›
›
›

Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)

doc 44 trang nhungbui22 12/08/2022 3821
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_cau_hoi_hinh_hoc_lop_11_duoc_tach_tu_de_luyen_thi_t.doc

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)

  1. Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và DC bằng a 6 2a 3 a 2 a 3 A. .B. .C. . D. . 3 3 2 3 Lời giải Chọn D ‰ B' C' A' D' H B C O A D Ta có: DC //AB DC // B AC chứa AC . Khi đó ta có d AC; DC d D; B AC d B; B AC . AC  BD Ta có: AC  BB O . AC  BB BH  AC Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên B O ta có: BH  B AC . BH  B O Suy ra d B, B AC BH . 1 1 1 1 1 2 a 3 Trong tam giác B BO ta có: BH BH 2 BB 2 BO2 BH 2 a2 a2 3 Câu 2: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB AC AD 1; B· AC 60 ; B· AD 90 ; D· AC 120 . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD , trong đó G là trọng tâm tam giác BCD . 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 6 3 6 3 Lời giải Chọn C A B D G I M C * ABC đều BC 1. * ACD cân tại A có CD AC 2 AD2 2AC.AD.cos120 3 .
  2. * ABD vuông cân tại A có BD 2 . * BCD có CD2 BC 2 BD2 BCD vuông tại B . Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M . Ta có MG // CD AG,CD AG, MG . 2 2 2 1 3 Gọi I là trung điểm của BC , xét BDI vuông tại B có DI BD BI 2 . 2 2 IM MG IG 1 1 1 BC 1 1 3 1 1 Ta có IM .IC . ; MG .CD ; IG .ID . IC CD ID 3 3 3 2 6 3 3 3 2 2 2 2 2 3 1 7 Xét AIM vuông tại I có AM AI IM . 2 6 3 2 2 3 3 2 1 AI 2 ID2 AD2 2 2 4 3 cos ·AID 2AI.ID 3 3 9 2. . 2 2 2 2 2 2 · 3 1 3 1 4 3 3 AG AI IG 2AI.IG.cos AID 2. . . . 2 2 2 2 9 3 Xét AMG có 2 2 2 3 3 7 AG2 GM 2 AM 2 3 3 3 1 cos AG, MG cos ·AGM . 2.AG.GM 3 3 6 2. . 3 3 Câu 3: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK , A D . 2a a 3a A. a .B. .C. .D. . 5 3 8 Lời giải Chọn C Cách 1: Trong ADD A : Gọi O AD  A D ; H IK  AD ; I là trung điểm của A D . Ta có IK //AD AD // IKC d CK , A D d A D, IKC d D, IKC . Kẻ DF  CE , ta có:
  3. DF  CE .  DF  CEI d D, IKC DF . DF  EI  1 1 . ED OH AD a 2 . 4 4 2 2 a 2 2 a . CD .ED a . DF 8 . CD2 ED2 a2 3 a2 8 a Vậy d CK , A D . 3 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ: D 0;0;0 , A 0;a;0 , C a;0;0 , D 0;0;a . a  a  Ta có: K 0;0; ; CK a;0; ; A D 0; a; a . 2 2   a CK  A D ; a;a . 2  DC a;0;0 . 2    a CK, A D .DC 2 a d CK, A D   . CK, A D a2 3 a2 a2 4 Câu 4: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC ,C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . A. 60 .B. 90 C. 30 .D. 45. Lời giải Chọn D A' B' D' P C' B A M N D C Ta có tứ giác AMC P là hình bình hành nên AP // MC M· N, AP M· N, MC N· MC . Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a . 3a Xét tam giác C CM vuông tại C có C M C C 2 MC 2 C C 2 BC 2 MB2 . 2 5a Xét tam giác C CN vuông tại C có C N C C 2 CN 2 . 2
  4. AC a 2 Mà MN . 2 2 MC 2 MN 2 C N 2 2 Xét tam giác C CM có cosN· MC 2MC .MN 2 N· MC 45 M· N, AP 45 . Câu 5: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a 2 a 15 a 7 A. .B. . C. 2a .D. . 2 5 7 Lời giải Chọn B Vì SA  ABC nên ·SB; ABC ·SB; AB S· BA S· BA 60 . SA AB.tan S· BA a.tan 60 a 3 . Dựng hình bình hành ACBD , ta có AC// SBD nên: d AC;SB d AC; SBD d A; SBD Gọi M là trung điểm BD , suy ra BD  AM . Từ SA  ABC ta có BD  SA , do đó BD  SAM . Kẻ AH  SM ( H SM ) thì BD  AH . Từ BD  AH và AH  SM suy ra AH  SBD . Nên d A; SBD AH . a 3 Tam giác ABD đều cạnh a nên AM . 2 Trong tam giác SAM vuông tại A , ta có 1 1 1 1 1 5 a 15 2 2 2 2 2 2 AH . AH AM SA a 3 a 3 3a 5 2 a 15 Vậy d AC;SB d A; SBD AH . 5
  5. S H A C D M B Câu 6: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với ABC và SA a . Tính khoảng cách giữa SC và AB . a a 21 a 21 a 2 A. .B. .C. . D. . 2 3 7 2 Lời giải Chọn C S H D M A C B Vẽ đỉnh D của hình bình hành ABCD . Khi đó, AB // DC AB // SDC . Do đó d AB; SC d AB; SDC d A; SDC . Gọi M là trung điểm CD , vì ACD đều nên CD  AM mà CD  SA CD  SAM SCD  SAM . Kẻ AH  SM tại H . Suy ra AH  SCD d A; SDC AH . a 3 Tam giác SAM vuông tại A có SA a , AM . 2 1 1 1 1 4 7 a 3 a 21 Suy ra AH . AH 2 SA2 AM 2 a2 3a2 3a2 7 7 a 21 Vậy d AB; SC AH . 7 Câu 7: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a (hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng A. 45.B. 30 .C. 60 .D. 90 . Lời giải
  6. Chọn A Ta có: SBC  SAD Sx // BC // AD . Ta chứng minh được BC  SAB BC  SB Sx  SB . Lại có: SA  ABCD SA  AD SA  Sx . Vậy góc giữa mặt phẳng SBC và SAD là góc B· SA 45 . Câu 8: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng AD B bằng a 3 a 2 a 6 A. .B. .C. .D. a . 3 2 3 Lời giải Chọn A A a B O D C a K a A' B' O' D' C' Gọi O , O lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A B C D . Ta có BO // B O  AB D BO // AB D . B D  A C Dựng OK  AO , ta có B D  AA C C  OK B D  OK . B D  AA OK  AB D . d B, AB D d O, AB D OK . Xét AOO vuông tại O có OK là đường cao. 1 1 1 1 1 3 a 3 2 2 2 2 2 2 OK . OK OA OO a 2 a a 3 2
  7. Câu 9: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Cho biết AB 2AD 2DC 2a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC . 1 A. arccos .B. 30 .C. 45.D. 60 . 4 Lời giải Chọn D Gọi K là trung điểm của AB và H là hình chiếu của C lên SB . CK  AB SB  CH Ta có CK  SB . Do đó HK  SB . CK  SA SB  CK SAB  SBC SB Ta có CH  SB nên góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC là góc C· HK . HK  SB AC a 2 Ta có BC a 2 suy ra tam giác ABC vuông tại C . KB a CB  AC 1 1 1 2 3 Ta có CB  SC nên 2 2 2 CH a . CB  SA CH CB CS 3 Mặt khác CK AD a . CK 3 Xét tam giác CHK vuông tại K có sin C· HK C· HK 60 . CH 2 Câu 10: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 , AD 1. Hình chiếu vuông góc của S trên ABCD là điểm H thuộc cạnh đáy AB sao cho AH 2HB . Tính khoảng cách từ A đến SHC . A. 3 2 .B. 2 2 .C. 2 . D. 2 .
  8. Lời giải Chọn C d A, SHC AH Vẽ BK  HC K HC BK  SHC 2 d B, SHC BH 2 d A, SHC 2d B, SHC , BHC vuông cân cho ta BK d A, SHC 2 . 2 Câu 11: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Ba mặt phẳng ABC , ABD , ACD đôi một vuông góc. B. Tam giác BCD vuông. C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác BCD . D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc. Lời giải Chọn B D H A C B DA  AB . Ta có DA  ABC . DA  AC Mà DA  ABD ABD  ABC . Tương tự ACD  ABC , ACD  ABD do đó A đúng. . Nếu BCD vuông, chẳng hạn BC  BD mà BC  DA BC  ABD BC  AB , điều này không thể xảy ra vì AB  AC nên B sai.
  9. . Kẻ AH  ABC tại H AH  BC . BC  AH Ta có BC  ADH BC  DH 1 BC  AD BA  AC Từ BA  ACD BA  CD CD  AB . BA  AD CD  AB Từ AH  ABC AH  CD , từ CD  ABH CD  BH 2 CD  AH Từ 1 và 2 ta được C đúng. BA  AC . Từ BA  ACD BA  CD . BA  AD Từ DA  ABC DA  BC , do đó D đúng. Câu 12: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong mặt phẳng P cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P tại A lấy điểm S thỏa mãn SA 2a . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và SBC là A. 30 .B. 45 .C. 90 .D. 60 . Lời giải Chọn D Ta có SCD  SAD , vẽ AN  SD N SD AN  SCD SAB  SBC , vẽ AM  SB M SD AM  SBC · SCD , SBC ·AM , AN M· AN . Ta có MN là đườngg trung bình của SBD MN a 2 . Các SAD , SAB vuông cân cho ta AM AN a 2 AMN đều nên M· AN 60 . Câu 13: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 4a , cạnh bên bằng 2a . M là trung điểm của AB. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng A C M . Diện tích của thiết diện là 3 7a2 3 2a2 A. 3 7a2 .B. .C. .D. 6 2a2 . 4 2
  10. Lời giải Chọn A Ta có M ABC  A C M , AC // A C ABC  A C M Mx // AC . Gọi N là giao điểm của Mx với BC ABC  A C M MN . Thiết diện là hình thang MNC A . AC MN 2a , A M 2a 2 . Vẽ MH  A C H A C MH a 7 . 2 1 1 2 Vậy diện tích thiết diện S .MH. MN A C .a 7.6a 3 7a . MNC A 2 2 Câu 14: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  (ABCD) và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là A. a .B. 2a .C. a 2 .D. a 5 . Lời giải Chọn B S A B D C Ta có: CD//AB nên d SB,CD d CD, SAB d C, SAB BC 2a . 4 Câu 15: Tập xác định của hàm số y x 2 3 là (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) A. D ¡ \ 2.B. D ¡ .C. D 2; .D. D ¡ \ 0 . Lời giải Chọn C 4 Điều kiện xác định của hàm số y x 2 3 là x 2 0 x 2.
  11. Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a , tam giác SAB và tam giác SCB lần lượt vuông tại A , C . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng 2a . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCB bằng 1 1 1 1 A. .B. . C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn B Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho B 0;0;0 , A a 2;0;0 , C 0;a 2;0 , S x; y; z .   Ta có ABC : z 0 , AS x a 2; y; z , CS x; y a 2; z   Do AS.AB 0 x a 2 a 2 0 x a 2 , d S, ABC 2a z 2a z 0   CS.CB 0 y a 2 a 2 0 y a 2 S a 2;a 2;2a .    Ta có AS 0;a 2;2a , CS a 2;0;2a , BS a 2;a 2;2a . 1 1 SBC có 1 vtpt n 2;0;1 , SAB có 1 vtpt m 0; 2; 1 cos . 3. 3 3 Cách 2: Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên mp ABC .
  12. AB  SA  Ta có:  AB  AD , tương tự: BC  CD . Vậy ABCD là hình vuông. AB  SD Gọi H , K lân lượt là hình chiếu của D trên SA , SC . Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCB là góc giữa hai đường thẳng DH và DK . 2a SH SD2 2 2 4a Tính được DH DK ; HK AC . 3 SA SA2 3 3 3 HD2 KD2 HK 2 1 Tứ đó ta có: cos H· DK 2HD.KD 3 Câu 17: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AC a , góc B· AC 120 , AA a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B C và CC . Số đo góc giữa mặt phẳng AMN và mặt phẳng ABC bằng 3 3 A. 60 .B. 30 . C. arcsin .D. arccos . 4 4 Lời giải Chọn D a Gọi H là trung điểm BC , BC a 3 , AH . 2 a a 3 a 3 H 0;0;0 Chọn hệ trục tọa độ , A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0; ;0 , 2 2 2 a 3 a M 0;0;a AMN ABC , N 0; ; . Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng . 2 2   3 1 3 AMN có một vtpt n AM , AN ; ; 2 4 4  3 n.HM  4 3 ABC có một vtpt HM 0;0;1 , từ đó cos . n HM 1.1 4
  13. Câu 18: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có SA a , SA  ABC , tam giác ABC vuông cân đỉnh A và BC a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MNA và ABC bằng 2 2 3 3 A. .B. .C. .D. . 4 6 2 3 Lời giải Chọn D S N I M x C A K B Gọi I , K lần lượt là trung điểm của MN và BC . I là trung điểm của SK . Ta có AMN  ABC Ax // MN // BC. ABC cân tại A AK  BC AK  Ax . AMN cân tại A AI  MN AI  Ax . Do đó AMN , ABC AI, AK I·AK hoặc bù với góc I·AK BC a 2 ABC vuông tại A có AK là đường trung tuyến nên AK . 2 2 SAK vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên a2 a2 SK SA2 AK 2 a 6 AI IK 2 . 2 2 2 4 2 2 2 a 6 a 2 a 6 IA2 AK 2 IK 2 4 2 4 3 Xét AIK có cos I·AK . 2IA.AK a 6 a 2 3 2. . 4 2 Câu 19: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , góc B· AD 60 , AA a 2 . M là trung điểm của AA . Gọi của góc giữa hai mặt phẳng B MD và ABCD . Khi đó cos bằng 2 5 3 3 A. .B. . C. .D. . 3 3 4 3
  14. Lời giải Chọn D B' C' A' D' a 2 M B C 60o A D N Gọi N B M  BA, khi đó B MD  ABCD DN . Vì ABCD là hình thoi có B· AD 60 nên tam giác ABD đều cạnh a . AM là đường trung bình của tam giác NBB nên AN AB a , suy ra ADN cân tại A , D· AN 180 B· AD 120 . Do đó ·ADN 30. Suy ra N· DB 60 30 90 hay BD  DN . Theo định lý ba đường vuông góc ta có B D  DN , do đó góc giữa mặt phẳng B'MD và ABCD là góc giữa B D và BD là B· DB . BD BD a 3 Xét tam giác B DB vuông tại B , cos B· DB . B D BD2 BB 2 a2 2a2 3 Câu 20: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . a 2 a 2 a 2 A. a 2 .B. .C. .D. . 2 3 4 Lời giải Chọn B
  15. Ta có AB // CD nên d AB, SC d AB, SCD d A, SCD . Trong tam giác SAD , kẻ AH  SD tại H . Dễ thấy SAD  SCD theo giao tuyến SD . Do đó: AH  SCD d A, SCD AH SA.AD a.a a 2 Ta có AH . SD a 2 2 Câu 21: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH 3HA, AK 3KD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho S· BH 30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC . 28 18 36 9 A. .B. . C. .D. . 5 39 5 39 5 39 5 39 Lời giải Chọn B Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ABD BCH . ·ABD B· CH H· EB 90 . A H I B E K D C
  16. S A I B H K E D C Ta có: cos SE; BC cos SE; EI cos S· EI , SH BH.tan 30 a 3 . HB HE HB2 9a 81a2 2a 39 HE , SE SH 2 HE 2 3a2 . HC HB HC 5 25 5 2 2 HE HI HE 27a 2 2 2 27a 2a 651 HI , SI SH HI 3a . HB HE HB 25 25 25 EI HI 9 36a EI BC HB 25 25 Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được: 2 2 2 2a 39 36a 2a 651 SE 2 EI 2 SI 2 5 25 25 18a cos S· EI . 2.SE.EI 2a 39 36a 5 39 2. . 5 25 Câu 22: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 2a , AD 4a , SA  ABCD , cạnh SC tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AD sao cho DN a . Khoảng cách giữa MN và SB là 2a 285 a 285 2a 95 8a A. .B. .C. .D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn A
  17. Lấy K trên AD sao cho AK a thì MN // SBK . AC 2a 5 . d MN, SB d MN, SBK d N, SBK 2d A, SBK . Vẽ AE  BK tại E , AH  SE tại H . Ta có SAE  SBK , SAE  SBK SE , AH  SE AH  SBK d A, SBK AH . SA AC. 3 2a 15 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 AH SA AE SA AK AB 2a 15 a 4a 2a 15 a 4a a 285 2a 285 AH d MN, SB . 19 19 Câu 23: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên hợp với ABC góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng BCC B . 3 3 1 2 A. .B. .C. .D. . 13 2 13 13 13 Lời giải Chọn A
  18. A' C' B' H A G C M B Ta có B G  ABC nên BG là hình chiếu của BB lên mặt phẳng ABC . BB , ABC BB , BG B· BG 60. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B M , ta có BC  AM BC  AB M BC  AH . BC  B G Mà AH  B M nên AH  BCC B . Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng BCC B . AB, BCC B AB, HB ·ABH . AH Xét tam giác ABH vuông tại H có sin ·ABH . AB 3 2 B G BG.tan 60 a . . 3 a . 2 3 2 a 3 1 a 39 2 2 2 B M B G GM a . . 2 3 6 a 3 a. AM.B G 3a Ta có AHM : B GM AH 2 . B M a 39 13 6 3a 3 Vậy sin ·ABH 13 . a 13 Câu 24: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 165 a 165 a 165 2a 165 A. .B. .C. .D. . 30 45 15 15 Lời giải Chọn C
  19. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do hình chóp S.ABC đều nên SO  ABC 2 2 2 2 a 3 a 33 1 a 3 a 3 SO SA AO 4a ; GM . 3 3 3 2 6 3SG.GM a 165 d A, SBC 3d G, SBC . SG2 GM 2 15 Câu 25: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có A .ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và CMN . 2 3 2 2 2 4 2 A. .B. .C. .D. . 5 4 5 13 Lời giải Chọn C Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho O 0;0;0 , 1 1 3 3 a 6 3 6 A ;0;0 , B ;0;0 , C 0; ;0 , H 0; ;0 , A H A 0; ; 2 2 2 6 3 6 3
  20.   3 6  Ta có AB A B B 1; ; . Dễ thấy ABC có vtpt n 0;0;1 . 1 6 3 1 3 6 3 3 6 M là trung điểm AA M ; ; , N là trung điểm BB N ; ; 4 12 6 4 12 6   1 5 3 6 MN 1;0;0 , CM ; ; 4 12 6  6 5 3 3 CMN có vtpt n 0; ; 0;2 2;5 2 6 12 12 5 1 2 2 cos tan 1 33 cos2 5 Câu 26: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30 . A M B D N C a a 3 a 3 a A. MN .B. MN .C. MN .D. MN . 2 2 3 4 Lời giải Chọn B 1 1 Gọi P là trung điểm của AC . Suy ra PM CD AB PN . Do đó tam giác PMN cân tại 2 2 P . Lại có góc giữa AB và MN bằng 30 nên góc giữa MN và PN bằng 30 . Vậy tam giác PMN là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120 . a 3 Ta có PN. 3 MN nên MN . 2
  21. Câu 27: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA  ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với nhau một góc 60 . a 3 a A. x a 3 .B. x a .C. x .D. x . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có SCD  SAD , vẽ AN  SD tại N AN  SCD . SAB  SBC , vẽ AM  SB tại M AM  SBC . · SBC , SCD AM AN M· AN . ax SM MN SM.BD Ta có SB SD x2 a2 , AM AN , MN x2 a2 SB BD SB x2 .a 2 x2 x2 a2 x2a 2 SM MN MN 2 2 . x2 a2 x2 a2 x a 2 xa x a 2 2 2 AMN đều cho ta MN AM 2 2 x a x 2 x a . x2 a2 x a Câu 28: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nhau và OA OB OC 3a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và OB . 3a a 2 3a 2 3a A. .B. .C. .D. . 2 2 2 4 Lời giải Chọn C B O C M A
  22. Gọi M là trung điểm của AC AC  OM OM là đường vuông góc chung của AC và 3a 2 OB , AC 3a 2 OM . 2 Câu 29: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB , SD . Góc giữa mặt phẳng AMN và đường thẳng SB bằng A. 45.B. 90 . C. 120 .D. 60 . Lời giải Chọn D S N M A D B C Ta có BC  SAB BC  AM AM  SBC AM  SC . Tương tự ta cũng có AN  SC AMN  SC . Gọi là góc giữa đường thẳng SB và AMN . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho A 0;0;0 , B 0;1;0 , D 1;0;0 , S 0;0; 2 ,    C 1;1;0 , SC 1;1; 2 , SB 0;1; 2 . Do AMN  SC nên AMN có vtpt SC 3 3 sin 60 . 2 3 2 Câu 30: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và BD bằng a 3 a 3 a 3 a 2 A. .B. .C. .D. . 6 4 3 3 Lời giải Chọn C z E F H G B A x D y C Chọn A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , H 0;a;a khi đó      2 2 2 AH 0;a;a BD a;a;0 , AD 0;a;0 ; AH, BD a ; a ;a
  23.    AH, BD .AD a 3 d AH, BD   . 3 AH, BD Câu 31: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SA a 3 . Góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD bằng A. 30 .B. 60 .C. 90 .D. 45. Lời giải Chọn A S x A B D C Ta có: SAB  SCD Sx // AB // CD . Ta chứng minh được: . CD  SAD CD  SD SD  Sx . . SA  ABCD SA  AB SA  Sx . Do đó: ·SAB ; SCD S·D;SA ·ASD . AD a 1 Tam giác SAD vuông tại A nên: tan ·ASD . SA a 3 3 Vậy ·SAB ; SCD 30 . Câu 32: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB a , BC 2a và SA  ABCD , SA 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng a 2 a 3 3a 2a A. .B. .C. .D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn D
  24. Dựng hình bình hành BCED , gọi I là tâm hình vuông ABCD , vẽ AM vuông góc CE tại M vẽ AH vuông góc SM tại H . 1 Ta có BD // SCE d BD, SC d BD, SCE d I, SCE d A, SCE 2 Ta có ME  SAM ME  AH AH  SME d A, SCE AH CD.AE a.4a 4a Ta có AM.CE CD.AE AM . CE a 5 5 SA.AM 4a 2a AH d BD, SC . SA2 AM 2 3 3 Câu 33: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có ACD  BCD , AC AD BC BD a và CD 2x . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Với giá trị nào của x thì ABC  ABD ? a 3 a A. x .B. x a . C. x a 3 . D. x . 3 3 Lời giải Chọn A
  25. A I a a a C B x J a D ACD  BCD Theo giả thiết ta có: ACD  BCD CD AJ  BCD AJ  BJ . AJ  CD ACD BCD (c.c.c) AJ BJ AB AJ 2 2 AC 2 CJ 2 2 a2 x2 0 x a 1 1 AI AB 2 a2 x2 2 2 Dễ thấy CAB và DAB bằng nhau và cân tại các đỉnh C và D . 2 2 a x a2 x2 DI CI AC 2 AI 2 a2 . 2 2 CI  AB Có , nên để ABC  ABD thì CI  DI hay ICD vuông tại I . DI  AB a 3 CD CI 2 2x a2 x2 x . 3 Câu 34: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và B C (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B D bằng A D M B C A D B N C 5a a A. 5a .B. .C. 3a .D. . 5 3
  26. Lời giải Chọn D Cách 1: Gắn hình lập phương vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. z A D M B C A y D B N C x a a a Ta có: A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , A 0;0;a , M ; ;a , N a; ;0 . 2 2 2   a  a B D a;a;0 , MN ;0;a , B N 0; ;0 . 2 2    a2 B D ;MN .B N a d B D ;MN   2 . B D ;MN a2 3 a4 a4 4 Cách 2: A D M C B A D B N C I Ta có B D // BD B D // NBD 1 d MN, B D d B D , NDB d B , NDB d C, NBD 2 Gọi h là khoảng cách từ C đến NBD , I CC  BN 1 1 1 1 1 1 1 9 2a Ta có h . h2 CB2 CD2 CI 2 a2 a2 4a2 4a2 3 a Vậy d B D , MN . 3 Câu 35: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Biết SD 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng SAC .
  27. S B C H A D a 13 2a 66 2a 13 4a 66 A. h .B. h .C. h .D. h . 3 11 3 11 Lời giải Chọn B Ta có SAB  ABCD , SAB  ABCD AB , SH  AB SH  ABCD . · góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SCH 30 . d B, SAC 2d H, SAC . Vẽ HK  AC tại K , HI  SK tại I , Ta có AC  SHK AC  HI HI  SAC . 2 2 x 3 x 3 2 Đặt HC HD x , SH . Ta có phương trình x 2a 3 x 3a 3 3 SH a 3 , AB 2a , AD 2a 2 , AC 2a 3 . AH.BC a.2a 2 a 6 Ta có HK.AC AH.BC HK . AC 2a 3 3 SH.HK a 66 2a 66 HI h . SH 2 HK 2 11 11 Câu 36: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên AA 2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB A .
  28. 1 1 1 1 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 95 165 134 126 Lời giải Chọn B A' C' B' M A C G N K I B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, AB . Gọi I là trung điểm của BG . Qua I kẻ đường thẳng song song với CN cắt AB tại K thì IK  AB (do CN  AB ) (1). Vì A I  ABC nên A I  AB (2). Từ (1) và (2) suy ra AB  A KI . Do đó ·A KI . 1 1 1 1 1 a 3 a Vì I là trung điểm BG nên suy ra IK GN . CN . . . 2 2 3 2 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 a 2 a 3 7a Trong tam giác vuông AIM ta có AI AM MI . . 2 3 2 12 2 2 2 7a 41a Trong tam giác vuông A AI ta có A I 2 A A2 AI 2 2a . 12 12 2 2 2 2 2 2 41a a 165a Trong tam giác vuông A KI ta có A K A I KI . 12 4 3 48 a a 165 KI 1 Suy ra A K . Từ đó ta có cos 4 3 . 4 3 A K a 165 165 4 3 Câu 37: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100 m và trục nhỏ bằng 80 m được chia làm hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi m2 trồng cây con và 4000 mỗi m2 trồng rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến phần nghìn). A. 31904000 .B. 23991000 .C. 10566000. D. 17635000. Lời giải Chọn B
  29. x2 y2 Gọi phương trình của elip là 1. a2 b2 Theo giả thiết, ta có 2a 100 a 50 ; 2b 80 b 40 . 1 Diện tích phần trồng cây con (phần gạch sọc) bằng diện tích của elip trừ đi diện tích tam 4 ab ab 2 giác DOF . Do đó diện tích phần trồng cây con là S1 m . 4 2 3 Diện tích phần trồng rau (phần không gạch sọc) bằng diện tích elip cộng với diện tích tam 4 3 ab ab 2 giác DOF . Do đó diện tích phần trồng rau là S2 m . 4 2 ab ab 3 ab ab Thu nhập của cả mảnh vườn là 2000 4000 23991000. 4 2 4 2 Câu 38: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , AC a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SBC theo a . a 13 3a 26 a 13 A. .B. .C. .D. 1 m 5. 26 13 2 Lời giải Chọn D Gọi M , H lần lượt là trung điểm của BC và BM . Do ABC là tam giác đều nên AM  BC . Mà HI là đường trung bình nên HI  BC .
  30. Kẻ IE  SH tại E . Ta chứng minh được IE  SBC tại E . Suy ra: d I, SBC IE . AM IC.tan 60. IS.IH 3a 13 Ta có: IE 2 . 2 2 2 26 IS IH 2 AM IC.tan 60 2 Câu 39: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SC và a3 2 mặt phẳng ABCD bằng 45. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Khoảng 3 cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 a 6 a 10 a 10 A. .B. .C. . D. . 2 3 5 10 Lời giải Chọn C S H K A B I D C Đặt cạnh của hình vuông ABCD là x , x 0 . Vì SA  ABCD nên suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SCA . Vậy S· CA 45 . Do đó tam giác SAC vuông cân tại A . Suy ra SA AC x 2 . 1 1 x3 2 Ta có V SA.S .x 2.x2 . ABCD 3 ABCD 3 3 a3 2 Theo bài ra thì V . Vậy x a . ABCD 3 Cách 1: Qua B dựng đường thẳng d song song với AC , qua A dựng đường thẳng d song song với BD . Gọi K là giao điểm của d và d . Ta có AC// SKB . Do đó d AC, SB d AC, SKB d A, SKB . Trong mặt phẳng SAK dựng AH vuông góc với SK tại H (1). Vì AC  BD nên suy ra AK  KB (2). Mặt khác SA  ABCD nên SA  KB (3).
  31. Từ (2) và (3) suy ra KB  SAK . Do đó ta có KB  AH (4). Từ (1) và (4) suy ra AH  SKB . Vậy AH d A, SKB . Gọi I là giao điểm của AC và BD . BD a 2 Ta có tứ giác AKBI hình chữ nhật nên AK BI . 2 2 1 1 1 1 1 5 Trong tam giác vuông SAK có 2 2 2 2 2 2 . AH AS AK a 2 a 2 2a 2 a 10 a 10 Suy ra AH . Vậy d AC, SB . 5 5 Cách 2: (tọa độ hóa): Gán hệ trục tọa độ như sau: A 0;0;0 , D a;0;0 , B 0;a;0 và S 0;0;a 2 . Khi đó C a;a;0 .    Ta có SB 0;a; a 2 , AC a;a;0 , AS 0;0;a 2 .      2 2 2 3 Do đó: AC, SB a 2;a 2;a , AC, SB .AS a 2 .    3 AC, SB AS a 2 a 10 Từ đó ta có d AC, SB   . a2 5 5 AC, SB Câu 40: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB 2a , SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng 2 2 2 2 A. .B. .C. .D. . 2 3 4 5 Lời giải Chọn C Gọi I AD  BC . BD  AD ta có: BD  SAD BD  SI . BD  SA
  32. SI  BD · · Kẻ DE  SI , ta có: SI  BDE SAD , SBC DE, BE . SI  DE SA 3 Ta có: sin ·AIS . SI 7 DE a 3 DB 2 Mà sin ·AIS DE DI sin ·AIS tan D· EB 7 cos D· EB . DI 7 ED 4 Câu 41: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45. Gọi M là trung điểm của SD . Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng SAC . 2a 1513 2a 1315 a 1315 a 1513 A. d .B. d .C. d .D. d . 89 89 89 89 Lời giải Chọn D a a 17 AB a , BC 2a , HB , HC , AC a 5 . 2 2 Gọi H là trung điểm AB SH  AB SH  ABCD . DK DC Gọi K là giao điểm của HD và AC . Theo Talet 2 DK 2HK . HK AH Vẽ HE  AC tại E AC  SHE SAC  SHE . Vẽ HN  AE tại N HN  SAC 1 d M , SAC d D, SAC d H, SAC HN . 2 a 17 Góc giữa SC và ABCD là góc S· CH SHC vuông cân SH HC . 2 a 2a. a Ta có HE.AC CB.AH HE 2 . a 5 5
  33. a 17 a . SH.HE 2 a 1513 Vậy d M , SAC HN 5 . SH 2 HE 2 17a2 a2 89 4 5 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . a 3 a 5 2a 3 2a 5 A. .B. .C. .D. . 3 5 3 5 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BD a . Cạnh SA vuông góc với a 6 mặt đáy và SA . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . 2 A. 60 .B. 120 .C. 45.D. 90 . Câu 44: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . a 3 a 5 2a 3 2a 5 A. .B. .C. .D. . 3 5 3 5 Lời giải Chọn D S I A D H K B C Gọi H là trung điểm AB . Ta có SAB  ABCD theo giao tuyến AB . Trong SAB có SH  AB nên SH  ABCD . Kẻ HK // AD K CD HK  CD mà SH  ABCD CD  SH . Do đó CD  SHK . Suy ra SCD  SHK theo giao tuyến SK . Trong SHK , kẻ HI  SK thì HI  SCD . Ta có: AB // SCD nên d AB, SC d AB, SCD d H, SCD HI . Tam giác SAB vuông cân có AB 2a SH a . 1 1 1 2 5a Tam giác SHK có HI . HI 2 SH 2 HK 2 5 2 5a Vậy d AB, SC . 5 Câu 45: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
  34. a 6 hình thoi cạnh a , BD a . Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA . Tính góc giữa hai 2 mặt phẳng SBC và SCD . A. 60 .B. 120 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn D 2 2 2 a 6 2 10 Ta có SB SA AB a a . 2 2 3 Vì tam giác ABD đều nên AC 2.AO 2. a a 3 . 2 2 2 2 2 a 6 3 2 Suy ra SC SA AC a 3 a . 2 2 SC  BD Kẻ BH  SC , ta có SC  HD . SC  BH SBC  SCD SC · Như vậy BH  SC SBC , SCD . DH  SC HC BC 2 SC 2 SB2 a 2 Xét tam giác SBC ta có cosCµ HC . BC 2BC.SC 2 a 2 Suy ra HD HB BC 2 HC 2 . 2 HB2 HD2 BD2 Ta có cosB· HD 0 B· HD 90 . Vậy ·SBC , SCD 90 . 2HB.HD Câu 46: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 11. Gọi I là trung điểm cạnh CD (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI . A B D I C
  35. A. 2 .B. 2 2 . C. 3 2 .D. 2 . Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành BICK BICK là hình chữ nhật do BI  CD . Gọi H là tâm BCD . Vẽ HM  KC tại M , HN  AM tại N . Ta có CK  AHM CK  HN HN  ACK . Ta có BI // ACK d AC, BI d BI, ACK d H, ACK HN . 2 2 2 11. 3 66 11 Ta có AH AB BH 11 , HM CI 3 3 2 66 11 . AH.HM HN 3 2 2 d AC, BI 2 . 2 2 22 11 AH HM 3 4 Câu 47: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , SA tạo với đáy một góc 30 . Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD . 3 14a 2 10a 2 15a 4 5a A. d .B. d .C. d .D. d . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B S H B C N O M A D Gọi O AC  BD suy ra SO  ABCD nên góc giữa SA và đáy ABCD là S· AO 30 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB . Trong SON , kẻ OH  SN thì OH  SAB . Ta có CD // SAB nên d CD, SA d CD, SAB d M , SAB 2d O, SAB 2OH .
  36. 1 1 a 6 AO .AC .2 2a 2a suy ra SO AO.tan30 . 2 2 3 1 1 ON .AB .2a a . 2 2 ON 2.OS 2 10 2 10 Tam giác SON vuông tại O có OH a . Vậy d CD,SA a . ON 2 OS 2 5 5 Câu 48: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a , SA  AB , SC  BC , SB 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA , BC . Gọi là góc giữa MN với ABC . Tính cos . 2 11 6 2 6 10 A. cos . B. cos .C. cos .D. cos . 11 3 5 5 Lời giải Chọn B S M 2a D S H N a A S Gọi D là hình chiếu của S lên ABC , ta có: BC  SC AB  SA BC  CD và AB  AD . BC  SD AB  SD Mà ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông. Gọi H là trung điểm của AD , ta có MH // SD MH  ABCD . Do đó HN là hình chiếu của MN lên ABC MN, ABC MN, NH M· NH . SC SB2 BC 2 4a2 a2 a 3 ; SD SC 2 DC 2 3a2 a2 a 2 . 1 a 2 .SD MH 2 1 1 6 tan 2 2 cos . 2 1 NH AB a 2 1 tan 1 3 2 Câu 49: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A , AB 2a , AC 2a 3 . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng 1 vuông góc với đáy. Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho BM BC (tham khảo hình vẽ 4 dưới đây). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SAC và SAM bằng
  37. S A B M C 2 3 2 3 A. .B. .C. .D. . 13 3 3 5 Lời giải Chọn A S K I A H E B M C SAB  ABC Gọi H là trung điểm AB . Ta có SAB  ABC AB SH  ABC . SH  AB AC  AB Mà AC  SAB , AC  SAC SAC và SAB vuông góc với nhau theo AC  SH giao tuyến SA . Hạ HK  SA khi đó HK  SAC 1 1 1 1 Mà BM BC AB2 AC 2 .4a a . 4 4 4 AC Tam giác ABC vuông tại A có tan B 3 ·ABC 60 AB Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta có: AM 2 AB2 BM 2 2AB.BM.cos60 AM a 3 Mà AM 2 BM 2 AB2 nên tam giác ABM vuông tại M ; HE // BM Gọi E là trung điểm AM thì HE  AM ; AM  SH AM  SHE BM  AM Lại có AM  SAM SAM  SHE theo giao tuyến SE . Trong mặt phẳng SHE , kẻ HI  SE thì HI  SAM 2 HK  SAC · Từ 1 và 2 ta có SAC , SAM H· K, HI K· HI HI  SAM
  38. a Dễ thấy AM  BC nên HE . 3 a 3 a 3 HI 2 Tính được: KH và HI . Do đó cos K· HI . 2 13 KH 13 Câu 50: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp tứ giác a3 2 S.ABCD có đáy là hình thoi, B· AD 60 , cạnh đáy bằng a , thể tích bằng . Biết hình 4 chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của hình thoi (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng S D A C B a a 6 a a 6 A. .B. . C. .D. . 4 3 3 2 Lời giải Chọn B S N D A M K C B a3 2 2 3. a 3 3V a 6 S 2S AB.ADsin µA . Độ dài đường cao SH 4 ABCD ABD 3 2 SABCD a 3 2 2 Gọi M là trung điểm AB , K là trung điểm của BM a 3 DM a 3 Ta có DM  AB DM , HK // DM và HK . 2 2 4 Ta có AB  SHK SAB  SHK , SAB  SHK SK Vẽ HN  SK tại N HN  SAB d H, SAB HN . HK.HS a 6 a 6 HN , d C, SAB 2d H, SAB 2HN . HK 2 HS 2 6 3
  39. Câu 51: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD a , AA a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng B MC 3a 21 a a 21 2a 21 A. h .B. h .C. h .D. h . 7 21 14 7 Lời giải Chọn D B' C' A' D' H a 3 B C 2aM E I A a D Gọi I là trung điểm của MC BI  MC . Kẻ BH  B I BH  B MC d B, B MC BH MC a 2 Ta có tam giác BMC vuông cân tại B nên BI 2 2 BB .BI a 21 a 21 BH d B, MB C BB 2 BI 2 7 7 d D, MB C ED DC Mặt khác gọi E là giao điểm của BD và MC 2 . d B, MB C EB MB 2a 21 d D, MB C 2d B, MB C . 7  Chú ý: Có thể giải nhanh bằng phương pháp tọa độ bằng cách chọn A  O 0;0;0 , AB  Ox , AD  Oy , AD  Oy . Câu 52: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy và SA 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , SC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN bằng 3a a 3a 37 a A. .B. .C. .D. . 37 2 74 4 Lời giải Chọn A
  40. Chọn trung điểm H của BC là gốc tọa độ tia HB là trục hoành, HA là trục tung. 3 a a a 3 a a 3 Ta có A 0;a ;0 , B ;0;0 , M ; ;0 , C ;0;0 , S 0; ;3a , 2 2 4 4 2 2 a a 3 3a N ; ; 4 4 2  3a a 3  a a 3 3a  a a 3 CM ; ;0 ; AN ; ; ; AC ; ;0 4 4 4 4 2 2 2    CM.AN .AC 3a d CM , AN   = . 37 CM.AN Câu 53: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , A H a 3 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng A B và B C . Tính cos . 1 6 6 3 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 2 8 4 2 Lời giải Chọn B A' a 3 C' B' E C A a H B K D    Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD HK A B . Ta có B K  ABC và B D / / A B A B, B C B D, B C D· B C . 2 Ta tính được BC 2a BH a ; B D A B a 3 a2 2a. 3a2 9a2 CD AC 2 AD2 3a2 4a2 a 7 ; CK CE 2 EK 2 a 3. 4 4
  41. B C B K 2 CK 2 3a2 3a2 a 6. B D2 B C 2 CD2 4a2 6a2 7a2 6 cosC· B D . 2.B D.B C 2.2a.a 6 8 Câu 54: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC a . Từ trung điểm H của AB , dựng SH  ABCD với SH a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 8a 3 2a 57 2a 66 10a 5 A. .B. .C. .D. . 15 19 23 27 Lời giải Chọn B S K A D H B M C Dựng HM  BC M BC ; SH  BC SHM  SBC ; SHM  SBC SM . Trong mặt phẳng SHM , dựng HK  SM K SM HK  SBC HK d H, SBC . Ta có: d A, SBC 2d H, SBC . a 3 1 1 1 1 16 19 57a HM BH sin 60 ; HK . 4 HK 2 SH 2 HM 2 a2 3a2 3a2 19 a 57a Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2HK . 19 Câu 55: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 60 (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 3 a 2 a 3 A. a .B. .C. .D. . 3 2 2
  42. Lời giải Chọn D BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là góc S· BA 60. Do đó SA a.tan 60 a 3. Dựng D sao cho ABCD là hình vuông. Dựng AE  SD tại E. CD  AD Ta có: CD  SAD CD  AE. CD  SA Mà AE  SD suy ra AE  SCD . Ta có d AB;SC d AB; SCD d A; SCD AE. AS.AD a 3 a 3 Mà AE . Vậy d AB;SC . SD 2 2 Câu 56: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 2a , BC a , ·ABC 120. Cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng SAC S D C A B 3 3 1 3 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 7 Lời giải Chọn C
  43. d B; SAC d D;SAC Ta có sin ·SB; SAC . SB SB Xét tam giác ABC ta có AC BA2 BC 2 2BA.BC.cos B· AC a 7 . BA2 BC 2 AC 2 4a2 a2 7a2 a 3 BO 2 4 2 4 2 BD a 3 và SB SD2 BD2 3a2 3a2 a 6 . AD AC AD.sin Dµ a.sin120 21 Xét tam giác ADC ta có sin Cµ . sin Cµ sin Dµ AC a 7 14 Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có AC  DK DI  SK AC  DI . Do đó d D; SAC DI . AC  SD DI  AC DK 21 a 21 Mặt khác sin Cµ DK DC.sin Cµ 2a. . DC 14 7 a 21 a 3. SD.DK 6 Xét tam giác SDK ta có DI 7 a . 2 2 21 4 SD DK 3a2 a2 49 6 a d D;SAC DI 1 Vậy sin ·SB; SAC 4 . SB SB a 6 4 Trong mặt phẳng SDK kẻ DI  SK suy ra d D; SAC DI .
  44. Câu 57: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ·ABC 30, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng SAB . a 39 a 39 2a 39 a 39 A. h .B. h .C. h .D. h . 26 13 13 52 Lời giải Chọn B S K B C H M A Gọi H , M lần lượt là trung điểm của BC , AB . Gọi K là hình chiếu của H trên SM . Khi đó : d C, SAB 2d H, SAB . Do tam giác SBC đều nên SH  BC . Lại do SBC  ABC nên SH  ABC . Ta có : AB  SH  .  AB  SHM AB  HM  HK  SM  .  HK  SAB . HK  AB  Suy ra d H; SAB HK . Mặt khác, ta có : 1 1 a . HM AC .BC.sin 30 . 2 2 4 a 3 . SH . 2 1 1 1 52 a 39 . HK . HK 2 SH 2 HM 2 3a2 26 a 39 Suy ra d C; SAB . 13