Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 21: Nón, trụ, cầu - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 21: Nón, trụ, cầu - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 21 Nón, trụ, cầu Câu 1. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc hộp kín hình trụ bằng nhôm để dựng rượu có thể tích là V 28 a3 a 0 . Để tiết kiệm sản xuất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản xuất những chiếc hộp hình trụ có bán kính là R sao cho diện tích nhôm cần dùng là ít nhất. Tìm R . A. R a 3 7 . B. R 2a 3 7 . C. R 2a 3 14 . D. R a 3 14 . Lời giải Tác giả: Hương Giang ; Fb: Huong Giang Chọn D Gọi h là chiều cao hình trụ. 28a3 Ta có thể tích khối trụ là: V S.h 28 a3 R2.h h R2 28a3 56 a3 Diện tích toàn phần khối trụ là: S 2 R.h 2 R2 2 R. 2 R2 2 R2 tp R2 R Ta cần tìm R sao cho Stp min Xét hàm: 56 a3 56 a3 f R 2 R2 f R 4 R R R2 f R 0 4 R3 56 a3 0 4 R3 14a3 0 R a 3 14 . Lập bảng biến thiên ta có: 3 Vậy Stp min khi và chỉ khi R a 14 Câu 2. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 5 . Tính thể tích V của khối nón nội tiếp tứ diện ABCD . 25 6 125 3 125 6 25 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 108 108 108 36 Lời giải Tác giả: Trần Thị Kim Thu ; Fb: Thu Tran Chọn C  Trang 577 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Gọi O là tâm giác đều BCD và I là trung điểm của cạnh BC . Khối nón nội tiếp tứ diện đều ABCD có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều BCD và đỉnh là điểm A, khi đó khối nón này có bán kính 5 3 5 6 đáy là r OI và chiều cao là h OA AD2 OD2 . Vậy thể tích của khối nón cần tìm 6 3 2 1 2 1 5 3 5 6 125 6 là V r h . . . 3 3 6 3 108 Câu 3. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho tứ diện ABCD có AB 6a ; CD 8a và các cạnh còn lại bằng a 74 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 100 A. S 96 a2 . B. S 100 a2 . C. S 25 a2 . D. S a2 . 3 Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Lộc; Fb: Do Tan Loc Chọn B D N I A C M B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có: DCA DBC AN BN Suy ra MN là trung trực của AB , tương tự MN là trung trực của DC Khi đó I MN sao cho ID IA Lại có AN AD2 DN 2 a 58 MN AN 2 AM 2 7a  Trang 578 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Mặt khác IM IN R2 AM 2 R2 DN 2 R2 9a2 R2 16a2 7a R 5 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là S 100 a2 . Câu 4. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Một người thợ muốn tạo một đồ vật hình trụ từ một khối gỗ hình hộp chữ nhật, có đáy là hình vuông và chiều cao bằng 1,25 m . Để tạo ra đồ vật đó người thợ vẽ hai đường tròn (C) và (C’) nội tiếp hai hình vuông của hai mặt đáy của khối gỗ hình hộp chữ nhật rồi dọc đi phần gỗ thừa theo các đường sinh của đồ vật hình trụ. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn (C) và hình vuông ngoại tiếp của (C) có một hình chữ nhật kích thước 0,3cm 0,6cm (như hình vẽ) và mỗi mét khối gỗ thành phẩm có giá 20 triệu đồng. Hỏi người thợ cần số tiền gần nhất với số tiền của phương án nào dưới đây để tạo được 10 đồ vật như vậy. A. 196000 đồng. B. 65000 đồng. C. 176000 đồng. D. 58000 đồng Tác giả: Nguyễn Đăng Trúc; Fb: Trúc Xinh Lời giải Chọn C y a I M(6;3) x O Xét hệ trục Oxy như hình vẽ, 1 đơn vị trên trục là 1 milimet. Vì hình chữ nhật có kích thước 0,3cm 0,6cm nên nếu ta gọi M là giao điểm của hình chữ nhật và đường tròn (C) thì ta có toạ độ M(6; 3). Vì đường tròn (C) nội tiếp hình vuông nên nếu ta cạnh hình vuông có độ dài là a ( a 3) thì ta có được tâm của đường tròn (C) là I(a;a) . Theo đề bài ta có: (C) : (x a)2 (y a)2 a2 . Vì M thuộc (C) nên ta có (6 a)2 (3 a)2 a2 a2 18a 45 0 a 3 (loại) hoặc a 15 (nhận). Vậy (C) có bán kính R = 15 cm = 0,015 m. Ta có thể tích V của khối gỗ thành phẩm là khối trụ có R = 0,015 m và h = 1,25 m. 9 V R2h .0,0152.1,25 32000  Trang 579 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 9 Vậy số tiền cần dùng để tạo 10 đồ vật như vậy: 10.20.106. 176714 (đồng). 32000 Câu 5. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Một hình cầu (S) tiếp xúc với ba đường thẳng lần lượt tại B , C và D . Tính thể tích V của hình cầu (S). a3 3 4 a3 a3 2 8 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 81 3 27 Lời giải Tác giả: Hoàng Thảo; Fb: Hoàng Thảo Chọn C Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Hình cầu (S) tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, AD lần lượt tại B , C và D nên ·ABI ·ACI ·ADI 90 A, B,C, D, I S E; R với E là trung điểm AI và bán kính bằng bán kính a 6 mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là R . 4 a 6 a 2 Ta có AI 2R IB IA2 AB2 2 2 3 4 a 2 a3 2 Thể tích của hình cầu (S) là V . 3 2 3 Câu 6. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thang cân với đáy nhỏ AB 15 , đáy lớn CD 28 và chiều cao lăng trụ là h 12. Biết rằng có một hình cầu (S) tiếp xúc với tất cả các cạnh đáy của hình lăng trụ đã cho. Hãy tính diện tích của hình cầu (S). A. 608 . B. 560 . C. 1824 . D. 564 . Lời giải Tác giả: Hồng Hạnh; Fb: Cactuss Lee  Trang 580 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chọn D AB CD 43 CD AB 13 Ta có: AD BC , HC 2 2 2 2 BH 645 IO JO 105 , OB IO2 IB2 , OC JC 2 OJ 2 301 2 2 OK OI JO 105 (bán kính đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD ) 2 h 2 R(S ) GK OK 141 2 2 Vậy diện tích hình cầu (S) cần tìm: S 4 R(S ) 564 . Câu 7. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho khối nón có chiều cao bằng 8 và độ dài đường sinh bằng 10. Thể tích của khối nón đã cho là: A. 96 . B. 140 . C. 128 . D. 124 . Lời giải Tác giả: Cao Xuân Hùng; FB: Cao Hùng Chọn A S O A Theo giả thiết, ta có h SO 8, l SA 10 . SOA vuông tại O nên suy ra R OA SA2 SO2 100 64 6 .  Trang 581 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 Vậy thể tích khối nón là V R2h .36.8 96 . 3 3 Câu 8. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm O, SA, SB là hai đường sinh biết SO 3, khoảng cách từ O đến SAB là 1 và diện tích tam giác SAB là 27. Tính bán kính đáy của hình nón trên. 15 2 3 130 530 674 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải. Tác giả:Phạm Quân. Facebook: Phạm Khánh Huyền Chọn B d O; SAB OH 1. 1 1 1 1 8 3 2 Ta có OM . OM 2 SO2 OH 2 OM 2 9 4 9 2 Suy ra: SM SO2 OM 2 . 4 Gọi AM MB x AB 2x . 1 1 9 2 Vì S SM.AB 27 suy ra . .2x 27 x 6 2 MB SAB 2 2 4 3 130 r OB OM 2 MB2 4 Câu 9. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hình trụ có bán kính đáy r . Gọi O và O là tâm của hai đường tròn đáy với OO 2r . Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O . Gọi Vc Vc và Vr làn lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ. Khi đó bằng Vt 2 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 5 Lời giải Tác giả: Trần Vinh; Fb: Vinh Trần . Chọn A  Trang 582 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 3 Ta có thể tích khối trụ là Vt .r .OO 2 r (1) 1 Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ nên mặt cầu có bán kình R OO r , suy ra thể tích 2 4 4 khối cầu là V R3 r3 (2) c 3 3 4 r3 Vc 3 2 Từ (1) và (2) ta có 3 . Vt 2 r 3 Câu 10. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh có độ dài 2a . Thể tích của khối nón là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 12 2 6 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung; Fb: Nguyễn Thị Hồng Nhung Chọn A h R Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là h và R . 3 2 2 2 Ta có h .2a a 3 và R 2a h2 2a a 3 a . 2 1 a3 3 Vậy thể tích của khối nón là V . R2.h . 3 3 Câu 11. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Một tấm vải hình chữ nhật được cuốn 100 vòng  Trang 583 
8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 (theo chiều dài tấm vải) quanh một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm sao cho mép vải luôn song song với trục của hình trụ. Biết rằng bề dày tấm vải là 0,3 cm. Tính chiều dài tấm vải đó. Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung Chiều dài của vòng thứ 1 là 2 .5 cm . Chiều dày của vòng thứ 2 là 2 5 0,3 cm . Chiều dày của vòng thứ 3 là 2 5 2.0,3 cm . . Chiều dày của vòng thứ 100 là 2 5 99.0,3 cm . Suy ra chiều dài tấm vải là 99.100 2 5.100 0,3 1 2 3  99 2 500 0,3. 3970 cm . 2 vantrung38@gmail.com chucnguyen29796@gmail.com Câu 12. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019)Trong không gian cho tam giác ABC có AB 2R, AC R, C· AB 120. Gọi M là điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm B, bán kính R. Giá trị nhỏ nhất của MA 2MC là A. 4R . B. 6R . C. R 19 . D. 2R 7 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Phản biện: Trần Thanh Sơn; Fb: Trần Thanh Sơn Chọn C C A M E F B Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu S B; R và F là trung điểm của EB ta có E là trung điểm của AB , BE BM R . 2 2 2 2 2 · 2 3R 3R 19R AFC có FC AC AF 2AC.AF.cosCAB R 2.R. .cos120 2 2 4  Trang 584 
9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 R 19 FC 2 Xét hai tam giác BFM và BMA có: ·ABM chung MA AB BF BM 1 BFM : BMA 2 MA 2MF FM MB BM BA 2 R 19 Khi đó MA 2MC 2 MF MC 2FC 2. MA 2MC R 19 2 Vì F nằm trong mặt cầu S và C nằm ngoài mặt cầu S nên dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của FC và S , do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA 2MC là R 19 . Câu 13. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho hai mặt phẳng P , Q song song với nhau cắt khối cầu tâm O , bán kính R tạo thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa P , Q để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất. 2R 3 A. R . B. R 2 . C. .D. 2 R 3 . 3 Lời giải S O A H B Chọn C Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục, ta được thiết diện như hình trên. Khi đó, ta có OA R . Đặt OH x , ta có SH 2x , AH R2 x2 , SA R2 3x2 . 2 2 2 2 Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq AH  SA R x  R 3x . 3 2R2 3 Ta có R2 x2  R2 3x2  3R2 3x2  R2 3x2 . 3 3 R 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3R2 3x2 R2 3x2 x . 3 Câu 14. (HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là  Trang 585 
10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 7 h. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu là h h 1 2 ( hình H1 ). Ta bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên ( hình H2 ), gọi chiều cao của cột nước k trong phễu ở hình H là k . Tính . 2 h Lời giải Cho hình chóp như hình vẽ bên. Đặt SO1 h1; SO h; AO1 r1; CO r . SO AO h r Ta có 1 1 t 1 1 t SO CO h r Gọi V1;V2 lần lượt là thể tích của khối nón tròn xoay khi quay SA;SC quanh trục SO1 Ta có 1 2  V r h 2 1 1 1 3 V1 r1 h1 3  t 1 V r h V r2h 1 3  Áp dụng kết quả trên ta có : 3 3 3 V1 h1 7 7 7 Thể tích phần chứa nước là V1 V V h 2 8 8 1 Suy ra thể tích phần không chứa nước là V V . Chiều cao của phần phễu không chứa nước trong 2 8 3 V2 h k 1 h k 1 hình H2 là h k . Ta có 2 h k h k . Vậy . V h 8 2 h 2 Câu 15. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có B· AC 60 , BC a , SA  ABC . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, M, N bằng: 3a 2 3a A. . B. . C. a . D. 2a . 3 3  Trang 586 
11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Lê Thị Hồng Ngọc ; Fb: Lê Thị Hồng Ngọc Chọn B S N M J A C 60° O I a B Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ABC OA OB OC 1 . I , J lần lượt là trung điểm AB , AC . Ta có: I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM . OI  ABM . OI là trục của tam giác ABM OA OB OM 2 . Tương tự ta cũng có OA OC ON 3 . BC 2 3a 1 , 2 , 3 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCMN bán kính R . sin A 3 Câu 16. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho sản phẩm mới. Theo yêu cầu của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông hoặc có dạng một hình trụ. Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng 1 dm3 . Hãy giúp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất. Lời giải Tác giả : Nhóm 4 tổ 8 nhóm strong team toán vd-vdc Vật liệu làm bao bì ít nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp đạt giá trị nhỏ nhất. Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông: Gọi độ dài cạnh đáy là x dm , chiều cao h dm , x,h 0 .  Trang 587 
12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 Khi đó thể tích khối hộp: V x2h 1 h . x2 4 Diện tích toàn phần của hộp là: S 2xh 2x2 2x2 . tp x 4 2 2 Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương: 2x2 2x2 3.2 6. x x x 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2x2 x 1 dm . x 2 Vậy trong trường hợp này Stp đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 dm , đạt được khi khối hộp là hình lập phương cạnh bằng 1 dm . Nếu hộp sữa có dạng hình trụ với đáy là đường tròn bán kính r dm , chiều cao h dm với h 0 , r 0 . 1 Khi đó thể tích của khối trụ là: V r2h 1 h . r2 Suy ra diện tích toàn phần của hộp bằng: 2 1 1 S 2 rh 2 r2 2 r2 2 r2 33 2 . tp r r r 3 2 Vậy trong trường hợp này Stp đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 dm khi đáy là hình tròn có bán kính 1 1 r thỏa mãn: 2 r2 r dm . r 3 2 Vì 33 2 6 nên lãnh đạo nhà máy nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy là: 1 4 r dm và chiều cao h 3 dm . 3 2 Câu 17. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm mới. Theo yêu cầu của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông hoặc có dạng một hình trụ. Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng 1 dm3 . Hãy giúp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa này sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì là ít nhất. Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm ; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm  Trang 588 
13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông, có độ dài cạnh đáy là x dm , chiều cao là h dm x,h 0 . 1 Khi đó thể tích hộp sữa là V x2h 1 h . 1 x2 4 Suy ra diện tích toàn phần của hộp sữa là S 4xh 2x2 2x2 . tp1 x 4 2 2 2 S 2x2 2x2 3.2 6,dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 2x2 x 1. tp x x x x Nếu hộp sữa có dạng một hình trụ có đáy là đường tròn có bán kính R dm , chiều cao k dm , R,k 0 . 1 Khi đó thể tích hộp là V R2k 1 k . 2 R2 Suy ra diện tích toàn phần của hộp sữa là: 2 1 1 S 2 Rk 2 R2 2 R2 2 R2 33 2 , dấu ‘=’ xày ra khi và chỉ khi: tp2 R R R  Trang 589 
14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 2 R2 R dm . R 3 2 Vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp sữa đạt giá trị nhỏ 1 nhất, do đó nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ có đáy là đường tròn bán kính dm và chiều 3 2 1 2 cao 3 2 dm . Câu 18. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Trong tất cả các hình trụ nội tiếp một hình nón có bán kính đáy là r và chiều cao bằng 3r . Tìm chiều cao h của hình trụ có thể tích lớn nhất . 4r 3r A. h . B. h r . C. h 3r . D. h . 3 4 Lời giải Tác giả: Bích Thuận; Fb: Bich Thuan Chọn B Gọi R là bán kính của hình trụ SO' R 3r h R 3r h Ta có: R SO OB 3r r 3 2 2 2 3r h (3r h) h Vtru R .h .h 3 9 2 Vtru lớn nhất (3r h) h lớn nhất Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số ta có: 3r h 3r h 2h 33 (3r h)2 .2h 2r 3 (3r h)2 .2h 8r3 (3r h)2 .2h 4r3 (3r h)2 h (3r h)2 h lớn nhất khi và chỉ khi 3r h 2h r h Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao h r  Trang 590 