Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

1. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 2t m/s . Đi được 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 12 m/s2 . Tính quãng đường s m đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. s 168 m .B. s 166 m .C. s 144 m .D. s 152 m . Lời giải Chọn A Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật. Quãng đường xe đi được là: 12 12 12 S v t dt 2tdt t 2 144 m . 1 1 0 0 0 Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn. Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t adt 12t c . 2 Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: v2 0 v1 12 2.12 24 m/s . 12.0 c 24 c 24 v2 t 12t 24. Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình: 12t 24 0 t 2 . Khi đó, quãng đường xe đi được là: 2 2 2 2 S2 v2 t dt 12t 24 dt 6t 24t 24 m . 0 0 0 Vậy tổng quãng đường xe đi được là: S S1 S2 168 m . Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20 m và 25 m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B. C. giếng 20 m chọn A còn giếng 25 m chọn B. D. giếng 20 m chọn B còn giếng 25 m chọn B. Lời giải Chọn D Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số cộng ta có: 20 + Nếu đào giếng 20 m hết số tiền là: S 2.8000 20 1 500 255000 (đồng). 20 2 25 + Nếu đào giếng 25 m hết số tiền là: S 2.8000 25 1 500 350000 (đồng). 25 2
2. Cơ sở B giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số nhân ta có: 1 1,07 20 + Nếu đào giếng 20 m hết số tiền là: S 6000 245973 (đồng). 20 1 1,07 1 1,07 25 + Nếu đào giếng 25 m hết số tiền là: S 6000 379494 (đồng). 25 1 1,07 Ta thấy S2 0 S20 , S2 5 S25 nên giếng 20 m chọn B còn giếng 25 m chọn A. Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho f x 10 f x 10 lim 5 . Giới hạn lim bằng x 1 x 1 x 1 x 1 4 f x 9 3 5 A. 1.B. 2 .C. 10. D. . 3 Lời giải Chọn A f x 10 lim 5 nên f x 10 x 1 5 x 1 hay f x x 1 5x 5 x 1 x 1 Do đó f x 10 5x 5 10 5 x 1 x 1 lim lim lim x 1 x 1 4 f x 9 3 x 1 x 1 4 5x 5 9 3 x 1 x 1 20x 29 3 5 x 1 lim 1. x 1 20x 29 3 Cách 2: Giả sử: f x 10 x 1 g x . f x 10 x 1 g x Ta có: lim lim lim g x 5 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy f x 10 x 1 g x x 1 lim lim x 1 x 1 x 1 4 f x 9 3 x 1 4 x 1 g x 10 9 3 g x x 1 5 1 1 lim 1. x 1 4 x 1 g x 10 9 3 4 0.5 10 9 3 Câu 4: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho dãy số un bởi công thức truy hồi sau u1 0 ; u218 nhận giá trị nào sau đây? un 1 un n; n 1 A. 23653.B. 46872 .C. 23871.D. 23436 . Lời giải Chọn A
3. Đặt vn un 1 un n , suy ra vn là một câp số cộng với số hạng đầu v1 u2 u1 1 và công sai d 1. Xét tổng S217 v1 v2 v217 . 217. v v 217. 1 217 Ta có S v v v 1 217 23653. 217 1 2 217 2 2 Mà vn un 1 un suy ra S217 v1 v2 v217 u2 u1 u3 u2 u218 u217 u218 u1 u218 S217 u1 23653. Câu 5: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho dãy số an thỏa mãn a1 1 và an 10an 1 1, n 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để log an 100 . A. 100.B. 101.C. 102.D. 103. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 an 10an 1 1 an 10 an 1 (1) . 9 9 1 1 8 Đặt b a b a . Từ (1) b 10b ,n 2 n n 9 1 1 9 9 n n 1 8 Dãy b là cấp số nhân với công bội là q 10 . Nên b b .qn 1 .10n 1 . n n 1 9 1 8 1 Do đó a b 10n 1 ,n 1,2, . n n 9 9 9 8 1 Ta có log a 100 an 10100 10n 1 10100 . n 9 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của n để log an 100 là n 102 . Câu 6: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950. Tính giá trị của tổng 1 1 1 S . u2 u1 u1 u2 u3 u2 u2 u3 u2018 u2017 u2017 u2018 1 1 1 A. 1 .B. 1 .C. 2018 .D. 1. 3 6052 6052 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó: 100.99 S 100u d 100 4950d 14950 d 3. 100 1 2 Do đó u2018 u1 2017d 6052 .
4. 1 1 1 u u 1 1 1 Ta có: . k 1 k . . u u u u d u . u d u u k 1 k k k 1 uk . uk 1 . uk uk 1 k k 1 k k 1 Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S . . . . d d d d u1 u2 u2 u3 u2017 u2018 u1 u2018 1 1 1 . 3 6052 Câu 7: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn u1 u2 u2018 4 u1 u2 u1009 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P log3 u2 log3 u5 log3 u14 bằng A. 3 .B. 1.C. 2 .D. 4 . Lời giải Chọn C 2018 1009 Ta có S 2u 2017d , S 2u 1008d 2018 2 1 1009 2 1 2018 1009 u u u 4 u u u 2u 2017d 4. 2u 1008d 1 2 2018 1 2 1009 2 1 2 1 d 2u 2017d 2 2u 1008d u . 1 1 1 2 d 3d 5d Dãy số u : , , , n 2 2 2 3d 9d 27d Ta có P log2 u log2 u log2 u log2 log2 log2 3 2 3 5 3 14 3 2 3 2 3 2 2 2 2 d d d d 1 log3 2 log3 3 log3 . Đặt log3 x thì 2 2 2 2 P 1 x 2 2 x 2 3 x 2 3x2 12x 14 3 x 2 2 2 2. 2 Dấu bằng xảy ra khi x 2 d . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. 9 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CB D bằng a 3 a 3 a 2 2a 3 A. .B. .C. .D. . 3 2 2 3 Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng CB D bằng a 3 a 3 a 2 2a 3 A. .B. .C. .D. . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D
5. C B D A I H C' B' O' D' A' Gọi I AC CO ta có I AC  CB D . Gọi H là hình chiếu của C lên CO . Khi đó CC .C O a 3 d C ; CB D C H . CC 2 C O 2 3 2a 3 Mặt khác, ta có AI 2C I nên d A; CB D 2d C ; CB D . 3 Câu 10: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, , cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 .B. 79 .C. 76 .D. 78. Câu 11: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, , cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 .B. 79 .C. 76 .D. 78. Lời giải Chọn A Gọi số cây ở hàng thứ n là un . Ta có: u1 1, u2 2 , u3 3 , và S u1 u2 u3 un 3003 . Nhận xét dãy số un là cấp số cộng có u1 1, công sai d 1. n 2u n 1 d Khi đó S 1 3003. 2 n 2.1 n 1 1 2 n 77 Suy ra 3003 n n 1 6006 n n 6006 0 n 77 2 n 78 (vì n ¥ ). Vậy số hàng cây được trồng là 77 . Câu 12: Trong tủ đồ chơi của bạn An có 5 con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt. 16 1 15 15 A. . B. . C. . D. . 31 2 32 31 Câu 13: Trong tủ đồ chơi của bạn An có 5 con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt.
6. 16 1 15 15 A. . B. . C. . D. . 31 2 32 31 Lời giải Chọn D Trường hợp 1: Bạn An chỉ lấy 1 con thú bông có 5 cách. 2 Trường hợp 2: Bạn An lấy 2 con thú bông có C5 cách. 3 Trường hợp 3: Bạn An lấy 3 con thú bông có C5 cách. 4 Trường hợp 4: Bạn An lấy 4 con thú bông có C5 cách. 5 Trường hợp 5: Bạn An lấy cả 5 con thú bông có C5 cách. 2 3 4 5 Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n  5 C5 C5 C5 C5 31. Gọi A là biến cố: “trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt” 2 3 4 Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A 4 C4 C4 C4 15 n A 15 Vậy xác suất cần tìm là P A . n  31 Câu 14: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng A. 234 .B. 567 . C. 162.D. 405 . Câu 15: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng A. 234 .B. 567 .C. 162.D. 405 . Lời giải Chọn D Gọi ri là khoảng cách lần rơi thứ i n 1 2 2 Ta có r1 81, r2 .81, , rn .81, 3 3 Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng n 2 1 3 81. . 2 1 3 Gọi ti là khoảng cách lần nảy thứ i n 1 2 2 2 2 2 Ta có t1 .81, t2 . 81, , tn .81, 3 3 3 3 3 Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ n bằng n 1 2 1 2 3 .81. . 2 3 1 3
7. Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy n n 1 2 2 1 1 3 2 3 nữa bằng S lim 81. .81. 405 . 2 3 2 1 1 3 3 3 2 * 765 Câu 16: Cho dãy un :u1 e ,un 1 un ,k ¥ thỏa mãn u1.u2 uk e . Giá trị của k là: A. .6B. .C. 7 8 .D. . 9 3 2 * 765 Câu 17: Cho dãy un :u1 e ,un 1 un , k ¥ thỏa mãn u1.u2 uk e . Giá trị của k là: A. 6 .B. 7 .C. 8 .D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn C vn n 1 * Ta có un e , với vn 3.2 , n ¥ . k 2 1 k v1 v2 vk 3. 3 2 1 . 2 1 v1 v2 vk u1.u2 uk e . Suy ra 3 2k 1 765 2k 1 255 2k 256 k 8 . 1 n 1 Câu 18: Cho dãy số u có u và u u , n 1. Tìm tất cả giá trị n để n 1 5 n 1 5n n n u 52018 1 S k .  2018 k 1 k 4.5 A. n 2019 .B. n 2018 .C. n 2020 .D. n 2017 . 1 n 1 Câu 19: Cho dãy số u có u và u u , n 1. Tìm tất cả giá trị n để n 1 5 n 1 5n n n u 52018 1 S k .  2018 k 1 k 4.5 A. n 2019 .B. n 2018 .C. n 2020 .D. n 2017 . Lời giải Chọn B n 1 u 1 u Ta có u u n 1  n . n 1 5n n n 1 5 n u 1 1 Đặt v n , n 1. Suy ra v là cấp số nhận có công bội q và v . n n n 5 1 5 n 1 n n n 1 n u 1 q 1 5 1 5 1 Ta có S k v v   T .   k 1 1 n n k 1 k k 1 1 q 5 1 4 5 5 52018 1 Do v 0 , n 1 nên T là dãy tăng. Suy ra T T n 2018 . n n n 4.52018 2018 Câu 20: Xét các số thực dương a ,b sao cho 25 , 2a , 3b là cấp số cộng và 2 , a 2 , b 3 là cấp số nhân. Khi đó a2 b2 3ab bằng : A. 59 . B. 89 . C. 31 . D. 76 . Câu 21: Xét các số thực dương a ,b sao cho 25 , 2a , 3b là cấp số cộng và 2 , a 2 , b 3 là cấp số
8. nhân. Khi đó a2 b2 3ab bằng : A.59 . B. 89 . C. 31 . D. 76 . Lời giải Chọn A Vì 25 , 2a , 3b là cấp số cộng nên 25 3b 4a 3b 9 4a 16 . Vì 2 , a 2 , b 3 là cấp số nhân nên 2 b 3 a 2 2 . 4a 16 2 2 Suy ra 2 a 2 2 4a 16 3 a 2 3a2 4a 20 0 3 Vì a 0 nên a 2 suy ra b 11 . Vậy a2 b2 3ab 4 121 66 59 Câu 22: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S2 Sn ? 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5 . 4 2 Câu 23: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S2 Sn ? 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5 . 4 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 3 3 3 3 1 3 3 3 1 Ta có S . 3. 3 ; S . . .S ; S . . .S 1 2 1 3 2 3 2 3 4 4 4 3 16 4 Ta có S1 , S2 , S3 , , Sn tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là S1 3 và công 1 bội q 4 S 3 Suy ra S S S S 1 4 . 1 2 n 1 1 q 1 4 Câu 24: Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?
9. A. 210.B. . 3C.9 . D. .100 270 Câu 25: Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm? A. 210.B. 39.C. 100.D. 270. Lời giải Chọn A Số que ở 1 tầng là u1 3. Tổng số que ở 2 tầng là u1 u2 3 7 . Tổng số que ở 3 tầng là u1 u2 u3 3 7 11. . Ta có cấp số cộng u1 3, d 4 , tính S10 ? 10 Để cần có 10 tầng cần tổng S 2.3 9.4 210 que. 10 2 Câu 26: Cho a b c là ba số nguyên. Biết a ,b , c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a , c , b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c . A. 2 .B. 2 .C. 1.D. 4 . Câu 27: Cho a b c là ba số nguyên. Biết a ,b , c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a , c , b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c . A. 2 .B. 2 .C. 1.D. 4 . Lời giải Chọn B c a L 2b a c 2 2 2 Ta có 2 . Suy ra: 2c a a c 2c ac a 0 a a c . c ab 0 c b 2 4 2 a 0 Suy ra a , b trái dấu với c . c 0 Do a , b , c nguyên nên c chia hết cho 2 . Do đó c nhỏ nhất bằng 2 khi đó a 4 , b 1 (thỏa mãn). Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân tại A , B· AC 120 , AB BB a . Gọi I là trung điểm của CC . Tính B C cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB I . 70 5 A I A. .B. . 10 5 B C A
10. 30 15 C. .D. . 10 5 Câu 29: Cho dãy số un thỏa mãn u1 2 và un 1 2 un với mọi n 1. Tìm u2018 . A. u 2 cos .B. u 2cos .C. u 2 cos .D. u 2 . 2018 22017 2018 22019 2018 22018 2018 Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân tại A , B· AC 120 , AB BB a . Gọi I là trung điểm của CC . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB I . B C A I B C A 70 5 30 15 A. .B. .C. .D. . 10 5 10 5 Lời giải Chọn C a Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ và độ dài đơn vị trên các trục là a ta có: BC a 3 , OA 2 1 3 3 3 3 1 nên A 0; ;0 , B ;0;1 , C ;0;0 , C ;0;1 , I ;0; 2 2 2 2 2 2 z B' C' A' x I B O C A y  3 1  3 1 1 1 AB ; ;1 // 3; 1;2 ; AI ; ; = 3; 1;1 . 2 2 2 2 2 2  Mặt phẳng ABC có véc tơ pháp tuyến là n1 k 0;0;1 .    Mặt phẳng AB I có véc tơ pháp tuyến là n AB ; AI 1; 3 3; 2 3 . 2
11.   n1.n2 30 cos ABC ; AB I   . 10 n1 . n2 S Cách 2: Dùng công thức hình chiếu: cos ABC ; AB I ABC . SAB I Câu 31: Cho dãy số un thỏa mãn u1 2 và un 1 2 un với mọi n 1. Tìm u2018 . A. u 2 cos .B. u 2cos .C. u 2 cos .D. u 2 . 2018 22017 2018 22019 2018 22018 2018 Lời giải Chọn B Ta có: u 2 2cos 2cos . 1 4 22 u 2 2 2cos 2cos . 2 8 23 Dự đoán: u 2cos . n 2n 1 Chứng minh theo quy nạp ta có. u 2cos 2 , công thức 1 đúng với n 1. Giả sử công thức 1 đúng với n k , k 1 1 4 ta có u 2cos . k 2k 1 2 Ta có: uk 1 2 uk 2 2cos k 1 2 1 cos k 1 4cos k 2 2cos k 2 2 2 2 2 (vì 0 với mọi k 1). 2k 2 2 Công thức 1 đúng với n k 1. Vậyu 2cos , n N . Suy ra u 2cos . n 2n 1 2018 22019 1 Câu 32: Cho dãy xn thỏa lim xn . Tính giới hạn lim xn cos 1 xn A. Không tồn tại.B. 1.C. 0 .D. 1. 1 Câu 33: Cho dãy xn thỏa lim xn . Tính giới hạn lim xn cos 1 xn A. Không tồn tại.B. 1.C. 0 .D. 1. Lời giải Chọn C 2 1 sin 1 1 2 1 2 2xn lim xn cos 1 lim 2sin lim . 2 0.1 0 . x 1 2x x n n n 1 xn 2xn