Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 17: Số phức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 17: Số phức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 17 Số phức Câu 1. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 1 7i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Mến; Fb: Nguyễn Mến Chọn B Cách 1: 1 7i 2 Ta có: 1 i z 1 7i 2 z z 3 4i 1. 1 i 1 i Gọi số phức z có dạng z x iy x, y R,i2 1 . z 3 4i 1 x 3 2 y 4 2 1. Tập hợp các điểm biểu diễn z thỏa mãn z 3 4i 1 là đường tròn tâm I 3;4 , bán kính R 1. z OM OI IM OI R 32 42 1 6 Khi đó, max . Vậy giá trị lớn nhất của z là 6. Cách 2: 1 7i 2 Ta có: 1 i z 1 7i 2 z z 3 4i 1. 1 i 1 i Khi đó, z 3 4i 1 z 6 . Vậy giá trị lớn nhất của z là 6. Câu 2. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho số phức z a bi a, b ¡ thoản mãn  Trang 368 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 z 8 i z 6i 5(1 i) . Tính giá trị của biểu thức P a b . A. P 1. B. P 14. C. P 2 . D. P 7 . Lời giải Tác giả: Phạm Huy ; Fb: Huypham01 Chọn D Cách 1: Ta có z 8 i z 6i 5(1 i) z 8 i z 6i 5(1 i) z 6i 2 z 8 2 5 2 a2 b 6 2 a 8 2 b2 5 2 2a2 2b2 16a 12b 100 50 a2 b2 8a 6b 50 0 a 4 2 b 3 2 0 a 4 0 a 4 . b 3 0 b 3 Vậy P 7 . Cách 2: Ta có z 8 i z 6i 5(1 i) a 8 2 b2 . i a2 b 6 2 5 5i 2 2 a b 6 5 2 2 a 8 b 5 2 2 a b 12b 36 25 1 2 2 a b 16a 64 25 2 3b 7 Lấy 1 2 theo từng vế ta có: 12b 16a 28 0 a 4 3b 7 Thay a vào 1 ta được: 4 2 3b 7 2 b 12b 11 0 4  Trang 369 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 25 117 225 b2 b 0 16 8 16 b 3 a 4. Vậy P 7 . Cách 3: Ta có z 8 i z 6i 5(1 i) a 8 2 b2 . i a2 b 6 2 5 5i 2 2 a b 6 5 2 2 a 8 b 5 2 2 a b 6 25 1 2 2 a 8 b 25 2 Xét trên hệ trục tọa độ Oxy: Phương trình 1 là phương trình đường tròn C1 có tâm I1 0 ; 6 và bán kính R1 5 Phương trình 2 là phương trình đường tròn C2 có tâm I2 8 ; 0 và bán kính R2 5 Ta có I1I2 R1 R2 10 C1 tiếp xúc ngoài C2 tại 1 diểm duy nhất M a ; b 4 ; 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất a ; b 4 ; 3 Vậy P 7 . Câu 3. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 4z 13 0 . Khi đó z1 . z2 z1 bằng: A. 26. B. 13 13 . C. 13. D. 13 3 . Lời giải Tác giả:Nguyễn Quân ;Fb: Quân Nguyễn Chọn B 2 z1 2 3i Ta có z 4z 13 0 . z2 2 3i Suy ra z1 . z2 z1 2 3i 2 3i 2 3i 13 13 . Câu 4. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Xét các số phức z a bi, a,b ¡ thỏa mãn z 2 3i 2 . Tính P a b khi z 2 5i z 6 3i đạt giá trị lớn nhất. A. P 3. B. P 3 . C. P 7 . D. P 7 . Lời giải Tác giả: Trần Duy Thúc ; Fb: Trần Duy Thúc  Trang 370 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chọn D M I A K B Đặt M a,b là điểm biểu điễn của số phức z a bi , A 2,5 , B 6; 3 và K 2;1 là trung điểm của AB . Từ phương trình z 2 3i 2 cho ta điểm M thuộc đường tròn C tâm I 2, 3 , bán kính R 2 . Ta có: 4MK 2 AB2 T z 2 5i z 6 3i MA MB 2. MA2 MB2 2. . 2 4 IK R 2 AB2 T 2. 2 82 . 2 MA MB Dấu “=” xảy ra khi   M 3; 4 . 5MI IK 0 Vậy : P a b 7 . Bình luận.   Ta thực hiện được Lời giải trên khi IA IB . Nếu trắc nghiệm thì giải 5MI IK 0 là xong. Trong bài toán trên ta thấy IA IB 8 2 . Nếu IA IB thì dấu bằng sẽ không xảy ra.  Trang 371 