Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 4 phần 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 4 phần 4 (Có đáp án)

1. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho tứ diện ABCD có AB 3a , AC a 15 , BD a 10 , CD 4a . Biết rằng góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng BCD bằng 45, 5a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng và hình chiếu của A lên mặt phẳng 4 BCD nằm trong tam giác BCD . Tính độ dài đoạn thẳng AD . 5a 2 3a 2 A. .B. 2 2a .C. .D. 2a . 4 2 Lời giải Chọn D Ta xét tích vô hướng          AD.BC AD. AC AB AD.AC AD.AB AD.AC.cos µA AD.AB.cos µA AD2 AC 2 CD2 AD2 AB2 BD2 AD.AC. AD.AB. 2AD.AC 2AD.AB AD2 AC 2 CD2 AD2 AB2 BD2 . 2 2 AC 2 BD2 CD2 AB2 15a2 10a2 16a2 9a2 0 AD  BC . 2 2 Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD và M DH  BC suy ra M nằm giữa B và C .
2. BC  AH Ta có BC  AHD BC  DM . BC  AD MN  BC Trong mặt phẳng ADM dựng MN  AD tại N , suy ra suy ra MN là đoạn MN  AD 5a vuông góc chung của AD và BC , do đó d AD;BC MN . 4 Vì AH  BCD nên ·AD; BCD ·ADH 45. Đồng thời H nằm giữa D và M nên ·AMD 90 suy ra N nằm giữa A và D . 5a 2 a 110 Ta có DM MN. 2 BM BD2 DM 2 . 4 4 AD  MN Ta có AD  BNC AD  BN . AD  BC 2 2 2 2 2 2 2 2 110a 25a 3a AN AB BN AB BM MN 9a . 16 16 4 5a Mặt khác vì tam giác DMN vuông cân tại N nên DN MN . 4 Câu 2: Do đó AD AN DN 2a .(SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB 1cm , AC 3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông góc 5 5 tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng cm3 . Tính khoảng 6 cách từ C tới SAB 5 5 3 A. cm .B. cm .C. cm .D. 1cm . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Xét tam giác ABC vuông tại A : BC AB2 AC 2 1 3 2 4 5 5 5 V R3 R . mc 3 6 2 Gọi I , J , M , N lần lượt là trung điểm SA , AC , AB , BC .
3. Do tam giác SAB , SAC lần lượt vuông góc tại B và C nên IS IA IB IC . 5 Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và IB 2 Và IN vuông góc với ABC (do N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ). Ta có: MN  AB IMN  AB IMN  IAB IN  AB Trong IMN : Dựng NH  IM NH  IAB d NH d N ; IAB N ; SAB 1 3 1 MN AC ; IN IB2 BN 2 2 2 2 1 1 1 4 16 3 Ta có 4 NH NH 2 MN 2 IN 2 3 3 4 d C; SAB BC 3 Lại có:CN  SAB B 2 d . d BN C; SAB 2 N ; SAB Câu 3: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy là tam 61 giác ABC vuông tại A , AB 3 , AC 4 , AA . Hình chiếu của B lên mặt phẳng 2 ABC là trung điểm cạnh BC , M là trung điểm cạnh A B . Cosin của góc tạo bởi mặt phẳng AMC và mặt phẳng A BC bằng 11 13 33 33 A. B. C. D. 3157 65 3517 3157 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là trung điểm BC . Ta có: BC AB2 AC 2 5 Xét tam giác B BH vuông tại H : B H 2 BB 2 B H 2 3
4. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A trùng với O như hình vẽ 3 3 Với A 0;0;0 , B 0;3;0 ,C 4;0;0 H 2; ;0 là trung điểm BC B 2; ;3 2 2    3 3 Do BB AA CC A 2; ;3 ;C 6; ;3 M 2;0;3 2 2   3   AM 2;0;3 ; AC 6; ;3 nên vectơ pháp tuyến MAC là n MAC AM , AC 2 9 ;12; 3 2  9  3   A B 2; ; 3 ; A C 2; ; 3 nên vectơ pháp tuyến A BC là n A BC A B, A C 2 2 9; 12; 12 Gọi là góc tạo bởi mặt phẳng AMC và mặt phẳng A BC . 9 n .n . 9 12. 12 3. 12 MAC A BC 2 33 cos = . n . n 2 3157 MAC A BC 9 2 2 2 2 2 12 3 . 9 12 12 2 Câu 4: HẾT (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 , BC 4 . Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4 . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng: S A D B C 3 17 3 34 2 34 5 34 A. . B. . C. . D. . 17 34 17 17 Lời giải Chọn B
5. S K I D A H B C - Dựng BH  AC tại H , theo giả thiết suy ra BH  SAC BH  SA . - Dựng HI  SA tại I SA  BHI B· IH là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . - Dựng CK  SA tại K CK 4 là khoảng cách từ C đến SA . BA.BC 3.4 12 9 - Ta có: BH AH AB2 BH 2 . AC 5 5 5 HI AH 9 9 36 IH //CK HI .CK CK AC 25 25 25 BH 5 1 3 tan B· IH cos B· IH . HI 3 1 tan2 B· IH 34 3 34 Vậy cos B· IH . 34 Câu 5: Cho hình lập phương, mỗi cặp đỉnh của nó xác định một đường thẳng. Trong các đường thẳng đó, tìm số các cặp đường thẳng (không tính thứ tự) không đồng phẳng và không vuông góc với nhau. A. 132.B. 96 .C. 192.D. 108. Câu 6: Cho hình lập phương, mỗi cặp đỉnh của nó xác định một đường thẳng. Trong các đường thẳng đó, tìm số các cặp đường thẳng (không tính thứ tự) không đồng phẳng và không vuông góc với nhau. A. 132.B. 96 .C. 192.D. 108. Lời giải Chọn B
6. B C D A B' C' A' D' Chia làm ba loại gồm: 12 cạnh; 12 đường chéo phụ là đường chéo của các hình vuông là mặt của hình lập phương và 4 đường chéo chính của hình lập phương. + Nhận thấy các cạnh hoặc đồng phẳng, hoặc là vuông góc nên không có cặp cạnh nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cả bốn đường chéo chính cũng vậy. + Chọn 1 cạnh bất kỳ, tương ứng với cạnh đó có đúng 2 đường chéo chính, và 4 đường chéo phụ kết hợp với cạnh tạo thành cặp đường thẳng thỏa bài toán, do đó có 12. 2 4 72 cặp. + Đường chéo chính và đường chéo phụ bất kỳ không thỏa mãn bài toán. + Chọn một đường chéo phụ bất kỳ, có đúng 4 đường chéo phụ khác kết hợp với đường chéo phụ đã chọn tạo thành cặp đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vì số lần đếm gấp đôi nên 12.4 số cặp đường chép phụ thỏa bài toán là : 24 cặp. 2 Vậy có 72 24 96 cặp đường thẳng thỏa bài toán. Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Biết hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 3 3a 2 a 3 A. a .B. .C. a .D. . 2 2 3 2 Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Biết hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 3 3a 2 a 3 A. a .B. .C. a .D. . 2 2 3 2 Lời giải Chọn C
7. Gọi H là trung điểm của BC 1 Ta có BC AB2 AC 2 a2 3a2 2a suy ra AH BC a và 2 A H A A2 AH 2 7a2 a2 a 6 Từ A ta dựng đường thẳng d song song với BC , kẻ HM  d tại M và HK  AM tại K . AM  MH Ta có AM  A MH AM  HK . AM  A H HK  AM Ta có HK  A AM . HK  A M Do đó d AA ; B C d BC; A AM d H; A AM HK . AB2.AC 2 a2.3a2 3a Ta có HM AI . AB2 AC 2 a2 3a2 2 Xét tam giác A HM vuông tại H ta có 3 2 2 2 2 a .6a MH .A H 4 2 HK 2 2 a . 3 2 2 MH .A H a 6a 3 4 · Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) bằng a 15 a 15 a 15 a 15 A. .B. . C. .D. . 15 30 20 10 · Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) bằng a 15 a 15 a 15 a 15 A. .B. . C. .D. . 15 30 20 10 Lời giải Chọn D
8. S N M J A G D K H I O P B C Dựng MK / /SH, KI  HO, KJ  MI KJ  HMN  . Chứng minh được SBC / / d G; d S; d A; 2d K; 2KJ. 1 a 3 a 3 SH a 3 Tính được KI . , MK . 4 2 8 2 4 KI.KM a 15 a 15 a 15 Suy ra KJ . Vậy d G; 2KJ 2. . KI 2 KM 2 20 20 10 Câu 11: Cho tam giác ABC có BC a , B· AC 135 . Trên đường thẳng vuông góc với ABC tại A lấy điểm S thỏa mãn SA a 2 . Hình chiếu vuông góc của A trên SB , SC lần lượt là M , N . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và AMN là? A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 75 . HẾT
9. BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ 177 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B C A A D B D B C B C A C D B C C B A C B B A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A D B C B D A A B D C C C D B A B A A C A D D A B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 12: Cho tam giác ABC có BC a , B· AC 135 . Trên đường thẳng vuông góc với ABC tại A lấy điểm S thỏa mãn SA a 2 . Hình chiếu vuông góc của A trên SB , SC lần lượt là M , N . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và AMN là? A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 75 . Lời giải Chọn B S N C M A O D B Gọi AD là đường kính của đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC . SA  DC Khi đó, ta có: DC  SAC AC  DC DC  AN   AN  SDC AN  SD (1). SC  AN  SA  DB Tương tự: DB  SAB AB  DB DB  AM   AM  SBD AM  SD (2). SB  AM  Từ (1) và (2) suy ra SD  AMN . Mà SA  ABC . Suy ra ABC ; AMN ·SA;SD ·ASD . BC Ta có: AD 2R a 2 . sin A AD ASD có: tan ·ASD 1 ·ASD 45 . SA
10. Câu 13: HẾT Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB AD a , AA BD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng A B C D là điểm H nằm trên đoạn thẳng B D sao cho B D 3B H . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng a 6 a 6 a 6 A. a 6 .B. .C. .D. . 3 6 2 Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB AD a , AA BD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng A B C D là điểm H nằm trên đoạn thẳng B D sao cho B D 3B H . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng a 6 a 6 a 6 A. a 6 .B. .C. .D. . 3 6 2 Lời giải Chọn B A D B O C A' D' H B' M C' a 3 BD a 3 BO DO ABC đều. 2 a 3 a 3 A M , A H với M là trung điểm B C . 2 3 2a 6 AH AA 2 A H 2 . 3 Ta có d AA , BC d ADDA , BCC B d A , BB C d 1 1 3 2a 6 a3 2 V S .AH a2 . . B.A B C 3 A B C 3 4 3 6 1 Mặt khác VB.A B C VA .BB C SBB C .d A , BB C . 3 Xét AHD vuông tại H ta có AD AH 2 HD2 2a . 3 3 Nửa chu vi BB C là p a . 2 3V a 6 Suy ra d A .BB C . SBB C 3 Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A C và A B . Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và BCMN .
11. B A C A' B' N M C' 13 13 13 13 A. .B. .C. .D. . 65 130 130 65 HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D A D B D C D C D C A D A C D C B D A C B C A C D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B B B D A D A B A B C C D B C B B C A C A D A B A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A C và A B . Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và BCMN . B A C A' B' N M C' 13 13 13 13 A. .B. .C. .D. . 65 130 130 65 Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  N . Ta có N 0;0;0 , A 0; 3;2 , B 0; 3;0 , C 3;0;0 , B 0; 3;2 . Suy ra  AB 0; 2 3; 2   n1 2 3; 6;6 3 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng AB C . AC 3; 3; 2
12.  BC 3; 3;0   n2 2 3;6;3 3 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng BCMN . BN 0; 3; 2   n1.n2 Vậy cos AB C , BCMN   n1 . n2 6 13 Câu 17: .Cho hình chóp S.ABC có cạnh 2 2 2 2 2 2 65 2 3 6 6 3 . 2 3 6 3 3 bên SA vuông góc với đáy, SA BC a và B· AC 60o . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABC . 21 21 3 3 A. .B. .C. .D. . 3 7 2 7 Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC a và B· AC 60o . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABC . 21 21 3 3 A. .B. .C. .D. . 3 7 2 7 Lời giải Chọn B S K a H C A 60o I a D B Ta có SA  ABC 1 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD ta có BD  SAB và CD  SAC . Từ đó suy ra AH  SBD và AK  SCD . Do đó SD  AHK 2 . Từ 1 và 2 suy ra ABC ; AHK SA;SD D· SA. BC a 2a Trong ABC có 2R hay AD 2R AD . sin A sin 60o 3 a 21 Trong ASD có SD SA2 AD2 . 3 SA 21 Vậy cos ABC ; AHK cos D· SA . SD 7
13. Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a , đáy là hình chữ nhật ABCD   có AB 2a , AD a . Gọi K là điểm thuộc BC sao cho 3BK 2CK 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK . 165a 2 165a 2 135a 135a A. .B. .C. .D. . 15 15 15 15 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a , đáy là hình chữ nhật ABCD   có AB 2a , AD a . Gọi K là điểm thuộc BC sao cho 3BK 2CK 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK . 165a 2 165a 2 135a 135a A. .B. .C. .D. . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B S H D C M I O K A B Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD thì SO là chiều cao của hình chóp S.ABCD . 5a2 a 11 SO SA2 OA2 4a2 . 4 2 Do SK  SBC mà BC//AD nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK là khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng SBC không phụ thuộc SK . a 15 Gọi I , M lần lượt là trung điểm của BC , AD suy ra SI SO2 OI 2 . 2 Trong tam giác SMI dựng đường cao MH thì MH là khoảng cách cần tìm. SO.MI 2a 165 Ta có: MH.SI SO.MI MH . SI 15 · · · Câu 21: Cho khối tứ diện ABCD có BC 3,CD 4, ABC BCD ADC 90 . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 60 . Côsin góc giữa hai mặt phẳng ABC và ACD bằng 2 43 43 4 43 43 A. .B. .C. .D. . 43 86 43 43 · · · Câu 22: Cho khối tứ diện ABCD có BC 3,CD 4, ABC BCD ADC 90 . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 60 . Côsin góc giữa hai mặt phẳng ABC và ACD bằng 2 43 43 4 43 43 A. .B. .C. .D. . 43 86 43 43 Lời giải Chọn A
14. A E B 60° 3 D 4 C Dựng hình chữ nhật DCBD . Vì ·ABC B· CD ·ADC 90 suy ra AE  DCBE . Khi đó ·AD, BC ·AD, DE 60 nên AE AE.tan 60 3 3 . Chọn E 0;0;0 , D 3;0;0 , B 0;4;0 , C 3;4;0 , A 0;0;3 3 .    Mặt phẳng ADC có một véc tơ pháp tuyến là n AD, DC 12 3;0;1 . 1    Mặt phẳng ABC có một véc tơ pháp tuyến n AB, BC 3 0;3 3;4 . 2 Gọi là góc hợp bởi giữa hai mặt phẳng ABC và ACD , ta có   n1.n2 4 2 43 cos   . 43 n1 . n2 3 1 27 16