao? Lời giải: Bài 1.25:a) Một tứ giác là hình vuông là điều kiện đủ để nó có 4 cạnh bằng nhau. Một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình vuông. Không có định lí đảo vì tứ giác có 4 cạnh bằng nhau có thể là hình thoi b) Một tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo vuông góc. Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc là điều kiện cần để nó là hình thoi
12. Không có định lí đảo vì tứ giác có hai đường chéo vuông góc có thể là hình vuông hoăc một đa giác bất kì có hai đường chéo vuông góc. Bài 1.26: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau : a) Nếu MA ^ MB thì M thuộc đường tròn đường kính AB ; b) a ¹ 0 hoặc b ¹ 0 là điều kiện đủ để a2 + b2 > 0 . Lời giải: Bài 1.26: a) M thuộc đường tròn đường kính AB là điều kiện cần để MA vuông góc MB. Hoặc có thể phát biểu : Điều kiện cần để MA ^ MB là M thuộc đường tròn đường kính AB. b) a2 + b2 > 0 là điều kiện cần để a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.