Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 13: Hàm số liên tục, đạo hàm - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 13: Hàm số liên tục, đạo hàm - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 13 Hàm số liên tục, đạo hàm Câu 1. (HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Tìm a để hàm số 3x 1 x 3 khi x 1 x2 1 f (x) (a 2)x khi x 1 4 liên tục tại điểm x 1. Lời giải Tác giả: Đàm Thị Lan Anh ; Fb: Đàm Anh Tập xác định D ¡ . Ta có: a 2 f (1) ; 4 (a 2)x a 2 lim f (x) lim ; x 1 x 1 4 4 3x 1 x 3 2(x 1) lim f (x) lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1)( 3x 1 x 3) 2 1 lim x 1 (x 1)( 3x 1 x 3) 4 a 2 1 Hàm số liên tục tại x 1 khi và chỉ khi f (1) lim f (x) lim f (x) a 1. x 1 x 1 4 4 Vậy a 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 2. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Hàm số nào sau đây liên tục trên ¡ ? 1 x 3 A. y 2 B. y . 6 tan x x2 4x 4 sin 3x 1 C. y x4 7x2 8 . D. y . 2sin x cosx 3 Lời giải Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt; Fb: Huỳnh Kiệt Chọn D Để hàm số liên tục trên ¡ thì tập xác định của hàm số là ¡ Ta xét: 1  Câu A: y D ¡ \ k  k ¢ 6 tan2x 2   Trang 264 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 3 x 3 Câu B: y D ¡ \ 2 x2 4x 4 x 2 4 2 2 2 Câu C: y x 7x 8 x 1 x 8 D ; 2 2  2 2; 22 1 2 3 2sin x cosx 3 22 1 2 3 5 3 2sin x cosx 3 5 3 Câu D: Ta có: 2sin x cos x 3 0  x ¡ D ¡ Theo định lý thừa nhận ở sgk thì hàm lương giác liên tục trên tập xác định của nó nên câu D hàm số liên tục trên ¡ x2 x 1 khi x 1 Câu 3. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số f x với a là ax 2 khi x 1 tham số. Khi hàm số liên tục tại x 1 thì giá trị của a bằng A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 1. Lời giải Tác giả: Nguyễn Đức Duẩn; Fb: Duan Nguyen Duc Chọn D +) TXĐ: D ¡ . +) Có f 1 3 . +) Ta có lim f x lim x2 x 1 3 . x 1 x 1 lim f x lim ax 2 a 2 . x 1 x 1 Hàm số liên tục tại x 1 khi lim f x lim f x f 1 a 2 3 a 1 . x 1 x 1 Vậy a 1 thì hàm số liên tục tại x 1. Câu 4. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Biết rằng phương trình x5 x3 3x 1 0 có duy nhất một nghiệm x0 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x0 1;2 . B. x0 0;1 . C. x0 1;0 . D. x0 2; 1 . Lời giải Tác giả: Trần Công Sơn; Fb: Trần Công Sơn Chọn B Đặt f x x5 x3 3x 1. TXĐ: D ¡ . Hàm số liên tục trên ¡ . f 0 1 Ta có: f 0 . f 1 4 0 . f 1 4 Nên tồn tại x0 0;1 sao cho f x0 0 .  Trang 265 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 sin x 2 Câu 5. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019)Cho hàm số y . Tìm các giá trị m sin x m để y 0 , với mọi x ;0 . 2 A. m 0 hoặc m 2 . B. m 1hoặc 0 m 2 . C. m 0 hoặc 1 m 2 . D. m 2 . Lời giải Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh; Fb: Vinh Phan Chọn B Trường hợp m 1: 2 m Hàm số có tập xác định là D ¡ và y cos x. . sin x m 2 2 Khi đó, y 0,x ;0 2 m 0 m 2 (vì cos x 0 , sin x m 0 với mọi x ;0 ). 2 2 Kết hợp với điều kiện m đang xét ta có m 1hoặc 1 m 2 . Trường hợp m 1: 2 m Điều kiện sin x m . Ta có y cos x. . sin x m 2 m 2 2 m 0 m 1 2 Khi đó, y 0,x ;0 m 1 (vì cos x 0 , sin x m 0 và 2 m 1;0 0 m 2 m 0 sin x 1;0 với mọi x ;0 ). 2 Kết hợp với điều kiện đang xét ta có m 1hoặc 0 m 1. Tổng hợp kết quả hai trường hợp đang xét, giá trị m cần tìm là m 1hoặc 0 m 2 . Cách trắc nghiệm: Nhận xét: Bài toán trắc nghiệm nên có thể làm theo cách: Đặt t sin x, do x ;0 t 1;0 . 2 t 2 m 2 Ta có y , t 1;0 , và y . t m t m 2 m 1;0 m ; 10; Yêu cầu bài toán m ; 10;2 . m 2 0 m 2 Câu 6. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số f x x2 1 x 2 x 3 x 2018 và  Trang 266 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 f x g x . x Tính g 1 A. 2. B. 2019! C. 0.D. 2019!. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Trăng; Fb: Trăng Nguyễn Chọn D x. f x f x Ta có g x (1). x2 Mặt khác f x x2 1 x 2 x 3 x 2018 suy ra f 1 0 . f x x 1 x 2 x 3 x 2018 x 1 [ x 2 x 2018 x 1 x 3 x 2018 x 1 x 2 x 2017 ] Suy ra f 1 2.3.4 2019 2019! Thay vào (1) suy ra g 1 2019! 3 2x (2ax b 1) 4x 1 Câu 7. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Cho biết 2 , 4x 1 4x 1 với a,b là số nguyên. Tính giá trị biểu thức P 3b 2a A. P 29 . B. P 13 . C. P 19 . D. P 23 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Tường Lĩnh; Fb: Khoisx Bvkk Chọn C 3 2x (3 2x) . 4x 1 (3 2x). 4x 1 * Ta có 4x 1 4x 1 3 2x .2 2. 4x 1 2 4x 1 2 3 2x 4x 4 4x 1 4x 1 4x 1 4x 1 4x 1 4x 1 2 . 2a 4 a 2 * Suy ra . b 1 4 b 5 * Vậy P 19 . Câu 8. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Cho hàm số 1 y (m 2)x3 – (m 2)x2 2m 1 x 5m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m trên khoảng 3 ( 3;7) sao cho y'(x) 0, x R . Tính tổng các phần tử của tập S ta được kết quả là A. 19 . B. 20 . C. 17 . D. 18 . Lời giải  Trang 267 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt; Fb:Huỳnh Kiệt Chọn B TH1: m 2 y 5x 10 , Do là hàm số bậc nhất và a 5 0 nên y (x) 0, x ¡ Vậy m 2 thỏa mãn. 1 TH2: m 2 y (m 2)x3 – (m 2)x2 2m 1 x 5m. 3 y m 2 x2 2 m 2 x 2m 1. Ta có: a 0 m 2 m 2 y (x) 0, x ¡ 2 0 m 2 m 2 2m 1 0 m 2 m 3 0 m 2 m 2. m 3 Do m 2;7 và là số nguyên nên m 3;4;5;6 . Kết hợp 2 TH ta có S 2;3;4;5;6 Tổng là 20. Câu 9. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Cho hàm số hàm số y x.cos x . Chọn khẳng định Đúng? A. 2(cos x y ) x(y y) 1. B. 2(cos x y ) x(y y) 0 . C. 2(cos x y ) x(y y) 0 . D. 2(cos x y ) x(y y) 1. Lời giải Tác giả: Hoàng Minh Thành; Fb: Hoàng Minh Thành Chọn C Tập xác định: D ¡ Ta có: y ' cos x xsin x y" 2sin x x cos x 2(cos x y ') 2xsin x Khi đó: 2(cos x y ') x(y" y) 0 x(y" y) 2xsin x . Câu 10. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019)Cho hàm số f x x x 1 x 2 x 2018 . Tính f 0 . A. f 0 2018!. B. f 0 2018!. C. f 0 0 . D. f 0 2018. Lời giải Tác giả: Trần Ngọc Diễm; Fb: Trần Ngọc Diễm Chọn A  Trang 268 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 f x 1. x 1 x 2 x 2018 x.1. x 2 x 2018 x x 1 x 2 x 2017 .1 f 0 1. 1 2 2018 1.2 2018 2018!. x2 Câu 11. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số y . Tính y 100 0 . 1 x A. y 100 0 100!. B. y 100 0 99!. C. y 100 0 100!. D. y 100 0 99!. Lời giải Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông Chọn A x2 1 Với mọi số thực x 1thì y x 1 , suy ra ta có: 1 x 1 x 1 y 1 1 x 2 2 y 1 x 3 6 3! y 1 x 4 1 x 4 24 4! y 4 1 x 5 1 x 5 . n! Ta dự đoán và dễ dàng chứng minh được y n , với n 2 và n ¥ . 1 x n 1 Khi đó: y 100 0 100! Câu 12. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số y f (x) 1 cos2 2x . Chọn kết quả đúng. sin 4x sin 2x A. df x dx . B. df x dx . 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x sin 4x cos 2x C. df x dx . D. df (x) dx . 1 cos2 2x 1 cos2 2x Lời giải Tác giả: Vũ Văn Trụ; Fb: Trụ Vũ Chọn C 2 1 cos 2x df x d 1 cos2 2x 1 cos2 2x .dx .dx 2 1 cos2 2x  Trang 269 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2cos 2x. cos 2x 2cos 2x. 2sin 2x sin 4x .dx .dx .dx . 2 1 cos2 2x 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x cos x Câu 13. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số y = . Mệnh đề nào dưới đây x đúng? A. 2y¢+ xy¢¢= - xy . B. 2y¢+ xy¢¢= xy . C. y¢+ xy¢¢= - xy . D. y¢+ xy¢¢= xy . Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai Chọn A cos x Ta có y = xy cos x 1 . x Lấy đạo hàm 2 vế của 1 ta được: y xy sin x 2 . Lấy đạo hàm 2 vế của 2 ta được: y y xy cos x 2y' xy xy .  Trang 270 