Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 4 phần 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 4 phần 1 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D , AB 6cm , BC BB 2cm . Điểm E là trung điểm cạnh BC . Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng C E , hai đỉnh P , Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B và cắt đường thẳng AD tại điểm F . Khoảng cách DF bằng A. 1cm .B. 2cm .C. 3cm .D. 6cm . Lời giải Chọn B A D B C A D B E C Do tứ diện MNPQ đều nên ta có MN  PQ hay EC  BF .          Ta có: B F B A AF B A B B k AD B A B B k B C    1   Và EC EC CC B C B B 2   k k   Khi đó, EC .BF B B2 B C 2 4 .4 0 k 2 . Vậy AF 2AD 2 2 Vậy F là điểm trên AD sao D là trung điểm của AF . Do đó DF BC 2cm . Câu 2: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a, AA 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A C. 2 17 a 3 2 5 A. a 5. B. a. C. . D. a. 17 2 5 Lời giải Chọn D Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ trùng với A ; trục Ox nằm trên AB ; trục Oz nằm trên AA ; trục Oy vuông góc với Ox và nằm trên mặt phẳng ABC . Khi đó tọa độ các đỉnh lăng trụ như hình vẽ.
2.   u,u .M M 0 0 Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d ,  u,u    a a 3   Với u AB a;0;2a ;u A C ; ; 2a ;MM AA 0;0;2a . 0 2 2 Câu 3:   2    u,u .M 0M 0 2 2 a 3 3 2 17 u,u a 3;3a ; ; u,u .M 0M 0 a 3 d AB , A C  .( 2 17 u,u THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình hộp ABCD.A B CD có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A C 22 2 2 3 A. . B. .C. .D. . 11 11 11 11 Lời giải Chọn A Ta có B· AA D· AA B· AD 60 và AB AD AA 1. Khi đó ABD , ADA và ABA đều cạnh bằng 1. A D A A A B 1. Suy ra hình chiếu của A lên ABCD là tâm H của ABD đều. Ta có AB // DC d AB ; A C d AB ; DA C d H; DA C . Dựng hình bình hành DCAJ . Từ H kẻ HK  DJ K DJ , ta có HK // DB . Từ H kẻ HL  A K L A K HL  DA C d H; DA C HL .
3. 2 1 3 6 Ta có: HK , A H 1 . 2 3 3 1 1 1 22 Xét tam giác A HK : HL . HL2 HK 2 A H 2 11 Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B và có AB BC a , AD 2a , có SA vuông góc với đáy và SA a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính cosin của góc giữa MN và SAC . 1 55 3 5 2 A. .B. .C. .D. . 5 10 10 5 Lời giải Chọn B Cách 1. Xác định giao điểm của MN và SAC :  Chọn mp chứa MN là mp SBN  Giao tuyến SBN  SAC SI (với I AC  BN Trong SBN gọi SI  MN P , suy ra P MN  SAC . Xác định góc ·MN, SAC : - Ta có AC 2 AB2 BC 2 2a2 ; CD2 CK 2 KD2 2a2 ; AD2 2a 2 4a2 AC 2 CD2 AD2 ACD vuông tại C CD  AC mà CD  SA nên CD  SAC - Góc ·MN, SAC ·MN, PC N· PC S M P A D H N I B C Tính góc N· PC : CD a 2  Ta có NC . 2 2  Ta có I là trung điểm BN và M là trung điểm SB suy ra P là trọng tâm SBN 2 PN MN 3  Gọi H trung điểm AB suy ra MH //SA do đó MNH vuông tại H . 2 2 a a 2a a 10 2 a 10 MN MH 2 HN 2 do đó PN MN . 2 2 2 3 3
4. 2 2 a 10 a 2 a 22 Từ đó suy ra PC PN 2 NC 2 3 2 6 a 22 PC 55 Cosin của góc N· PC : cos N· PC 6 . PN a 10 10 3 Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. z S M A K D y N x B C Khi đó: a a a 3a A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a; 0 , D 0; 2a; 0 , S 0; 0; a , M ; 0; , N ; ;0 . 2 2 2 2  3a a   MN 0; ; chọn u1 0;3; 1 cùng phương với MN . 2 2 1 Do CK AB a CD với K là trung điểm của AD nên tam giác ACD vuông tại C . 2 CD  AC  Vì CD  SAC nên CD a; a; 0 là vtpt của mp SAC CD  SA   Chọn n1 1;1;0 cùng phương với CD . Gọi là góc giữa MN và mp SAC .   u1.n1 3 5 55 Ta có: sin   cos 1 sin2 . 10 10 u1 n1 Câu 5: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB 4cm . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABC . Lấy M thuộc SC sao cho CM 2MS . Khoảng cách giữa hai đường AC và BM là 4 21 8 21 4 21 2 21 A. cm .B. cm .C. cm .D. cm . 7 21 21 3 Lời giải Chọn A
5. S M N K B C H A Cách 1. Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH  ABC . Trong SAC từ M dựng MN // AC , gọi K là hình chiếu của H trên BN. Ta có AC  SAB mà MN // AC MN  SAB HK  BN HK  BMN . HK  MN Vì BMN // AC suy ra khoảng cách giữa hai đường AC và BM là d A, BMN 2d H, BMN 2HK 2BH sin ·ABN 2 2 4 3 4 3 Trong tam giác SAB hạ NF  AB , suy ra NF SH . , và 3 3 2 3 1 2 8 BF BH HF BH AH 2 . 3 3 3 2a 3 . a 7 BN AN 3 Vậy BN BF 2 NF 2 , sin ·ABN 3 2 . 3 sin 60 sin ·ABN a 7 7 3 3 4 21 Suy ra d A, BMN 2.2. . 7 7 Cách 2. Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI  ABC . S M A I H F F B C A H C d I E B E Gọi H là hình chiếu của M trên ABC , Trong ABC từ B dựng đường thẳng d // AC . Gọi F là trung điểm của AC , E là hình chiếu của H trên d , ta có: 2 4 3 2 8 MH SI , HE AB . 3 3 3 3
6. 4 3 8 . 3 3 MH.HE 3 4 21 Khi đó d BM , AC d H, BME 3 3 2 2 2 2 2 2 2 7 MH HE 4 3 8 3 3 Câu 6: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp S.ABC có AB BC CA a , SA SB SC a 3 , M là điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB , BC , CA , SA , SB , SC . Giá trị nhỏ nhất của d bằng a 6 a 3 A. 2a 3 .B. .C. a 6 . D. . 2 2 Lời giải Chọn C S I J O K A C F G E D B Ta có khối chóp S.ABC là khối chóp tam giác đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó SG là chiều cao của khối chóp S.ABC . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC , AB , CA và I , J , K lần lượt là hình chiếu của D , E , F trên SA , SC , SB . Khi đó DI , EJ , FK tương ứng là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh SA và BC , SC và AB , SB và CA . Ta có DI EJ FK . Do đó SID SJE nên SI SJ . Suy ra ED ∥IJ (cùng song song với AC ). Do đó bốn điểm D , E , I , J đồng phẳng. Tương tự ta có bộ bốn điểm D , F , I , K và E , F , J , K đồng phẳng. Ba mặt phẳng DEIJ , DFIK , EFJK đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến DI , EJ , FK . Suy ra DI , EJ , FK đồng quy tại điểm O thuộc SG . Xét điểm M bất kì trong không gian. d M , SA d M , BC DI Ta có d M , SC d M , AB EJ d DI EJ FK . d M , SB d M , AC FK Do đó d nhỏ nhất bằng DI EJ FK 3DI khi M  O . a 3 2 a 3 2a 6 SG 2 2 Ta có AD , AG AD , SG SA2 AG2 , sin S· AG . 2 3 3 3 SA 3
7. a 3 2 2 a 6 Suy ra DI AD.sin S· AD . . 2 3 3 a 6 Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 3DI 3 a 6 . 3 Câu 7: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng C N B M A C P B A 6 13 13 17 13 18 13 A. .B. .C. .D. . 65 65 65 65 Lời giải Chọn B C Q N M B A O C P B A Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của MN , B C . Gọi O PI  AQ . O AB C  MNP Khi đó B C // MN nên giao tuyến của AB C và MNP là đường B C  AB C ,MN  MNP thẳng d qua O và song song MN , B C . Tam giác AB C cân tại A nên AQ  B C AQ  d . Tam giác PMN cân tại P nên PI  MN PI  d . Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP là góc giữa AQ và PI . 5 Ta có AP 3 , AQ 13 , IP . 2
8. AP 2 2 13 2 5 Vì OAP ∽ OQI và 2 nên OA AQ ; OP IP . IQ 3 3 3 3 OA2 OP2 AP2 13 cos ·AB C , MNP cos ·AQ, PI cos ·AOP . 2OA.OP 65