›
›
›

Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

doc 45 trang nhungbui22 12/08/2022 3441
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_cau_hoi_hinh_hoc_lop_11_duoc_tach_tu_de_luyen_thi_t.doc

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

  1. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a , CD 2x , ACD  BCD . Tìm giá trị của x để ABC  ABD ? B D A C a 2 a 3 A. x a .B. x .C. x a 2 .D. x . 2 3 Lời giải : Chọn D B F D A E C AE  CD Gọi E ; F lần lượt là trung điểm CD và AB (Tính chất tứ diện đều) BE  CD Đồng thời BCD  ACD CD ·BCD , ACD B· EA 90 CF  AB · Ta có AB  CFD ABC , ABD C·F, FD DF  AB Vậy để ABC  ABD thì C·F, FD 90 C· FD trung tuyến FE của tam giác CFD 1 bằng nửa cạnh huyền FE CD 2 AE AC 2 CE 2 a2 x2 Ta có EAB vuông cân tại E EF 2 2 2 a2 x2 a2 x2 a2 3 Vậy x x2 x2 x a . 2 2 3 3
  2. Câu 2: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD . Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng AIA và CJC . 5 a 5 3a 5 A. d 2a .B. d 2a 5 . C. d .D. d . 2 5 5 Lời giải Chọn C B I C A K J D B' C' A' D' AA // CC AI // CJ Ta có: AIA // CJC . AA  AI A AA , AI  AIA d AIA , CJC d I, CJC . Kẻ IK  CJ 1 . CC  IK Lại có CC  CJ C 2 . CC ,CJ  CJC Từ 1 , 2 suy ra IK  CJC hay d I, CJC IK . 1 1 1 1 1 1 Xét tam giác CJI vuông tại I : 2 2 2 2 2 2 IK IC IJ IK a a 2 a2 a 5 IK 2 IK . 5 5 Câu 3: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , SA vuông góc với đáy và 2AB BC 2a . Gọi d1 là khoảng cách từ C đến mặt SAB và d2 là khoảng cách từ B đến mặt SAC . Tính d d1 d2 . 2 5 5 a 2 5 2 a A. d 2 5 2 a .B. d 2 5 2 a .C. d . D. d . 5 5 Lời giải Chọn C
  3. S H A C a 2 a B CB  AB Ta có CB  SA CB  SAB d1 d C, SAB CB 2a . AB  SA A Gọi H là hình chiếu của B lên SAC . BH  AC Ta có: BH  SA BH  SAC d2 d B, SAC BH . AC  SA A Xét tam giác ABC vuông tại B có BH là đường cao. AB.BC a.2a 2a 5 2a 5 Ta có: BH d2 . AB2 BC 2 a2 4a2 5 5 2a 5 2 5 5 a Vậy d d d 2a . 1 2 5 5 Câu 4: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc B· AD 60o , cạnh SO vuông góc với ABCD và SO a . Khoảng cách từ O đến SBC là a 57 a 57 a 45 a 52 A. .B. .C. .D. . 19 18 7 16 Lời giải Chọn A
  4. Vẽ OM  BC tại M thì SMO  BC SMO  SBC , vẽ OH  SM tại H OH  SBC d O, SBC OH a 3 a OB.OC a 3 Ta có AC a 3 , OC , OB , OM.BC OB.OC OM . 2 2 BC 4 a 3 a 3 a. a. SO.MO a 57 OH 4 4 . SO2 MO2 3a2 3a2 19 a2 a2 16 16 Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa BA C và DA C : A. 90 .B. 60 .C. 30 .D. 45. Lời giải Chọn B B a C A I D B' C' A' D' Ta có: BA C  DA C A C . Kẻ BI  A C . Do BA C DA C nên DI  A C . Do đó: ·BA C , DA C B· I, DI . a 6 Tam giác BID có BD a 2 , BI DI . 3 BI 2 DI 2 BD2 1 cos B· I, DI B· I, DI 120. 2.BI.DI 2 Vậy ·BA C , DA C 60 . Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .
  5. 2 3a 2 3a 3a 3 3a A. .B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn A Gọi K là hình chiếu của H trên SC . Do ABCD là hình vuông nên DM  CN . Có SH  ABCD SH  DM . Suy ra DM  SHC DM  HK . Vậy HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC . DC 2 2a Có DH là đường cao của tam giác vuông CDN nên CH.CN DC 2 CH . CN 5 Lại có HK là đường cao trong tam giác vuông SHC nên 1 1 1 1 5 19 2a 3 HK . HK 2 SH 2 HC 2 3a2 4a2 12a2 19 a 3 Vậy d SC, DM . 5 Câu 7: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho f x a ln x x2 1 bsin x 6 với a , b ¡ . Biết f log log e 2 . Tính f log ln10 . A. 4 .B. 10. C. 8 .D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x0 log log e Có: f x a ln x x2 1 bsin x 6 2 0 0 0 0 1 Ta có f log ln10 f log f log log e f x0 log e f x a ln x2 1 x bsin x 6 a ln x x2 1 bsin x 6 0 0 0 0 0 0 0
  6. a ln x x2 1 bsin x 6 12 f x 12 10 . 0 0 0 0 Câu 8: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , BC 2a . Gọi M , N , P lầ lượt là trung điểm của AC , CC , A B và H là hình chiếu của A lên BC . Tính khoảng cách giữa MP và NH . a 3 a 3 A. .B. a 6 .C. .D. a . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn A A' B' C' P N A B H M C Vì A B BA là hình bình hành nên P cũng là trung điểm của AB . Do đó MP//B C . Mặt phẳng BCC B chứa NH và song song với MP nên 1 1 d MP, NH d MP, BCC B d M , BCC B d A, BCC B AH . 2 2 Tam giác ABC vuông tại A , AB a , BC 2a suy ra AC a 3 AC.AB a.a 3 a 3 a 3 AH .Vậy d MP, NH . BC 2a 2 4 Câu 9: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và AB  BC . Tính độ dài cạnh bên theo a ta được? a a 2 A. 3a 2 .B. .C. .D. a 2 . 2 2 Lời giải Chọn C
  7. Gọi D là trung điểm BC AD  BC AD  BCC B AD  BC . Mà BC  AB nên BC  AB D BC  B D tại I . B I 2 Lại có I là trọng tâm BCB . BD 3 BB 2 B I 2 Xét BB D có BI là đường cao: BB 2 B I.BD BD2 BD 3 2 1 2 a2 a2 a 2 BB 2 . BB 2 BD2 BB 2 . BB . 3 3 3 4 6 2 Câu 10: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , B· AD 60 . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SCD bằng A. 30 .B. 60 .C. 90 .D. 45. Lời giải Chọn D S B H C G A D Dễ thấy hình chóp S.ABD đều. Gọi G là trọng tâm của ABD . Khi đó SG  ABCD . Do ABD đều nên GD  CD CD  SGD . Kẻ GH  SD , H SD . Khi đó: GH  SCD d G; SCD GH . 2 a 3 a 3 a 6 Ta có: GD . SG SD2 GD2 . 3 2 3 3 a 2 Xét SGD vuông tại G : GH.SD SG.GD GH . 3 AC a 2 Mà d A; SCD .d G; SCD . GC 2 Gọi K là hình chiếu của A lên SCD . Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng SCD là ·ASK . AH 2 Xét ASK vuông tại K thì: sin SAK S· AK 45 . SA 2 Câu 11: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có B· AC C· AD D· AB 90 , AB 1, AC 2 , AD 3. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCD bằng 2 13 3 5 1 2 A. .B. .C. .D. . 13 7 3 7 Lời giải Chọn D
  8. D A C H B Gọi H là hình chiếu của A trên BC . Do DA  AB , DA  AC DA  BC . Mà AH  BC BC  AHD . Do đó góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCD là D· HA. 1 1 1 2 5 Xét ABC vuông tại A : AH . AH 2 AB2 AC 2 5 AH AH 2 Xét SAH vuông tại A : cos DHA . DH DA2 AH 2 7 Câu 12: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh AB a , đường cao SO vuông góc với mặt đáy và SO a . Khoảng cách giữa SC và AB là 2a 5 a 5 a 5 2a 5 A. .B. .C. .D. . 7 7 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi E là trung điểm CD OE  CD CD  SOE SCD  SOE . Vẽ OH  SE tại H OH  SCD d O, SCD OH . a a. SO.OE a 5 Ta có OH 2 . SO2 OE 2 a2 5 a2 4 2a 5 Vậy d SC, AB d AB, SCD d A, SCD 2d O, SCD 2OH 5 Câu 13: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a , AA b . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA , BB (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách của hai đường thẳng B M và CN .
  9. A C B M N A' C' B' 3ab 3ab A. d B M ,CN .B. d B M ,CN . 12a2 4b2 4a2 12b2 a a 3 C. d B M ,CN .D. d B M ,CN 1. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A A K C B H M N A' C' B' Ta có NAC //B M nên d B M ,CN d B M , NAC d B , NAC d B, NAC Gọi K là trung điểm của AC , kẻ BH  NK tại H . Khi đó AC  BN nên AC  BNK , suy ra AC  BH , từ đó d B, NAC BH . b a 3 . BN.BK ab 3 Xét tam giác NBK vuông tại B , BK 2 2 . 2 2 2 2 2 2 BN BK b a 3 2 b 3a 2 2 Câu 14: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , SA 2a và vuông góc với ABCD . Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CM . a 2 a 2a a A. d .B. d .C. d .D. d . 2 6 3 3 Lời giải
  10. Chọn C S M 2a H A D I K B O a C Gọi O AC  BD ; I và K lần lượt là trung điểm của AD và OA ; H là hình chiếu vuông góc của I lên MK , ta có SB€ MO  MAC SB€ MAC  MC . Do đó d SB;CM d SB; MAC d B; MAC d D; MAC 2d I; MAC . AC  MI Mặt khác, ta có AC  MKI . Suy ra IH  MAC hay d I; MAC IH . AC  KI MI.IK MI.IK 2a Vậy d SB;CM 2IH 2. 2. . MI 2 IK 2 MI 2 IK 2 3 Lưu ý: Ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa, cụ thể như sau: z S M 2a A D y B a x C a Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có S 0;0;2a , B a;0;0 , C a;a;0 và M 0; ;a . 2   a  Suy ra SB a;0; 2a , CM a; ;a và SC a;a; 2a . 2    SB;CM .SC 2a Vậy d SB;CM   . 3 SB;CM Câu 15: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 2a , BC a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.
  11. a 30 a 3 a 15 A. .B. .C. . D. a . 10 2 5 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của AB ta có: SI  AB mà SAB  ABCD nên SI  ABCD . Gọi H là giao điểm của IC và BE , kẻ HK  SC tại K. Khi đó : IBCE là hình vuông nên BE  IC mà BE  SI do đó BE  SIC . Suy ra BE  HK mà HK  SC nên d BE;SC HK. Do tam giác CKH và CIS đồng dạng nên 2 a .a 3 HK CH CH.IS a 30 HK 2 . IS CS CS 2 2 10 a 3 a 2 Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  I , các tia Ox,Oy,Oz lần lượt là IE, IB, IS .    BS. BE;SC Sau đó tính khoảng cách bằng công thức: d BE;SC   . BE;SC Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B C có cạnh đáy bằng a . Biết góc giữa 2 mặt phẳng A BC và A B C bằng 60 , M là trung điểm của B C . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC .
  12. 3a a a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 8 3 6 3 Lời giải Chọn A Gọi N là trung điểm của BC A BC  ABC BC · · Có: AN  BC A BC , ABC A NA 60 A N  BC BC  A AN 1 1 Ta có: d M , A BC d B , A BC d A, A BC 2 2 Dựng AH  A N và AH  BC 1 Suy ra: AH  A BC . Do đó d M , A BC AH . 2 3 3 3a AH sin 60.AN .a . 2 2 4 1 3a Vậy d M , A BC AH . 2 8
  13. Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC . Biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính diện tích tam giác AMN theo a . a2 10 a2 10 a2 5 a2 5 A. .B. .C. . D. . 24 16 8 4 Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC . Biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính diện tích tam giác AMN theo a . a2 10 a2 10 a2 5 a2 5 A. .B. .C. . D. . 24 16 8 4 Lời giải Chọn B S F N M A C O E B Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên ABC là tam giác đều và hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là tâm O của tam giác đều ABC . Gọi E là trung điểm của BC , F MN  SE . MN là đường trung bình tam giác SBC SNEM là hình bình hành F là trung điểm MN và SE . Vì AM AN (hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau SAB và SAC ) nên tam giác AMN cân tại A , mà AF là đường trung tuyến AF  MN AF  SBC (1) (vì AMN  SBC AF  SE Tam giác SAE có AF vừa là trung tuyến vừa là đường cao SAE là tam giác cân tại A a 3 AS AE . 2
  14. 2 2 2 2 a 3 a 3 a 15 Tam giác SOA vuông tại O , SO SA AO 2 3 6 2 2 2 2 a 15 a 3 a 2 Tam giác SOA vuông tại O , SE SO EO 6 6 2 Ta có AF.SE SO.AE ( 2SSAE ) SO.AE a 10 AF SE 4 1 1 a 10 a a2 10 S AF.MN . . V AMN 2 2 4 2 16 Câu 19: Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB AC AD BC BD a và CD a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng A. 30 .B. 90 .C. 45 .D. 60 . Câu 20: Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB AC AD BC BD a và CD a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng A. 30 .B. 90 .C. 45 .D. 60 . Lời giải Chọn D A a K I B D M 2a N C Gọi M , N , I , K lần lượt là trung điểm các cạnh BD , DC , AC , AB thì MNIK là hình 2 2 2 2 a 3 a 2 a thoi. KCD cân tại K nên KN  CD KN KD ND 2 2 2 NIK là tam giác đều N· IK 60 ·AD, BC I·N, IK N· IK 60 . Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a 3 . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và SCD bằng 10 10 10 10 A. .B. . C. .D. . 5 10 6 4 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a 3 . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và SCD bằng
  15. 10 10 10 10 A. .B. . C. .D. . 5 10 6 4 Lời giải Chọn D Cho a 1. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Ta có: A  O 0;0;0 , B 1;0;0 , C 1;1;0 , D 0;2;0 , S 0;0; 3 .    VTPT của mặt phẳng SBC là: n SB, BC 3;0;1 1    VTPT của mặt phẳng SCD là n SD,CD 3; 3;2 2   n1.n2 5 10 Ta có: cos SBC ; SCD   . 4 n1 . n2 2 10 Câu 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD 3a , AA 4a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AB D và A C D . Giá trị của cos bằng 29 27 2 137 A. .B. .C. . D. . 61 34 2 169 Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy và SA AB 3 . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC bằng 6 6 6 A. .B. .C. 3 .D. . 3 6 2 Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD 3a , AA 4a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AB D và A C D . Giá trị của cos bằng 29 27 2 137 A. .B. .C. . D. . 61 34 2 169 Lời giải Chọn A
  16. Gọi E , E ' lần lượt là tâm của hình chữ nhật ADD A , A B C D . Khi đó: EE DA C  AB D . Dựng A H , D F lần lượt là đường cao của hai tam giác DA C , AB D . A K  EE Dễ thấy: A H , D F , EE đồng qui tại K và . D K  EE Hình chữ nhật DD C C có: DC DD 2 D C 2 2 5a . Hình chữ nhật ADD A có: A D AD2 AA 2 5a . Hình chữ nhật A B C D có: A C A B 2 B C 2 13a . 2S 305 305 Suy ra: S 61a2 A H DA C a A K a . DA C DC 5 10 305 Hoàn toàn tương tự ta có: D K a . 10 A K 2 D K 2 A D 2 29 Trong tam giác A D K có: cos x . 2.A K.D K 61 29 cos cos x . 61 Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy và SA AB 3 . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC bằng 6 6 6 A. .B. .C. 3 .D. . 3 6 2 Lời giải Chọn B
  17. S M G A C B Gọi M là trung điểm của SB AM  SB (vì tam giác SAB cân). BC  AB Ta có BC  SAB BC  AM . BC  SA AM  SB Và AM  SBC GM  SBC tại M . AM  BC Do đó d G, SBC GM . SB 6 AM 6 SB AB 2 6 , AM GM . 2 2 3 6 Câu 27: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . A C B Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 60 .B. 45. C. 90 .D. 30 . A C Câu 28: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm , chiều B cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng 9 26 9 26 9 26 A. cm2 .B. 9 26 cm2 .C. cm2 .D. cm2 . 10 2 5 Câu 29: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A C B A C B A. 60 .B. 45. C. 90 .D. 30 . Lời giải Chọn A
  18. A C B A' C' B'               Ta có AB .BC AB BB BC CC AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC         a2 3a2 AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 0 0 2a2 . 2 2 2   3a   AB .BC 1 Suy ra cos AB , BC   2 ·AB , BC 60 . AB . BC a 3.a 3 2 Câu 30: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm , chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng 9 26 A. cm2 .B. 9 26 cm2 . 10 9 26 9 26 C. cm2 . D. cm2 . 2 5 Lời giải Chọn C 1 Ta có: OH 3 , OB OH 2 HB2 3 26 , cos H· OB . 26 Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích của hình phẳng ta có: S S.cos H· OB 1 .32 S 9 26 S 2 cm2 . cos H· OB 1 2 26 Cách khác là dùng diện tích hình elip.
  19. 1 1 1 1 9 26 S S ab .3. 152 32 .3.3 26 cm2 . 2 E 2 2 2 2 Câu 31: Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết EF a 3 , tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 60 .B. 45.C. 30 .D. 90 . Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết EF a 3 , tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 60 .B. 45.C. 30 .D. 90 . Lời giải Chọn A A F M D B E C Gọi M là trung điểm của AC . 1 1 Suy ra: ME // AB , ME AB a và MF // CD , MF CD a . 2 2 Suy ra: ·AB,CD M· E, MF ME 2 MF 2 EF 2 1 Ta có: cos E· MF E· MF 120 2ME.MF 2 Vậy ·AB,CD 180 E· MF 60 . Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng thuộc 0;90; còn góc giữa hai vector thuộc 0;180 . Câu 33: Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB 6cm , BC BB 2cm . Điểm E là trung điểm cạnh BC . Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng EC , hai đỉnh P và Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B và cắt đường thẳng AD tại điểm F . Khoảng cách DF bằng A. 3cm .B. 2cm . C. 6cm . D. 1cm .
  20. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B A A C D D A B A A A D C D D C D C A D B A C A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A C C B D C D A D C B C C D C D A A B C B D B B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 34: Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB 6cm , BC BB 2cm . Điểm E là trung điểm cạnh BC . Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng EC , hai đỉnh P và Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B và cắt đường thẳng AD tại điểm F . Khoảng cách DF bằng A. 3cm .B. 2cm .C. 6cm .D. 1cm . Lời giải Chọn B Do tứ diện MNPQ đều nên ta có MN  PQ hay EC  B F .          Ta có: B F B A AF B B BA k AD B B BA k B C .    1   Và EC EC CC B C B B . 2   k k Khi đó EC .B F B B2 B C 2 4 .4 0 k 2. 2 2 Câu 35: Vậy AF 2AD suy ra D là trung điểm của AF . Do đó DF BC 2cm .Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB là A C B A' C' B' 2 3 A. .B. a a .C. .D. . 2a a 2 2 Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB là
  21. A C B A' C' B' 2 3 A. a .B. a .C. 2a .D. a . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có AB  AC , AB  BB d AC, BB AB a . Câu 37: Cho tứ diện ABCD biết AB BC CA 4 , AD 5 , CD 6 , BD 7 . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng? A. .1B2.0  60 . C. .1 50 D. . 30 Câu 38: Cho tứ diện ABCD biết AB BC CA 4 , AD 5, CD 6 , BD 7 . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng? A. 120 .B. 60 . C. 150 . D. 30 . Hướng dẫn giải Chọn B A B D C      Khi đó AB.CD CB CA .CD CB.CD.cos B· CD CA.CD.cos ·ACD CB2 CD2 BD2 CA2 CD2 AD2 CB2 AD2 BD2 CA2 CB.CD. CA.CD. 12 2.CB.CD 2.CA.CD 2   AB.CD 12 1 Suy ra cos AB,CD ·AB,CD 60 . AB.CD 4.6 2
  22. Câu 39: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng ABC bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA bằng a 5 a 5 a 2 a A. .B. .C. .D. . 10 5 5 5 Câu 40: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng ABC bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA bằng a 5 a 5 a 2 a A. .B. .C. .D. . 10 5 5 5 Lời giải Chọn B S K H A C G I J B SA SB SC Ta có: nên SG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . GA GB GC Do đó SG  ABC 1 . Ta có: SA; ABC S· AG 60 . Gọi I là trung điểm AB . Trong ABCD : Kẻ AJ sao cho ACIJ là hình bình hành. Suy ra CI //AJ , do đó CI // SAJ . Suy ra d GC;SA d CI; SAJ d G; SAJ (do G CI ). Trong ABCD : Kẻ GH  AJ tại H . Mà SG  AJ (do 1 ). Nên AJ  SGH . Suy ra SAJ  SGH . SAJ  SGH SH Mà nên GK  SAJ . Trong SGH : Keû GK  SH taïi K
  23. Do đó d G; SAJ GK . a 3 a 3 Ta có: AG nên SG AG.tan 60 .tan 60 a . 3 3 a Mặt khác: GH AI . 2 1 1 1 1 1 5 Do đó 2 2 2 2 2 2 . GK SG GH a a a 2 a 5 Suy ra GK . 5 a 5 Vậy d GC;SA . 5 Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA 7a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G , I , J thứ tự là trọng tâm các tam giác SAB , SAD và trung điểm của CD . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng GIJ bằng 93a2 23a2 31 33a2 3 33a2 A. .B. .C. .D. . 40 60 45 8 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA 7a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G , I , J thứ tự là trọng tâm các tam giác SAB , SAD và trung điểm của CD . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng GIJ bằng 93a2 23a2 31 33a2 3 33a2 A. .B. .C. .D. . 40 60 45 8 Lời giải Chọn A S D' M B' I N G L D A F O T J B K C E Ta có GI // B D nên GI // BD (với B , D lần lượt là trung điểm của SB và SD ). Suy ra GIJ cắt ABCD theo giao tuyến là đường thẳng d đi qua J và song song với BD . Trong ABCD có d cắt BC tại K , cắt AD tại F , cắt AB tại E . EB FD 1 Do J là trung điểm của CD nên K là trung điểm của BC và . EA FA 3 Trong SAB : đường thẳng EG cắt SA tại M , cắt SB tại L .
  24. LB 2 Định lí mê nê la uyt cho tam giác B AB và cát tuyến G, L, E ta được . LB 3 MS 4 Định lí mê nê la uyt cho tam giác B AS và cát tuyến G, L, M ta được . MA 3 DN 1 Tương tự ta có FI đi qua M và cắt SD tại N thỏa mãn . DS 5 MN 8 Định lí mê nê la uyt cho tam giác MAF và cát tuyến D, N, S ta được . NF 7 Thiết diện cần tìm là MNJKL . SFNJ FN FJ 7 7 Gọi S SMEF . Ta có  SFNJ S . SFME FM FE 45 45 7 31 Tương tự suy ra S S . Do đó S S . ELK 45 MNJKL 45 3 3 2a 9a Gọi T AC  KJ AT AC . Suy ra MT AM 2 AT 2 . 4 4 2 2 1 1 9a 3a 2 27a2 Suy ra S MT.EF   . MEF 2 2 2 2 2 8 93 Vậy diện tích thiết diện bằng a2 . 40 Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3 . Gọi M là trung điểm AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng: a 39 2a 2a 3 A. .B. .C. . 13 13 13 2a 39 D. . 13 Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3 . Gọi M là trung điểm AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng: a 39 2a 2a 3 A. .B. .C. . 13 13 13 2a 39 D. . 13 Lời giải Chọn D
  25. S H I C A M N B Gọi N là trung điểm cạnh BC suy ra AB// SMN . Khi đó, d AB, SM d AB, SMN d A, SMN . Trong mặt phẳng ABC , kẻ AI  MN suy ra SAI  SMN SI . Trong mặt phẳng SAI , kẻ AH  SI suy ra AH  SMN . Suy ra d AB, SM AH . Ta có AI BN a . 1 1 1 13 Lại có . AH 2 a2 12a2 12a2 2a 39 Vậy d AB, SM AH 13 . Câu 45: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a , B· CD ·A D D B· B A 60o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A D và CD bằng. A' D' B' C' A D B C a 3 a 6 a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 6 3 2 3 3 Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa AD AB . Mặt bên SAB là 2 tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
  26. A. 30 .B. 60 .C. 45 . D. 90 . Câu 47: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a , B· CD ·A D D B· B A 60o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A D và CD bằng. A' D' B' C' A D B C a 3 a 6 a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 6 3 2 3 Lời giải Chọn B A' D' B' C' I H A D O B C Gọi O AC  BD , ta có ABCD là hình thoi nên BD  AC . Mặt khác A B B A D D nên A B A D . Suy ra BD  A AO . Kẻ AH  A O tại H , ta có AH  A BD . Vì CD / / A B  A BD nên CD / / A BD . Do đó d A D;CD d CD ; A BD d C; A BD d A; A BD AH . a 3 a 3 Ta có A B A D BD a nên A O ; mà OA nên OA A cân tại O . Suy ra 2 2 a 2 OI . 2 OI.A A a 6 a 6 Mặt khác AH.OA OI.A A nên AH . Vậy d A D;CD . OA 3 3 3 Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa AD AB . Mặt bên SAB là 2 tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) A. 30 .B. 60 .C. 45 .D. 90 . Lời giải
  27. Chọn C a 3 Đặt AB a AD . 2 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB,CD . (SAB)  (ABCD) AB (SAB)  (ABCD) SI  (ABCD) SI  AB Nhận xét: (SAB)  (SCD) d với giao tuyến d là đường thẳng đi qua điểm chung S và d //AB//CD . (1) Trong mp (SAB) có: SI  d tại S (vì SI  AB, AB//d ) (2) AB  SI AB  (SIJ ) AB  IJ AB  SJ Mà AB//d nên SJ  d tại S (3) Từ (1),(2), (3) (SAB),(SCD) SI,SJ I¶SJ a 3 IJ Xét ISJ vuông tại I , có: tan I¶SJ 2 1 I¶SJ 450 . SI a 3 2 Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a , hình chiếu của S trên mặt đáy trùng  2  với điểm H thỏa mãn BH BD . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H 5 trên các cạnh AB và . A TínhD khoảng cách giữa hai đường thẳng M vàN biếtSC SH 2a 13 . 38a 2 19a 2 19a 26 a 13 A. .B. .C. .D. . 13 13 26 26 Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a , hình chiếu của S trên mặt đáy trùng  2  với điểm H thỏa mãn BH BD . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H 5
  28. trên các cạnh AB và AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC biết SH 2a 13 . 38a 2 19a 2 19a 26 a 13 A. .B. .C. .D. . 13 13 26 26 Hướng dẫn giải Chọn B S A N D x K I N A D M H M x H B C B P C Qua C dựng tia Cx€MN , gọi I CH  MN và K là hình chiếu của H lên SC ta có IC  MN và HK  SC;Cx  . 4a 6a 12a 13 2a 13 IC 19 Tính được MH HP , NH . Suy ra IH , HC nên . 5 5 65 5 HC 13 19 19 Vì MN € nên d MN;SC d MN; d I; d H; HK . 13 13 SH.HC Trong tam giác vuông SHC , đường cao HK a 2 . SH 2 HC 2 19a 2 Vậy d MN;SC . 13 Câu 51: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a . Gọi I là trung điểm của AB . Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 600 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng 21 57 7 42 A. a .B. a .C. a . D. a . 5 19 4 8 Câu 52: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a . Gọi I là trung điểm của AB . Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 600 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng
  29. 21 57 7 42 A. a .B. a .C. a .D. a . 5 19 4 8 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 a 3 7 AH AI IH a a 2 2 21 Góc giữa SA và mặt đáy là S· AH 600 SH AH.tan 600 a 2 Trong mp ABC kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với CI , kẻ HE  d tại E , Trong mp SHE kẻ HK  SE tại K Khi đó d SA,CI d CI, S,d d H, S,d HK 1 1 1 , với HE AI a HK 2 SH 2 HE 2 21 Ta tính được HK a . 5 21 Vậy d SA,CI HK a . 5
  30. Câu 53: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Gọi O là tâm của đáy ABC , gọi d1 , d2 lần lượt là khoảng cách từ A và O đến mặt phẳng SBC . Tính d d1 d2 . 4a 22 8a 22 2a 22 8a 2 A. .dB. d .C. .D. . d d 33 33 33 33 Câu 54: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Gọi O là tâm của đáy ABC , gọi d1 , d2 lần lượt là khoảng cách từ A và O đến mặt phẳng SBC . Tính d d1 d2 . 4a 22 8a 22 2a 22 8a 2 A. d .B. d .C. d .D. d . 33 33 33 33 Hướng dẫn giải Chọn B a 3 a 3 2a 6 Ta có AO , OM , SO SA2 AO2 . 3 6 3 4SO.OM 8a 22 Từ đó ta có d d1 d2 3d2 d2 4d2 4OK . SO2 OM 2 3 Câu 55: Cho hình chóp S.ABC , có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và đều bằng 45. Biết AB 3 , AC 4 , BC 5 . Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng SAB . 20 41 15 46 5 46 10 41 A. d .B. d .C. d .D. d . 41 46 46 41 Câu 56: Cho hình chóp S.ABC , có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và đều bằng 45. Biết AB 3 , AC 4 , BC 5 . Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng SAB .
  31. 20 41 15 46 5 46 10 41 A. d .B. d .C. d .D. d . 41 46 46 41 Lời giải Chọn A S K 0 450 H 45 C B I A Gọi H là hình chiếu của S trên mặt ABC . Mà SA SB SC SAH SBH SCH HA HB HC H là tâm tam giác ABC . Mặt khác AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại A H là trung điểm của BC . Ta có S·A, ABC S·B, ABC S·C, ABC S· AH S· BH S· CH 45 . BC 5 Khi đó SBC vuông cân SH . 2 2 AC Lấy I là trung điểm của AB AB  SHI , HI 2 . 2 Dựng HK  SI tại K HK  SAB d H, SAB HK . Do H là trung điểm của BC d C, SAB 2d H, SAB 2HK . 1 1 1 41 10 20 41 Trong SHI có: HK d C, SAB . HK 2 SH 2 HI 2 100 41 41 Câu 57: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD 2cm , DC 1cm , ·ADC 120 . Cạnh bên SB 3 cm , hai mặt phẳng SAB và SBC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc tạo bởi SD và mặt phẳng SAC . Tính sin . 1 3 3 3 A. sin .B. sin .C. sin .D. sin . 4 7 4 4 Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD 2cm , DC 1cm , ·ADC 120 . Cạnh bên SB 3 cm , hai mặt phẳng SAB và SBC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc tạo bởi SD và mặt phẳng SAC . Tính sin . 1 3 3 3 A. sin .B. sin .C. sin .D. sin . 4 7 4 4 Lời giải Chọn A
  32. S K B A H O C D Dễ thấy SB  ABCD , BD AB2 AD2 2AB.AD.cos60 3 SD 6 . AC AB2 AD2 2AB.AD.cos60 7 . Gọi H là hình chiếu của B trên AC , K là hình chiếu của B trên SH . Khi đó BH  SAC . 1 1 21 Do S BH.AC AB.BC.sin120 BH . ABC 2 2 7 1 1 1 6 6 BK d B, SAC d D, SAC . BK 2 BH 2 BS 2 4 4 d D, SAC 1 Dễ thấy sin . SD 4 Câu 59: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O . Dựng đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Trên đường thẳng lấy hai điểm S và S đối xứng nhau qua O sao cho SA S A a. Cosin góc giữa hai mặt phẳng SAB và S AB bằng 4 1 1 A. .B. 0.C. .D. . 9 3 3 3a Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 60 , SA  ABCD , SA . 2 Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Khoảng cách từ điểm O đến SBC bằng 3a 3a 5a 5a A. .B. .C. .D. . 4 8 8 4 Câu 61: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O . Dựng đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Trên đường thẳng lấy hai điểm S và S đối xứng nhau qua O sao cho SA S A a. Cosin góc giữa hai mặt phẳng SAB và S AB bằng 4 1 1 A. .B. 0.C. .D. . 9 3 3 Lời giải Chọn C
  33. S a C B O M D a A S' Ta có S.ABCD và S .ABCD là hình chóp tứ giác đều. SAB  S AB AB . Gọi M là trung điểm AB , ta có: * SAB cân tại S nên SM  AB . * S AB cân tại S nên S M  AB . Do đó SAB , S AB SM , S M . SM 2 S M 2 SS 2 Xét SMS , ta có cos SM , S M cos S·MS . 2SM.S M Vì SA S A nên ta có a2 a 3 * S AB SAB S M SM SA2 AM 2 a2 . 4 2 3a2 a2 * SO S O SS 2 2.SO 2. SM 2 OM 2 2 a 2 . 4 4 1 Vậy cos SM , S M . 3 3a Câu 62: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 60 , SA  ABCD , SA . 2 Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Khoảng cách từ điểm O đến SBC bằng 3a 3a 5a 5a A. .B. .C. .D. . 4 8 8 4 Lời giải Chọn B S H A B O M D C
  34. Gọi M là trung điểm BC ; H là hình chiếu của A lên SM . Vì AB BC a , ·ABC 60 nên ABC đều. BC  AM Do đó BC  SAM SBC  SAM theo giao tuyến là SM . BC  SA Mà AH  SM nên AH  SBC . 1 1 1 Ta có OC AC nên d O, SBC d A, SBC AH . 2 2 2 1 1 1 1 1 16 Xét SAM : 2 2 2 2 2 2 . AH AS AM 3a a 3 9a 2 2 3a AH . 4 3a Vậy d O, SBC . 8 Câu 63: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB = a ; BC = a 2 ; AA¢= a 3 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ACD¢) và (ABCD) (tham khảo hình vẽ). A' D' B' C' A D B C Giá trị tan a bằng: 2 6 3 2 2 A. 2 .B. .C. .D. . 3 2 3 Câu 64: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C a 6 và AB , AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên). 2
  35. Góc giữa đường thẳng AB và DE bằng A. 45o .B. 60o .C. 30o .D. 90o . Câu 65: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ; gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 45 (tham khảo hình vẽ bên dưới). S A C H I B Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng a 21 a 77 a 14 a 21 A. .B. .C. . D. . 14 22 8 7 Câu 66: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB = a ; BC = a 2 ; AA¢= a 3 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ACD¢) và (ABCD) (tham khảo hình vẽ).
  36. A' D' B' C' A D B C Giá trị tan a bằng: 2 6 3 2 2 A. 2 .B. .C. .D. . 3 2 3 Lời giải Chọn C Cách 1: + Kẻ DH ^ AC ( H Î AC ). Khi đó ta có D¢H ^ AC . Vì thế góc giữa hai mặt phẳng (ACD¢) và (ABCD) là góc D·¢HD . A' D' B' C' A D H B C + Xét tam giác ADC vuông tại D ta có: 1 1 1 1 1 3 2a2 a 6 = + = + = Þ DH 2 = Þ DH = . DH 2 DA2 DC 2 2a2 a2 2a2 3 3 + Trong tam giác DHD vuông tại D ta có: D¢D 3 3 2 tan D·¢HD = = a 3. = . DH a 6 2 Cách 2: (Dùng công thức diện tích hình chiếu) SACD Ta có: SACD SACD .cos cos SACD
  37. 1 a2 Ta có: SACD .a.a 2 . 2 2 a 3 a 5 2a Xét ACD có AC a 3 , AD a 5 , CD 2a , p . Suy ra: 2 11 S p p a 3 p a 5 p 2a a2 . ACD 2 S 2 Do đó: cos ACD . SACD 11 1 3 2 Vậy tan 1 . cos2 2 Câu 67: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C a 6 và AB , AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ 2 bên). Góc giữa đường thẳng AB và DE bằng A. 45o .B. 60o .C. 30o .D. 90o . Lời giải Chọn B
  38. Gọi H là trung điểm BC . Vì AB // HE AB; DE HE; DE D· EH AB a 6 3 2a Ta có: HE ; DH HC 2 CD2 . 2 4 4 DH tan D· EH 3 D· EH 60o . HE Câu 68: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a ; gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 45 (tham khảo hình vẽ bên dưới). S A C H I B Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng a 21 a 77 a 14 a 21 A. .B. .C. . D. . 14 22 8 7 Lời giải Chọn B
  39. S K E A C H I B Ta có: ·SA, ABC ·SA, AH S· AH 45 . Dựng hình bình hành AIHE . CI // SAE d SA,CI d CI, SAE d H, SAE . Do tam giác ABC đều và I là trung điểm của AB nên CI  AB . a Suy ra AIHE là hình chữ nhật có HE AI . 2 SH  HE Do đó: AE  SHE AE  SHE SAE  SHE . AE  HE Trong mặt phẳng SHE , dựng K là hình chiếu của H trên đường thẳng SE thì ta có HK  SAE d H, SAE HK . a2 3a2 a 7 Tam giác SAH vuông cân tại S SH AH AI 2 HI 2 . 4 16 4 SH.HE a 77 Tam giác SHE vuông tại H , có HE là đường cao nên HK . SH 2 HE 2 22 a 77 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng . 22 Câu 69: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Biết S· BA S· CA 90o , SA a 3 . Tính là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 90o .B. 30o .C. 45o .D. 60o . Câu 70: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Biết S· BA S· CA 90o , SA a 3 . Tính là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 90o . B. 30o .C. 45o .D. 60o .
  40. Lời giải Chọn B S H A C B Kẻ CH  SA , dễ dàng chứng minh được BH  SA . Do đó, góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng SAB , SAC CH, BH . CA.CS a 6 Ta có, CH , CB a 2 . SA 3 CH 2 BH 2 BC 2 1 Xét tam giác CHB , có cos H . 2.HB.HC 2 Vậy SAB , SAC CH, BH 60o . Câu 71: Cho hình chóp đều S.ABC có SA 9a , AB 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 SM MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng 2 1 7 19 14 A. .B. .C. .D. . 2 2 48 7 3 48 Câu 72: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a bằng a 2 2a a 3 A. .B. .C. .D. 2a . 2 3 3 Câu 73: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SB BC 2a 2 , B· SC 45 , B· SA . Tính giá tị để góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng 45. 1 14 3 14 A. arcsin .B. arcsin .C. arcsin . D. arccos . 3 7 6 14 Câu 74: Cho hình chóp đều S.ABC có SA 9a , AB 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 SM MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng 2 1 7 19 14 A. .B. .C. .D. . 2 2 48 7 3 48
  41. Lời giải Chọn D S 3a M 3a N 2a 3 I 3a 3a A 3a C a 7 2a K B Gọi N là trung điểm của MC , I là trung điểm AC , K trên CB sao cho CK 2a . AM //NI Khi đó ta có ·AM , SB N· I, NK . SB//NK CA2 CS 2 SA2 1 Trong tam giác SAC cosC 2CA.CS 3 Trong tam giácCNI ta có IN CN 2 CI 2 2CN.CI.cosC 2a 3 . Trong tam giác CIK ta có IK CI 2 CK 2 2CI.CK.cos60 a 7 . NI 2 NK 2 IK 2 7 3 Trong tam giác NIK có cos I·NK . 2NI.NK 18 14 7 3 Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng . 3 48 18 Câu 75: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a bằng a 2 2a a 3 A. .B. .C. .D. 2a . 2 3 3 Lời giải Chọn A A I B D J C Gọi I , J lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD . Do ABCD là tứ diện đều nên tam giác AJB cân tại J và tam giác CID cân tại I . 2 2 IJ  AB 2 2 a 3 a a 2 Suy ra d AB,CD IJ AJ AI . IJ  CD 2 2 2 Câu 76: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SB BC 2a 2 , B· SC 45 , B· SA . Tính giá tị để góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng 45.
  42. 1 14 3 14 A. arcsin .B. arcsin .C. arcsin . D. arccos . 3 7 6 14 Lời giải Chọn A Kẻ BE  AC BE  SAC BE  SC . Kẻ EF  SC SC  BEF BF  SC . Mà SBC cân tại B SB SC 2a 2 có B· SC 45 nên SBC vuông cân tại B . Nên F là trung điểm của SC . BF SF FC 2a . SAC  SBC SC Lại có SAC ; SBC B· FE 45 . EF  SC, BF  SC BEF vuông cân tại E BE EF a 2 BC  SB Lại có BC  SAB ABC vuông tại B BC  SA 1 1 1 2a 6 AB . AB2 BC 2 BE 2 3 AB 1 Nên sin ·ASB . SB 3 Câu 77: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, AB AC a . Tam giác SAB có ·ABS 60o và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ điểm A đến SBC theo a . a 21 a 3 A. d .B. d a 3 .C. d 2a 3 .D. d . 7 2 Câu 78: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, AB AC a . Tam giác SAB có ·ABS 60o và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ điểm A đến SBC theo a . a 21 a 3 A. d .B. d a 3 .C. d 2a 3 .D. d . 7 2 Lời giải Chọn A
  43. Vẽ SH  AB tại H SH  ABC , vẽ HE  BC tại E SHE  BC SHE  SBC x Vẽ HK  SE tại K HK  SBC . Đặt BH x , SH x 3 , HE . 2 3 3 x2. x2. HE.HS x 21 Ta có HK 2 2 . SH 2 HE 2 x2 x2 7 3x2 3x2 2 2 d A, SBC AB AB a x 21 a 21 Ta có d A, SBC .d H, SBC . . d H, SBC HB HB x 7 7 Câu 79: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông, BA BC a , cạnh bên AA a 2 , M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa AM và B C . a 7 a 2 a 3 a 5 A. .B. . C. . D. . 7 2 3 5 Câu 80: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Góc giữa SC và ABCD bằng 45. Gọi M là trung điểm SD . Tính d M , SAC . 2a 1315 a 1315 2a 1513 a 1513 A. .B. .C. . D. . 89 89 89 89 Câu 81: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông, BA BC a , cạnh bên AA a 2 , M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa AM và B C . a 7 a 2 a 3 a 5 A. .B. . C. . D. . 7 2 3 5 Lời giải Chọn C
  44. A' C' B' N H A C I M B Ta có MN // B C B C // AMN Kẻ BI  AM , BH  NI BH  ANM . Suy ra d B C, AM d C, ANM d B, ANM BH . BA.BM a 5 BI.BN a 7 Ta có BI BH . AM 5 IN 7 Câu 82: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Góc giữa SC và ABCD bằng 45. Gọi M là trung điểm SD . Tính d M , SAC . 2a 1315 a 1315 2a 1513 a 1513 A. .B. .C. .D. . 89 89 89 89 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB , I là tâm hình chữ nhật ABCD và G là giao điểm của AC và DH . SAB cân tại S SH  AB , mà SAB  ABCD nên SH  ABCD . 17a Khi đó SC, ABCD S· CH 45 SH HC.tan 45 BH 2 BC 2 . 2 d M ; SAC MS 1 MD  SAC S 2d M ; SAC d D; SAC . d D; SAC DS 2
  45. HG 1 Ta có G là trọng tâm ABD . DG 2 d H; SAC HG 1 HD  SAC G d D; SAC DG 2 1 d H; SAC d D; SAC d M ; SAC . 2 Kẻ HK  AC AC  SHK SAC  SHK . Kẻ HL  SK SHK  SAC HL  SAC HL d H;SAC . 1 1 1 a 5 Xét AHI có HK . HK 2 HA2 HI 2 5 1 1 1 17 a 1513 Xét SHK có HL a . HL2 HS 2 HK 2 89 89 a 1513 Vậy d M ; SAC . 89